1re tronc commun / Suites

Ex. 1★★★Automatismes : calculer des termes — Calcule sans calculatrice.

1. a$u_0 = 15$ et $u_{n+1} = u_n - 4$. Calcule $u_1$, $u_2$ puis $u_3$.
2. b$v_n = 3n + 7$. Exprime $v_{n+1}$ en fonction de $n$ et simplifie.
3. c$w_n = 5n - 2$. Calcule $w_4 + 1$, puis $w_5$.
4. d$t_0 = 40$ et $t_{n+1} = t_n + 2{,}5$. Calcule $t_4$.
5. e$a_n = n^2 - n$. Calcule $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$.

Ex. 2★★★Automatismes : terme de rang n — Dans chaque cas, $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$.

1. a$u_0 = 12$ et $r = 6$. Calcule $u_{15}$.
2. b$u_1 = 8$ et $r = 3$. Calcule $u_{20}$.
3. c$u_0 = 50$ et $r = -4$. Exprime $u_n$ en fonction de $n$, puis calcule $u_{12}$.
4. d$u_3 = 17$ et $u_8 = 42$. Calcule la raison $r$, puis $u_0$.
5. e$u_5 = 20$ et $r = 1{,}5$. Calcule $u_{13}$.

Ex. 3★★★Arithmétique ou pas ?

1. a$u_n = 4n - 9$. Cette suite est-elle arithmétique ? Justifie avec la lettre $n$, et donne la raison si c'est le cas.
2. b$v_n = n^2 + 3$. Cette suite est-elle arithmétique ? Justifie.
3. c$w_n = \frac{6 - 5n}{2}$. Montre que $(w_n)$ est arithmétique. Donne sa raison et son premier terme.
4. d$z_0 = 3$ et $z_{n+1} = z_n + n$. Cette suite est-elle arithmétique ? Justifie.

Ex. 4★★★Trouve l'erreur — Trois élèves ont fait des erreurs dans leur devoir.

1. aInès étudie $u_n = n^3 - 3n^2 + 4n + 1$. Elle calcule $u_0$, $u_1$, $u_2$ et conclut que $(u_n)$ est arithmétique. Calcule ces trois termes et les deux écarts.
2. bCalcule $u_3$. Inès a-t-elle raison ? Justifie.
3. cHugo étudie $v_n = 7 - 3n$. Il écrit $v_{n+1} = 7 - 3n + 1$, donc $v_{n+1} - v_n = 1$. Corrige son calcul et conclus.
4. dLucie sait que $(t_n)$ est arithmétique, avec $t_1 = 20$ et $r = 6$. Elle écrit $t_n = 20 + 6n$, donc $t_{10} = 80$. Corrige son erreur.

Ex. 5★★★Le livret de Malik — Le 1er janvier 2026, Malik a 350 € sur son livret. Ensuite, chaque 1er janvier, il y ajoute 120 € (on ne compte pas les intérêts). On note $u_n$ la somme le 1er janvier de l'année $2026 + n$. Au tableur, les rangs $n$ sont en colonne A et les sommes en colonne B, avec $u_0$ en B2.

1. aJustifie que $(u_n)$ est arithmétique. Donne $u_0$ et la raison.
2. bQuelle formule faut-il saisir en B3 avant de la recopier vers le bas ? Quel terme est affiché en B6, et pour quelle année ?
3. cExprime $u_n$ en fonction de $n$. Quelle somme Malik aura-t-il le 1er janvier 2035 ?
4. dMalik affirme qu'un 1er janvier, il aura exactement 2\,000 €. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 6★★★L'étang en été — Pendant l'été, un étang perd chaque semaine la même hauteur d'eau. On note $h_n$ la hauteur d'eau (en cm) à la fin de la semaine $n$, pour $n \geqslant 1$. On a mesuré $h_3 = 175$ et $h_8 = 140$.

1. aJustifie que $(h_n)$ est une suite arithmétique. Calcule sa raison $r$, puis donne son sens de variation.
2. bCalcule $h_1$, puis exprime $h_n$ en fonction de $n$.
3. cNora affirme : « À la fin d'une certaine semaine, la hauteur sera exactement de 150 cm. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÀ la fin de quelle semaine la hauteur passe-t-elle pour la première fois sous 100 cm ? Justifie par un calcul.

Ex. 7★★★Vélos en libre-service : deux modèles — Une ville lance des vélos en libre-service. Pour prévoir le nombre de vélos en service $n$ mois après le lancement, Zoé propose le modèle $a_n = 15n + 120$. Samir propose le modèle $b_n = n^2 + 6n + 120$.

1. aMontre, par un calcul avec la lettre $n$, que $(a_n)$ est arithmétique. Donne sa raison et $a_0$, puis interprète la raison.
2. bLa suite $(b_n)$ est-elle arithmétique ? Justifie.
3. cAu tableur, $a_0$ est en B2. Quelle formule saisis-tu en B3 pour la recopier vers le bas ? Quelle cellule affiche $a_6$, et quelle valeur ?
4. dVérifie que les deux modèles prévoient le même nombre de vélos au mois 9. Lequel en prévoit le plus au mois 10 ?

Ex. 8★★★Automatismes : le sens de variation en un coup d'œil — Chaque suite est arithmétique. Donne sa raison, puis son sens de variation.

1. a$u_n=-12+3n$
2. b$v_n=40-0{,}5n$
3. c$w_0=-7$ et $w_{n+1}=w_n+2$
4. d$a_0=100$ et $a_{n+1}=a_n-4$
5. e$b_0=9$ et $b_{n+1}=b_n$
6. f$c_n=5(n-2)$

Ex. 9★★★Automatismes : lire un nuage de points — Les points ci-dessous représentent une suite arithmétique $(u_n)$ pour $n$ allant de $0$ à $4$.

1. aLis $u_0$ sur le graphique.
2. bLis de combien on descend d'un point au suivant, puis donne la raison $r$.
3. cVérifie ta raison en calculant $\frac{u_4-u_0}{4}$.
4. dDonne l'équation de la droite sur laquelle les points sont alignés.
5. eDonne le sens de variation de $(u_n)$, puis calcule $u_{10}$.

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur les graphiques — Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifie.

1. a« La suite définie par $u_0=-50$ et $u_{n+1}=u_n+0{,}2$ est croissante, même si elle part d'un nombre négatif. »
2. b« La suite représentée ci-dessous est arithmétique. »
   
3. c« Pour représenter $u_n=2n+1$, on place les points $(n\,;u_n)$ puis on les relie pour tracer la droite $y=2x+1$. »
4. d« Les points $(n\,;v_n)$, avec $v_n=3-0{,}8n$, sont sur une droite de coefficient directeur $3$. »

Ex. 11★★★Intérêts simples relevés tous les deux ans — Inès place un capital à intérêts simples. Elle note son capital $C_n$ (en €) au bout de $n$ années, mais seulement tous les deux ans.

1. aDe combien le capital augmente-t-il chaque année ?
2. bDéduis-en le taux d'intérêt annuel $t$
   (en $\%$).
3. cExprime $C_n$ en fonction de $n$, puis donne le sens de variation de $(C_n)$.
4. dCalcule le capital d'Inès au bout de $15$ ans.

Ex. 12★★★Deux salles d'escalade — Malik hésite entre deux salles d'escalade. Salle A : $30$ € d'inscription, puis $8$ € par séance. Salle B : $120$ € d'inscription, puis $5$ € par séance. On note $a_n$ et $b_n$ le prix payé (en €) pour $n$ séances.

1. aExprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, puis montre que ces deux suites sont arithmétiques.
2. bLes points $(n\,;a_n)$ et $(n\,;b_n)$ sont alignés sur deux droites. Laquelle monte le plus vite ? Justifie.
3. cÀ partir de combien de séances la salle B devient-elle strictement moins chère ?
4. dMalik prévoit $2$ séances par semaine pendant $20$ semaines. Quelle salle doit-il choisir ?

Ex. 13★★★Sécheresse au lac de barrage — Pendant une sécheresse, un technicien relève chaque semaine le niveau d'eau d'un lac de barrage. On note $h_n$ ce niveau (en m) au bout de $n$ semaines. Voici le nuage des points $(n\,;h_n)$ :

1. aExplique pourquoi la suite $(h_n)$ est arithmétique. Lis $h_0$, puis calcule la raison $r$ avec $h_0$ et $h_4$.
2. bExprime $h_n$ en fonction de $n$. Donne l'équation de la droite qui passe par les points. Explique pourquoi on ne relie pas les points.
3. cLe technicien affirme : « Le niveau baisse parce qu'au départ, il est très haut. » Corrige son raisonnement.
4. dDès que le niveau passe sous $10$ m, on n'a plus le droit de pomper l'eau pour l'irrigation. À partir de quelle semaine le pompage sera-t-il interdit si la baisse continue au même rythme ?
5. eDans un autre lac, le niveau $k_n$ (en m) vaut $15$ m chaque semaine. Donne la nature et le sens de variation de $(k_n)$, puis décris son nuage de points.

Ex. 14★★★Deux associations qui reboisent — Deux associations plantent des arbres. On note $a_n$ et $b_n$ le nombre total d'arbres plantés par chacune au bout de $n$ années. Pour l'association A, $a_n=f(n)$ avec $f(x)=35x+120$. Pour l'association B, voici le nuage des points $(n\,;b_n)$ :

1. aLéo dit : « B plante de plus en plus d'arbres, donc $(b_n)$ est arithmétique. » A-t-il raison ? Justifie avec des calculs.
2. bMontre que la suite $(a_n)$ est arithmétique. Donne sa raison et son premier terme.
3. cQuel lien y a-t-il entre la raison de $(a_n)$ et la fonction $f$ ? Où se trouvent les points $(n\,;a_n)$ sur un graphique ?
4. dDonne le sens de variation de $(a_n)$ et justifie-le.
5. eL'association A vise $1\,000$ arbres plantés. Au bout de combien d'années atteindra-t-elle cet objectif ?

Ex. 15★★★Automatismes : calculer des termes — Dans chaque cas, $(u_n)$ est une suite géométrique à termes strictement positifs. Calcule sans calculatrice.

1. a$u_0=7$ et $q=3$. Calcule $u_1$ et $u_2$.
2. b$u_n=4\times 3^{n}$. Calcule $u_2$.
3. c$u_1=2$ et $q=4$. Calcule $u_4$.
4. d$u_0=96$ et $u_{n+1}=0{,}5\times u_n$. Calcule $u_3$.
5. e$u_2=50$ et $q=5$. Calcule $u_0$.
6. f$u_3=11$ et $q=2$. Calcule $u_5$.

Ex. 16★★★Automatismes : on multiplie ou on ajoute ? — La suite est-elle arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre ? Justifie et donne la raison s'il y en a une.

1. aLa liste $400$ ; $100$ ; $25$ ; $6{,}25$.
2. bLa liste $4$ ; $8$ ; $12$ ; $16$.
3. cL'épargne d'Elsa, qui ajoute 30 € sur son livret chaque mois.
4. dLe nombre de bactéries d'une culture qui double chaque heure.
5. eLa fréquentation d'un musée, qui baisse de $20\,\%$ par an.
6. fLa suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$.

Ex. 17★★★Prouver avec la lettre n — Pour chaque suite, calcule le quotient $\frac{\text{terme suivant}}{\text{terme}}$ en gardant $n$, ou bien utilise des quotients sur des termes calculés. Conclus.

1. a$u_n=3\times 4^{n}$. La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ? Si oui, donne sa raison et son premier terme.
2. b$v_n=n^{2}+2$. Calcule $v_0$, $v_1$ et $v_2$. La suite $(v_n)$ est-elle géométrique ?
3. c$w_n=2^{n+3}$. Montre que la suite $(w_n)$ est géométrique, puis donne sa raison et $w_0$.

Ex. 18★★★Deux termes connus — $(u_n)$ est une suite géométrique à termes strictement positifs, avec $u_2=12$ et $u_5=96$.

1. aDétermine la raison $q$ de la suite. Justifie.
2. bCalcule $u_0$.
3. cExprime $u_n$ en fonction de $n$, puis calcule $u_8$.
4. dZoé affirme : « $u_{10}=2\times u_5$, car $10=2\times 5$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Abonnés et tableur — Nora lance une chaîne de recettes avec $240$ abonnés. Ce nombre augmente de $50\,\%$ chaque mois. On note $a_n$ le nombre d'abonnés après $n$ mois. Elle utilise un tableur :

1. aQuelle formule Nora doit-elle saisir en B3 pour la recopier vers le bas ?
2. bComplète les cellules B4, B5 et B6.
3. cExprime $a_n$ en fonction de $n$. Combien d'abonnés Nora aura-t-elle après $8$ mois ? Arrondis à l'unité.
4. dBen affirme : « Cela revient à gagner $120$ abonnés par mois. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 20★★★Vrai ou faux : un médicament dans le sang — Malik reçoit une dose de $80$ mg d'un médicament. Chaque heure, la quantité de médicament dans son sang baisse de $25\,\%$. On note $m_n$ la quantité (en mg) après $n$ heures, avec $m_0=80$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. a« Après $4$ heures, il ne reste plus de médicament, car $4\times 25\,\%=100\,\%$. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« Avec une dose de $160$ mg, il resterait $2\times m_n$ mg après $n$ heures, pour tout $n$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Hugo prend le même médicament. Après $2$ heures, il en a $117$ mg dans le sang : il avait reçu $208$ mg. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 21★★★Une algue dans le bassin — Un bassin de jardin a une surface de $200$ m². Le jour 1, une algue en couvre $5$ m². Selon un premier modèle, la surface couverte double chaque jour. On note $a_n$ la surface couverte (en m²) le jour $n$, pour $n\geqslant 1$.

1. aJustifie que, dans ce modèle, la suite $(a_n)$ est géométrique. Donne sa raison et son premier terme.
2. bExprime $a_n$ en fonction de $n$, puis calcule la surface couverte le jour 5.
3. cSelon ce modèle, à partir de quel jour l'algue couvre-t-elle tout le bassin ? Justifie.
4. dEn réalité, les relevés des jours 1 à 5 donnent $5$ ; $10$ ; $20$ ; $35$ ; $60$ (en m²). Ces relevés suivent-ils une suite géométrique ? Justifie.

Ex. 22★★★Automatismes : de la raison au taux — Réponds sans calculatrice.

1. aUne population augmente de $6\,\%$ par an. Quelle est la raison $q$ de la suite géométrique associée ?
2. bUn prix diminue de $12\,\%$ par mois. Quelle est la raison $q$ ?
3. cUne suite géométrique modélise une évolution et a pour raison $0{,}97$. Quel est le taux d'évolution par période ?
4. dLe nombre de panneaux solaires installés dans une région est multiplié par $1{,}125$ chaque année. De quel pourcentage augmente-t-il chaque année ?
5. eUne forêt couvre $300$ hectares. Elle perd $10\,\%$ de sa surface en un an. Quelle surface reste-t-il ?
6. fUn village passe de $2\,000$ à $2\,100$ habitants en un an. Donne le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution.

Ex. 23★★★Automatismes : évolutions successives — Réponds sans calculatrice.

1. aLe nombre de bornes de recharge d'une ville augmente de $30\,\%$ deux années de suite. Par quel nombre est-il multiplié en deux ans ?
2. bUne ville gagne $10\,\%$ d'habitants par an pendant $3$ ans. Mila annonce « $+30\,\%$ au total ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cLe prix d'un vélo augmente de $20\,\%$, puis baisse de $20\,\%$. Revient-il à son prix de départ ? Justifie.
4. d$(u_n)$ est géométrique, avec $u_0 = 500$ et $q = 0{,}9$. Calcule $u_2$.
5. eOn place $1\,000$ € à intérêts composés à $2\,\%$ par an. Quel est le capital au bout de $2$ ans ?
6. fUn stock diminue de moitié chaque mois. Quel pourcentage du stock initial reste-t-il après $3$ mois ?

Ex. 24★★★Corriger une erreur : la consommation d'électricité — En 2026, un foyer consomme $4\,500$ kWh d'électricité. Après des travaux d'isolation, sa consommation baisse de $7\,\%$ par an. On note $u_n$ sa consommation l'année $2026 + n$, avec $u_0 = 4\,500$. Inès a fait l'exercice, mais elle a commis des erreurs.

1. aInès écrit $u_{n+1} = 0{,}07 \times u_n$. Corrige son erreur et donne la raison de $(u_n)$.
2. bExprime $u_n$ en fonction de $n$.
3. cPour 2029, Inès calcule $u_{2029}$. Quel rang faut-il utiliser ? Calcule la consommation en 2029, arrondie au kWh.
4. dInès affirme : « La consommation baisse de $315$ kWh chaque année. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 25★★★Intérêts simples ou intérêts composés ? — Sacha place $5\,000$ € à $3\,\%$ par an. Deux offres sont possibles. Offre A : intérêts simples. Offre B : intérêts composés. On note $A_n$ et $B_n$ le capital au bout de $n$ années. Arrondis les résultats au centime.

1. aPour l'offre A, quelle somme est ajoutée chaque année ? Exprime $A_n$ en fonction de $n$.
2. bExprime $B_n$ en fonction de $n$, puis calcule $B_8$.
3. cAu bout de $8$ ans, quelle offre rapporte le plus, et de combien ?
4. dRémi arrondit d'abord $1{,}03^{8}$ à $1{,}27$, puis multiplie par $5\,000$. Quel résultat obtient-il ? Explique son erreur.

Ex. 26★★★Les abonnés d'un podcast au tableur — Un podcast compte $2\,400$ abonnés au lancement (mois $0$). Le nombre d'abonnés augmente de $5\,\%$ par mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au mois $n$, et on utilise un tableur.

1. aQuelle formule faut-il écrire en B3 pour la recopier vers le bas ?
2. bComplète les cellules B3, B4 et B5
   (arrondis à l'unité).
3. cLina écrit =B2+120 en B3, puis recopie vers le bas. Obtient-elle les mêmes valeurs que toi ? Justifie.
4. dCombien d'abonnés le podcast aura-t-il au bout de $12$ mois, d'après ce modèle ? Arrondis à l'unité.

Ex. 27★★★Un médicament éliminé heure par heure — À 8 h, on injecte à un patient $400$ mg d'un médicament. Chaque heure, son corps en élimine $15\,\%$. On note $u_n$ la quantité (en mg) qui reste dans le sang $n$ heures après l'injection : $u_0 = 400$. Le médicament n'agit plus en dessous de $100$ mg. Arrondis au centième.

1. aExprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Justifie le coefficient choisi, puis donne la nature de la suite $(u_n)$.
2. bExprime $u_n$ en fonction de $n$, puis calcule la quantité de médicament qui reste dans le sang à 11 h.
3. cLucas affirme : « En $3$ heures, le corps élimine $3 \times 15 = 45\,\%$ du médicament. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dComplète la ligne 4 de ce programme. Que représente la valeur affichée ? Donne-la, puis l'heure à partir de laquelle le médicament n'agit plus. u = 400 n = 0 while u >= 100: u = ...... n = n + 1 print(n)

Ex. 28★★★Le prix d'une trottinette électrique — Un magasin modélise le prix (en euros) d'un modèle de trottinette électrique l'année $2026 + n$ par $P_n = 640 \times 0{,}96^{n}$. Arrondis au centime, à la fin du calcul seulement.

1. aCalcule $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ avec la lettre $n$. Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ? Traduis sa raison par un pourcentage d'évolution annuel.
2. bCalcule le prix de la trottinette en 2030.
3. cVoici quelques puissances de $0{,}96$ arrondies au dix-millième. Utilise-les pour trouver en quelle année le prix passe sous $500$ €. Vérifie avec la formule de $P_n$.

   n	5	6	7	8
   0{,}96^n	0{,}8154	0{,}7828	0{,}7514	0{,}7214

4. dUn autre magasin vend la même trottinette $640$ € en 2026 et baisse son prix de $25$ € chaque année. En 2036, quel magasin est le moins cher, et de combien ?

Ex. 29★★★Croissante, décroissante ou constante ? — Pour chaque suite géométrique, donne son sens de variation en justifiant avec son premier terme et sa raison.

1. a$u_n = 12 \times 1{,}2^{n}$
2. b$(v_n)$ définie par $v_0 = 300$ et $v_{n+1} = 0{,}95 \times v_n$
3. c$w_n = 0{,}3 \times 3^{n}$
4. d$(a_n)$ définie par $a_0 = 7$ et $a_{n+1} = a_n$
5. e$(b_n)$ géométrique, avec $b_0 = 9\,000$ et $b_1 = 8\,910$
6. f$(\ell_n)$ : un loyer, avec $\ell_0 = 600$ €, qui augmente de $2\,\%$ par an
7. g$(p_n)$ : un lac de 2\,000 poissons au départ, dont le nombre baisse de $10\,\%$ par an

Ex. 30★★★Lire la raison sur un nuage de points — Le nuage ci-dessous représente les premiers termes d'une suite géométrique $(u_n)$.

1. aLis $u_0$ et $u_1$ sur le graphique.
2. bCalcule la raison $q$ de la suite.
3. cDonne le sens de variation de $(u_n)$.
4. dCalcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$. Les points sont-ils alignés ?
5. eNora relie les points par une ligne. A-t-elle raison ? Justifie.
6. fExprime $u_n$ en fonction de $n$, puis calcule $u_6$.
7. gSans calculer, compare $u_{10}$ et $u_{11}$. Justifie.

Ex. 31★★★Deux podcasts : croissance linéaire ou exponentielle ? — Le tableau donne le nombre d'abonnés, en centaines, de deux podcasts A et B, $n$ mois après leur lancement.

1. aCalcule les écarts entre deux termes consécutifs de $(a_n)$. Quelle est la nature de $(a_n)$ ? Exprime $a_n$ en fonction de $n$.
2. bCalcule les quotients entre deux termes consécutifs de $(b_n)$. Quelle est la nature de $(b_n)$ ? Exprime $b_n$ en fonction de $n$.
3. cCalcule les écarts entre termes consécutifs de $(b_n)$. Quels points sont alignés : les $(n\,;a_n)$ ou les $(n\,;b_n)$ ? Justifie.
4. dCalcule $a_6$ et $b_6$. Quel podcast a le plus d'abonnés au bout de 6 mois ?

Ex. 32★★★Un médicament qui s'élimine — Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est de 50 mg/L. Elle baisse de $20\,\%$ chaque heure. On note $c_n$ la concentration, en mg/L, au bout de $n$ heures, avec $c_0 = 50$.

1. aJustifie que $c_{n+1} = 0{,}8 \times c_n$, puis calcule $c_1$, $c_2$ et $c_3$.
2. bExprime $c_n$ en fonction de $n$, puis calcule $c_4$.
3. cDonne le sens de variation de $(c_n)$ en justifiant.
4. dInès affirme : « La concentration baisse de 10 mg/L par heure, donc elle sera nulle au bout de 5 heures. » Corrige son erreur.

Ex. 33★★★Des nénuphars au tableur — Un étang compte 400 nénuphars, et leur nombre augmente de $25\,\%$ par an. Ben modélise ce nombre par une suite $(u_n)$ dans un tableur :

1. aQuelle formule faut-il saisir en B3 pour la recopier vers le bas ?
2. bCalcule les valeurs affichées en B4 et en B5.
3. cDonne le sens de variation de $(u_n)$ en justifiant.
4. dCalcule les hausses d'une année à la suivante, du rang $0$ au rang $3$. Les points $(n\,;u_n)$ sont-ils alignés ?
5. eExprime $u_n$ en fonction de $n$, puis calcule le nombre de nénuphars au bout de 6 ans, arrondi à l'unité.

Ex. 34★★★Une usine réduit ses émissions de CO(2) — En 2026, une usine émet 800 tonnes de CO₂. Elle s'engage à baisser ses émissions de $15\,\%$ chaque année. On note $e_n$ les émissions, en tonnes, de l'année $2026 + n$ : ainsi $e_0 = 800$. Arrondis au centième si besoin.

1. aJustifie que $(e_n)$ est une suite géométrique. Donne sa raison, puis exprime $e_n$ en fonction de $n$.
2. bMontre que $e_{n+1} - e_n = -0{,}15 \times e_n$. Déduis-en le sens de variation de $(e_n)$.
3. cCalcule $e_1$, $e_2$ et $e_3$, puis les baisses $e_0 - e_1$, $e_1 - e_2$ et $e_2 - e_3$. Les points $(n\,;e_n)$ sont-ils alignés ? Justifie.
4. dLa direction annonce : « En 2030, nos émissions auront baissé de $4 \times 15\,\% = 60\,\%$. » Calcule $e_4$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eUne seconde usine émet 650 tonnes chaque année, sans changement. À partir de quelle année la première usine émettra-t-elle moins qu'elle ? Justifie.

Ex. 35★★★Deux applis de covoiturage : qui passera devant ? — Le nuage représente le nombre $a_n$ d'utilisateurs, en milliers, de l'appli A, $n$ mois après son lancement ; $(a_n)$ est géométrique. L'appli B compte 30 milliers d'utilisateurs à son lancement et en gagne 4 milliers chaque mois. On note $b_n$ ce nombre, en milliers, après $n$ mois.

1. aLis $a_0$ et $a_1$ sur le graphique. Déduis-en la raison $q$ de $(a_n)$, puis exprime $a_n$ en fonction de $n$.
2. bLis $a_2$, puis compare les montées de $a_0$ à $a_1$ et de $a_1$ à $a_2$. Les points sont-ils alignés ? Donne le sens de variation de $(a_n)$ en justifiant.
3. cExprime $b_n$ en fonction de $n$. Quelle est la nature de $(b_n)$ ? Comment seraient placés ses points $(n\,;b_n)$ ?
4. dRecopie et complète le tableau, en arrondissant au dixième si besoin.

   n	0	1	2	3	4	5
   a_n
   b_n

5. eLe directeur de B affirme : « A part de bien plus bas et ne gagne pas plus d'utilisateurs le premier mois : nous resterons toujours devant. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Seuils d'une croissance linéaire — Pour chaque suite, résous une inéquation pour trouver le plus petit entier $n$ qui convient.

1. a$u_n = 150 + 8n$ et $u_n > 400$.
2. b$u_n = 900 - 35n$ et $u_n < 200$.
3. c$u_n = 60 + 12n$ et $u_n \geqslant 300$.
4. d$u_n = 48 - 2{,}5n$ et $u_n < 0$.
5. e$u_0 = 1\,200$, $u_{n+1} = u_n - 40$ et $u_n \leqslant 500$.

Ex. 37★★★Seuils de proche en proche — Sans calculatrice, calcule les termes de proche en proche et donne le plus petit rang $n$ qui convient.

1. a$u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3 \times u_n$ : $u_n > 1\,000$.
2. b$u_n = 800 \times 0{,}5^{n}$ : $u_n < 30$.
3. c$u_n = 64 \times 1{,}5^{n}$ : $u_n \geqslant 324$.
4. d$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2 \times u_n$ : $u_n > 256$.
5. eUn prix est multiplié par $1{,}2$ chaque année. Au bout de combien d'années a-t-il au moins doublé ?
6. f$u_n = 2\,000 \times 0{,}1^{n}$ : $u_n < 1$.

Ex. 38★★★Population et tableau de puissances — En 2026, une commune compte $24\,000$ habitants. Sa population augmente de $3\,\%$ par an. On note $u_n$ le nombre d'habitants en $2026 + n$. On donne ce tableau :

1. aJustifie que $u_n = 24\,000 \times 1{,}03^{n}$.
2. bMontre que $u_n > 30\,000$ équivaut à $1{,}03^{n} > 1{,}25$.
3. cÀ l'aide du tableau, donne le plus petit $n$ tel que $u_n > 30\,000$. Vérifie ensuite avec $u_n$ au rang trouvé et au rang précédent
   (arrondis à l'unité).
4. dEn quelle année la population dépassera-t-elle $30\,000$ habitants pour la première fois ?

Ex. 39★★★Corriger un programme de seuil — Une chaîne vidéo compte $1\,500$ abonnés, et ce nombre augmente de $6\,\%$ par mois. Pour savoir au bout de combien de mois elle aura au moins $3\,000$ abonnés, Maël écrit ce programme : def seuil(): n = 0 u = 1500 while u >= 3000: u = u + 1.06 return n

1. aQu'affiche print(seuil()) avec le programme de Maël tel qu'il est écrit ? Explique.
2. bQuelle condition faut-il écrire après while ? Justifie.
3. cRepère les deux autres erreurs dans la boucle et corrige-les.
4. dOn donne $1{,}06^{11} \approx 1{,}898$ et $1{,}06^{12} \approx 2{,}012$. Que renvoie le programme corrigé ? Interprète ce résultat.

Ex. 40★★★Doubler son épargne : composé ou simple ? — Noé place $2\,000$ € à intérêts composés à $3{,}5\,\%$ par an. Inès place $2\,000$ € à intérêts simples : elle reçoit $90$ € d'intérêts chaque année. On donne $1{,}035^{20} \approx 1{,}990$ et $1{,}035^{21} \approx 2{,}059$.

1. aExprime le capital $u_n$ de Noé et le capital $v_n$ d'Inès en fonction de $n$, après $n$ années.
2. bNoé dit : « $1{,}035^{20} \approx 1{,}99$, donc mon capital double en $20$ ans. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne son temps de doublement.
3. cPar le calcul, trouve le plus petit $n$ tel que $v_n \geqslant 4\,000$.
4. dLequel des deux double son capital en premier ? Justifie.

Ex. 41★★★Deux plans pour réduire les émissions — En 2026, une usine émet $8\,400$ tonnes de CO₂. Elle hésite entre deux plans. Plan A : baisser ses émissions de $260$ tonnes chaque année. Plan B : les baisser de $4\,\%$ par an. On note $a_n$ et $b_n$ les émissions (en tonnes) en $2026 + n$ avec chaque plan. On donne :

1. aJustifie que $(a_n)$ est arithmétique et que $(b_n)$ est géométrique, puis exprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
2. bAvec le plan A, résous une inéquation pour trouver en quelle année les émissions passent sous $5\,000$ tonnes.
3. cAvec le tableau, trouve en quelle année le plan B fait passer les émissions sous $5\,000$ tonnes. Quel plan y arrive en premier ?
4. dVrai ou faux : « Avec le plan B, les émissions finiront par être nulles. » Justifie.

Ex. 42★★★Bornes de recharge : seuil et doublement — En 2026, une région compte $1\,800$ bornes de recharge pour voitures électriques. Ce nombre augmente de $12\,\%$ par an. On note $u_n$ le nombre de bornes en $2026 + n$. Zoé écrit ce programme : def seuil(A): n = 0 u = 1800 while u < A: u = u * 1.12 n = n + 1 return n

1. aJustifie que $(u_n)$ est géométrique, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
2. bLe programme cherche-t-il le premier rang où $u_n \geqslant A$ ou celui où $u_n > A$ ? Justifie, puis écris la condition du while qui correspond à l'autre cas.
3. cQue renvoie seuil(5000) ? Justifie avec la calculatrice, puis donne l'année correspondante.
4. dZoé veut savoir en quelle année le nombre de bornes aura doublé par rapport à 2026. Quelle valeur de $A$ doit-elle choisir ? Que renvoie alors le programme ? Conclus.