Quatrième / Théorème de Thalès

Ex. 1★★★Sommet commun et côtés correspondants — Dans le triangle PQR, le point U est sur le côté [PQ], le point V est sur le côté [PR] et les droites (UV) et (QR) sont parallèles.

1. aQuel est le sommet commun des deux triangles ? Justifie.
2. bNomme le petit triangle et le grand triangle.
3. cQuel côté du grand triangle correspond au côté [PV] du petit triangle ?
4. dQuel côté du grand triangle correspond au côté [UV] ? Justifie.
5. eOn donne $PU = 2$ cm et $UQ = 3$ cm. Ali écrit le rapport $\frac{PU}{UQ}$. Corrige son erreur, puis calcule le bon rapport.

Ex. 2★★★Les rapports dans toutes les positions — Pour chaque figure, repère le sommet commun, puis réponds à la question.

1. aDans le triangle HJL, D ∈ [HJ], E ∈ [HL] et (DE) // (JL). Écris l'égalité des trois rapports.
2. bDans le triangle WXY, S ∈ [YX], T ∈ [YW] et (ST) // (XW). Complète : $\frac{YS}{\dots} = \frac{\dots}{YW} = \frac{\dots}{XW}$.
3. cDans le triangle GIO, A ∈ [GI], Z ∈ [GO] et (AZ) // (IO). Lina écrit $\frac{GA}{GI} = \frac{GZ}{GO} = \frac{IO}{AZ}$. Corrige son dernier rapport.
4. dDans le triangle NRC, V ∈ [CN], W ∈ [CR] et (VW) // (NR) ; $CV = 4{,}5$ cm et $CN = 6$ cm. Écris l'égalité des trois rapports, puis calcule leur valeur.

Ex. 3★★★Configuration de Thalès ou pas ? — Chaque élève veut appliquer le théorème de Thalès. Peut-on l'appliquer dans chaque cas ? Justifie.

1. aNour : « E ∈ [DF] et G ∈ [DB]. Sur le dessin, (EG) et (FB) ont l'air parallèles. »
2. bTom : « R, O, S sont alignés, U, O, V aussi, et (RU) // (SV). »
3. cZoé : « Dans le triangle JKL, X ∈ [JK] et Y ∈ [JL]. Les droites (XY) et (KL) se coupent en un point. »
4. dYanis : « Dans le triangle HAB, C ∈ [AH], D ∈ [AB], (CD) // (HB), AC = 3,5 cm et AH = 5 cm. » Donne aussi le rapport de réduction.

Ex. 4★★★Corriger les rapports, puis réduire et agrandir — Dans le triangle TPQ, G ∈ [TP], H ∈ [TQ] et (GH) // (PQ). On a TG = 3 cm et TP = 5 cm.

1. aInès écrit $\frac{TG}{GP} = \frac{TH}{HQ} = \frac{GH}{PQ}$. Explique son erreur.
2. bMalo écrit $\frac{TG}{TP} = \frac{TH}{TQ} = \frac{GH}{TQ}$. Explique son erreur.
3. cÉcris l'égalité correcte des trois rapports, puis calcule le rapport de réduction $\frac{TG}{TP}$.
4. dPar quel nombre multiplie-t-on les côtés du petit triangle pour obtenir ceux du grand ? Donne la valeur exacte.

Ex. 5★★★Trois triangles emboîtés, sommet en bas — Dans le triangle SRT, les points U et W sont sur le côté [SR], dans l'ordre S, U, W, R. Les points V et X sont sur le côté [ST]. Les droites (UV), (WX) et (RT) sont parallèles. On donne SU = 3 cm, SR = 10 cm, UV = 2,1 cm et SW = 7,5 cm. Arrondis au centième.

1. aCombien de triangles emboîtés de sommet commun S vois-tu ? Nomme-les du plus petit au plus grand.
2. bÉcris l'égalité des trois rapports pour les triangles SUV et SRT.
3. cCalcule la longueur RT.
4. dCalcule la longueur WX en utilisant les triangles SWX et SRT.
5. eCalcule UW. Elio écrit ensuite $\frac{SU}{UW} = \frac{UV}{WX}$. A-t-il raison ? Justifie par le calcul.

Ex. 6★★★La traverse d'une charpente — La ferme d'une charpente est un triangle FGH. [GH] est l'entrait et mesure 6 m. Un charpentier fixe une traverse [PQ], avec P ∈ [FG] et Q ∈ [FH]. On a FP = 1,8 m, FG = 4,5 m et FH = 5,2 m. Le schéma n'est pas à l'échelle.

1. aLe charpentier mesure FQ = 2,1 m. Lou dit : « La traverse a l'air parallèle à l'entrait. En plus, $1{,}8 \div 4{,}5 \approx 0{,}4$ et $2{,}1 \div 5{,}2 \approx 0{,}4$, donc (PQ) // (GH). » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bÀ quelle distance de F faut-il fixer Q sur [FH] pour que (PQ) // (GH) ? Justifie.
3. cQ est maintenant placé à cette distance. Calcule la longueur de la traverse [PQ].
4. dCalcule le périmètre du triangle FPQ. Retrouve-le en multipliant le périmètre de FGH par le rapport de réduction.

Ex. 7★★★Sommet commun à droite, parallèles verticales — Sur la figure, C ∈ [ZY], E ∈ [ZW] et (CE) // (YW). Le point Z est aussi entre Y et G, et entre W et H, avec (GH) // (YW). On donne ZC = 6 cm, ZY = 7,5 cm et YW = 5 cm.

1. aNomme le sommet commun, le petit triangle et le grand triangle emboîtés, puis les trois paires de côtés correspondants.
2. bÉcris l'égalité des trois rapports, puis calcule CE.
3. cCalcule le rapport de réduction qui fait passer de ZYW à ZCE, puis le rapport d'agrandissement qui fait passer de ZCE à ZYW.
4. dOn donne ZE = 6,8 cm. Calcule ZW, puis EW.
5. eMathis dit : « ZGH est aussi emboîté dans ZYW, donc $\frac{ZG}{ZY} = \frac{ZH}{ZW}$ avec le théorème de 4ᵉ. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Repérer le sommet commun et les côtés correspondants — Automatismes. Sur la figure, R est un point de [KD], S est un point de [KF] et les droites (RS) et (DF) sont parallèles.

1. aQuel est le sommet commun des deux triangles emboîtés ? Nomme le petit triangle et le grand triangle.
2. bDonne le côté correspondant à chacun des côtés [KR], [KS] et [RS] du petit triangle.
3. cÉcris l'égalité des trois rapports que donne le théorème de Thalès.
4. dLa longueur RD apparaît-elle dans l'un de ces rapports ? Justifie.
5. eOn donne KR = 5,6 cm et KD = 8 cm. Calcule $\frac{KR}{KD}$, puis donne la valeur des deux autres rapports.

Ex. 9★★★Vrai ou faux : l'égalité est-elle bien écrite ? — Automatismes. Les points T, E, G sont alignés, ainsi que T, B, H, et les droites (EB) et (GH) sont parallèles. Pour chaque égalité proposée, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a$\frac{TE}{TG} = \frac{TB}{TH} = \frac{EB}{TH}$ : vrai ou faux ?
2. b$\frac{TG}{TE} = \frac{TB}{TH}$ : vrai ou faux ?
3. c$\frac{TE}{TG} = \frac{TB}{TH} = \frac{EB}{GH}$ : vrai ou faux ?
4. d$\frac{TE}{EG} = \frac{EB}{GH}$ : vrai ou faux ?
5. eOn donne TE = 5,4 cm et TG = 9 cm. $\frac{TB}{TH} = 0{,}6$ : vrai ou faux ?

Ex. 10★★★Écrire les trois rapports avant de choisir — Les points P, L, U sont alignés, ainsi que P, W, V ; les droites (LW) et (UV) sont parallèles. On donne PL = 3 cm, PU = 7,5 cm, PV = 6 cm et UV = 5 cm.

1. aÉcris l'égalité des trois rapports que donne le théorème de Thalès, en rédigeant les données.
2. bRemplace les longueurs connues. Quel rapport est entièrement connu ? Calcule sa valeur.
3. cCalcule PW.
4. dCalcule LW.

Ex. 11★★★Corriger l'erreur de Nora — Les points Y, H, C sont alignés, ainsi que Y, N, D ; les droites (HN) et (CD) sont parallèles. On donne YH = 4 cm, HC = 2 cm et YN = 3,2 cm. Pour calculer YD, Nora écrit : $\frac{YH}{HC} = \frac{YN}{YD}$, soit $\frac{4}{2} = \frac{3{,}2}{YD}$, donc $YD = 1{,}6$ cm.

1. aSans refaire le calcul, explique pourquoi le résultat de Nora est impossible.
2. bQuelle erreur Nora a-t-elle commise dans son égalité ?
3. cCalcule YC, puis calcule YD en rédigeant correctement.

Ex. 12★★★Deux parallèles dans le même triangle — Les points G, E, P, T sont alignés dans cet ordre, ainsi que G, L, V, Z. Les droites (EL), (PV) et (TZ) sont parallèles. On donne GE = 3 cm, EP = 1,5 cm, PT = 1,5 cm, GZ = 9 cm et TZ = 6,6 cm.

1. aNomme les trois triangles de sommet commun G. Écris l'égalité des trois rapports pour les triangles GEL et GTZ.
2. bCalcule GT, puis GL.
3. cCalcule EL.
4. dPour les triangles GEL et GPV, Léo écrit $\frac{GE}{EP} = \frac{GL}{LV} = \frac{EL}{GV}$. Trouve ses deux erreurs, puis écris l'égalité correcte.
5. eDéduis-en PV à l'aide des triangles GEL et GPV.

Ex. 13★★★Le montant du toboggan — Schéma d'un toboggan vu de côté : U est le pied de la glissière [UB] et [WB] est l'échelle verticale. Un montant vertical [QJ] soutient la glissière, avec J sur [UB] et Q sur [UW]. Les droites (QJ) et (WB) sont parallèles. On donne UQ = 1,2 m, QW = 2 m, QJ = 0,9 m et UB = 4 m.

1. aPour calculer WB, Inès écrit $\frac{UQ}{UW} = \frac{QJ}{UB}$. Explique son erreur, puis écris l'égalité des trois rapports.
2. bCalcule UW, puis la hauteur WB de l'échelle.
3. cCalcule UJ, puis la longueur JB.
4. dCalcule le rapport de réduction $k = \frac{UQ}{UW}$ qui fait passer du triangle UWB au triangle UQJ. Calcule le périmètre de UQJ grâce à $k$, puis vérifie-le avec ses trois côtés.

Ex. 14★★★Le verre conique vu en coupe — Un verre conique est vu en coupe : F est la pointe et [XN] le bord. Le liquide affleure en [EA], avec E sur [FX], A sur [FN] et (EA) // (XN). On donne FX = FN = 12 cm, XN = 8 cm et FE = 9 cm. Plus tard, la surface est en [HU], avec H sur [FX], U sur [FN], (HU) // (XN) et HU = 5 cm.

1. aÉcris l'égalité des trois rapports pour les triangles FEA et FXN.
2. bTom écrit $\frac{FE}{FX} = \frac{FA}{FN} = \frac{XN}{EA}$ et trouve EA ≈ 10,7 cm. Quel rapport est mal écrit ? Pourquoi son résultat est-il impossible ?
3. cCalcule la largeur EA de la surface du liquide.
4. dÉcris les trois rapports pour les triangles FHU et FXN, choisis les deux utiles, puis calcule FH.
5. eCalcule le rapport d'agrandissement qui fait passer du triangle FHU au triangle FXN, puis retrouve FX à partir de FH.

Ex. 15★★★Produit en croix dans une égalité de Thalès — Chaque égalité vient du théorème de Thalès. Calcule la longueur $x$ (en cm) par un produit en croix.

1. a$\dfrac{3}{8} = \dfrac{x}{6{,}4}$
2. b$\dfrac{x}{12} = \dfrac{4{,}5}{10}$
3. c$\dfrac{2{,}1}{3} = \dfrac{4{,}9}{x}$
4. d$\dfrac{6}{x} = \dfrac{1{,}5}{4}$
5. ePour $\frac{5}{x} = \frac{2}{7}$, Tom écrit $x = \frac{2 \times 7}{5} = 2{,}8$ cm. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 16★★★Choisir les deux bons rapports — Dans le triangle $DUV$, $G \in [DU]$ et $H \in [DV]$. Les droites (GH) et (UV) sont parallèles. On donne $DG = 4{,}2$ cm, $DU = 6$ cm, $DV = 5$ cm et $UV = 4$ cm.

1. aÉcris l'égalité des trois rapports, puis remplace les longueurs connues.
2. bQuels sont les deux rapports à garder pour calculer DH ? Calcule DH.
3. cQuels sont les deux rapports à garder pour calculer GH ? Calcule GH.
4. dContrôle tes deux résultats en les comparant aux côtés correspondants du grand triangle.

Ex. 17★★★Millimètres, centimètres et arrondi — Dans le triangle $WXY$, $R \in [WX]$ et $S \in [WY]$. Les droites (RS) et (XY) sont parallèles. On donne $WR = 45$ mm, $WX = 7$ cm, $WY = 6$ cm et $XY = 5$ cm. Arrondis au dixième.

1. aExprime WR en cm.
2. bCalcule WS : donne sa valeur exacte sous forme de fraction, puis sa valeur approchée.
3. cCalcule RS : donne sa valeur exacte sous forme de fraction, puis sa valeur approchée.
4. dMalik calcule $k = 4{,}5 \div 7 \approx 0{,}6$, puis $RS \approx 0{,}6 \times 5 = 3$ cm. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 18★★★Chercher un côté du grand triangle — Dans le triangle $OPQ$, $I \in [OP]$ et $J \in [OQ]$. Les droites (IJ) et (PQ) sont parallèles. On donne $OI = 2{,}4$ cm, $IJ = 3$ cm, $PQ = 5$ cm et $OQ = 4{,}5$ cm.

1. aCalcule le rapport de réduction $k = \frac{IJ}{PQ}$ et écris-le sous forme décimale.
2. bCalcule OP. Vérifie que ton résultat est cohérent.
3. cDéduis-en la longueur IP.
4. dCalcule OJ, puis JQ.

Ex. 19★★★Corriger le calcul de Léna — Dans le triangle $KLP$, $E \in [KL]$ et $F \in [KP]$. Les droites (EF) et (LP) sont parallèles. On donne $KE = 4$ cm, $EL = 1$ cm, $KF = 5{,}2$ cm et $LP = 5{,}5$ cm. Léna écrit : « $\frac{KE}{EL} = \frac{EF}{LP}$, soit $\frac{4}{1} = \frac{EF}{5{,}5}$, donc $EF = 22$ cm. »

1. aSans faire de calcul, explique pourquoi le résultat de Léna est forcément faux.
2. bQuelle erreur Léna a-t-elle faite dans son premier rapport ? Calcule la longueur KL.
3. cCalcule correctement EF en rédigeant avec le théorème de Thalès.
4. dCalcule KP, puis FP.

Ex. 20★★★Le verre conique de Nour — Nour dessine la coupe d'un verre conique : un triangle $SAB$ isocèle en $S$ ($SA = SB$), avec $M \in [SA]$ et $N \in [SB]$. La surface du jus [MN] est parallèle au bord [AB] : (MN) // (AB). On donne $AB = 6$ cm, $MN = 45$ mm et $SM = 7$ cm. Arrondis au dixième.

1. aNomme le sommet commun et les trois paires de côtés correspondants des triangles $SMN$ et $SAB$.
2. bExprime MN en cm, puis calcule le rapport de réduction $k = \frac{MN}{AB}$.
3. cCalcule SA : donne la valeur exacte sous forme de fraction, puis la valeur approchée. Contrôle ton résultat.
4. dCalcule le périmètre du triangle $SAB$ à partir de la valeur exacte de SA. Pourquoi ne faut-il pas partir de la valeur arrondie de SA ?

Ex. 21★★★La hauteur de l'arbre d'Inès — À Rennes, Inès plante un bâton vertical [BH] près d'un arbre vertical [PT], sur un sol horizontal. Leurs ombres se terminent au même point O : les points O, B, P sont alignés sur le sol, et O, H, T sur le rayon de soleil. On donne $OB = 1{,}6$ m, $BP = 10{,}4$ m, $BH = 1{,}2$ m et $OH = 2$ m.

1. aExplique pourquoi les droites (BH) et (PT) sont parallèles.
2. bCalcule la longueur OP.
3. cCalcule le coefficient d'agrandissement qui fait passer du triangle $OBH$ au triangle $OPT$.
4. dCalcule la hauteur PT de l'arbre en rédigeant avec le théorème de Thalès.
5. eCalcule la longueur OT, puis la longueur HT du rayon entre le haut du bâton et le haut de l'arbre.

Ex. 22★★★Automatismes : utiliser le rapport de réduction — Les points R, E, S sont alignés, ainsi que R, F, T, et $(EF) \parallel (ST)$. On a RE = $3{,}2$ cm et RS = $8$ cm.

1. aCalcule le rapport de réduction $k$ qui fait passer du triangle RST au triangle REF.
2. bOn donne ST = $6{,}5$ cm. Calcule EF à l’aide de $k$.
3. cOn donne RF = $2{,}4$ cm. Calcule RT.
4. dCalcule le rapport d’agrandissement qui fait passer du triangle REF au triangle RST.
5. eDéduis-en la longueur FT.
6. fSachant que $\widehat{RST} = 47^\circ$, donne la mesure de $\widehat{REF}$. Justifie.

Ex. 23★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Les points K, U, L sont alignés, ainsi que K, V, P, et $(UV) \parallel (LP)$. On a KU = $2{,}5$ cm et UL = $1{,}5$ cm. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a« Le rapport de réduction est $\frac{KU}{UL} = \frac{2{,}5}{1{,}5}$. »
2. b« Si KP = $4{,}8$ cm, alors KV = $3$ cm. »
3. c« Si le périmètre du triangle KLP est $12{,}8$ cm, alors celui du triangle KUV est $8$ cm. »
4. d« L’angle $\widehat{KUV}$ est plus petit que l’angle $\widehat{KLP}$, car le triangle KUV est plus petit. »
5. e« L’aire du triangle KUV s’obtient en multipliant l’aire du triangle KLP par le rapport de réduction. »
6. f« Si U était le milieu de [KL], avec toujours $(UV) \parallel (LP)$, alors V serait le milieu de [KP]. »

Ex. 24★★★Le rapport de Noé — Les points D, W, G sont alignés, ainsi que D, Z, H, et $(WZ) \parallel (GH)$. On a DZ = $4{,}2$ cm, ZH = $2{,}8$ cm et GH = $9$ cm.

1. aNoé écrit : « $k = \frac{DZ}{ZH} = \frac{4{,}2}{2{,}8} = 1{,}5$ ». Explique son erreur, puis calcule le bon rapport $k$.
2. bCalcule WZ en rédigeant ta démonstration.
3. cOn donne DG = $8{,}5$ cm. Calcule DW, puis WG.

Ex. 25★★★La ferme de charpente d’Inès — À Rodez, Inès fabrique une ferme de charpente. Le faîte est F, et les poutres [FO] et [FQ] mesurent chacune $3$ m. Les points F, I, O sont alignés, ainsi que F, J, Q. L’entrait [IJ] est parallèle à la base [OQ]. On a FI = $2$ m et IJ = $3$ m.

1. aCalcule le rapport de réduction $k$ qui fait passer du triangle FOQ au triangle FIJ.
2. bLéo écrit : « $OQ = k \times IJ$ » et trouve une longueur plus petite que IJ. Explique son erreur, puis calcule OQ.
3. cCalcule la longueur IO.
4. dCalcule le périmètre du triangle FOQ, puis déduis-en celui du triangle FIJ à l’aide de $k$.

Ex. 26★★★La voile de Maëlle — À Brest, Maëlle coud une voile triangulaire TBG : le mât [TB] est vertical et la bôme [BG] est horizontale. Une latte [RS] renforce la voile : les points T, R, B sont alignés, ainsi que T, S, G, et $(RS) \parallel (BG)$. On a TR = $4{,}2$ m, RB = $1{,}8$ m, BG = $4{,}5$ m et TG = $7{,}5$ m.

1. aCalcule TB, puis le rapport de réduction $k$ qui fait passer du triangle TBG au triangle TRS.
2. bCalcule la longueur RS de la latte et la longueur TS.
3. cDéduis-en la longueur SG.
4. dCalcule le périmètre du triangle TRS de deux façons différentes.
5. eMaëlle affirme : « L’aire de TBG est $13{,}5$ m², donc l’aire de TRS est $k \times 13{,}5$ m². » Justifie que TRS est rectangle en R, puis dis si elle a raison.

Ex. 27★★★Le verre conique de Yanis — À Lyon, Yanis dessine la coupe d’un verre conique : un triangle OPQ avec OP = OQ = $8$ cm, le pied O en bas. La surface du liquide est le segment [EF], avec E ∈ [OP], F ∈ [OQ] et $(EF) \parallel (PQ)$. On a OE = $5{,}2$ cm et EF = $3{,}9$ cm. Arrondis au centième si c’est nécessaire.

1. aCalcule EP, puis le rapport de réduction $k$ qui fait passer du triangle OPQ au triangle OEF.
2. bYanis écrit : « Pour passer de OE à OP, on ajoute EP.
   Donc pour passer de EF à PQ, on ajoute aussi EP. » Explique son erreur, puis calcule PQ.
3. cCalcule le rapport d’agrandissement qui fait passer du triangle OEF au triangle OPQ (valeur exacte et valeur approchée), puis retrouve PQ avec ce rapport.
4. dYanis ajoute du liquide : la surface devient [GH], avec G ∈ [OP], H ∈ [OQ], $(GH) \parallel (PQ)$ et GH = $5{,}1$ cm. Calcule OG, puis la distance GP.

Ex. 28★★★Trois triangles emboîtés — Les points L, U, K, P sont alignés dans cet ordre, ainsi que L, V, W, R, et $(UV) \parallel (KW) \parallel (PR)$. Le point U est le milieu de [LK]. On a LK = $7{,}2$ cm, KP = $0{,}8$ cm, KW = $5{,}4$ cm et LW = $6{,}3$ cm.

1. aExplique pourquoi V est le milieu de [LW], puis calcule UV.
2. bCalcule LP, puis le rapport de réduction qui fait passer du triangle LPR au triangle LKW.
3. cCalcule PR et LR, puis déduis-en WR.
4. dBen affirme : « $\frac{LP}{LU}$ est le rapport de réduction qui fait passer du triangle LPR au triangle LUV. » Vrai ou faux ? Justifie et donne le bon rapport.
5. eCalcule le périmètre du triangle LPR, puis déduis-en celui du triangle LUV sans additionner ses côtés.

Ex. 29★★★Automatismes : comparer les deux bons rapports — Sur la figure, E est un point de [IJ] et F un point de [IK]. Chaque question donne ses propres longueurs.

1. aIE = 3 cm, IJ = 5 cm, IF = 4,2 cm et IK = 7 cm. Calcule d'une part $\frac{IE}{IJ}$, d'autre part $\frac{IF}{IK}$. Les droites (EF) et (JK) sont-elles parallèles ? Justifie.
2. bIE = 5 cm, IJ = 9 cm, IF = 6 cm et IK = 11 cm. Les quotients ne tombent pas juste : compare les produits en croix. Les droites (EF) et (JK) sont-elles parallèles ? Justifie.
3. cIE = 6 cm, IJ = 8 cm et IK = 10 cm. Quelle longueur IF faut-il pour que (EF) // (JK) ?
4. dNoah veut prouver que (EF) // (JK) en se servant du rapport $\frac{EF}{JK}$. Pourquoi ne peut-il pas l'utiliser ?

Ex. 30★★★Automatismes : réciproque ou contraposée ? — Dans le triangle UVW, X est un point de [UV] et Y un point de [UW]. Pour chaque cas, cite la propriété utilisée.

1. a$\frac{UX}{UV} = \frac{2}{5}$ et $\frac{UY}{UW} = 0{,}45$. Les droites (XY) et (VW) sont-elles parallèles ? Justifie.
2. b$\frac{UX}{UV} = \frac{3}{4}$ et $\frac{UY}{UW} = 0{,}75$. Les droites (XY) et (VW) sont-elles parallèles ? Justifie.
3. c$\frac{UX}{UV} = 0{,}6$ et $\frac{YW}{UW} = 0{,}6$. Inès conclut que (XY) // (VW). A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 31★★★Calculer les longueurs des grands côtés avant de comparer — Les points D, H, G sont alignés, ainsi que D, L, K, avec H ∈ [DG] et L ∈ [DK]. On donne DH = 3 cm, HG = 2 cm, DL = 3,6 cm et LK = 2,4 cm.

1. aCalcule les longueurs DG et DK.
2. bLes droites (HL) et (GK) sont-elles parallèles ? Justifie.
3. cOn donne GK = 4,5 cm. Calcule la longueur HL.

Ex. 32★★★Une figure qui a l'air juste — Les points R, S, T sont alignés, ainsi que R, U, V, avec S ∈ [RT] et U ∈ [RV]. On donne RS = 6 cm, RT = 11 cm, RU = 7 cm et RV = 13 cm. Sur le dessin, (SU) et (TV) semblent parallèles. Arrondis au dixième.

1. aTom arrondit $\frac{RS}{RT}$ et $\frac{RU}{RV}$ au dixième, trouve 0,5 deux fois et conclut que (SU) // (TV). A-t-il raison ? Justifie.
2. bSans calculatrice, écris $\frac{RS}{RT}$ et $\frac{RU}{RV}$ avec le même dénominateur 143, puis dis lequel des deux rapports est le plus grand.
3. cOn garde RS, RT et RV, mais on déplace U sur [RV]. Quelle longueur RU (valeur exacte puis valeur approchée) rendrait (SU) // (TV) ?

Ex. 33★★★Une ferme de charpente — Yanis, charpentier à Annecy, pose une poutre [EF] dans une ferme de toit vue de face. Les points S, E, P sont alignés, ainsi que S, F, Q, avec E ∈ [SP] et F ∈ [SQ]. On donne SE = 1,8 m, EP = 2,7 m, SF = 2,2 m, FQ = 3,3 m et PQ = 8 m.

1. aCalcule les longueurs SP et SQ.
2. bLa poutre doit être parallèle au sol (PQ). Est-ce le cas ? Justifie.
3. cCalcule la longueur EF de la poutre.
4. dDonne le rapport de réduction qui fait passer du triangle SPQ au triangle SEF, puis déduis-en le périmètre du triangle SEF.

Ex. 34★★★Deux segments, un seul parallèle — Dans le triangle OBC, U et V sont deux points de [OB], W et Z deux points de [OC]. On donne OB = 12 cm, OC = 9 cm, OU = 4 cm, OV = 8,4 cm, OW = 3 cm et OZ = 6,4 cm. Sur le dessin, (UW) et (VZ) semblent toutes les deux parallèles à (BC). Ne mesure pas : calcule, sans arrondir.

1. aLes droites (UW) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie.
2. bLes droites (VZ) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie à l'aide d'un produit en croix.
3. cDans le triangle OVZ, U est un point de [OV] et W un point de [OZ]. Les droites (UW) et (VZ) sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dOn déplace Z sur [OC] pour que (VZ) soit parallèle à (BC). Calcule la nouvelle longueur OZ.

Ex. 35★★★Deux copies à corriger — Dans le triangle GHT, P est un point de [GH] et R un point de [GT]. On donne GP = 6 cm, PH = 4 cm, GR = 6,5 cm, RT = 6,5 cm, PR = 3,5 cm et HT = 7 cm.

1. aJade écrit : « $\frac{PR}{HT} = \frac{3{,}5}{7} = 0{,}5$ et R est le milieu de [GT], donc $\frac{GR}{GT} = 0{,}5$.
   Donc (PR) // (HT). » Explique son erreur.
2. bHugo compare $\frac{GP}{GH}$ et $\frac{RT}{GT}$. Pourquoi ces deux rapports ne conviennent-ils pas ?
3. cLes droites (PR) et (HT) sont-elles parallèles ? Rédige la démonstration complète.
4. dSoit S le milieu de [GH]. Démontre que (SR) // (HT), puis calcule SR et compare cette longueur avec PR.

Ex. 36★★★Repérer la configuration dans une ombre — À Rennes, Inès veut mesurer la hauteur d'un mât vertical [DE]. Elle plante un bâton vertical [RT] pour que le bout de son ombre coïncide avec le bout O de l'ombre du mât. Les points O, R, D sont alignés sur le sol, ainsi que O, T, E sur un rayon de soleil.

1. aQuel est le sommet commun ? Nomme les deux triangles emboîtés.
2. bExplique pourquoi les droites (RT) et (DE) sont parallèles.
3. cQuel côté du grand triangle correspond à [OT] ? Et lequel correspond à [RT] ?
4. dÉcris l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.
5. eLéo écrit $\frac{OR}{RD} = \frac{RT}{DE}$. Explique son erreur et corrige-la.

Ex. 37★★★Le verre conique vu en coupe — Ben dessine un verre conique vu en coupe. S est la pointe, O le centre de l'ouverture et B un point du bord. H est le centre de la surface du liquide et E un point du bord de cette surface : H ∈ [SO], E ∈ [SB] et (HE) // (OB). On a SO = 12 cm et OB = 4 cm.

1. aLe liquide monte jusqu'à SH = 9 cm. Calcule le rayon HE de sa surface.
2. bLe rayon de la surface vaut HE = 2,4 cm. Calcule la hauteur SH du liquide.
3. cLe liquide monte jusqu'à SH = 0,03 m. Calcule le rayon HE en cm.
4. dZoé trouve un rayon HE = 5 cm. Sans calcul, explique pourquoi c'est impossible.

Ex. 38★★★La hauteur d'un immeuble grâce à son ombre — À Marseille, Nora veut connaître la hauteur IJ d'un immeuble vertical. Elle plante un bâton vertical [PQ] de 80 cm pour que le bout de son ombre coïncide avec le bout O de l'ombre de l'immeuble. Elle mesure OP = 1,25 m (l'ombre du bâton) et PI = 23,75 m (distance entre le bâton et le pied de l'immeuble). O, P, I sont alignés, ainsi que O, Q, J.

1. aCalcule la longueur OI de l'ombre de l'immeuble.
2. bCalcule la hauteur IJ de l'immeuble. Rédige complètement.
3. cKarim a calculé $\frac{23{,}75 \times 80}{1{,}25}$ et annonce 1 520 m. Explique ses deux erreurs.

Ex. 39★★★Viser le sommet d'un arbre — À Annecy, Malo vise le sommet S d'un arbre vertical [FS] : son œil Y, le haut P d'une perche verticale [KP] de 2,5 m et S sont alignés. Son œil est à 1,7 m du sol. La droite horizontale qui part de Y coupe la perche en R et l'arbre en T (FT = 1,7 m), avec YR = 1,8 m et YT = 18 m.

1. aCalcule la longueur RP.
2. bCalcule la longueur TS. Rédige complètement.
3. cLina affirme que la hauteur de l'arbre est égale à TS. A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule la hauteur FS de l'arbre.

Ex. 40★★★La largeur d'une rivière — À Besançon, Clara veut connaître la largeur d'une rivière sans la traverser. E et F sont sur sa rive. G et H sont deux arbres sur l'autre rive. Les points K, E, G sont alignés, ainsi que K, F, H, et la droite (KG) est perpendiculaire aux rives. Les deux rives sont parallèles : (EF) // (GH). Clara mesure KE = 12 m et EF = 16 m, et un panneau indique GH = 40 m.

1. aNomme le sommet commun des triangles emboîtés KEF et KGH, puis leurs côtés correspondants.
2. bÉcris l'égalité des trois rapports, puis calcule la longueur KG.
3. cDéduis-en la largeur EG de la rivière. Écris une phrase de conclusion.
4. dTom écrit $\frac{KE}{EG} = \frac{EF}{GH}$ pour calculer directement la largeur EG. Explique son erreur.

Ex. 41★★★L'ombre sous un lampadaire — À Lille, le soir, Yanis (TH = 150 cm) se tient debout bien droit, à TP = 4,4 m du pied P d'un lampadaire vertical [PL]. Son ombre [ST] mesure 2 m. Les points S, T, P sont alignés sur le sol horizontal, et les points S, H, L sont alignés.

1. aExplique pourquoi les droites (TH) et (PL) sont parallèles. Nomme le sommet commun des deux triangles emboîtés.
2. bCalcule la hauteur PL du lampadaire, en mètres.
3. cJade a gardé TH = 150 cm sans convertir, avec les autres longueurs en mètres. Quel nombre trouve-t-elle pour PL ? Est-il plausible ? Explique son erreur.
4. dHugo pense qu'il faut ajouter la taille de Yanis à la hauteur que tu as trouvée. A-t-il raison ? Justifie.
5. eElsa, la sœur de Yanis, mesure 1,32 m. Elle se place sur [SP], debout, et le bout de son ombre est aussi en S. À quelle distance du pied du lampadaire se tient-elle ?

Ex. 42★★★Les renforts d'une rampe de skate — À Nantes, Sacha construit une rampe de skate. Le sol [DE] est horizontal, le montant [EF] est vertical, et la planche [DF] est droite : DE = 3,5 m, EF = 1,2 m, DF = 3,7 m. Il fixe deux renforts : [GH] et [KL], avec G et K sur [DE], H et L sur [DF]. Un renfort est vertical quand il est parallèle au montant [EF].

1. aSacha mesure DG = 140 cm et DH = 148 cm. Les droites (GH) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifie.
2. bCalcule la hauteur GH du renfort, en centimètres.
3. cPour [KL], DK = 2,8 m et DL = 2,95 m. Maëlle arrondit les deux rapports au dixième, trouve 0,8 deux fois et conclut que [KL] est vertical. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dSacha garde K à sa place. À quelle distance de D doit-il placer L sur [DF] pour que [KL] soit vertical ?

Ex. 43★★★Compléter une rédaction pas à pas — Dans le triangle RST, U ∈ [RS], V ∈ [RT] et (UV) // (ST). On donne RU = 4,2 cm, RS = 7 cm et RT = 6,5 cm. Tu veux calculer RV : rédige la démonstration étape par étape.

1. aQuels points sont alignés ? Écris-les dans l'ordre.
2. bQuelle donnée sur les droites dois-tu écrire avant de citer le théorème de Thalès ? Pourquoi ?
3. cÉcris l'égalité des trois rapports avec les lettres de la figure.
4. dRemplace les longueurs connues. Indique les deux rapports que tu gardes.
5. eCalcule RV par un produit en croix et conclus avec l'unité.

Ex. 44★★★Vrai ou faux ? — Dans le triangle GHI, K ∈ [GH], L ∈ [GI] et (KL) // (HI). On donne GK = 2 cm, GH = 5 cm et HI = 7 cm. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a« Avec ces données, il manque une longueur pour calculer GL. »
2. b« On peut écrire $\frac{GK}{KH} = \frac{KL}{HI}$. »
3. c« On peut écrire $\frac{GH}{GK} = \frac{GI}{GL} = \frac{HI}{KL}$. »
4. d« On peut écrire $\frac{GK}{GH} = \frac{GI}{GL}$. »
5. e« $KL = \dfrac{5 \times 7}{2} = 17{,}5$ cm. »
6. f« Pour calculer KL, on utilise la réciproque du théorème de Thalès. »

Ex. 45★★★La rédaction d'Inès — Dans le triangle PDJ, E ∈ [PD], F ∈ [PJ] et (EF) // (DJ). On donne PE = 3 cm, ED = 6 cm et DJ = 7,5 cm. Inès rédige : « Les points P, E, D sont alignés, ainsi que P, F, J. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $\frac{PE}{ED} = \frac{EF}{DJ}$, soit $\frac{3}{6} = \frac{EF}{7{,}5}$, donc $EF = 3{,}75$ cm. »

1. aAvant d'écrire ses rapports, Inès oublie une donnée et cite le mauvais théorème. Lesquels ?
2. bQuelle erreur fait-elle dans les rapports ? Calcule la bonne longueur à utiliser.
3. cRédige la démonstration correcte et calcule EF.

Ex. 46★★★Deux parallèles successives — Les points O, E, F, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points O, G, H, C. Les droites (EG) et (FH) sont parallèles. On donne OE = 2 cm, OF = 5 cm, OG = 1,8 cm, FB = 2 cm et HC = 1,9 cm.

1. aCalcule OH en rédigeant la démonstration.
2. bCalcule les longueurs OB et OC.
3. cLes droites (FH) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 47★★★La charpente de Lucas — Lucas, charpentier, schématise une ferme de toit par le triangle SBC. Les points S, M, B sont alignés, ainsi que S, N, C, et (MN) // (BC). On donne SM = 1,8 m, MB = 2,7 m, SC = 4,5 m et BC = 7,2 m.

1. aCalcule d'abord SB, puis rédige la démonstration complète qui donne la longueur MN de la barre.
2. bCalcule le rapport de réduction k qui fait passer du triangle SBC au triangle SMN, puis le rapport d'agrandissement qui fait passer du triangle SMN au triangle SBC.
3. cDéduis-en le périmètre du triangle SMN, sans calculer SN.
4. dLucas ajoute une barre [PQ] avec P ∈ [SB], Q ∈ [SC], SP = 3,6 m et SQ = 3,2 m. Les droites (PQ) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 48★★★Le contrôle de Yanis — Dans le triangle HUV, E ∈ [HU], F ∈ [HV] et (EF) // (UV). On donne HE = 4,5 cm, HU = 7,5 cm, HV = 6 cm et UV = 5 cm. Pour calculer HF, Yanis écrit : « D'après le théorème de Thalès, $\frac{HE}{HU} = \frac{HV}{HF}$, soit $\frac{4{,}5}{7{,}5} = \frac{6}{HF}$, donc $HF = \frac{7{,}5 \times 6}{4{,}5} = 10$ cm. »

1. aSans refaire son calcul, explique pourquoi le résultat de Yanis est forcément faux.
2. bTrouve son erreur, puis rédige la démonstration complète qui donne HF.
3. cPour EF, Yanis calcule EU = 3 cm et écrit $\frac{HE}{EU} = \frac{EF}{UV}$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule EF.
4. dYanis place G ∈ [HU] et I ∈ [HV] avec HG = 5 cm et HI = 4,1 cm. Il écrit : « $\frac{HG}{HU} \approx 0{,}7$ et $\frac{HI}{HV} \approx 0{,}7$, donc (GI) // (UV). » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 49★★★Le verre de sirop de Mia — Mia dessine un verre conique vu en coupe : le triangle SAB, de pointe S, d'axe (SH), où H est le milieu du bord [AB]. On donne SH = 12 cm, HA = 5 cm et SA = 13 cm. La surface [MN] du sirop coupe l'axe en I, milieu de [MN], avec SI = 9 cm. [AB] et [MN] sont perpendiculaires à l'axe (SH).

1. aDans les triangles emboîtés SIM et SHA, nomme le sommet commun et justifie que (IM) //
   (HA).
2. bRédige la démonstration qui donne IM, puis déduis-en le diamètre MN de la surface du sirop.
3. cCalcule la longueur SM de la paroi touchée par le sirop.
4. dCalcule le rapport de réduction k qui fait passer du triangle SHA au triangle SIM, puis le périmètre du triangle SIM.
5. eMia veut une surface de sirop de 6 cm de diamètre. Sur l'axe, à quelle distance SJ de la pointe doit arriver le sirop ?