Troisième / Translation et rotation

Ex. 1★★★Automatismes : demi-tour dans un repère — On utilise la symétrie de centre O, origine du repère (le demi-tour de centre O).

1. aDonne les coordonnées de P′, image de $P(4\,;\,-1)$.
2. bDonne les coordonnées de R′, image de $R(-3\,;\,-2)$.
3. cInès écrit que l'image de $T(5\,;\,2)$ est $T'(-5\,;\,2)$. Corrige son erreur.
4. dLe point $U'(0\,;\,-4)$ est l'image d'un point U. Donne les coordonnées de son antécédent U.
5. eQuel point du plan est invariant par ce demi-tour ?

Ex. 2★★★Automatismes : translation dans un repère — On utilise la translation qui transforme $D(-1\,;\,1)$ en $H(2\,;\,3)$. Le point K a pour coordonnées $K(0\,;\,-2)$.

1. aDonne les coordonnées de K′, image de K par cette translation.
2. bLe point $N'(4\,;\,1)$ est l'image d'un point N par cette translation. Donne les coordonnées de N.
3. cDonne les coordonnées de l'image de K par la translation qui transforme H en D.
4. dQuel quadrilatère est un parallélogramme : DHKK′ ou DHK′K ? Justifie.
5. eCombien de points sont invariants par la translation qui transforme D en H ?

Ex. 3★★★Symétrie axiale avec un axe oblique — Sur le quadrillage, la droite (d) est oblique : elle traverse les carreaux en diagonale. On utilise la symétrie axiale d'axe (d).

1. aLe symétrique de A par rapport à (d) est l'un des points E, F ou G. Lequel ? Justifie.
2. bLou dit : « (d) coupe [AE] en son milieu, donc E est le symétrique de A. » Explique son erreur.
3. cDepuis B, de combien de carreaux et dans quelles directions faut-il aller pour atteindre son symétrique B′ ?
4. dQuels points sont invariants par cette symétrie axiale ?

Ex. 4★★★Reconnaître la transformation — Dans le repère, le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une transformation. On sait que AB = 3 cm.

1. aQuelle est cette transformation ? Justifie, puis donne les coordonnées de son centre.
2. bDonne la longueur DE. Justifie.
3. cExplique pourquoi la droite (DE) est parallèle à la droite
   (AB).
4. dSami dit : « C'est une translation, car les côtés de DEF sont parallèles à ceux de ABC. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Translation : image, antécédent et sens du déplacement — Dans le repère (1 carreau = 1 cm), on utilise la translation qui transforme $A(-3\,;\,2)$ en $B(1\,;\,1)$. On donne aussi $C(-1\,;\,-2)$ et $N(2\,;\,4)$. Les longueurs seront arrondies au dixième.

1. aDécris en carreaux le déplacement de cette translation, puis donne les coordonnées de C′, image de C.
2. bMaël affirme que l'antécédent de N par cette translation est le point $(6\,;\,3)$. A-t-il raison ? Justifie et donne le bon antécédent.
3. cExplique pourquoi CC′ = AB, puis calcule CC′.
4. dTom pense que l'image de B par cette translation est A. Explique son erreur, puis donne les coordonnées de B′.
5. eOn trace le triangle ACN et son image par cette translation. L'image est-elle retournée, tête en bas ou de même orientation ? A-t-elle la même aire ? Justifie.

Ex. 6★★★Symétrie axiale : corriger une image mal placée — Dans le repère, la droite (d) est la droite verticale formée des points d'abscisse 4. Le triangle ABC est rectangle en A, avec $AB = 2$ cm et $AC = 4$ cm. On utilise la symétrie d'axe (d). Noé a placé un point C1.

1. aDonne les coordonnées de A′ et de B′, images de A et de B par la symétrie d'axe
   (d).
2. bNoé dit que C1 est l'image de C, car C1 est lui aussi à 3 carreaux de (d). Explique son erreur, puis donne les coordonnées de C′.
3. cLe point $M'(6\,;\,3)$ est l'image d'un point M par la symétrie d'axe (d). Donne les coordonnées de M.
4. dCalcule l'aire du triangle ABC. Donne ensuite la longueur A′C′ et l'aire du triangle A′B′C′, en justifiant.
5. eLe triangle A′B′C′ a-t-il la même orientation que ABC ? Explique ce qui permet de reconnaître une symétrie axiale.

Ex. 7★★★Demi-tour : centre à l'origine ou non — Dans le repère d'origine O, on place les points $E(3\,;\,-2)$, $G(3\,;\,2)$, $K(1\,;\,1)$ et $F'(-4\,;\,-1)$. Le segment [EG] mesure 4 cm.

1. aLucas dit que l'image de E par le demi-tour de centre O est le point $(3\,;\,2)$. Explique son erreur, puis donne les coordonnées de E′.
2. bF′ est l'image d'un point F par le demi-tour de centre O. Donne les coordonnées de F, puis vérifie que O est le milieu de [FF′].
3. cDonne les coordonnées de G1, image de G par le demi-tour de centre K. Justifie à l'aide du milieu.
4. dQue peux-tu dire de la longueur et de la direction de l'image de [EG] par le demi-tour de centre O ? Justifie.
5. eDonne les coordonnées de G′, image de G par le demi-tour de centre O. G′ est-il le même point que G1 ? Explique.

Ex. 8★★★La pale d'une éolienne — Automatismes. Une pale d'éolienne tourne autour du point O. Son extrémité M vient en M′ par la rotation de centre O, d'angle $45^\circ$, dans le sens anti-horaire. On sait que $OM = 3{,}6$ cm.

1. aDonne la longueur OM′.
2. bQuelle est l'image du point O par cette rotation ?
3. cQuelle est la nature du triangle OMM′ ?
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{OMM'}$, de sommet M.
5. eSam affirme : « $MM' = OM = 3{,}6$ cm ». Explique son erreur.

Ex. 9★★★Fractions de tour et grande aiguille — Automatismes. Sur ce cadran de centre O, les points H, Q, S et N marquent 12 h, 3 h, 6 h et 9 h. La grande aiguille [OH] tourne autour de O dans le sens horaire, de $360^\circ$ en 60 min.

1. aCombien de degrés mesure un seizième de tour ?
2. bLa pointe H tourne de $90^\circ$ autour de O dans le sens horaire. Arrive-t-elle en Q ou en N ? Justifie.
3. cDe quel angle tourne la grande aiguille en 25 min ?
4. dCombien de minutes faut-il à la grande aiguille pour tourner de $210^\circ$ ?
5. eTourner de $110^\circ$ dans le sens horaire revient à tourner de combien de degrés dans le sens anti-horaire ?
6. fOù se trouve l'image de H par la rotation de centre O, d'angle $360^\circ$, dans le sens horaire ?

Ex. 10★★★Quarts de tour dans un repère — Dans le repère ci-dessous, d'origine O, on a placé les points $A(4\,;\,1)$ et $B(-3\,;\,2)$.

1. aDonne les coordonnées de $A_1$, image de A par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire, puis de $A_2$, image de A dans le sens horaire.
2. bDonne les coordonnées de l'image de A par la rotation de centre O, d'angle $180^\circ$, dans le sens horaire, puis dans le sens anti-horaire. Que remarques-tu ?
3. cB est l'image d'un point C par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire. Donne les coordonnées de l'antécédent C.
4. dNina écrit : « B est l'image de C par la rotation de 90° ». Qu'est-ce qui manque à sa phrase ?

Ex. 11★★★La nacelle du manège — Une nacelle P d'un manège tourne autour du centre O, avec $OP = 4{,}5$ cm sur le plan. On cherche son image P′ par la rotation de centre O, d'angle $120^\circ$, dans le sens horaire.

1. aDécris les étapes pour construire P′ sur ton cahier, avec la règle, le rapporteur et le compas.
2. bHugo a centré son rapporteur en P et tracé un angle de $120^\circ$ de sommet P. Explique son erreur.
3. cCalcule les mesures des angles $\widehat{OPP'}$ et $\widehat{OP'P}$.
4. dJade affirme : « P′ est aussi l'image de P par la rotation de centre O, d'angle $240^\circ$, dans le sens anti-horaire ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 12★★★L'horloge de la gare — Le cadran de l'horloge de la gare a pour centre O. Le point D marque 12 h et le point T marque 3 h. À 3 h 00, la grande aiguille est sur [OD] et la petite sur [OT]. Les deux aiguilles tournent autour de O dans le sens horaire.

1. aJustifie que la grande aiguille tourne de $6^\circ$ par minute et que la petite tourne de $0{,}5^\circ$ par minute.
2. bDonne les trois éléments de la rotation qui transforme D en T.
3. cDe 3 h 00 à 3 h 20, de combien de degrés tourne la grande aiguille ? Et la petite aiguille ?
4. dDéduis-en l'angle formé par les deux aiguilles à 3 h 20.
5. eNoé affirme : « De 3 h 20 à 4 h 05, la grande aiguille fait une rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 13★★★Le logo d'Inès — Pour dessiner un logo, Inès place deux points O et A avec $OA = 4$ cm. B est l'image de A par la rotation de centre O, d'angle $60^\circ$, dans le sens anti-horaire. C est l'image de A par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens horaire. Arrondis les longueurs au dixième.

1. aDémontre que le triangle OAB est équilatéral, puis donne la longueur AB.
2. bLina affirme : « De la même façon, $AC = OA = 4$ cm. » Explique son erreur, puis calcule AC.
3. cCalcule $\widehat{BOC}$, puis complète : « C est l'image de B par la rotation de centre O, d'angle …, dans le sens … ».
4. dYanis affirme : « $\widehat{OBC}$ est égal à l'angle de la rotation qui transforme B en C. » Explique son erreur, puis calcule $\widehat{OBC}$.

Ex. 14★★★Le moulin du carrelage — Pour un motif de carrelage, Ben part du triangle ABC rectangle en A, avec $AB = 3$ cm et $AC = 2$ cm, tracé sur un quadrillage de 1 cm. Le triangle ACD est déjà tracé. Arrondis les longueurs au dixième.

1. aConstruis sur le quadrillage le triangle $A_1B_1C_1$, image de ABC par la rotation de centre A, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire.
2. bTom affirme : « ACD est l'image de ABC par le quart de tour de centre A. » A-t-il raison ? Justifie, puis nomme la transformation qui transforme ABC en ACD.
3. cExplique pourquoi la droite $(B_1C_1)$ est perpendiculaire à la droite (BC), puis calcule $B_1C_1$.
4. dBen applique à $A_1B_1C_1$ le même quart de tour et obtient $A_2B_2C_2$. Donne les trois éléments d'une rotation qui transforme directement ABC en $A_2B_2C_2$.
5. eUn dernier quart de tour donne $A_3B_3C_3$. Explique pourquoi les quatre triangles entourent A sans se chevaucher ni laisser de trou, puis calcule l'aire du motif.

Ex. 15★★★Automatismes — quart de tour et demi-tour sur quadrillage — Le centre O est marqué d'une croix sur le quadrillage. Pour chaque question, place le point demandé et décris le trajet de O jusqu'à ce point en carreaux.

1. aPlace A′, l'image de A par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire.
2. bPlace B′, l'image de B par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens horaire.
3. cPlace C′, l'image de C par la rotation de centre O, d'angle 180°
   (demi-tour).
4. dQuelle est l'image du point O par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire ?
5. eD est l'image d'un point E par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Place l'antécédent E.

Ex. 16★★★Automatismes — dans un repère — Dans le repère d'origine O, on donne $R(4\,;\,1)$, $S(-3\,;\,5)$, $T(-4\,;\,-2)$, $U'(2\,;\,6)$, $K(1\,;\,1)$ et $V(5\,;\,4)$. Donne les coordonnées demandées.

1. aDonne les coordonnées de R′, l'image de R par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire.
2. bDonne les coordonnées de S′, l'image de S par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens horaire.
3. cDonne les coordonnées de T′, l'image de T par la rotation de centre O, d'angle 180°.
4. dU′ est l'image d'un point U par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Donne les coordonnées de U.
5. eLina affirme : « L'image de V par la rotation de centre K, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire est $(-4\,;\,5)$. » Son résultat est-il juste ? Justifie et corrige.

Ex. 17★★★L'essuie-glace : construire au rapporteur et au compas — On représente le balai d'un essuie-glace par le segment [OM], avec OM = 4 cm. Il tourne autour de O : c'est la rotation de centre O, d'angle 65°, dans le sens horaire.

1. aSur ton cahier, construis M′, l'image de M par cette rotation. Décris tes trois étapes.
2. bInès place le centre du rapporteur sur M, puis plante la pointe du compas sur M pour placer M′. Explique ses deux erreurs.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{OMM'}$. Justifie.

Ex. 18★★★Le logo du club : quart de tour autour d'un sommet — Le logo d'un club est le triangle ABC, sur un quadrillage de 1 cm. On veut construire son image par la rotation de centre A, d'angle 90°, dans le sens horaire. Arrondis les longueurs au dixième de cm.

1. aSam propose le triangle AEF comme image de ABC par cette rotation. Sa proposition est-elle juste ? Justifie en comptant les carreaux depuis A.
2. bConstruis sur le quadrillage l'image A′B′C′ du triangle ABC. Décris le trajet de A jusqu'à B′, puis jusqu'à C′.
3. cCalcule AB, puis BB′. Justifie.

Ex. 19★★★La grande roue : le triangle OMM′ et la construction — Une grande roue a pour centre O. La cabine M est à 15 m de O. Quand la roue tourne, M a pour image N par la rotation de centre O, d'angle 60°, dans le sens horaire. M a pour image P par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Arrondis les longueurs au dixième de mètre.

1. aQuelle est la nature du triangle OMN ? Déduis-en la distance MN.
2. bCalcule la distance MP entre les cabines M et P.
3. cPour construire P, Léo centre le rapporteur sur M et compte 90° dans le sens horaire. Puis il reporte la longueur OM au compas, pointe sur M. Trouve ses trois erreurs et décris la bonne construction.
4. dLa cabine M a pour image Q par la rotation de centre O, d'angle 40°, dans le sens horaire. Calcule $\widehat{OMQ}$. Donne l'angle de la rotation de centre O, dans le sens anti-horaire, qui transforme aussi M en Q.

Ex. 20★★★Le carrelage de Jade : quart de tour autour d'un point extérieur — Sur le quadrillage de 1 cm, Jade dessine un motif de carrelage : le triangle ABC. Elle veut construire son image A′B′C′ par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Arrondis les longueurs au dixième de cm.

1. aNoé dit : « De O à A, c'est 1 à droite et 2 en haut, donc de O à A′, c'est 1 à gauche et 2 en haut. » A-t-il raison ? Justifie et place A′.
2. bDécris en carreaux le trajet de O jusqu'à B′, puis de O jusqu'à C′. Place ces points et trace le triangle A′B′C′.
3. cCalcule OB. Sans mesurer, donne OB′ et $\widehat{BOB'}$ en justifiant, puis calcule BB′.
4. dCalcule l'aire du triangle ABC. Déduis-en l'aire du triangle A′B′C′ en justifiant.
5. eBen affirme : « Le point O n'a pas d'image par cette rotation. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Le vaisseau de Maëlys : quart de tour dans un repère et antécédent — Dans un repère d'origine O (unité : 1 cm), le vaisseau du jeu vidéo de Maëlys est le triangle EFG, avec $E(2\,;\,1)$, $F(5\,;\,1)$ et $G(5\,;\,3)$. On note E1, F1 et G1 les images de E, F et G par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens horaire. Arrondis les longueurs au dixième de cm.

1. aDonne les coordonnées de E1, F1 et G1.
2. bLe point $H'(-3\,;\,4)$ est l'image d'un point H par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Yanis applique $(-y\,;\,x)$ à H′ et trouve $H(-4\,;\,-3)$. Explique son erreur et donne les coordonnées de H.
3. cChloé cherche l'image de E par la rotation de centre F, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Elle applique $(-y\,;\,x)$ à E et trouve $(-1\,;\,2)$. Explique son erreur et trouve la bonne image.
4. dCalcule la longueur GG1.
5. eSans calcul, donne la mesure de $\widehat{E_1F_1G_1}$ et la longueur F1G1. Justifie.

Ex. 22★★★Automatismes : quarts de tour et demi-tour dans un repère — Dans le repère ci-dessous d'origine O, toutes les rotations ont pour centre l'origine O.

1. aDonne les coordonnées de A′, l'image de $A(4\,;\,-1)$ par le quart de tour de centre O dans le sens anti-horaire.
2. bDonne les coordonnées de B′, l'image de $B(-2\,;\,4)$ par le quart de tour de centre O dans le sens horaire.
3. cLe demi-tour de centre O transforme $C(-3\,;\,-4)$ en C′. Quelles sont les coordonnées de C′ ?
4. dLe point $D'(2\,;\,5)$ est l'image d'un point D par le quart de tour de centre O dans le sens anti-horaire. Donne les coordonnées de son antécédent D.
5. eLina affirme : « Par le quart de tour de centre O dans le sens anti-horaire, l'image de $E(6\,;\,2)$ est $(-6\,;\,2)$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 23★★★Automatismes : ce que conserve la rotation d'un logo — Pour son logo, Kenza trace un triangle ABC rectangle en A avec AB = 4 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm. Elle le fait tourner par la rotation de centre A, d'angle 70°, dans le sens anti-horaire : elle obtient le triangle A′B′C′.

1. aQuelle est l'image A′ du point A par cette rotation ? Justifie.
2. bQuelle est la longueur A′C′ ? Justifie.
3. cCalcule le périmètre du triangle A′B′C′. Justifie.
4. dQuelle est la mesure de l'angle $\widehat{B'A'C'}$ ? Justifie.
5. eCalcule l'aire du triangle A′B′C′. Justifie.

Ex. 24★★★La pale d'une éolienne — La pale d'une éolienne est représentée par le segment [MN], et O est l'axe de l'éolienne : OM = 3 cm et MN = 2,5 cm. La pale tourne par la rotation de centre O, d'angle 120°, dans le sens horaire. Reproduis la figure sur ton cahier.

1. aÉcris les trois étapes de la construction de M′, l'image de M, puis construis M′ sur ton cahier.
2. bConstruis de même N′, puis le segment [M′N′]. Quelle est la longueur M′N′ ? Justifie.
3. cQuelle est la nature du triangle OMM′ ? Calcule la mesure de l'angle $\widehat{OMM'}$.
4. dLéa a placé le centre du rapporteur sur M pour mesurer les 120°. Explique son erreur.

Ex. 25★★★Un motif de carrelage qui tourne — Pour un carrelage, Noé veut l'image du triangle ABC par le quart de tour de centre O dans le sens anti-horaire. Il a dessiné le triangle DEF.

1. aLe triangle DEF est-il l'image de ABC par ce quart de tour ? Sinon, donne le centre, l'angle et le sens de la rotation qui transforme ABC en DEF.
2. bDonne, en carreaux depuis O, la position de A′, B′ et C′, puis construis le bon triangle A′B′C′ sur ton quadrillage.
3. cNinon dit : « A′B′C′ a la même forme que ABC, mais il est retourné. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 26★★★La pièce de puzzle qui a tourné — Dans un jeu de puzzle, Inès fait tourner la pièce triangulaire ABC par un quart de tour. La pièce arrive sur le triangle RST. Le centre de ce quart de tour est l'un des deux points K ou L. Un carreau mesure 1 cm. Arrondis les longueurs au dixième.

1. aUne rotation conserve les longueurs et les angles. Utilise cette propriété pour associer chaque sommet de ABC à son image parmi R, S et T.
2. bLequel des points K ou L est le centre de ce quart de tour ? Dans quel sens tourne-t-il ? Justifie en comptant les carreaux.
3. cCalcule la distance entre A et son image avec le théorème de Pythagore, dans le triangle formé par le centre, A et son image.
4. dInès refait le même quart de tour à partir de RST. Quelle rotation unique fait passer directement de ABC à la nouvelle position ? Place l'image finale de A.

Ex. 27★★★Le blason du club de judo — Pour le blason de son club de judo, Yanis trace un triangle ABC isocèle en A, avec AB = AC = 5 cm et $\widehat{BAC} = 40^\circ$, puis le cercle 𝒞 de centre B et de rayon 1,5 cm. Il fait tourner le tout par la rotation de centre A, d'angle 60°, dans le sens anti-horaire.

1. aSur ton cahier, reproduis la figure. Écris les étapes de la construction de l'image A′B′C′ du triangle ABC, puis construis-la.
2. bQuelle est la nature du triangle ABB′ ? Justifie, puis déduis-en la longueur BB′.
3. cCalcule les mesures des angles $\widehat{BAC'}$ et $\widehat{AB'C'}$. Justifie.
4. dYanis veut construire l'image de trois points du cercle 𝒞 pour tracer l'image de ce cercle. Propose une méthode plus simple et donne le centre et le rayon de l'image.

Ex. 28★★★La nacelle du manège — Sur le plan d'un manège, dans un repère d'origine O, la nacelle est le quadrilatère ABCD. Le manège la fait tourner par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens horaire (quart de tour).

1. aDonne les coordonnées des images A′, B′, C′ et D′ des sommets de la nacelle. Trace ensuite A′B′C′D′ dans un repère sur ton cahier.
2. bPour les images de A, B, C et D, Maëlle trouve $E(2\,;\,3)$, $F(0\,;\,-1)$, $G(4\,;\,-1)$ et $H(4\,;\,2)$. A-t-elle raison ? Explique son erreur.
3. cAprès ce quart de tour, un projecteur de la nacelle se trouve au point $L'(-4\,;\,1)$. Donne les coordonnées de sa position L avant le quart de tour. Justifie.
4. dLe manège fait trois quarts de tour à la suite dans le sens horaire. Quelle rotation unique de centre O donne la même position ? Donne les coordonnées de l'image de A.

Ex. 29★★★Automatismes : lire une mesure sur l'image d'un logo — Sur ce logo, le triangle E′F′G′ est l'image du triangle EFG par la rotation de centre K, d'angle 72°, dans le sens horaire. On sait que EF = 4 cm, EG = 3 cm, FG = 3,1 cm, $\widehat{FEG} = 50^\circ$ et que l'aire de EFG vaut environ 4,6 cm².

1. aDonne la longueur E′G′. Justifie avec une phrase « On sait que… Or… Donc… ».
2. bDonne la mesure de l'angle $\widehat{F'E'G'}$.
3. cCalcule le périmètre du triangle E′F′G′.
4. dDonne l'aire du triangle E′F′G′.

Ex. 30★★★Automatismes : le triangle OMM′ de la grande roue — Dans une grande roue de centre O, une nacelle passe de la position M à la position M′ par une rotation de centre O. Arrondis les longueurs au dixième.

1. aLa rotation a pour centre O, un angle de 50° et tourne dans le sens anti-horaire. Calcule $\widehat{OMM'}$.
2. bLa rotation a pour centre O, un angle de 60° et tourne dans le sens horaire, avec OM = 4,5 cm. Calcule MM′.
3. cLa rotation a pour centre O, un angle de 90° et tourne dans le sens anti-horaire, avec OM = 4 cm. Calcule MM′.
4. dLa rotation a pour centre O, et on sait que $\widehat{OMM'} = 35^\circ$. Calcule l'angle $\widehat{MOM'}$ de la rotation.

Ex. 31★★★Quart de tour et demi-tour dans un repère — Dans le repère, on donne $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,2)$. On note A′ et B′ les images de A et B par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire.

1. aDonne les coordonnées de A′ et de B′.
2. bQuelle est l'image, par cette rotation, du cercle de centre A passant par B ? Donne son centre et son rayon. Justifie.
3. cQuelle est la position de la droite (A′B′) par rapport à la droite (AB) ? Justifie.
4. dA″ et B″ sont les images de A et B par le demi-tour de centre O. Sans calcul, dis si (A″B″) est parallèle ou perpendiculaire à (AB). Justifie.

Ex. 32★★★Un motif de carrelage qui tourne — Pour un motif de carrelage, Ben fait tourner le parallélogramme ABCD (AB = 4 cm) autour de son sommet A. AB′C′D′ est l'image de ABCD par la rotation de centre A, d'angle 110°, dans le sens anti-horaire. I est le milieu de [AB].

1. aZoé affirme : « Une rotation conserve les longueurs, donc D′ est au même endroit que D. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bDémontre que les droites (AB′) et (D′C′) sont parallèles.
3. cI′ est l'image de I par cette rotation. Où se trouve I′ ? Déduis-en la longueur AI′.

Ex. 33★★★Le vaisseau qui tourne sur l'écran — Dans un jeu vidéo, le vaisseau A′B′C′ est l'image du vaisseau ABC par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens horaire. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm, AC = 2 cm, BC ≈ 3,6 cm et OA = 5 cm. Arrondis les longueurs au dixième.

1. aLéo affirme : « Par un quart de tour, l'image d'un segment est deux fois plus longue, donc A′B′ = 6 cm. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule le périmètre et l'aire du triangle A′B′C′. Justifie.
3. cQuelle est la nature du triangle OAA′ ? Justifie, puis donne la mesure de l'angle $\widehat{OAA'}$.
4. dCalcule la longueur AA′. Justifie.
5. eCalcule l'aire du triangle OAA′.

Ex. 34★★★Quart de tour, aire et antécédent sur quadrillage — Sur le quadrillage, I est le milieu de [AB]. On note A′, B′ et I′ les images de A, B et I par la rotation de centre C, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. Arrondis les longueurs au dixième.

1. aConstruis sur le quadrillage l'image du triangle ABC par cette rotation. Quelle est l'image du point C ?
2. bPlace I′. Sans compter les carreaux, justifie que I′ est le milieu de [A′B′].
3. cCalcule l'aire du triangle ABC en carreaux en l'encadrant par un rectangle, puis déduis-en l'aire de A′B′C. Justifie.
4. dCalcule la longueur AB en côtés de carreau, puis déduis-en A′B′. Justifie.
5. eP est l'image d'un point N par la même rotation. Inès fait tourner P d'un quart de tour anti-horaire autour de C pour trouver N. Explique son erreur, puis place N.

Ex. 35★★★Le balai de l'essuie-glace — Le bras d'un essuie-glace tourne autour de O. Le balai est le segment [AB], avec O, A et B alignés, OA = 2 cm et AB = 4 cm. Le bras tourne par la rotation de centre O, d'angle 120°, dans le sens horaire : A et B ont pour images A′ et B′.

1. aCalcule OB, puis OB′. Justifie.
2. bCalcule les mesures des angles $\widehat{OBB'}$ et $\widehat{OB'B}$. Justifie.
3. cNoé affirme : « BB′ = OB = 6 cm. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dSans construire, explique où se trouve le point A′, puis donne la longueur A′B′.
5. eBen règle l'essuie-glace avec la rotation de centre O, d'angle 60°, dans le sens horaire : B a maintenant pour image B1. Calcule BB1. Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : rosaces et frises — Justifie chaque réponse par un calcul ou une phrase courte.

1. aUne rosace de vitrail compte 8 motifs régulièrement répartis autour du centre O. Quel angle sépare deux motifs voisins ?
2. bUn logo compte 10 pétales numérotés de ① à ⑩ dans le sens anti-horaire. Par quelle rotation de centre O le pétale ① a-t-il pour image le pétale ⑦ ?
3. cUn tourniquet de jardin a 9 bras numérotés de ① à ⑨ dans le sens anti-horaire. Il tourne de 280° autour de son centre O, dans le sens anti-horaire. À la place de quel bras arrive le bras ① ?
4. dLa molette d'un cadenas tourne de 80° à chaque cran, toujours dans le même sens. Après combien de crans au minimum revient-elle exactement à sa place ?
5. eUne porte tambour tourne de 130°, puis de 140°, autour du même centre O et dans le sens anti-horaire. Par quelle rotation unique peut-on remplacer ces deux rotations ? Donne-la aussi dans le sens horaire.
6. fDans une frise de papier peint, les motifs sont alternativement debout et tête en bas, sans effet miroir. Quelle transformation fait passer du motif ① au motif ② ? Et du motif ① au motif ③ ?

Ex. 37★★★Automatismes : carrelage autour d'un sommet — Autour d'un sommet d'un pavage, les angles des carreaux font 360° en tout.

1. aAutour du sommet S, il y a un carreau carré, un carreau dont l'angle en S mesure 140° et un troisième carreau. Calcule l'angle en S du troisième carreau.
2. bAutour d'un sommet, Noah place 2 hexagones réguliers (angles de 120°). Combien de triangles équilatéraux (angles de 60°) faut-il pour compléter ?
3. cMaëlle veut carreler sa salle de bain avec uniquement des pentagones réguliers (angles de 108°). Combien de pentagones pourrait-elle placer autour d'un sommet ? Est-ce possible ? Justifie.
4. dUn dodécagone régulier a des angles de 150°. Inès place 2 dodécagones autour d'un sommet. Quel polygone régulier complète l'espace restant ?

Ex. 38★★★Tourné ou retourné ? — Dans chaque repère, le triangle A′B′C′ est l'image du triangle ABC par une transformation. Donne ses éléments : un point et son image, ou le centre, l'angle et le sens, ou l'axe.

1. aQuelle transformation transforme ABC en A′B′C′ ?
2. bQuelle transformation transforme ABC en A′B′C′ ? Justifie avec les coordonnées.
3. cLéo affirme : « A′ est au même point que dans la figure précédente, donc c'est la même transformation. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dZoé dit : « Le triangle est tête en bas, c'est la symétrie d'axe des abscisses. » A-t-elle raison ? Justifie et nomme la bonne transformation.

Ex. 39★★★L'enjoliveur de Sacha — Un enjoliveur a 6 rayons régulièrement répartis autour du centre O. Leurs extrémités M1, …, M6 sont numérotées dans le sens horaire, et OM1 = 3 cm.

1. aSacha écrit : « $360 \div 6 = 60^\circ$ ; M5 est l'image de M1 par la rotation de centre O, d'angle $5 \times 60^\circ = 300^\circ$, dans le sens anti-horaire. » Trouve ses deux erreurs et corrige-les.
2. bDans le sens anti-horaire, par quelle rotation de centre O le point M1 a-t-il pour image M3 ?
3. cQuelle est la nature du triangle OM1M2 ? Justifie, puis donne la longueur M1M2.
4. dL'enjoliveur tourne de 140°, puis de 160°, autour de O et dans le sens horaire. Sur quelle position le point M1 arrive-t-il ? Justifie.

Ex. 40★★★La grande roue de Lina — Une grande roue porte 12 nacelles régulièrement réparties sur un cercle de centre O et de rayon $ON_1 = 20$ m. Les nacelles sont numérotées de N1 à N12 dans le sens horaire. Arrondis au dixième de mètre.

1. aCalcule l'angle $\widehat{N_1ON_2}$ entre deux nacelles voisines.
2. bCalcule les trois angles du triangle $ON_1N_2$. Justifie sa nature.
3. cLina écrit : « N10 est l'image de N1 par la rotation de centre O, d'angle $10 \times 30^\circ = 300^\circ$, dans le sens horaire. » Corrige son erreur.
4. dN4 est l'image de N1 par une rotation de centre O. Donne son angle et son sens, puis calcule la distance $N_1N_4$.
5. eLa roue tourne de 45°, puis de 75°, autour de O, dans le sens horaire. À la place de quelle nacelle se trouve alors N1 ? Justifie.

Ex. 41★★★Le cheval de bois de Jade — Au départ, le cheval de bois de Jade est au point M, avec $OM = 3$ m. À chaque arrêt du manège, le plateau a tourné de 150° autour du centre O, dans le sens anti-horaire. Après le premier arrêt, le cheval est en M′.

1. aCalcule les angles $\widehat{OMM'}$ et $\widehat{OM'M}$. Justifie.
2. bAprès 4 arrêts, de quel angle total le plateau a-t-il tourné ? Donne une rotation de centre O, d'angle inférieur à 180°, qui amène le cheval de M à cette position.
3. cMalo affirme : « $360 \div 150$ ne tombe pas juste, donc le cheval ne repassera jamais par M. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLe soir, le plateau tourne de 95°, puis de 85°, autour de O, dans le sens anti-horaire. Le cheval va de M en M″. Quelle transformation unique transforme M en M″ ? Calcule $MM''$.

Ex. 42★★★La frise de la salle de bain d'Hugo — Hugo pose une frise de carreaux triangulaires au mur. Dans le repère ci-dessous (unité : 1 cm), on a dessiné le carreau ABC, rectangle en B, et trois carreaux voisins : CDA, BEF et GHC. Arrondis au dixième de cm.

1. aQuelle transformation transforme le triangle ABC en le triangle BEF ? Donne ses éléments.
2. bQuelle transformation transforme le triangle ABC en le triangle CDA, avec A qui a pour image C ? Donne ses éléments avec des coordonnées.
3. cYanis dit : « GHC est l'image de ABC par une rotation de centre C, car le carreau a tourné autour de C. » A-t-il raison ? Corrige si besoin.
4. dCalcule la longueur AC, puis la longueur CG. Justifie.
5. ePour un autre mur, Hugo place 2 pentagones réguliers (angles de 108°) et un troisième carreau régulier autour d'un même sommet, sans trou ni chevauchement. Quel angle doit avoir ce troisième carreau en ce sommet ?

Ex. 43★★★Automatismes : images dans un repère — Dans le repère ci-dessous, O est l'origine. Les deux dernières questions n'utilisent pas le repère.

1. aDonne les coordonnées de A′, image de $A(2\,;\,5)$ par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire.
2. b$B'(3\,;\,-1)$ est l'image d'un point B par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens horaire. Donne les coordonnées de l'antécédent B.
3. cDonne les coordonnées de G′, image de $G(-2\,;\,4)$ par la translation qui transforme E en F.
4. dComplète : la rotation de centre O, d'angle $40^\circ$, dans le sens horaire est la même que la rotation de centre O, d'angle …, dans le sens anti-horaire.
5. eM′ est l'image de M par la rotation de centre O, d'angle $60^\circ$, dans le sens anti-horaire, et $OM = 4{,}5$ cm. Calcule MM′.

Ex. 44★★★Automatismes : logo, rosace, horloge, pavage — Le logo ci-dessous a 5 branches identiques, régulièrement réparties autour de O. Les trois dernières questions sont indépendantes.

1. aQuelle rotation de centre O, d'angle inférieur à $180^\circ$, transforme la branche [OA1] en la branche [OA2] ? Donne son angle et son sens.
2. bNinon dit : « Pour passer de A1 à A5 dans le sens anti-horaire, il faut appliquer 5 fois la rotation de la question précédente. » Corrige son erreur et donne l'angle de cette rotation.
3. cDonne l'angle de la rotation de centre O qui transforme A1 en A4 dans le sens horaire.
4. dDans une rosace de vitrail, la rotation qui fait passer d'un motif au suivant a un angle de $24^\circ$. Combien de motifs a cette rosace ?
5. eEn 25 minutes, de combien de degrés tourne la grande aiguille d'une horloge, et dans quel sens ?
6. fUn carrelage est un pavage de carrés et de triangles équilatéraux. Autour d'un sommet, il y a 2 carrés. Combien de triangles équilatéraux complètent le tour ?

Ex. 45★★★L'erreur de Léa sur le quadrillage — Sur le quadrillage (carreaux de 1 cm), Léa devait construire l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens horaire. Elle a tracé le triangle DEF. Arrondis les longueurs au dixième de cm.

1. aLe triangle DEF est-il l'image de ABC par ce quart de tour ? Justifie.
2. bQuelle transformation transforme ABC en DEF ? Donne ses éléments.
3. cSur ton cahier, reproduis la figure et construis A′B′C′, image de ABC par ce quart de tour. Pour chaque sommet, indique son déplacement en carreaux à partir de O.
4. dCalcule la longueur AA′.

Ex. 46★★★Le motif d'un enjoliveur — Le motif d'un enjoliveur est un triangle ABC. A′B′C′ est son image par la rotation de centre O, d'angle $50^\circ$, dans le sens horaire. On donne $AB = 2{,}5$ cm et $\widehat{BAC} = 37^\circ$ ; ABC a une aire de $1{,}5$ cm² et un périmètre de 6 cm.

1. aDonne la longueur A′B′ et la mesure de l'angle $\widehat{B'A'C'}$. Rédige ta justification.
2. bDonne l'aire et le périmètre du triangle A′B′C′. Justifie.
3. cCalcule les mesures des angles $\widehat{OAA'}$ et $\widehat{OA'A}$.
4. dNoé affirme : « Ici, AA′ = OA, car le triangle OAA′ est isocèle. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Le carreau de faïence — Sur le quadrillage (carreaux de 1 cm), le motif d'un carreau de faïence est formé de quatre triangles qui ont le sommet O en commun. Arrondis les longueurs au dixième si besoin.

1. aQuelle transformation transforme le triangle OAB en OAG ? Et OAB en OEF ? Donne leurs éléments.
2. bTom affirme : « OCD est l'image de OAB par une symétrie axiale. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne la bonne transformation avec ses trois éléments.
3. cLe triangle OEF est l'image du triangle OCD par une rotation de centre O, d'angle $90^\circ$. Dans quel sens ? Par quelle rotation OCD est-il l'image de OEF ?
4. dCalcule l'aire du triangle OAB, puis donne sans calcul l'aire du triangle OCD. Justifie.
5. eCalcule la longueur AC. Justifie chaque étape.

Ex. 48★★★Le balai de l'essuie-glace — Le balai [OM] d'un essuie-glace tourne autour de O. Sa nouvelle position [OM′] est l'image de [OM] par la rotation de centre O, d'angle $110^\circ$, dans le sens horaire. On donne $OM = 5$ cm, et N est le milieu de [OM].

1. aSur ton cahier, construis les points M′ et N′, images de M et N par cette rotation. Décris tes étapes.
2. bQuelle est la longueur ON′ ? Où se trouve le point N′ sur le segment [OM′] ? Justifie.
3. cCalcule les mesures des angles $\widehat{OMM'}$ et $\widehat{OM'M}$.
4. dInès veut ramener le balai de [OM′] à [OM]. Elle affirme : « Il faut la rotation de centre O, d'angle $110^\circ$, dans le sens horaire. » Explique son erreur et donne la bonne rotation.
5. eLe balai tourne de $110^\circ$ dans le sens horaire, puis encore de $45^\circ$ dans le même sens. Donne la rotation unique de centre O qui le fait passer de [OM] à sa position finale, puis donne-la dans le sens anti-horaire.

Ex. 49★★★La rosace du vitrail — Une rosace de vitrail est formée de motifs identiques numérotés ①, ②, ③… dans l'ordre. Chaque motif est l'image du précédent par la rotation de centre O, d'angle $30^\circ$, dans le sens anti-horaire. Sur la figure, OAB est le motif ① et OCD le motif ②, avec $OA = 4$ cm.

1. aCombien de motifs la rosace complète compte-t-elle ? Justifie.
2. bHugo affirme : « Pour passer du motif ① au motif ⑤, on tourne de $5 \times 30^\circ = 150^\circ$. » Corrige son erreur.
3. cQuel motif est l'image du motif ① par la rotation de centre O, d'angle $60^\circ$, dans le sens horaire ? Le motif ⑨ est l'image de quel motif par la rotation de centre O, d'angle $90^\circ$, dans le sens anti-horaire ?
4. dLe motif ① tourne autour de O de $570^\circ$ dans le sens anti-horaire. Sur quel motif arrive-t-il ? Justifie.
5. eE est le point du motif ③ qui est l'image de A. Calcule la longueur AE. Justifie.