49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Rappels de 1re : suites arithmétiques et géométriques
À retenir : $u_n=u_0+nr=u_1+(n-1)r$ ; $u_n=u_p\times q^{n-p}$, pas $(u_0q)^n$. De $u_0$ à $u_n$ : $n+1$ termes ; $1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ ; somme géom. $=$ 1er terme $\times\frac{1-q^N}{1-q}$ ($N$ termes). Ex. : $+4\,\%$ : $\times 1{,}04$.
Ex. 1★★★Suite arithmétique : terme général et sommes— $(u_n)$ est la suite arithmétique définie pour tout entier naturel $n$, de raison $r = 3$, avec $u_1 = 7$.
aCalcule $u_0$.
bLéa écrit $u_n = 7 + 3n$. Calcule $u_1$ avec sa formule, puis donne la formule correcte de $u_n$.
cCalcule $u_{25}$.
dCombien de termes compte la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{25}$ ? Calcule cette somme.
eCalcule $1 + 2 + \cdots + 40$.
fDéduis-en $u_0 + u_1 + \cdots + u_{40}$, en écrivant chaque terme avec la formule de $u_n$.
Ex. 2★★★Suite géométrique : terme général, raison, somme— $(v_n)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $-3$.
aCalcule $v_4$ (attention aux parenthèses).
bTom écrit $v_n = (-15)^n$. Calcule $(-15)^2$ et $v_2$, puis corrige sa formule.
c$(w_n)$ est géométrique de raison positive, avec $w_2 = 12$ et $w_4 = 48$. Détermine sa raison $q$, puis $w_0$.
dUn prix de $250$ € augmente de $2{,}5\,\%$ par an. Par quel nombre est-il multiplié chaque année ? Donne le prix après $3$ ans, au centime près.
eCombien de termes compte la somme $7 + 7 \times 2 + 7 \times 2^2 + \cdots + 7 \times 2^9$ ? Calcule-la.
Ex. 3★★★Vrai ou faux sur les suites de référence— Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.
a« $(u_n)$ est arithmétique de raison $5$ et $u_3 = 2$. Alors $u_3 + u_4 + \cdots + u_{20} = 17 \times \frac{u_3 + u_{20}}{2}$. »
b« Pour $a_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$, on a $\frac{a_1}{a_0} = \frac{a_2}{a_1}$, donc $(a_n)$ est géométrique. »
c« La suite définie pour tout entier naturel $n$ par $b_n = \frac{4^n}{3^{n+2}}$ est géométrique. »
d« Toute suite géométrique de raison $0{,}8$ est décroissante. »
Ex. 4★★★Deux contrats de subvention à Nantes— Une association nantaise choisit un contrat sur $10$ ans. Contrat A : $2\,000$ € la 1re année, puis $150$ € de plus chaque année. Contrat B : $2\,000$ € la 1re année, puis une hausse de $6\,\%$ par an. On note $a_n$ et $b_n$ les montants de l'année $n$, pour $n \geqslant 1$.
aExprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$.
bCalcule $a_{10}$ et $b_{10}$ (à l'euro près).
cCalcule le total perçu sur les $10$ ans avec chaque contrat (à l'euro près).
dQuel contrat l'association doit-elle choisir sur $10$ ans ? Justifie.
Ex. 5★★★Retrouver une suite géométrique à partir de deux termes— $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, définie pour tout entier naturel $n$. On sait que $w_3 = 40$,$w_7 = \frac{5}{2}$ et $w_4 < 0$.
aDétermine les valeurs possibles de $q$, puis la raison $q$ grâce à l'information $w_4 < 0$.
bCalcule $w_0$, puis exprime $w_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
cCalcule $w_1$ et $w_2$. La suite $(w_n)$ est-elle monotone ? Justifie.
dCalcule la valeur exacte de $S = w_0 + w_1 + \dots + w_9$.
ePour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = w_0 + w_1 + \dots + w_n$. Détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n$ en justifiant.
Ex. 6★★★Une suite ni arithmétique ni géométrique, décomposée— Pour tout entier naturel $n$, on pose $t_n = 2n + 3^n$, $d_n = t_{n+1} - t_n$ et $e_n = d_n - 2$.
aCalcule $t_0$,$t_1$, $t_2$ et $t_3$. Démontre que $(t_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
bExprime $d_n$ puis $e_n$ en fonction de $n$.
cHugo calcule $\frac{e_1}{e_0} = 3$ et conclut que $(e_n)$ est géométrique. Explique pourquoi cela ne suffit pas, puis démontre-le.
dExprime $S_n = t_0 + t_1 + \dots + t_n$ en fonction de $n$, puis calcule $S_{10}$.
eDétermine la limite de $(t_n)$, puis celle de $(S_n)$. Justifie.
Ex. 7★★★Ventes et capacité d'une coopérative bordelaise— Une coopérative de jus de fruits de Bordeaux vend $800$ litres le mois 1. Ensuite, ses ventes augmentent de $4\,\%$ chaque mois. Sa capacité de production vaut $1\,000$ litres le mois 1 et augmente de $20$ litres chaque mois. On note $v_n$ et $c_n$ les ventes et la capacité du mois $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$.
aDémontre que $(v_n)$ est géométrique, puis exprime $v_n$ en fonction de $n$.
bExprime $c_n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$. Vérifie ta formule pour $n = 1$.
cCalcule le volume total vendu du mois 1 au mois 12, arrondi au litre.
dCe programme doit afficher le premier mois où les ventes dépassent la capacité :
n = 1
v = 800
c = 1000
while v <= c:
n = n + 1
v = v * 0.04
c = c + 20
print(n)
Corrige la ligne fausse, puis donne la valeur affichée et interprète-la.
2.Limites : opérations et formes indéterminées
À retenir : Une forme indéterminée ($\infty-\infty$,$0\times\infty$,$\frac{\infty}{\infty}$,$\frac{0}{0}$) n'est pas un résultat. Je factorise par le terme dominant, en haut et en bas, ou j'utilise la quantité conjuguée. Ex. : $\frac{n+2}{3n}=\frac{1+\frac{2}{n}}{3}\to\frac{1}{3}$.
Ex. 8★★★Opérations sur les limites— Chaque suite est définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. Détermine sa limite en citant l'opération utilisée (somme, produit ou quotient).
Ex. 9★★★Lever une forme indéterminée— Chaque suite est définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. Nomme la forme indéterminée, lève-la, puis donne la limite.
Ex. 10★★★Les raisonnements d'Inès— Les suites sont définies pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. Inès a calculé trois limites. Pour chaque calcul, dis si la conclusion et le raisonnement sont justes. Si besoin, écris le bon raisonnement.
aInès écrit : « $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n} = \frac{+\infty}{+\infty} = 1$. » A-t-elle raison ? Justifie.
cInès écrit : « $\frac{1}{n} \to 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left[(4n - 1) \times \frac{1}{n}\right] = 0$. » A-t-elle raison ? Justifie.
Ex. 11★★★Vrai ou faux sur les opérations— $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites définies pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie. Si elle est fausse, donne un contre-exemple.
aSi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3$, si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ et si $v_n > 0$ pour tout $n$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty$.
bSi $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ et si $v_n \neq 0$ pour tout $n$, alors $\frac{1}{v_n}$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.
cUne suite divergente tend forcément vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.
dSi $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent toutes les deux vers $+\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$.
Ex. 12★★★Racine, paramètre et signe— Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \sqrt{n^2 + n} - n$.
aQuelle forme indéterminée obtiens-tu en calculant directement $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ ? Lève-la avec la quantité conjuguée, puis donne la limite $\ell$ de $(u_n)$.
bSoit $b$ un réel et $v_n = \sqrt{n^2 + n} - bn$. Justifie que $v_n = n\left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - b\right)$, puis donne la limite de $(v_n)$ selon les valeurs de $b$.
cCompare $n^2 + n$ et $(n + \ell)^2$, où $\ell$ est la limite trouvée à la question 1. Déduis-en le signe de $u_n - \ell$ pour tout $n \geqslant 1$.
dOn pose $w_n = \frac{u_n}{u_n - \ell}$. Détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n$ en justifiant soigneusement.
Ex. 13★★★Des puissances qui se disputent— Toutes les suites sont définies pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.
aOn pose $a_n = 5^n - 2^n$. Quelle forme indéterminée obtiens-tu ? Factorise par $5^n$ et déduis-en $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$.
bQuelle forme obtiens-tu directement pour $b_n = \frac{2^{n+1} + 3 \times 5^n}{5^n - 2^n}$ ? Détermine la limite de $(b_n)$.
cOn pose $c_n = \frac{0{,}4^n}{0{,}5^n}$ et $d_n = \frac{0{,}5^n}{0{,}4^n}$. Quelle forme obtiens-tu directement ? Calcule ces deux limites, puis conclus sur cette forme.
dOn pose $e_n = \frac{(-5)^n + 2^n}{5^n - 2^n}$. Démontre que la suite $(e_n)$ n'a pas de limite.
Ex. 14★★★Un quotient sous la loupe— Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \frac{3n^2 - n}{2n^2 + 5}$.
aQuelle forme indéterminée obtiens-tu en calculant directement $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ ? Lève-la, puis détermine la limite $\ell$ de $(u_n)$.
bOn pose $v_n = u_n - \ell$. Écris $v_n$ sous la forme d'un seul quotient, puis déduis-en le signe de $v_n$.
cQuelle forme obtiens-tu en calculant directement la limite de $n \times v_n$ ? Détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} n v_n$.
dDétermine la limite de $t_n = (5 - n)\left(u_n - \frac{7}{2}\right)$.
3.Comparaison et théorème des gendarmes
À retenir : Limite infinie : une seule inégalité suffit ($u_n \geqslant v_n$ et $v_n \to +\infty$). Limite finie : il faut deux bornes de même limite (gendarmes), par exemple $-\frac{1}{n} \leqslant \frac{(-1)^n}{n} \leqslant \frac{1}{n}$. Une suite bornée peut diverger. Enfin, $u_n < 3$ donne seulement $\ell \leqslant 3$.
Ex. 15★★★Limites infinies par comparaison— Pour chaque suite définie pour tout entier naturel $n$, détermine sa limite à l'aide d'une minoration ou d'une majoration justifiée.
a$u_n = n^2 + (-1)^n$
b$u_n = -3n + \sin n$
c$u_n = \sqrt{n} - 2\cos n$
d$u_n = n\,(4 + \cos n)$
e$u_n = 5 - 2n + 3\times(-1)^n$
Ex. 16★★★Encadrer puis appliquer les gendarmes— Pour chaque suite, encadre $u_n$ par deux suites de même limite, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$.
a$u_n = \frac{(-1)^n}{n+2}$ pour tout entier naturel $n$.
b$u_n = \frac{n + \cos n}{n}$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
c$u_n = \frac{5 - \sin n}{n^2 + 4}$ pour tout entier naturel $n$.
d$u_n = \frac{4n - \cos n}{2n + 1}$ pour tout entier naturel $n$.
e$u_n = 7 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
Ex. 17★★★Vrai ou faux sur les inégalités et les limites— Dans chaque cas, dis si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifie : cite un théorème si elle est vraie, donne un contre-exemple si elle est fausse.
aSi $u_n \geqslant \frac{1}{n}$ pour tout entier $n \geqslant 1$, alors $(u_n)$ converge, car $\left(\frac{1}{n}\right)$ converge.
bSi $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $u_n > \frac{5n}{n+3}$ pour tout entier naturel $n$, alors $\ell \geqslant 5$.
cSi $0 \leqslant u_n \leqslant \frac{n+1}{n}$ pour tout entier $n \geqslant 1$, alors $(u_n)$ converge.
dSi $2 - \frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 2 + \frac{5}{n}$ pour tout entier $n \geqslant 10$, alors $(u_n)$ converge vers $2$.
Ex. 18★★★Trois erreurs dans la copie de Maëlle— Maëlle a rédigé les trois raisonnements ci-dessous. Pour chacun, repère l'erreur, explique-la, puis écris une correction complète.
aPour $b_n = \frac{2 + \sin n}{1 - n}$ ($n \geqslant 2$), elle écrit : « $1 \leqslant 2 + \sin n \leqslant 3$, donc $\frac{1}{1-n} \leqslant b_n \leqslant \frac{3}{1-n}$. »
bPour $c_n = \frac{\cos n}{n+3}$, elle écrit : « $-1 \leqslant \cos n \leqslant 1$, donc $(\cos n)$ converge. Par quotient, $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n = 0$. »
cPour $e_n = n\,(1 + (-1)^n)$, elle écrit : « $e_n \leqslant 2n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 2n = +\infty$, donc par comparaison $\lim\limits_{n \to +\infty} e_n = +\infty$. »
Ex. 19★★★Une somme de $n$ termes prise en tenaille— Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $S_n = \frac{2n}{n^2+1} + \frac{2n}{n^2+2} + \dots + \frac{2n}{n^2+n}$. Cette somme compte $n$ termes de la forme $\frac{2n}{n^2+k}$, avec $k$ entier allant de $1$ à $n$.
aCalcule les valeurs exactes de $S_1$ et de $S_2$.
bSoit $n \geqslant 1$ et $k$ un entier tel que $1 \leqslant k \leqslant n$. Encadre $\frac{2n}{n^2+k}$ par deux quotients qui ne dépendent que de $n$. Justifie chaque étape.
cDéduis-en un encadrement de $S_n$ par deux suites dont tu simplifieras l'écriture.
dDémontre que la suite $(S_n)$ converge et détermine sa limite.
Ex. 20★★★Une suite qui oscille : conjecturer puis démontrer— Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \frac{4n + 3 \times (-1)^n}{n+1}$. Le nuage ci-dessous représente les points $(n\,;u_n)$ pour $0 \leqslant n \leqslant 7$.
aPar lecture du nuage, conjecture le comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand.
bEncadre $u_n$ par deux suites dont tu détermineras les limites, puis démontre ta conjecture.
cDémontre que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement inférieur à la limite trouvée à la question précédente.
dLina affirme : « Si une suite convergente vérifie $u_n < M$ pour tout $n$, alors sa limite est strictement inférieure à $M$. » Ta suite confirme-t-elle cette affirmation ? Justifie.
eDétermine le plus petit entier $N$ tel que $u_n \geqslant 3$ pour tout entier $n \geqslant N$. Justifie.
Ex. 21★★★Bornée, minorée, encadrée : bien choisir son théorème— Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $b_n = n^2 - 5n\cos n$.
aDémontre que $b_n \geqslant n^2 - 5n$ pour tout entier $n \geqslant 1$, puis déduis-en la limite de $(b_n)$.
bDétermine la limite de la suite $\left(\frac{b_n}{n^2}\right)$. Justifie.
cDémontre que $b_n > 0$ pour tout entier $n \geqslant 6$.
dPour tout entier $n \geqslant 6$, on pose $f_n = \frac{3 - \cos n}{b_n}$. Encadre $f_n$ en justifiant le sens des inégalités, puis détermine sa limite.
4.Limite de qⁿ et somme des termes d’une suite géométrique
À retenir : $q^n \to +\infty$ si $q>1$ ; $q^n \to 0$ si $-1<q<1$ ; $1^n=1$ ; pas de limite si $q \leqslant -1$.$1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, de limite $\frac{1}{1-q}$ si $|q|<1$. Plusieurs puissances : je factorise par la plus grande base.
Ex. 22★★★Lire la limite de qⁿ— Pour chaque suite définie pour tout entier naturel $n$, détermine sa limite si elle existe. Justifie en citant la valeur de $q$.
Ex. 23★★★Sommes géométriques et leurs limites— Pour chaque somme, écris-la en fonction de $n$ avec la formule de la somme géométrique, puis déduis-en sa limite.
a$A_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n$
b$B_n = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \cdots + \frac{1}{5^n}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 2$
Ex. 24★★★Plusieurs puissances : corriger puis factoriser— Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = 3 \times 2^n - 5^n$. Léna écrit : « $2^n \to +\infty$ et $5^n \to +\infty$, donc les deux termes se compensent et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$. »
aExplique pourquoi le raisonnement de Léna n'est pas valable.
bFactorise $u_n$ par $5^n$, puis déduis-en la limite de $(u_n)$.
cDétermine la limite de la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{5^n - 2^n}{5^n + 3 \times 4^n}$.
dMalo affirme : « $\frac{(-5)^n}{4^n}$ tend vers $-\infty$ car $-5 < -4$. » A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 25★★★Démontrer que qⁿ tend vers +∞ (Bernoulli)— Soit $q$ un réel tel que $q > 1$ ; on pose $a = q - 1$. On admet l'inégalité de Bernoulli : pour tout entier naturel $n$,$(1 + a)^n \geqslant 1 + na$.
aJustifie que $a > 0$, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + na)$.
bDémontre que $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ en citant le théorème utilisé.
cOn prend $q = 1{,}02$. À l'aide de l'inégalité, détermine un entier $N$ tel que $1{,}02^n \geqslant 10$ pour tout $n \geqslant N$.
dSoit $r$ un réel tel que $0 < r < 1$. En appliquant la question 2 à $q = \frac{1}{r}$, démontre que $\lim\limits_{n \to +\infty} r^n = 0$.
Ex. 26★★★Vrai ou faux sur les puissances et les sommes— Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie : démonstration si elle est vraie, contre-exemple ou calcul si elle est fausse.
a« La suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ est géométrique de raison $1 + \frac{1}{n} > 1$, donc elle tend vers $+\infty$. »
b« Pour tout réel $q > 0$, la suite $(q^n)$ est monotone. »
c« Si la suite $(q^n)$ converge, alors sa limite est $0$. »
d« Pour tout réel $q$ tel que $-1 < q < 1$, la suite définie par $S_n = 1 + q + \cdots + q^n$ est croissante. »
e« Pour tout réel $q$ tel que $0 < q < 1$,$\lim\limits_{n \to +\infty} \left(q + q^2 + \cdots + q^n\right) = \frac{1}{1 - q}$. »
Ex. 27★★★La balle qui rebondit— Inès lâche une balle de $3$ m de haut. À chaque rebond, elle remonte à $60\,\%$ de sa hauteur précédente. On note $h_0 = 3$ et $h_n$ la hauteur (en m) après le $n$-ième rebond. Quand la balle touche le sol pour la $(n+1)$-ième fois, elle a parcouru $D_n = h_0 + 2\left(h_1 + \cdots + h_n\right)$ mètres.
aJustifie que la suite $(h_n)$ est géométrique. Exprime $h_n$ en fonction de $n$, puis détermine $\lim\limits_{n \to +\infty} h_n$.
bPour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $S_n = h_1 + h_2 + \cdots + h_n$. Exprime $S_n$ en fonction de $n$.
cDéduis-en une expression de $D_n$ en fonction de $n$, puis la limite de la suite $(D_n)$.
dBen affirme : « Si on attend assez longtemps, la balle parcourt une distance aussi grande qu'on veut. » A-t-il raison ? Justifie.
eComplète la ligne 4 de ce programme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $D_n \geqslant 11{,}9$, puis donne la valeur affichée. h = 3
D = 3
n = 0
while ..........:
n = n + 1
h = 0.6 * h
D = D + 2 * h
print(n)
Ex. 28★★★D'après le bac : sommes de puissances de 2 et de 4— Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n$ et $T_n = 1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^n$.
aExprime $S_n$ et $T_n$ en fonction de $n$.
bDétermine la limite de la suite $(S_n - T_n)$.
cDétermine la limite de la suite $\left(\frac{S_n}{T_n}\right)$, puis celle de la suite $\left(\frac{S_n^2}{T_n}\right)$.
dPour tout entier $n \geqslant 3$, on pose $R_n = \left(\frac{2}{5}\right)^3 + \left(\frac{2}{5}\right)^4 + \cdots + \left(\frac{2}{5}\right)^n$. Exprime $R_n$ en fonction de $n$, puis déduis-en la limite de $(R_n)$.
5.Suites monotones bornées, convergence et seuil
À retenir : Croissante et majorée (ou décroissante et minorée) ⇒ converge, mais la limite n'est pas forcément la borne : $3-\frac{2}{n+1}\leqslant 5$ tend vers $3$. Croissante non majorée ⇒ $+\infty$. Seuil : le while teste la négation.
Ex. 29★★★Sens de variation par la différence— Pour chaque suite définie pour tout entier naturel $n$, étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs et déduis-en son sens de variation.
a$a_n = n^2 + 4n - 1$
b$b_n = \dfrac{9}{n+2}$
c$c_n = \dfrac{2n+1}{n+4}$
d$d_n = 7 \times 0{,}6^n + 2$
e$e_0 = 3$ et $e_{n+1} = e_n - n^2 - 1$
f$h_n = n - \sqrt{n}$ (utilise la quantité conjuguée pour $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$)
Ex. 30★★★Que permet de conclure le théorème ?— Chaque suite est définie pour tout entier naturel $n$. Réponds en citant le théorème ou le résultat utilisé.
a$u_n = 2 - 3 \times 0{,}4^n$ est croissante. Justifie que $u_n \leqslant 4$, conclus, puis calcule sa limite : vaut-elle $4$ ?
b$w_n = 4 - \frac{6}{n+2}$ est croissante. Lou affirme qu'elle tend vers $+\infty$. A-t-elle raison ? Justifie.
c$t_n = 2 + \frac{3}{n+1}$ est décroissante et positive. Justifie qu'elle converge, puis calcule sa limite : vaut-elle $0$ ?
e$(r_n)$ est croissante et, pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que $r_N > A$. Déduis-en sa limite.
f$(p_n)$ est décroissante et $p_n \geqslant -2$ pour tout $n$. Que peux-tu affirmer sur sa limite ?
Ex. 31★★★Escalier, convergence et faux majorant— Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{3x+4}$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = f(u_n)$.
aLis des valeurs approchées de $u_1$,$u_2$, $u_3$ sur le graphique. Conjecture le sens de variation de $(u_n)$.
bOn admet que, pour tout entier naturel $n$,$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 5$. Démontre que $(u_n)$ converge.
cHugo affirme : « la suite est majorée par $5$, donc sa limite vaut $5$ ». Avec la continuité de $f$, détermine la limite $\ell$ et conclus.
dVrai ou faux ? « Toute suite décroissante et majorée par $5$ converge. » Justifie.
Ex. 32★★★Le programme de seuil d'Élise— On définit $(w_n)$ par $w_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,$w_{n+1} = w_n + 2n + 3$. Élise veut le premier rang $n$ tel que $w_n > A$ : def seuil(A):
n = 0
w = 1
while w > A:
w = w + 2*n + 3
n = n + 1
return n + 1
aDémontre que $(w_n)$ est croissante, puis que $w_n \geqslant 1 + 3n$ pour tout entier naturel $n$.
bDéduis-en la limite de $(w_n)$, puis justifie que, pour tout réel $A$, un tel rang existe.
cQue renvoie seuil(500) tel qu'il est écrit ? Repère ses deux erreurs et corrige-les.
dÀ la calculatrice, détermine ce que renvoie le programme corrigé pour $A = 500$.
eBen applique le programme corrigé à la suite croissante $v_n = 7 - \frac{5}{n+2}$, avec $A = 8$. Que se passe-t-il ? Justifie.
Ex. 33★★★Une suite homographique et deux seuils— Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{4x+3}{x+2}$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = f(u_n)$.
aÉtudie les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$, puis démontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$,$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.
bDéduis-en que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, puis justifie que $\frac{3}{2} \leqslant \ell \leqslant \frac{19}{6}$.
cEn utilisant la continuité de $f$, détermine la valeur de $\ell$.
dJustifie qu'il existe un rang à partir duquel $u_n > 2{,}99$, puis détermine le plus petit de ces rangs en calculant les termes.
eNoé cherche le premier rang tel que $u_n > 3{,}2$ avec une boucle while u <= 3.2. Que se passe-t-il ? Justifie.
Ex. 34★★★Deux sommes croissantes, deux destins— Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = \frac{1}{2^0+1} + \frac{1}{2^1+1} + \cdots + \frac{1}{2^n+1}$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $T_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$.
aDémontre que la suite $(S_n)$ est croissante.
bEn comparant $\frac{1}{2^k+1}$ et $\frac{1}{2^k}$ pour $k \geqslant 1$, démontre que pour tout entier naturel $n$,$S_n \leqslant \frac{3}{2}$.
cZoé affirme : « $(S_n)$ est croissante, donc elle tend vers $+\infty$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis encadre la limite éventuelle.
dOn pose $w_n = 2 - S_n$. Démontre que $(w_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Sa limite vaut-elle $0$ ? Justifie.
eSami pense que $(T_n)$, croissante elle aussi, converge. Démontre que $T_n \geqslant \sqrt{n}$ pour tout $n \geqslant 1$, puis conclus.
Ex. 35★★★Par l'absurde, puis le programme de Maël— Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$. Maël veut le premier rang $n$ tel que $u_n > A$ et écrit : def seuil(A):
n = 1
u = 1
while u > A:
u = u + 1/u
n = n + 1
return n
aDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$,$u_n \geqslant 1$, puis démontre que $(u_n)$ est croissante.
bRaisonne par l'absurde : si $(u_n)$ était majorée, que vérifierait sa limite ? Déduis-en $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$.
cDémontre que $u_{n+1}^2 \geqslant u_n^2 + 2$, puis que $u_n^2 \geqslant 2n + 1$ pour tout entier naturel $n$. Déduis-en un rang à partir duquel $u_n > 10$.
dQue renvoie seuil(10) avec le programme de Maël ? Corrige ses erreurs.
eJustifie que le programme corrigé s'arrête pour tout réel $A$, puis donne la valeur renvoyée par seuil(10).
6.Suites arithmético-géométriques : suite auxiliaire
À retenir : $u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec $a\neq 1$ : $\ell=\frac{b}{1-a}$ ; $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ et $u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^n$. Ex. : $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+1$ donne $\ell=2$. Piège : $u_n\neq u_0\,a^n+b$.
Ex. 36★★★Trouver le point fixe— Pour chaque relation, valable pour tout entier naturel $n$, détermine le réel $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$.
a$u_{n+1} = 0{,}75\,u_n + 5$.
b$u_{n+1} = 3\,u_n - 14$.
c$u_{n+1} = -0{,}5\,u_n + 9$.
d$u_{n+1} = \dfrac{2}{3}\,u_n - 4$.
eVérifie que $\ell = 16$ convient pour la relation $u_{n+1} = 0{,}25\,u_n + 12$.
fExplique pourquoi la relation $u_{n+1} = u_n + 7$ n'admet aucun réel $\ell$ de ce type.
Ex. 37★★★Formule explicite et limite— Pour chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ : détermine $\ell$, exprime $u_n$ en fonction de $n$, puis donne la limite de $(u_n)$ si elle existe.
a$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 4$.
b$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2\,u_n + 3$.
c$u_0 = 10$ et $u_{n+1} = -0{,}8\,u_n + 9$.
d$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 4\,u_n - 6$.
e$u_0 = 3$ et $u_{n+1} = -2\,u_n + 9$.
f$u_0 = 5$ et $u_{n+1} = -3\,u_n + 4$.
Ex. 38★★★La suite auxiliaire de Malik— On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 90$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 16$.
aCalcule $u_1$ et $u_2$.
bMalik pose $v_n = u_n + 40$. Calcule $v_0$,$v_1$, $v_2$ et justifie que $(v_n)$ n'est pas géométrique.
cOn pose $w_n = u_n - 40$. Démontre que $(w_n)$ est géométrique ; précise sa raison et $w_0$.
dMalik écrit ensuite $u_n = 90 \times 0{,}6^n + 40$. A-t-il raison ? Justifie avec $n = 1$, puis corrige.
eDéduis-en la limite de la suite $(u_n)$.
Ex. 39★★★Les abonnés de la newsletter de Nadia— Le 1er janvier 2026, la newsletter de Nadia compte $1\,000$ abonnés. Chaque mois, $15\,\%$ des abonnés se désinscrivent, puis $240$ nouveaux s'inscrivent. On note $u_n$ le nombre d'abonnés $n$ mois plus tard, donc $u_0 = 1\,000$.
aCalcule $u_1$ et $u_2$, puis exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$.
bInès affirme : « On ajoute $240$ abonnés chaque mois, donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $240$. » A-t-elle raison ? Justifie.
cDétermine le réel $\ell$ qui vérifie la relation obtenue quand on remplace $u_n$ et $u_{n+1}$ par $\ell$. Démontre ensuite que la suite définie par $v_n = u_n - \ell$ est géométrique.
dExprime $u_n$ en fonction de $n$, déduis-en la limite de $(u_n)$ et interprète-la.
eComplète ce programme pour qu'il affiche le nombre de mois au bout duquel la newsletter atteint au moins $1\,400$ abonnés, et donne ce nombre. u = 1000
n = 0
while ...:
u = ...
n = n + 1
print(n)
Ex. 40★★★Les truites de l'étang de Saint-Clair— Au 1er mars 2026, l'étang de Saint-Clair compte $2\,000$ truites. Chaque année, $20\,\%$ des truites disparaissent, puis l'association de pêche en relâche $300$. On note $u_n$ le nombre de truites au 1er mars de l'année $2026 + n$ : $u_0 = 2\,000$. On accepte des valeurs non entières.
aJustifie que $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 300$ pour tout entier naturel $n$. Théo écrit $u_n = 0{,}8^n \times 2\,000 + 300$ : teste sa formule pour $n = 2$, puis conclus.
bDétermine le réel $\ell$ tel que $\ell = 0{,}8\,\ell + 300$. On pose $v_n = u_n - \ell$ : démontre que $(v_n)$ est géométrique et précise sa raison.
cCalcule $v_0$, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$. Déduis-en $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ et interprète ce résultat.
dComplète la fonction ci-dessous pour qu'elle renvoie le premier rang $n$ tel que $u_n < 1\,550$. Donne ce rang et l'année correspondante. def seuil():
n = 0
u = 2000
while ...... :
n = n + 1
u = ......
return n
Ex. 41★★★Le bon décalage de Hugo et Léna— On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 52$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = 1{,}25\,u_n - 15$.
aCalcule $u_1$ et $u_2$. Hugo affirme que la suite définie par $v_n = u_n - 40$ est géométrique. A-t-il raison ? Justifie.
bDétermine le réel $\ell$ tel que $\ell = 1{,}25\,\ell - 15$, puis démontre que la suite définie par $t_n = u_n - \ell$ est géométrique.
cLéna écrit $t_0 = u_0 + \ell$. Corrige son erreur, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
dDétermine la limite de la suite $(u_n)$. Justifie.
eVrai ou faux : « Avec la même relation, la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ quelle que soit la valeur de $u_0$. » Justifie.
Ex. 42★★★La perfusion de Sofia— À l'instant $0$, Sofia a $6$ mg d'un médicament dans le sang. Chaque heure, son organisme élimine $30\,\%$ de la quantité présente, puis une perfusion en apporte $1{,}2$ mg. On note $u_n$ la quantité (en mg) après $n$ heures : $u_0 = 6$. On a tracé la courbe de $f : x \mapsto 0{,}7x + 1{,}2$ et la droite $y = x$.
aJustifie que $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 1{,}2$ pour tout entier naturel $n$. Explique pourquoi la relation $u_{n+1} = 0{,}7\,(u_n + 1{,}2)$ ne convient pas.
bÀ l'aide de la figure, conjecture le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite éventuelle.
cDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. Déduis-en que la suite $(u_n)$ converge.
dOn note $\ell$ la limite de $(u_n)$. En utilisant la fonction $f$, détermine $\ell$. Justifie.
eLe médecin veut que la quantité se stabilise vers $5$ mg. On garde $u_0 = 6$ et l'élimination de $30\,\%$, avec un apport de $p$ mg par heure. Détermine $p$.
7.Suites uₙ₊₁ = f(uₙ) : limite et point fixe
À retenir : Si $u_{n+1} = f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$. On prouve d'abord la convergence, puis on garde la solution située dans l'intervalle des termes. $f$ croissante ne rend pas $(u_n)$ croissante.
Ex. 43★★★Choisir la limite parmi les points fixes— Dans chaque cas, la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ est continue là où se trouvent les termes. On admet que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Détermine $\ell$.
a$u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 2$.
b$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n^2}{4} + \frac{3}{4}$. On admet que $1 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n$.
c$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{6}{u_n + 1}$. On admet que $u_n > 0$ pour tout $n$.
d$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$. On admet que $u_n > 0$ pour tout $n$.
e$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n^3}{9}$. On admet que $0 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n$.
Ex. 44★★★Lire un escalier, puis calculer— On pose $f(x) = \sqrt{x} + 2$, $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = f(u_n)$. La figure montre la courbe $\mathcal{C}$ de $f$, la droite d'équation $y = x$ et l'escalier qui va de $u_0$ à $u_3$.
aCalcule les valeurs exactes de $u_1$ et de $u_2$.
bLes termes $u_1$,$u_2$, $u_3$ se lisent-ils sur la courbe ou sur l'axe des abscisses ? Lis une valeur approchée de $u_3$, puis contrôle-la par le calcul.
cConjecture le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite.
dRésous l'équation $f(x) = x$ sur $[0\,;+\infty[$.
eÉlise affirme : « $f(4) = 4$, donc $(u_n)$ converge vers $4$. » Son raisonnement est-il valable ? Justifie.
Ex. 45★★★Vrai ou faux sur les suites récurrentes— Dans tout l'exercice, $(u_n)$ vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par une démonstration ou un contre-exemple.
a« Si $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, alors la suite $(u_n)$ est croissante. »
b« Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et si $(u_n)$ converge, alors $(u_n)$ est monotone. »
c« Si $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et si $u_1 \geqslant u_0$, alors $(u_n)$ est croissante. »
d$f$ est définie sur $[0\,;1]$ par $f(0) = 1$ et $f(x) = \frac{x}{2}$ si $x > 0$, et $u_0 = 1$. « $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $f(\ell) = \ell$. »
Ex. 46★★★Méthode complète et seuil— On pose $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$. On note $f(x) = \sqrt{3x + 4}$ sur $\left[-\frac{4}{3}\,;+\infty\right[$. On admet que, pour tout entier naturel $n$,$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 5$.
aCalcule $u_1$ et $u_2$.
bJustifie que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, puis donne un encadrement de $\ell$.
cJustifie que $\ell = \sqrt{3\ell + 4}$.
dMia élève au carré, trouve $\ell = 4$ ou $\ell = -1$ et conclut : « deux limites possibles ». Corrige-la et conclus.
eRemplace les pointillés pour que le programme affiche le plus petit $n$ tel que $4 - u_n$ soit strictement inférieur à $0{,}01$, puis donne la valeur affichée.
from math import sqrt
u = 0
n = 0
while ... :
u = sqrt(3*u + 4)
n = n + 1
print(n)
Ex. 47★★★Suite décroissante : trois erreurs à corriger— On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. On note $f$ la fonction définie sur $[-6\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x + 6}$. Elle est croissante sur cet intervalle.
aCalcule $u_1$. Tom affirme : « $f$ est croissante, donc $(u_n)$ est croissante. » A-t-il raison ? Justifie.
bDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 10$.
cDéduis-en que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, puis justifie que $\ell = \sqrt{\ell + 6}$.
dLina écrit : « $\ell^2 = \ell + 6$ donne $\ell = -2$ ou $\ell = 3$ ; la suite décroît, donc $\ell = -2$. » Repère son erreur, puis détermine $\ell$.
eHugo veut afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_n - \ell \leqslant 10^{-3}$. Son programme affiche 0. Explique pourquoi, corrige ses deux erreurs, puis donne la valeur affichée.from math import sqrt
L = -2
u = 10
n = 0
while u - L < 0.001:
u = sqrt(u + 6)
n = n + 1
print(n)
Ex. 48★★★Deux points fixes, deux destins— On pose $f(x) = x^2 - 2x + 2$ pour tout réel $x$, puis $u_0 = \frac{3}{2}$, $v_0 = \frac{5}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$ et $v_{n+1} = f(v_n)$. La figure montre la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ et la droite d'équation $y = x$.
aVérifie que $f(x) = (x-1)^2 + 1$, déduis-en le sens de variation de $f$ sur $[1\,;+\infty[$, puis résous l'équation $f(x) = x$.
bDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 2$.
cDéduis-en que $(u_n)$ converge, puis détermine sa limite en justifiant ton choix parmi les solutions trouvées à la question 1.
dSur la figure, construis $v_1$ et $v_2$ sur l'axe des abscisses, puis conjecture le comportement de $(v_n)$.
eInès affirme : « $f$ a des points fixes, donc $(v_n)$ converge. » A-t-elle raison ? Justifie en démontrant ta conjecture.
Ex. 49★★★Les truites d'un lac— Dans un lac, on modélise le nombre de truites, en milliers, l'année $2026 + n$ par $u_n$, avec $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,$u_{n+1} = \frac{8u_n}{u_n + 3}$. On note $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{8x}{x + 3}$.
aVérifie que $f(x) = 8 - \frac{24}{x+3}$, déduis-en le sens de variation de $f$, puis démontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$.
bDéduis-en que $(u_n)$ converge, détermine sa limite $\ell$ et interprète-la dans le contexte.
cOn pose, pour tout entier naturel $n$,$w_n = \frac{1}{u_n}$ et $t_n = w_n - \frac{1}{\ell}$. Démontre que $(t_n)$ est géométrique, puis précise sa raison et $t_0$.
dDéduis-en l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis retrouve la limite de $(u_n)$ sans utiliser le théorème du point fixe.
eÀ l'aide de la calculatrice, détermine à partir de quelle année le lac compte plus de $4\,900$ truites.