2nde / Tableaux de signes

Ex. 1★★★Automatismes : la valeur qui annule — Donne la valeur de $x$ qui annule chaque expression.

Ex. 2★★★Automatismes : tableaux de signes à compléter — Complète chaque tableau de signes en remplaçant les « ? ».

1. aSigne de $3x - 12$ :

   x	-∞	?	+∞
   3x − 12	?	0	?

2. bSigne de $-6x - 18$ :

   x	-∞	?	+∞
   −6x − 18	?	0	?

3. cSigne de $8 - 4x$ :

   x	-∞	?	+∞
   8 − 4x	?	0	?

4. dSigne de $2x + 7$ :

   x	-∞	?	+∞
   2x + 7	?	0	?

5. eSigne de $1 + 5x$ :

   x	-∞	?	+∞
   1 + 5x	?	0	?

Ex. 3★★★Les erreurs de Malik — Malik étudie $-5x + 10$. Il écrit : « elle s'annule en $\frac{10}{-5} = -2$ », puis dresse ce tableau :

1. aMalik a-t-il raison sur la valeur qui annule $-5x + 10$ ? Justifie et explique son erreur.
2. bSes signes sont-ils corrects ? Dresse le bon tableau de signes de $-5x + 10$.
3. cCorrige sa résolution de $-5x + 10 > 0$ et donne l'ensemble des solutions.
4. dContrôle ton résultat avec $x = 0$ puis avec $x = 3$.

Ex. 4★★★Vrai ou faux sur les expressions affines — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou un contre-exemple.

1. a« Une expression $ax + b$ est positive dès que $x$ est positif. »
2. b« La fonction $f : x \mapsto 4 - \frac{x}{2}$ est décroissante, donc $f(x) > 0$ pour $x < 8$. »
3. c« L'expression $3(x - 1) - 3x + 7$ est strictement positive pour tout réel $x$. »
4. d« $\frac{2}{3}x + 4$ s'annule en $x = -\frac{8}{3}$. »

Ex. 5★★★Deux tarifs de location de vélo — Inès loue un vélo électrique pendant $x$ heures ($x \geqslant 0$). Tarif A : 15 € de forfait plus 2{,}5 € par heure, soit $A(x) = 2{,}5x + 15$. Tarif B : 4 € par heure, sans forfait, soit $B(x) = 4x$. On pose $D(x) = A(x) - B(x)$.

1. aÉcris $D(x)$ sous forme réduite, puis donne le coefficient de $x$ dans $D(x)$.
2. bRésous $D(x) = 0$, puis dresse le tableau de signes de $D(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cInès veut que le tarif A coûte au plus 3 € de plus que le tarif B. Sofiane résout $D(x) \leqslant 3$ et trouve $x \leqslant 8$. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dSelon la durée $x \geqslant 0$, quel tarif Inès doit-elle choisir ? Justifie à l'aide du tableau de signes.

Ex. 6★★★Une fonction affine donnée par un tableau de valeurs — Une fonction affine $g$ est définie sur $\mathbb{R}$. On connaît quelques-unes de ses valeurs :

1. aCalcule le coefficient de $x$ de $g$, puis écris $g(x)$ sous la forme $ax + b$.
2. bDonne le sens de variation de $g$ et la valeur de $x$ qui annule $g(x)$.
3. cDresse le tableau de signes de $g(x)$, contrôle-le avec $x = 0$, puis résous $g(x) \geqslant 0$.
4. dSoit $h$ une fonction affine décroissante telle que $h(x_0) = 0$. Justifie avec le sens de variation que $h(x) < 0$ pour tout $x > x_0$.
5. eOn pose $k(x) = g(x) + 2x$. Étudie le signe de $k(x)$ pour tout réel $x$.

Ex. 7★★★Question de DS : deux expressions à coefficients fractionnaires — On considère les expressions $E(x) = 3 - \frac{x}{4}$ et $F(x) = \frac{2x - 5}{3}$, définies pour tout réel $x$.

1. aPour $E(x)$ puis pour $F(x)$, donne le coefficient de $x$ et la valeur de $x$ qui annule l'expression.
2. bDresse un seul tableau de signes, avec une ligne pour $E(x)$ et une ligne pour $F(x)$.
3. cDétermine l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $E(x)$ et $F(x)$ sont tous deux strictement positifs.
4. dDonne une expression affine $G(x)$ à coefficients entiers qui s'annule au même point que $F(x)$, mais dont tous les signes sont contraires à ceux de $F(x)$. Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes — Valeurs qui annulent et ligne des x — Réponds en une ou deux lignes. Justifie avec le coefficient de $x$ ou un calcul court.

1. aDonne la valeur qui annule $6x + 9$, puis le signe de $6x + 9$ à droite de cette valeur.
2. bDonne la valeur qui annule $7 - 2x$, puis le signe de $7 - 2x$ à droite de cette valeur.
3. cRange dans l’ordre croissant les valeurs qui annulent les facteurs de $(x + 1)(3x + 5)$.
4. dRange dans l’ordre croissant les valeurs qui annulent les facteurs de $x(2x - 3)(4x + 1)$.
5. eQuelles valeurs écris-tu sur la ligne des $x$ pour $(x - 9)^2(x + 2)$ ? Dans quelles lignes mets-tu un $0$ sous $9$ ?
6. fQuelle valeur de $x$ annule $x^2 + 4$ ? Que mets-tu dans la ligne de ce facteur ?

Ex. 9★★★Automatismes — Règle des signes — Réponds sans dresser de tableau de signes.

1. aDonne le signe de $(x - 6)(x + 1)$ pour $x = 2$.
2. bPour $x = -7$, combien de facteurs de $(1 - x)(x + 5)(2x - 9)$ sont négatifs ? Déduis-en le signe du produit.
3. cAna dit : « $-3(x - 2)(x + 7)$ est négatif pour $x = 0$, car il commence par $-3$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDans une colonne d’un tableau, les lignes des facteurs portent $+$, $-$, $-$, $-$. Quel signe écris-tu dans la dernière ligne ?
5. eTrouve toutes les valeurs de $x$ telles que $(x^2 + 1)(x - 10) = 0$.
6. fCalcule $(x + 8)^2(5 - x)$ pour $x = -8$, puis pour $x = -10$.

Ex. 10★★★Le tableau de Malik — Malik dresse le tableau de signes de $P(x) = (x + 5)(2 - 3x)$ :

1. aRepère les deux erreurs de Malik et explique-les.
2. bDresse le tableau de signes correct de $P(x)$, une ligne par facteur, puis la ligne du produit.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x) \geqslant 0$.
4. dDresse le tableau de signes de $Q(x) = -3(x + 1)(x - 6)^2$, avec une ligne pour $-3$.

Ex. 11★★★Factoriser avant de dresser le tableau — On pose $A(x) = x^2 - 7x$, $B(x) = 49 - x^2$ et $C(x) = (x - 1)(2x + 3) - 4(x - 1)$.

1. aFactorise $A(x)$, puis dresse son tableau de signes.
2. bFactorise $B(x)$ avec $a^2 - b^2$, puis résous $B(x) > 0$.
3. cMets $x - 1$ en facteur dans $C(x)$, puis résous $C(x) \leqslant 0$.
4. dMia affirme : « $x^2(x - 6)$ et $x(x - 6)$ ont le même tableau de signes ». A-t-elle raison ? Justifie.
5. eExplique pourquoi $(x^2 + 5)(3x + 6)$ a le signe de $3x + 6$, puis dresse son tableau de signes.

Ex. 12★★★Le bénéfice de l'atelier de poterie — Un atelier de poterie fabrique et vend $x$ centaines de bols par mois, avec $x \in [0\,;20]$. Son bénéfice, en centaines d'euros, est $B(x) = -2x^2 + 36x - 90$.

1. aDéveloppe $-2(x - 3)(x - 15)$ et vérifie que tu retrouves $B(x)$.
2. bLéa affirme : « Le facteur $-2$ est négatif, donc l'atelier perd toujours de l'argent. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
3. cDresse le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;20]$ : une ligne pour $-2$, une pour chaque facteur, puis la ligne de $B(x)$.
4. dPour quelles quantités de bols l'atelier réalise-t-il un bénéfice strictement positif ? Justifie.

Ex. 13★★★Un carré et un facteur toujours positif — On pose $P(x) = (x^2 + 1)(x - 4)^2(3 - 2x)$ pour tout réel $x$.

1. aJustifie que $x^2 + 1 > 0$ pour tout réel $x$, puis donne le signe de $(x - 4)^2$ selon les valeurs de $x$.
2. bDresse le tableau de signes de $P(x)$, avec une ligne par facteur.
3. cRésous $P(x) \geqslant 0$, puis $P(x) > 0$.
4. dInès affirme : « $P(x)$ et $3 - 2x$ ont exactement le même signe pour tout réel $x$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Noé enlève les carrés — Noé veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(2x - 1)^2 \leqslant (x + 4)^2$. Il écrit : « $(2x - 1)^2 \leqslant (x + 4)^2 \iff 2x - 1 \leqslant x + 4 \iff x \leqslant 5$ ».

1. aCalcule $(2x - 1)^2$ et $(x + 4)^2$ pour $x = -5$, puis explique pourquoi le raisonnement de Noé est faux.
2. bPasse tout dans le membre de gauche, puis factorise $(2x - 1)^2 - (x + 4)^2$ avec $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
3. cDresse le tableau de signes de l'expression factorisée.
4. dRésous l'inéquation, puis compare ton résultat avec celui de Noé.

Ex. 15★★★Automatismes : valeurs interdites et ensemble de définition — Pour chaque quotient, réponds à la question posée.

1. aDonne la valeur interdite de $\frac{x+4}{2x-7}$.
2. bDonne l'ensemble de définition de $\frac{3x}{9-3x}$.
3. cDonne les valeurs interdites de $\frac{5}{(x+6)(3x-1)}$.
4. dLe quotient $\frac{x-9}{x^2+4}$ a-t-il une valeur interdite ? Justifie.
5. eInès dit : « $\frac{x+3}{x-1}$ n'existe pas en $-3$. » A-t-elle raison ? Justifie.
6. fPour quelles valeurs de $x$ le quotient $\frac{x-2}{(x-2)(x+5)}$ est-il défini ?

Ex. 16★★★Automatismes : signe et nullité d'un quotient — Réponds sans dresser de tableau de signes.

1. aSur quel intervalle le quotient $\frac{1}{x}$ est-il strictement négatif ?
2. bDonne le signe de $\frac{x+6}{2-x}$ pour $x=5$.
3. cPour quelle valeur de $x$ le quotient $\frac{3x-12}{x+1}$ est-il nul ?
4. dPour quelles valeurs de $x$ le quotient $\frac{(x+7)(5x-2)}{5x-2}$ est-il nul ?
5. eDonne le signe de $\frac{(x-4)^2}{x+3}$ pour $x=-5$.
6. fPour $x=0$, combien de facteurs de $\frac{x-1}{(x+2)(x-5)}$ sont négatifs ? Déduis-en le signe du quotient.

Ex. 17★★★Compléter un tableau et corriger une erreur — On considère $q(x)=\frac{x+5}{4-2x}$ et le tableau de signes ci-dessous, à compléter.

1. aDonne la valeur interdite de $q$ et son ensemble de définition.
2. bComplète le tableau de signes en justifiant chaque ligne.
3. cMila écrit un $0$ sous $2$ dans la dernière ligne. Explique son erreur.
4. dRésous l'inéquation $q(x) \geqslant 0$.

Ex. 18★★★Un carré au numérateur — On considère $r(x)=\dfrac{(2x-3)^2}{x+1}$.

1. aDonne la valeur interdite de $r$.
2. bDresse le tableau de signes de $r(x)$.
3. cNadia affirme : « Le numérateur est un carré, donc $r(x)$ est toujours positif ou nul. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dRésous l'inéquation $r(x) \leqslant 0$.

Ex. 19★★★Inéquation quotient : ne pas multiplier à l'aveugle — On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{5x-2}{x+4} \geqslant 3$.

1. aDonne la valeur interdite et l'ensemble de définition de l'inéquation.
2. bIlyes multiplie les deux membres par $x+4$ et trouve $x \geqslant 7$. Teste $x=-5$ et explique son erreur.
3. cÉcris $\frac{5x-2}{x+4} - 3$ sous la forme d'un seul quotient, que tu noteras $Q(x)$.
4. dDresse le tableau de signes de $Q(x)$, puis donne l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Ex. 20★★★Une valeur commune au numérateur et au dénominateur — On considère $h(x)=\dfrac{x^2-36}{12-2x}$.

1. aDonne la valeur interdite de $h$ et son ensemble de définition.
2. bFactorise le numérateur $x^2-36$.
3. cAvec cette factorisation, dresse le tableau de signes de $h(x)$
   (une ligne par facteur).
4. dMaëlys affirme : « $h(x)=0$ a deux solutions, $-6$ et $6$, car le numérateur s'annule en ces valeurs. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $h(x) < 0$.

Ex. 21★★★Position relative de deux courbes à l'aide d'un quotient — Soit $f(x)=x$, définie sur $\mathbb{R}$, et $g(x)=\frac{16}{x}$. On note $C_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives.

1. aDonne l'ensemble de définition de $g$. Sans tableau, donne l'intervalle sur lequel $g(x)>0$.
2. bÉcris $f(x)-g(x)$ sous la forme d'un seul quotient, puis factorise son numérateur.
3. cDresse le tableau de signes de $f(x)-g(x)$.
4. dNour calcule $(-1)^2-16=-15<0$ et conclut que $C_f$ est au-dessous de $C_g$ en $x=-1$. Ce raisonnement est-il correct ? Justifie.
5. eDonne la position relative de $C_f$ et $C_g$ et les coordonnées de leurs points d'intersection.

Ex. 22★★★Automatismes : produit nul et signe en un point — Réponds en une ou deux lignes.

1. aRésous $(3x - 6)(x + 4) = 0$.
2. bRésous $x(5 - 2x) = 0$.
3. cRésous $x^2 = 7x$, sans diviser par $x$.
4. dRésous $x^2 - 36 = 0$ en factorisant.
5. eDonne le signe de $(2x - 9)(4 - x)$ pour $x = 5$.
6. fDonne le signe de $(x + 3)^2(x - 1)$ pour $x = -10$.

Ex. 23★★★Automatismes : choisir les bons crochets — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation.

Ex. 24★★★Un facteur commun dans les deux membres — On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x + 2)(3x - 1) \leqslant (x + 2)(x + 5)$.

1. aCalcule les deux membres pour $x = -3$. Simplifier par $x + 2$ donnerait $x \leqslant 3$ : explique l'erreur.
2. bMontre que l'inéquation équivaut à $(x + 2)(2x - 6) \leqslant 0$.
3. cComplète le tableau de signes :

   x	-∞	-2	3	+∞
   x + 2	?	0	?	?
   2x − 6	?	?	0	?
   produit	?	0	?	0	?

4. dDonne l'ensemble des solutions $S$ en justifiant les crochets.
5. eVérifie ton résultat avec $x = 0$, puis avec $x = 4$.

Ex. 25★★★L'erreur d'Inès — Inès résout $49 - 4x^2 > 0$. Voici sa copie : « $4x^2 < 49$, donc $2x < 7$, donc $x < \frac{7}{2}$. $S = ]-\infty\,;\frac{7}{2}]$. »

1. aCalcule $49 - 4x^2$ pour $x = -5$. Montre que la réponse d'Inès est fausse.
2. bInès a aussi fait une erreur de crochet en $\frac{7}{2}$. Explique laquelle.
3. cFactorise $49 - 4x^2$.
4. dDresse le tableau de signes de $49 - 4x^2$. Donne ensuite l'ensemble des solutions.

Ex. 26★★★Le bénéfice d'un atelier de bougies — Maëlle fabrique $x$ centaines de bougies par semaine, avec $x \in [0\,;12]$. Son bénéfice hebdomadaire, en centaines d'euros, est $B(x) = -2x^2 + 28x - 80$.

1. aVérifie que $B(x) = -2(x - 4)(x - 10)$ pour tout réel $x$.
2. bComplète ce tableau de signes. Déduis-en les productions pour lesquelles $B(x) > 0$.

   x	0	4	10	12
   −2	?	?	?
   x − 4	?	?	?	?
   x − 10	?	?	?	?
   B(x)	?	?	?	?	?

3. cVérifie que $B(x) - 16 = 2 - 2(x - 7)^2$, puis factorise $B(x) - 16$ avec $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
4. dMaëlle veut gagner au moins 1 600 €. Résous $B(x) \geqslant 16$ sur $[0\,;12]$ avec un tableau de signes, puis conclus.

Ex. 27★★★Comparer deux carrés — Pour tout réel $x$, on pose $E(x) = (2x + 1)^2 - (x + 5)^2$.

1. aFactorise $E(x)$ à l'aide de $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
2. bRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $E(x) = 0$.
3. cDresse le tableau de signes de $E(x)$.
4. dDéduis-en l'ensemble des solutions de l'inéquation $(2x + 1)^2 < (x + 5)^2$.
5. eLucas écrit : « $(2x + 1)^2 < (x + 5)^2$, donc $2x + 1 < x + 5$, donc $x < 4$. » Teste $x = -3$ et explique son erreur.

Ex. 28★★★Vrai ou faux sur les inéquations produit — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie. Si elle est fausse, donne un contre-exemple, puis la bonne réponse.

1. a« Pour tout réel $x$, $x^2 > 2x$ équivaut à $x > 2$. »
2. b« Un produit de deux facteurs affines est toujours positif à l'extérieur des deux valeurs qui l'annulent. »
3. c« L'ensemble des solutions de $(x - 1)^2(x + 3) \geqslant 0$ est $[-3\,;+\infty[$. »
4. d« L'ensemble des solutions de $(x - 1)^2(x + 3) > 0$ est $]-3\,;+\infty[$. »
5. e« Les solutions de $(x - 3)(x + 1) = 5$ sont $8$ et $4$, car $x - 3 = 5$ ou $x + 1 = 5$. » Tu pourras vérifier que $(x - 3)(x + 1) - 5 = (x - 4)(x + 2)$.

Ex. 29★★★Valeurs interdites et valeurs qui annulent — Réponds en une ligne.

1. aDonne la valeur interdite de $\frac{x - 4}{x + 5}$.
2. bQuelle valeur de $x$ annule $\frac{3x - 2}{5 - x}$ ?
3. cDonne l'ensemble de définition de $\frac{4}{2x + 9}$.
4. dQuel est le signe de $\frac{x - 11}{x + 13}$ pour $x = 0$ ?
5. ePour $\frac{(2x - 1)^2}{x - 9}$, donne la valeur qui l'annule et la valeur interdite.
6. fLe quotient $\frac{x + 3}{x^2 + 2}$ a-t-il une valeur interdite ? Justifie.

Ex. 30★★★Du tableau aux crochets — On pose $f(x) = \frac{10 - 2x}{x + 7}$.

1. aRésous $10 - 2x = 0$ et donne le signe du coefficient de $x$.
2. bDonne la valeur interdite de $f$ et le signe de $x + 7$ de part et d'autre.
3. cComplète le tableau de signes de $f$ ci-dessus.
4. dRésous $f(x) \geqslant 0$.
5. eRésous $f(x) < 0$.
6. fCalcule $f(0)$ et $f(-8)$. Leurs signes sont-ils cohérents avec ton tableau ?

Ex. 31★★★Le produit en croix de Lina — Lina doit résoudre $\frac{3x - 1}{x + 2} \leqslant 2$. Elle écrit : « $3x - 1 \leqslant 2(x + 2)$, donc $x \leqslant 5$. »

1. aCalcule $\frac{3x - 1}{x + 2}$ pour $x = -3$. Le nombre $-3$ est-il solution ? Est-il dans l'ensemble trouvé par Lina ?
2. bExplique l'erreur de Lina.
3. cPour $x \neq -2$, écris $\frac{3x - 1}{x + 2} - 2$ sous la forme d'un seul quotient.
4. dRésous l'inéquation de Lina à l'aide d'un tableau de signes.

Ex. 32★★★Un carré au dénominateur — Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 36}{(x - 8)^2}$.

1. aDonne l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. bFactorise $x^2 - 36$.
3. cQuel est le signe de $(x - 8)^2$ sur $D$ ? Justifie.
4. dDresse le tableau de signes de $f$.
5. eRésous $f(x) > 0$, puis $f(x) \leqslant 0$.

Ex. 33★★★Une question de DS, étape par étape — On pose $f(x) = \frac{3x + 1}{2 - x}$. On cherche les réels $x$ tels que $-1 \leqslant f(x) \leqslant 3$.

1. aDonne l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. bPour $x \in D$, écris $f(x) + 1$ sous la forme d'un seul quotient, puis dresse son tableau de signes.
3. cRésous $f(x) \geqslant -1$. Malo met un crochet fermé en $2$, « car l'inéquation est large ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dRésous de même $f(x) \leqslant 3$, en réduisant $f(x) - 3$ au même dénominateur.
5. eDéduis-en l'ensemble $S$ des réels $x$ tels que $-1 \leqslant f(x) \leqslant 3$. Contrôle avec $f(0)$ et $f(3)$.

Ex. 34★★★Le taux de réussite de Zoé — Au basket, Zoé a réussi $12$ lancers francs sur $20$. Elle réussit ensuite $x$ lancers de suite (avec $x$ entier, $x \geqslant 0$). Son taux de réussite devient alors $T(x) = \frac{12 + x}{20 + x}$. Elle vise un taux d'au moins $0{,}8$.

1. aCalcule $T(0)$ et $T(5)$ sous forme décimale.
2. bPour $x \neq -20$, écris $T(x) - 0{,}8$ sous la forme d'un seul quotient.
3. cRésous dans $\mathbb{R} \setminus \{-20\}$ l'inéquation $T(x) \geqslant 0{,}8$ à l'aide d'un tableau de signes.
4. dCombien de lancers réussis de suite faut-il au minimum à Zoé ? Justifie avec la question précédente.
5. eSami affirme : « Si elle continue assez longtemps, Zoé atteindra un taux de $100\,\%$. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide du signe de $T(x) - 1$.

Ex. 35★★★Une hyperbole et une droite — On pose $f(x) = \frac{3}{x}$ et $g(x) = x + 2$. On note $C_f$ la courbe de $f$ et $D$ la droite qui représente $g$.

1. aDonne l'ensemble de définition de $f$. Vérifie que, pour $x \neq 0$, $f(x) - g(x) = \frac{(1 - x)(x + 3)}{x}$.
2. bDresse le tableau de signes de $f(x) - g(x)$.
3. cDéduis-en la position relative de $C_f$ et de $D$.
4. dDonne les coordonnées des points d'intersection de $C_f$ et de $D$.
5. eInès écrit : « $\frac{3}{x} > x + 2 \iff 3 > x^2 + 2x$ ». Trouve une valeur test qui montre que son équivalence est fausse.

Ex. 36★★★Lire un tableau de signes — Une fonction $f$ est définie sur $[-5\,;6]$. Voici son tableau de signes.

1. aRésous l’inéquation $f(x) < 0$.
2. bRésous l’inéquation $f(x) \geqslant 0$.
3. cDonne le signe de $f(0)$ et celui de $f(-4{,}5)$.
4. dEn quelles abscisses la courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ?
5. eLina affirme : « d’après le tableau, $f(3) > 1$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
6. fHugo écrit : « $f(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[ \cup ]2\,;+\infty[$ ». Corrige son erreur.

Ex. 37★★★Déduire un signe sans tableau de signes — Pour chaque fonction, réponds à la question posée. Si on ne peut pas conclure, explique pourquoi.

1. aLa courbe de $g$, définie sur $\mathbb{R}$, ne coupe l’axe des abscisses qu’en $-4$ et en $5$. On sait que $g(-7) = -1$, $g(0) = 3$ et $g(11) = -2$. Résous $g(x) \geqslant 0$.
2. b$h$, définie sur $[0\,;8]$, décroît sur $[0\,;3]$ puis croît sur $[3\,;8]$, avec $h(3) = 2$. Donne le signe de $h(x)$.
3. c$p$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ et $p(6) = 0$. Donne le signe de $p(x)$ selon les valeurs de $x$.
4. dVoici un tableau de valeurs de $k$, définie sur $[-2\,;4]$.

   x	-2	0	2	4
   k(x)	3	1	5	2

   Zoé conclut : « $k(x) > 0$ sur $[-2\,;4]$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 38★★★Associer expressions et tableaux — On donne $A(x) = (x - 4)(x + 3)$, $B(x) = (4 - x)(x + 3)$ et $C(x) = \frac{x - 4}{x + 3}$. Voici trois tableaux de signes, dans le désordre. Tableau 1 :

1. aCalcule $A(0)$, $B(0)$ et $C(0)$.
2. bAssocie chaque expression à son tableau. Justifie, en particulier pour $A$ et $C$.
3. cRésous l’inéquation $C(x) \geqslant 0$.
4. dPropose une expression produit de deux facteurs affines qui a ce tableau de signes :

   x	-∞	-5	$\frac{1}{2}$	+∞
   g(x)	−	0	+	0	−

Ex. 39★★★Position d’une parabole et d’une droite — On donne $f(x) = x^2 - 3x$ et $g(x) = 2x + 14$, définies sur $\mathbb{R}$. On note $C_f$ et $C_g$ leurs courbes.

1. aVérifie que $f(x) - g(x) = (x - 7)(x + 2)$.
2. bComplète le tableau de signes de $f(x) - g(x)$.

   x	-∞	-2	7	+∞
   x + 2	?	0	?		?
   x − 7	?		?	0	?
   f(x) − g(x)	?	0	?	0	?

3. cDéduis-en la position relative de $C_f$ et $C_g$.
4. dDonne les coordonnées des points d’intersection de $C_f$ et $C_g$.
5. eThéo dit : « sur $]-2\,;7[$, on a $f(x) < 0$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 40★★★Bénéfice d’une fabrique de bougies — Une fabrique produit $x$ centaines de bougies par jour, avec $x \in [0\,;12]$. Son bénéfice, en milliers d’euros, est $B(x) = -x^2 + 12x - 20$.

1. aVérifie que $B(x) = (x - 2)(10 - x)$ pour tout $x$ de $[0\,;12]$.
2. bDresse le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;12]$.
3. cRésous $B(x) > 0$, puis $B(x) \leqslant 0$ sur $[0\,;12]$. Interprète le premier résultat.
4. dLa fabrique vise un bénéfice d’au moins 7 000 €. Vérifie que $B(x) - 7 = (x - 3)(9 - x)$, puis résous $B(x) \geqslant 7$ et interprète.

Ex. 41★★★Retrouver une expression à partir de son tableau — Une fonction $f$ a le tableau de signes ci-dessous.

1. aLis le tableau et donne l’ensemble des $x$ tels que $f(x) \geqslant 0$.
2. bSami cherche $f(x)$ sous la forme d’un produit de facteurs affines. Explique pourquoi aucun produit de ce type ne peut convenir.
3. cPropose une expression de $f(x)$ compatible avec le tableau. Justifie par un tableau de signes.
4. dInès propose $g(x) = \frac{x + 6}{(x - 1)(x - 8)}$. Ses signes coïncident avec ceux du tableau. Son expression convient-elle ? Justifie.

Ex. 42★★★Position d’une hyperbole et d’une droite — On donne $f(x) = \frac{6}{x - 2}$ et $g(x) = x - 3$. On note $C_f$ et $C_g$ leurs courbes.

1. aDonne l’ensemble de définition de $f$. Montre ensuite que $f(x) - g(x) = \frac{x(5 - x)}{x - 2}$.
2. bDresse le tableau de signes de $f(x) - g(x)$.
3. cDéduis-en les intervalles sur lesquels $C_f$ est strictement au-dessus de $C_g$.
4. dDonne les coordonnées des points d’intersection de $C_f$ et $C_g$.
5. eNoé dit : « Le numérateur $x(5 - x)$ est positif sur $]0\,;5[$, donc $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $]0\,;5[$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 43★★★Automatismes : la différence de deux fonctions — Dans chaque question, $f$ et $g$ sont deux fonctions et $C_f$, $C_g$ sont leurs courbes.

1. a$f(x) = x^2 + 2x$ et $g(x) = 5x - 2$. Écris $f(x) - g(x)$ sous forme réduite.
2. b$f(x) = 3x - 1$ et $g(x) = x + 5$. Résous $f(x) - g(x) = 0$. Que représente la solution ?
3. c$f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = -x + 7$. Donne les coordonnées du point d'intersection de $C_f$ et $C_g$.
4. d$f(x) = x^2$ et $g(x) = 3x + 2$. Le point de $C_f$ d'abscisse $1$ est-il au-dessus ou au-dessous de $C_g$ ? Justifie avec le signe de $f(1) - g(1)$.
5. e$f(x) = \frac{2}{x}$ et $g(x) = 1$. Écris $f(x) - g(x)$ avec un seul dénominateur. Donne la valeur interdite et la valeur qui annule cette différence.
6. f$f(x) = -2x + 3$ et $g(x) = x - 6$. Sur quel intervalle $C_f$ est-elle strictement au-dessus de $C_g$ ?

Ex. 44★★★Automatismes : lire une position dans un tableau de signes — $f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$, avec $g(x) = 2x + 3$. Voici le tableau de signes de $f(x) - g(x)$.

1. aSur quel intervalle $C_f$ est-elle strictement au-dessus de $C_g$ ?
2. bSur quels intervalles $C_f$ est-elle strictement au-dessous de $C_g$ ?
3. cQuelles sont les abscisses des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$ ?
4. dDonne les coordonnées de ces points d'intersection.
5. eTom affirme : « $g(x) - f(x) > 0$ sur $]-4\,;1[$, comme $f(x) - g(x)$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Une parabole, une hyperbole et la droite y = x — On pose $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$, définies sur $\mathbb{R}$, et $h(x) = \frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. $C_f$, $C_g$ et $C_h$ sont leurs courbes ; $C_g$ est la droite d'équation $y = x$.

1. aFactorise $f(x) - g(x)$, puis dresse son tableau de signes.
2. bDéduis-en la position de $C_f$ par rapport à la droite $C_g$, puis leurs points d'intersection.
3. cVérifie que, pour $x \neq 0$, $h(x) - g(x) = \frac{(1 - x)(1 + x)}{x}$.
4. dInès n'étudie que le numérateur $(1 - x)(1 + x)$. Elle conclut que $C_h$ est au-dessus de $C_g$ sur $]-1\,;1[$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eDresse le tableau de signes de $h(x) - g(x)$ et conclus sur la position de $C_h$ et de $C_g$.

Ex. 46★★★Deux tarifs pour une salle d'escalade — Salomé va dans une salle d'escalade. Tarif A : une carte à $40$ € puis $5$ € par séance. Tarif B : $9$ € par séance, sans carte. Pour $x$ séances ($x \geqslant 0$), les coûts en euros sont $A(x) = 5x + 40$ et $B(x) = 9x$.

1. aÉcris $A(x) - B(x)$ sous forme réduite.
2. bDresse le tableau de signes de $A(x) - B(x)$ sur $[0\,;+\infty[$.
3. cPour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Quel est ce prix ?
4. dQuand le tarif A est-il le moins cher ? Rédige une phrase de conclusion.
5. eMalik écrit $B(x) - A(x) = 9x - 5x + 40 = 4x + 40 > 0$ et conclut que le tarif A est toujours le moins cher. Trouve et corrige son erreur.

Ex. 47★★★Une parabole et une droite, étape par étape — On pose $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ et $g(x) = -x + 5$, définies sur $\mathbb{R}$. $C_f$ et $C_g$ sont leurs courbes.

1. aLina écrit : $f(x) - g(x) = 2x^2 - 3x + 1 - x + 5 = 2x^2 - 4x + 6$. Explique son erreur.
2. bVérifie en développant que $f(x) - g(x) = 2(x - 2)(x + 1)$.
3. cDresse le tableau de signes de $f(x) - g(x)$, puis donne la position relative de $C_f$ et $C_g$.
4. dDonne les coordonnées des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$. Contrôle chaque ordonnée avec $f$ et avec $g$.
5. eYanis étudie $g(x) - f(x)$. Il trouve un signe $+$ sur $]-1\,;2[$ et conclut que $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $]-1\,;2[$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 48★★★Une courbe à valeur interdite et la droite y = x — On pose $f(x) = \frac{3x - 4}{x - 2}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, et $g(x) = x$, définie sur $\mathbb{R}$. $C_f$ et $C_g$ sont leurs courbes.

1. aRéduis au même dénominateur et montre que $f(x) - g(x) = \frac{-x^2 + 5x - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$.
2. bVérifie en développant que $(x - 1)(4 - x) = -x^2 + 5x - 4$.
3. cDresse le tableau de signes de $f(x) - g(x)$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.
4. dDonne la position relative de $C_f$ et $C_g$, puis les coordonnées de leurs points d'intersection.
5. eNora étudie seulement le numérateur $-x^2 + 5x - 4$, qui est positif sur $]1\,;4[$. Elle conclut que $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $]1\,;4[$. A-t-elle raison ? Justifie avec $x = 1{,}5$.

Ex. 49★★★Deux devis pour une terrasse carrée — Hugo veut une terrasse carrée de côté $x$ mètres, avec $1 \leqslant x \leqslant 10$. Devis A : $30$ € de déplacement, puis $2$ € par m² de surface. Devis B : $4$ € par mètre de bordure, sur tout le tour du carré. On note $A(x)$ et $B(x)$ les prix en euros, et $C_A$, $C_B$ leurs courbes.

1. aJustifie que $A(x) = 2x^2 + 30$ et $B(x) = 16x$.
2. bVérifie en développant que $A(x) - B(x) = 2(x - 3)(x - 5)$.
3. cDresse le tableau de signes de $A(x) - B(x)$ sur $[1\,;10]$.
4. dPour quelles longueurs de côté le devis A est-il strictement le moins cher ? Conclus par une phrase.
5. eDonne les coordonnées des points d'intersection de $C_A$ et $C_B$, puis explique ce qu'ils signifient pour Hugo.