42 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Rappels de 1re : suites arithmétiques et géométriques, sens de variation
À retenir : Arithmétique : $u_n = u_0 + nr = u_1 + (n-1)r$. Géométrique : $u_n = u_0 \times q^{n}$ ; « +3 % » donne $q = 1{,}03$. De $u_p$ à $u_m$ : $m - p + 1$ termes. Sens : signe de $u_{n+1} - u_n$, avec $u_{n+1} \neq u_n + 1$.
Ex. 1★★★Terme général des suites arithmétiques et géométriques— Donne les valeurs exactes.
a$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $-3$. Exprime $u_n$ en fonction de $n$.
b$(v_n)$ est arithmétique, avec $v_1 = 4$ et de raison $2{,}5$. Calcule $v_{20}$.
c$(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0 = 5$ et de raison $2$. Calcule $w_6$.
d$(t_n)$ est géométrique, avec $t_1 = 81$ et de raison $\frac{1}{3}$. Exprime $t_n$ en fonction de $n$, puis calcule $t_5$.
e$(a_n)$ est arithmétique, avec $a_3 = 10$ et $a_8 = 25$. Détermine sa raison.
fCombien de termes compte la liste $u_4, u_5, \ldots, u_{30}$ ?
Ex. 2★★★Pourcentages et sens de variation d'une suite géométrique— Dans les deux dernières questions, $n$ désigne un entier naturel.
aUne quantité augmente de 6 % par an. Donne la raison $q$ de la suite géométrique qui la modélise.
bUne quantité diminue de 6 % par an. Donne la raison $q$ de la suite géométrique qui la modélise.
cUn prix de 80 € augmente de 3 %, puis baisse de 3 %. Calcule le prix final, arrondi au centime.
dUn loyer passe de 650 € à 676 €. Calcule la variation absolue, puis la variation relative en pourcentage.
eÉtudie le sens de variation de la suite définie par $u_n = -4 \times 1{,}2^{n}$.
fÉtudie le sens de variation de la suite définie par $v_n = -2 \times 0{,}9^{n}$.
Ex. 3★★★Nature et variations : repère les erreurs— Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n = n^{3} - 3n^{2} + 4n$, $b_n = 3 \times 2^{n+1}$ et $c_n = n^{2} - 9n + 2$.
aInès calcule $a_0$, $a_1$ et $a_2$, puis affirme que $(a_n)$ est arithmétique. A-t-elle raison ? Justifie.
bMontre que $(b_n)$ est géométrique. Précise sa raison et son premier terme $b_0$.
cHugo écrit $c_{n+1} = n^{2} - 9n + 3$. Corrige son erreur, puis calcule $c_{n+1} - c_n$.
dDéduis-en le sens de variation de $(c_n)$, en précisant le rang à partir duquel il est valable.
Ex. 4★★★Médiathèque de Rodez : deux modèles d'adhérents— En 2025, une médiathèque de Rodez compte 2 400 adhérents. Modèle A : 150 adhérents de plus chaque année. Modèle B : 5 % d'adhérents de plus chaque année. On note $a_n$ et $b_n$ les nombres d'adhérents de l'année $2025 + n$ selon chaque modèle. Arrondis les effectifs à l'unité et les pourcentages à 0,01 %.
aExprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
bQuel rang $n$ correspond à l'année 2032 ? Calcule $a_n$ et $b_n$ pour cette année.
cCalcule la variation relative de $a_n$ de 2025 à 2026, puis de 2026 à 2027. Le modèle A suit-il une évolution en pourcentage constante ? Justifie.
dÀ la calculatrice, détermine la première année où le modèle B donne plus d'adhérents que le modèle A.
eChaque adhérent paie 12 € par an. Selon le modèle A, quelle somme totale la médiathèque encaisse-t-elle de 2027 à 2040 inclus ?
Ex. 5★★★Forage d'un puits à Millau— À Millau, une entreprise fore un puits. Le 1er mètre coûte 120 €, et chaque mètre coûte 15 € de plus que le précédent. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $c_n$ le coût (en euros) du $n$-ième mètre : ainsi $c_1 = 120$. Donne les valeurs exactes.
aExprime $c_n$ en fonction de $n$. Léa propose $c_n = 120 + 15n$. A-t-elle raison ? Justifie.
bCalcule le coût total du forage du 11e au 30e mètre inclus.
cPour $n \geqslant 1$, on note $S_n$ le coût total des $n$ premiers mètres. Montre que $S_n = 7{,}5n^{2} + 112{,}5n$.
dLe budget est de 12 000 €. Quelle profondeur maximale, en mètres entiers, peut-on forer ? Justifie.
ePour $n \geqslant 1$, on pose $m_n = \frac{S_n}{n}$ (coût moyen d'un mètre). Étudie le sens de variation de $(m_n)$.
Ex. 6★★★Une jeune entreprise de Brest : réduire le déficit— En 2025, une jeune entreprise de Brest a un résultat de $-80\,000$ € (c'est un déficit). Modèle A : le déficit diminue de 12 % par an. Modèle B : le résultat augmente de 7 000 € par an. On note $r_n$ (modèle A) et $d_n$ (modèle B) le résultat en euros de l'année $2025 + n$. Arrondis les montants à l'euro.
aJustifie que $(r_n)$ est géométrique. Donne sa raison et exprime $r_n$ en fonction de $n$.
bMalo affirme : « La raison est comprise entre 0 et 1, donc $(r_n)$ est décroissante. » A-t-il raison ? Justifie par le calcul de $r_{n+1} - r_n$.
cAvec le modèle A, en quelle année le déficit devient-il inférieur à 20 000 € pour la première fois ? Justifie.
dExprime $d_n$ en fonction de $n$. Lequel des deux modèles a une variation absolue constante ? une variation relative constante ? Justifie.
eL'entreprise est bénéficiaire quand son résultat est strictement positif. Selon chaque modèle, en quelle année l'est-elle pour la première fois ? Justifie.
2.Limite d’une suite : opérations et formes indéterminées
À retenir : « $+\infty-\infty$ », « $0\times\infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac{0}{0}$ » ne sont pas des résultats : je factorise par le terme dominant et je nomme la règle. Ex. : $\frac{3n^2+1}{n^2-2}=\frac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}\to 3$ par quotient.
Ex. 7★★★Automatismes : limites par opérations— Chaque suite est définie pour tout entier $n \geqslant 1$. Détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ en nommant la règle utilisée (par somme, par produit, par quotient).
Ex. 8★★★Automatismes : forme indéterminée ou pas ?— Chaque suite est définie pour tout entier $n \geqslant 1$. Calcule la limite de chaque morceau. Si tu obtiens une forme indéterminée, dis laquelle ; sinon, donne la limite en nommant la règle.
Ex. 9★★★Lever une forme indéterminée— Chaque suite est définie pour tout entier $n \geqslant 1$ et conduit à une forme indéterminée. Lève-la en factorisant ou en développant, puis donne la limite en nommant la règle.
aDétermine la limite de $a_n = \frac{6n^2 + n - 1}{3n^2 - 4}$.
bDétermine la limite de $b_n = 4n^2 - n^3$.
cDétermine la limite de $c_n = \frac{8n + 3}{2n^2 + n}$.
dDétermine la limite de $d_n = \sqrt{n} - 3n$ en factorisant par $n$.
eDétermine la limite de $e_n = \frac{2}{n} \times (5n - 1)$.
Ex. 10★★★Conjecture trop rapide et erreur sur « ∞ − ∞ »— Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = n^2 - 30n$. Inès calcule quelques premiers termes à la calculatrice et conjecture que $(u_n)$ tend vers $-\infty$.
aCalcule $u_1$, $u_5$ et $u_{10}$.
bCalcule $u_{40}$ et $u_{100}$. Que penses-tu de la conjecture d'Inès ? Justifie.
cMalo écrit : « $n^2 \to +\infty$ et $30n \to +\infty$, donc $u_n \to 0$ car $\infty - \infty = 0$ ». Explique son erreur.
dPour $n \geqslant 1$, factorise $u_n$ par $n^2$, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ en nommant la règle.
eSam affirme : « $(u_n)$ tend vers l'infini, donc elle converge ». Corrige sa phrase.
Ex. 11★★★Vrai ou faux sur les opérations et les formes indéterminées— Toutes les suites sont définies pour tout entier $n \geqslant 1$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie. Une affirmation générale fausse se réfute par un contre-exemple. Nomme chaque règle utilisée.
a« Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. » Vrai ou faux ? Justifie.
b« La suite définie par $a_n = \frac{n^2 + 1}{n} - n$ est convergente, bien que $\frac{n^2 + 1}{n}$ et $n$ tendent vers $+\infty$. » Vrai ou faux ? Justifie.
c« Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = 0$. » Vrai ou faux ? Justifie.
d« La suite définie par $b_n = \frac{4n - 3n^3}{n^2 + 6}$ tend vers $+\infty$, car son numérateur a le plus grand degré. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 12★★★Proportion d'abonnés payants d'une application— Une application de cours de guitare a été lancée à Rennes. $n$ mois après son lancement ($n \geqslant 1$), elle compte $t_n = 500n^2 + 2000$ utilisateurs, dont $p_n = 300n^2 + 40n$ abonnés payants. On note $r_n = \frac{p_n}{t_n}$ la proportion d'abonnés payants. Arrondis à $0{,}001$ sauf mention contraire.
aCalcule $r_1$ et $r_{10}$.
bOn note $N_n = t_n - p_n$ le nombre d'utilisateurs non payants. Exprime $N_n$ en fonction de $n$, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} N_n$.
cDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n$. La suite $(r_n)$ est-elle convergente ? Interprète le résultat.
dOn considère le programme : n = 1
r = (300*n**2 + 40*n)/(500*n**2 + 2000)
while r < 0.59:
n = n + 1
r = (300*n**2 + 40*n)/(500*n**2 + 2000)
print(n) Quelle valeur affiche-t-il ? Justifie avec deux valeurs de $r_n$ arrondies à $0{,}0001$.
eL'équipe affirme : « $r_n$ reste toujours inférieur à sa limite $\ell$ ». Vrai ou faux ? Justifie en étudiant le signe de $r_n - \ell$.
3.Limite de qⁿ et des suites géométriques
À retenir : Si $0<q<1$, $q^{n}\to 0$ ; si $q>1$, $q^{n}\to+\infty$ (même $1{,}02^{n}$) ; si $q=1$,$q^{n}=1$. Pour $u_0\times q^{n}$, le signe de $u_0$ compte. Avec plusieurs puissances, factorise par la plus grande : $4^{n}-3^{n}=4^{n}\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\right)$.
Ex. 13★★★Automatismes : limite de $q^{n}$— Détermine la limite de chaque suite. Écris d'abord la suite sous la forme $q^{n}$ si besoin, puis écris la condition sur $q$.
Ex. 14★★★Automatismes : suites géométriques et pourcentages— Justifie chaque limite en citant la règle du cours (limite de $q^{n}$ avec la condition sur $q$, produit, somme).
aUne quantité baisse de $12\,\%$ chaque année. Donne la raison $q$ associée, puis la limite de $q^{n}$.
bUn capital augmente de $0{,}5\,\%$ chaque mois. Donne la raison $q$ associée, puis la limite de $q^{n}$.
cDétermine la limite de $u_n=-2\times 1{,}3^{n}$.
dDétermine la limite de $v_n=5-3\times 0{,}8^{n}$.
eDétermine la limite de $w_n=7\times 1{,}1^{n}+2$.
fCompare la limite de $0{,}9^{n}$ et celle de $0{,}9\times n$.
Ex. 15★★★Vrai ou faux : puissances et formes indéterminées— Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie par un calcul et une règle du cours.
a« La suite $\left(\frac{0{,}6^{n}}{0{,}4^{n}}\right)$ tend vers $0$, car $0{,}6^{n}$ et $0{,}4^{n}$ tendent tous les deux vers $0$. »
b« $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{2^{n}}{3^{n+1}}=1$, car le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers $+\infty$. »
c« La suite $u_n=2^{n}-3\times 6^{n}$ tend vers $+\infty$, car $2^{n}$ et $6^{n}$ tendent tous les deux vers $+\infty$. »
d« La suite $v_n=\frac{3\times 5^{n}-2^{n}}{5^{n}+1}$ converge vers $3$. »
Ex. 16★★★Deux modèles pour une harde de cerfs— Dans une réserve des Vosges, on estime le nombre de cerfs $n$ années après 2025. Modèle A : $a_n=800\times 1{,}03^{n}$. Modèle B : $b_n=1500-700\times 0{,}9^{n}$. Arrondis les effectifs à l'unité.
aQuel pourcentage d'évolution annuelle le modèle A traduit-il ? Calcule $a_{10}$.
bDétermine la limite de $(a_n)$. Interprète-la dans le contexte.
cDétermine la limite de $(b_n)$. Interprète-la dans le contexte.
dRésous l'inéquation $a_n>1500$ à l'aide de la fonction $\ln$. Donne le plus petit entier $n$ qui convient.
eBen affirme : « À long terme, le modèle A prévoit plus de cerfs que le modèle B. » A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 17★★★Quand deux puissances font la course— On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=5^{n}-4^{n}$. Arrondis à $10^{-2}$ si besoin.
aCalcule $u_1$ et $u_2$. Mathis affirme : « $5^{n}-4^{n}=1^{n}=1$ pour tout $n$ ». A-t-il raison ? Justifie.
bDonne les limites de $5^{n}$ et de $4^{n}$. Explique pourquoi elles ne suffisent pas pour obtenir directement la limite de $(u_n)$.
cMontre que, pour tout $n$,$u_n=5^{n}\left(1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n}\right)$. Déduis-en la limite de $(u_n)$.
dOn pose $t_n=\frac{u_n}{5^{n+1}}$. Écris $t_n$ à l'aide de $\left(\frac{4}{5}\right)^{n}$, puis détermine la limite de $(t_n)$.
eDétermine par le calcul, avec $\ln$, le plus petit entier $n$ tel que $4^{n}\leqslant 0{,}01\times 5^{n}$.
Ex. 18★★★Audience d'un podcast : stabilisation ou explosion ?— Chloé lance un podcast à Rennes. Elle compare deux modèles du nombre d'auditeurs $n$ mois après le lancement. Modèle 1 : $p_n=2000\times 1{,}02^{n}$. Modèle 2 : $r_n=6000-4000\times 0{,}85^{n}$. Arrondis les effectifs à l'unité.
aQuelle évolution mensuelle en pourcentage le modèle 1 traduit-il ? Arthur affirme : « $1{,}02$ est proche de $1$, donc l'audience va presque se stabiliser ». A-t-il raison ? Justifie.
bCalcule $r_0$, puis détermine la limite de $(r_n)$. Interprète ce résultat pour l'audience.
cPour calculer $r_{12}$, Arthur remplace $0{,}85^{12}$ par $0{,}85\times 12$. Explique son erreur, puis calcule $r_{12}$.
dOn pose $d_n=r_n-p_n$. Détermine la limite de $(d_n)$ et interprète-la en comparant les deux modèles.
eRecopie et complète le programme pour qu'il affiche le plus petit $n$ tel que $p_n>6000$. Donne ce $n$.n = 0
p = 2000
while ...:
n = n + 1
p = ...
print(n)
4.Comparaison et théorème des gendarmes
À retenir : Limite infinie : une seule inégalité, dans le bon sens ($u_n \geqslant v_n$ et $v_n \to +\infty$). Limite finie : deux bornes de même limite (gendarmes). $u_n < 3$ pour tout $n$ donne $\lim u_n \leqslant 3$. Multiplier par un négatif change le sens.
Ex. 19★★★Automatismes : encadrer un terme qui oscille— Les suites sont définies pour tout entier $n \geqslant 1$. Nomme le théorème utilisé pour chaque limite.
aComplète l'encadrement $\ldots \leqslant -5\cos n \leqslant \ldots$, valable pour tout entier $n$.
bEncadre $\frac{(-1)^n}{3n+2}$, puis détermine sa limite.
cMajore $t_n = -n^2 - 3\cos n$, puis détermine sa limite.
dEncadre $3 + (-1)^n$. Déduis-en un encadrement de $p_n = \frac{3 + (-1)^n}{\sqrt{n} + 1}$, puis sa limite.
eMontre que $z_n = 3n + 2\cos n \geqslant 3n - 2$, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} z_n$.
Ex. 20★★★Automatismes : vrai ou faux sur les comparaisons— $(u_n)$ désigne une suite définie pour tout entier $n \geqslant 0$. Justifie chaque réponse : nomme une règle si c'est vrai, donne un contre-exemple si c'est faux.
aSi $u_n \geqslant n^2 - 4n$ pour tout $n$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Vrai ou faux ?
bSi $u_n \leqslant n^2$ pour tout $n$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Vrai ou faux ?
cSi $u_n < 3$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge, alors sa limite est strictement inférieure à $3$. Vrai ou faux ?
dSi $1 \leqslant u_n \leqslant 6$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ converge. Vrai ou faux ?
eSi $u_n \leqslant 7 - 2n$ pour tout $n \geqslant 100$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. Vrai ou faux ?
fSi $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $u_n \geqslant 2$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \geqslant 2$. Vrai ou faux ?
Ex. 21★★★Gendarmes et forme indéterminée— Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $u_n = \frac{6n + 5\sin n}{2n + 3}$.
aJustifie que, pour tout $n$,$\frac{6n - 5}{2n + 3} \leqslant u_n \leqslant \frac{6n + 5}{2n + 3}$.
bDétermine la limite de chacune des deux bornes de cet encadrement.
cDéduis-en la limite de la suite $(u_n)$.
dÉcris $3 - u_n$ sous la forme d'un seul quotient, puis montre que $u_n < 3$ pour tout $n$.
eHugo affirme : « La majoration $u_n \leqslant \frac{6n+5}{2n+3}$ suffisait pour trouver la limite. » A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 22★★★Comparaison : corriger un raisonnement— Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_n = n^2 - 3n \times (-1)^n$. Malik écrit : « $(-1)^n \geqslant -1$, donc $-3n \times (-1)^n \geqslant 3n$, donc $u_n \geqslant n^2 + 3n$. »
aRepère l'erreur de Malik, puis écris une minoration correcte de $u_n$.
bDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} (n^2 - 3n)$, puis déduis-en la limite de $(u_n)$.
cCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$. La suite $(u_n)$ est-elle croissante ? Justifie.
dPour $n \geqslant 1$, on pose $w_n = 4\sin n - \sqrt{n}$. Montre que $w_n \leqslant 4 - \sqrt{n}$, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n$.
eDétermine un rang à partir duquel on est sûr que $w_n < 0$.
Ex. 23★★★Abonnés avec fluctuations : gendarmes et seuil— Une application de covoiturage lancée à Rennes compte $u_n$ milliers d'abonnés $n$ mois après son lancement. Pour tout entier $n \geqslant 0$,$u_n = 20 - 15 \times 0{,}7^{n} + \frac{2\sin n}{n + 1}$. Le terme en sinus traduit des fluctuations. Arrondis à $10^{-3}$ si nécessaire.
aCalcule $u_0$ et $u_1$.
bJustifie que, pour tout $n \geqslant 0$,$20 - 15 \times 0{,}7^{n} - \frac{2}{n + 1} \leqslant u_n \leqslant 20 - 15 \times 0{,}7^{n} + \frac{2}{n + 1}$.
cDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ en nommant chaque règle, puis interprète ce résultat dans le contexte.
dNina écrit : « Pour tout $n$,$u_n < 20 + \frac{2}{n + 1}$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n < 20$. » Justifie son inégalité, puis corrige sa conclusion.
eDétermine par le calcul avec ln le plus petit entier $N$ tel que $15 \times 0{,}7^{N} \leqslant 0{,}5$. Justifie ensuite que $u_n \geqslant 19$ pour tout $n \geqslant N$.
Ex. 24★★★Comparer, encadrer… ou ne pas conclure— Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $v_n = 3n - 5 + 4\cos n$,$w_n = (-1)^{n} \times \frac{n}{n + 2}$ et $z_n = (n^2 - 10n)(2 + \cos n)$. Arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.
aYanis écrit : « $\cos n \leqslant 1$, donc $v_n \leqslant 3n - 1$, qui tend vers $+\infty$ ; Donc $v_n \to +\infty$. » Explique pourquoi il ne peut pas conclure.
bDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ par une justification correcte.
cZoé obtient $-\frac{n}{n + 2} \leqslant w_n \leqslant \frac{n}{n + 2}$. Calcule les limites des deux bornes. Peut-elle conclure avec le théorème des gendarmes ? Justifie.
dCalcule $w_{100}$ et $w_{101}$. Que peux-tu conjecturer sur la suite $(w_n)$ ?
eCompare $z_5$ à $5^2 - 10 \times 5$. Montre que $z_n \geqslant n^2 - 10n$ pour $n \geqslant 10$, puis détermine la limite de $(z_n)$.
5.Suites arithmético-géométriques : suite auxiliaire et modèle
À retenir : $u_{n+1}=au_n+b$ : $\ell=a\ell+b$, $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$,$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^{n}$. Si $0<a<1$, $u_n\to\ell$ quel que soit $u_0$. Ex. : $u_{n+1}=0{,}5u_n+3$ donne $\ell=6$. Piège : $u_n\neq u_0a^{n}+b$.
Ex. 25★★★Automatismes : traduire, équilibre et suite auxiliaire— Dans chaque item, $\ell$ désigne la valeur de la suite constante solution et $v_n=u_n-\ell$ la suite auxiliaire. Donne des valeurs exactes.
aChaque mois, un stock $u_n$ perd $12\,\%$ puis reçoit $300$ unités. Écris $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
bChaque mois, un stock $u_n$ reçoit $300$ unités puis perd $12\,\%$. Écris $u_{n+1}$ sous la forme $au_n+b$.
cCalcule $\ell$ pour la relation $u_{n+1}=0{,}6u_n+8$.
dVrai ou faux ? La suite constante égale à $25$ vérifie $u_{n+1}=0{,}8u_n+5$. Justifie.
eOn sait que $\ell=30$ pour la relation $u_{n+1}=0{,}7u_n+9$. Avec $u_0=10$, calcule $v_0$.
fPour $u_{n+1}=1{,}25u_n+10$, calcule $\ell$ puis écris $v_n$ en fonction de $u_n$, sans parenthèses.
Ex. 26★★★Automatismes : forme explicite, limite et variations— Les suites sont définies pour tout entier naturel $n$. Donne des valeurs exactes.
aLa suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-50$ est géométrique de raison $0{,}8$, avec $v_0=30$. Exprime $u_n$ en fonction de $n$.
bOn a $u_0=50$ et $u_{n+1}=0{,}5u_n+10$. Sofia propose $u_n=50\times 0{,}5^{n}+10$. Calcule $u_2$ de deux façons. A-t-elle raison ?
cDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ pour $u_n=12-5\times 0{,}4^{n}$.
dDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n$ pour $w_n=-3+2\times 1{,}1^{n}$.
eOn a $u_n=60-15\times 0{,}9^{n}$. Étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$, puis donne le sens de variation de $(u_n)$.
fDeux suites vérifient $u_{n+1}=0{,}75u_n+40$ : l'une a $u_0=100$, l'autre $u_0=300$. Vrai ou faux ? Elles n'ont pas la même limite. Justifie.
Ex. 27★★★Les abonnés de la newsletter de Nora— Le 1er janvier 2026, la newsletter de Nora compte $1\,200$ abonnés. Chaque mois, $10\,\%$ des abonnés se désinscrivent et $450$ nouveaux s'inscrivent. On note $u_n$ le nombre d'abonnés $n$ mois après le 1er janvier 2026, avec $u_0=1\,200$.
aJustifie que $u_{n+1}=0{,}9u_n+450$, puis calcule $u_1$.
bOn pose $v_n=u_n-4\,500$. En partant de $v_{n+1}=u_{n+1}-4\,500$, démontre que $(v_n)$ est géométrique. Précise sa raison et $v_0$.
cExprime $u_n$ en fonction de $n$. Donne le nombre d'abonnés au bout de $12$ mois, arrondi à l'unité.
dDétermine $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$. Nora affirme qu'elle dépassera un jour $5\,000$ abonnés. A-t-elle raison ? Justifie.
Ex. 28★★★Un étang près de Dijon : deux modèles de pollution— Le 1er janvier 2026, un étang près de Dijon contient $900$ kg de polluant. Chaque année, une usine en rejette $60$ kg et une station en élimine $25\,\%$. Modèle A : élimination puis rejet. Modèle B : rejet puis élimination. On note $a_n$ et $b_n$ les quantités (en kg) en $2026+n$, avec $a_0=b_0=900$.
aÉcris la relation de récurrence de chaque modèle sous la forme $u_{n+1}=au_n+b$, puis calcule $a_1$ et $b_1$.
bCalcule la valeur d'équilibre $\ell_A$ du modèle A et la valeur d'équilibre $\ell_B$ du modèle B.
cÀ l'aide de la suite auxiliaire $w_n=b_n-\ell_B$, exprime $b_n$ en fonction de $n$.
dDétermine la limite et le sens de variation de $(b_n)$.
eUn technicien affirme : « Avec $2\,000$ kg au départ, le modèle B se stabiliserait plus haut. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 29★★★Le traitement de Malik : équilibre, seuil et dose— Malik est hospitalisé à Rennes. Au départ, son sang contient $5$ mg d'un médicament. Toutes les $6$ heures, son organisme élimine $30\,\%$ du médicament présent, puis une infirmière lui injecte $3$ mg. On note $u_n$ la quantité (en mg) après $n$ périodes de $6$ heures, avec $u_0=5$. Arrondis les quantités au millième.
aJustifie que $u_{n+1}=0{,}7u_n+3$, puis calcule $u_1$ et $u_2$.
bDétermine la valeur $\ell$ de la suite constante solution pour $(u_n)$. Démontre ensuite que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\ell$ est géométrique et donne $v_0$.
cDéduis-en $u_n$ en fonction de $n$ et contrôle ta formule avec $u_2$. Étudie ensuite le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite.
dLe traitement est efficace dès que la quantité dépasse $9{,}9$ mg. Détermine par le calcul (avec $\ln$) le nombre minimal de périodes nécessaires, puis la durée en heures.
eLe médecin veut que la quantité se stabilise à $12$ mg, avec la même élimination de $30\,\%$ toutes les $6$ heures. Quelle dose $d$ faut-il injecter ? Justifie.
Ex. 30★★★La population de Saint-Flour : formule, erreur et seuil— Le 1er janvier 2026, la commune de Saint-Flour compte $6\,000$ habitants. Chaque année, $4\,\%$ des habitants quittent la commune et $150$ personnes viennent s'y installer. On note $u_n$ la population au 1er janvier de l'année $2026+n$, avec $u_0=6\,000$. Arrondis les effectifs à l'unité.
aJustifie que $u_{n+1}=0{,}96u_n+150$, puis détermine la valeur $\ell$ de la suite constante solution.
bDémontre que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\ell$ est géométrique. Déduis-en $u_n$ en fonction de $n$, puis estime la population en 2036.
cLucas écrit $u_n=6\,000\times 0{,}96^{n}+150$ et affirme : « ma formule est juste, je retrouve bien $u_1$ ». A-t-il raison ? Justifie.
dÉtudie le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite, puis interprète ces résultats pour la commune.
eComplète la condition de la boucle pour que le programme affiche le premier rang $n$ tel que $u_n<4\,500$. Détermine la valeur affichée, puis l'année correspondante. u = 6000
n = 0
while ........ :
u = 0.96*u + 150
n = n + 1
print(n)
6.Suites uₙ₊₁ = f(uₙ) : représentation en escalier
À retenir : Trace $\mathcal{C}_f$ et $y = x$ : les termes se lisent sur l'axe des abscisses. Résoudre $f(x) = x$ donne la limite conjecturée ($0{,}5x + 1 = x$ donne $2$), sans la prouver. $f$ croissante n'entraîne pas $(u_n)$ croissante : étudie le signe de $f(u_n) - u_n$.
Ex. 31★★★Automatismes : premiers termes et valeur d'équilibre— Les questions sont indépendantes. Arrondis à $10^{-3}$ si nécessaire.
a$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ : calcule $u_1$ (valeur exacte), puis $u_2$ et $u_3$ à la calculatrice.
c$u_{n+1} = 0{,}7u_n + 3$ : donne la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$, nomme le type de cette suite et calcule la valeur $c$ pour laquelle la suite constante égale à $c$ vérifie cette relation.
dPour $f(x) = x^2 - 4x + 6$, combien de points d'intersection la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $y = x$ ont-elles ? Donne leurs abscisses.
e$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = -0{,}4u_n + 7$ : la construction donne-t-elle un escalier ou une spirale ? Justifie.
f$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n^2 + 1}$ : étudie le sens de variation de $(u_n)$.
Ex. 32★★★Lire un escalier— On considère $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 3$. Le graphique montre la courbe de $f : x \mapsto 0{,}5x + 3$, la droite $y = x$ et la construction des premiers termes.
aLis $u_1$ et $u_2$ sur le graphique. Sur quel axe les lis-tu ?
bVérifie ces lectures par le calcul, puis calcule $u_3$.
cL'escalier monte-t-il ou descend-il ? Quelle conjecture fais-tu sur le sens de variation de $(u_n)$ ?
dLis l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite, puis retrouve-la en résolvant $f(x) = x$.
eInès affirme : « Le graphique prouve que $(u_n)$ converge vers cette abscisse. » A-t-elle raison ? Justifie.
fAvec la même fonction $f$ et $u_0 = 8$, calcule $u_1$ et $u_2$. L'escalier monte-t-il ou descend-il ?
Ex. 33★★★Une spirale, puis un nuage— On considère $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{6}{u_n + 1}$, soit $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = \frac{6}{x + 1}$ sur $[0\,;+\infty[$. Arrondis à $10^{-3}$.
aÀ la calculatrice, calcule $u_1$,$u_2$, $u_3$ et $u_4$.
bLa construction ci-dessus est-elle un escalier ou une spirale ? Explique pourquoi à l'aide des variations de $f$.
cRésous $f(x) = x$ sur $[0\,;+\infty[$, puis énonce une conjecture sur la limite de $(u_n)$.
dLéo affirme : « $u_1 > u_0$, donc la suite est croissante. » A-t-il raison ? Justifie.
eReprésente le nuage des points $(n\,;u_n)$ pour $0 \leqslant n \leqslant 4$. Sur quel axe lit-on $u_n$ dans le nuage ? Et dans la spirale ?
Ex. 34★★★Même fonction, deux premiers termes— Soit $f(x) = 0{,}25x^2 + 0{,}75$ sur $[0\,;+\infty[$, une fonction croissante sur cet intervalle. On étudie $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0 = 2$, puis avec $u_0 = 4$. Donne des valeurs exactes.
aPour $u_0 = 2$, puis pour $u_0 = 4$, calcule $u_1$ et $u_2$.
bRésous $f(x) = x$, puis étudie le signe de $f(x) - x$ sur $[0\,;+\infty[$.
cTom affirme : « $f$ est croissante, donc $(u_n)$ est croissante quel que soit $u_0$. » A-t-il raison ? Justifie.
dPour $u_0 = 2$, on admet que $1 < u_n < 3$ pour tout $n$. Déduis-en le sens de variation de $(u_n)$, construis l'escalier sur le graphique et conjecture la limite.
ePour $u_0 = 4$, on admet que $u_n > 3$ pour tout $n$. Déduis-en le sens de variation de $(u_n)$ et conjecture son comportement à l'aide du graphique.
Ex. 35★★★Un traitement en escalier— Chaque jour, le corps de Malo élimine 40 % du médicament présent dans son sang, puis il reçoit une dose de 2 mg. On note $u_n$ la quantité (en mg) au bout de $n$ jours, avec $u_0 = 10$ : $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = 0{,}6x + 2$. Arrondis à $10^{-2}$.
aSur le graphique, construis $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur l'axe des abscisses. Donne une valeur approchée de chacun.
bConjecture le sens de variation et la limite de $(u_n)$. Calcule l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $y = x$.
cOn pose $v_n = u_n - \ell$, où $\ell$ est l'abscisse calculée à la question précédente. Montre que $(v_n)$ est géométrique, exprime $u_n$ en fonction de $n$, puis démontre que $(u_n)$ est décroissante.
dMalo affirme : « La quantité baisse chaque jour, donc elle finira par passer sous 4 mg. » A-t-il raison ? Justifie.
eDétermine la limite de $(u_n)$. À l'aide de ln, détermine ensuite à partir de combien de jours la quantité dépasse sa limite de moins de 0,01 mg.
Ex. 36★★★Une suite qui s'écrase sur 0— On considère $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 1}$, soit $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = \frac{x}{x + 1}$ sur $[0\,;+\infty[$. On admet que $u_n > 0$ pour tout $n$. Le graphique montre $\mathcal{C}_f$, la droite $y = x$ et l'escalier jusqu'à $u_3$.
aKenza affirme : « Ce graphique est le nuage des points $(n\,;u_n)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
bConjecture le sens de variation et la limite de $(u_n)$. Justifie la valeur de la limite en résolvant $f(x) = x$ sur $[0\,;+\infty[$.
cExprime $u_{n+1} - u_n$ sous la forme d'un seul quotient. Démontre ensuite le sens de variation de $(u_n)$.
dOn pose $w_n = \frac{1}{u_n}$. Montre que $(w_n)$ est arithmétique. Déduis-en $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.
eComplète les pointillés pour que le programme affiche le plus petit $n$ tel que $u_n < 0{,}001$. Retrouve ce $n$ par le calcul. n = 0
u = 2
while ..........:
n = n + 1
u = ..........
print(n)
7.Somme géométrique et recherche de seuil
À retenir : $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ : $n + 1$ termes. Si $0 < q < 1$, $u_0 + \dots + u_n$ tend vers $\frac{u_0}{1 - q}$. Seuil : $0{,}5^{n} < 0{,}01 \iff n > \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}5}$ car $\ln 0{,}5 < 0$. Le while teste le contraire de ce qu'on cherche.
Ex. 37★★★Automatismes : sommes géométriques et leurs limites— Donne les valeurs exactes, ou arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.
dCombien de termes compte la somme $1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{11}$ ? Calcule-la.
eDétermine la limite de $S_n = 1 + 0{,}25 + 0{,}25^{2} + \dots + 0{,}25^{n}$.
f$(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 12$ et de raison $0{,}4$. Détermine la limite de $v_0 + v_1 + \dots + v_n$.
Ex. 38★★★Automatismes : trouver un seuil avec ln— Résous par le calcul avec le logarithme népérien, puis vérifie à la calculatrice avec les rangs $n - 1$ et $n$. Arrondis les quotients à $10^{-2}$ ; pour les vérifications, garde assez de décimales pour conclure.
aTrouve le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}85^{n} < 0{,}02$.
bTrouve le plus petit entier naturel $n$ tel que $1{,}03^{n} > 2$.
cTrouve le plus petit entier naturel $n$ tel que $1\,500 \times 0{,}92^{n} \leqslant 40$.
dTrouve le plus petit entier naturel $n$ tel que $1 - 0{,}8^{n} \geqslant 0{,}99$.
eLina écrit : « $0{,}7^{n} < 0{,}05 \iff n < \frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}7}$ ». Corrige son erreur, puis donne le plus petit $n$.
Ex. 39★★★L'épargne de Noé— Noé verse $50$ € le 1er mois, puis chaque mois $4\,\%$ de plus que le mois précédent : au mois $k$ ($k \geqslant 1$), il verse $v_k = 50 \times 1{,}04^{k-1}$ €. On note $S_n = v_1 + v_2 + \dots + v_n$ le total versé au bout de $n$ mois. Arrondis les montants au centime et les quotients à $10^{-2}$.
aCombien de termes compte $S_n$ ? Montre que $S_n = 1\,250 \times (1{,}04^{n} - 1)$.
bCalcule le total versé au bout d'un an.
cÉcris une fonction Python seuil(), avec une boucle while, qui renvoie le premier mois où le total versé atteint $3\,000$ €.
dTrouve ce mois par le calcul, puis vérifie-le avec les deux rangs voisins.
eLe 1er versement a lieu en janvier 2027. En quel mois de quelle année le total atteint-il $3\,000$ € ?
Ex. 40★★★Rebonds d'une balle : vrai ou faux ?— Une balle est lâchée de $3$ m de haut. Après chaque rebond, elle remonte à $60\,\%$ de sa hauteur précédente. On note $h_n = 3 \times 0{,}6^{n}$ la hauteur (en m) après $n$ rebonds ($h_0 = 3$) et $T_n = h_0 + h_1 + \dots + h_n$. Arrondis les quotients à $10^{-2}$ et les hauteurs à $10^{-4}$ m. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.
a« Pour tout entier naturel $n$,$T_n = 3 \times \frac{1 - 0{,}6^{n}}{1 - 0{,}6}$. »
b« La hauteur passe sous $1$ cm pour la première fois au 12e rebond. »
c« La suite $(T_n)$ converge vers $7{,}5$. »
d« Ce programme renvoie le premier rang $n$ tel que $T_n \geqslant 8$. » def rebonds():
n = 0
h = 3
T = 3
while T < 8:
n = n + 1
h = 0.6 * h
T = T + h
return n
Ex. 41★★★La carrière de granit— Une carrière près de Limoges extrait $40\,000$ t de granit en 2026, puis $6\,\%$ de moins chaque année. On note $u_n = 40\,000 \times 0{,}94^{n}$ la quantité extraite (en tonnes) l'année $2026 + n$, et $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. La réserve est de $600\,000$ t. Arrondis les tonnages à la tonne et les quotients à $10^{-2}$.
aExprime $S_n$ en fonction de $n$, puis calcule la quantité totale extraite de 2026 à 2035 inclus.
bDétermine la limite de la suite $(S_n)$ en justifiant, puis interprète-la dans le contexte.
cDétermine par le calcul, avec ln, le plus petit entier $n$ tel que $S_n \geqslant 600\,000$. Vérifie avec $S_{n-1}$ et $S_n$, puis donne l'année d'épuisement de la réserve.
dL'exploitant garde $u_0 = 40\,000$ mais veut que le total extrait ne dépasse jamais $600\,000$ t. Quelle baisse annuelle minimale doit-il choisir ? Arrondis à $0{,}01\,\%$.
Ex. 42★★★Le programme de plantation de Yanis— Une association d'Annecy plante $900$ arbres l'année 1 (en 2027), puis chaque année $10\,\%$ d'arbres de moins que l'année précédente. L'année $k$ ($k \geqslant 1$) correspond à $2026 + k$, et on y plante $a_k = 900 \times 0{,}9^{k-1}$ arbres. On note $P_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$. Arrondis à $10^{-2}$.
aExprime $P_n$ en fonction de $n$, puis vérifie ta formule en calculant $P_3$ de deux façons.
bPour trouver le premier rang où $P_n \geqslant 8\,000$, Yanis écrit le programme ci-dessous, qui renvoie 1. Explique pourquoi.def seuil():
n = 1
a = 900
P = 0
while P >= 8000:
a = 0.9 * a
P = P + a
n = n + 1
return n
cLe programme contient deux autres erreurs. Repère-les et écris un programme correct.
dCalcule $P_{20}$ et $P_{21}$ à la calculatrice. En quelle année l'objectif de $8\,000$ arbres est-il atteint ?
eL'association veut avoir planté $8\,000$ arbres dès 2040, avec la même baisse de $10\,\%$ par an. Combien d'arbres doit-elle planter au minimum l'année 1 ?