Quatrième / Triangles égaux : les cas d'égalité

Ex. 1★★★Troisième angle et triangles particuliers — Calcule les angles demandés. Justifie en une phrase.

1. aDans le triangle RST, $\widehat{SRT} = 38^\circ$ et $\widehat{RST} = 57^\circ$. Tom écrit : $\widehat{RTS} = 180 - 38 + 57$. Corrige son calcul et donne $\widehat{RTS}$.
2. bDans le triangle MNP, $\widehat{NMP} = 47{,}5^\circ$ et $\widehat{MPN} = 68{,}5^\circ$. Calcule $\widehat{MNP}$.
3. cUVW est isocèle en U et $\widehat{VUW} = 52^\circ$. Calcule $\widehat{UVW}$.
4. dDEF est isocèle en E et $\widehat{EDF} = 35^\circ$. Calcule $\widehat{EFD}$ puis $\widehat{DEF}$.
5. eLes trois côtés du triangle GHK ont la même longueur. Donne $\widehat{GKH}$.

Ex. 2★★★Triangle constructible ou non ? — Dis si on peut construire un triangle avec ces trois longueurs. Justifie en comparant le plus grand côté à la somme des deux autres.

1. a11 cm, 5 cm et 4 cm.
2. b8 cm, 5 cm et 3 cm.
3. c5,4 cm, 3,7 cm et 7,1 cm.
4. dZoé a dessiné à main levée un triangle KLM avec KL = 10 cm, LM = 4,5 cm et KM = 5 cm. Peut-on vraiment le construire ? Justifie.

Ex. 3★★★Les données sont-elles bien placées ? — Dis si les données permettent de construire un seul triangle (à un retournement près). Justifie en repérant le sommet de chaque angle.

1. aTriangle ABC : AB = 6 cm, BC = 4,5 cm et $\widehat{ABC} = 48^\circ$.
2. bTriangle DEF : DE = 5 cm, DF = 3,5 cm et $\widehat{DEF} = 40^\circ$.
3. cTriangle GHJ : GH = 7 cm, $\widehat{HGJ} = 35^\circ$ et $\widehat{GHJ} = 62^\circ$.
4. dTriangle XYZ : $\widehat{X} = 50^\circ$, $\widehat{Y} = 60^\circ$ et $\widehat{Z} = 70^\circ$.

Ex. 4★★★Symétrique d'une pièce de puzzle — Lina découpe une pièce de puzzle triangulaire ABC : AB = 3 cm, BC = 4,5 cm, AC = 3,5 cm et $\widehat{ABC} = 51^\circ$. A'B'C' est son symétrique par rapport à la droite tracée.

1. aSans mesurer, donne A'B', B'C', A'C' et $\widehat{A'B'C'}$. Justifie.
2. bCalcule le périmètre du triangle A'B'C'.
3. cLina dit : « Pour superposer ABC et A'B'C', il suffit de faire glisser le calque. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Plan de charpente : des angles en chaîne — Sur le plan d'une charpente, la ferme ABC est isocèle en A avec $\widehat{BAC} = 112^\circ$. Une jambe de force [AD] relie A à un point D de [BC], avec DA = DC.

1. aYanis écrit : « $\widehat{ABC} = 180 − 112 ÷ 2 = 124^\circ$ ». Trouve son erreur, puis calcule $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$. Justifie.
2. bCalcule $\widehat{DAC}$, puis $\widehat{ADC}$. Justifie chaque étape.
3. cCalcule $\widehat{BAD}$, puis $\widehat{ADB}$ dans le triangle ABD. Justifie.
4. dVrai ou faux : « Le triangle ABD est isocèle. » Justifie.

Ex. 6★★★Les voiles d'Inès — Inès dessine des voiles triangulaires RST sur un plan (en cm) pour une voilerie. La voilerie ne découpe une voile que si les données donnent un seul triangle (à un retournement près).

1. aProposition 1 : RS = $7{,}5$ cm, ST = $3{,}2$ cm et RT = $4{,}3$ cm. La voilerie peut-elle découper cette voile ? Justifie.
2. bInès écrit : « RT = 6 cm, ST = 5 cm et $\widehat{TRS} = 55^\circ$ : l'angle est compris entre les deux côtés. » Corrige son erreur et dis quel angle elle aurait dû donner.
3. cInès veut une voile équilatérale. Elle envoie : RS = ST = 5 cm et $\widehat{RST} = 60^\circ$. Calcule $\widehat{SRT}$ et $\widehat{STR}$, puis déduis-en RT.
4. dProposition 4 : ST = 6 cm, $\widehat{RST} = 48^\circ$ et $\widehat{SRT} = 62^\circ$. Calcule $\widehat{RTS}$, puis explique pourquoi on obtient une seule voile.
   
5. eProposition 5 : ST = 6 cm, $\widehat{RST} = 95^\circ$ et $\widehat{RTS} = 90^\circ$. La voilerie peut-elle découper cette voile ? Justifie.

Ex. 7★★★Le cerf-volant de Noé — Noé trace le triangle ABC avec AB = 6 cm, BC = 3 cm, $\widehat{BAC} = 25^\circ$ et $\widehat{ACB} = 58^\circ$. Il place D, le symétrique de B par rapport à la droite (AC). Il obtient le cerf-volant ABCD.

1. aCalcule $\widehat{ABC}$. Justifie.
2. bSans rien mesurer, calcule le périmètre du cerf-volant ABCD. Justifie.
3. cDonne $\widehat{ADC}$, puis calcule $\widehat{BAD}$. Justifie.
4. dExplique pourquoi le triangle ABD est isocèle, puis calcule $\widehat{ABD}$.
5. eCalcule $\widehat{BCD}$, puis $\widehat{CBD}$ dans le triangle BCD. Vérifie ton résultat avec $\widehat{ABC}$.

Ex. 8★★★Automatismes — Compléter des égalités dans le bon ordre — Les triangles KLM et RTS sont égaux. On donne KL = 5,4 cm, LM = 7 cm et $\widehat{KML} = 48^\circ$.

1. aÉcris les trois correspondances de sommets.
2. bQuel côté du triangle RTS mesure 5,4 cm ?
3. cQuel côté du triangle KLM est l'homologue de [RS] ?
4. dQuel angle du triangle RTS mesure 48° ? Écris-le avec trois lettres.
5. eComplète : $\widehat{LKM} = \widehat{\ldots}$ et $\widehat{KLM} = \widehat{\ldots}$

Ex. 9★★★Automatismes — Trouver les homologues d'un triangle retourné — Les triangles NPQ et HIJ sont égaux. On donne NP = 4 cm, PQ = 6,5 cm et NQ = 5 cm. Les codages indiquent les côtés de même longueur.

1. aQuel sommet de HIJ est l'homologue de N ? Justifie à l'aide des deux côtés qui partent de N.
2. bQuel sommet de HIJ est l'homologue de P ? Justifie de la même façon.
3. cComplète en respectant l'ordre des homologues : « les triangles NPQ et … sont égaux ».
4. dQuel côté de HIJ est l'homologue de [PQ] ? Quel angle de HIJ fait face à ce côté ?

Ex. 10★★★Les pièces du puzzle de Malo — Deux pièces d'un puzzle, les triangles BOR et ACE, sont égales. BOR est rectangle en O, avec BO = 4,8 cm, OR = 3,6 cm et BR = 6 cm ; on a mesuré $\widehat{OBR} \approx 37^\circ$. Les codages indiquent les côtés de même longueur.

1. aMalo écrit : « BOR et ACE sont égaux, donc BO = AC. » Explique son erreur, puis écris les deux triangles dans l'ordre des homologues.
2. bCalcule le périmètre et l'aire de la pièce BOR. Déduis-en ceux de la pièce ACE, sans rien mesurer.
3. cQuel angle de la pièce ACE est l'homologue de $\widehat{ORB}$ ? Calcule sa mesure.

Ex. 11★★★Les voiles de Lou : même aire, triangles égaux ? — La voile FHT est rectangle en H, avec FH = 6 cm et HT = 2 cm. La voile MZS est rectangle en Z, avec MZ = 4 cm et ZS = 3 cm.

1. aCalcule l'aire de chaque voile.
2. bLou affirme : « Les deux voiles ont la même aire, donc les triangles FHT et MZS sont égaux. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cTrouve deux triangles non égaux qui ont le même périmètre de 12 cm, avec des côtés entiers. Vérifie qu'on peut les construire.

Ex. 12★★★Le cerf-volant de Yanis — La voile du cerf-volant de Yanis a pour sommets V, E, N et L. La baguette [VN] la partage en deux triangles. On donne VE = VL = 3,25 cm et NE = NL = 9,25 cm. On a mesuré $\widehat{EVN} = 67^\circ$ et $\widehat{ENV} = 19^\circ$.

1. aDémontre que les deux triangles de la voile sont égaux. Trouve l'homologue de E avec les deux côtés qui en partent, puis écris les triangles dans l'ordre des homologues.
2. bLéna écrit : « Les triangles VEN et NLV sont égaux, donc VE = NL. » Explique son erreur, puis corrige sa phrase.
3. cSans rien mesurer, donne $\widehat{LVN}$ et $\widehat{LNV}$, puis calcule $\widehat{VLN}$.
4. dCalcule l'angle $\widehat{EVL}$ au sommet du cerf-volant, puis le périmètre de la voile VENL.

Ex. 13★★★Les équerres de menuisier de Sacha — Sacha, menuisier, compare deux équerres. L'équerre EFG est rectangle en F, avec EF = 6 cm et $\widehat{FEG} = 35^\circ$. On a mesuré FG = 4,2 cm et EG = 7,3 cm. L'équerre RST est rectangle en T, avec ST = 6 cm et $\widehat{TRS} = 55^\circ$.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{TSR}$.
2. bDémontre que les deux équerres sont égales. Écris-les dans l'ordre des homologues.
3. cSans mesurer, donne RT, RS et $\widehat{EGF}$. Pour chaque égalité, nomme l'élément homologue que tu utilises.
4. dCalcule le périmètre et l'aire de l'équerre RST.
5. eNoé a découpé un triangle UVW de côtés 5 cm, 5,5 cm et 7 cm. Il affirme : « UVW a le même périmètre que RST, donc il est égal à RST. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 14★★★Les barres croisées du pont de Maëlys — Sur le garde-corps d'un pont, Maëlys observe deux barres [FC] et [HB] qui se croisent en O. On donne OF = OC = 4,5 cm et OH = OB = 6 cm. On a mesuré $\widehat{FOH} = 65^\circ$ et $\widehat{OFH} = 70^\circ$.

1. aDémontre que les triangles OFH et OCB sont égaux. Précise les sommets homologues.
2. bParmi « FHO et BCO », « FHO et CBO » et « HFO et CBO », quelle écriture des triangles égaux est correcte ? Justifie, puis donne l'angle égal à $\widehat{OBC}$.
3. cCalcule $\widehat{OHF}$, puis donne les trois angles du triangle OCB.
4. dDémontre que les droites (FH) et (BC) sont parallèles.
5. eSans mesurer, compare FH et BC. Justifie à l'aide des angles auxquels ces côtés font face.

Ex. 15★★★Ranger les longueurs pour comparer — Pour chaque paire, range les longueurs de chaque triangle de la plus petite à la plus grande. Les triangles sont-ils égaux ? Justifie.

1. aABC : AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 7 cm ; DEF : DE = 7 cm, EF = 4 cm, DF = 6 cm.
2. bGHI : GH = 5,2 cm, HI = 7,6 cm, GI = 8 cm ; JKL : JK = 8 cm, KL = 5,2 cm, JL = 7,06 cm.
3. cMNP : MN = 45 mm, NP = 3,8 cm, MP = 6 cm ; RST : RS = 3,8 cm, ST = 60 mm, RT = 4,5 cm.
4. dUVW : UV = 9,5 cm, VW = 7 cm, UW = 5 cm ; XYZ : XY = 5 cm, YZ = 9,5 cm, XZ = 7,5 cm.

Ex. 16★★★Des codages aux sommets homologues — Sur la figure, les côtés qui portent le même codage ont la même longueur.

1. aTraduis les codages par trois égalités de longueurs.
2. bExplique pourquoi les deux triangles de la figure sont égaux, en citant le cas d'égalité.
3. cRetrouve le sommet homologue de K, celui de L et celui de M.
4. dRecopie et complète dans l'ordre des homologues : « Les triangles KLM et … sont égaux. »
5. eComplète : $\widehat{LKM} = \widehat{\dots}$ et $\widehat{KLM} = \widehat{\dots}$.

Ex. 17★★★Le cerf-volant de Lina — Lina fabrique un cerf-volant ABCD avec une baguette [AC] de 70 cm. Elle mesure AB = 30 cm, AD = 300 mm, CB = 50 cm et CD = 500 mm.

1. aConvertis AD et CD en cm.
2. bDémontre que les triangles ABC et ADC sont égaux.
3. cDéduis-en que la baguette [AC] partage l'angle $\widehat{BAD}$ en deux angles égaux.

Ex. 18★★★L'erreur de Noé — Noé étudie les triangles EFG et PQR : EF = 3,5 cm, FG = 6,5 cm, EG = 4,8 cm, PQ = 4,8 cm, QR = 6,5 cm et PR = 3,5 cm. Il écrit : « D'après le premier cas, les triangles EFG et PQR sont égaux, donc EF = PQ et $\widehat{EFG} = \widehat{PQR}$. »

1. aLes triangles EFG et PQR sont-ils égaux ? Justifie.
2. bRetrouve les sommets homologues, puis écris les deux triangles dans le bon ordre.
3. cNoé a-t-il raison d'écrire EF = PQ et $\widehat{EFG} = \widehat{PQR}$ ? Justifie, puis corrige.
4. dLina trace un triangle XYZ avec XY = 48 mm, YZ = 6,05 cm et XZ = 3,5 cm. Les triangles EFG et XYZ sont-ils égaux ? Justifie.

Ex. 19★★★La ferme de charpente de Yanis — Yanis assemble une ferme de charpente : l'entrait [AB], les arbalétriers [SA] et [SB], et le poinçon [SH], où H est un point de [AB]. Il mesure SA = 240 cm, SB = 2,4 m, AH = 180 cm, HB = 1,8 m et $\widehat{SAH} = 41^\circ$.

1. aConvertis SB et HB en cm.
2. bDémontre que les triangles SAH et SBH sont égaux, en précisant les sommets homologues.
3. cDéduis-en que $\widehat{SHA} = \widehat{SHB}$, puis démontre que le poinçon (SH) est perpendiculaire à l'entrait
   (AB).
4. dCalcule $\widehat{ASH}$, puis $\widehat{ASB}$. Justifie chaque étape.

Ex. 20★★★Les pièces de puzzle d'Inès — Inès assemble deux pièces de puzzle triangulaires RST et TUR le long de leur bord [RT]. Elle mesure RS = TU = 6,4 cm, ST = UR = 4,5 cm, RT = 7 cm, $\widehat{SRT} = 39^\circ$ et $\widehat{RTS} = 63^\circ$.

1. aDémontre que les triangles RST et TUR sont égaux, en précisant les sommets homologues.
2. bDéduis-en une égalité d'angles, puis démontre que les droites (RS) et (TU) sont parallèles.
3. cCalcule $\widehat{RST}$, puis donne les trois angles du triangle TUR. Justifie.
4. dMalo découpe une pièce XYZ avec XY = 6,04 cm, YZ = 4,5 cm et XZ = 70 mm. Il affirme qu'elle est superposable à la pièce RST. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Les gabarits de menuisier de Zoé — Zoé taille deux gabarits de menuisier. BDF : BD = 5 cm, DF = 8 cm, BF = 6 cm, $\widehat{DBF} = 93^\circ$ et $\widehat{BDF} = 49^\circ$. NQP : QP = 6 cm, NP = 5 cm et NQ = 8 cm. Le second gabarit a été retourné.

1. aPour chaque sommet de BDF, écris les deux longueurs qui en partent, puis trouve son sommet homologue dans NQP.
2. bDémontre que les deux triangles sont égaux, en écrivant le second dans l'ordre des homologues.
3. cZoé pense : « Deux gabarits de même périmètre sont superposables. » Un gabarit HIJ a pour côtés 4 cm, 7 cm et 8 cm. Montre qu'elle a tort.
4. dCalcule $\widehat{BFD}$, puis donne les trois angles du triangle NQP. Justifie.

Ex. 22★★★Repérer l'angle compris — Le sommet d'un angle est la lettre du milieu. Réponds à chaque question.

1. aDans le triangle RTS, quel angle est compris entre les côtés [TR] et [TS] ?
2. bDans le triangle KLM, l'angle $\widehat{KML}$ est compris entre quels côtés ?
3. cDans le triangle PQU, on connaît PQ, QU et $\widehat{QPU}$. Cet angle est-il compris entre [PQ] et [QU] ? Justifie.
4. dÉcris l'angle de sommet N du triangle NVB avec trois lettres.
5. eDans le triangle EFG de la figure, quel angle est compris entre [FE] et [FG] ? Donne sa mesure.

Ex. 23★★★Le deuxième cas s'applique-t-il ? — Regarde où se trouve le sommet de l'angle avant de conclure.

1. aGHI : GH = 7 cm, HI = 5 cm, $\widehat{HGI} = 35^\circ$. JKL : JK = 7 cm, KL = 5 cm, $\widehat{KJL} = 35^\circ$. Le deuxième cas prouve-t-il que ces triangles sont égaux ? Justifie.
2. bABC et DEF : AB = DE = 4,5 cm et BC = EF = 7,2 cm. Quelle égalité d'angles faut-il ajouter pour appliquer le deuxième cas ?
3. cSur la figure : MN = TU = 3 cm, NP = TS = 4 cm, et les angles en N et en T sont droits. Les triangles sont-ils égaux ? Justifie.
4. dOPQ : OP = 5,6 cm, PQ = 3 cm, $\widehat{OPQ} = 110^\circ$, $\widehat{OQP} = 47^\circ$. BCZ : CB = 3 cm, CZ = 5,6 cm, $\widehat{BCZ} = 110^\circ$. Les triangles sont-ils égaux ? Déduis-en $\widehat{CBZ}$.

Ex. 24★★★Symétrie et angles opposés par le sommet — Sur la figure, A' est le symétrique de A par rapport à O. Le point D est sur la droite (BO), de l'autre côté de O, et OD = OB. On sait que AB = 3,5 cm.

1. aComplète : « Dans les triangles OAB et OA'D : • OA = … (…) ; • OB = … (…) ; • $\widehat{AOB} = …$ (…). D'après le … cas d'égalité, les triangles … sont égaux. »
2. bÉcris la correspondance des sommets homologues, puis déduis-en la longueur A'D sans mesurer.
3. cMila affirme : « Les angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OA'D}$ ne sont pas forcément égaux. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 25★★★Le cerf-volant d'Inès — Inès dessine le plan d'un cerf-volant ABCD. On a AB = AD = 3 cm, AC = 7 cm et $\widehat{BAC} = \widehat{DAC} = 40^\circ$.

1. aDémontre que les triangles ABC et ADC sont égaux.
2. bExplique pourquoi CB = CD et $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$, sans rien mesurer. Calcule aussi $\widehat{BAD}$.
3. cPour un autre cerf-volant EFGH, Hugo sait que EF = EH, que [EG] est un côté commun et que $\widehat{EGF} = \widehat{EGH} = 25^\circ$. Il dit : « D'après le deuxième cas, EFG et EHG sont égaux. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 26★★★Le pylône du pont à haubans — Sur le schéma d'un pont à haubans, le pylône [PI] est perpendiculaire au tablier [AB] et I est le milieu de [AB]. Les haubans [PA] et [PB] partent du sommet P. On sait que $\widehat{PAI} = 38^\circ$.

1. aDémontre que le triangle PAI est égal à un autre triangle de la figure. Écris ce triangle dans l'ordre des sommets homologues.
2. bDéduis-en que PA = PB. Quelle propriété de la médiatrice de [AB] viens-tu de retrouver ?
3. cCalcule $\widehat{PBI}$, puis $\widehat{APB}$, sans mesurer.
4. dMalo écrit : « PI est commun, PA = PB et $\widehat{PAI} = \widehat{PBI}$, donc d'après le deuxième cas, PAI et PBI sont égaux. » Explique son erreur.

Ex. 27★★★Le renfort de l'étagère — Sur le plan d'un montant d'étagère, ABCD est un quadrilatère avec (AB) // (CD) et AB = CD = 6 cm. La diagonale [BD] est une barre de renfort. On sait aussi que BC = 5 cm.

1. aExplique pourquoi $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$.
2. bDémontre que les triangles ABD et CDB sont égaux. Donne la correspondance des sommets.
3. cLina écrit : « Les triangles ABD et CBD sont égaux, donc AD = CD = 6 cm. » Trouve ses deux erreurs.
4. dCalcule AD sans mesurer, puis le périmètre de ABCD.
5. eDémontre que (AD) // (BC).

Ex. 28★★★Les pièces du puzzle de Nora — Nora découpe des pièces de puzzle triangulaires. Le modèle KLM est rectangle en L, avec KL = 3 cm et LM = 4,5 cm. La pièce RTS est rectangle en T, avec TS = 3 cm et TR = 4,5 cm.

1. aDémontre que la pièce RTS est égale au modèle KLM. Écris les deux triangles dans l'ordre des homologues.
2. bBen a mesuré KM ≈ 5,4 cm. Déduis-en RS sans mesurer, puis le périmètre de la pièce RTS.
3. cLa pièce UVW a UV = 3 cm, VW = 4,5 cm et $\widehat{VUW} = 90^\circ$. Zoé dit : « D'après le deuxième cas, UVW est égal à KLM. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLa pièce XYZ est rectangle en Y, avec XY = 1,5 cm et YZ = 9 cm. Montre qu'elle a la même aire que KLM. Est-elle égale à KLM ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : vrai ou faux sur le troisième cas — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. aSur la figure, les deux angles marqués sont les angles adjacents au côté [JN].
2. bDeux triangles qui ont chacun des angles de 45°, 55° et 80° sont forcément égaux.
3. cLes triangles EFG et CUX ont $EF = CU = 5{,}2$ cm, $\widehat{FEG} = \widehat{UCX} = 47^\circ$ et $\widehat{EFG} = \widehat{CUX} = 105^\circ$ : ils sont égaux.
4. dLes triangles MSW et HYK ont $SW = KY = 3{,}6$ cm, $\widehat{MSW} = \widehat{HYK} = 42^\circ$ et $\widehat{MWS} = \widehat{HKY} = 76^\circ$. Ils sont égaux avec S ↔ K et W ↔ Y.

Ex. 30★★★Automatismes : d'abord le troisième angle — Dans chaque cas, calcule d'abord le ou les angles manquants avec la somme des angles. Dis ensuite si les deux triangles sont égaux d'après le troisième cas, et justifie.

1. aJKL : $JK = 6$ cm, $\widehat{KJL} = 50^\circ$, $\widehat{JLK} = 70^\circ$. PRS : $PR = 6$ cm, $\widehat{RPS} = 50^\circ$, $\widehat{PRS} = 60^\circ$.
2. bZoé : « 97° n'apparaît pas dans EFH, donc TUV et EFH ne sont pas égaux. » TUV : $UV = 4{,}5$ cm, $\widehat{TUV} = 38^\circ$, $\widehat{UTV} = 97^\circ$ ; EFH : $FH = 4{,}5$ cm, $\widehat{EFH} = 38^\circ$, $\widehat{EHF} = 45^\circ$.
3. cCDN : $CD = 8{,}4$ cm, $\widehat{DCN} = 64^\circ$, $\widehat{CND} = 58^\circ$. QWY : $QW = 8{,}4$ cm, $\widehat{WQY} = 64^\circ$, $\widehat{QYW} = 64^\circ$.

Ex. 31★★★Le cerf-volant de Lina — Lina fabrique un cerf-volant. La baguette [HB] est un côté commun aux triangles HGB et HDB. On a $\widehat{GHB} = \widehat{DHB} = 38^\circ$ et $\widehat{GBH} = \widehat{DBH} = 28^\circ$ (sur la figure, les angles sans mesure ont un arc seul).

1. aDémontre que les triangles HGB et HDB sont égaux.
2. bLe bord [HG] mesure 32 cm. Déduis-en la longueur HD, et justifie.
3. cLina affirme : « Comme les triangles sont égaux, GB = HD. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dCalcule $\widehat{HDB}$.

Ex. 32★★★La croix de l'étagère — Sur le côté d'une étagère, deux barres [EL] et [FK] se croisent en I. Les tablettes (EF) et (KL) sont parallèles, et I est le milieu de [EL].

1. aÉcris les trois égalités qui prouvent que les triangles IEF et ILK sont égaux, chacune avec sa justification.
2. bQuel cas d'égalité utilises-tu ? Vérifie que les angles sont bien placés, puis conclus.
3. cLa tablette du haut a une largeur $EF = 62{,}5$ cm. Déduis-en KL, et justifie.
4. dNoé écrit : « Les triangles IEF et IKL sont égaux. » Corrige son erreur.

Ex. 33★★★Le pylône du pont à haubans — Sur le plan d'un pont à haubans, le pylône [PH] est perpendiculaire au tablier (AB), et H est sur [AB]. Les haubans [PA] et [PB] partent du sommet P. On donne $\widehat{PAH} = 58^\circ$, $\widehat{BPH} = 32^\circ$, HB = 45 m et PB = 85 m.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{APH}$. Justifie.
2. bDémontre que les triangles PHA et PHB sont égaux. Écris la correspondance de leurs sommets.
3. cDéduis-en les longueurs HA et PA. Justifie avec les côtés homologues.
4. dDémontre que la droite (PH) est la médiatrice du segment [AB].

Ex. 34★★★La pièce de puzzle de Sacha — Sacha découpe une pièce de puzzle ABCD le long de la diagonale [AC]. On a $\widehat{BAC} = \widehat{DCA} = 25^\circ$, $\widehat{BCA} = \widehat{DAC} = 35^\circ$, AB = 6 cm et BC = 4,4 cm.

1. aDémontre que les triangles ABC et CDA sont égaux. Écris la correspondance de leurs sommets.
2. bHugo écrit : « Les triangles ABC et ACD sont égaux, donc BC = CD = 4,4 cm. » Trouve ses deux erreurs, puis donne les bonnes longueurs CD et DA.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, puis déduis-en celle de $\widehat{CDA}$ sans la mesurer.
4. dDémontre que ABCD est un parallélogramme, puis calcule son périmètre.

Ex. 35★★★La ferme de charpente de Rayan — Sur le plan d'une ferme de charpente, Rayan dessine un triangle ABC isocèle en A avec $\widehat{ABC} = 65^\circ$. M est sur [AB], N sur [AC], et les angles marqués sont égaux : $\widehat{NBC} = \widehat{MCB} = 30^\circ$. On donne AB = 7,1 m et BM = 3 m.

1. aCalcule les mesures des angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BAC}$. Justifie.
2. bInès écrit : « BMC et CNB ont leurs trois angles égaux deux à deux, donc ils sont égaux. » Vérifie que leurs angles sont égaux, puis explique pourquoi sa justification ne convient pas.
3. cDémontre correctement que les triangles BCM et CBN sont égaux. Écris la correspondance de leurs sommets.
4. dDéduis-en CN, puis AN et AM. Quelle est la nature du triangle AMN ?
5. eVrai ou faux : « BN = CM ». Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : suffit ou ne suffit pas ? — Pour chaque série de données, recopie-la dans un tableau à deux colonnes : « suffit (cas cité) » ou « ne suffit pas ». Si les données suffisent, écris les triangles égaux dans l'ordre des sommets homologues.

1. aLes triangles GHI et RST sont codés sur la figure.
2. bTriangles KLM et UVW : KL = VW = $4{,}5$ cm, LM = UW = $7$ cm et KM = UV = $5{,}2$ cm.
3. cDeux triangles ABC et DEF ont $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 48^\circ$, $\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 67^\circ$ et $\widehat{ACB} = \widehat{DFE} = 65^\circ$.
4. dTriangles PQR et XYZ : PQ = XY = $6$ cm, $\widehat{QPR} = \widehat{YXZ} = 52^\circ$ et $\widehat{PRQ} = \widehat{XZY} = 73^\circ$.
5. eTriangles EFG et JKN : EF = JK = $5$ cm, $\widehat{FEG} = \widehat{KJN} = 45^\circ$, $\widehat{EGF} = 80^\circ$ et $\widehat{JKN} = 80^\circ$.

Ex. 37★★★Automatismes : même aire, mais égaux ? — ABC est un triangle rectangle en B avec AB = $6$ cm et BC = $2$ cm. DEF est un triangle rectangle en E avec DE = $4$ cm, EF = $3$ cm et DF = $5$ cm.

1. aCalcule l'aire du triangle ABC.
2. bCalcule l'aire du triangle DEF.
3. cLes triangles ABC et DEF sont-ils égaux ? Justifie avec une longueur.
4. dComplète par « pas égaux » ou par « pas forcément égaux » : deux triangles qui ont la même aire sont …
5. eComplète par « pas égaux » ou par « pas forcément égaux » : deux triangles de périmètres $14$ cm et $15$ cm sont …

Ex. 38★★★La pièce de puzzle d'Inès — Inès veut découper une pièce de puzzle triangulaire ABC avec AB = $7$ cm, $\widehat{BAC} = 40^\circ$ et BC = $5$ cm. Elle trace l'angle de $40^\circ$ en A, puis le cercle de centre B et de rayon $5$ cm. Ce cercle coupe l'autre côté de l'angle en deux points C et D.

1. aExplique pourquoi les triangles ABC et ABD respectent tous les deux les trois données d'Inès.
2. bConstruis la figure en vraie grandeur, puis mesure AC et AD. Les triangles ABC et ABD sont-ils égaux ? Justifie.
3. cInès dit : « Deux côtés et un angle sont égaux, c'est le deuxième cas, donc ma pièce est unique. » Explique son erreur. Ensuite, propose une donnée qui remplace BC = $5$ cm et qui rend la pièce unique.

Ex. 39★★★Les équerres de menuisier de Tom — Tom compare deux équerres de menuisier triangulaires. NPQ est rectangle en P avec NP = $3$ cm, PQ = $4$ cm et NQ = $5$ cm. BCD est rectangle en C avec BC = $6$ cm, CD = $8$ cm et BD = $10$ cm. Ben lui indique que $\widehat{PNQ} = \widehat{CBD}$ et que $\widehat{PQN} = \widehat{CDB}$.

1. aTom écrit : « Les trois angles sont égaux deux à deux, donc d'après le cas “trois angles”, NPQ et BCD sont égaux. » Explique son erreur.
2. bLes triangles NPQ et BCD sont-ils égaux ? Justifie avec une longueur.
3. cCalcule le périmètre du triangle NPQ.
4. dDonne les trois longueurs d'un triangle qui a le même périmètre que NPQ sans être égal à NPQ. Vérifie qu'on peut le construire.

Ex. 40★★★Le plan de toit de Maëlle — Maëlle dessine deux pans de toit triangulaires. ABC : BC = $6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ et $\widehat{ACB} = 70^\circ$. DEF : EF = $6$ cm, $\widehat{DEF} = 50^\circ$ et $\widehat{EDF} = 70^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DFE}$.
2. bMaëlle écrit : « Un côté de $6$ cm et deux angles de $50^\circ$ et $70^\circ$, donc d'après le troisième cas, les triangles sont égaux. » Explique son erreur.
3. cSi ABC et DEF étaient égaux, quels sommets seraient homologues ? Quel côté de DEF serait alors homologue à [BC] ?
4. dConstruis DEF en vraie grandeur et mesure DE. Les triangles ABC et DEF sont-ils égaux ? Justifie.
5. eGHI est un troisième pan : HI = $6$ cm, $\widehat{GHI} = 50^\circ$ et $\widehat{HGI} = 60^\circ$. Démontre que ABC et GHI sont égaux, puis cite le côté de GHI de même longueur que [AC].

Ex. 41★★★Les voiles de Yanis — Yanis compare deux voiles triangulaires. KLM est rectangle en L, avec KL = $4$ cm, LM = $4{,}2$ cm et KM = $5{,}8$ cm. RTS a pour côtés RT = $5{,}6$ cm, RS = $3{,}4$ cm et TS = $5$ cm. H est le pied de la hauteur issue de S, et SH = $3$ cm.

1. aCalcule le périmètre de chacune des deux voiles.
2. bCalcule l'aire de chacune des deux voiles.
3. cYanis conclut : « Même périmètre et même aire, donc les deux voiles sont superposables. » Les triangles KLM et RTS sont-ils égaux ? Justifie.
4. dYanis dit : « Deux triangles de même aire ne sont pas égaux. » Ben corrige : « pas forcément égaux ». Explique la différence avec deux exemples.
5. eLa voile UVW est rectangle en V, avec UV = $4$ cm et VW = $4{,}2$ cm. Démontre que UVW et KLM sont égaux, puis donne UW.

Ex. 42★★★Les haubans du pont de Lina — Sur la maquette d'un pont à haubans, le pylône [SH] est perpendiculaire au tablier (AB) en H, et H est sur [AB]. Les haubans [SA] et [SB] ont la même longueur, et $\widehat{SAB} = 52^\circ$.

1. aLina écrit : « SA = SB, [SH] est commun et $\widehat{SHA} = \widehat{SHB} = 90^\circ$, donc SHA et SHB sont égaux (deuxième cas). » Explique pourquoi sa justification n'est pas valable.
2. bCalcule $\widehat{SBA}$, puis $\widehat{ASH}$ et $\widehat{BSH}$, en justifiant chaque calcul.
3. cDémontre que les triangles SHA et SHB sont égaux, en écrivant les sommets dans l'ordre des homologues.
4. dDéduis-en que H est le milieu de [AB], puis que (SH) est la médiatrice de [AB].
5. eVrai ou faux : « Lina a trouvé la bonne conclusion, donc sa démonstration était juste. » Justifie.

Ex. 43★★★Une justification pour chaque égalité — Le triangle VWX est isocèle en V et H est le milieu de [WX] (codages). On compare les triangles VHW et VHX.

1. aQuelle justification donnes-tu pour l'égalité VW = VX ?
2. bQuelle justification donnes-tu pour l'égalité HW = HX ?
3. cQuel côté est commun aux triangles VHW et VHX ?
4. dQuel cas d'égalité s'applique aux triangles VHW et VHX ? Écris la correspondance des sommets.
5. eSans lire la figure, démontre que $\widehat{VHW} = 90^\circ$.

Ex. 44★★★Homologues dans le bon ordre — Sur la figure, les côtés des triangles KLM et RST sont codés égaux. On donne $\widehat{KLM} = 45^\circ$ et $\widehat{LKM} = 72^\circ$.

1. aQuel cas d'égalité permet d'affirmer que les triangles KLM et RST sont égaux ? Justifie.
2. bÉcris l'égalité de ces deux triangles avec les sommets homologues dans le même ordre, en commençant par KLM.
3. cRécris cette égalité en commençant par le triangle MKL.
4. dNina écrit : « donc $\widehat{LKM} = \widehat{TSR}$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
5. eCalcule $\widehat{RST}$ en justifiant.

Ex. 45★★★Des triangles égaux à des droites parallèles — Les segments [EG] et [FH] se coupent en J. J est le milieu de [EG] et le milieu de [FH] (codages), et EF = 4,5 cm. On veut démontrer que les droites (EF) et (GH) sont parallèles.

1. aComplète : « Dans les triangles EJF et GJH : • JE = JG car … ; • JF = JH car … ; • $\widehat{EJF} = \widehat{…}$ car … D'après le … cas, les triangles EJF et … sont égaux. »
2. bVérifie que l'angle utilisé est bien compris entre les deux côtés égaux, puis donne GH et l'angle égal à $\widehat{JEF}$.
3. cDémontre que les droites (EF) et (GH) sont parallèles.
4. dTom écrit : « $\widehat{JEF} = \widehat{JGH}$ car (EF) // (GH) ». Pourquoi ce raisonnement n'est-il pas valable ici ?

Ex. 46★★★Le poinçon de la charpente — Sur ce plan de charpente, les chevrons [SP] et [SQ] ont la même longueur. Le poinçon [ST] est perpendiculaire à l'entrait [PQ] en T, avec T sur [PQ]. On donne $\widehat{SPQ} = 32^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{SQP}$, puis $\widehat{PST}$ et $\widehat{QST}$, en justifiant chaque calcul.
2. bGabin écrit : « SP = SQ, [ST] est commun et $\widehat{STP} = \widehat{STQ} = 90^\circ$, donc les triangles sont égaux (deuxième cas) ». Pourquoi ne peut-il pas conclure ainsi ?
3. cNomme les deux triangles à comparer, puis démontre que T est le milieu de [PQ].

Ex. 47★★★Le cerf-volant de Lina — Lina fabrique un cerf-volant ABCD : AB = AD, CB = CD (codages) et $\widehat{BAD} = 70^\circ$. Les baguettes [AC] et [BD] se coupent en I. On ne mesure rien sur la figure.

1. aNomme deux triangles qui permettent de comparer $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DAC}$. Démontre qu'ils sont égaux, en les écrivant dans l'ordre des homologues.
2. bDéduis-en que $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$, puis calcule $\widehat{BAC}$.
3. cDémontre que les triangles ABI et ADI sont égaux, puis déduis-en que IB = ID.
4. dLucas écrit : « Les triangles ABI et ADI sont égaux, donc BI = AI. » Corrige son erreur, puis démontre que (AC) ⊥ (BD), même si la figure semble déjà le montrer.
5. eCalcule $\widehat{ABI}$ en justifiant.

Ex. 48★★★Une figure chargée dans un triangle isocèle — ABC est isocèle en A avec AB = AC = 7 cm et $\widehat{BAC} = 44^\circ$. D est sur [AB] et E sur [AC], avec AD = AE = 2,8 cm. On trace les segments [BE] et [CD].

1. aPour démontrer que BE = CD, Nina écrit : « AB = AC, AE = AD et $\widehat{ABE} = \widehat{ACD}$, donc ABE et ACD sont égaux (deuxième cas). » Trouve ses deux erreurs.
2. bRédige une démonstration correcte : les triangles ABE et ACD sont égaux, écrits dans l'ordre des homologues. Déduis-en BE = CD et une égalité d'angles.
3. cCalcule DB et EC, puis $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$, en justifiant.
4. dChoisis dans la figure deux triangles qui permettent de démontrer que $\widehat{DCB} = \widehat{EBC}$, puis fais la démonstration.

Ex. 49★★★Les croisillons du pont — Sous le tablier d'un pont, deux barres se croisent en O. Les points M, O, N sont alignés, ainsi que R, O, S. On donne OR = OS = 3,5 cm, $\widehat{ORM} = 52^\circ$ et $\widehat{OMR} = \widehat{ONS} = 61^\circ$.

1. aLéo écrit : « OR = OS, $\widehat{ORM} = 52^\circ$ et $\widehat{OMR} = \widehat{ONS}$, donc d'après le troisième cas, ORM et OSN sont égaux. » Pourquoi ne peut-il pas conclure ainsi ?
2. bCalcule $\widehat{ROM}$, puis $\widehat{SON}$ et $\widehat{OSN}$, en justifiant chaque calcul.
3. cDémontre que les triangles ORM et OSN sont égaux, en les écrivant dans l'ordre des homologues.
4. dLéo en déduit que OM = OS. Corrige-le, puis démontre que O est le milieu de [MN].
5. eDémontre que les droites (RM) et (SN) sont parallèles.