Troisième / Théorème de Thalès

Ex. 1★★★Automatismes : écrire les bons rapports — Sur la figure, $E \in [PK]$, $F \in [PL]$ et $(EF) \parallel (KL)$. On donne $PE = 3$ cm et $EK = 4{,}5$ cm.

1. aNomme le petit triangle, le grand triangle et leur sommet commun.
2. bQuel côté du triangle $PKL$ correspond au côté $[EF]$ ? Et au côté $[PF]$ ?
3. cÉcris l'égalité des trois rapports du théorème de Thalès.
4. dInès écrit $\frac{PE}{EK} = \frac{PF}{FL}$ et trouve le rapport $\frac{3}{4{,}5}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule le bon rapport.
5. eSami affirme qu'on peut écrire ces rapports même si $(EF)$ et $(KL)$ ne sont pas parallèles. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : le produit en croix dans le bon sens — Dans chaque cas, $(MN) \parallel (BC)$ dans un triangle $ABC$ avec $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$. Les longueurs sont en cm. Arrondis au dixième si le résultat n'est pas décimal.

1. aOn a $\frac{3}{8} = \frac{AN}{12}$. Calcule $AN$.
2. bTom écrit : « $\frac{4}{AC} = \frac{5}{9}$, donc $AC = \frac{4 \times 5}{9}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cSur la figure, $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 6$ cm et $BC = 5$ cm. Calcule $MN$.
4. dOn a $\frac{AM}{7} = \frac{6}{11}$. Calcule $AM$.

Ex. 3★★★Un triangle couché, une longueur à déduire — Les points $S$, $U$, $R$ sont alignés, ainsi que $S$, $V$, $T$, et $(UV) \parallel (RT)$. On donne $SU = 4$ cm, $UR = 2{,}6$ cm, $ST = 7{,}7$ cm et $RT = 5$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule $SR$, puis la valeur exacte et l'arrondi de $SV$.
2. bCalcule $UV$.
3. cDéduis-en $VT$.
4. dJade arrondit d'abord $\frac{4}{6{,}6}$ à $0{,}6$ et trouve $SV \approx 4{,}6$ cm. Explique son erreur.

Ex. 4★★★La baguette de plomb du vitrail — Dans un vitrail triangulaire $DEF$, une baguette de plomb $[GH]$ est posée avec $G \in [DE]$, $H \in [DF]$ et $(GH) \parallel (EF)$. On donne $DE = 7{,}5$ cm, $DF = 8$ cm, $EF = 6{,}5$ cm et $GE = 3$ cm.

1. aNoé écrit $\frac{GE}{DE} = \frac{GH}{EF}$ et trouve $GH = 2{,}6$ cm. Explique son erreur, puis calcule $GH$.
2. bCalcule le rapport de réduction, puis le périmètre du triangle $DGH$ à l'aide de ce rapport.
3. cOn place $I$, milieu de $[DG]$, et $J \in [DH]$ tel que $(IJ) \parallel (GH)$. Calcule $IJ$.

Ex. 5★★★La latte de la voile — La voile du bateau de Lina, à Brest, est un triangle $RST$ rectangle en $S$ : $[RS]$ longe le mât et $[ST]$ longe la bôme. Une latte $[UV]$ est cousue sur la voile, avec $U \in [RS]$, $V \in [RT]$ et $(UV) \perp (RS)$. On donne $RU = 4{,}8$ m, $US = 2{,}4$ m et $ST = 3$ m.

1. aJustifie que les droites $(UV)$ et $(ST)$ sont parallèles.
2. bCalcule $RS$, puis la longueur $UV$ de la latte.
3. cCalcule $RT$, puis $RV$ et $VT$.
4. dCalcule l'aire de la partie de voile située sous la latte, c'est-à-dire du quadrilatère $USTV$.

Ex. 6★★★Deux parallèles dans le même triangle — Dans le triangle $QPR$, les points $Z$ et $X$ sont sur $[QP]$, les points $T$ et $Y$ sont sur $[QR]$, avec $(ZT) \parallel (PR)$ et $(XY) \parallel (PR)$. Le point $X$ est le milieu de $[QP]$. On donne $QZ = 2{,}2$ cm, $ZP = 4{,}4$ cm, $QR = 7$ cm et $PR = 9{,}4$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule $QP$. Où se trouve le point $Y$ ? Calcule $QY$ et $XY$.
2. bCalcule $QT$ : donne sa valeur exacte, puis son arrondi.
3. cCalcule $ZT$ : donne sa valeur exacte, puis son arrondi.
4. dMalo additionne ses arrondis $2{,}2 + 2{,}3 + 3{,}1$ et annonce que le périmètre du triangle $QZT$ vaut $7{,}6$ cm. Explique son erreur, puis donne le bon arrondi.

Ex. 7★★★La traverse du toit de la cabane — Dans la cabane de Yanis, à Annecy, la coupe du toit est un triangle $HEG$ isocèle en $H$. Une traverse $[LF]$ relie $L \in [HE]$ et $F \in [HG]$, avec $(LF) \parallel (EG)$. On mesure $LE = 0{,}9$ m, $LF = 1{,}8$ m et $EG = 3$ m. La longueur $HL$ ne se mesure pas directement. Arrondis les longueurs au centième et les angles au degré.

1. aOn pose $HL = x$. Exprime $HE$ en fonction de $x$. Écris ensuite l'égalité de Thalès qui relie $x$, $LF$ et $EG$.
2. bRésous cette équation, puis déduis-en $HL$ et $HE$.
3. c$I$ est le milieu de $[EG]$ et $(HI) \perp (EG)$. Calcule la hauteur $HI$ du toit.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{HEG}$, c'est-à-dire l'angle d'inclinaison du toit.
5. eZoé affirme : « Comme le toit est isocèle, $HF = HL$ et $FG = LE$. » A-t-elle raison ? Justifie avec le théorème de Thalès.

Ex. 8★★★Automatismes : reconnaître le papillon — Réponds à chaque question en justifiant.

1. aLes points R, E, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que S, E, T, et $(RS) \parallel (UT)$. Quelle est la configuration ? Écris l'égalité de Thalès.
2. bLes points E, R, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que E, S, T, et $(RS) \parallel (UT)$. Quelle est la configuration ? Écris l'égalité de Thalès.
3. cZoé affirme : « M, A, B sont alignés dans cet ordre, A, N, C aussi : c'est une configuration papillon. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dSur la figure, G, F, K sont alignés dans cet ordre, ainsi que H, F, P, et $(GH) \parallel (KP)$. Le segment [FG] va-t-il avec [FK] ou avec [FP] ? Écris l'égalité des rapports.
5. eLes droites (RU) et (ST) sont sécantes en E, avec E entre R et U et entre S et T. On donne $\widehat{RES} = 52^\circ$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{UET}$ ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : calculer une longueur en papillon — Dans chaque cas, écris l'égalité de Thalès puis calcule la longueur demandée. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième si elle n'est pas décimale.

1. aLes points D, O, F sont alignés dans cet ordre, ainsi que G, O, H, et $(DG) \parallel (FH)$. On donne $OD = 4$ cm, $OF = 5$ cm et $OH = 4$ cm. Calcule OG.
2. bLes points K, I, L sont alignés dans cet ordre, ainsi que J, I, N, et $(KJ) \parallel (LN)$. On donne $IK = 7$ cm, $IL = 4$ cm et $LN = 3{,}6$ cm. Calcule KJ, puis contrôle ton résultat avec le rapport $\frac{IK}{IL}$.
3. cLes droites (UZ) et (YW) sont sécantes en P ; U, P, Z sont alignés dans cet ordre, ainsi que Y, P, W, et $(UY) \parallel (ZW)$. On donne $PU = 7$ cm, $PZ = 3$ cm et $ZW = 5$ cm. Calcule UY.

Ex. 10★★★Longueurs à déduire avant et après Thalès — Les droites (GK) et (FJ) sont sécantes en O. Les points G, O, K sont alignés dans cet ordre, ainsi que F, O, J, et $(GF) \parallel (KJ)$. On donne $GK = 12{,}6$ cm, $OG = 4{,}2$ cm et $OF = 3{,}5$ cm.

1. aCalcule OK.
2. bCalcule OJ.
3. cLéo écrit : « $FJ = OJ - OF$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule FJ.

Ex. 11★★★Le vitrail en nœud papillon — Ben dessine la maquette d'un vitrail en forme de nœud papillon. Les points P, I, L sont alignés dans cet ordre, ainsi que Q, I, N, et $(PQ) \parallel (LN)$. On donne $IP = 12$ cm, $IL = 18$ cm et $PQ = 10$ cm.

1. aExplique pourquoi les angles $\widehat{PIQ}$ et $\widehat{LIN}$ sont égaux.
2. bCalcule le rapport $\frac{IL}{IP}$. Le triangle ILN est-il un agrandissement ou une réduction du triangle IPQ ? Justifie.
3. cCalcule LN.
4. dLe périmètre du triangle IPQ est 32 cm. Calcule le périmètre du triangle ILN sans calculer IN.

Ex. 12★★★Le plan de la passerelle — Ben dessine le plan d'une passerelle. Les droites (HY) et (LZ) sont sécantes en K. Les points H, K, Y sont alignés dans cet ordre, ainsi que L, K, Z, et $(HL) \parallel (YZ)$. Le triangle KHL est rectangle en H. On donne $KH = 4{,}8$ cm, $HL = 3{,}6$ cm et $HY = 16{,}8$ cm.

1. aCalcule la longueur KL.
2. bCalcule la longueur KY.
3. cCalcule les longueurs KZ et YZ.
4. dLe triangle KYZ est un agrandissement du triangle KHL. Calcule le rapport $\frac{KY}{KH}$, puis déduis-en le périmètre de KYZ sans additionner ses côtés.
5. eCalcule la longueur LZ.

Ex. 13★★★Le tréteau de Maëlle — Maëlle assemble un tréteau dont les deux montants se croisent en J. Les droites (DS) et (XB) sont sécantes en J. Les points D, J, S sont alignés dans cet ordre, ainsi que X, J, B. On donne $JD = 28$ cm, $JS = 42$ cm, $JX = 36$ cm et $JB = 55$ cm.

1. aLina écrit : « $\frac{JD}{JS} = \frac{28}{42} \approx 0{,}7$ et $\frac{JX}{JB} = \frac{36}{55} \approx 0{,}7$, donc $(DX) \parallel (SB)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bBen garde les points D, J, S et X, et déplace B sur la droite (XJ), toujours de l'autre côté de J par rapport à X. Calcule la longueur JB pour que $(DX) \parallel (SB)$.
3. cAvec ce nouveau réglage, calcule la longueur XB du montant.
4. dAvec ce nouveau réglage, Maëlle mesure $DX = 30$ cm. Calcule la longueur SB.

Ex. 14★★★Les deux saules de l'étang — Inès veut connaître la distance entre deux saules P et Q, situés au bord d'un étang. Elle plante trois piquets C, R et S. Les points P, C, R sont alignés dans cet ordre, ainsi que Q, C, S, et $(PQ) \parallel (RS)$. Le triangle CRS est rectangle en R. On donne $CR = 12$ m, $RS = 9$ m et $CP = 32$ m. Arrondis au degré.

1. aNoé écrit : $\frac{CP}{CS} = \frac{PQ}{RS}$. Explique son erreur, puis écris l'égalité de Thalès correcte.
2. bCalcule la distance PQ entre les deux saules.
3. cQuel outil permet de calculer l'angle $\widehat{RCS}$ ? Justifie ton choix, puis calcule cet angle.
4. dJustifie que $\widehat{PCQ} = \widehat{RCS}$, puis que le triangle CPQ est rectangle en P.
5. eCalcule la distance CQ.

Ex. 15★★★Parallèles ou pas ? Triangles emboîtés — Dans chaque cas, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$. Compare les rapports en valeurs exactes, sans arrondir.

1. a$AM = 2{,}4$ cm, $AB = 3{,}6$ cm, $AN = 3{,}4$ cm et $AC = 5{,}1$ cm : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
2. b$AM = 5$ cm, $AB = 7$ cm, $AN = 7$ cm et $AC = 10$ cm : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
3. c$AM = 3$ cm, $AB = 7$ cm, $AN = 4{,}3$ cm et $AC = 10$ cm. Lina écrit : « $\frac{3}{7} \approx 0{,}43$ et $\frac{4{,}3}{10} = 0{,}43$, donc $(MN) \parallel (BC)$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. d$AM = 2{,}5$ cm, $MB = 1{,}5$ cm, $AN = 3$ cm et $NC = 1{,}8$ cm : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 16★★★Bien lire la configuration avant de conclure — Les droites $(RU)$ et $(ST)$ sont sécantes en $E$. Sur la figure, les points $R$, $E$, $U$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $S$, $E$, $T$.

1. aQuelle configuration reconnais-tu sur la figure ? Les points sont-ils dans le même ordre ? Justifie.
2. bPour prouver que $(RS) \parallel (UT)$, écris les deux rapports qu'il faut comparer.
3. cSur une autre figure, $E$, $R$, $U$ sont alignés dans cet ordre, $S$, $E$, $T$ aussi, et $ER = 1{,}8$ cm, $EU = 4{,}5$ cm, $ES = 2$ cm, $ET = 5$ cm. Les droites $(RS)$ et $(UT)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dInès mesure $RS$ et $UT$, puis compare $\frac{ER}{EU}$ et $\frac{RS}{UT}$ pour prouver le parallélisme. Explique son erreur.

Ex. 17★★★Le vitrail : la bonne longueur pour des droites parallèles — Sur un vitrail d'une chapelle de Quimper, deux baguettes de plomb $(KF)$ et $(PG)$ se coupent en $O$. Les points $K$, $O$, $F$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $P$, $O$, $G$. $OK = 3$ cm, $OF = 4{,}5$ cm et $OP = 2{,}4$ cm.

1. aCalcule la longueur $OG$ qui rendrait les droites $(KP)$ et $(FG)$ parallèles.
2. bL'artisan a en fait posé $G$ tel que $OG = 3{,}7$ cm. Les droites $(KP)$ et $(FG)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
3. cOn place maintenant $G$ à la distance trouvée à la question a). Par quel nombre faut-il multiplier les longueurs du triangle $OKP$ pour obtenir celles du triangle $OFG$ ?

Ex. 18★★★La traverse de l'abri de jardin — À Annecy, Hugo fixe une traverse $[TU]$ entre les deux chevrons d'un abri de jardin. $T \in [SR]$, $U \in [SV]$ ; $ST = 1{,}2$ m, $TR = 0{,}8$ m, $SU = 1{,}5$ m, $UV = 1$ m, $RV = 3$ m et $\widehat{SRV} = 56^\circ$.

1. aCalcule les longueurs $SR$ et $SV$.
2. bLa traverse $(TU)$ est-elle parallèle au sol $(RV)$ ? Justifie.
3. cCalcule la longueur de la traverse $[TU]$.
4. dDéduis-en la mesure de l'angle $\widehat{STU}$. Justifie.

Ex. 19★★★La passerelle de Bordeaux — À Bordeaux, Maëlle étudie la structure métallique d'une passerelle. Les points $L$, $I$, $D$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $J$, $I$, $H$. On a $IL = 1{,}6$ m, $ID = 2{,}4$ m, $IJ = 2$ m et $IH = 3$ m. L'angle $\widehat{ILJ}$ est droit. Arrondis l'angle au degré.

1. aDémontre que les droites $(LJ)$ et $(DH)$ sont parallèles.
2. bDémontre que le triangle $IDH$ est rectangle en $D$.
3. cCalcule la longueur $LJ$, puis la longueur $DH$.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{LIJ}$.
5. eCalcule le périmètre du triangle $ILJ$, puis déduis-en celui du triangle $IDH$ sans additionner ses côtés.

Ex. 20★★★La latte de la voile — À La Rochelle, Lucas renforce la voile triangulaire $GDF$ de son dériveur avec une latte $[KN]$, où $K \in [GD]$ et $N \in [GF]$. On a $GK = 1{,}5$ m, $KD = 2{,}6$ m, $GN = 1{,}8$ m et $NF = 3{,}1$ m. Arrondis au centimètre.

1. aCalcule les longueurs $GD$ et $GF$.
2. bTom veut mesurer $KN$ et $DF$ pour comparer $\frac{KN}{DF}$ à $\frac{GK}{GD}$. Explique pourquoi ce n'est pas la bonne méthode.
3. cLéna écrit : « $\frac{GK}{GD} \approx 0{,}37$ et $\frac{GN}{GF} \approx 0{,}37$, donc, d'après le théorème de Thalès, $(KN) \parallel (DF)$. » Trouve ses deux erreurs.
4. dLes droites $(KN)$ et $(DF)$ sont-elles parallèles ? Justifie avec des produits en croix.
5. eBen propose de déplacer $K$ sur $[GD]$ sans bouger $N$. Calcule la longueur $GK$ qui rendrait les droites $(KN)$ et $(DF)$ parallèles.

Ex. 21★★★Même rapport, mauvais ordre — Les droites $(RS)$ et $(PQ)$ sont sécantes en $O$. Les points $O$, $P$, $Q$ sont alignés dans cet ordre, et les points $R$, $O$, $T$, $S$ aussi. On a $OP = 2{,}4$ cm, $OQ = 4{,}2$ cm, $OR = OT = 4$ cm, $OS = 7$ cm et $QS = 5{,}6$ cm. Arrondis l'angle au dixième de degré.

1. aNoé affirme que, comme $\frac{OP}{OQ} = \frac{OR}{OS}$, les droites $(PR)$ et $(QS)$ sont parallèles. Calcule ces deux rapports. Noé a-t-il raison ? Justifie.
2. bDémontre que les droites $(PT)$ et $(QS)$ sont parallèles.
3. cDémontre que le triangle $OQS$ est rectangle en $Q$.
4. dCalcule la longueur $PT$.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{QOS}$.

Ex. 22★★★Automatismes : comparer deux rapports sans arrondir — Compare les rapports en valeurs exactes : décimaux exacts, fractions irréductibles ou produits en croix, jamais d'arrondi.

1. aCalcule $\frac{3}{8}$ et $\frac{4{,}5}{12}$ sous forme décimale. Ces deux rapports sont-ils égaux ?
2. bArrondis au centième, $\frac{7}{9}$ et $\frac{78}{100}$ donnent tous les deux 0,78. Sont-ils égaux ? Justifie avec les produits en croix.
3. cÉcris $\frac{13{,}5}{21}$ sous forme de fraction irréductible, puis compare-la à $\frac{9}{14}$.
4. dCalcule les produits en croix de $\frac{6}{13}$ et $\frac{7}{15}$. Qu'en déduis-tu pour ces deux rapports ?

Ex. 23★★★Automatismes : réciproque ou contraposée ? — Les droites (RU) et (ST) sont sécantes en E. Dans chaque cas, dis si les droites (RS) et (UT) sont parallèles en nommant la propriété utilisée, ou explique pourquoi on ne peut pas conclure.

1. aR, E, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que S, E, T ; ER = 2,5 cm, EU = 10 cm, ES = 3 cm et ET = 12 cm.
2. bE, R, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que E, S, T ; ER = 5 cm, EU = 8 cm, ES = 6 cm et ET = 10 cm.
3. cR, E, U sont alignés dans cet ordre, mais ce sont E, S, T qui sont alignés dans cet ordre ; ER = 3 cm, EU = 4 cm, ES = 4,5 cm et ET = 6 cm.
4. dR, E, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que S, E, T ; ER = 5 cm, EU = 12 cm, ES = 6 cm et ET = 14 cm.

Ex. 24★★★Le vitrail de Tom — Sur un vitrail, Tom repère le triangle JLK, avec F sur [JL] et G sur [JK] ; JF = 5 cm, JL = 7 cm, JG = 7,1 cm et JK = 10 cm. Tom écrit : « $\frac{JF}{JL} \approx 0{,}71$ et $\frac{JG}{JK} = 0{,}71$ ; les rapports sont presque égaux, donc $(FG) \parallel (LK)$ d'après la réciproque. »

1. aExplique pourquoi la comparaison de Tom ne prouve rien.
2. bCompare $\frac{JF}{JL}$ et $\frac{JG}{JK}$ à l'aide des produits en croix.
3. cLes droites (FG) et (LK) sont-elles parallèles ? Rédige ta justification en nommant la bonne propriété.

Ex. 25★★★L'étagère de Sacha — Sur la maquette d'une étagère, les montants [DY] et [BX] se croisent en O. Les points D, O, Y sont alignés dans cet ordre, ainsi que B, O, X ; OD = 3,6 cm, OY = 6 cm, OB = 4 cm et OX = 7 cm. Arrondis au centième.

1. aPour savoir si $(DB) \parallel (YX)$, Sacha veut comparer $\frac{OD}{OY}$ et $\frac{DB}{YX}$. Explique pourquoi cette méthode ne convient pas.
2. bLes tablettes (DB) et (YX) sont-elles parallèles ? Justifie.
3. cSacha ne déplace que X, sur la droite (BO) et toujours au-delà de O. Quelle longueur OX faut-il pour que (DB) et (YX) soient parallèles ?

Ex. 26★★★La latte de la voile de Lina — Sur la voile triangulaire PQR de son dériveur, Lina a cousu une latte [UV], avec U sur [PQ] et V sur [PR]. Elle a mesuré PU = 1,8 m, UQ = 2,7 m, PV = 2,2 m et PR = 5,6 m. Sur la figure, la latte a l'air parallèle à la bordure [QR].

1. aCalcule la longueur PQ.
2. bLes droites (UV) et (QR) sont-elles parallèles ? Justifie en comparant les rapports en valeurs exactes.
3. cLina hésite : faut-il citer la réciproque ou la contraposée du théorème de Thalès à la question précédente ? Explique ton choix.
4. dLina veut placer V sur [PR] pour que la latte soit parallèle à (QR). Calcule la longueur PV qu'il faut, puis l'écart en centimètres avec la position actuelle de V.

Ex. 27★★★Les croisillons du pont de Noé — Sur la maquette d'un pont, les barres [KH] et [LG] se croisent en E. Les points K, E, H sont alignés dans cet ordre, ainsi que L, E, G. On a EK = 2,4 cm, EH = 6 cm, EL = 2,8 cm, EG = 7,2 cm et KL = 3 cm. Noé écrit $\frac{EH}{EK} = \frac{EG}{EL} = \frac{HG}{KL}$ et en déduit HG.

1. aExplique pourquoi Noé n'a pas le droit d'écrire ces trois rapports égaux.
2. bLes droites (KL) et (HG) sont-elles parallèles ? Justifie en comparant $\frac{EH}{EK}$ et $\frac{EG}{EL}$ en valeurs exactes.
3. cBen raccourcit la barre [LG] : G reste du même côté de E, mais maintenant EG = 7 cm. Prouve que (KL) ∥ (HG), puis calcule HG.
4. dZoé place plutôt un point G' sur la droite (EL), avec EG' = 7 cm, mais du même côté de E que L. Les droites (KL) et (HG') sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 28★★★La barre du toboggan de Mia — Dans un parc de Rennes, un toboggan est formé d'une échelle verticale [ST], du sol [TU] et de la glissière [SU], avec le triangle STU rectangle en T. ST = 1,8 m et TU = 2,4 m. Une barre [RW] relie R sur [ST] à W sur [SU] : SR = 1,2 m et SW = 2,01 m. Arrondis au degré.

1. aCalcule la longueur SU de la glissière.
2. bMia écrit : « $\frac{SR}{ST} \approx 0{,}67$ et $\frac{SW}{SU} \approx 0{,}67$ : c'est presque égal, donc (RW) ∥ (TU). » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cÀ quelle distance de S faut-il fixer W pour que la barre soit parallèle au sol (TU) ? Justifie.
4. dW est maintenant fixé à cette place. Calcule la longueur RW de la barre.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{SUT}$ que fait la glissière avec le sol.

Ex. 29★★★Automatismes : le bâton et le chêne — Sur un sol plat, un bâton vertical $[PQ]$ de $1{,}2$ m et un chêne vertical $[AB]$ ont leurs ombres qui se terminent au même point $S$. Les points $S$, $P$, $A$ sont alignés dans cet ordre. On mesure $SP = 1{,}8$ m et $PA = 4{,}5$ m.

1. aExplique pourquoi les points $S$, $Q$, $B$ sont alignés, puis justifie que les droites $(PQ)$ et $(AB)$ sont parallèles.
2. bCalcule la longueur $SA$.
3. cÉcris l'égalité des trois rapports du théorème de Thalès dans cette figure.
4. dCalcule la hauteur $AB$ du chêne, puis conclus par une phrase.

Ex. 30★★★Automatismes : repérer la situation — Avant de calculer, repère le point commun et les droites parallèles, puis choisis le bon théorème.

1. aUn spot posé au sol en $O$ éclaire une plante verticale $[AT]$ ; son ombre monte sur un mur vertical $[PL]$ jusqu'en $L$. Cite les points alignés dans l'ordre, puis la configuration.
2. bOn a $(RS) \parallel (UV)$, et $R$, $E$, $U$ alignés dans cet ordre, ainsi que $S$, $E$, $V$. Emboîtés ou papillon ? Écris les trois rapports égaux.
3. cUne échelle $[AC]$ est appuyée contre un mur vertical $[BC]$. Pourquoi ne peut-on pas utiliser Thalès ? Quel théorème choisir ?
4. dDans la figure de l'échelle, calcule la hauteur $BC$ atteinte par l'échelle.

Ex. 31★★★La règle de Zoé et la falaise — Zoé est allongée sur la plage, son œil en $O$, face à une falaise verticale $[BH]$. Elle tient une règle verticale $[RG]$ à $45$ cm de son œil, et le haut $G$ de la règle cache exactement le sommet $H$. Les points $O$, $R$, $B$ sont alignés au sol, ainsi que $O$, $G$, $H$. Elle mesure $RG = 8$ cm, et $OB = 150$ m. Arrondis au dixième.

1. aDans quel ordre sont les points alignés ? Justifie que $(RG) \parallel (BH)$.
2. bCalcule la hauteur $BH$ de la falaise.
3. cUne autre falaise, haute de $30$ m, est elle aussi à $150$ m de Zoé. À combien de centimètres de son œil doit-elle tenir la règle pour que $8$ cm la cachent ?

Ex. 32★★★La largeur de la rivière — Malo veut mesurer la largeur d'une rivière. Sur l'autre rive, il y a un arbre $T$. Sur sa rive, le point $A$ est en face de $T$, avec $(AT)$ perpendiculaire à la rive $(AQ)$. Les points $A$, $E$, $Q$ sont alignés dans cet ordre sur la rive. Malo part de $Q$ perpendiculairement à la rive et s'arrête en $P$, où $T$, $E$, $P$ sont alignés. On mesure $AE = 36$ m, $EQ = 8$ m et $QP = 5{,}5$ m.

1. aJustifie que $(AT) \parallel (QP)$, puis donne la configuration de la figure.
2. bCalcule la largeur $AT$ de la rivière.
3. cMalo recommence en partant perpendiculairement à la rive du point $Q'$ de la demi-droite $[EQ)$ tel que $EQ' = 12$ m. À quelle distance de $Q'$ doit-il s'arrêter pour voir $T$ et $E$ alignés avec lui ?

Ex. 33★★★Le lampadaire et l'ombre de Lina — Un soir, à Rennes, Lina est debout sur un sol plat, à $3{,}6$ m du pied $P$ d'un lampadaire vertical $[PL]$. Elle mesure $160$ cm. Ses pieds sont en $T$ et le haut de sa tête en $S$. Son ombre $[OT]$ mesure $2{,}4$ m, et les points $O$, $S$, $L$ sont alignés. Arrondis au dixième.

1. aFais un schéma avec les points $O$, $T$, $P$, $S$ et $L$. Dans quel ordre sont les points $O$, $T$, $P$ ? Justifie que $(TS) \parallel (PL)$.
2. bCalcule la hauteur $PL$ du lampadaire.
3. cCalcule la longueur $OL$, du bout de l'ombre jusqu'à la lampe.
4. dLina avance vers le lampadaire. À quelle distance de son pied doit-elle se placer pour que son ombre mesure $1$ m ?

Ex. 34★★★Le pont au-dessus du ravin — Près de Millau, une géomètre veut connaître la longueur $CD$ d'un futur pont au-dessus d'un ravin. Les droites $(CU)$ et $(DR)$ sont sécantes en $E$ ; les points $C$, $E$, $U$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $D$, $E$, $R$. Elle mesure $EU = 7{,}5$ m, $ER = 9$ m et $UR = 6$ m ; un plan donne $EC = 30$ m et $ED = 36$ m.

1. aDémontre que les droites $(UR)$ et $(CD)$ sont parallèles.
2. bCalcule la longueur $CD$ du pont.
3. cOn plante $V$ sur $[EU]$ et $S$ sur $[ER]$, avec $EV = 3{,}7$ m et $ES = 4{,}5$ m. Inès arrondit $\frac{EV}{EU}$ à $0{,}5$, trouve $\frac{ES}{ER} = 0{,}5$ et conclut que $(VS) \parallel (UR)$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dQuelle longueur $EV$ aurait rendu les droites $(VS)$ et $(UR)$ parallèles ?

Ex. 35★★★Le piquet et le phare — Au Croisic, Yanis veut la hauteur d'un phare vertical $[FS]$ sur un sol plat. Son œil $O$ est à $150$ cm du sol. Il plante un piquet vertical $[PK]$ de $2{,}30$ m à $2$ m de lui ; le phare est $48$ m plus loin. Il voit $O$, $K$, $S$ alignés. $H \in [PK]$ et $J \in [FS]$ sont à hauteur de l'œil, et $O$, $H$, $J$ sont alignés. Arrondis l'angle au dixième de degré.

1. aJustifie que $(HK) \parallel (JS)$, puis calcule les longueurs $HK$ et $OJ$ en mètres.
2. bCalcule la hauteur $FS$ du phare.
3. cLou a écrit $\frac{OH}{HJ} = \frac{HK}{JS}$ et a trouvé $JS = 19{,}2$ m. Explique son erreur.
4. dCalcule l'angle $\widehat{KOH}$ entre la visée et l'horizontale.

Ex. 36★★★Lire la figure et nommer l'outil — Pour chaque situation, nomme l'outil qui permet de répondre et justifie avec les données. Ne fais pas le calcul demandé.

1. aLe triangle RST est rectangle en S ; on connaît RS et ST, on cherche RT.
2. bLe triangle KLM est rectangle en L ; on connaît KL et la mesure de $\widehat{LKM}$, on cherche LM.
3. cLes droites (DG) et (EF) sont sécantes en O et $(DE) \parallel (FG)$ ; on connaît OD, OG et DE, on cherche FG.
4. dDans le triangle WXY, on connaît WX = 2,8 cm, XY = 4,5 cm et WY = 5,3 cm. Quel outil permet de savoir s'il est rectangle ?
5. eLes droites (BH) et (CK) sont sécantes en A ; on connaît AB, AH, AC et AK. Quel outil permet de savoir si (HK) et (BC) sont parallèles ?
6. fLe triangle NIJ a deux angles de 41° et 49°. Comment prouver qu'il est rectangle ?

Ex. 37★★★Trigonométrie : nommer les côtés et régler la calculatrice — Le triangle EFG est rectangle en F, avec EF = 5 cm et EG = 8 cm. Arrondis au degré.

1. aNomme l'hypoténuse, puis le côté adjacent et le côté opposé à l'angle $\widehat{FEG}$.
2. bQuel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{FGE}$ ?
3. cÉcris $\cos \widehat{FEG}$ avec les longueurs de la figure, puis calcule sa valeur décimale.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{FEG}$ avec la touche $\cos^{-1}$.
5. eSur la calculatrice de Yanis, le calcul précédent affiche environ 0,9. Quel réglage doit-il changer ?
6. fÉcris $\sin \widehat{FGE}$ avec les longueurs de la figure. Que remarques-tu ?

Ex. 38★★★L'étagère d'Inès — Inès fixe une étagère [SV] contre un mur [ST] avec une barre de renfort [TV]. On a ST = 28 cm, SV = 45 cm et TV = 54 cm. Arrondis au degré.

1. aSur la figure, l'angle en S a l'air droit. Le triangle STV est-il rectangle en S ? Justifie.
2. bInès remplace la barre par une barre de 53 cm. Démontre que le triangle STV est alors rectangle en S.
3. cDans ce nouveau triangle, calcule la mesure de l'angle $\widehat{STV}$.

Ex. 39★★★Le raisonnement de Tom — Les droites (RU) et (ST) sont sécantes en E. Les points R, E, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que S, E, T. On donne ER = 2,4 cm, EU = 4 cm, ES = 1,8 cm, ET = 3 cm et UT = 3,5 cm.

1. aTom écrit aussitôt $\frac{ER}{EU} = \frac{RS}{UT}$ en citant le théorème de Thalès. A-t-il le droit ? Justifie.
2. bDémontre que les droites (RS) et (UT) sont parallèles.
3. cCalcule RS.

Ex. 40★★★Le vitrail de la chapelle — Un vitrail d'une chapelle de Dinan est formé de deux triangles. Les points K, O, P sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points L, O, R. Le triangle OKL est rectangle en K. On donne OK = 6,4 cm, KL = 4,8 cm, OP = 4 cm et OR = 5 cm. Arrondis au degré.

1. aCalcule la longueur OL.
2. bDémontre que les droites (KL) et (PR) sont parallèles.
3. cCalcule la longueur PR.
4. dDémontre que le triangle OPR est rectangle en P, puis calcule la mesure de l'angle $\widehat{POR}$.
5. eCalcule les périmètres des triangles OKL et OPR. Vérifie que le second s'obtient en multipliant le premier par le rapport $\frac{OP}{OK}$.

Ex. 41★★★Le toboggan de la base de loisirs — À la base de loisirs de Vesoul, le toboggan [GH] est tenu par une échelle [EH]. On a GE = 6 m, EH = 2,5 m et GH = 6,5 m. Une barre [SU] relie S, sur [GH], à U, sur [GE], avec $(SU) \parallel (EH)$ et GS = 2,6 m. Une barre [UH] est ajoutée. Arrondis les longueurs au centimètre et les angles au degré.

1. aL'échelle doit être perpendiculaire au sol. Démontre que le triangle GEH est rectangle en E.
2. bCalcule les longueurs GU et SU.
3. cCalcule la longueur de la barre [UH].
4. dPour l'angle $\widehat{EGH}$, Lucas écrit $\tan \widehat{EGH} = \frac{GE}{EH}$ et trouve 67°. Trouve son erreur, puis corrige-la.

Ex. 42★★★La rivière de Sarah — Près de Montauban, Sarah veut connaître la largeur TA d'une rivière ; T est un arbre sur l'autre rive. Les points T, A, M sont alignés dans cet ordre, ainsi que T, B, N. Les droites (AB) et (MN) sont perpendiculaires à (TM). Elle mesure AB = 12 m, MN = 15 m et AM = 6 m. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis les longueurs au dixième de mètre et les angles au degré.

1. aDémontre que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
2. bLéo propose de mesurer TA sur la figure avec sa règle. Pourquoi sa méthode ne convient-elle pas ?
3. cÉcris l'égalité des rapports de Thalès, puis calcule la largeur TA de la rivière.
4. dSarah veut tendre une corde entre B et T. Quelle longueur de corde lui faut-il au minimum ?
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{ATB}$.

Ex. 43★★★Automatismes : une étape, un outil — Pour chaque question, nomme la propriété utilisée, puis réponds.

1. aLe triangle $KLP$ est rectangle en $L$, avec $KL = 7$ cm et $LP = 24$ cm. Calcule $KP$.
2. bLe triangle $EFG$ a pour côtés $EF = 8$ cm, $FG = 14$ cm et $EG = 17$ cm. Est-il rectangle ? Justifie.
3. cLes droites $(d)$ et $(d')$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(HJ)$. Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dLes points $R$, $S$, $V$ sont alignés, $R$, $T$, $W$ aussi, et $(ST) \parallel (VW)$. On a $RS = 60$ cm, $RV = 2{,}4$ m et $VW = 1{,}8$ m. Calcule $ST$ en cm.

Ex. 44★★★Automatismes : vrai ou faux sur la rédaction — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. Arrondis au millimètre.

1. aDans le triangle $DOS$, $DO = 5$ cm, $OS = 12$ cm et $DS = 13$ cm. Affirmation : on peut écrire $\tan \widehat{ODS} = \frac{OS}{DO}$.
2. bLe triangle $JKL$ est rectangle en $J$, avec $JK = 3$ cm et $JL = 5$ cm. Une maquette l'agrandit avec le rapport $15$ en un triangle $J'K'L'$. Lina arrondit $KL$ à $5{,}8$ cm, puis annonce $K'L' \approx 87$ cm. Affirmation : « Lina a la bonne longueur au millimètre. »
3. cLes points $G$, $C$, $Y$ sont alignés, les points $G$, $B$, $Q$ aussi, avec $GC = 4$ cm et $GY = 7$ cm. Affirmation : « $\frac{GB}{GQ} = \frac{4}{7}$ ».
4. dLe triangle $VXY$ est une réduction de rapport $0{,}4$ du triangle $VZW$, dont le périmètre est $27{,}5$ cm. Affirmation : le périmètre de $VXY$ vaut $11$ cm.

Ex. 45★★★Le renfort d'une étagère — Le support d'une étagère est un triangle $FGH$ rectangle en $G$, avec $GF = 40$ cm et $GH = 20$ cm. Une barre de renfort $[PQ]$ relie $P \in [GF]$ et $Q \in [FH]$, avec $PG = 15$ cm et $(PQ)$ perpendiculaire à $(GF)$. Garde les valeurs exactes et n'arrondis que les résultats finaux, au millimètre.

1. aCalcule la valeur exacte de $FH$.
2. bJustifie que les droites $(PQ)$ et $(GH)$ sont parallèles.
3. cCalcule $FP$, puis $PQ$ et $FQ$.
4. dCalcule le périmètre du triangle $FPQ$.

Ex. 46★★★La rampe de la remorque est-elle conforme ? — Pour charger une remorque, Inès installe une rampe $[AC]$. Elle mesure $AB = 1{,}98$ m au sol, $BC = 40$ cm de hauteur et $AC = 2{,}02$ m. Un pied $[MN]$ relie $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec $AM = 99$ cm. La notice (fictive) impose un angle $\widehat{BAC}$ d'au plus $12^\circ$. Arrondis au dixième de degré.

1. aProuve que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
3. cLa rampe est-elle conforme à la notice ? Justifie.
4. dÀ quelle distance $AN$ faut-il placer $N$ sur $[AC]$ pour que le pied $[MN]$ soit parallèle à $(BC)$ ? Justifie.

Ex. 47★★★La guirlande au-dessus du canal — Vue de dessus d'un parc à Annecy. Les allées [RS] et [UT] sont perpendiculaires au canal (RU). Ben veut tendre une guirlande de S à T. Elle passe au-dessus du canal en E. Les points R, E, U sont alignés dans cet ordre, ainsi que S, E, T. On a ER = 12 m, RS = 9 m et EU = 20 m.

1. aDémontre que les droites $(RS)$ et $(UT)$ sont parallèles.
2. bCalcule la longueur $ES$. Nomme le théorème utilisé.
3. cCalcule les longueurs $ET$ et $UT$.
4. dIl faut ajouter $1{,}5$ m à chaque bout de la guirlande pour l'attacher. Ben a une guirlande de $4\,250$ cm. Est-elle assez longue ? Justifie.

Ex. 48★★★Le vitrail de la chapelle — Malik dessine un vitrail pour une chapelle de Dinan. Le point C est sur le cercle de centre O et de diamètre [AB]. Les points A, M, C sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, B. On a AB = 50 cm, AC = 30 cm, AM = 12 cm et NB = 30 cm. Le verre bleu est le quadrilatère MNBC.

1. aDémontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
2. bCalcule la longueur $BC$.
3. cLes droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dCalcule $MN$, puis justifie que le triangle $AMN$ est rectangle en $M$.
5. eCalcule l'aire du verre bleu $MNBC$, en dm².

Ex. 49★★★Le pylône du téléphérique — Le câble $[AC]$ d'un téléphérique des Pyrénées mesure $1{,}2$ km. La gare $C$ est $400$ m au-dessus du point $B$, et le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Un pylône $[MN]$ relie $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec $AN = 150$ m et $(MN) \parallel (BC)$. Arrondis les angles au degré et les longueurs au dixième de mètre.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. Donne aussi la valeur exacte de $\sin \widehat{BAC}$.
2. bCalcule la longueur $AB$ : donne sa valeur exacte, puis son arrondi.
3. cCalcule la hauteur $MN$ du pylône, puis la longueur $AM$.
4. dLéo justifie que $AMN$ est rectangle en $M$, puis écrit : « $MN = AN \times \sin(19^\circ) \approx 48{,}8$ m ». Explique pourquoi il ne trouve pas le résultat de la question 3.