1re spécialité / Suites arithmétiques et géométriques

Ex. 1★★★Terme général et termes de rang donné — On considère trois suites arithmétiques : $(u_n)$ avec $u_0 = -7$ et de raison $4$ ; $(v_n)$, définie à partir du rang 1, avec $v_1 = 12$ et de raison $-2{,}5$ ; $(w_n)$ de raison $3$ avec $w_6 = 40$.

1. aExprime $u_n$ en fonction de $n$.
2. bCalcule le 10e terme de la suite $(u_n)$.
3. cExprime $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$.
4. dCalcule $v_{21}$.
5. eCalcule $w_{25}$.
6. fExprime $w_n$ en fonction de $n$, puis déduis-en $w_0$.

Ex. 2★★★Sens de variation et nuage de points — Pour les trois dernières questions, $(a_n)$ est une suite arithmétique représentée par le nuage ci-dessous.

1. aPour tout entier naturel $n$, $u_n = 5 - 0{,}8n$. Donne la raison de $(u_n)$ et son sens de variation.
2. b$v_0 = -4$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = v_n + 0{,}3$. Donne le sens de variation de $(v_n)$.
3. c$(t_n)$ est arithmétique de raison $0$, avec $t_0 = 6$. Décris la suite $(t_n)$.
4. dLis $a_0$ et $a_1$ sur le nuage, puis déduis-en la raison de $(a_n)$.
5. eDonne l'équation de la droite qui porte les points $(n\,;\,a_n)$.
6. fLucas relie les points du nuage par un trait continu. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 3★★★Arithmétique ou non ? — Les quatre questions sont indépendantes.

1. aPour tout entier naturel $n$, $t_n = (2n + 3)^2 - 4n^2$. Démontre que $(t_n)$ est arithmétique et donne sa raison.
2. bPour tout entier naturel $n$, $u_n = 3n^2 + 1$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Justifie.
3. c$v_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = v_n + n$. La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ? Justifie.
4. dPour tout entier naturel $n$, $w_n = n^3 - 3n^2 + 4n + 1$. Inès trouve $w_0 = 1$, $w_1 = 3$ et $w_2 = 5$, puis conclut que $(w_n)$ est arithmétique. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 4★★★Retrouver une suite à partir de deux termes — $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_5 = 31$ et $u_{12} = -4$.

1. aHugo écrit $r = \frac{u_{12} - u_5}{12}$. Explique son erreur, puis calcule la raison $r$.
2. bDéduis-en $u_0$, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
3. cDonne le sens de variation de $(u_n)$. Justifie.
4. dLes nombres $-139$ et $-150$ sont-ils des termes de la suite ? Justifie.

Ex. 5★★★Les rangs d'une salle de spectacle — Dans une salle de spectacle de Nancy, le 1er rang compte 18 sièges et chaque rang compte 3 sièges de plus que le précédent. On note $s_n$ le nombre de sièges du rang $n$ ($n \geqslant 1$).

1. aJustifie que $(s_n)$ est arithmétique. Donne sa raison et son premier terme.
2. bMila écrit $s_n = 18 + 3n$. Explique son erreur et donne l'expression correcte de $s_n$.
3. cCalcule le nombre de sièges du 25e rang.
4. dQuel rang compte exactement 63 sièges ?
5. eDétermine le premier rang qui compte plus de 100 sièges.

Ex. 6★★★Démontrer le terme général et l'utiliser — Dans tout l'exercice, $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ : pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + r$.

1. aDémontre que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 + nr$. Additionne des égalités bien choisies.
2. bDéduis-en que, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n = u_p + (n - p)r$.
3. cPour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_{3n+1}$. Démontre que $(v_n)$ est arithmétique. Exprime sa raison et $v_0$ en fonction de $u_0$ et $r$.
4. dDans cette question, $u_2 = 9$ et $v_5 = 79$. Calcule $r$, puis $u_0$.
5. ePour tout entier naturel $n$, $p_n = 2n^2 - n$. Yanis écrit : « $p_{n+1} - p_n = 4n + 1$, donc $(p_n)$ est arithmétique de raison $4n + 1$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 7★★★La citerne pendant la sécheresse — Près d'Albi, une citerne contient $2\,450$ L le matin du 1er jour d'une sécheresse. On note $a_n$ et $b_n$ son volume (en L) le matin du $n$-ième jour selon deux modèles, avec $a_1 = b_1 = 2\,450$. Modèle A : elle perd 35 L par jour. Modèle B : pour tout entier $n \geqslant 1$, $b_{n+1} = b_n - n$.

1. aJustifie que $(a_n)$ est arithmétique, puis exprime $a_n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
2. bCalcule le volume le 30e jour selon le modèle A, puis donne le sens de variation de $(a_n)$.
3. cExprime $a_{47} - a_{12}$ à l'aide de la raison, puis déduis-en le volume perdu entre le matin du 12e jour et celui du 47e jour.
4. dDétermine le premier jour où, selon le modèle A, le volume est inférieur à 300 L.
5. eCalcule $b_2$, $b_3$ et $b_4$. La suite $(b_n)$ est-elle arithmétique ? Justifie.

Ex. 8★★★Tableau, droite et suite à paramètre — $(u_n)$ est une suite arithmétique définie pour tout entier naturel $n$. On donne une partie de son tableau de valeurs :

1. aCalcule la raison $r$ et $u_0$, puis complète la dernière case du tableau.
2. bZoé affirme que le 10e terme de la suite est la valeur de la dernière case. A-t-elle raison ? Justifie, puis donne le 10e terme.
3. cDémontre que les points $(n\,;u_n)$ sont alignés et donne une équation de la droite qui les porte.
4. dPour un réel $m$ et pour tout entier naturel $n$, $w_n = (5 - 2m)n + m$. Démontre que $(w_n)$ est arithmétique, puis étudie son sens de variation selon $m$.
5. eDétermine $m$ pour que $w_4 = u_4$. Donne alors le sens de variation de $(w_n)$.

Ex. 9★★★Sommes d’entiers et de termes consécutifs — Calcule chaque somme ou réponds à la question. Pour les trois derniers items, $(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$.

1. a$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 60$.
2. b$S = 2 + 4 + 6 + \cdots + 130$
   (somme des entiers pairs de $2$ à $130$).
3. c$S = 11 + 13 + 15 + \cdots + 99$
   (somme des entiers impairs de $11$ à $99$).
4. dCombien de termes compte la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{24}$ ?
5. eCalcule $u_{24}$, puis la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{24}$.
6. fCalcule $u_{10} + u_{11} + \cdots + u_{24}$.

Ex. 10★★★Une somme qui devient négative — On considère la somme $S = 50 + 44 + 38 + \cdots + (-58)$, dont les termes sont ceux d’une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 50$.

1. aDonne la raison $r$ de la suite $(u_n)$.
2. bDétermine le rang $k$ tel que $u_k = -58$.
3. cDéduis-en le nombre de termes de la somme $S$.
4. dCalcule $S$.

Ex. 11★★★Les multiples de 7 entre 100 et 300 — On s’intéresse aux multiples de $7$ compris entre $100$ et $300$. On note $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 7n$, et $S$ la somme de ces multiples.

1. aDétermine le plus petit et le plus grand de ces multiples, ainsi que leurs rangs dans la suite $(u_n)$.
2. bJustifie que $(u_n)$ est arithmétique, puis déduis-en le nombre de multiples de $7$ compris entre $100$ et $300$.
3. cÉcris $S$ dans l’ordre croissant, puis en dessous dans l’ordre décroissant. Que vaut chaque colonne ? Justifie.
4. dDéduis-en $2S$, puis $S$.

Ex. 12★★★Quatre élèves, quatre erreurs — $(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = -9$ et de raison $2$. Mathis veut calculer $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$. Il écrit : « $u_{20} = -9 + 20 \times 2 = 31$ ; il y a $20$ termes, donc $S = 20 \times \frac{-9 + 31}{2} = 220$. »

1. aRepère l’erreur de Mathis et explique-la.
2. bCalcule la bonne valeur de $S$.
3. cJade affirme que $S = 31$, car « on a ajouté $20$ fois la raison à $u_0$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLucas calcule $u_1 + u_2 + \cdots + u_{20}$ en écrivant $21 \times \frac{u_1 + u_{20}}{2}$ et trouve $252$. Corrige son calcul.
5. eInès affirme : « $1 + 2 + \cdots + 40 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ ». A-t-elle raison ? Justifie et donne la bonne valeur.

Ex. 13★★★Corriger un programme de somme — $(u_n)$ est définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - 3$. Sacha veut que somme(n) renvoie $u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Il écrit : def somme(n): u = 12 for k in range(n): S = 0 u = u - 3 S = S + u return S

1. aCalcule à la main $u_0 + u_1 + u_2$.
2. bFais tourner le programme de Sacha à la main : que renvoie somme(2) ? Explique.
3. cCorrige le programme pour que somme(n) renvoie bien $u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Justifie chaque modification.
4. dCalcule $u_0 + u_1 + \cdots + u_{30}$ avec la formule du cours.

Ex. 14★★★De Gauss aux entiers impairs — Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier naturel tel que $n \geqslant 1$. On note $P_n = 2 + 4 + \cdots + 2n$ et $I_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$.

1. aDémontre que $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ en écrivant cette somme dans les deux sens.
2. bDéduis-en une expression de $P_n$ en fonction de $n$.
3. cJustifie que $I_n$ compte $n$ termes, puis exprime $I_n$ en fonction de $n$.
4. dCalcule $1 + 3 + 5 + \cdots + 151$. Commence par trouver le nombre de termes.
5. eDétermine le plus grand entier $n$ tel que $P_n \leqslant 1\,000$. Justifie.

Ex. 15★★★Les gradins du théâtre de Vaison — Dans le théâtre de plein air de Vaison, le 1er rang compte 24 places et chaque rang compte 3 places de plus que le rang précédent. On note $u_n$ le nombre de places du rang $n$ ($n \geqslant 1$) et $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$ le nombre total de places des $n$ premiers rangs.

1. aJustifie que $(u_n)$ est arithmétique, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
2. bIlyès affirme qu’avec 15 rangs, le nombre total de places est égal à $u_{15}$. A-t-il raison ? Calcule $S_{15}$.
3. cExprime $S_n$ en fonction de $n$, puis détermine le nombre minimal de rangs pour avoir au moins $1\,500$ places.
4. dOn considère la fonction ci-dessous. def rangs(objectif): n = 1 u = 24 S = 24 while S < objectif: n = n + 1 u = u + 3 S = S + u return n Explique le rôle des variables u et S, puis donne la valeur renvoyée par rangs(1500).
5. eIlyès échange les lignes u = u + 3 et S = S + u. Que renvoie alors rangs(1500) ? Explique.

Ex. 16★★★Deux start-up qui sortent du rouge — La start-up de Maëlys, à Rennes, a un résultat de $-4\,800$ € le 1er mois ; ce résultat augmente ensuite de $600$ € chaque mois. On note $u_n$ le résultat du mois $n$ ($n \geqslant 1$) et $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$ le résultat cumulé des $n$ premiers mois.

1. aExprime $u_n$ en fonction de $n$, puis détermine le premier mois où le résultat est strictement positif.
2. bCalcule le résultat cumulé $S_{12}$ sur la première année. Interprète son signe.
3. cExprime $S_n$ en fonction de $n$, sous forme factorisée.
4. dDéduis-en à partir de quel mois le résultat cumulé devient strictement positif. Justifie.
5. eUne autre start-up a un résultat de $-3\,000$ € le 1er mois, puis $400$ € de plus chaque mois. Laquelle a le meilleur cumul sur 24 mois ? Justifie.

Ex. 17★★★Terme général et calcul direct — Dans chaque question, la suite est géométrique. Donne le résultat sous forme exacte.

1. a$(u_n)$ a pour premier terme $u_0 = 4$ et pour raison $3$. Exprime $u_n$ en fonction de $n$, puis calcule $u_5$.
2. b$(v_n)$ a pour premier terme $v_1 = 3$ et pour raison $-2$. Calcule $v_6$.
3. c$(w_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $w_4 = 7$. Calcule $w_9$.
4. d$(t_n)$ est définie par $t_0 = 50$ et $t_n = t_{n-1} \times 1{,}1$ pour tout entier $n \geqslant 1$. Donne sa raison et calcule $t_3$.
5. e$(a_n)$ a pour premier terme $a_0 = 2$ et pour raison $5$. Calcule $a_3$, puis compare avec $(2 \times 5)^3$ et $2 + 5^3$.

Ex. 18★★★Retrouver la raison à partir de deux termes — Dans chaque question, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$.

1. a$u_3 = 5$ et $u_6 = 40$. Calcule $q$, puis $u_0$.
2. b$u_1 = 7$, $u_3 = 28$ et $q < 0$. Calcule $q$, puis $u_0$.
3. c$u_0 = 1\,000$, $u_2 = 810$ et tous les termes sont positifs. Calcule $q$, puis $u_5$.
4. d$u_5 = 48$ et $u_8 = -6$. Calcule $q$, puis $u_{10}$.

Ex. 19★★★Géométrique ou pas ? — Chaque suite est définie pour tout entier naturel $n$. Dis si elle est géométrique et justifie. Si oui, donne sa raison et son premier terme.

1. a$u_n = 5 \times 2^{n+1}$.
2. b$v_n = 3^n + 1$.
3. c$w_n = \dfrac{7}{4^n}$.
4. d$t_n = n \times 3^n$. Léo calcule $\frac{t_{n+1}}{t_n}$ pour conclure : sa méthode marche-t-elle pour tout $n$ ? Justifie.

Ex. 20★★★Avec une suite auxiliaire — On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 20$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}8 \times u_n + 10$.

1. aCalcule $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ? Justifie.
2. bOn pose $v_n = u_n - 50$ pour tout entier naturel $n$. Démontre que $(v_n)$ est géométrique ; donne sa raison et $v_0$.
3. cExprime $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
4. dCalcule $u_{10}$ (arrondi à $0{,}01$).

Ex. 21★★★Sens de variation et comportement de qⁿ — Les suites sont définies pour tout entier naturel $n$. Le tableau donne des valeurs de $0{,}9^n$ arrondies à $10^{-4}$.

1. aDonne le sens de variation de la suite $a_n = -2 \times 1{,}5^n$. Justifie.
2. bDonne le sens de variation de la suite $b_n = 4 \times 0{,}7^n$. Justifie.
3. cPour $c_n = 5 \times (-0{,}4)^n$, calcule $c_0$, $c_1$ et $c_2$. La suite $(c_n)$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.
4. dNoé affirme : « quand $n$ devient grand, $0{,}9^n$ se rapproche de $0{,}9$ ». A-t-il raison ? Justifie avec le tableau.

Ex. 22★★★Suite auxiliaire : de la démonstration à la conjecture — On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}6 \times u_n + 20$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 50$. Le tableau donne des valeurs de $0{,}6^n$ arrondies à $10^{-4}$.

1. aDémontre que la suite $(v_n)$ est géométrique. Précise sa raison et son premier terme.
2. bHugo écrit : « $v_0 = 10$, donc $v_n = 10 \times 0{,}6^n$ et $u_n = 10 \times 0{,}6^n - 50$ ». Corrige ses erreurs, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
3. cÉtudie le sens de variation de $(v_n)$, puis déduis-en celui de $(u_n)$.
4. dÀ l'aide du tableau, conjecture le comportement de $u_n$ quand $n$ devient grand. Un terme $u_n$ peut-il dépasser 50 ? Justifie.

Ex. 23★★★Deux raisons possibles — $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$. On sait que $u_1 = -6$ et $u_3 = -54$.

1. aDétermine les valeurs possibles de la raison $q$.
2. bPour chaque valeur trouvée, calcule $u_0$, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
3. cOn sait en plus que $(u_n)$ est croissante ou décroissante. Détermine $q$, puis le sens de variation de $(u_n)$. Justifie.
4. dInès écrit « $u_6 = u_3 \times 3^6$ » et Lou écrit « $u_n = (-6)^n$ ». Explique leurs erreurs, puis calcule $u_6$.

Ex. 24★★★Une suite et ses suites associées — On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = -5$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $u_n = 1{,}2 \times u_{n-1}$.

1. aCalcule $u_1$ et $u_2$. Démontre que $(u_n)$ est géométrique, puis donne sa raison et son terme général.
2. bKenza affirme : « La raison est supérieure à 1, donc $(u_n)$ est croissante. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cPour tout entier naturel $n$, on pose $t_n = u_n + 5$. La suite $(t_n)$ est-elle géométrique ? Justifie.
4. dPour tout entier naturel $n$, on pose $s_n = (-1)^n \times u_n$. Démontre que $(s_n)$ est géométrique, puis étudie son sens de variation.

Ex. 25★★★Sommes 1 + q + … + qⁿ — Dans chaque calcul, cite la formule utilisée et le nombre de termes.

1. aCombien de termes compte la somme $1 + q + q^2 + \cdots + q^{12}$ ?
2. b$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^8$.
3. c$1 + (-2) + (-2)^2 + \cdots + (-2)^7$.
4. d$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{10}}$, sous forme de fraction.
5. e$1 + 5 + 5^2 + \cdots + 5^6$, en écrivant d'abord le quotient avec un dénominateur positif.

Ex. 26★★★Termes consécutifs d'une suite géométrique — $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $q = 2$. $(v_n)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0 = 6$ et de raison $1$.

1. aCombien de termes compte la somme $u_2 + u_3 + \cdots + u_9$ ?
2. bCalcule $u_0 + u_1 + \cdots + u_6$.
3. cCalcule $u_3 + u_4 + \cdots + u_9$.
4. dCalcule $u_9$, puis $u_0 + u_1 + \cdots + u_9$. Ces deux nombres sont-ils égaux ? Justifie.
5. eCalcule $v_0 + v_1 + \cdots + v_{14}$.

Ex. 27★★★Une somme donnée par ses termes — On considère $S = 2 + 6 + 18 + \cdots + 4\,374$, où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre.

1. aDonne le premier terme et la raison de cette somme géométrique.
2. bÉcris $4\,374$ sous la forme $2 \times 3^k$, puis déduis-en le nombre de termes de $S$.
3. cCalcule $S$.
4. dLina écrit $S = 2 \times \frac{1 - 3^7}{1 - 3} = 2\,186$. Repère son erreur. Quelle somme a-t-elle calculée ?

Ex. 28★★★Un programme qui cumule — $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $4$. Ben écrit la fonction suivante. def somme(n): u = 6 S = 0 for k in range(n + 1): S = S + u u = 4 * u return S

1. aFais tourner à la main somme(2) : donne les valeurs successives de S et u, puis le résultat.
2. bQuelle somme de termes de $(u_n)$ renvoie somme(n) ? Combien compte-t-elle de termes ?
3. cDéduis-en, sans programme, la valeur de somme(5).
4. dMalik inverse les lignes 5 et 6. Que renvoie alors somme(2) ? Quelle somme de termes est calculée ?

Ex. 29★★★Démontrer la formule de la somme — Soit $q$ un réel et $n$ un entier naturel. On note $S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$.

1. aÉcris $q S_n$ sous la forme d'une somme de puissances de $q$.
2. bCalcule $S_n - q S_n$ et justifie la simplification.
3. cOn suppose $q \neq 1$. Déduis-en une expression de $S_n$ et dis où sert l'hypothèse $q \neq 1$.
4. dPour $q = 1$, Théo écrit $S_n = \frac{1 - 1^{n+1}}{1 - 1}$. Explique pourquoi c'est faux, puis donne $S_{20}$ dans ce cas.
5. eCalcule $1 + 0{,}9 + 0{,}9^2 + \cdots + 0{,}9^9$, arrondi au centième.

Ex. 30★★★Les kilomètres de Mila — Mila s'entraîne à vélo. La semaine 0, elle parcourt 40 km. Ensuite, sa distance augmente de 10 % chaque semaine. On note $u_n$ la distance (en km) parcourue la semaine $n$, avec $u_0 = 40$.

1. aJustifie que $(u_n)$ est géométrique. Donne sa raison, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
2. bCalcule la distance totale parcourue de la semaine 3 à la semaine 8 incluses. Arrondis au centième.
3. cNolan calcule ce total avec $40 \times \frac{1 - 1{,}1^8}{1 - 1{,}1}$. Repère ses deux erreurs et dis quelle somme il a calculée.
4. dBen écrit la fonction ci-dessous. Explique ce que contient S à la fin de chaque passage dans la boucle, puis ce que renvoie seuil(A). def seuil(A): n = 0 u = 40 S = 40 while S < A: n = n + 1 u = 1.1 * u S = S + u return n
5. eDétermine par le calcul la valeur renvoyée par seuil(1000) et interprète-la. Cette semaine-là, Mila a-t-elle roulé 1 000 km ? Justifie.

Ex. 31★★★Le bidon d'Hugo — Hugo verse 1 L d'eau dans un bidon à la minute 0. Ensuite, à chaque minute, il verse la moitié de ce qu'il a versé la minute précédente. Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ le volume (en L) versé de la minute 0 à la minute $n$.

1. aCombien de termes compte $S_n$ ? Exprime $S_n$ en fonction de $n$ en citant la formule, puis simplifie ton résultat.
2. bDonne la valeur exacte de $S_6$ sous forme d'une fraction.
3. cPour tout entier naturel $n$, calcule $S_{n+1} - S_n$. Déduis-en le sens de variation de la suite $(S_n)$.
4. dHugo affirme : « En versant assez longtemps, le bidon finira par contenir plus de 2 L. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eDétermine par tâtonnement le plus petit entier naturel $n$ tel que $S_n \geqslant 1{,}999$.

Ex. 32★★★Une somme guidée par une suite auxiliaire — La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n - 4$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 2$ et $T_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$.

1. aDémontre que $(v_n)$ est géométrique. Précise sa raison et son premier terme.
2. bDéduis-en $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
3. cCalcule $v_0 + v_1 + \cdots + v_n$ en fonction de $n$.
4. dInès écrit : « $T_n = 5 \times \frac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3}$ ». A-t-elle raison ? Justifie à l'aide de $T_1$.
5. eDéduis-en $T_n$ en fonction de $n$, puis calcule $T_5$.

Ex. 33★★★Du pourcentage au coefficient multiplicateur — Une grandeur évolue d'un pourcentage donné. Réponds à chaque question.

1. aLa grandeur augmente de $7\,\%$ à chaque période. Donne la raison $q$ de la suite géométrique de ses valeurs.
2. bTom affirme : « Baisser de $7\,\%$, c'est multiplier par $0{,}07$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cUn article coûte $250$ €. Son prix augmente de $0{,}8\,\%$. Calcule son nouveau prix.
4. dUne grandeur est multipliée par $0{,}73$. Traduis cette évolution en pourcentage.
5. eUne grandeur est multipliée par $1{,}6$. Traduis cette évolution en pourcentage.
6. fLina affirme qu'un prix peut baisser de $120\,\%$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Vélos en libre-service à Rennes — À Rennes, $3\,200$ vélos en libre-service sont proposés en 2026. Ce nombre augmente de $6\,\%$ par an. On note $v_n$ le nombre de vélos l'année $2026 + n$.

1. aDonne $v_0$, puis calcule $v_1$.
2. bExprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Déduis-en la nature de la suite $(v_n)$ et sa raison.
3. cExprime $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
4. dMalo écrit : « En 2034, il y aura $3\,200 \times 1{,}06^{2034}$ vélos. » Corrige son erreur.
5. eCalcule le nombre de vélos prévu en 2034, arrondi à l'unité.
6. fCalcule le pourcentage de hausse entre 2026 et 2034, arrondi à $0{,}01\,\%$.

Ex. 35★★★Taux successifs : vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul de coefficients multiplicateurs.

1. a« À Lille, un loyer qui augmente de $3\,\%$ par an pendant $5$ ans augmente de $15\,\%$ au total. »
2. b« Deux hausses successives de $10\,\%$ équivalent à une hausse de $20\,\%$. »
3. c« Une baisse de $20\,\%$ suivie d'une hausse de $20\,\%$ ramène au prix de départ. »
4. d« Pour compenser une baisse de $20\,\%$, il faut ensuite une hausse de $25\,\%$. »

Ex. 36★★★Intérêts simples ou intérêts composés ? — Le 1er janvier 2026, Inès place $2\,500$ €. Offre A : intérêts simples ; chaque année, on ajoute $3{,}5\,\%$ du capital initial. Offre B : intérêts composés à $3{,}2\,\%$ par an. On note $a_n$ et $b_n$ les capitaux (en €) au 1er janvier $2026 + n$.

1. aDémontre que la suite $(a_n)$ est arithmétique. Exprime $a_n$ en fonction de $n$.
2. bDémontre que la suite $(b_n)$ est géométrique. Exprime $b_n$ en fonction de $n$.
3. cCalcule $a_{10}$ et $b_{10}$, au centime près.
4. dLéo arrondit $1{,}032^{10}$ à $1{,}37$ avant de multiplier par $2\,500$. Quel résultat obtient-il ? Commente.
5. eÀ l'aide d'un tableau de valeurs, détermine la première année où l'offre B dépasse l'offre A.

Ex. 37★★★Quand le capital de Nora aura-t-il doublé ? — Le 1er janvier 2026, Nora place $1\,500$ € à intérêts composés, au taux de $2{,}8\,\%$ par an. On note $c_n$ son capital (en €) $n$ années après 2026. Elle veut savoir quand son capital aura doublé.

1. aExprime $c_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
2. bJustifie qu'il existe un rang $n$ à partir duquel $c_n \geqslant 3\,000$.
3. cVoici le programme de Sacha. Repère et corrige ses deux erreurs. def doublement(): n = 0 c = 1500 while c > 3000: c = c * 0.028 n = n + 1 return n
4. dDétermine l'entier renvoyé par le programme corrigé, en le justifiant par le calcul de deux termes de la suite.
5. eAvec des intérêts simples au même taux, combien d'années faudrait-il pour doubler le capital ? Compare.

Ex. 38★★★Taux mensuel ou taux annuel ? — Le 1er janvier 2026, à Strasbourg, Yanis place $4\,000$ €. Offre M : intérêts composés de $0{,}25\,\%$ par mois. Offre A : intérêts composés de $3\,\%$ par an. On note $m_k$ le capital (en €) avec l'offre M $k$ mois après le 1er janvier 2026, et $a_n$ le capital avec l'offre A $n$ années après.

1. aJustifie que $(m_k)$ est géométrique. Donne sa raison, puis $m_k$ en fonction de $k$, pour tout entier naturel $k$.
2. bCalcule $m_{12}$ au centime près. Yanis affirme : « $0{,}25\,\%$ par mois, c'est $3\,\%$ par an ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cOn pose $b_n = m_{12n}$. Démontre que $(b_n)$ est géométrique et donne sa raison arrondie à $10^{-5}$. Compare $a_{10}$ et $b_{10}$.
4. dÉcris une fonction Python seuil() qui renvoie le plus petit $k$ tel que $m_k \geqslant 5\,000$. Donne ce rang en années et en mois.

Ex. 39★★★La cote d'une voiture : modèle linéaire ou exponentiel ? — En 2026, à Nantes, Hugo achète une voiture $24\,000$ €. Modèle G : elle perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Modèle L : elle perd $2\,000$ € chaque année. On note $g_n$ et $l_n$ sa valeur (en €) en $2026 + n$ selon chaque modèle.

1. aExprime $g_n$ et $l_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. Précise la nature de chaque suite et sa raison.
2. bCalcule $l_{12}$ et $l_{14}$. Le modèle L est-il réaliste sur 14 ans ? Justifie. Le modèle G peut-il donner une valeur nulle ?
3. cComplète le tableau (valeurs arrondies à l'euro), puis donne le plus petit entier $n$ tel que $g_n > l_n$ et l'année correspondante.

   $n$	8	9	10
   $g_n$	…	…	…
   $l_n$	…	…	…

4. dUn vendeur affirme : « En 7 ans, avec le modèle G, la voiture perd $15 \times 7 = 105\,\%$ de sa valeur, donc elle ne vaut plus rien. » A-t-il raison ? Justifie et donne la baisse réelle à $0{,}1\,\%$ près.

Ex. 40★★★Deux contrats de travail pour Chloé — À Bordeaux, Chloé hésite entre deux contrats. Son salaire annuel en 2026 est de $28\,000$ € dans les deux cas. Contrat 1 : $+2\,\%$ par an. Contrat 2 : $+600$ € par an. On note $s_n$ et $t_n$ son salaire annuel (en €) en $2026 + n$ avec les contrats 1 et 2.

1. aExprime $s_n$ et $t_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$, en précisant la nature de chaque suite.
2. bCalcule la hausse du salaire de 2026 à 2027, puis de 2035 à 2036, avec chaque contrat. Que remarques-tu ?
3. cÉcris une fonction Python premier_rang() qui renvoie le plus petit $n \geqslant 1$ tel que $s_n > t_n$. Donne ce rang et l'année correspondante.
4. dCalcule, au centime près, le total perçu de 2026 à 2035 inclus avec chaque contrat. Précise le nombre de termes.
5. eReprends la question précédente de 2026 à 2040 inclus. Quel contrat Chloé doit-elle choisir ? Justifie.

Ex. 41★★★Seuils par le calcul — Pour chaque suite arithmétique, détermine le plus petit entier naturel $n$ qui vérifie l'inégalité. Vérifie avec les deux termes qui encadrent le seuil.

1. a$u_n = 150 + 35n$ et $u_n \geqslant 600$.
2. b$v_n = 84 + 6n$ et $v_n > 132$.
3. c$w_n = 2 + 0{,}5n$ et $w_n \geqslant 9$.
4. d$t_n = 900 - 45n$ et $t_n < 300$.
5. e$a_n = 3{,}5 + 0{,}8n$ et $a_n \geqslant 15$.
6. f$b_n = 47 + 12(n - 1)$ pour tout entier $n \geqslant 1$, et $b_n \geqslant 500$.

Ex. 42★★★Arithmétique ou géométrique ? — Pour chaque situation, dis si la suite est arithmétique ou géométrique en justifiant. Donne sa raison et son terme général, puis calcule le terme demandé.

1. aUne plante mesure 18 cm au jour 0 et grandit de 1,5 cm par jour. $h_n$ est sa hauteur au jour $n$. Calcule $h_{20}$.
2. bUne ville compte 42 000 habitants en 2026, et sa population augmente de 3 % par an. $p_n$ est la population en $2026 + n$. Donne la population en 2034, à l'unité.
3. cUn club d'échecs compte 28 membres en janvier et en accueille 5 nouveaux chaque mois. $c_1$ est le nombre de membres en janvier. Calcule le nombre de membres en décembre.
4. dUn patient reçoit 80 mg d'un médicament, et la quantité dans le sang baisse de 15 % par heure. $m_n$ est la quantité après $n$ heures. Calcule $m_6$ au centième.
5. eUne voiture achetée 14 000 € perd 1 100 € de valeur chaque année. $v_n$ est sa valeur après $n$ années. Calcule $v_7$.

Ex. 43★★★Les gradins d'une salle de concert — Les gradins d'une salle de concert de Nantes ont 18 rangées. La 1re rangée compte 24 sièges, et chaque rangée en compte 3 de plus que la précédente. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $s_n$ le nombre de sièges de la rangée $n$.

1. aJustifie que la suite $(s_n)$ est arithmétique, puis exprime $s_n$ en fonction de $n$.
2. bCombien de sièges compte la 18e rangée, la dernière ?
3. cCalcule le nombre total de sièges de la salle.
4. dOn garde le même motif. Calcule le nombre total de sièges avec 21 rangées, puis avec 22 rangées. Déduis-en le nombre minimal de rangées pour avoir au moins 1 200 sièges.

Ex. 44★★★La pépinière et la boucle while — En 2026, Margaux a 1 500 arbustes dans sa pépinière d'Angers. Chaque année, son stock augmente de 6 %. On note $a_n$ le nombre d'arbustes en $2026 + n$. Pour savoir en quelle année le stock dépassera 3 000 arbustes, un élève écrit : def seuil(): n = 0 a = 1500 while a > 3000: n = n + 1 a = a * 1.06 return n

1. aJustifie que la suite $(a_n)$ est géométrique. Donne sa raison et exprime $a_n$ en fonction de $n$.
2. bExplique pourquoi ce programme renvoie 0, puis corrige la ligne fautive.
3. cCalcule $a_{11}$ et $a_{12}$ à la calculatrice, à l'unité. Déduis-en ce que renvoie le programme corrigé.
4. dEn quelle année le stock dépassera-t-il 3 000 arbustes ?

Ex. 45★★★Deux contrats pour Chloé — Chloé est embauchée à Lille en 2026 et hésite entre deux contrats. Contrat A : 2 400 € par mois en 2026, puis une hausse de 50 € par an. Contrat B : 2 350 € par mois en 2026, puis une hausse de 2 % par an. On note $a_n$ et $b_n$ le salaire mensuel en $2026 + n$ avec chaque contrat.

1. aPour chaque contrat, dis si la suite est arithmétique ou géométrique en justifiant. Exprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
2. bCalcule le salaire mensuel avec chaque contrat en 2031, au centime.
3. cCalcule $a_n$ et $b_n$ pour $n = 12$, $13$ et $14$, au centime près.
4. dDéduis-en l'année à partir de laquelle le salaire mensuel du contrat B dépasse celui du contrat A.
5. eChloé affirme : « De 2026 à 2040, la somme des $b_n$ dépasse celle des $a_n$. » Calcule ces deux sommes. A-t-elle raison ?

Ex. 46★★★Les carpes d'un étang de Sologne — En 2026, un étang de Sologne compte $8\,000$ carpes. Chaque année, 20 % des carpes disparaissent, puis l'association de pêche en réintroduit 600. On note $p_n$ le nombre de carpes en $2026 + n$, donc $p_0 = 8\,000$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = p_n - 3\,000$.

1. aJustifie que pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0{,}8\,p_n + 600$. Calcule $p_1$ et $p_2$, puis déduis-en que $(p_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. bDémontre que $(v_n)$ est géométrique en précisant sa raison et son premier terme, puis exprime $p_n$ en fonction de $n$.
3. cPour obtenir le premier rang $n$ tel que $p_n < S$, Yanis écrit le programme ci-dessous. Explique pourquoi annee(3500) ne renvoie pas ce rang, puis corrige le programme.def annee(S): n = 1 p = 8000 while p >= S: n = n + 1 p = 0.8 * p + 600 return n
4. dDéduis-en l'année où l'étang compte pour la première fois moins de $3\,500$ carpes. Vérifie avec les deux termes qui encadrent le seuil.
5. eCalcule $0{,}8^{30}$ et $p_{30}$ à la calculatrice. Conjecture le comportement de $0{,}8^n$ quand $n$ devient grand, puis le nombre de carpes à long terme.

Ex. 47★★★La tirelire de Lucas — À Bordeaux, Lucas commence à épargner en janvier 2027. Ce mois-là, il verse 30 €, puis chaque mois il verse 6 € de plus que le mois précédent. On note $v_n$ le versement du $n$-ième mois, donc $v_1 = 30$ (janvier 2027), et $T_n$ le total versé à la fin du $n$-ième mois.

1. aNoa écrit : « $(v_n)$ est arithmétique de raison 6, donc $v_n = 30 + 6n$ ». Cette affirmation est-elle correcte ? Justifie, puis donne l'expression correcte de $v_n$.
2. bDétermine par le calcul le premier mois (mois et année) où le versement de Lucas atteint ou dépasse 100 €.
3. cCalcule le total versé à la fin de décembre 2027. Explique pourquoi ce total n'est pas égal à $v_{12}$.
4. dExprime $T_n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$.
5. eLucas vise $2\,000$ €. À l'aide d'un tableau de valeurs de $T_n$, détermine le mois et l'année où son total atteint ce montant pour la première fois.

Ex. 48★★★Deux plans pour une usine de Dunkerque — En 2026, une usine de Dunkerque émet $50\,000$ tonnes de CO₂. Avec le plan A, ses émissions baissent de 4 % par an. On note $e_n$ les émissions (en tonnes) de l'année $2026 + n$ avec le plan A.

1. aJustifie que $(e_n)$ est géométrique. Exprime $e_n$ en fonction de $n$, puis donne le sens de variation de $(e_n)$.
2. bSoit $q$ un réel différent de 1. Démontre que pour tout entier naturel $n$, $1 + q + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
3. cDéduis-en le total émis de 2026 à 2035 inclus avec le plan A, arrondi à la tonne.
4. dÀ l'aide d'un tableau de valeurs à la calculatrice, détermine la première année où les émissions du plan A passent sous $30\,000$ t. Vérifie avec deux termes.
5. eAvec le plan B, les émissions valent aussi $50\,000$ t en 2026, puis baissent de $2\,000$ t par an. Quel plan émet le moins au total de 2026 à 2035 ? Justifie.