Première / Suites numériques

Ex. 1★★★Remplacer n par un entier — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3n^2 + 8n + 5$. Calcule :

Ex. 2★★★Une récurrence avec un décimal — La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = -3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1{,}5u_n + 4$. Calcule :

Ex. 3★★★Puissances, signes et terme interdit — Pour un entier naturel $n$, on note $c_n = \frac{(-1)^n + 2^n}{n - 3}$.

1. aLila affirme : « $(-1)^0 = -1$ et $2^0 = 1$, donc $c_0 = 0$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bCalcule $c_1$, $c_2$ et $c_4$.
3. cVrai ou faux : « On peut calculer $c_n$ pour tout entier naturel $n$. » Justifie.

Ex. 4★★★Quel rang pour cette valeur ? — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{3n - 5}{n + 4}$.

1. aDétermine le rang du terme égal à $\frac{40}{19}$.
2. bLe nombre $-1$ est-il un terme de la suite $(u_n)$ ? Justifie.

Ex. 5★★★Exprimer u(n+1), u(2n) et u(n−1) — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = n^2 + 6n - 4$.

1. aInès écrit : « $u_{n+1} = n^2 + 6n - 3$ ». Repère son erreur, puis donne l'expression correcte de $u_{n+1}$ en fonction de $n$, développée et réduite.
2. bExprime $u_{2n}$ en fonction de $n$, sous forme développée et réduite.
3. cPour $n \geqslant 1$, exprime $u_{n-1}$ en fonction de $n$, sous forme développée et réduite.
4. dLe premier terme de la suite est $u_0$. Calcule le 5e terme de la suite avec la formule de $u_n$. Retrouve-le ensuite avec ton expression de $u_{n+1}$, en choisissant bien la valeur de $n$.

Ex. 6★★★Une récurrence qui dépend de n — La suite $(v_n)$ est définie pour $n \geqslant 1$ par $v_1 = 3$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_{n+1} = 2v_n - n$.

1. aZoé écrit : « $v_2 = 2 \times v_1 - 2 = 4$ ». Repère son erreur, puis calcule correctement $v_2$.
2. bCalcule $v_3$, puis $v_4$. Quel est le 4e terme de la suite ?
3. cHugo affirme : « Pour obtenir $v_{10}$, il suffit de remplacer $n$ par $10$ dans la relation. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCombien de termes compte-t-on de $v_1$ à $v_{10}$ ? Combien de fois faut-il appliquer la relation pour obtenir $v_{10}$ à partir de $v_1$ ?
5. eUne autre suite $(w_n)$ vérifie la même relation $w_{n+1} = 2w_n - n$ pour $n \geqslant 1$, avec $w_3 = 10$. Calcule $w_2$, puis $w_1$, en valeurs exactes.

Ex. 7★★★Une récurrence d'ordre 2 en Python — La suite $(a_n)$ est définie par $a_0 = 2$, $a_1 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$. On considère ce programme : a = [2, -1] for n in range(5): a.append(a[n+1] + 2*a[n]) print(a)

1. aCalcule à la main $a_2$, $a_3$ et $a_4$, en précisant à chaque fois la valeur de $n$ utilisée.
2. bQu'affiche ce programme ? Justifie en indiquant ce que calcule chaque passage dans la boucle.
3. cMalo lit le nombre $7$ dans la liste affichée et dit : « c'est $a_7$ ». A-t-il raison ? Justifie. Donne ensuite le rang du dernier terme de la liste et le nombre de termes qu'elle contient.
4. dModifie une seule ligne du programme pour que la liste se termine par $a_{10}$. Combien de termes contient alors la liste ?
5. eCalcule $a_{10}$.

Ex. 8★★★Les mosaïques de Nora — Nora construit des mosaïques rectangulaires avec des carreaux identiques. La figure 1 est une rangée de 3 carreaux. Pour passer à la figure suivante, elle ajoute une rangée en bas, puis une colonne à droite : la figure reste un rectangle. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $r_n$ le nombre de carreaux de la figure $n$.

1. aDonne le nombre de rangées et le nombre de colonnes de la figure $n$. Déduis-en $r_4$, $r_5$ et une expression de $r_n$ en fonction de $n$.
2. bLéo affirme : « Le 5e terme de la suite $(r_n)$ est $r_4 = 24$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cExprime $r_{n+1}$ en fonction de $n$, puis calcule $r_{n+1} - r_n$. Explique ce que représente ce nombre pour les mosaïques. Contrôle ton résultat en comptant les carreaux ajoutés pour passer de la figure 4 à la figure 5.
4. dLes nombres $120$ et $150$ sont-ils des termes de la suite $(r_n)$ ? Si oui, donne le rang du terme. Justifie.
5. eNora dispose de $200$ carreaux. Quelle est la plus grande figure qu'elle peut construire ? Combien de carreaux lui reste-t-il alors ?
6. fPour une exposition, Nora construit toutes les figures, de la figure 4 à la figure 13 comprises. Combien de figures construit-elle ? Combien de carreaux utilise-t-elle au total ?

Ex. 9★★★Une récurrence avec des fractions — La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{u_n + 15}{u_n + 3}$. Donne les résultats exacts, sous forme de fractions irréductibles.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. bYanis écrit : « $u_{10} = \frac{10 + 15}{10 + 3} = \frac{25}{13}$ ». Repère ses deux erreurs.
3. cLina veut écrire une fonction qui renvoie $u_n$ : def terme(n): u = 2 for i in range(1, n): u = (u + 15) / (u + 3) return u Quel terme de la suite l'appel terme(3) renvoie-t-il en réalité ? Justifie, puis corrige le programme.
4. dOn garde la même relation de récurrence, mais on choisit un autre premier terme : $u_0 = a$, où $a$ est un réel. Pour quelle valeur de $a$ le terme $u_1$ n'existe-t-il pas ? Pour quelle valeur de $a$ le terme $u_1$ existe-t-il, mais pas le terme $u_2$ ?
5. eOn garde la même relation de récurrence, avec $u_0 = a$. Détermine les valeurs de $a$ pour lesquelles $u_1 = u_0$. Que peux-tu dire alors de tous les termes de la suite ? Justifie.

Ex. 10★★★Paver une allée avec des dominos — Ben veut paver une allée rectangulaire de 2 cases de large et $n$ cases de long avec des dalles de 2 cases sur 1. Une dalle se pose soit verticalement (elle couvre une colonne entière), soit horizontalement (elle couvre 2 cases voisines d'une même rangée). Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $y_n$ le nombre de pavages différents d'une allée de longueur $n$. On admet que $y_1 = 1$ et $y_2 = 2$.

1. aDécris tous les pavages d'une allée de longueur 3, puis tous ceux d'une allée de longueur 4. Déduis-en $y_3$ et $y_4$.
2. bDans une allée de longueur $n + 2$, regarde la première colonne à gauche : de quelles façons peut-elle être couverte ? Déduis-en que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $y_{n+2} = y_{n+1} + y_n$.
3. cCalcule $y_{10}$.
4. dThéo affirme : « Pour tout entier $n \geqslant 1$, $y_{2n} = 2y_n$, car une allée deux fois plus longue a deux fois plus de pavages. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eBen veut que la relation $y_{n+2} = y_{n+1} + y_n$ soit vraie aussi pour $n = 0$. Quelle valeur doit-il donner à $y_0$ ?
6. fDans le programme suivant, L[0] désigne le premier élément de la liste, et L[-1], L[-2] ses deux derniers éléments : L = [1, 2] for i in range(10): L.append(L[-1] + L[-2]) Combien d'éléments contient L à la fin ? Quels termes de la suite contient-elle ? Que valent L[-1] et L[5] ?

Ex. 11★★★Lire une boucle for — Voici une fonction écrite en Python.def suite(n): u = -2 for i in range(n): u = 3*u + 1 return u

1. aQue renvoie suite(0) ?
2. bQue renvoie suite(3) ?
3. cQuelle suite cette fonction calcule-t-elle ? Donne son premier terme et sa relation de récurrence.

Ex. 12★★★Compter les tours d'une boucle — Réponds sans exécuter de programme.

1. aCombien de tours fait la boucle for k in range(8): ? Quelles valeurs prend $k$ ?
2. bCombien de tours fait la boucle for k in range(1, 8): ? Quelles valeurs prend $k$ ?
3. cUne suite commence à $u_1$. Un programme part de $u_1$ et calcule un nouveau terme à chaque tour de boucle. Combien de tours faut-il pour obtenir $u_{12}$ ?
4. dUne liste Python contient les termes de la suite de $u_3$ à $u_{20}$, sans en oublier aucun. Combien d'éléments contient-elle ?

Ex. 13★★★L'ordre des instructions — Voici deux fonctions Python qui ne diffèrent que par l'ordre de deux lignes.def A(N): u = 2 n = 0 while n < N: u = 3*u + n n = n + 1 return udef B(N): u = 2 n = 0 while n < N: n = n + 1 u = 3*u + n return u

1. aQue renvoie A(3) ?
2. bQue renvoie B(3) ?
3. cÉcris la relation de récurrence calculée par chacune des deux fonctions.

Ex. 14★★★Un motif qui grandit — Une figure est faite de jetons. À l'étape $0$, il y a $1$ jeton. Pour passer de l'étape $n$ à l'étape $n + 1$, on ajoute une rangée de $2(n + 1) + 1$ jetons. On note $u_n$ le nombre de jetons à l'étape $n$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. bÉcris la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
3. cCombien faut-il de jetons pour l'étape $5$ ?

Ex. 15★★★Abonnés d'une médiathèque : pourcentage, ordre et année — Une médiathèque de Rennes compte $2\,400$ abonnés au 1ᵉʳ janvier 2025. Chaque année, $30\,\%$ des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement, puis $300$ nouveaux lecteurs s'inscrivent. On note $a_n$ le nombre d'abonnés au 1ᵉʳ janvier de l'année $2025 + n$.

1. aLéa écrit $a_{n+1} = a_n - 0{,}3 + 300$. A-t-elle raison ? Justifie, puis donne $a_0$ et la relation correcte.
2. bCalcule le nombre d'abonnés au 1ᵉʳ janvier 2027.
3. cTom affirme : « le nombre d'abonnés au 1ᵉʳ janvier 2030 est $a_6$, car 2030 est la sixième année ». Vrai ou faux ? Justifie.
4. dUne autre médiathèque, à Vannes, compte aussi $2\,400$ abonnés au 1ᵉʳ janvier 2025. Mais chaque année, les $300$ nouveaux lecteurs s'inscrivent d'abord, puis $30\,\%$ de tous les abonnés partent. On note $b_n$ le nombre d'abonnés au 1ᵉʳ janvier de l'année $2025 + n$. Écris $b_{n+1}$ sous la forme $b_{n+1} = q\,b_n + c$, puis calcule $b_1$.
5. eCompare $a_1$ et $b_1$. Explique d'où vient l'écart.

Ex. 16★★★Une grille d'allumettes — Pour tout entier $n \geqslant 1$, l'étape $n$ est une grille carrée de $n$ carreaux sur $n$ carreaux, faite avec des allumettes. Chaque côté de carreau est une allumette. Deux carreaux voisins partagent l'allumette de leur côté commun. On note $s_n$ le nombre d'allumettes de l'étape $n$.

1. aDessine les étapes $1$, $2$ et $3$, puis compte les allumettes pour donner $s_1$, $s_2$ et $s_3$.
2. bNoah raisonne ainsi : « pour passer de l'étape $n$ à l'étape $n + 1$, on ajoute $2n + 1$ carreaux. Chaque carreau a $4$ allumettes, donc $s_{n+1} = s_n + 4(2n + 1)$. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide des premières étapes.
3. cÀ l'étape $n$, compte les allumettes horizontales, puis les allumettes verticales. Déduis-en une forme explicite de $s_n$.
4. dExprime $s_{n+1} - s_n$ en fonction de $n$, puis écris la relation de récurrence vérifiée par $(s_n)$. Contrôle-la sur le passage de l'étape $2$ à l'étape $3$.
5. eBen a déjà construit la grille de $7$ carreaux sur $7$. Combien d'allumettes doit-il ajouter pour obtenir la grille de $10$ carreaux sur $10$ ? Vérifie ton résultat à l'aide de la relation de récurrence.

Ex. 17★★★Corriger une boucle qui démarre à 1 — On considère la suite $(r_n)$ définie par $r_0 = 2$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$, $r_{n+1} = 2r_n - n + 1$. Inès a écrit cette fonction pour calculer $r_n$ :def r(n): x = 2 for i in range(1, n + 1): x = 2*x - i + 1 return x

1. aCalcule à la main $r_1$, $r_2$ et $r_3$.
2. bFais le tableau des valeurs de i et de x, tour par tour, lors de l'appel r(2). Que renvoie la fonction d'Inès ? Conclus.
3. cModifie une seule ligne de la fonction d'Inès pour qu'elle renvoie $r_n$, sans changer la ligne du for. Explique ta correction.
4. dComplète la ligne en pointillés pour que liste(n) renvoie la liste des termes de $r_0$ à $r_n$. Que renvoie alors liste(3) ?def liste(n): L = [2] for i in range(n): L.append(...) return L
5. eDans ta fonction liste, Jade remplace la ligne L = [2] par L = [], sans rien changer d'autre. Que se passe-t-il lors de l'appel liste(3) ? Explique pourquoi l'initialisation L = [2] est indispensable.

Ex. 18★★★Affectation simultanée et indentation — On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 1$, $a_1 = 3$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$. Trois élèves ont écrit une fonction pour calculer $a_n$.
Yanis :def A(n): a, b = 1, 3 for k in range(n): a, b = b, b + 2*a return aChloé :def B(n): a, b = 1, 3 for k in range(n): a = b b = b + 2*a return aMalik :def C(n): a, b = 1, 3 for k in range(n): a, b = b, b + 2*a return a

1. aCalcule $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
2. bFais le tableau des valeurs de k, a et b, tour par tour, lors de l'appel A(4). Que renvoie la fonction de Yanis ?
3. cChloé affirme : « ma fonction B renvoie elle aussi $a_n$ ». Vrai ou faux ? Justifie en calculant B(3).
4. dQue renvoie C(5) ? Explique ce que change l'indentation de la ligne return a.
5. eRéécris la fonction de Chloé pour qu'elle renvoie $a_n$, sans affectation simultanée, en ajoutant une variable c.

Ex. 19★★★Vélos en libre-service : deux calendriers — Au 1ᵉʳ janvier 2025, le service de vélos en libre-service de Grenoble compte $400$ vélos. Chaque année, $20\,\%$ des vélos présents sont mis au rebut et $100$ vélos neufs sont achetés.
Plan A : rebut pendant l'année, puis livraison des $100$ vélos neufs en décembre.
Plan B : livraison des $100$ vélos neufs en janvier, puis rebut de $20\,\%$ des vélos présents, neufs compris.
On note $a_n$ (plan A) et $b_n$ (plan B) le nombre de vélos au 1ᵉʳ janvier de l'année $2025 + n$. On accepte des valeurs non entières.

1. aPour le plan A, Hugo écrit $a_{n+1} = 0{,}2\,a_n + 100$. A-t-il raison ? Justifie, puis donne $a_0$ et la relation correcte entre $a_{n+1}$ et $a_n$.
2. bPour le plan B, établis la relation entre $b_{n+1}$ et $b_n$, puis calcule $b_1$ et $b_2$. Que remarques-tu ? Explique pourquoi cela continue les années suivantes.
3. cSelon le plan A, combien de vélos y aura-t-il au 1ᵉʳ janvier 2028 ? Compare avec le plan B, puis explique en une phrase pourquoi l'ordre des opérations change le résultat.
4. dOn considère la fonction Python suivante.def plan_A(k): a = 400 L = [a] for i in range(k): a = 0.8 * a + 100 L.append(a) return LCombien d'éléments contient la liste renvoyée par plan_A(6) ? Que représente son dernier élément (précise l'année) ? Donne sa valeur arrondie à l'unité.
5. eOn considère la fonction Python suivante.def annee_A(): a = 400 n = 0 while a <= 480: a = 0.8 * a + 100 n = n + 1 return 2025 + nQue renvoie annee_A() ? Interprète ce résultat. Que se passe-t-il si l'on remplace la ligne a = 0.8 * a + 100 par a = 0.8 * (a + 100) (plan B) ? Justifie.

Ex. 20★★★Les couronnes de pavés autour d'une fontaine — Sur une place d'Avignon, une fontaine carrée occupe une case d'un quadrillage. Un paysagiste l'entoure de pavés carrés, de la même taille qu'une case.
À l'étape $1$, $8$ pavés entourent la fontaine : avec elle, ils forment un carré de $3$ cases sur $3$.
Pour passer d'une étape à la suivante, on pose une nouvelle couronne de pavés tout autour du carré déjà formé.
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $t_n$ le nombre de pavés à l'étape $n$ (la fontaine n'est pas comptée).

1. aDessine les étapes $2$ et $3$. En comptant les pavés, donne $t_2$ et $t_3$.
2. bCombien de cases mesure le côté du grand carré (fontaine comprise) à l'étape $n$ ? Déduis-en une forme explicite de $t_n$, puis contrôle-la sur les étapes $1$, $2$ et $3$.
3. cMathis affirme : « Une couronne a $4$ côtés. Je compte les pavés d'un côté, coins compris, et je multiplie par $4$. » Applique sa méthode au passage de l'étape $1$ à l'étape $2$. A-t-il raison ? Justifie, puis corrige sa méthode et déduis-en la relation entre $t_{n+1}$ et $t_n$.
4. dUne étape peut-elle compter exactement $1\,680$ pavés ? Et exactement $2\,000$ pavés ? Justifie.
5. eBen dispose de stock pavés. Il cherche la plus grande étape qu'il peut réaliser entièrement. Dans sa fonction, t doit contenir $t_n$ à chaque test de la condition du while.def plus_grande_etape(stock): n = 1 t = 8 while t <= stock: n = n + 1 t = ... return n - 1Complète la ligne en pointillés. Explique pourquoi la fonction renvoie n - 1 et non n. Lucas propose d'échanger l'ordre des deux lignes de la boucle. A-t-il raison ? Justifie.
6. fQue renvoie plus_grande_etape(1000) ? Justifie à l'aide de la forme explicite, puis indique combien de pavés il reste alors à Ben.

Ex. 21★★★Retrouver la suite cachée dans un programme — Voici une fonction Python.def mystere(n): u = 37 L = [u] for k in range(1, n + 1): u = u + 2 * k - 13 L.append(u) return LPour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la valeur de la variable u après $n$ tours de boucle. Ainsi $u_0 = 37$.

1. aQue renvoie mystere(5) ? Détaille tes calculs tour par tour
   (valeurs de k, de u et de L).
2. bSofia lit le programme et écrit : « Pour tout $n \geqslant 0$, $u_{n+1} = u_n + 2n - 13$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis donne, pour tout $n \geqslant 0$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et de $n$.
3. cCalcule $u_6$, $u_7$, $u_8$, $u_9$ et $u_{10}$. Que remarques-tu sur les valeurs de $u_0$ à $u_{10}$ ? Conjecture une forme explicite du type $u_n = (n - a)^2 + b$, où $a$ et $b$ sont des entiers.
4. dPour tout entier $n \geqslant 0$, on note $w_n$ l'expression en $n$ que tu as conjecturée à la question précédente. Calcule $w_0$ et $w_{n+1} - w_n$. Explique pourquoi ces deux résultats permettent d'affirmer que $u_n = w_n$ pour tout $n$.
5. eThéo a recopié la fonction en décalant une ligne.def mystere2(n): u = 37 L = [u] for k in range(1, n + 1): u = u + 2 * k - 13 L.append(u) return LQue renvoient mystere2(5) et mystere2(0) ? Explique son erreur et corrige-la.
6. fBen propose une autre fonction, dont la boucle n'utilise pas la valeur de k.def terme(n): u, d = 37, -11 for k in range(n): u, d = u + d, d + 2 return uExplique ce que représente d et pourquoi terme(n) renvoie $u_n$. Vrai ou faux : on peut remplacer la ligne u, d = u + d, d + 2 par les deux lignes d = d + 2 puis u = u + d ? Justifie en calculant ce que renverrait alors terme(3).

Ex. 22★★★Placer le nuage de points — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = n^2 - 4n - 1$.

1. aCalcule $u_0$, $u_1$, …, $u_5$.
2. bReprésente ces six termes dans un repère.
3. cQue remarques-tu sur le nuage ?

Ex. 23★★★Lire un escalier — On a représenté la droite $\mathcal{C}$ d'une fonction affine $f$, la droite d'équation $y = x$ et les premiers termes de la suite définie par $u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. aLis $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. bDétermine l'expression de $f(x)$, puis la relation de récurrence.
3. cContrôle deux des valeurs lues par le calcul.
4. dQue semble faire la suite ?

Ex. 24★★★Construire un escalier — On a tracé la droite $\mathcal{C}$ de $f(x) = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$ et la droite d'équation $y = x$. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. aConstruis $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur l'axe des abscisses, sans calcul.
2. bCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$ et compare avec ta construction.

Ex. 25★★★Un nuage qui commence à n = 1 — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $v_n = \frac{12}{n} - 2$.

1. aExplique pourquoi le nuage de points de $(v_n)$ ne peut pas commencer à $n = 0$.
2. bCalcule $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$, $v_5$ et $v_6$, puis place le nuage de points correspondant.
3. cLéo relie les points par une courbe. Il calcule $\frac{12}{1{,}5} - 2 = 6$ et affirme : « le point d'abscisse $1{,}5$ de ma courbe donne un terme de la suite, égal à $6$ ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dÀ partir du nuage, conjecture le sens de variation de $(v_n)$ et sa limite. Démontre ensuite le sens de variation en calculant $v_{n+1} - v_n$.

Ex. 26★★★Un escalier en spirale — Soit $f(x) = -\frac{1}{2}x + 5$. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. La figure montre la droite $\mathcal{C}$ de $f$, la droite d'équation $y = x$ et la construction des termes $u_0$ à $u_3$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. bPour construire $u_4$, Lucas part du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $u_3$. Il place $u_4$ sur l'axe des ordonnées, à la hauteur de ce point, et s'arrête là. Corrige sa construction.
3. cSami affirme : « la suite $(u_n)$ est croissante, puisque l'escalier part du bas de la figure et monte ». Vrai ou faux ? Justifie.
4. dCalcule l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $y = x$. Conjecture ensuite la limite de $(u_n)$.
5. eOn note $\ell$ l'abscisse trouvée à la question précédente. Démontre que, pour tout $n$, $u_{n+1} - \ell = -\frac{1}{2}(u_n - \ell)$. Explique ce que cette égalité dit de la position des termes par rapport à $\ell$.

Ex. 27★★★Même fonction, deux suites — Soit $f(x) = \sqrt{4x + 5}$, définie pour $x \geqslant 0$. On définit deux suites. D'une part, $r_n = f(n)$ pour tout entier $n \geqslant 0$. D'autre part, $s_0 = 2$ et $s_{n+1} = f(s_n)$. La figure montre la courbe $\mathcal{C}$ de $f$, la droite $y = x$ et l'escalier de $(s_n)$ jusqu'à $s_3$.

1. aCalcule les valeurs exactes de $r_0$, $r_1$, $r_2$ et $r_3$.
2. bChloé veut placer $r_2$. Elle part de $0$ sur l'axe des abscisses et fait deux marches d'escalier entre $\mathcal{C}$ et la droite $y = x$. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
3. cLis sur la figure des valeurs approchées de $s_1$, $s_2$ et $s_3$. Calcule-les ensuite, arrondies à $10^{-2}$.
4. dExplique pourquoi $s_1 = r_2$, alors que $s_2 \neq r_3$.
5. eConjecture la limite de $(r_n)$ et celle de $(s_n)$. Pour $(s_n)$, justifie la valeur conjecturée par un calcul.

Ex. 28★★★Un nuage préparé avec Python — Pendant un stage d'escalade de 7 jours à Grenoble, le nombre d'inscrits à l'atelier du jour $n$ ($1 \leqslant n \leqslant 7$) est $g_n = 50n - 6n^2$. Noé veut obtenir la liste $[g_1, g_2, \ldots, g_7]$ pour tracer le nuage. Il écrit : L = [] for n in range(7): L.append(50 * n - 6 * n ** 2) print(L)

1. aQu'affiche ce programme ? Explique pourquoi la liste obtenue ne convient pas.
2. bModifie une seule ligne du programme pour obtenir la liste $[g_1, \ldots, g_7]$. Donne ce qu'affiche le programme corrigé.
3. cPlace le nuage de points de $(g_n)$ dans un repère où l'axe des ordonnées est gradué de $10$ en $10$.
4. dInès relie les points par une parabole, celle de $x \mapsto 50x - 6x^2$. Son sommet a pour abscisse $\frac{25}{6} \approx 4{,}17$. Elle conclut : « le plus grand nombre d'inscrits est environ $104{,}17$, atteint le jour $4{,}17$ ». Corrige sa conclusion.
5. eVrai ou faux : « le nuage prouve que $(g_n)$ est décroissante à partir du rang $4$ ». Justifie, puis démontre ce sens de variation en calculant $g_{n+1} - g_n$.

Ex. 29★★★Deux départs, deux escaliers — Soit $f(x) = \frac{5x}{x + 1}$, définie pour $x \geqslant 0$. On définit deux suites par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, puis par $v_0 = 9$ et $v_{n+1} = f(v_n)$. La figure montre la courbe $\mathcal{C}$ de $f$, la droite d'équation $y = x$ et l'escalier de $(u_n)$.Donne des valeurs exactes.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. bPour trouver $u_2$, Maëlle prend le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $2$ et écrit $u_2 = f(2)$. Explique son erreur. Indique le rôle de la droite $y = x$ dans la construction.
3. cSur la figure ci-dessous, construis $v_1$ et $v_2$ sur l'axe des abscisses, sans calcul. Calcule ensuite leurs valeurs exactes.
4. dDétermine par le calcul les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $y = x$. À l'aide des deux escaliers, conjecture le sens de variation et la limite de $(u_n)$ et de $(v_n)$.
5. eUn camarade affirme : « Comme $f$ est croissante, une suite définie par $w_{n+1} = f(w_n)$ est toujours croissante. » Vrai ou faux ? Justifie.
6. fVrai ou faux : « Quelle que soit la valeur de départ $w_0 \geqslant 0$, la suite définie par $w_{n+1} = f(w_n)$ se rapproche de $4$. » Justifie.

Ex. 30★★★Une spirale et deux erreurs — La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{8}{u_n + 2}$. On pose $f(x) = \frac{8}{x + 2}$ pour $x \geqslant 0$. La figure montre la courbe $\mathcal{C}$ de $f$, la droite d'équation $y = x$ et l'escalier de $u_0$ à $u_4$.Donne des valeurs exactes.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. bRange $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ dans l'ordre croissant. Justifie que $f$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$ et explique pourquoi l'escalier forme une spirale.
3. cHugo constate que $u_1 < u_0$. Il affirme : « Comme $f$ est décroissante, la suite $(u_n)$ est décroissante, au moins à partir d'un certain rang. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dPlace le nuage des points $(n\,;u_n)$ pour $0 \leqslant n \leqslant 4$. Clara affirme : « Comme l'escalier, le nuage forme une spirale autour d'un point. » Vrai ou faux ? Décris la disposition des points du nuage.
5. eDétermine par le calcul l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $y = x$. Formule une conjecture sur la limite de $(u_n)$ et précise ce qui manque pour la prouver.

Ex. 31★★★Le meilleur lot de cartes de visite — Une imprimerie de Rodez fabrique des cartes de visite par lots de $n$ centaines, avec $n \geqslant 1$. Le coût moyen d'une centaine de cartes, en euros, est $c_n = 10n + \frac{160}{n}$. Le gérant a fait tracer le nuage des points $(n\,;c_n)$ pour $1 \leqslant n \leqslant 4$.

1. aLis sur le nuage une valeur approchée de $c_3$. Calcule ensuite $c_3$ (valeur exacte, puis arrondie au centime) et explique l'écart.
2. bRaphaël regarde le nuage. Il conclut : « Plus le lot est gros, moins la centaine coûte cher : la suite $(c_n)$ est décroissante. » Calcule $c_5$ et $c_6$. Ta conclusion est-elle la même que celle de Raphaël ? Justifie.
3. cMontre que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $c_{n+1} - c_n = 10 - \frac{160}{n(n+1)}$.
4. dDéduis-en le sens de variation de $(c_n)$ en précisant à partir de quel rang il change. Indique le lot qui donne le coût moyen le plus bas et ce coût.
5. eLe gérant veut que la centaine coûte moins de $85$ euros. Détermine tous les lots qui conviennent et justifie qu'il n'y en a pas d'autres.

Ex. 32★★★La différence est donnée — Chaque suite est définie par son premier terme (quelconque) et, pour tout entier naturel $n$, par la relation donnée. Étudie son sens de variation.

1. a$u_{n+1} = u_n - n^2 - 5$
2. b$v_{n+1} = v_n + \dfrac{5}{n + 1}$
3. c$w_{n+1} = w_n + (n - 3)^2$

Ex. 33★★★Croissante, mais pas strictement — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3n^2 - 3n + 7$.

1. aExprime $u_{n+1}$ en fonction de $n$, sous forme développée et réduite.
2. bCalcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe pour tout entier naturel $n$.
3. cLéo écrit : « $(u_n)$ est strictement croissante. » L'affirmation de Léo est-elle correcte ? Justifie.
4. dÀ partir de quel rang la suite $(u_n)$ est-elle strictement croissante ? Justifie.

Ex. 34★★★La différence dépend du terme — Chaque suite est définie par son premier terme (quelconque) et, pour tout entier naturel $n$, par la relation donnée. Étudie son sens de variation.

1. a$u_{n+1} = u_n - u_n^2$
2. b$v_{n+1} = v_n^2 + v_n + 4$
3. c$w_{n+1} = w_n + (-1)^n$

Ex. 35★★★Les premiers termes trompent — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = -n^2 + 11n + 5$.

1. aCalcule $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. bPeut-on en déduire que la suite est croissante ? Justifie.
3. cCalcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe.
4. dConclus.

Ex. 36★★★Une parabole qui n'est pas monotone — On pose $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_n = f(n)$.

1. aDétermine l'abscisse du sommet de la parabole qui représente $f$, puis donne les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bSami affirme : « $f$ n'est pas monotone sur $[0\,;+\infty[$, donc $(w_n)$ n'est pas monotone. » Calcule $w_{n+1} - w_n$ et étudie son signe. L'affirmation de Sami est-elle correcte ?
3. cRetrouve le sens de variation de $(w_n)$ par une autre méthode : utilise les variations de $f$ sur $[1\,;+\infty[$, puis compare $w_0$ et $w_1$.
4. dOn pose maintenant $k(x) = 3x^2 - 8x + 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_n = k(n)$. Calcule $z_0$, $z_1$ et $z_2$, puis étudie le signe de $z_{n+1} - z_n$. Décris précisément le sens de variation de $(z_n)$.

Ex. 37★★★Le quotient, mais pas n'importe comment — Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n = (n + 3) \times 0{,}8^n$ et $c_n = (-1)^n \times (n + 2)$.

1. aJustifie que $a_n > 0$ pour tout entier naturel $n$, puis exprime $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ en fonction de $n$.
2. bCompare $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ à $1$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$.
3. cCalcule $a_0$, $a_1$ et $a_2$, puis décris précisément le sens de variation de $(a_n)$.
4. dHugo calcule $\frac{c_{n+1}}{c_n} = -\frac{n + 3}{n + 2}$. Il constate que ce quotient est inférieur à $1$ et conclut que $(c_n)$ est décroissante. Le raisonnement de Hugo est-il correct ? Justifie.

Ex. 38★★★Le programme qui rassure trop — Mathis a ouvert une boutique en ligne à Annecy. Son bénéfice du mois numéro $n$, en centaines d'euros, est modélisé par $b_n = -n^2 + 40n + 30$. Il écrit ce programme : def b(n): return -n**2 + 40*n + 30 ok = True for n in range(15): if b(n + 1) - b(n) <= 0: ok = False print(ok) Le programme affiche True.

1. aExplique précisément ce que teste ce programme.
2. bMathis conclut : « Mon bénéfice augmente tous les mois. » Exprime $b_{n+1} - b_n$ en fonction de $n$ et étudie son signe pour tout entier naturel $n$. La conclusion de Mathis est-elle correcte ?
3. cCalcule $b_{19}$, $b_{20}$ et $b_{21}$, puis décris précisément le sens de variation de $(b_n)$.
4. dMathis remplace range(15) par range(30). Qu'affiche alors le programme ? Explique pourquoi ce genre de programme peut prouver qu'une suite n'est pas strictement croissante, mais jamais qu'elle l'est.

Ex. 39★★★Une même relation, deux départs — Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 8 - 3v_n$. Le premier terme $v_0$ change selon les questions.

1. aOn prend $v_0 = 2$. Calcule $v_1$ et $v_2$, puis donne le sens de variation de $(v_n)$ en justifiant.
2. bOn prend $v_0 = 1$. Calcule $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
3. cAvec $v_0 = 1$, la suite $(v_n)$ est-elle monotone ? Justifie à l'aide des termes calculés.
4. dExprime $v_{n+1} - v_n$ en fonction de $v_n$, puis détermine les valeurs de $v_0$ pour lesquelles $v_1 > v_0$.

Ex. 40★★★Fonction croissante, suite… pas forcément — On pose $f(x) = 5x - 36$ pour tout réel $x$. On définit deux suites : pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$ ; et $v_0 = 8$ avec $v_{n+1} = f(v_n)$, c'est-à-dire $v_{n+1} = 5v_n - 36$. Inès affirme : « $f$ est croissante, donc $(u_n)$ et $(v_n)$ sont croissantes. »

1. aJustifie que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Étudie ensuite le sens de variation de $(u_n)$ de deux façons : avec la fonction $f$, puis avec le signe de $u_{n+1} - u_n$.
2. bCalcule $v_1$, $v_2$ et $v_3$. Inès a-t-elle raison pour $(v_n)$ ? Justifie.
3. cOn garde la relation $v_{n+1} = f(v_n)$, mais on change le premier terme. Détermine la seule valeur de $v_0$ pour laquelle $v_1 = v_0$. Justifie qu'avec cette valeur, la suite $(v_n)$ est constante.
4. dExplique pourquoi la propriété « si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, alors la suite $(f(n))$ est croissante » s'applique à $(u_n)$, mais pas à $(v_n)$.
5. eVrai ou faux ? « Si une fonction $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$, alors toute suite définie par $w_{n+1} = g(w_n)$ est décroissante. » Justifie. Tu pourras tester $g(x) = 10 - x$ avec $w_0 = 3$.

Ex. 41★★★Une suite qui hésite au départ — Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = n + \frac{6}{n + 1}$. On note $f(x) = x + \frac{6}{x + 1}$ pour $x \geqslant 0$, de sorte que $u_n = f(n)$. Donne des valeurs exactes.

1. aKenza écrit : « Sur $[0\,;+\infty[$, la fonction $x \mapsto x$ est croissante et la fonction $x \mapsto \frac{6}{x + 1}$ est décroissante, donc j'en déduis le sens de variation de $f$. » Explique pourquoi ce raisonnement ne permet pas de conclure.
2. bCalcule $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Que peux-tu déjà affirmer sur la monotonie de $(u_n)$ sur $\mathbb{N}$ ? Justifie.
3. cExprime $u_{n+1} - u_n$ sous la forme d'un seul quotient, puis factorise son numérateur.
4. dÉtudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour tout entier naturel $n$. Déduis-en le sens de variation de $(u_n)$ à partir d'un rang que tu préciseras.
5. eVrai ou faux ? « $(u_n)$ est strictement croissante à partir du rang $1$. » Justifie, puis détermine le plus petit terme de la suite.
6. fVrai ou faux ? « $(u_n)$ est croissante à partir du rang $1$, donc $f$ est croissante sur $[1\,;+\infty[$. » Justifie. Tu pourras calculer $f\left(\frac{3}{2}\right)$.

Ex. 42★★★L'exposition de Colmar — Une exposition temporaire ouvre à Colmar. On note $a_n$ le nombre de visiteurs le jour numéro $n$ (le jour $0$ est le jour de l'ouverture). On modélise ce nombre par $a_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = \frac{6}{n + 3} \times a_n$. Donne les valeurs exactes, puis arrondies à l'unité quand elles ne sont pas entières.

1. aCalcule $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$. Yanis, le gardien, affirme : « $a_0 < a_1 < a_2 < a_3$, donc la fréquentation augmente chaque jour. » A-t-il raison ? Justifie en calculant aussi $a_5$.
2. bJustifie que tous les termes de la suite sont strictement positifs, puis exprime $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ en fonction de $n$.
3. cCompare $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ à $1$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$. Déduis-en le sens de variation de $(a_n)$, en précisant les rangs. Donne la fréquentation maximale et les jours où elle est atteinte.
4. dLina préfère la méthode de la différence. Écris $a_{n+1} - a_n$ sous la forme $a_n \times q(n)$, où $q(n)$ est un quotient qui ne dépend que de $n$. Retrouve les conclusions précédentes et indique quel résultat déjà établi Lina utilise, elle aussi.
5. eOn veut le premier jour où la fréquentation passe sous $100$ visiteurs. Complète ce programme, puis donne la valeur qu'il affiche. n = 0 a = 200 while ......... : a = ......... n = n + 1 print(n)
6. fExplique pourquoi, après ce jour, la fréquentation reste sous $100$ visiteurs d'après le modèle.

Ex. 43★★★Des valeurs de plus en plus grandes — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = -2 + \frac{3}{n + 1}$. Donne des valeurs approchées à $10^{-4}$ près.

1. aCalcule $u_{10}$ et $u_{100}$.
2. bCalcule $u_{1\,000}$.
3. cQuelle limite peut-on conjecturer pour $(u_n)$ ?
4. dTom affirme : « Ces trois valeurs démontrent que la suite tend vers cette limite. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 44★★★Lire un algorithme de seuil — Voici une fonction écrite en Python.def seuil(): u = 1 n = 0 while u < 9.9: u = 0.9*u + 1 n = n + 1 return n

1. aQue représente la valeur renvoyée par seuil() ?
2. bQue renvoie seuil() ?
3. cQue renverrait la fonction si on écrivait while u <= 9.9: ? Dans quel cas les deux versions renverraient-elles des valeurs différentes ?

Ex. 45★★★Une récurrence qui se stabilise — La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}6u_n + 7$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$
   (valeurs approchées à $10^{-3}$ près si besoin).
2. bCalcule $u_{15}$ et $u_{30}$ à $10^{-3}$ près, puis conjecture la limite de $(u_n)$.
3. cDétermine le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 17{,}4$. Explique pourquoi des valeurs arrondies à $10^{-3}$ ne suffisent pas pour conclure.

Ex. 46★★★Quand Python arrondit — Pour tout entier naturel $n$, $x_n = 0{,}1n$. Mia cherche le plus petit entier $n$ tel que $x_n = 1$. Voici son programme A :def compte(): n = 0 x = 0 while x != 1: n = n + 1 x = x + 0.1 return nVoici le programme B :x = 0 for k in range(10): x = x + 0.1 print(x)Le programme B affiche 0.9999999999999999.

1. aEn calcul exact, pour quel entier $n$ a-t-on $x_n = 1$ ?
2. bEn t’appuyant sur l’affichage du programme B, explique pourquoi l’appel compte() du programme A ne s’arrête jamais.
3. cMia remplace la condition par while x < 1:. Que renvoie alors compte() ? Propose une condition de while qui fait renvoyer la bonne valeur.

Ex. 47★★★Des termes qui grimpent… jusqu’où ? — Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{1\,000n}{n + 500}$. Donne les valeurs approchées à $0{,}1$ près.

1. aCalcule $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1\,000}$.
2. bLina affirme : « Les termes ne font que grimper, donc la suite tend vers $+\infty$. » Calcule $u_{10\,000}$ et $u_{1\,000\,000}$. L’affirmation de Lina est-elle justifiée ? Justifie.
3. cQuelle limite conjectures-tu pour $(u_n)$ ? Explique comment la prévoir en comparant les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
4. dDétermine les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = a - \frac{b}{n + 500}$. Déduis-en que tous les termes sont strictement inférieurs à $a$, puis que la suite ne peut pas tendre vers $+\infty$.

Ex. 48★★★Un thé qui refroidit — À Brest, Malo verse un thé à $90$ °C dans une pièce à $20$ °C. On modélise la température du thé, en °C, au bout de $n$ minutes : $T_0 = 90$ et, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} = 0{,}8T_n + 4$. Malo cherche le plus petit entier $n$ tel que $T_n \lt 30$. Voici son programme :def seuil(s): n = 0 T = 90 while T < s: n = n + 1 T = 0.8 * T + 4 return n

1. aCalcule $T_1$, $T_2$ et $T_3$.
2. bQue renvoie l’appel seuil(30) ? Explique l’erreur de Malo et corrige la ligne du while.
3. cAvec la ligne corrigée, calcule les termes suivants jusqu’à passer sous $30$ (valeurs à $10^{-2}$ près). Donne la valeur renvoyée par seuil(30).
4. dInès recopie la version corrigée, mais écrit n = 1 à la place de n = 0. Que renvoie son appel seuil(30) ? Explique pourquoi ce résultat est faux.
5. eOn admet que $T_n > 20$ pour tout entier naturel $n$. Que se passe-t-il lors de l’appel seuil(20) avec la version corrigée ? Quelle limite conjectures-tu pour $(T_n)$ ?

Ex. 49★★★Une croissance très lente — Pour tout entier naturel $n$, $h_n = 2\sqrt{n} + 1$. La suite $(h_n)$ est croissante, car la fonction racine carrée est croissante.

1. aRésous l’inéquation $h_n > 50$ d’inconnue $n$. Contrôle ta réponse avec les deux termes qui l’encadrent (valeurs à $10^{-2}$ près), puis donne le plus petit entier $n$ qui convient.
2. bDétermine le plus petit entier $n$ tel que $h_n \geqslant 41$, puis le plus petit entier $n$ tel que $h_n > 41$. Explique pourquoi les deux réponses sont différentes.
3. cNora affirme : « Les écarts $h_{n+1} - h_n$ deviennent minuscules, donc la suite ne dépassera jamais $1\,000$. » Calcule $h_{101} - h_{100}$ à $10^{-4}$ près. Détermine ensuite le plus petit entier $n$ tel que $h_n > 1\,000$. L’affirmation de Nora est-elle juste ? Justifie.
4. dSoit $A$ un réel strictement supérieur à $1$. Montre que $h_n > A$ dès que $n > \left(\frac{A - 1}{2}\right)^2$. Quelle limite conjectures-tu pour $(h_n)$ ?

Ex. 50★★★Deux escaliers, deux comportements — Figure 1 : la suite $(r_n)$ définie par $r_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $r_{n+1} = 7 - r_n$. On a tracé la courbe $\mathcal{C}$ de $f(x) = 7 - x$.Figure 2 : la suite $(b_n)$ définie par $b_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = 6 - 0{,}5b_n$. On a tracé la courbe $\mathcal{D}$ de $g(x) = 6 - 0{,}5x$.

1. aLis sur la figure 1 les termes $r_1$, $r_2$, $r_3$ et $r_4$. Donne la valeur de $r_n$ selon que $n$ est pair ou impair.
2. bLa suite $(r_n)$ a-t-elle une limite finie, une limite infinie ou aucune limite ? Justifie.
3. cCalcule $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$ et $b_5$. Contrôle les trois premiers sur la figure 2.
4. dYanis affirme : « $(b_n)$ passe alternativement au-dessus et au-dessous de $4$, comme $(r_n)$ autour de $3{,}5$. Elle n’a donc pas de limite non plus. » Exprime $b_{n+1} - 4$ en fonction de $b_n - 4$, puis $r_{n+1} - 3{,}5$ en fonction de $r_n - 3{,}5$. L’affirmation de Yanis est-elle juste ? Justifie.
5. eDétermine le plus petit entier $n$ tel que l’écart entre $b_n$ et $4$ soit strictement inférieur à $0{,}01$.

Ex. 51★★★Corriger un programme de seuil — Pour tout entier naturel $n$, $v_n = 4 + \frac{60}{n + 2}$. Adam cherche le plus petit entier $n$ tel que $v_n \lt 4{,}1$. Voici son programme A :def seuil_A(): n = 0 v = 34 while v > 4.1: n = n + 1 v = 4 + 60/(n + 2) return nDonne les valeurs approchées à $10^{-4}$ près si besoin.

1. aCalcule $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1\,000}$. Quelle limite peux-tu conjecturer pour la suite $(v_n)$ ?
2. bÉtudie le signe de $v_{n+1} - v_n$. Déduis-en le sens de variation de $(v_n)$.
3. cRésous l'inéquation $v_n \lt 4{,}1$ d'inconnue $n$. Contrôle ta réponse avec les deux termes qui l'encadrent, puis conclus.
4. dQue renvoie l'appel seuil_A() ? Explique pourquoi ce n'est pas le rang cherché, puis corrige la ligne fautive du programme A.
5. eLéa recopie le programme A corrigé, mais écrit les deux lignes du corps de la boucle dans l'autre ordre : d'abord v = 4 + 60/(n + 2), puis n = n + 1. Que renvoie alors l'appel ? Explique d'où vient l'écart avec la bonne réponse et propose une correction.
6. fAdam transforme le programme A corrigé en une fonction seuil(s) qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $v_n \lt s$. Pour quelles valeurs du réel $s$ l'appel seuil(s) s'arrête-t-il ? Justifie.

Ex. 52★★★Trois conjectures trop rapides — À Rouen, trois élèves conjecturent des limites un peu vite. Pour tout entier naturel $n$ : $p_n = 0{,}02n^2 - 3n + 120$, $q_n = 2n + 9 \times (-1)^n$ et $s_n = 5 \times (-1)^n + \frac{1}{n + 1}$. Donne les valeurs approchées à $10^{-4}$ près si besoin.

1. aJade calcule $p_0 = 120$, $p_{10} = 92$, $p_{20} = 68$ et $p_{50} = 20$. Elle affirme : « $(p_n)$ est décroissante et tend vers $-\infty$. » Calcule $p_{100}$ et $p_{1\,000}$. Jade a-t-elle raison ? Justifie.
2. bMontre que, pour tout entier naturel $n$, $p_n = 0{,}02(n - 75)^2 + 7{,}5$. Déduis-en le sens de variation de $(p_n)$ à partir du rang $75$, ainsi que le signe de $p_n$.
3. cDétermine le plus petit entier $n$ tel que $p_n > 10\,000$. Contrôle ta réponse avec les deux termes qui l'encadrent. Quelle limite conjectures-tu pour $(p_n)$ ? Explique.
4. dHugo calcule $q_0$, $q_1$, $q_2$ et $q_3$, puis affirme : « $(q_n)$ descend puis remonte sans arrêt, donc elle n'a pas de limite. » Calcule ces quatre termes, puis $q_{1\,000}$ et $q_{1\,001}$. Montre que $q_n \geqslant 2n - 9$ pour tout entier naturel $n$. Hugo a-t-il raison ? Justifie.
5. ePour tout entier naturel $n$, $t_n = \frac{7n^2 - 4n}{5 - 2n^2}$. Pour $n \geqslant 1$, mets $n^2$ en facteur au numérateur et au dénominateur. Conjecture la limite de $(t_n)$, puis contrôle avec $t_{1\,000}$.
6. fZoé trouve $s_{10} \approx 5{,}0909$, $s_{100} \approx 5{,}0099$ et $s_{1\,000} \approx 5{,}0010$. Elle conjecture que $(s_n)$ tend vers $5$. Calcule $s_{11}$, $s_{101}$ et $s_{1\,001}$. Zoé a-t-elle raison ? Justifie, puis indique l'erreur de méthode commune à Zoé et Jade.

Ex. 53★★★Le dallage de Camille — À Nîmes, Camille est carreleuse et pose des dallages rectangulaires. Pour tout entier $n \geqslant 1$, le dallage numéro $n$ compte $n + 1$ rangées de $n + 4$ dalles carrées. Les dalles du contour sont noires, les autres sont blanches. On note $c_n$ le nombre total de dalles et $b_n$ le nombre de dalles blanches. Donne les valeurs approchées à $10^{-5}$ près si besoin.

1. aExprime $c_n$ puis $b_n$ en fonction de $n$, sous forme développée. Déduis-en le nombre de dalles noires du dallage numéro $n$, puis vérifie ta formule en décrivant le dallage numéro $1$.
2. bCamille dispose de $10\,000$ dalles. Quel est le plus grand entier $n$ pour lequel elle peut poser le dallage numéro $n$ ? Justifie avec une inéquation, puis contrôle avec les deux termes qui encadrent ta réponse.
3. cOn note $w_n = \frac{b_n}{c_n}$ la proportion de dalles blanches. Calcule $w_{10}$, $w_{100}$ et $w_{1\,000}$. Conjecture la limite de $(w_n)$ et explique le lien avec les coefficients de $n^2$.
4. dDétermine le plus petit entier $n$ tel que $w_n > 0{,}99$. Contrôle ta réponse avec les deux termes qui l'encadrent.
5. eComplète les trois lignes en pointillés de ce programme pour que seuil(s) renvoie le plus petit entier $n \geqslant 1$ tel que $w_n > s$. Explique pourquoi l'initialisation w = 0 convient, puis indique ce que doit renvoyer seuil(0.99).def seuil(s): n = 1 w = 0 while ... : n = n + 1 w = ... return ...
6. fBen affirme : « Le nombre de dalles noires tend vers $+\infty$, donc leur proportion dans le dallage ne peut pas tendre vers $0$. » Vrai ou faux ? Justifie.