1re spécialité / Signe du trinôme et inéquations

Ex. 1★★★Automatismes : calculer un discriminant — Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ du trinôme, puis donne son nombre de racines.

Ex. 2★★★Automatismes : factoriser sans discriminant — Factorise sans calculer $\Delta$ (facteur commun ou identité remarquable).

Ex. 3★★★Factoriser avec le discriminant — Calcule $\Delta$, puis factorise le trinôme si c'est possible.

Ex. 4★★★Racine évidente — On pose $f(x) = 3x^2 - 10x + 7$ et $g(x) = -4x^2 + 7x - 3$.

1. aCalcule $a + b + c$ pour $f$ et déduis-en une racine évidente de $f$.
2. bCalcule $\Delta$ pour $f$, puis l'autre racine de $f$.
3. cÉcris $f(x)$ sous forme factorisée, puis contrôle en développant.
4. dVérifie que $1$ est racine de $g$. Sans calculer $\Delta$, trouve $r$ tel que $g(x) = -4(x - 1)(x - r)$ en comparant les termes constants.

Ex. 5★★★Repérer les erreurs d'Inès — Inès factorise $f(x) = 5x^2 + 3x - 2$. Elle écrit : $\Delta = 3^2 - 4 \times 5 \times (-2) = 9 - 40 = -31$. Ben lui signale une erreur. Elle corrige $\Delta$, puis utilise $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ et conclut $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$.

1. aTrouve l'erreur dans son calcul de $\Delta$ et donne la bonne valeur.
2. bQuelle erreur contient sa formule des racines ? Calcule les deux racines correctes de $f$.
3. cExplique pourquoi sa conclusion est fausse, puis donne la forme factorisée correcte de $f(x)$.
4. dContrôle ta forme factorisée en développant.

Ex. 6★★★Simplifier un quotient de trinômes — On pose $f(x) = 6x^2 - x - 2$ et $g(x) = -3x^2 + 5x - 2$, puis $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.

1. aCalcule le discriminant de $f$ et ses racines, puis écris $f(x)$ sous forme factorisée.
2. bFactorise $g(x)$ en justifiant. Attention au signe de $a$.
3. cDonne l'ensemble de définition de $h$.
4. dSimplifie l'écriture de $h(x)$ sur cet ensemble.
5. eTom affirme : « $f$ a deux racines, donc l'équation $h(x) = 0$ a deux solutions. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Retrouver un trinôme à racines irrationnelles — On cherche le trinôme $f$ dont les racines sont $2 - \sqrt{3}$ et $2 + \sqrt{3}$ et qui vérifie $f(0) = -2$.

1. aDéveloppe $(x - 2 + \sqrt{3})(x - 2 - \sqrt{3})$ à l'aide d'une identité remarquable.
2. bJustifie que $f(x) = a(x - 2 + \sqrt{3})(x - 2 - \sqrt{3})$. Trouve $a$, puis la forme développée de $f(x)$.
3. cContrôle ton résultat : calcule le discriminant de $f$ et retrouve ses deux racines.
4. dOn remplace le terme constant de $f(x)$ par un réel $m$. Pour quelle valeur de $m$ ce trinôme a-t-il une seule racine ? Factorise-le alors.
5. ePour quelles valeurs de $m$ ce nouveau trinôme n'est-il pas factorisable ? Justifie.

Ex. 8★★★Vrai ou faux sur la factorisation — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul, une preuve ou un contre-exemple.

1. a« $-4x^2 - 12x - 9$ n'a pas de racine, car $\Delta = -12^2 - 4 \times (-4) \times (-9) < 0$. »
2. b« Pour tout réel $x$, $0{,}5x^2 - x - 4 = (x - 4)(x + 2)$. »
3. c« Le trinôme $3x^2 - 2x - 2$ a pour racines $\frac{1 - \sqrt{7}}{3}$ et $\frac{1 + \sqrt{7}}{3}$. »
4. d« Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors $ax^2 + bx + c$ a deux racines distinctes. »
5. e« Pour tout réel $k$, le trinôme $x^2 + k$ se factorise en produit de facteurs du premier degré. »

Ex. 9★★★Lire le signe sur une forme factorisée — Sans calculer $\Delta$, donne l'ensemble des réels $x$ pour lesquels le trinôme est strictement positif.

Ex. 10★★★Δ négatif ou nul : signe sur ℝ — Calcule $\Delta$, puis donne le signe du trinôme sur $\mathbb{R}$ et dis où il s'annule.

Ex. 11★★★Ranger les racines quand a < 0 — On considère le trinôme $f(x)=-2x^2+5x+3$.

1. aCalcule le discriminant $\Delta$ de $f$.
2. bCalcule $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. Laquelle de ces deux racines est la plus petite ?
3. cComplète le tableau de signes de $f$ :

   x	-∞	?	?	+∞
   f(x)	?	0	?	0	?

4. dLa parabole de $f$ est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Sur quel intervalle est-elle strictement au-dessus de l'axe des abscisses ?

Ex. 12★★★L'erreur d'Inès — Inès étudie le signe de $g(x)=8-2x-x^2$. Elle écrit : « $\Delta=36>0$, racines $-4$ et $2$, donc $g(x)>0$ sur $]-\infty\,;-4[ \cup ]2\,;+\infty[$. »

1. aDonne $a$, $b$ et $c$, puis vérifie le discriminant et les racines trouvés par Inès.
2. bCalcule $g(3)$. Inès a-t-elle raison ? Justifie.
3. cExplique l'erreur d'Inès, puis dresse le tableau de signes correct de $g$.

Ex. 13★★★Vrai ou faux sur le signe — Vrai ou faux ? Justifie : donne un contre-exemple si c'est faux.

1. a« Un trinôme dont le coefficient $a$ est positif est toujours positif. »
2. bSoit $h(x)=3(x-1)(x-5)$. « Pour $x \in ]1\,;5[$, $x-1$ et $x-5$ sont de même signe, donc $h(x)>0$. »
3. c« Le trinôme $x^2-10x+25$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$. »
4. d« La parabole d'équation $y=-x^2+4x-5$ est entièrement sous l'axe des abscisses. »

Ex. 14★★★Justifier la règle quand a < 0 — On considère le trinôme $f(x)=5x-2-3x^2$, défini pour tout réel $x$.

1. aRepère $a$, $b$ et $c$. Calcule $\Delta$, puis les racines de $f$, rangées dans l'ordre $x_1<x_2$.
2. bÉcris $f(x)$ sous forme factorisée.
3. cComplète le tableau de signes ci-dessous à l'aide de la forme factorisée :

   x	-∞	?	?	+∞
   $-3$	?	?	?
   $x-x_1$	?	?	?	?
   $x-x_2$	?	?	?	?
   f(x)	?	?	?	?	?

4. dOn suppose $a<0$ et $x_1<x_2$. À l'aide de $a(x-x_1)(x-x_2)$, justifie que ce trinôme est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur.
5. eSans nouveau calcul de $\Delta$, donne l'ensemble des réels $x$ tels que $3x^2-5x+2>0$.

Ex. 15★★★Des racines avec radicaux — On considère le trinôme $g(x)=2x^2-4x-1$, défini pour tout réel $x$. Tu travailles sans calculatrice.

1. aCalcule $\Delta$, puis donne les racines exactes $x_1<x_2$ de $g$ sous leur forme la plus simple.
2. bEncadre $\sqrt{6}$ entre deux entiers consécutifs. Déduis-en un encadrement de chaque racine entre deux entiers consécutifs.
3. cDresse le tableau de signes de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
4. dSans calculer d'image, donne tous les entiers $n$ tels que $g(n)<0$.
5. eLina affirme : « $g(x)<0$ pour tout $x\in[-0{,}2\,;2{,}2]$. » A-t-elle raison ? Justifie sans valeur approchée.

Ex. 16★★★Le bénéfice d'un atelier de céramique — Malo dirige un atelier de céramique. Il produit et vend $x$ centaines de bols, avec $x\in[0\,;20]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x)=14x-x^2-40$.

1. aRepère $a$, $b$ et $c$. Calcule $\Delta$, puis les racines de $B$, rangées dans l'ordre croissant.
2. bDresse le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;20]$.
3. cPour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ? Malo affirme : « Plus on produit, plus on gagne. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLes charges fixes augmentent de 10 milliers d'euros, et le bénéfice devient $C(x)=B(x)-10$. Étudie le signe de $C(x)$, puis conclus pour l'atelier.
5. ePlus généralement, les charges augmentent de $m$ milliers d'euros, avec $m>0$. Pour quelles valeurs de $m$ l'atelier peut-il encore faire un bénéfice strictement positif ?

Ex. 17★★★Automatismes : lire les solutions — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation (calcule $\Delta$, puis donne l'ensemble des solutions $S$).

Ex. 18★★★Automatismes : tout dans un membre d'abord — Résous dans $\mathbb{R}$ en passant d'abord tout dans un membre. Ne divise pas par $x$ et ne prends pas la racine des deux membres.

Ex. 19★★★Cinq élèves, cinq erreurs — Chaque élève a fait une erreur. Réponds à la question posée, puis donne l'ensemble des solutions correct.

1. aLéa résout $x^2 < 5x$ en divisant par $x$ et trouve $x < 5$. Teste $x = -1$, puis conclus et corrige.
2. bHugo résout $-x^2 + x + 6 \geqslant 0$, trouve les racines $-2$ et $3$ et écrit $S = ]-\infty\,;-2] \cup [3\,;+\infty[$. Explique son erreur.
3. cInès écrit : « $x^2 \geqslant 36$ donne $x \geqslant 6$ ». Trouve un nombre négatif qui est solution, puis corrige.
4. dMalik trouve que les racines de $x^2 - 4x + 3$ sont $1$ et $3$ et donne $S = ]1\,;3[$ pour $x^2 - 4x + 3 \leqslant 0$. Teste $x = 1$, puis explique son erreur.
5. eZoé résout $x^2 + x - 20 > 0$ et conclut : « $x < -5$ et $x > 4$ ». Explique pourquoi le mot « et » est faux.

Ex. 20★★★Où une racine carrée est-elle définie ? — Rappel : $\sqrt{A}$ existe si et seulement si $A \geqslant 0$. Justifie chaque réponse par le signe d'un trinôme.

1. aDétermine l'ensemble de définition de $f(x) = \sqrt{2x^2 - 3x - 2}$.
2. bDétermine l'ensemble de définition de $g(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 9}$. Combien de nombres contient-il ?
3. cJustifie que $h(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
4. dDétermine l'ensemble de définition de $k(x) = \frac{1}{\sqrt{14 + 5x - x^2}}$. Attention : $k$ est un quotient.

Ex. 21★★★Une inéquation bicarrée — On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation (I) : $x^4 + 5x^2 - 36 \geqslant 0$.

1. aOn pose $X = x^2$. Écris (I) sous la forme d'une inéquation d'inconnue $X$.
2. bRésous cette inéquation d'inconnue $X$.
3. cSachant que $X = x^2$, quelles solutions de la question précédente faut-il écarter ? Justifie.
4. dDéduis-en l'ensemble des solutions de
   (I).
5. eVérifie ton résultat en testant $x = 0$, puis $x = -3$ dans
   (I).

Ex. 22★★★Développer avant de résoudre — On considère les inéquations (I) : $(x + 3)(x - 1) \geqslant 2x + 5$ et (J) : $(2x + 1)(x - 3) < x - 4$, d'inconnue réelle $x$.

1. aDéveloppe, passe tout dans un membre et réduis (I) sous la forme $ax^2 + bx + c \geqslant 0$.
2. bTom « prend la racine » des deux membres et affirme que (I) n'a aucune solution négative. Teste $x = -3$ dans (I), puis conclus.
3. cRésous (I) dans $\mathbb{R}$ à l'aide d'un tableau de signes.
4. dRamène (J) à la forme $ax^2 + bx + c < 0$, puis résous-la dans $\mathbb{R}$
   (racines en valeurs exactes).
5. eDétermine les nombres entiers solutions de (J). Sont-ils aussi solutions de (I) ? Justifie.

Ex. 23★★★La fusée à eau — Au club de sciences, une fusée à eau est lancée depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, $t$ secondes après le lancement, est $h(t) = -5t^2 + 30t$ pour $t \in [0\,;6]$.

1. aRésous $h(t) > 25$ sur $[0\,;6]$. Pendant combien de temps la fusée est-elle à plus de $25$ m ?
2. bMehdi affirme que la fusée dépasse $50$ m. Résous $h(t) \geqslant 50$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cRésous $h(t) \geqslant 45$. Déduis-en la hauteur maximale atteinte et l'instant où elle est atteinte.
4. dDétermine sur $[0\,;6]$ les instants où $25 < h(t) < 40$. Combien de temps cela dure-t-il au total ?

Ex. 24★★★Une inéquation qui dépend de m — Soit $m$ un nombre réel. On étudie l'inéquation $(I_m)$ : $x^2 - 2x + m \leqslant 0$, d'inconnue réelle $x$.

1. aRésous $(I_m)$ dans $\mathbb{R}$ pour $m = -3$.
2. bCalcule le discriminant $\Delta$ de $x^2 - 2x + m$ en fonction de $m$.
3. cPour quelles valeurs de $m$ l'inéquation $(I_m)$ n'a-t-elle aucune solution ? Justifie.
4. dPour quelle valeur de $m$ l'inéquation $(I_m)$ a-t-elle une seule solution ? Donne cette solution.
5. ePour $m < 1$, exprime les racines en fonction de $m$, puis trouve $m$ pour que $S$ soit un intervalle de longueur $6$.

Ex. 25★★★Automatismes : le signe d'un facteur — Pour chaque expression, donne la valeur de $x$ qui l'annule (s'il y en a une), puis l'intervalle où elle est strictement positive.

Ex. 26★★★Automatismes : résoudre en deux lignes — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation en deux lignes au plus. Repère d'abord les valeurs interdites.

Ex. 27★★★Un tableau à compléter, puis à exploiter — On pose $f(x) = \frac{6 - 3x}{x + 4}$ pour $x \neq -4$.

1. aRecopie et complète le tableau de signes : une ligne par facteur, puis la ligne de $f(x)$.
2. bRésous $f(x) \geqslant 0$. Justifie chaque crochet.
3. cRésous $f(x) < 0$.
4. dMets $f(x) + 3$ au même dénominateur, puis résous $f(x) \geqslant -3$.

Ex. 28★★★Quatre élèves, quatre erreurs — Chaque élève s'est trompé. Trouve l'erreur, puis corrige la résolution.

1. aLéna résout $\frac{2}{x} > 5$ : « Je multiplie par $x$ : $2 > 5x$, donc $S = ]-\infty\,;\frac{2}{5}[$. »
2. bHugo résout $\frac{x - 5}{x + 2} \geqslant 0$ et trouve $S = ]-\infty\,;-2] \cup [5\,;+\infty[$.
3. cInès résout $(-x^2 + 4x - 3)(x^2 + 1) \geqslant 0$ : « Le trinôme a pour racines $1$ et $3$, donc $S = ]-\infty\,;1] \cup [3\,;+\infty[$. »
4. dTom résout $\frac{x^2 - 9}{x - 3} \geqslant 0$ : « Je simplifie, ça donne $x + 3 \geqslant 0$, donc $S = [-3\,;+\infty[$. »

Ex. 29★★★Trois valeurs à ranger — On pose $q(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 15}{4 - x}$.

1. aCalcule le discriminant du numérateur, puis ses racines.
2. bRange dans l'ordre croissant toutes les valeurs à placer sur la ligne des $x$. Indique laquelle est interdite.
3. cDresse le tableau de signes de $q(x)$ : une ligne par facteur, puis la ligne du résultat.
4. dRésous $q(x) \geqslant 0$. Justifie les crochets.

Ex. 30★★★Un dénominateur qui change de signe — On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(I) : \frac{5x - 1}{3 - x} \leqslant x$.

1. aMalik écrit : « Je multiplie par $3 - x$, donc $5x - 1 \leqslant 3x - x^2$. » Vérifie que $4$ est solution de $(I)$ mais pas de l'inéquation de Malik, puis explique son erreur.
2. bDonne la valeur interdite. Passe tout dans un membre de $(I)$ et réduis au même dénominateur pour obtenir un quotient comparé à $0$.
3. cCalcule le discriminant du numérateur obtenu, puis ses racines exactes $x_1 < x_2$. Range $x_1$, $x_2$ et la valeur interdite dans l'ordre croissant, en justifiant.
4. dDresse le tableau de signes (une ligne par facteur, attention au signe de $3 - x$), puis donne l'ensemble des solutions de $(I)$.

Ex. 31★★★Une racine commune en haut et en bas — On pose $q(x) = \dfrac{(x - 2)^2(x^2 + x + 3)}{x^2 - 5x + 6}$.

1. aMontre que $x^2 + x + 3 > 0$ pour tout réel $x$. Que peut-on faire de ce facteur dans le tableau de signes ?
2. bFactorise $x^2 - 5x + 6$, puis donne les valeurs interdites de $q$.
3. cDresse le tableau de signes de $q(x)$ : une ligne par facteur, puis la ligne de $q(x)$.
4. dJuliette simplifie $q(x)$ et affirme que $2$ est solution de $q(x) \geqslant 0$. A-t-elle raison ? Justifie, puis résous $q(x) \geqslant 0$.
5. eRésous $p(x) \geqslant 0$, où $p(x) = (x - 2)^2(x^2 + x + 3)(x^2 - 5x + 6)$. Compare avec la question précédente et explique la différence.

Ex. 32★★★Le coût moyen d'un atelier de confitures — Un atelier produit $q$ tonnes de confiture, avec $q \in ]0\,;20]$. Le coût total est $C(q) = q^2 + 10q + 144$ (en centaines d'euros). Le coût moyen est $CM(q) = \frac{C(q)}{q}$. Le prix de vente d'une tonne est $p(q) = 50 - q$ (en centaines d'euros).

1. aZoé dit : « Pour résoudre $CM(q) \leqslant 35$, je peux multiplier les deux membres par $q$ sans changer le sens. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bRésous $CM(q) \leqslant 35$ sur $]0\,;20]$.
3. cOn pose $u(q) = p(q) - CM(q)$, le bénéfice par tonne. Écris $u(q)$ sous la forme d'un seul quotient.
4. dRésous $u(q) > 0$ sur $]0\,;20]$ (valeurs exactes), puis donne les bornes arrondies au centième.
5. ePour quelles quantités a-t-on à la fois $CM(q) \leqslant 35$ et $u(q) > 0$ ? Justifie le rangement des bornes sans calculatrice.

Ex. 33★★★Réduire la différence f(x) − g(x) — Automatismes. Dans chaque item, $f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$ et on note $d(x) = f(x) - g(x)$.

1. a$f(x) = x^2 + 2x - 1$ et $g(x) = 4x - 5$ : réduis $d(x)$.
2. b$f(x) = 2x^2 - x + 3$ et $g(x) = -3x + 7$ : réduis $d(x)$.
3. c$f(x) = x^2 + 5x$ et $g(x) = 3x - 2$. Noé écrit $d(x) = x^2 + 5x - 3x - 2$. Corrige son erreur, puis réduis $d(x)$.
4. d$f(x) = x^2 - 3x + 2$ et $g(x) = x^2 + x - 6$ : réduis $d(x)$. Quelle est la nature de la fonction $d$ ?
5. e$f(x) = 3x^2 + 2x$ et $g(x) = 3x^2 - 4x + 9$ : résous $f(x) = g(x)$.
6. f$f(x) = -x^2 + 5$ et $g(x) = -2x^2 + x - 1$ : réduis $g(x) - f(x)$, puis $d(x)$. Quel lien vois-tu entre les deux ?

Ex. 34★★★Traduire un signe en position — Automatismes. $f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$ ; leurs courbes sont $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

1. aOn sait que $f(x) - g(x) > 0$ sur $]2\,;+\infty[$. Quelle courbe est au-dessus sur cet intervalle ?
2. bOn sait que $g(x) - f(x) > 0$ sur $]-1\,;4[$. Quelle courbe est au-dessus sur cet intervalle ?
3. cOn sait que $f(x) - g(x) = (x - 1)(x - 5)$. Quelle courbe est au-dessus sur $]1\,;5[$ ?
4. dOn sait que $f(x) - g(x) = -2(x + 3)^2$ et $g(x) = 2x + 1$. Donne la position des courbes et leur point commun.
5. e$f(x) = x^2 - 6x + 8$. Sur quel intervalle $\mathcal{C}_f$ est-elle en dessous de l'axe des abscisses ?
6. fOn sait que $f(3) = g(3)$ et $g(x) = 5 - x$. Donne le point commun d'abscisse $3$.

Ex. 35★★★Compter les points communs — Pour chaque couple, calcule le discriminant de $d(x) = f(x) - g(x)$. Donne ensuite le nombre de points communs à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

1. a$f(x) = x^2 + 3x + 1$ et $g(x) = x - 2$. Quelle courbe est au-dessus ?
2. b$f(x) = x^2 - x$ et $g(x) = -3x - 1$. Donne le point commun.
3. c$f(x) = -x^2 + 2x + 3$ et $g(x) = x + 1$. Donne les abscisses des points communs.
4. d$f(x) = 2x^2 + 1$ et $g(x) = x^2 + 4x - 3$. Donne le point commun.
5. e$f(x) = -x^2 + x - 2$ et $g(x) = 3x$. Quelle courbe est au-dessus ?

Ex. 36★★★L'erreur de Lina — On pose $f(x) = 2x^2 - 3x - 1$ et $g(x) = x + 5$. Lina écrit : « $f(x) - g(x) = 2x^2 - 3x - 1 - x + 5 = 2x^2 - 4x + 4$, $\Delta = -16 < 0$, donc les courbes ne se coupent pas. »

1. aRepère l'erreur de Lina et donne la forme réduite correcte de $d(x) = f(x) - g(x)$.
2. bCalcule le discriminant de $d(x)$, puis ses racines.
3. cComplète le tableau de signes de $d(x)$ :

   x	-∞	?	?	+∞
   d(x)	?	0	?	0	?

4. dDéduis-en la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
5. eDonne les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.

Ex. 37★★★Une droite connue par un tableau de valeurs — Inès étudie la parabole $\mathcal{C}_f$ de $f(x) = x^2 - 4x + 6$ et la droite $\mathcal{C}_g$ d'une fonction affine $g$. Elle ne connaît $g$ que par ce tableau de valeurs :

1. aÀ l'aide du tableau, détermine l'expression de $g(x)$.
2. bRéduis $d(x) = f(x) - g(x)$, puis calcule son discriminant.
3. cDéduis-en la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et leur(s) point(s) commun(s).
4. dÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses.

Ex. 38★★★Une parabole face à l'axe et à trois droites — Pour tout réel $x$, on pose $f(x) = x^2 - 4x + 1$, $g(x) = 2x - 8$ et $k(x) = -2x - 1$. On note $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_k$ leurs courbes.

1. aÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses. Donne les points où elle coupe cet axe.
2. bÉtudie la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Donne les coordonnées de leurs points communs.
3. cMontre que $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_k$ n'ont aucun point commun. Quelle courbe est au-dessus de l'autre ?
4. dDétermine l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $\mathcal{C}_f$ est à la fois strictement au-dessus de l'axe des abscisses et strictement en dessous de la droite d'équation $y = x + 1$.

Ex. 39★★★Des droites qui pivotent autour d'un point — On pose $f(x) = x^2 + 2x + 3$, de courbe $\mathcal{P}$. Pour tout réel $m$, $D_m$ est la droite d'équation $y = mx - 1$, et on note $d_m(x) = f(x) - (mx - 1)$.

1. aVérifie que toutes les droites $D_m$ passent par un même point $A$, puis écris $d_m(x)$ sous forme réduite.
2. bCalcule le discriminant $\Delta$ de $d_m(x)$ en fonction de $m$, puis factorise-le.
3. cPour quelles valeurs de $m$ la droite $D_m$ touche-t-elle $\mathcal{P}$ en un seul point ? Donne à chaque fois les coordonnées de ce point.
4. dDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $\mathcal{P}$ est strictement au-dessus de $D_m$ sur $\mathbb{R}$. Justifie.
5. eDans le cas $m = 7$, étudie la position relative de $\mathcal{P}$ et $D_7$ et donne les coordonnées de leurs points d'intersection.

Ex. 40★★★Une parabole connue par un tableau de valeurs — Maëlle sait que $f(x) = ax^2 + bx + c$ est un trinôme, mais elle ne le connaît que par ce tableau de valeurs. On pose aussi $g(x) = 2x^2 + x - 6$ et $h(x) = -x^2 + x + 2$.

1. aÀ l'aide de $f(0)$, $f(1)$ et $f(-1)$, détermine $a$, $b$ et $c$.
2. bÉtudie la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de la droite d'équation $y = -2$, puis donne leurs points communs.
3. cÉtudie la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, puis donne les coordonnées de leurs points communs.
4. dTom étudie $h(x) - f(x)$, la trouve strictement positive sur $]-\frac{2}{3}\,;2[$ et conclut que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_h$ sur cet intervalle. A-t-il raison ? Justifie, puis donne les points communs.

Ex. 41★★★Automatismes : signe constant ou non ? — Pour chaque trinôme, calcule $\Delta$. Est-il de signe constant sur $\mathbb{R}$ ? Si oui, donne ce signe (strict ou large).

1. a$f(x) = 2x^2 - 3x + 5$
2. b$g(x) = -x^2 + 4x - 7$
3. c$h(x) = 9x^2 - 6x + 1$
4. d$k(x) = x^2 - x - 6$
5. e$p(x) = -3x^2 + x - 1$
6. f$q(x) = -4x^2 + 12x - 9$

Ex. 42★★★Automatismes : condition sur m — Détermine l'ensemble des réels $m$ pour lesquels la propriété est vraie (regarde le signe de $a$, puis écris l'inéquation en $m$ sur $\Delta$).

1. a$x^2 + mx + 25 > 0$ pour tout réel $x$.
2. b$x^2 - 2mx + 4m \geqslant 0$ pour tout réel $x$.
3. c$-x^2 + 6x + m < 0$ pour tout réel $x$.
4. d$3x^2 + mx + m > 0$ pour tout réel $x$.
5. e$-2x^2 + mx - 8 \leqslant 0$ pour tout réel $x$.
6. f$x^2 + 3x + m < 0$ pour tout réel $x$.

Ex. 43★★★Quand le coefficient a dépend de m — Pour un réel $m$, on pose $P(x) = (m-2)x^2 + 4x + m + 1$. On cherche les réels $m$ tels que $P(x) > 0$ pour tout réel $x$.

1. aPour $m = 2$, écris $P(x)$. A-t-on $P(x) > 0$ pour tout réel $x$ ? Justifie.
2. bOn suppose $m \neq 2$. Calcule le discriminant $\Delta$ de $P$ en fonction de $m$, puis factorise-le.
3. cDresse le tableau de signes de $\Delta$ selon les valeurs de $m$.
4. dDéduis-en l'ensemble des réels $m$ tels que $P(x) > 0$ pour tout réel $x$.

Ex. 44★★★Nombre de solutions selon m — Pour un réel $m$, on considère l'équation $(E)$ : $x^2 + mx + 4 = 0$.

1. aCalcule le discriminant $\Delta$ de $(E)$ en fonction de $m$, puis factorise-le.
2. bComplète le tableau de signes :

   m	-∞	-4	4	+∞
   m + 4	?	0	?	?
   m − 4	?	?	0	?
   Δ	?	0	?	0	?

3. cDonne le nombre de solutions de $(E)$ selon les valeurs de $m$.
4. dPour chaque valeur de $m$ où $(E)$ a une seule solution, calcule cette solution.
5. ePour quels réels $m$ la droite d'équation $y = -mx$ et la parabole d'équation $y = x^2 + 4$ n'ont-elles aucun point commun ? Justifie.

Ex. 45★★★Trois situations concrètes — Pour chaque situation, écris l'inéquation, résous-la en tenant compte du domaine de la variable, puis conclus par une phrase avec l'unité.

1. aUn artisan vend $q$ objets ($0 \leqslant q \leqslant 50$). Son bénéfice, en euros, vaut $B(q) = -q^2 + 40q - 300$. Pour quels $q$ ce bénéfice est-il strictement positif ?
2. bUn potager rectangulaire a un périmètre de $24$ m. On note $x$ la longueur d'un côté, en m. Exprime son aire $A(x)$ et donne le domaine de $x$.
3. cPour quelles valeurs de $x$ l'aire du potager est-elle au moins égale à $27$ m² ?
4. dNora lance une balle depuis un balcon. Sa hauteur, en m, vaut $h(t) = -5t^2 + 10t + 20$ pour $t \in [0\,;3{,}2]$, en s. Quand la balle est-elle à plus de $5$ m ?

Ex. 46★★★Un trinôme à paramètre de signe constant — Pour un réel $m$, on pose $P(x) = mx^2 + (m+3)x + m$.

1. aPour $m = 0$, écris $P(x)$. A-t-on $P(x) < 0$ pour tout réel $x$ ? Justifie.
2. bOn suppose $m \neq 0$. Calcule le discriminant $\Delta$ de $P$ en fonction de $m$, factorise-le et dresse son tableau de signes selon $m$.
3. cDétermine l'ensemble des réels $m$ tels que $P(x) < 0$ pour tout réel $x$.
4. dDétermine l'ensemble des réels $m$ tels que $P(x) \leqslant 0$ pour tout réel $x$. Pour la plus grande valeur obtenue, factorise $P(x)$ et vérifie.
5. eLucas affirme : « Pour $m = 4$, on a $\Delta < 0$, donc $P(x) < 0$ pour tout réel $x$. » A-t-il raison ? Pour quels $m$ a-t-on $P(x) > 0$ pour tout réel $x$ ?

Ex. 47★★★Une parabole et une famille de droites — Dans un repère, $\mathcal{C}$ est la parabole d'équation $y = x^2 + 3x + 1$. Pour un réel $m$, $D_m$ est la droite d'équation $y = mx - 8$.

1. aMontre que les abscisses des points communs à $\mathcal{C}$ et $D_m$ sont les solutions de l'équation $x^2 + (3 - m)x + 9 = 0$.
2. bCalcule le discriminant $\Delta$ de cette équation en fonction de $m$, puis factorise-le.
3. cDéduis-en, selon les valeurs de $m$, le nombre de points communs à $\mathcal{C}$ et $D_m$.
4. dPour chaque valeur de $m$ qui donne un seul point commun, calcule les coordonnées de ce point.
5. ePour $m = 10$, étudie la position relative de $\mathcal{C}$ et de $D_{10}$.

Ex. 48★★★L'enclos de Lina — Lina a 30 m de grillage. Elle veut clôturer un enclos rectangulaire pour ses poules, appuyé contre un mur : le côté du mur n'a pas besoin de grillage. On note $x$ la longueur, en m, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. aExprime en fonction de $x$ la longueur du côté parallèle au mur. Justifie que $x \in ]0\,;15[$, puis montre que l'aire de l'enclos vaut $A(x) = -2x^2 + 30x$.
2. bDétermine les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire est d'au moins $104$ m².
3. cLa place est limitée : Lina veut une aire d'au plus $72$ m². Détermine les valeurs de $x$ possibles.
4. dHugo affirme : « Avec ce grillage, on peut obtenir un enclos de $120$ m². » A-t-il raison ? Justifie.
5. eSoit $k > 0$. Détermine les réels $k$ pour lesquels l'inéquation $A(x) \geqslant k$ a au moins une solution. Déduis-en l'aire maximale et la valeur de $x$ correspondante.