Terminale maths complémentaires / Statistiques à deux variables

Ex. 1★★★Automatismes : moyenne, variance, écart type — Réponds sans calculatrice.

1. aCalcule la moyenne de la série $12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$.
2. bCalcule la variance de la série $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$ par la méthode des écarts.
3. cUne série de $10$ valeurs a pour moyenne $7$. La somme des carrés des valeurs vaut $520$. Calcule sa variance.
4. dUne série de longueurs a pour variance $2{,}25$ cm². Donne son écart type, avec l'unité.
5. eUne série a pour moyenne $20$ et pour écart type $3$. On ajoute $5$ à chaque valeur. Donne la nouvelle moyenne et le nouvel écart type.
6. fUne série a pour moyenne $\overline{x} = 4$ et pour écart type $\sigma_x = 1{,}5$. On pose $y_i = -0{,}5x_i + 10$. Donne $\overline{y}$ et $\sigma_y$.

Ex. 2★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. a« La variance de la série $2$ ; $4$ ; $6$ est la moyenne de $4$, $16$ et $36$. »
2. b« Si les données sont des masses en kg, leur variance s'exprime en kg. »
3. c« Pour toute série, la moyenne des carrés est supérieure ou égale au carré de la moyenne. »
4. d« Si on multiplie toutes les valeurs par $3$, la variance est multipliée par $3$. »
5. e« Deux séries qui ont la même moyenne ont le même écart type. »
6. f« Si une série a un écart type nul, toutes ses valeurs sont égales. »

Ex. 3★★★Une série avec effectifs — Dans un club de lecture de Rodez, $20$ élèves ont noté combien de livres ils ont lus en un mois.

1. aCalcule le nombre moyen de livres lus $\overline{x}$.
2. bAmine trouve $\overline{x} = 2$ en faisant la moyenne de $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$. Explique son erreur.
3. cCalcule $\sum n_i x_i^2$.
4. dDéduis-en $V(x)$ avec la formule de König-Huygens.
5. eDonne l'écart type $\sigma_x$, arrondi au centième.

Ex. 4★★★Trois erreurs d'élèves — Ben fait peser cinq pommes, en grammes : $152$ ; $148$ ; $160$ ; $145$ ; $155$. La somme des carrés des masses vaut $115\,658$.

1. aCalcule la moyenne, puis la variance par la méthode des écarts.
2. bLina divise la somme des carrés des écarts par $4$. Quelle valeur trouve-t-elle ? Explique son erreur.
3. cNolan applique König-Huygens en tapant « (somme des carrés − carré de la moyenne) $\div 5$ ». Quel résultat obtient-il ? Corrige son calcul.
4. dSami arrondit la variance à l'unité, puis en prend la racine carrée. Quel écart type annonce-t-il ? Donne l'écart type correct, arrondi au centième.

Ex. 5★★★Températures : changer d'unité pour comparer — Températures maximales relevées à Annecy cinq jours de suite, en °C : $12$ ; $15$ ; $14$ ; $11$ ; $13$. À Clermont-Ferrand, les mêmes jours, une station annonce une moyenne de $57{,}2$ °F et un écart type de $4{,}5$ °F. On rappelle que $F = 1{,}8C + 32$. Arrondis au centième.

1. aCalcule la moyenne et l'écart type des températures d'Annecy, en °C.
2. bDéduis-en la moyenne et l'écart type des températures d'Annecy, en °F.
3. cPour convertir l'écart type de Clermont en °C, Inès calcule $\frac{4{,}5 - 32}{1{,}8}$. Corrige-la, puis donne la moyenne et l'écart type de Clermont en °C.
4. dCompare les températures des deux villes sur ces cinq jours.

Ex. 6★★★La moyenne, valeur la plus proche de toute la série — Léna note le temps d'attente de son tram à Grenoble, en minutes, sur cinq matins : $4$ ; $7$ ; $5$ ; $9$ ; $10$. Pour tout réel $t$, on pose $f(t) = \frac{1}{5}\left[(4-t)^2 + (7-t)^2 + (5-t)^2 + (9-t)^2 + (10-t)^2\right]$. Donne les arrondis au centième.

1. aDéveloppe et réduis $f(t)$ sous la forme $\alpha t^2 + \beta t + \gamma$.
2. bDétermine la valeur de $t$ pour laquelle $f(t)$ est minimal, puis ce minimum. Que représentent ces deux nombres pour la série ?
3. cCalcule $f(0) - f(7)$ et interprète $f(0)$. Quelle formule du cours retrouves-tu ?
4. dLéna affirme que l'écart type des temps vaut $\sqrt{f(0)}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis donne $\sigma_x$ avec son unité.
5. ePour une série quelconque $x_1, \ldots, x_n$, montre que $f(t) = \frac{1}{n}\sum (x_i - t)^2$ est minimale en $t = \overline{x}$. Déduis-en que $\frac{1}{n}\sum x_i^2 \geqslant \overline{x}^{\,2}$.

Ex. 7★★★Portions de fromage : deux lignes de conditionnement — Une fromagerie de Savoie conditionne des portions de $250$ g. Sur la ligne A, Maëlle pèse $20$ portions (masse $m$ en grammes). Donne les arrondis au centième.

1. aOn pose $x = m - 250$. Calcule $\overline{x}$, puis déduis-en $\overline{m}$ sans repasser par les masses.
2. bCalcule $V(x)$ par König-Huygens. Pourquoi taper $\overline{x}^{\,2}$ sans parenthèses à la calculatrice donne-t-il un résultat faux ?
3. cJustifie que $\sigma_m = \sigma_x$, puis calcule $\sigma_m$ avec son unité.
4. dUne élève affirme : « avec $d = 250 - m$, la masse manquante, on a $\sigma_d = -\sigma_m$ ». Corrige-la, puis donne $\overline{d}$ et $\sigma_d$.
5. eSur la ligne B : $\overline{m} = 250{,}1$ g et $\sigma_m = 3{,}4$ g. Une ligne est conforme si $\overline{m} \in [249 ; 251]$ et $\sigma_m \leqslant 2{,}5$ g. Compare les deux lignes et conclus.

Ex. 8★★★Automatismes : le point moyen d'une série — À Sète, un glacier relève sur cinq jours la température maximale $x_i$ (en °C) et le nombre $y_i$ de cornets vendus.

1. aCalcule la température moyenne $\overline{x}$.
2. bCalcule le nombre moyen de cornets vendus $\overline{y}$.
3. cDonne les coordonnées du point moyen $G$ de la série.
4. dCalcule la médiane des $x_i$ et celle des $y_i$. Le point des médianes est-il le point $G$ ? Justifie.
5. eLe point $G$ est-il un point du nuage ? Justifie.
6. fLe glacier s'est trompé pour vendredi : il a vendu 84 cornets, et non 74. Quelle coordonnée de $G$ change ? Donne le nouveau point moyen.

Ex. 9★★★Automatismes : vrai ou faux sur le nuage — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. a« Quand un nuage de points est allongé, il existe forcément un lien affine entre $x$ et $y$. »
2. bL'axe des ordonnées d'un graphique commence à 480. Le premier point est en $y = 492$, le dernier, tout en haut, en $y = 510$. « $y$ a plus que doublé. »
3. c« Le point moyen de la série $(2\,;10)$, $(4\,;14)$, $(6\,;30)$ est $(4\,;14)$, le point du milieu. »
4. d« Si on ajoute à une série un point confondu avec son point moyen $G$, le point moyen ne change pas. »
5. e« Si on ajoute 3 à chaque valeur $y_i$ sans changer les $x_i$, le point moyen monte de 3. »
6. f$x$ désigne le rang de l'année, avec $x = 1$ pour 2020. « L'année 2026 correspond à $x = 6$. »

Ex. 10★★★Autopartage à Grenoble : lire un nuage — Un service d'autopartage de Grenoble suit son nombre d'abonnés $y$ (en milliers), $x$ désignant le rang de l'année, avec $x = 0$ pour 2019. Arrondis au centième.

1. aLis sur le nuage le nombre d'abonnés en 2022.
2. bDécris le nuage (forme, sens, point isolé) en comparant les variations d'une année sur l'autre. Un ajustement affine te paraît-il adapté ? Justifie.
3. cCalcule les coordonnées du point moyen $G$.
4. dÉlise affirme : « Le point de 2024 est tout en haut, celui de 2020 tout en bas : les abonnés ont été multipliés par plus de 8. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 11★★★Course à pied à Annecy : corrige l'élève — Dans un club d'Annecy, on relève pour cinq coureurs leur entraînement $x_i$ (en heures par semaine) et leur temps $y_i$ sur 10 km (en minutes).

1. aQuelle variable faut-il placer en abscisse ? Justifie, puis corrige la première erreur de Nolan.
2. bExplique l'erreur de Nolan sur $G$, puis calcule les coordonnées exactes de $G$.
3. cLe nuage est décroissant. Traduis cette tendance dans le contexte.
4. dLe coureur B dit : « Sur le graphique, mon point est au-dessus de $G$, donc je cours mieux que la moyenne du club. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Engrais près de Chartres : sous-groupes et point ajouté — Une coopérative près de Chartres teste sur six parcelles une dose d'engrais $x_i$ (en kg/ha) et relève le rendement $y_i$ en blé (en quintaux par hectare). Arrondis au centième.

1. aCalcule les coordonnées du point moyen $G$ des six parcelles.
2. bCalcule le point moyen $G_1$ des trois parcelles les moins fertilisées, puis le point moyen $G_2$ des trois autres.
3. cOn ajoute une septième parcelle : 160 kg/ha, 74 q/ha. Calcule le nouveau point moyen $G'$ des sept parcelles.
4. dCompare les variations de rendement d'une dose à la suivante pour les sept parcelles. Un ajustement affine te paraît-il adapté ? Justifie.

Ex. 13★★★Application nantaise : un nuage qui se courbe — Une start-up nantaise suit le nombre $y_i$ d'utilisateurs actifs de son application (en milliers). $x_i$ désigne le rang du trimestre, avec $x = 1$ pour le premier trimestre 2024. Arrondis au centième.

1. aDécris le nuage (forme, sens, point isolé). Calcule les écarts successifs $y_{i+1} - y_i$, puis dis si un ajustement affine te paraît adapté. Justifie.
2. bCalcule les quotients successifs $\frac{y_{i+1}}{y_i}$, arrondis au centième. Que constates-tu ? Quel type de modèle cela suggère-t-il ?
3. cLéa affirme que le point moyen est le point du 4e trimestre, puisqu'il est au milieu du tableau. Calcule $G$, puis corrige son affirmation.
4. dOn ajoute le trimestre de rang $x = 8$ : de quel trimestre s'agit-il ? Combien d'utilisateurs faut-il alors pour que l'ordonnée du point moyen passe à $5{,}2$ ? Donne aussi sa nouvelle abscisse.

Ex. 14★★★Vélos électriques d'occasion à Rennes : sous-groupes et point ajouté — Inès, revendeuse à Rennes, relève l'âge $x_i$ (en années) et le prix de vente $y_i$ (en euros) de huit vélos électriques d'occasion. Arrondis au centième.

1. aEn t'appuyant sur le tableau, décris l'allure du nuage (sens, forme, point isolé), puis calcule les coordonnées du point moyen $G$.
2. bMalo prend comme point moyen le milieu des points extrêmes $(1\,;1\,900)$ et $(8\,;600)$. Calcule ce point et explique pourquoi Malo se trompe.
3. cCalcule le point moyen $G_1$ des vélos V1 à V4, puis le point moyen $G_2$ des vélos V5 à V8. Démontre que $G$ est le milieu de $[G_1G_2]$ et explique pourquoi c'est le cas ici.
4. dOn ajoute un neuvième vélo, âgé de $10$ ans. Inès affirme que seule l'abscisse de $G$ va changer. Quel devrait être le prix de ce vélo pour qu'elle ait raison ? Ce prix est-il vraisemblable ? Justifie.
5. eEn réalité, ce vélo se vend $450$ €. Calcule le point moyen $G'$ des neuf vélos.

Ex. 15★★★Automatismes : a et b à partir des indicateurs — Questions indépendantes, sans calculatrice. Dans chaque cas, il s'agit de la droite des moindres carrés (droite de régression de $y$ en $x$).

1. aOn donne $\overline{x} = 4$, $\overline{y} = 20$, $\mathrm{cov}(x, y) = 6$ et $V(x) = 2{,}5$. Détermine l'équation de la droite.
2. bUne droite des moindres carrés a pour coefficient directeur $a = -3$, et le point moyen de la série est $G(5\,;14)$. Calcule $b$.
3. cOn donne $\sigma_x = 2$, $\mathrm{cov}(x, y) = 10$, $\overline{x} = 3$ et $\overline{y} = 40$. Calcule $a$ puis $b$.
4. dOn a $V(x) = 4$, $V(y) = 9$ et $\mathrm{cov}(x, y) = 5$. Hugo écrit $a = \frac{9}{4}$. A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn a $a = \frac{7}{3}$, $\overline{x} = 2$ et $\overline{y} = 10$. Calcule $b$ au centième, puis refais le calcul en arrondissant d'abord $a$ à $2{,}33$. Conclus.
6. fLe point moyen d'une série est $G(6\,;10)$. Vrai ou faux : $y = 1{,}5x + 2$ peut être la droite des moindres carrés de cette série. Justifie.

Ex. 16★★★Automatismes : résidus et estimations — Questions indépendantes, sans calculatrice. Le résidu d'un point $(x_i\,;y_i)$ est $e_i = y_i - (ax_i + b)$.

1. aPour la droite $y = 2x + 3$, calcule le résidu du point $(5\,;14)$.
2. bPour la même droite, calcule le résidu du point $(4\,;9)$. Ce point est-il au-dessus ou en dessous de la droite ?
3. cPour la droite des moindres carrés d'une série de 4 points, trois résidus valent $0{,}4$ ; $-1{,}2$ et $0{,}5$. Calcule le quatrième.
4. dLes résidus d'un ajustement valent $1$ ; $-2$ ; $0{,}5$ et $0{,}5$. Calcule la somme de leurs carrés.
5. eVrai ou faux : la droite des moindres carrés est la droite qui rend minimale la somme des résidus. Justifie.
6. fLa droite de régression de $y$ en $x$ est $y = 0{,}8x + 12$. Estime $y$ pour $x = 15$, puis la valeur de $x$ pour laquelle le modèle prévoit $y = 20$.

Ex. 17★★★Publicité et chiffre d'affaires — Élodie tient un glacier à Sète. Sur 4 mois, elle note son budget publicitaire $x_i$ (en centaines d'euros) et son chiffre d'affaires mensuel $y_i$ (en milliers d'euros). Calculs à la main ; arrondis au millième.

1. aCalcule les coordonnées du point moyen $G$.
2. bCalcule $\mathrm{cov}(x, y)$ et $V(x)$.
3. cDéduis-en l'équation de la droite des moindres carrés ($b$ calculé avec $a$ non arrondi). Contrôle qu'elle passe par $G$.
4. dEstime le chiffre d'affaires pour un budget de 700 €.
5. eQuel budget le modèle prévoit-il pour atteindre 50 milliers d'euros ? Cette estimation est-elle fiable ?

Ex. 18★★★L'erreur de Chloé — Chloé étudie le temps de révision $x$ (en h) et le score $y$ (sur 100) de lycéens à un test blanc. On a $\overline{x} = 6$, $\overline{y} = 50$, $\sigma_x = 2$ et $\mathrm{cov}(x, y) = 8$. Elle écrit : « $a = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{\sigma_x} = 4$ et $b = \overline{y} + a\overline{x} = 74$, donc $y = 4x + 74$. »

1. aVérifie si la droite de Chloé passe par le point moyen $G$. Que peux-tu en conclure ?
2. bIdentifie les deux erreurs de Chloé.
3. cDétermine l'équation correcte de la droite des moindres carrés et vérifie qu'elle passe par $G$.
4. dAvec la droite correcte, estime le score d'un lycéen qui révise 8 h.
5. eUn ami de Chloé affirme : « Puisqu'on a trouvé une droite d'ajustement, les points du nuage sont alignés. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Deux droites en concurrence — Un club de sport d'Annecy relève sa consommation d'électricité $y$ (en MWh, valeurs entières) pour les années de rang $x = 1$ à $4$. Nadia propose la droite $D_1 : y = 1{,}8x + 10{,}5$ et Théo la droite $D_2 : y = 2x + 10$.

1. aLis les valeurs de $y$ sur le nuage, puis vérifie que $D_1$ et $D_2$ passent toutes deux par le point moyen $G$.
2. bCalcule les résidus de chaque droite, puis les sommes de leurs carrés $S_1$ et $S_2$.
3. cThéo : « La somme des $|e_i|$ est plus petite pour $D_2$, donc $D_2$ est la meilleure droite au sens des moindres carrés. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dOn fixe $a = 1{,}8$. Écris $S(b) = \sum (y_i - 1{,}8x_i - b)^2$ sous forme de trinôme en $b$, puis trouve la valeur de $b$ qui le rend minimal.

Ex. 20★★★Démonstration guidée : pourquoi cette droite ? — Dans un jardin partagé de Besançon, Inès relève sur 4 parcelles la dose d'engrais $x_i$ (en kg par are) et la récolte $y_i$ (en dizaines de kg par are). Calculatrice interdite. On note $S(a, b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$. En développant, on obtient $S(a, b) = 4b^2 - 2b\sum (y_i - ax_i) + \sum (y_i - ax_i)^2$.

1. aOn fixe $a$. Exprime $\sum (y_i - ax_i)$ en fonction de $a$, puis trouve la valeur de $b$ qui rend minimal le trinôme en $b$. Qu'en déduis-tu pour la droite et le point moyen $G$ ?
2. bOn remplace $b$ par cette valeur. À l'aide des écarts $x_i - \overline{x}$ et $y_i - \overline{y}$, écris $S$ comme un trinôme en $a$. Déduis-en $a$ et $b$, en valeurs exactes puis au millième.
3. cYanis prend $a = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{\sigma_x}$. Calcule la valeur qu'il obtient (au centième), puis montre avec $S$ qu'elle ne convient pas.
4. dLina affirme : « La droite $y = x + 2$ convient aussi, car la somme de ses résidus est nulle. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eIlan arrondit $a$ au centième avant de calculer $b$. Quelle valeur de $b$ trouve-t-il ? Explique son erreur.

Ex. 21★★★Vélos en libre-service : du modèle à la prévision — Une ville relève le nombre d'abonnés $y_i$ (en milliers) à son service de vélos en libre-service pour l'année $2018 + x_i$ (données fictives). Calculatrice autorisée ; arrondis au millième, sauf mention contraire.

1. aCalcule les coordonnées du point moyen $G$. À la calculatrice, donne l'équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$, puis contrôle qu'elle passe par $G$.
2. bLa calculatrice donne $r \approx 0{,}996$. Mehdi en déduit que les points sont alignés. A-t-il raison ? Justifie avec le résidu de l'année de rang 3.
3. cCalcule le résidu de l'année de rang 6. Sans calculer les autres, donne la somme des six résidus et justifie.
4. dLe service vise 12 000 abonnés. Kevin veut calculer la droite de $x$ en $y$. Explique pourquoi on ne fait pas ainsi, puis donne l'année visée selon le modèle.
5. eCette prévision est-elle fiable ? Donne deux raisons d'être prudent.

Ex. 22★★★Automatismes : vrai ou faux sur r — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie. Le nuage donne la fréquentation $y$ d'un marché de plein air (en centaines de visiteurs) selon le rang $x$ du mois, de mars ($x = 1$) à septembre ($x = 7$).

1. aUne calculatrice affiche $r = 1{,}08$ : c'est possible si les points sont très bien alignés.
2. bSi $r = 0$, la droite de régression est parallèle à l'axe des abscisses.
3. c$r = 0{,}95$ signifie que $95\,\%$ des points sont sur la droite de régression.
4. dPour la série du marché, $\mathrm{cov}(x, y) = 0$, donc la fréquentation ne dépend pas du mois.
5. eSi l'on convertit $x$ de kilomètres en mètres, $r$ est multiplié par $1\,000$.
6. fSi $r = -0{,}98$, les points sont proches d'une droite décroissante.
7. gChez des enfants de 6 à 11 ans, la pointure et la vitesse de lecture ont $r = 0{,}9$ : avoir de grands pieds fait mieux lire.

Ex. 23★★★Automatismes : calculer r et l'exploiter — Arrondis les valeurs de $r$ au millième.

1. aOn donne $\mathrm{cov}(x, y) = 6{,}3$, $\sigma_x = 2{,}5$ et $\sigma_y = 2{,}8$. Calcule $r$.
2. bOn donne $\mathrm{cov}(x, y) = -14{,}4$, $V(x) = 16$ et $V(y) = 16{,}2$. Calcule $r$.
3. cUne calculatrice affiche la droite $y = -2{,}1x + 40$ et $r^2 = 0{,}8836$, le carré de $r$. Donne $r$.
4. dOn donne $r = 0{,}8$, $\sigma_x = 2$ et $\sigma_y = 5$. Calcule le coefficient directeur $a$ de la droite de régression.
5. eAvec $V(x) = 3$, $V(y) = 10$ et $\mathrm{cov}(x, y) = 5{,}4$, Léna arrondit $\sigma_x \approx 1{,}7$ et $\sigma_y \approx 3{,}2$, puis trouve $r \approx 0{,}993$. Corrige son calcul.
6. fUne série peut-elle avoir $\mathrm{cov}(x, y) = -3$ et une droite de régression de coefficient directeur $a = 0{,}5$ ? Justifie.

Ex. 24★★★Entraînement et temps au 3 000 m — Un club d'athlétisme de Rennes relève, pour quatre coureurs, le temps d'entraînement hebdomadaire $x_i$ (en h) et le temps $y_i$ réalisé au 3 000 m (en min). Le club juge un ajustement affine justifié si $|r| \geqslant 0{,}9$.

1. aDétermine le point moyen $G$, puis calcule $\mathrm{cov}(x, y)$.
2. bCalcule $V(x)$ et $V(y)$, puis $r$ arrondi au millième.
3. cInterprète le signe de $r$ et indique, avec le critère du club, si un ajustement affine est justifié.
4. dDétermine la droite de régression de $y$ en $x$, puis estime le temps d'un coureur qui s'entraînerait $20$ h par semaine. Cette estimation est-elle fiable ? Justifie.

Ex. 25★★★Chauffage et point aberrant — À Grenoble, Sacha relève pendant six jours la température extérieure moyenne $x_i$ (en °C) et la consommation de chauffage $y_i$ (en kWh) de sa maison. On juge un ajustement affine justifié si $|r| \geqslant 0{,}9$. Utilise la calculatrice, arrondis $r$ au millième et les coefficients au centième.

1. aDonne $r$ et la droite de régression de $y$ en $x$ pour les six jours.
2. bAvec le seuil de l'énoncé, l'ajustement affine est-il justifié ? Justifie.
3. cLe relevé du jour 4 est dû à une panne du compteur. Sans ce jour, donne la nouvelle valeur de $r$ et la nouvelle droite.
4. dEstime la consommation pour une température de $5$ °C avec chacune des deux droites, puis commente l'écart obtenu.

Ex. 26★★★Piscines et cambriolages — Pour cinq communes d'un même département, on relève la population (en milliers d'habitants), le nombre $x_i$ de piscines publiques et le nombre $y_i$ de cambriolages en un an. On parle de forte corrélation linéaire si $|r| \geqslant 0{,}9$.

1. aÀ la calculatrice, donne $r$ arrondi au millième, puis interprète-le avec le seuil de l'énoncé.
2. bHugo conclut : « Construire des piscines fait augmenter les cambriolages. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule, pour chaque commune, le nombre de cambriolages pour $1\,000$ habitants (au centième). Que constates-tu ?
4. dRédige une conclusion prudente sur le lien de cause à effet entre $x$ et $y$.

Ex. 27★★★Le câble de la passerelle — Sur une passerelle suspendue près d'Annecy, un technicien mesure la hauteur $y_i$ (en m) du câble porteur au-dessus du tablier à la position $x_i$ (en m). Cette position est comptée depuis le milieu de la passerelle, négative à gauche. On juge un ajustement affine pertinent si $|r| \geqslant 0{,}99$. Calculatrice autorisée.

1. aÀ la calculatrice, donne $r$ entre $x$ et $y$ au millième. Mehdi en conclut : « la hauteur du câble ne dépend pas de la position ». A-t-il raison ? Justifie.
2. bOn pose $z = x^2$. Calcule les $z_i$, puis donne $r$ entre $z$ et $y$ au dix-millième. Conclus avec le seuil de l'énoncé.
3. cDonne la droite de régression de $y$ en $z$ ($a$ au dix-millième, $b$ au millième), puis déduis-en une expression de $y$ en fonction de $x$.
4. dEstime la hauteur du câble à $25$ m du milieu, avec les valeurs non arrondies de la calculatrice. Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
5. eNour reprend l'étude avec les hauteurs en cm et les positions en dm. Sans aucun calcul, donne les deux coefficients de corrélation qu'elle obtient. Justifie.

Ex. 28★★★Glaces et sauvetages en mer — Dans une station balnéaire de Vendée, les secouristes relèvent pendant six semaines d'été la température maximale moyenne $t_i$ (en °C), les ventes de glaces $x_i$ (en centaines) d'un glacier de la plage et le nombre $y_i$ d'interventions de sauvetage en mer. On parle de corrélation forte si $|r| \geqslant 0{,}9$. Calculatrice autorisée.

1. aÀ la calculatrice, donne $r$ entre $x$ et $y$ au millième et la droite de régression de $y$ en $x$ (coefficients au millième). Interprète $r$ avec le seuil de l'énoncé.
2. bInès affirme : « $r \approx 0{,}98$, donc $98$ % des points sont sur la droite. » Calcule le résidu de la semaine 2, puis dis si elle a raison. Justifie.
3. cÀ la calculatrice, donne au millième le coefficient de corrélation entre $t$ et $x$, puis celui entre $t$ et $y$.
4. dYanis remarque que $r$ entre $x$ et $y$ est plus grand qu'entre $t$ et $y$. Il conclut : « Ce sont les glaces, et non la chaleur, qui causent les sauvetages. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eUn élu propose de limiter la vente de glaces pour réduire le nombre de sauvetages. En t'appuyant sur les questions précédentes, discute cette proposition.

Ex. 29★★★Automatismes : interpolation ou extrapolation ? — À Besançon, un journal papier relève chaque année son nombre d'abonnés $y$ (en milliers), de 2018 ($x = 1$) à 2024 ($x = 7$). Il retient l'ajustement $y = -1{,}8x + 52$. Pour chaque question, précise s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.

1. aEstime le nombre d'abonnés pour $x = 3$.
2. bCalcule le rang $x$ de l'année 2027, puis estime le nombre d'abonnés en 2027.
3. cEstime le nombre d'abonnés en 2017.
4. dCalcule le rang de l'année 2047, puis l'estimation donnée par l'ajustement. Commente.

Ex. 30★★★Automatismes : atteindre un seuil — Dans chaque question, $x$ est un entier positif.

1. aRésous $2{,}5x + 12 > 30$ et donne le plus petit entier $x$ qui convient.
2. bRésous $-0{,}6x + 9 < 4$ et donne le plus petit entier $x$ qui convient.
3. cOn a $y = 1{,}35x + 40{,}2$, avec $x = 1$ en 2021. En quelle année $y$ dépasse-t-il $50$ pour la première fois ?
4. dPour $y = -3{,}2x + 75$, Léo affirme que $y \leqslant 40$ dès $x = 10$. Vrai ou faux ? Justifie, puis donne le plus petit entier $x$ qui convient.
5. eNoé résout $-0{,}4x + 20 > 14$ et trouve $x > 15$. Repère son erreur et corrige-la.

Ex. 31★★★Une coopérative solaire à Aurillac — Une coopérative d'Aurillac relève sa production annuelle d'électricité $y$ (en MWh), de 2015 ($x = 1$) à 2020 ($x = 6$). Calculatrice autorisée.

1. aDonne à la calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, avec les coefficients arrondis au centième.
2. bEstime la production en 2023, arrondie au centième de MWh. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
3. cEn 2023, la production réellement mesurée a été de $228$ MWh. Calcule l'écart entre la prévision et cette valeur, en % de la valeur réelle, arrondi au centième.
4. dSelon ce modèle, à partir de quelle année la production dépasse-t-elle $250$ MWh ?

Ex. 32★★★La fibre à Millau — Dans un quartier de Millau, on relève le taux $y$ de foyers raccordés à la fibre (en %), de 2020 ($x = 1$) à 2024 ($x = 5$).

1. aCalcule les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
2. bOn admet que la droite des moindres carrés a pour coefficient directeur $a = 5{,}7$. Déduis-en son ordonnée à l'origine $b$.
3. cEstime le taux de raccordement en 2029 avec cette droite. Commente le résultat.
4. dÀ partir de quelle année ce modèle donne-t-il un taux supérieur à $100$ % ? Que peux-tu en conclure ?

Ex. 33★★★La chaîne vidéo de Maëlys — Maëlys relève le nombre $y$ d'abonnés de sa chaîne vidéo (en milliers) du mois $1$ au mois $8$. Avec $z = \ln y$, elle obtient l'ajustement $z = 0{,}18x + 2{,}1$, où $x$ est le numéro du mois. Arrondis au centième.

1. aExprime $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k\,\mathrm{e}^{0{,}18x}$, avec $k$ arrondi au centième.
2. bEstime le nombre d'abonnés au mois $6$. Interpolation ou extrapolation ?
3. cSelon ce modèle, à partir de quel mois la chaîne dépasse-t-elle $100\,000$ abonnés ?
4. dMaëlys affirme : « Au mois $24$, j'aurai $614\,000$ abonnés, c'est sûr. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Enneigement près de Font-Romeu : jusqu'où croire le modèle ? — Une station de ski près de Font-Romeu relève chaque hiver le nombre $y$ de jours où l'enneigement permet de skier, de l'hiver 2017 ($x = 1$) à l'hiver 2023 ($x = 7$). Calculatrice autorisée.

1. aDonne à la calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ (coefficients au centième) et $r$ au millième. Un ajustement affine est-il justifié ?
2. bAvec cette équation aux coefficients arrondis, estime le nombre de jours d'enneigement de l'hiver 2027. Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
3. cL'hiver 2025, on a observé $71$ jours. Calcule l'estimation du modèle pour 2025, puis son écart relatif à la valeur observée, en %, au dixième.
4. dSelon ce modèle, à partir de quel hiver l'enneigement passerait-il sous $50$ jours ? Justifie par une inéquation.
5. eHugo affirme : « D'après le modèle, il n'y aura plus aucun jour d'enneigement dès l'hiver 2039. » Vrai ou faux ? Justifie, puis commente.

Ex. 35★★★Une culture de levures : affine ou exponentiel ? — Inès, technicienne dans un laboratoire de Rennes, mesure la concentration $y$ d'une culture de levures (en milliers de cellules par mL), $x$ heures après le début de l'expérience. Calculatrice autorisée.

1. aDonne à la calculatrice la droite de régression de $y$ en $x$ (coefficients au dixième), puis estime la concentration à $3$ h $30$. Interpolation ou extrapolation ?
2. bOn pose $z = \ln y$. Donne la droite de régression de $z$ en $x$ (coefficients au millième), puis écris $y = k\,\mathrm{e}^{ax}$ avec $k$ arrondi à l'unité.
3. cÀ $8$ h, Inès mesure $198$ milliers de cellules par mL. Calcule la prévision de chaque modèle et son écart relatif à cette mesure, en %, au dixième.
4. dAvec le modèle exponentiel, détermine à partir de quelle heure entière la concentration dépasse $500$ milliers de cellules par mL.
5. eInès écrit : « Avec le modèle exponentiel, à $24$ h, il y aura certainement plus de $100$ millions de cellules par mL. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : passer par $z = \ln y$ et revenir à $y$ — Arrondis au centième sauf mention contraire.

1. aInès a relevé $y = 3{,}5$ ; $0$ ; $12$. Elle veut poser $z = \ln y$ pour toute la série. Est-ce possible ? Justifie.
2. bCalcule $z = \ln y$ pour $y = 45$, au millième.
3. cLa droite de régression de $z = \ln y$ en $x$ est $z = 0{,}2x + 1{,}5$. Écris $y$ sous la forme $y = k \times q^x$.
4. dAvec cette même droite, Léa écrit $y = \mathrm{e}^{0{,}2x} + \mathrm{e}^{1{,}5}$. A-t-elle raison ? Justifie avec $x = 2$.
5. ePour $x = 8$, cette droite donne $z = 3{,}1$. Matéo conclut : « $y \approx 3{,}1$ ». Corrige sa réponse.
6. fPour une autre série, on trouve $z = -0{,}05x + 3$. De quel pourcentage $y$ évolue-t-il quand $x$ augmente de $1$ ?

Ex. 37★★★Automatismes : choisir le bon changement de variable — Arrondis au centième sauf mention contraire.

1. aLe nuage de $(x\,;y)$ ressemble à une branche d'hyperbole qui se rapproche d'une droite horizontale. Quel changement de variable choisis-tu ?
2. bPour un nuage de ce type, après ce changement de variable, on obtient la droite de régression $y = 24z + 1{,}5$. Estime $y$ pour $x = 8$.
3. cOn propose le modèle $y = k \times x^p$ avec $x > 0$ et $y > 0$. Quelles variables poses-tu pour te ramener à un ajustement affine ?
4. dAprès ce changement de variables, la calculatrice donne la droite $Y = 1{,}5X + 0{,}7$, où $Y$ dépend de $y$ et $X$ de $x$. Donne $p$ et $k$.
5. eAvec le modèle puissance de la question précédente, estime $y$ pour $x = 4$.
6. fVrai ou faux ? « $y$ est multiplié par $1{,}08$ à chaque pas de $x$, donc on pose $z = \frac{1}{x}$. » Justifie.
7. gLa droite de régression de $z = \ln y$ en $x$ est $z = 0{,}3x + 2$. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $y \geqslant 100$ ?

Ex. 38★★★Élimination d'un médicament — On mesure la concentration $y$ (en µg/L) d'un médicament dans le sang d'un patient, $x$ heures après l'injection. Utilise la calculatrice.

1. aJustifie que l'on peut poser $z = \ln y$. Donne la droite de régression de $z$ en $x$ (coefficients au millième) et $r$ au centième.
2. bDéduis-en $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \times q^x$
   ($k$ à l'unité, $q$ au millième).
3. cDe quel pourcentage la concentration baisse-t-elle chaque heure, selon ce modèle ?
4. dLe médicament n'agit plus sous $50$ µg/L. Selon ce modèle, à partir de combien d'heures est-ce le cas ? Ce résultat est-il fiable ?

Ex. 39★★★Panneaux solaires : affine ou exponentiel ? — Voici la puissance $y$ (en kWc) des panneaux solaires installés dans une commune, selon le rang $x$ de l'année. Pour l'ajustement affine, la calculatrice donne $y = 10{,}86x + 5$ avec $r \approx 0{,}984$.

1. aCalcule $z = \ln y$ au millième, puis donne la droite de régression de $z$ en $x$ (coefficients au millième) et $r$ au millième.
2. bDéduis-en $y = k \times q^x$ ($k$ au dixième, $q$ au millième) et le taux d'évolution annuel donné par ce modèle.
3. cL'année de rang $7$, on mesure $96$ kWc. Quel ajustement est le plus fiable ? Justifie par le calcul.
4. dNoé arrondit au dixième, écrit $z = 0{,}3x + 2{,}7$ et trouve $121{,}5$ kWc pour le rang $7$. Explique son erreur.

Ex. 40★★★Recharge d'une voiture électrique — Un garage de Rennes relève la durée $y$ (en min) de recharge d'une voiture selon la puissance $x$ (en kW) de la borne. Le nuage a la forme d'une hyperbole : on pose $z = \frac{1}{x}$. La calculatrice donne $r \approx 0{,}9996$ pour la série $(z\,;y)$.

1. aCalcule les valeurs $z_i = \frac{1}{x_i}$, puis les coordonnées du point moyen $G$ de la série $(z\,;y)$.
2. bCalcule $V(z)$ et $\mathrm{cov}(z, y)$. Déduis-en la droite de régression de $y$ en $z$, sous la forme $y = \alpha z + \beta$
   ($\alpha$ à l'unité, $\beta$ au dixième).
3. cExprime $y$ en fonction de $x$, puis estime la durée de recharge sur une borne de $25$ kW.
4. dQuelle puissance faut-il au minimum pour recharger en moins de $45$ min ? Ce résultat est-il fiable ?

Ex. 41★★★Croissance des bars : un modèle puissance — Maëlle, biologiste dans une ferme aquacole près de Sète, mesure la longueur $x$ (en cm) et la masse $y$ (en g) de cinq bars. Elle propose le modèle $y = k\,x^p$. Pour la régression, fais calculer à la calculatrice les listes $\ln x$ et $\ln y$ sans les arrondir.

1. aOn suppose $y = k\,x^p$ avec $k > 0$ et $x > 0$. Montre que $\ln y$ est une fonction affine de $\ln x$, puis explique pourquoi $\ln x_i$ et $\ln y_i$ existent ici.
2. bComplète le tableau ($u_i$ et $v_i$ au millième). Donne ensuite la droite de régression de $v$ en $u$ (coefficients au millième) et $r$ au dix-millième.
3. cMalo écrit : « $v = pu + b$, donc $y = x^{p} + \mathrm{e}^{b}$ ». Explique son erreur, puis donne $k$ au dix-millième et l'expression de $y$ en fonction de $x$.
4. dEstime au gramme près la masse d'un bar de 50 cm. Ninon a arrondi $p$ et $\ln k$ au dixième et trouve environ 1 535 g : d'où vient l'écart ?
5. eD'après ce modèle, à partir de quelle longueur (au mm près) un bar dépasse-t-il 1 kg ? Résous l'inéquation avec $\ln$, puis commente la fiabilité.

Ex. 42★★★Cote d'une citadine d'occasion — Yanis, vendeur dans un garage de Clermont-Ferrand, relève la cote $y$ (en milliers d'euros) d'un modèle de citadine selon son âge $x$ (en années). Calculatrice autorisée ; pour les régressions, garde les valeurs non arrondies.

1. aDonne la droite de régression de $y$ en $x$ (coefficients au centième) et $r$ au millième. Ce $r$ suffit-il à valider l'ajustement affine ? Justifie avec le nuage.
2. bComplète le tableau ($z_i$ au millième). Donne ensuite la droite de régression de $z$ en $x$ (coefficients au dix-millième) et $r$ au millième.
3. cÉcris $y$ sous la forme $k \times q^x$ ($k$ au centième, $q$ au millième). Déduis-en le taux d'évolution annuel de la cote, en %.
4. dUne citadine de 8 ans est cotée 6,6 k€. Compare les deux ajustements avec cette valeur. Que prédit le modèle affine pour 10 ans ?
5. eSelon le modèle exponentiel, à partir de quel âge (en années entières) la cote passe-t-elle sous 5 000 € ? Résous l'inéquation avec $\ln$.