Troisième / Trigonométrie

Ex. 1★★★Nommer les côtés d'un triangle à l'envers — Le triangle KLM est rectangle en L. Son angle droit est en haut.

1. aQuel côté est l'hypoténuse du triangle KLM ?
2. bQuel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{LKM}$ ?
3. cQuel est le côté opposé à l'angle $\widehat{LKM}$ ?
4. dPour l'angle $\widehat{KML}$, quel est le côté adjacent et quel est le côté opposé ?
5. eÉcris $\cos(\widehat{KML})$ avec les lettres de la figure.

Ex. 2★★★Le cosinus à la calculatrice — Ta calculatrice est en mode degrés. Arrondis les cosinus au centième et les angles au dixième.

1. aDonne une valeur approchée de $\cos(52^\circ)$.
2. bTrouve l'angle aigu dont le cosinus vaut $0{,}35$.
3. cYanis trouve $\cos(60^\circ) \approx -0{,}95$. Quelle est son erreur ? Donne la bonne valeur.
4. dLe triangle EFG est rectangle en F, avec $EF = 3{,}6$ cm et $EG = 5$ cm. Pour trouver $\widehat{FEG}$, Lina tape cos(3,6 ÷ 5). Corrige son calcul.
5. eSans calculatrice, range $\cos(20^\circ)$, $\cos(75^\circ)$ et $\cos(48^\circ)$ dans l'ordre croissant. Justifie.

Ex. 3★★★Un triangle penché et ses deux angles aigus — Le triangle PQR est rectangle en Q, avec $PQ = 4{,}2$ cm et $PR = 7$ cm. Arrondis les angles au dixième.

1. aAhmed écrit $\cos(\widehat{QPR}) = \frac{PR}{PQ}$. Explique pourquoi c'est impossible, puis écris la bonne formule.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{QPR}$.
3. cDéduis-en la mesure de l'angle $\widehat{PRQ}$.

Ex. 4★★★L'échelle contre le garage — À Rodez, Ben pose une échelle [AB] contre le mur vertical d'un garage. Le pied B de l'échelle est à $1{,}3$ m du pied C du mur. L'échelle fait un angle de $72^\circ$ avec le sol horizontal. Arrondis les longueurs au centième et l'angle au dixième.

1. aNina calcule $AB = 1{,}3 \times \cos(72^\circ) \approx 0{,}40$ m. Explique pourquoi son résultat est absurde.
2. bCalcule la longueur AB de l'échelle.
3. cBen recule le pied de la même échelle : il est maintenant à $1{,}8$ m du mur. Calcule le nouvel angle $\widehat{ABC}$ entre l'échelle et le sol.

Ex. 5★★★Prouver l'angle droit avant le cosinus — Le triangle UVW a pour côtés $UV = 6$ cm, $VW = 6{,}3$ cm et $UW = 8{,}7$ cm. Son côté [UW] est vertical. Arrondis les angles au dixième.

1. aDémontre que le triangle UVW est rectangle. Précise en quel point.
2. bNomme le côté adjacent à l'angle $\widehat{VUW}$, puis calcule la mesure de cet angle avec le cosinus.
3. cLéa affirme : « Pour l'angle $\widehat{UWV}$, le côté adjacent est encore [UV]. » Corrige-la, puis calcule $\widehat{UWV}$ avec le cosinus.
4. dVérifie tes deux résultats avec la somme des angles aigus d'un triangle rectangle.
5. eDans un autre triangle rectangle en V, l'hypoténuse [UW] mesure encore $8{,}7$ cm. Quelle longueur UV faut-il pour que $\widehat{VUW} = 60^\circ$ ?

Ex. 6★★★Le téléphérique en deux tronçons — Dans une station des Pyrénées, un téléphérique monte en ligne droite de A à B : le câble [AB] mesure 1 250 m et la distance horizontale AH vaut 1 100 m. Puis un second câble [BC] fait un angle de $35^\circ$ avec l'horizontale, pour une distance horizontale $BK = 600$ m. Les triangles AHB et BKC sont rectangles en H et en K. Arrondis les angles au degré et les longueurs au mètre.

1. aDans le triangle AHB, quelle est l'hypoténuse ? Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{BAH}$ ?
2. bCalcule l'angle $\widehat{BAH}$ que fait le premier câble avec l'horizontale.
3. cTom trouve $\widehat{BAH} \approx 0{,}49$. Explique son erreur.
4. dCalcule le dénivelé BH du premier tronçon.
5. eCalcule la longueur BC du second câble.

Ex. 7★★★Un angle, deux triangles rectangles — Le triangle JKL est rectangle en J, avec $JK = 4$ cm et $KL = 9$ cm. H est le pied de la hauteur issue de J : H est sur [KL] et (JH) est perpendiculaire à (KL). Arrondis les angles au dixième et les longueurs au centième.

1. aQuelle est l'hypoténuse du triangle JHK ? Écris $\cos(\widehat{JKL})$ dans le triangle JKL, puis dans le triangle JHK.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{JKL}$.
3. cCalcule KH sans arrondir le cosinus avant la fin.
4. dMia dit : « Pour l'angle $\widehat{JLK}$, le côté adjacent est [KL] parce qu'il touche L. » A-t-elle raison ? Calcule ensuite $\widehat{JLK}$.
5. eDans le triangle JHK, quel est le sommet de l'angle $\widehat{KJH}$ ? Nomme son côté adjacent et son côté opposé, puis calcule sa mesure.

Ex. 8★★★Automatisme : écrire le sinus et la tangente avec les lettres — $KLM$ est un triangle rectangle en $L$. Réponds avec les lettres de la figure.

1. aÉcris $\sin(\widehat{LKM})$.
2. bÉcris $\sin(\widehat{KML})$.
3. cZoé écrit $\tan(\widehat{KML}) = \frac{KL}{KM}$. A-t-elle raison ? Corrige si besoin.
4. dLe quotient $\frac{LM}{KL}$ est la tangente d'un angle aigu du triangle. Duquel ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatisme : SOH, CAH ou TOA ? — $EFG$ est un triangle rectangle en $G$. Pour chaque situation, nomme les deux côtés qui interviennent en partant de l'angle, puis choisis SOH, CAH ou TOA. Ne calcule rien.

1. aOn connaît $\widehat{GEF}$ et $EF$, on cherche $FG$. Quelle formule faut-il utiliser ?
2. bAli connaît $\widehat{GEF}$ et $FG$. Pour calculer $EG$, il choisit le cosinus. A-t-il raison ? Justifie.
3. cOn connaît $\widehat{EFG}$ et $FG$, on cherche $EF$. Quelle formule faut-il utiliser ?
4. dOn connaît $EG$ et $EF$. Quelle touche de la calculatrice donne $\widehat{GEF}$ ?
5. eTom récite : « SOH : sinus = adjacent ÷ hypoténuse ; TOA : tangente = opposé ÷ hypoténuse ». Corrige ses deux erreurs.

Ex. 10★★★Valeur exacte avant l'arrondi — $PQR$ est un triangle rectangle en $Q$, avec $PQ = 4$ cm, $QR = 4{,}2$ cm et $PR = 5{,}8$ cm. Donne chaque résultat sous forme de fraction simplifiée, puis arrondis au centième.

1. aCalcule $\sin(\widehat{QPR})$.
2. bCalcule $\tan(\widehat{QPR})$ et compare le résultat à 1. Est-ce possible ? Justifie.
3. cCalcule $\tan(\widehat{PRQ})$.
4. dLe sinus de $\widehat{PRQ}$ est-il plus petit ou plus grand que sa tangente ? Justifie par un calcul.

Ex. 11★★★Vrai ou faux : deux élèves et un triangle — $UVW$ est un triangle rectangle en $V$, avec $UV = 7{,}5$ cm, $VW = 10$ cm et $UW = 12{,}5$ cm. Pour les deux premières questions, dis si l'affirmation est vraie ou fausse et justifie. Arrondis l'angle au degré.

1. aInès affirme : « $\sin(\widehat{VUW}) = \frac{UW}{VW}$ ».
2. bSami affirme : « $\tan(\widehat{VUW}) = \frac{VW}{UW}$ ».
3. cCalcule $\tan(\widehat{UWV})$ sous forme de fraction simplifiée. Est-ce la même valeur que $\tan(\widehat{VUW})$ ? Explique.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{VUW}$ en utilisant le sinus.

Ex. 12★★★Un triangle penché : prouver l'angle droit, puis écrire sinus et tangente — $MRJ$ est un triangle avec $MR = 9{,}6$ cm, $RJ = 2{,}8$ cm et $MJ = 10$ cm. Ne mesure pas sur la figure : calcule. Donne les quotients sous forme de fraction simplifiée, puis arrondis-les au centième et arrondis les angles au dixième.

1. aDémontre que le triangle $MRJ$ est rectangle en $R$.
2. bÉcris $\sin(\widehat{RMJ})$ et $\tan(\widehat{RMJ})$ avec les lettres de la figure, puis donne leurs valeurs exactes.
3. cPour l'angle $\widehat{RJM}$, Maël écrit $\sin(\widehat{RJM}) = \frac{MJ}{MR}$ et $\tan(\widehat{RJM}) = \frac{RJ}{MR}$. Corrige ses deux erreurs.
4. dCalcule $\widehat{RMJ}$ avec la touche inverse, puis déduis-en $\widehat{RJM}$ sans utiliser la calculatrice.

Ex. 13★★★Le toboggan du parc de Valence — Le toboggan droit $[PG]$ mesure $4{,}5$ m de long. L'échelle $[PB]$ est verticale et le sol $(GB)$ est horizontal. Le toboggan fait un angle de $34^\circ$ avec le sol. Arrondis les longueurs au centimètre et les angles au dixième.

1. aCalcule la hauteur $PB$ de l'échelle.
2. bNoé écrit « $BG = 4{,}5 \times \tan(34^\circ)$ car c'est TOA ». Explique son erreur, puis calcule $BG$.
3. cLe parc veut un toboggan plus doux : même hauteur $PB$, mais un angle de $25^\circ$ avec le sol. Calcule la longueur de ce nouveau toboggan.
4. dAvec la même hauteur $PB$, quel angle avec le sol faut-il pour que le toboggan s'arrête à $3$ m du pied de l'échelle ?

Ex. 14★★★Type brevet : une hauteur, deux triangles rectangles — Dans le triangle $ABC$, $[BH]$ est la hauteur issue de $B$ : $H$ est sur $[AC]$ et $(BH) \perp (AC)$. On donne $AB = 6{,}4$ cm, $\widehat{BAC} = 41^\circ$ et $HC = 3{,}3$ cm. Arrondis les longueurs au millimètre et les angles au dixième.

1. aCalcule $BH$.
2. bLina récite « CAH : cosinus = hypoténuse ÷ adjacent » et trouve $AH \approx 8{,}5$ cm. Montre que c'est impossible, puis calcule $AH$.
3. cCalcule l'angle $\widehat{BCA}$.
4. dHugo arrondit $BH$ à l'unité avant de calculer $\widehat{BCA}$. Quel angle trouve-t-il ? Explique pourquoi il ne faut pas arrondir trop tôt.
5. eLe triangle $ABC$ est-il rectangle en $B$ ? Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes — la longueur cherchée est en haut : je multiplie — Dans chaque triangle rectangle, choisis la bonne formule, puis calcule la longueur marquée « ? ». Arrondis au centième.

1. aLe triangle KLM est rectangle en L, avec $\widehat{LKM} = 41^\circ$ et $KM = 9$ cm. Calcule KL.
2. bLe triangle UVW est rectangle en V, avec $\widehat{VWU} = 63^\circ$ et $UW = 7{,}6$ cm. Calcule UV.
3. cLe triangle NOP est rectangle en O, avec $\widehat{ONP} = 29^\circ$ et $ON = 4{,}4$ cm. Calcule OP.

Ex. 16★★★Automatismes — la longueur cherchée est en bas : je divise — Dans chaque triangle rectangle, calcule la longueur marquée « ? », puis contrôle ton résultat avec les autres côtés. Arrondis au dixième.

1. aLe triangle HIJ est rectangle en I, avec $\widehat{IHJ} = 34^\circ$ et $HI = 5{,}2$ cm. Calcule l'hypoténuse HJ.
2. bLe triangle PQR est rectangle en P, avec $\widehat{PQR} = 58^\circ$ et $PR = 7$ cm. Calcule PQ.
3. cLe triangle CDE est rectangle en D, avec $\widehat{DCE} = 47{,}5^\circ$ et $DE = 4{,}1$ cm. Calcule l'hypoténuse CE.

Ex. 17★★★Trois élèves, trois erreurs — Le triangle ABC est rectangle en A, avec $\widehat{ABC} = 36^\circ$ et $AC = 5{,}4$ cm. Trois élèves calculent l'hypoténuse BC. Arrondis au centième.

1. aNoah écrit $BC = 5{,}4 \times \sin(36^\circ) \approx 3{,}17$ cm. Explique sans calcul pourquoi c'est impossible, puis calcule BC correctement.
2. bInès arrondit d'abord $\sin(36^\circ)$ à $0{,}59$, puis divise. Quel résultat obtient-elle ? Pourquoi n'est-il pas juste ?
3. cSami tape le bon calcul mais obtient $BC \approx -5{,}44$ cm. Comment voit-on que c'est absurde ? Quel réglage de sa calculatrice doit-il corriger ?

Ex. 18★★★Le toboggan de Malo — Malo installe un toboggan dans son jardin, à Royan. La glissière [ST] mesure 480 cm et fait un angle de $32^\circ$ avec le sol horizontal [SH]. Le support [TH] est vertical, donc le triangle STH est rectangle en H. Donne les longueurs en mètres et arrondis au dixième.

1. aCalcule la hauteur TH du toboggan, en mètres.
2. bCalcule la longueur au sol SH avec une formule de trigonométrie, en mètres.
3. cVérifie ton résultat sur SH avec le théorème de Pythagore, en gardant la valeur de TH non arrondie.
4. dLa place libre au sol dans le jardin mesure 420 cm. Le toboggan y tient-il ? Justifie par un calcul.

Ex. 19★★★Brevet — de Pythagore à la tangente — Sur la figure, $EF = 4{,}5$ cm, $FG = 6$ cm et $EG = 7{,}5$ cm. Le point H est sur la demi-droite [FG), au-delà de G, et $\widehat{FEH} = 62^\circ$. Arrondis au centième.

1. aDémontre que le triangle EFG est rectangle en F.
2. bCalcule FH, puis déduis-en GH.
3. cCalcule EH avec une formule de trigonométrie.
4. dCalcule l'aire du triangle EGH.
5. eContrôle ta valeur de EH avec le théorème de Pythagore, en utilisant la valeur non arrondie de FH.

Ex. 20★★★Le phare vu de la mer — Gaspard navigue le long de la côte. Depuis son bateau, au point B, il voit le sommet S d'un phare de 32 m de haut sous un angle de $14^\circ$ avec l'horizontale. Le pied P du phare est au niveau de la mer et on néglige la hauteur du bateau. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la distance BP entre le bateau et le pied du phare.
2. bJade, la sœur de Gaspard, fait le même calcul et sa calculatrice affiche environ $4{,}42$ m. Explique pourquoi c'est absurde et trouve l'erreur de réglage.
3. cGaspard avance en ligne droite vers le phare jusqu'au point C. Il voit alors le sommet sous un angle de $25^\circ$. Calcule la distance BC parcourue.
4. dCalcule la distance CS entre le bateau, au point C, et le sommet du phare.

Ex. 21★★★Capucine décolle de Nantes — Capucine pilote un avion qui décolle de l'aérodrome de Nantes. Juste après le décollage, l'avion monte en ligne droite et fait un angle de $9^\circ$ avec le sol horizontal. D est le point de décollage, A la position de l'avion et H le point du sol à la verticale de A. Arrondis au dixième.

1. aL'avion a parcouru $DA = 2{,}8$ km sur sa trajectoire. Calcule son altitude AH, en mètres.
2. bCalcule à ce moment la distance horizontale DH, en mètres.
3. cUne antenne de 150 m de haut se trouve à 3 km de D, à l'horizontale. L'avion doit passer au moins 300 m au-dessus d'elle. Est-ce le cas ? Justifie par un calcul.
4. dQuelle distance l'avion a-t-il parcourue sur sa trajectoire quand il atteint 1 km d'altitude ? Contrôle ta réponse.

Ex. 22★★★Automatismes — les touches inverses — Ta calculatrice est en mode degrés. Arrondis au dixième.

1. a$\cos(\widehat{A}) = 0{,}35$ : calcule l'angle aigu $\widehat{A}$.
2. b$\tan(\widehat{C}) = \frac{9}{4}$ : calcule l'angle aigu $\widehat{C}$.
3. cVrai ou faux ? « L'angle aigu dont le sinus vaut $0{,}8$ mesure plus de $50^\circ$. » Justifie par un calcul.
4. dLou tape $\cos^{-1}(7 \div 5)$ pour un angle aigu $\widehat{D}$ et la calculatrice affiche « Erreur ». Explique pourquoi.
5. eVrai ou faux ? « Aucun angle aigu n'a une tangente égale à $3$. » Justifie.

Ex. 23★★★Automatismes — choisir la bonne touche — Pour chaque triangle, choisis SOH, CAH ou TOA avec les deux côtés connus, puis calcule l'angle marqué d'un « ? ». Ne mesure pas, calcule. Arrondis au degré.

1. aLe triangle KLM est rectangle en L, avec KL = 4 cm et KM = 7 cm : calcule $\widehat{LKM}$.
2. bLe triangle PQR est rectangle en Q, avec QR = 3,1 cm et PR = 7,5 cm : calcule $\widehat{QPR}$.
3. cLe triangle EFG est rectangle en G, avec EG = 5 cm et FG = 3,8 cm : calcule $\widehat{GEF}$, puis déduis-en $\widehat{EFG}$.

Ex. 24★★★Les trois erreurs de Yanis — Le triangle WXY est rectangle en X, avec WX = 3,7 cm et WY = 5,3 cm. Yanis cherche les deux angles aigus et fait trois erreurs. Arrondis au dixième.

1. aPour $\widehat{XWY}$, Yanis écrit $\tan(\widehat{XWY}) = \frac{3{,}7}{5{,}3}$. Corrige sa formule en justifiant.
2. bIl arrondit ensuite $3{,}7 \div 5{,}3$ à $0{,}70$ et trouve $45{,}6^\circ$. Explique pourquoi c'est faux au dixième, puis donne $\widehat{XWY}$.
3. cPour $\widehat{WYX}$, il tape $\sin^{-1}(5{,}3 \div 3{,}7)$ et la calculatrice affiche « Erreur ». Explique pourquoi, puis calcule $\widehat{WYX}$.

Ex. 25★★★Le panneau du col — Près de Briançon, Clara monte à vélo une route de montagne. Un panneau indique une pente de 9 % : la route monte de 9 m pour 100 m parcourus à l'horizontale. Arrondis au dixième.

1. aClara affirme : « La route fait un angle de $9^\circ$ avec l'horizontale. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
2. bSon frère tape $\tan(0{,}09)$ et obtient environ $0{,}0016$. Explique son erreur.
3. cUne amie tape $\tan^{-1}(0{,}09)$ et lit $0{,}0898$. Quel réglage de sa calculatrice doit-elle changer ?
4. dPlus loin, la route fait un angle de $8^\circ$ avec l'horizontale. Quelle pente en pourcentage faut-il écrire sur le panneau ?

Ex. 26★★★Le cerf-volant de Quiberon — Sur la plage de Quiberon, Inès tient en M le fil tendu et rectiligne [MK] de son cerf-volant K. Le fil mesure 32 m. K est à 19 m au-dessus du point H, qui est à la hauteur de sa main : le triangle MHK est rectangle en H. Arrondis au dixième.

1. aTom tape $\sin^{-1}(32 \div 19)$ et sa calculatrice affiche « Erreur ». Explique pourquoi, puis calcule $\widehat{KMH}$.
2. bLéa calcule d'abord MH avec le théorème de Pythagore et l'arrondit à $25{,}7$ m, puis elle utilise la touche $\cos^{-1}$. Quel angle trouve-t-elle ? Explique l'écart.
3. cCalcule l'angle $\widehat{MKH}$ que fait le fil avec la verticale.
4. dLe vent faiblit : le cerf-volant descend à 15 m au-dessus de H, et le fil reste tendu et mesure toujours 32 m. Inès affirme que l'angle $\widehat{KMH}$ a diminué de plus de 8°. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 27★★★Le toboggan du parc — Dans un parc de Lille, un grand toboggan a une échelle [ST] de 3,3 m et une glissière [GT] de 6,5 m. Au sol, SG = 5,6 m. Arrondis au dixième.

1. aDémontre que le triangle GST est rectangle en S.
2. bCalcule l'angle $\widehat{SGT}$ que fait la glissière avec le sol.
3. cLina calcule $\widehat{SGT}$ en tapant $\cos^{-1}(5{,}6 \div 6{,}5)$. Trouve-t-elle le même résultat ? Justifie.
4. dUn second toboggan a la même hauteur de 3,3 m et une pente de 40 %. Calcule l'angle de sa glissière avec le sol. Lequel des deux toboggans est le plus raide ?
5. eCalcule la longueur au sol de ce second toboggan, entre le pied de son échelle et le bas de sa glissière.

Ex. 28★★★Deux triangles emboîtés — Les points A, D, B sont alignés, de même que les points A, E, C. Le triangle ABC est rectangle en B et les droites (DE) et (BC) sont parallèles. On donne AD = 4,8 cm, AE = 6,4 cm et AB = 8,4 cm. Arrondis au dixième.

1. aDémontre que le triangle ADE est rectangle en D.
2. bMalik tape $\cos(4{,}8 \div 6{,}4)$ et obtient $0{,}9999$. Explique son erreur, puis calcule $\widehat{DAE}$.
3. cThéo écrit $\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC}$ et trouve un angle de plus de 130°. Explique pourquoi c'est impossible, puis calcule $\widehat{ACB}$.
4. dCalcule la longueur AC.
5. eVérifie ta réponse à la question sur $\widehat{ACB}$ en calculant cet angle à partir des seules longueurs AB et AC.

Ex. 29★★★Automatismes : l'autre angle aigu — Sans calculatrice. La figure montre un triangle RST rectangle en S avec $\widehat{SRT} = 42^\circ$. Arrondis au millième.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{RTS}$.
2. bComplète $\sin(\widehat{RTS}) = \frac{\dots}{RT}$ avec une longueur du triangle, puis compare avec $\cos(\widehat{SRT})$.
3. cSachant que $\cos(72^\circ) \approx 0{,}309$, donne une valeur approchée de $\sin(18^\circ)$.
4. dTrouve l'angle aigu $x$ tel que $\sin(x) = \cos(25^\circ)$.
5. eOn donne $\tan(50^\circ) \approx 1{,}192$. Donne une valeur approchée de $\tan(40^\circ)$.
6. fLina affirme : « Ce triangle rectangle a deux angles aigus de 35° et 65°. » Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 30★★★Automatismes : valeurs remarquables et pièges — Sans calculatrice. Le triangle EFG est rectangle et isocèle en F.

1. aQuelle est la mesure de l'angle $\widehat{FEG}$ ? Justifie.
2. bExplique pourquoi $\tan(\widehat{FEG}) = 1$.
3. cInès affirme que $\sin(60^\circ) = 0{,}5$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dTom pense que $\cos(60^\circ) = 2 \times \cos(30^\circ)$, car $60 = 2 \times 30$. On donne $\cos(30^\circ) \approx 0{,}866$. Calcule $2 \times \cos(30^\circ)$ et conclus.
5. eRange dans l'ordre croissant $\cos(20^\circ)$, $\cos(50^\circ)$ et $\cos(80^\circ)$. Justifie.

Ex. 31★★★Retrouver les valeurs de 30° et 60° — Le triangle ABC est équilatéral de côté 10 cm et [AH] est sa hauteur issue de A. Arrondis au dixième.

1. aJustifie que le triangle ABH est rectangle en H, puis donne BH et les mesures des angles $\widehat{ABH}$ et $\widehat{BAH}$.
2. bCalcule AH : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cDéduis-en $\cos(60^\circ)$ et $\sin(30^\circ)$ sous forme de fractions simplifiées.
4. dÉcris $\sin(60^\circ)$ et $\cos(30^\circ)$ avec les longueurs de la figure. Que remarques-tu ?

Ex. 32★★★Complément guidé : cos² + sin² = 1 — Complément (hors programme de 3e). Le triangle KLM est rectangle en L, avec $KL = 4{,}5$ cm et $KM = 5{,}3$ cm.

1. aCalcule LM avec le théorème de Pythagore.
2. bÉcris $\cos(\widehat{LKM})$ et $\sin(\widehat{LKM})$ en fractions d'entiers, puis vérifie que $\cos^2(\widehat{LKM}) + \sin^2(\widehat{LKM}) = 1$.
3. cDémontre que $\cos^2(\widehat{LKM}) + \sin^2(\widehat{LKM}) = 1$ quelles que soient les longueurs : écris ces carrés avec KL, LM et KM, puis utilise le théorème de Pythagore.
4. dCalcule $\tan(\widehat{LKM})$ de deux façons : avec $\frac{LM}{KL}$, puis avec $\frac{\sin(\widehat{LKM})}{\cos(\widehat{LKM})}$.

Ex. 33★★★L'échelle contre le mur — Une échelle [EV] de 4,8 m est posée contre un mur vertical [WV]. Le sol [EW] est horizontal et l'échelle fait un angle de 71° avec le sol. Par sécurité, cet angle doit être compris entre 65° et 75°. Arrondis les longueurs au centième et les angles au dixième.

1. aNoé affirme : « L'angle entre l'échelle et le mur mesure $180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. » Corrige son erreur et calcule $\widehat{EVW}$.
2. bCalcule EW avec le cosinus. Explique ensuite pourquoi $4{,}8 \times \sin(\widehat{EVW})$ donne le même résultat.
3. cOn rapproche le pied de l'échelle du mur : maintenant EW = 1,2 m. Léna affirme que l'angle avec le sol a augmenté, sans le calculer. Justifie avec le cosinus.
4. dCalcule le nouvel angle $\widehat{WEV}$. L'échelle est-elle encore bien placée ? Justifie.
5. eDans cette nouvelle position, calcule la hauteur WV atteinte par l'échelle sur le mur.

Ex. 34★★★Une hauteur, 45° et 30° : figure composée — Sur la figure, [KH] est la hauteur issue de K dans le triangle KLM. On a KH = 4 cm, $\widehat{KLH} = 45^\circ$ et $\widehat{KMH} = 30^\circ$. Arrondis au centième.

1. aSans calculatrice, démontre que LH = 4 cm.
2. bSacha écrit : « $\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $KM = 4 \div \frac{\sqrt{3}}{2}$ ». Corrige son erreur, puis calcule KM sans calculatrice.
3. cCalcule l'angle $\widehat{HKM}$, puis la longueur HM en utilisant $\tan(\widehat{HKM})$.
4. dYanis affirme : « $\widehat{HKM}$ est le double de $\widehat{HMK}$, donc $\tan(\widehat{HKM}) = 2 \times \tan(\widehat{HMK})$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Complément guidé : passer d'un quotient aux autres — Complément (hors programme de 3e). Le triangle UVW est rectangle en V. On ne connaît aucune longueur, seulement $\cos(\widehat{VUW}) = \frac{9}{41}$. On admet $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ (démontrée avec le théorème de Pythagore) et $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Arrondis les quotients au centième et les angles au dixième.

1. aPour calculer $\cos^2(\widehat{VUW})$, Mila met l'angle au carré, puis elle prend le cosinus. Explique son erreur, puis calcule $\cos^2(\widehat{VUW})$ sous forme de fraction.
2. bDéduis-en $\sin(\widehat{VUW})$. Léo trouve aussi $-\frac{40}{41}$ : pourquoi faut-il rejeter cette valeur ?
3. cCalcule $\tan(\widehat{VUW})$ sous forme de fraction, puis donne une valeur approchée.
4. dSans calculatrice, donne le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{UWV}$.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{VUW}$, puis celle de l'angle $\widehat{UWV}$.

Ex. 36★★★Automatismes : le schéma avant le calcul — Pour chaque situation sans figure, fais un schéma à main levée et code l'angle droit (mur vertical, sol horizontal). Calcule ensuite la longueur demandée. Arrondis au dixième.

1. aUne échelle de 4,8 m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de $16^\circ$ avec le mur. À quelle hauteur du sol arrive-t-elle sur le mur ?
2. bInès tient le fil tendu de son cerf-volant, long de 35 m. Le fil fait un angle de $48^\circ$ avec l'horizontale. De combien le cerf-volant est-il plus haut que sa main ?
3. cUn toboggan rectiligne de 3,6 m de long fait un angle de $34^\circ$ avec le sol horizontal. Quelle longueur occupe-t-il au sol ?
4. dUn avion décolle en ligne droite avec un angle de $14^\circ$ avec la piste. Il a survolé 1,8 km de sol, mesurés à l'horizontale. Quelle est alors son altitude, en mètres ?
5. eLa rampe [AT] d'un tremplin de ski nautique fait un angle de $22^\circ$ avec l'eau. Son sommet T est à 1,7 m au-dessus de l'eau. Quelle est la longueur AT de la rampe ?

Ex. 37★★★Automatismes : pente et angle — La pente d'une route ou d'une rampe est la tangente de l'angle qu'elle fait avec l'horizontale, écrite en pourcentage. Arrondis au dixième.

1. aUne route de montagne a une pente de 7 %. Quel angle fait-elle avec l'horizontale ?
2. bUne piste cyclable fait un angle de $3^\circ$ avec l'horizontale. Quelle est sa pente, en pourcentage ?
3. cLéo affirme : « Une pente de 15 %, c'est un angle de $15^\circ$ avec l'horizontale. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dLa rampe d'accès [PU] monte de 0,3 m pour une distance horizontale de 7,5 m. Elle est conforme si son angle avec l'horizontale est inférieur à $5^\circ$. Est-elle conforme ? Justifie.

Ex. 38★★★La hauteur du phare — Nadia se tient debout en O, à 45 m du pied P d'un phare vertical [PS]. Ses yeux E sont à 1,6 m du sol. Le point H est sur [PS], à la hauteur de ses yeux. Elle voit le sommet S sous un angle d'élévation $\widehat{SEH} = 31^\circ$. Arrondis au dixième de mètre.

1. aExplique pourquoi le triangle EHS est rectangle en H et pourquoi $EH = 45$ m.
2. bPour calculer HS, Tom a écrit $HS = \frac{45}{\tan(31^\circ)} \approx 74{,}9$ m. Explique pourquoi ce résultat n'est pas vraisemblable, puis calcule HS correctement.
3. cDéduis-en la hauteur PS du phare.
4. dNadia avance vers le phare jusqu'à voir le sommet S sous un angle d'élévation de $45^\circ$. À quelle distance du pied du phare est-elle alors ? Justifie sans calculer de tangente.

Ex. 39★★★Deux bateaux au pied de la falaise — Une falaise verticale [HF] mesure 80 m de haut. Deux bateaux A et B sont alignés avec son pied H, sur la mer horizontale. Depuis A, on voit le sommet F sous un angle d'élévation de $22^\circ$. Depuis B, on le voit sous un angle de $35^\circ$. N'arrondis qu'à la fin, au dixième de mètre.

1. aCalcule la distance HA.
2. bCalcule la distance HB.
3. cDéduis-en la distance AB entre les deux bateaux.
4. dLe bateau A est-il à moins de 0,2 km du pied de la falaise ? Justifie.

Ex. 40★★★La rampe de la médiathèque — Une rampe d'accès [AB] part du trottoir horizontal en A et monte jusqu'à l'entrée d'une médiathèque, en B. La rampe mesure 9,6 m de long et B est 0,45 m plus haut que le trottoir. C est le point du trottoir situé à la verticale de B. Le règlement de la commune impose une pente de 5 % au plus. Arrondis les longueurs au centième et les angles et pourcentages au dixième.

1. aFais un schéma à main levée et code l'angle droit. Explique pourquoi le triangle ABC est rectangle, puis calcule la distance horizontale AC.
2. bCalcule l'angle $\widehat{BAC}$ que fait la rampe avec le trottoir. Ce résultat est-il vraisemblable pour une rampe ? Justifie.
3. cCalcule la pente de la rampe en pourcentage. La rampe respecte-t-elle le règlement ? Justifie par un calcul.
4. dPour une autre entrée, 0,55 m plus haute que le trottoir, la commune veut une rampe de pente exactement 5 %. Calcule sa distance horizontale, puis la longueur de la rampe.

Ex. 41★★★Le téléphérique du Pic Blanc — Le câble d'un téléphérique est assimilé à un segment [DA] de 2,6 km. Il fait un angle de $18^\circ$ avec l'horizontale. La gare de départ D est à 1 350 m d'altitude. H est le point situé à la verticale de la gare d'arrivée A et à la même altitude que D. Arrondis les longueurs au mètre (au centième en km) et la pente au dixième de %.

1. aConvertis la longueur du câble en mètres, puis calcule le dénivelé AH en mètres.
2. bYanis ajoute la longueur du câble à l'altitude de D pour trouver l'altitude de A. Repère son erreur, puis calcule l'altitude de la gare A.
3. cUne carte indique la distance horizontale DH entre les deux gares. Calcule-la en km. Pourquoi n'est-elle pas égale à 2,6 km ?
4. dCalcule la pente moyenne du câble, en pourcentage.

Ex. 42★★★L'arbre vu des deux côtés — Un arbre vertical [TS] pousse sur un sol horizontal. Malo est allongé au sol en M, avec MT = 12 m, et voit le sommet S sous un angle de $35^\circ$ avec l'horizontale. De l'autre côté, Iris est debout en I, ses yeux E à 1,5 m du sol. H est le point de [TS] à la hauteur de ses yeux. Son appareil indique que [ES] fait un angle de $58^\circ$ avec la verticale. Arrondis au centième.

1. aCalcule la hauteur TS de l'arbre.
2. bIris affirme que l'angle d'élévation $\widehat{HES}$ mesure $58^\circ$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule la longueur SH, puis la distance EH.
4. dCalcule la distance MI entre Malo et Inès.

Ex. 43★★★Choisir le bon outil — Pour chaque situation, nomme l'outil à utiliser (Pythagore, sa réciproque, Thalès, cosinus, sinus ou tangente) et le triangle dans lequel tu l'appliques. Ne fais pas le calcul.

1. aLe triangle KLM est rectangle en L, avec $KL = 4$ cm et $LM = 9$ cm. On cherche la longueur KM.
2. bLe triangle PQR est rectangle en Q, avec $\widehat{QPR} = 41^\circ$ et $PR = 8{,}3$ cm. On cherche la longueur QR.
3. cLe triangle ABC a pour côtés $AB = 3{,}9$ cm, $BC = 8$ cm et $AC = 8{,}9$ cm. On veut savoir s'il est rectangle.
4. dDans le triangle EFG, H est sur [EF], I est sur [EG] et $(HI) \parallel (FG)$. On connaît EH, EF et FG, et on cherche HI.
5. eLe triangle STU est rectangle en T, avec $ST = 3{,}6$ cm et $TU = 5{,}1$ cm. On cherche la mesure de l'angle $\widehat{TSU}$.

Ex. 44★★★L'angle droit est-il prouvé ? — Pour utiliser cos, sin ou tan, il faut un triangle rectangle. Réponds à chaque question et justifie ta réponse.

1. aLe triangle UVW a pour côtés $UV = 4{,}5$ cm, $VW = 6$ cm et $UW = 7{,}5$ cm. Peut-on écrire $\cos(\widehat{VUW}) = \frac{UV}{UW}$ ? Justifie par un calcul.
2. bLe triangle HJK a pour côtés $HJ = 6$ cm, $JK = 9$ cm et $HK = 11$ cm. Noé écrit $\sin(\widehat{JHK}) = \frac{JK}{HK}$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cSur la figure, le triangle ABC est rectangle en B, M est sur [AB], N est sur [AC] et $(MN) \parallel (BC)$. Le triangle AMN est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?
4. dLe triangle EFG est rectangle en E, S est sur [EF], T est sur [EG] et $(ST) \parallel (FG)$. Le triangle EST est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?

Ex. 45★★★Pythagore puis tangente : garder la valeur exacte — Sur la figure, le triangle RST est rectangle en S et le triangle RTU est rectangle en T. On donne $RS = 3$ cm, $ST = 7$ cm et $TU = 4$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte de RT, puis sa valeur approchée. Nomme le théorème et le triangle.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{TRU}$ en utilisant la valeur exacte de RT.
3. cZoé a arrondi RT au dixième avant de calculer $\widehat{TRU}$. Quelle mesure trouve-t-elle ? Explique pourquoi son résultat est faux.

Ex. 46★★★Thalès puis trigonométrie — Sur la figure, le triangle VWX est rectangle en W. Le point T est sur [VW], le point Y est sur [VX] et $(TY) \parallel (WX)$. On donne $VW = 7{,}5$ cm, $VT = 3$ cm et $WX = 5$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la longueur TY. Nomme le théorème utilisé.
2. bDémontre que le triangle VTY est rectangle en T.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{VYT}$, puis écris une phrase de conclusion.

Ex. 47★★★Réciproque, angle puis hauteur — Le triangle EFG a pour côtés $EF = 4{,}2$ cm, $FG = 4$ cm et $EG = 5{,}8$ cm. H est le pied de la hauteur issue de F : $(FH) \perp (EG)$. Arrondis les angles au dixième et les longueurs au centième.

1. aDémontre que le triangle EFG est rectangle. Précise en quel sommet.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{FEG}$. Nomme le triangle utilisé.
3. cDans quel triangle rectangle peux-tu utiliser l'angle $\widehat{FEG}$ pour calculer FH ? Calcule FH.
4. dTom a arrondi l'angle $\widehat{FEG}$ au degré, puis il a calculé FH et trouvé $FH \approx 2{,}92$ cm. Explique son erreur.

Ex. 48★★★Le toboggan d'Annecy — À Annecy, la mairie installe un toboggan. La plateforme [SO] est verticale et mesure $2{,}8$ m. La glissière [SL] mesure $5{,}3$ m. L'échelle [AS] fait avec le sol horizontal un angle $\widehat{SAO} = 75^\circ$ ; A, O et L sont alignés sur le sol. Arrondis les longueurs au centimètre, les angles au degré et la pente au dixième.

1. aCalcule la longueur OL. Nomme le théorème et le triangle utilisés.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{SLO}$ que fait la glissière avec le sol.
3. cInès affirme : « La pente de la glissière en pourcentage est égale à la mesure de son angle avec le sol en degrés. » A-t-elle raison ? Calcule la pente.
4. dCalcule la longueur AS de l'échelle.
5. eL'espace prévu au sol, de A à L, mesure $5{,}5$ m. Le toboggan y tient-il ? Justifie par un calcul.

Ex. 49★★★Papillon : Thalès, Pythagore puis tangente — Les droites (AD) et (BE) se coupent en C. Le triangle ABC est rectangle en B et $(AB) \parallel (DE)$. On donne $AB = 1{,}8$ cm, $BC = 4$ cm et $CE = 6$ cm. Arrondis les longueurs au centième et les angles au dixième.

1. aDémontre que le triangle CDE est rectangle en E.
2. bCalcule la longueur DE. Nomme le théorème utilisé.
3. cCalcule la longueur CD. Nomme le théorème et le triangle utilisés.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{CDE}$.
5. eDéduis-en la mesure de l'angle $\widehat{DCE}$ sans utiliser la calculatrice. Justifie.