1re spécialité / Second degré

Ex. 1★★★Trinôme ou pas ? — Chaque fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Dis si c'est un trinôme. Si oui, donne $a$, $b$ et $c$ ; sinon, justifie.

1. a$f(x) = 3 - 2x^2 + x$
2. b$g(x) = (x - 1)^2 - x^2$
3. c$h(x) = \dfrac{x^2}{4}$
4. d$k(x) = 1 - x(x - 6)$
5. e$r(x) = (3x + 1)(1 - x)$
6. fPour quelle valeur du réel $t$ la fonction $x \mapsto (t - 2)x^2 + 3x - 1$ n'est-elle pas un trinôme ? Justifie.

Ex. 2★★★Lire directement sur la forme — Lis chaque résultat directement sur la forme donnée, sans développer.

1. a$f(x) = 2(x + 3)^2 - 1$ : donne $\alpha$, $\beta$ et les coordonnées du sommet de la parabole.
2. b$g(x) = -(x - 4)^2 + 6$ : $g$ a-t-elle un maximum ou un minimum ? Donne sa valeur et le $x$ où il est atteint.
3. c$h(x) = 5x^2 - 2$ : donne les coordonnées du sommet de la parabole.
4. d$k(x) = 3(x - 1)(x + 5)$ : donne le coefficient $a$ et les racines de $k$.
5. e$m(x) = (3x + 2)(x - 5)$ : donne les racines de $m$ et le coefficient $a$.
6. f$p(x) = -\frac{1}{2}(x - 6)^2$ : donne le sommet. La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?

Ex. 3★★★Quatre élèves, quatre affirmations — Pour chaque élève, dis s'il a raison. Justifie, et corrige si besoin.

1. aInès : « La parabole de $f(x) = 4(x + 2)^2 - 9$ a pour sommet $S(2\,;-9)$. »
2. bHugo : « $g(x) = 2x^2 - 10x + 12$ a pour racines $2$ et $3$, donc $g(x) = (x - 2)(x - 3)$. »
3. cLina : « $h(x) = -x^2 + 6x - 5$ s'écrit aussi $-(x - 3)^2 + 4$. »
4. dThéo : « $k(x) = 3(x - 1)^2 + 2$ s'écrit aussi $(3x - 3)^2 + 2$. »

Ex. 4★★★Trois formes pour un même trinôme — Formes développées : $D_1(x) = 2x^2 - 4x - 6$, $D_2(x) = -x^2 + 2x + 8$, $D_3(x) = x^2 - 2x - 3$. Formes canoniques : $C_1(x) = (x - 1)^2 - 4$, $C_2(x) = -(x - 1)^2 + 9$, $C_3(x) = 2(x - 1)^2 - 8$. Formes factorisées : $F_1(x) = 2(x + 1)(x - 3)$, $F_2(x) = (x + 1)(x - 3)$, $F_3(x) = -(x + 2)(x - 4)$.

1. aDéveloppe $C_1(x)$, $C_2(x)$ et $C_3(x)$, puis associe chacune à une forme développée.
2. bFais de même avec $F_1(x)$, $F_2(x)$ et $F_3(x)$. Pourquoi $F_1$ et $F_2$ ne sont-elles pas égales ?
3. cQuelle forme permet de trouver le minimum de $D_1$ ? Donne ce minimum et le $x$ où il est atteint.
4. dRésous $D_2(x) = 9$ en choisissant la forme adaptée.
5. eCalcule $D_2(0)$, puis résous $D_2(x) = 0$, en prenant à chaque fois la forme adaptée.

Ex. 5★★★Vrai ou faux sur les trois formes — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse (pour « faux », un contre-exemple suffit).

1. aTout trinôme peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. bSi $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a < 0$, alors $\beta$ est le maximum de $f$.
3. cPour tout réel $x$, $3(x - 2)(x + 1) = (3x - 6)(x + 1)$.
4. dSi $f(x) = -2(x - 3)^2 + 5$, alors $f(0) = 5$.
5. eDeux trinômes dont les paraboles ont le même sommet sont égaux.

Ex. 6★★★Un produit, trois écritures — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)(x + 4)$.

1. aDémontre que $f$ est un trinôme et donne ses coefficients $a$, $b$ et $c$.
2. bÉcris $f(x)$ sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$, puis donne les racines de $f$.
3. cDétermine la forme canonique de $f(x)$.
4. dEn choisissant chaque fois la forme la plus adaptée, résous $f(x) = -4$, puis $f(x) = \beta$, où $\beta$ est le nombre de la forme canonique.
5. eDéduis-en l'extremum de $f$, sa nature, la valeur de $x$ où il est atteint et le tableau de variations de $f$.

Ex. 7★★★Une famille de fonctions : trinôme ou pas ? — Pour tout réel $m$, on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $h_m$ par $h_m(x) = (mx + 1)^2 - 4x^2$.

1. aDéveloppe $h_m(x)$ et donne, en fonction de $m$, le coefficient de $x^2$, le coefficient de $x$ et le terme constant.
2. bPour quelles valeurs de $m$ la fonction $h_m$ est-elle un trinôme ? Que devient $h_m$ pour les autres valeurs ? Justifie.
3. cExiste-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $h_m(x)$ s'écrit $ax^2$, avec $a \neq 0$ ? Justifie.
4. dPour $m = 3$, factorise $h_3(x)$ à l'aide d'une identité remarquable, puis écris-le sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$.
5. ePour $m = 0$, écris $h_0(x)$ sous forme canonique et sous forme factorisée, puis donne le sommet de sa parabole et la nature de l'extremum.

Ex. 8★★★La fusée à eau d'Annecy — Au club de sciences d'Annecy, une fusée à eau est lancée depuis une terrasse. $x$ est la distance horizontale parcourue (en m), $h(x)$ la hauteur (en m), pour $x \geqslant 0$ jusqu'à l'impact au sol. Nora trouve $h(x) = 6 + 2x - 0{,}5x^2$, Yanis $-0{,}5(x - 2)^2 + 8$, Chloé $(6 - x)(0{,}5x + 1)$ et Malo $-0{,}5(x + 2)^2 + 8$.

1. aDonne $a$, $b$ et $c$ pour l'expression de Nora. Développe ensuite celles de Yanis, Chloé et Malo : lesquelles sont égales à celle de Nora ?
2. bÉcris l'expression de Chloé sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$.
3. cDe quelle hauteur la fusée part-elle ? Indique la forme utilisée.
4. dQuelle hauteur maximale la fusée atteint-elle, et à quelle distance horizontale ? Justifie avec la forme adaptée.
5. eÀ quelle distance du lancement la fusée touche-t-elle le sol ? À quelle autre distance repasse-t-elle à sa hauteur de départ ?

Ex. 9★★★Forme canonique avec α et β — Pour chaque trinôme, calcule $\alpha = -\frac{b}{2a}$, puis $\beta = f(\alpha)$, et écris $f(x)$ sous forme canonique.

1. a$f(x) = x^2 - 8x + 11$
2. b$f(x) = 3x^2 + 24x + 46$
3. c$f(x) = -2x^2 + 4x + 4$
4. d$f(x) = 4x^2 - 4x + 3$
5. e$f(x) = -x^2 - 14x - 45$

Ex. 10★★★Lire le sommet sur la forme canonique — Pour chaque trinôme, donne les coordonnées du sommet $S$ de la parabole et l'équation de son axe de symétrie. Précise aussi l'extremum : minimum ou maximum, sa valeur et en quel $x$ il est atteint.

1. a$f(x) = 3(x - 5)^2 + 2$
2. b$g(x) = -(x - 2)^2 + 7$
3. c$h(x) = 2(x + 6)^2 - 1$
4. d$k(x) = -4(x + 3)^2$
5. e$m(x) = 5 - 2(x - 4)^2$

Ex. 11★★★L'erreur de Léna en complétant le carré — Léna met $f(x) = 3x^2 - 18x + 4$ sous forme canonique : $f(x) = 3(x^2 - 6x) + 4 = 3(x - 3)^2 - 9 + 4 = 3(x - 3)^2 - 5$.

1. aCalcule $f(0)$ avec la forme développée, puis avec la forme trouvée par Léna. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bRepère son erreur et écris la forme canonique correcte de $f(x)$.
3. cVérifie ton résultat en calculant $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
4. dComplète le carré pour mettre $g(x) = -2x^2 - 20x - 41$ sous forme canonique.

Ex. 12★★★Extremum justifié et tableau de variations — On considère le trinôme $f$ défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^2 + 12x - 7$.

1. aMets $f(x)$ sous forme canonique.
2. bDéduis-en, à l'aide de $(x - \alpha)^2 \geqslant 0$, que $f$ admet un extremum. Donne sa nature, sa valeur et en quel $x$ il est atteint.
3. cDresse le tableau de variations de $f$.
4. dGabriel écrit : « $\alpha = 2$, donc $\beta = f(-2) = -43$ : le minimum de $f$ est $-43$. » Explique ses deux erreurs.

Ex. 13★★★Retrouver un trinôme grâce à la symétrie — Un trinôme $f$ s'écrit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$. On connaît le tableau de valeurs suivant :

1. aDéduis du tableau la valeur de $\alpha$. Justifie.
2. bÀ l'aide de $f(0)$ et $f(3)$, écris un système d'inconnues $a$ et $\beta$, puis résous-le.
3. cDonne la forme développée de $f(x)$ et l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.
4. dSans calculer $f(8)$ avec la forme développée, donne sa valeur. Justifie.

Ex. 14★★★Le plongeon d'Inès — Inès plonge depuis un plongeoir de la piscine de Brest. On modélise sa trajectoire par $h(x) = -0{,}4x^2 + 2{,}4x + 2{,}8$. Ici, $x$ est la distance horizontale au plongeoir et $h(x)$ la hauteur au-dessus de l'eau, en mètres.

1. aCalcule $\alpha$ puis $\beta$ (attention au signe de $a$). Écris ensuite $h(x)$ sous forme canonique.
2. bDémontre que $h(x) \leqslant \beta$ pour tout réel $x$. Déduis-en la hauteur maximale d'Inès et la distance horizontale à laquelle elle l'atteint.
3. cVérifie que $h(7) = 0$. Dresse ensuite le tableau de variations de $h$ sur $[0\,;7]$.
4. dSans résoudre d'équation, trouve à quelle distance horizontale Inès repasse à la hauteur du plongeoir. Justifie, puis vérifie par un calcul.

Ex. 15★★★Un trinôme construit à partir de son sommet — On cherche les réels $b$ et $c$ tels que la parabole représentant la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x^2 + bx + c$ ait pour sommet $S(-3\,;2)$.

1. aOn rappelle que $\alpha = -\frac{b}{2a}$. Écris l'équation d'inconnue $b$ qui traduit $\alpha = -3$, puis déduis-en $b$.
2. bPour trouver $c$, Yanis écrit : « $\beta = f(3)$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis détermine $c$.
3. cÉcris $f(x)$ sous forme canonique. Vérifie en développant.
4. dDémontre que $f(x) \geqslant 2$ pour tout réel $x$. Déduis-en le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$.
5. eRésous l'équation $f(x) = 50$ à l'aide de la forme canonique. Explique pourquoi le milieu des deux solutions est $-3$.

Ex. 16★★★La plus petite somme de carrés — Chloé cherche deux réels dont la somme vaut 10 et dont la somme des carrés est la plus petite possible. On note $x$ le premier réel et $S(x)$ la somme des carrés des deux réels.

1. aExprime le second réel en fonction de $x$. Démontre que $S(x) = 2x^2 - 20x + 100$.
2. bMets $S(x)$ sous forme canonique en complétant le carré : commence par factoriser $2$ dans $2x^2 - 20x$.
3. cDresse le tableau de variations de $S$ sur $\mathbb{R}$. Justifie le sens des flèches.
4. dDémontre que $S(x) \geqslant 50$ pour tout réel $x$. Déduis-en les deux réels cherchés par Chloé.
5. ePour une somme $s$ quelconque, démontre que $S(x) = 2x^2 - 2sx + s^2$. Déduis-en les deux réels cherchés.

Ex. 17★★★Calculer un discriminant — Pour chaque trinôme $f(x)$, écris $a$, $b$, $c$ puis calcule $\Delta = b^2 - 4ac$. Déduis-en le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.

Ex. 18★★★Résoudre une équation du second degré — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque équation. Donne l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions sous forme exacte simplifiée.

Ex. 19★★★Tout dans un membre avant de lire a, b, c — Ramène chaque équation à la forme $ax^2 + bx + c = 0$, puis résous-la dans $\mathbb{R}$.

Ex. 20★★★Corriger les copies de Lina et Théo — Lina résout $-2x^2 - 3x + 5 = 0$ et écrit : « $\Delta = -3^2 - 4 \times (-2) \times 5 = -9 + 40 = 31$ ». Théo résout $x^2 + 2x + 7 = 0$ et écrit : « $\Delta = -24$, je prends $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$, donc $x = -1 \pm \sqrt{6}$ ».

1. aExplique l'erreur de Lina dans le calcul de $\Delta$, puis calcule le bon discriminant.
2. bLina écrit ensuite $x_1 = \frac{3 - \sqrt{\Delta}}{2}$. Corrige cette formule, puis donne l'ensemble des solutions de son équation.
3. cThéo a-t-il raison ? Justifie, puis donne l'ensemble des solutions de son équation.
4. dCalcule $(-1 + \sqrt{6})^2 + 2(-1 + \sqrt{6}) + 7$. Que confirme ce résultat ?

Ex. 21★★★Équation bicarrée et équation avec quotient — On considère les équations (E) : $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ et (F) : $\frac{x^2 + 2x - 15}{x + 5} = 0$.

1. aOn pose $X = x^2$. Écris l'équation vérifiée par $X$, puis résous-la.
2. bDéduis-en l'ensemble des solutions de (E). Justifie le rejet éventuel d'une valeur de $X$.
3. cDonne la valeur interdite de l'équation
   (F).
4. dRésous l'équation (F) dans $\mathbb{R}$.

Ex. 22★★★Démontrer la formule des racines — Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4ac$. On veut démontrer le théorème de résolution de $f(x) = 0$, puis l'appliquer à un exemple.

1. aDémontre que pour tout réel $x$ : $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$.
2. bDéduis-en que si $\Delta < 0$, l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune solution réelle. Justifie avec le signe de chaque terme.
3. cDémontre que si $\Delta = 0$, l'équation a une seule solution, et que si $\Delta > 0$, elle a deux solutions que tu exprimeras en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
4. dSans utiliser la formule des racines, mets $3x^2 - 4x - 2$ sous la forme $3\left[(x - \alpha)^2 - k\right]$, puis résous $3x^2 - 4x - 2 = 0$.
5. eRetrouve les solutions de la question précédente avec $\Delta$ et la formule des racines, en simplifiant $\sqrt{\Delta}$ et la fraction.

Ex. 23★★★Le dégagement d'Inès à Rennes — À Rennes, Inès dégage un ballon. Sa hauteur, en mètres, est $h(x) = -0{,}05x^2 + x + 2$, où $x$ est la distance horizontale parcourue, en mètres, avec $x \geqslant 0$.

1. aDe quelle hauteur part le ballon ?
2. bÀ quelle distance d'Inès le ballon touche-t-il le sol ? Donne la valeur exacte simplifiée, puis un arrondi au centimètre.
3. cÀ quelles distances le ballon est-il à $6{,}8$ m de hauteur ?
4. dLe ballon peut-il atteindre $7{,}5$ m de hauteur ? Justifie avec un discriminant.
5. eDétermine la hauteur $k$ pour laquelle l'équation $h(x) = k$ a exactement une solution. Que représente cette valeur de $k$ pour le ballon ?

Ex. 24★★★Une équation qui dépend d'un paramètre — Pour tout réel $m$, on considère l'équation $(E_m)$ : $(m - 2)x^2 - 6x + 3 = 0$, d'inconnue $x$.

1. aRésous $(E_m)$ pour $m = 2$. Cette équation est-elle du second degré ? Justifie.
2. bPour $m \neq 2$, exprime le discriminant $\Delta$ de $(E_m)$ en fonction de $m$.
3. cDétermine toutes les valeurs de $m$ pour lesquelles $(E_m)$ a exactement une solution, et donne cette solution à chaque fois.
4. dRésous $(E_m)$ pour $m = -1$. Donne les solutions sous forme exacte simplifiée.
5. eDétermine $m$ pour que $-1$ soit solution de $(E_m)$. Déduis-en l'autre solution, sachant que le produit des racines vaut $\frac{c}{a}$.

Ex. 25★★★Factoriser à l'aide du discriminant — Pour chaque trinôme, calcule $\Delta$, puis factorise-le si c'est possible. Garde $a$ devant et contrôle en développant.

1. a$A(x) = 2x^2 + 5x - 3$
2. b$B(x) = -x^2 + 6x - 5$
3. c$C(x) = 9x^2 - 12x + 4$
4. d$D(x) = 3x^2 - 2x + 5$
5. e$E(x) = 5x^2 - 7x - 6$
6. f$F(x) = x^2 + 2x - 4$

Ex. 26★★★Factoriser sans discriminant — Factorise chaque expression sans calculer $\Delta$ : repère un facteur commun ou une identité remarquable.

1. a$G(x) = 4x^2 - 20x$
2. b$H(x) = x^2 - 49$
3. c$K(x) = 25x^2 + 10x + 1$
4. d$L(x) = -3x^2 + 12$
5. e$M(x) = x^2 - 16x + 64$
6. f$N(x) = (x + 1)^2 - 9$

Ex. 27★★★Trois factorisations à corriger — Trois élèves de Ben ont factorisé un trinôme. Contrôle chaque résultat et corrige-le si besoin.

1. aInès écrit $2x^2 - 5x + 2 = (x - 2)\left(x - \frac{1}{2}\right)$. Développe le membre de droite. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bVérifie que $2$ et $\frac{1}{2}$ sont les racines de $2x^2 - 5x + 2$, puis écris sa factorisation correcte.
3. cLéo écrit $x^2 + x - 12 = (x - 4)(x + 3)$. Contrôle en développant, puis corrige à l'aide de $\Delta$.
4. dHugo écrit : « $x^2 + 4x + 7 = (x + 2)^2 + 3$, c'est la forme factorisée ». A-t-il raison ? Justifie avec $\Delta$.

Ex. 28★★★Mêmes racines, trinômes différents — La parabole $\mathcal{P}$ d'un trinôme $f$ coupe l'axe des abscisses en $1$ et $4$ et passe par $A(0\,;-8)$. La parabole $\mathcal{Q}$ d'un trinôme $g$ coupe l'axe des abscisses aux mêmes points et passe par $B(2\,;-4)$.

1. aJustifie que $f(x) = a(x - 1)(x - 4)$, puis calcule $a$ à l'aide du point $A$.
2. bDonne la forme développée de $f$, puis contrôle avec le point $A$.
3. cDétermine $g(x)$ sous forme factorisée, puis sous forme développée.
4. dNora affirme : « deux trinômes qui ont les mêmes racines sont égaux ». Vrai ou faux ? Justifie.
5. eDonne l'axe de symétrie commun à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$. Justifie.

Ex. 29★★★Retrouver un trinôme à partir de tableaux — Voici le tableau de variations d'un trinôme $f$, dont la parabole passe par $C(4\,;9)$, puis le tableau de valeurs d'un trinôme $g$.

1. aLis le sommet $S$ de la parabole de $f$, puis déduis-en l'écriture de $f(x)$ sous forme canonique, avec $a$ inconnu.
2. bCalcule $a$ à l'aide du point $C$, puis donne la forme développée de $f$.
3. cFactorise $f(x)$.
4. dUtilise les symétries du tableau de valeurs pour trouver l'axe de symétrie et le sommet de la parabole de $g$.
5. eDéduis-en la forme canonique, puis la forme développée de $g$. Justifie que $g$ ne se factorise pas.

Ex. 30★★★Quand un trinôme se factorise-t-il ? — Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac$. On admet que $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$.

1. aOn suppose $\Delta > 0$. À l'aide de $A^2 - B^2$, démontre que $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, en exprimant $x_1$ et $x_2$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
2. bOn suppose $\Delta < 0$. Démontre que $f(x)$ ne s'annule jamais, puis que $f(x)$ ne peut pas s'écrire $a(x - u)(x - v)$ avec $u$ et $v$ réels.
3. cOn suppose $\Delta = 0$. Démontre que $f(x) = a(x - x_0)^2$, en exprimant $x_0$ en fonction de $a$ et $b$.
4. dLina affirme : « si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors $f(x)$ se factorise. » Vrai ou faux ? Démontre-le, puis applique-le à $-2x^2 + 7x + 3$.

Ex. 31★★★Le jet d'eau d'Annecy — À Annecy, un jet d'eau sort d'une buse placée au point $B(0\,;1)$ (unités en mètres). À la distance horizontale $x$ de la buse, la hauteur du jet est $h(x)$, où $h$ est un trinôme. Le jet atteint sa hauteur maximale, $5$ m, à $4$ m de la buse.

1. aJustifie que $h(x) = a(x - 4)^2 + 5$, puis calcule $a$ à l'aide du point $B$.
2. bDéduis-en la forme développée de $h(x)$.
3. cCalcule $\Delta$, puis écris $h(x)$ sous forme factorisée en gardant $a$ devant.
4. dLe rebord du bassin est au sol, à $8{,}5$ m de la buse. L'eau retombe-t-elle dans le bassin ? Justifie.
5. eÀ quelles distances de la buse le jet est-il à $4$ m de haut ? Choisis la forme la plus adaptée.

Ex. 32★★★Simplifier un quotient grâce aux racines — On pose $N(x) = 2x^2 + 3x - 5$, $D(x) = 3x^2 + 2x - 5$ et $F(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$.

1. aVérifie, sans calculer $\Delta$, que $1$ est une racine de $N(x)$ et de $D(x)$.
2. bÀ l'aide du produit $\frac{c}{a}$ des racines, trouve l'autre racine de $N(x)$ et de $D(x)$. Factorise ces deux trinômes et contrôle en développant.
3. cDonne les valeurs interdites de $F$, puis simplifie $F(x)$ pour les autres valeurs de $x$.
4. dYanis affirme : « $F(1) = \frac{2 \times 1 + 5}{3 \times 1 + 5} = \frac{7}{8}$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eRésous l'équation $F(x) = x$.

Ex. 33★★★Racine évidente et produit — Pour chaque trinôme, teste $1$ puis $-1$ pour trouver une racine évidente. Déduis-en l'autre racine grâce au produit $\frac{c}{a}$.

Ex. 34★★★Somme et produit, si les racines existent — Pour chaque équation, calcule $\Delta$. Si les racines existent, donne leur somme et leur produit sans les calculer.

Ex. 35★★★Une racine connue, l'autre par le produit — On considère le trinôme $f(x) = 2x^2 - 11x + 15$.

1. aVérifie que $3$ est une racine de $f$.
2. bNathan affirme : « l'autre racine est $5$, car $3 \times 5 = 15$ ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine l'autre racine à l'aide du produit, puis contrôle-la avec la somme.
4. dDéduis-en une factorisation de $f(x)$.

Ex. 36★★★L'enclos de Clémence à Rodez — Clémence veut construire à Rodez un enclos rectangulaire de largeur $\ell$ et de longueur $L$ (en m), de périmètre $34$ m et d'aire $60$ m².

1. aDonne la somme $\ell + L$ et le produit $\ell \times L$.
2. bInès affirme que $\ell$ et $L$ sont solutions de $x^2 + 17x + 60 = 0$. A-t-elle raison ? Justifie et donne la bonne équation.
3. cDéduis-en les dimensions de l'enclos.
4. dUn enclos rectangulaire de périmètre $20$ m et d'aire $30$ m² peut-il exister ? Justifie.

Ex. 37★★★Sans calculer les racines — On considère l'équation $(E)$ : $3x^2 + 8x - 2 = 0$. On ne calcule pas ses solutions $x_1$ et $x_2$.

1. aJustifie, sans calculer $\Delta$, que $(E)$ a deux solutions de signes contraires.
2. bCalcule $x_1 + x_2$ et $x_1x_2$. Déduis-en le signe de la solution de plus grande valeur absolue.
3. cCalcule $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$ en factorisant par $x_1x_2$.
4. dCalcule $x_1^2 + x_2^2$ en utilisant $(x_1 + x_2)^2$.
5. eLina trouve à la calculatrice $x_1 \approx 0{,}23$ et $x_2 \approx -2{,}23$. A-t-elle raison ? Justifie sans résoudre $(E)$.

Ex. 38★★★Démontrer les formules, puis s'en méfier — Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac$. Quand elles existent, on note $x_1$ et $x_2$ les racines de $f$.

1. aOn suppose $\Delta > 0$. À partir des formules des racines, démontre que $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
2. bOn suppose $\Delta = 0$. Démontre que ces deux égalités restent vraies pour la racine double.
3. cYanis écrit : « Pour $x^2 + 3x + 5$, la somme des racines vaut $-3$ et leur produit vaut $5$, donc les deux racines sont négatives. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dSoit $u$ et $v$ deux réels de somme $S$ et de produit $P$. Développe $(x - u)(x - v)$. Déduis-en que $u$ et $v$ sont solutions de $x^2 - Sx + P = 0$.
5. eDémontre qu'il existe deux réels de somme $S$ et de produit $P$ si et seulement si $S^2 - 4P \geqslant 0$.

Ex. 39★★★Inverses des solutions, sans les calculer — On considère l'équation $(E)$ : $2x^2 - 10x + 7 = 0$. On note $x_1$ et $x_2$ ses solutions éventuelles. Ne calcule pas $x_1$ et $x_2$.

1. aJustifie que $(E)$ a deux solutions. Détermine ensuite leur signe à l'aide de leur produit et de leur somme.
2. bCalcule $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ sans calculer $x_1$ et $x_2$.
3. cÉcris $(x_1 - x_2)^2$ en fonction de $x_1 + x_2$ et de $x_1 x_2$. Déduis-en l'écart entre les deux solutions.
4. dÉcris une équation du second degré, à coefficients entiers, dont les solutions sont $\frac{1}{x_1}$ et $\frac{1}{x_2}$.

Ex. 40★★★Une solution commune à toute une famille — Pour tout réel $m$, on considère l'équation $(E_m)$ : $2x^2 + (m - 2)x - m = 0$.

1. aCalcule $a + b + c$. Déduis-en une solution de $(E_m)$ valable pour tout réel $m$.
2. bDéduis-en l'autre solution de $(E_m)$ en fonction de $m$. Contrôle-la avec la somme des solutions.
3. cDétermine $m$ pour que $(E_m)$ ait une solution double, et donne cette solution.
4. dDétermine $m$ pour que les deux solutions de $(E_m)$ soient opposées. Résous alors $(E_m)$.
5. eOn suppose $m \neq 0$. Détermine $m$ pour que la somme des inverses des solutions vaille $-1$.

Ex. 41★★★Des nombres à retrouver — Pour chaque phrase, nomme l'inconnue, écris l'équation puis résous-la. Donne la réponse en tenant compte du contexte.

1. aUn nombre augmenté de son carré vaut 42. Quel est ce nombre ?
2. bLe produit de deux entiers consécutifs vaut 156. Quels sont ces deux entiers ?
3. cLe carré d'un nombre est égal à 5 fois ce nombre. Quel est ce nombre ?
4. dLe produit de deux entiers naturels pairs consécutifs vaut 168. Quels sont ces deux entiers ?
5. eLe carré d'un nombre positif, diminué de son triple, vaut 10. Quel est ce nombre ?
6. fLa somme d'un nombre non nul et de son inverse vaut $\frac{5}{2}$. Quel est ce nombre ?

Ex. 42★★★Maximal ou minimal : la forme canonique — Mets chaque trinôme sous forme canonique. Déduis-en son extremum (maximum ou minimum) et la valeur de la variable pour laquelle il est atteint.

1. aLe gain (en €) d'un stand de jus de fruits selon le nombre $x$ de litres vendus : $G(x) = -2x^2 + 40x - 150$.
2. bL'aire (en cm²) d'un rectangle de côté $x$ (en cm) et de périmètre 24 cm : $A(x) = x(12 - x)$.
3. cLa température (en °C) d'une serre à l'instant $t$ (en h) : $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 4$.
4. dLe coût de production (en centaines d'euros) de $x$ tonnes de farine : $C(x) = 3x^2 - 24x + 60$.
5. eLe trinôme $d(x) = x^2 + 6x + 13$.

Ex. 43★★★L'allée du jardin — À Rennes, Inès aménage un jardin rectangulaire de 20 m sur 14 m. À l'intérieur, le long des quatre bords, elle trace une allée de largeur constante $x$ (en m). Le reste forme une pelouse rectangulaire.

1. aQuelles valeurs $x$ peut-il prendre ? Justifie.
2. bExprime l'aire $A(x)$ de la pelouse (en m²) en fonction de $x$, puis développe-la.
3. cQuelle largeur d'allée donne une pelouse de 160 m² ?
4. dInès veut une pelouse qui occupe exactement la moitié du jardin. Donne la largeur de l'allée en valeur exacte, puis arrondie au cm.

Ex. 44★★★Le lancer de ballon — À Lyon, Malik lance un ballon vers le haut. La hauteur du ballon (en m) à l'instant $t$ (en s, $t \geqslant 0$) est $h(t) = -4{,}9t^2 + 19{,}6t + 1{,}5$.

1. aMets $h(t)$ sous forme canonique. Déduis-en la hauteur maximale du ballon et l'instant où elle est atteinte.
2. bÀ quels instants le ballon est-il à 16,2 m de hauteur ?
3. cDétermine l'instant exact où le ballon touche le sol, puis une valeur arrondie au centième.
4. dLe ballon repasse à sa hauteur de départ. À quel instant ? Justifie par le calcul.

Ex. 45★★★L'atelier de bougies — À Nantes, Chloé fabrique et vend des bougies. Pour $x$ bougies ($x$ entier, $0 \leqslant x \leqslant 50$), la recette est $R(x) = 50x$ et le coût de fabrication $C(x) = x^2 + 10x + 300$, en euros.

1. aExprime le bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$.
2. bPour combien de bougies le bénéfice est-il nul ?
3. cCombien de bougies Chloé doit-elle fabriquer pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice ?
4. dLucas affirme : « Pour un bénéfice de 64 €, il faut fabriquer exactement 28 bougies. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 46★★★L'enclos adossé au mur — À Arles, Yanis dispose de 36 m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté et ne demande pas de grillage. On note $x$ (en m) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. aExprime en fonction de $x$ la longueur du côté parallèle au mur. Quelles valeurs $x$ peut-il prendre ? Justifie.
2. bExprime l'aire $A(x)$ de l'enclos (en m²) sous forme développée.
3. cMets $A(x)$ sous forme canonique. Déduis-en l'aire maximale de l'enclos et ses dimensions dans ce cas.
4. dYanis veut une aire égale à 160 m². Détermine toutes les dimensions possibles de l'enclos.
5. eSon voisin affirme : « Avec ces 36 m, on peut obtenir 170 m². » A-t-il raison ? Justifie de deux façons.

Ex. 47★★★Les sorties à vélo — À Grenoble, Léna fait une sortie de 60 km à vélo, à vitesse constante. On note $v$ sa vitesse (en km/h). Si elle roulait 5 km/h plus vite, elle mettrait 1 h de moins.

1. aExprime en fonction de $v$ la durée $t_1$ du trajet, puis la durée $t_2$ à la vitesse $v + 5$. Quelles valeurs de $v$ conviennent ?
2. bTraduis l'énoncé par une équation, puis ramène-la à une équation du second degré d'inconnue $v$.
3. cRésous cette équation. Déduis-en la vitesse de Léna et la durée de sa sortie.
4. dLe lendemain, Léna fait 60 km à l'aller à $u$ km/h, puis 60 km au retour 10 km/h moins vite : 5 h au total. Détermine $u$
   (domaine, équation, conclusion).

Ex. 48★★★Défis d'entiers consécutifs — À Besançon, Noah propose des défis à son club de calcul mental. Pour chaque défi, nomme l'inconnue, précise si c'est un entier naturel ou relatif, mets en équation puis conclus par une phrase.

1. aTrouve deux entiers naturels consécutifs dont le produit dépasse leur somme de 271.
2. bDémontre qu'il n'existe aucun couple d'entiers consécutifs dont le produit vaut 2026.
3. cTrouve tous les triplets d'entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés vaut 365. Note $n$ l'entier du milieu.
4. dTrouve deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés vaut aussi 365.