Terminale spécialité / Raisonnement par récurrence

Ex. 1★★★Premier rang et rang k + 1 — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $2 + 4 + \dots + 2n = n(n+1)$ ». Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{Q}(n)$ la propriété : « $1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^n = \frac{5^{n+1} - 1}{4}$ ».

1. aVérifie que $\mathcal{P}(1)$ est vraie en calculant séparément les deux membres.
2. bÉcris $\mathcal{P}(k+1)$ en entier, sans rien calculer.
3. cÀ quel rang commence-t-on pour $\mathcal{Q}$ ? Vérifie $\mathcal{Q}$ à ce rang.
4. dCombien de termes la somme de $\mathcal{Q}(n)$ contient-elle ?
5. eÉcris $\mathcal{Q}(k+1)$ en entier, sans rien calculer.
6. fVérifie que, pour tout entier naturel $k$, $\frac{5^{k+1} - 1}{4} + 5^{k+1} = \frac{5^{k+2} - 1}{4}$.

Ex. 2★★★Compléter une rédaction — On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $S_n = 1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. On note $\mathcal{P}(n)$ cette propriété. Complète la rédaction étape par étape.

1. aRédige l'initialisation.
2. bSoit $k \geqslant 1$ un entier fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie. Écris l'hypothèse de récurrence, puis ce qu'il faut montrer.
3. cQuel est le dernier terme de $S_{k+1}$ ? Exprime $S_{k+1}$ en fonction de $S_k$.
4. dRemplace $S_k$ grâce à l'hypothèse, puis factorise par $(k+1)(k+2)$ pour terminer l'hérédité.
5. eRédige la conclusion.

Ex. 3★★★Cinq rédactions, cinq erreurs — Chaque élève a commis une erreur dans sa récurrence. Repère-la et corrige-la.

1. aHugo commence son hérédité par : « Supposons que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. » Quelle est l'erreur ? Écris la bonne phrase.
2. bPour la somme $1^2 + 2^2 + \dots + n^2$, Inès écrit qu'au rang $k+1$ elle vaut $1^2 + \dots + k^2 + k^2 + 1$. Corrige le dernier terme.
3. cMalik montre que si $6^k + 2$ est divisible par $5$, alors $6^{k+1} + 2 = 6(6^k + 2) - 10$ l'est aussi. Il en conclut que $6^n + 2$ est divisible par $5$ pour tout entier naturel $n$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour démontrer que $\sum_{i=0}^{n} (i+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ pour tout entier naturel $n$, Nora fait l'initialisation au rang $1$. Corrige son initialisation.
5. eTom a démontré l'initialisation au rang $1$ et l'hérédité. Il conclut : « 
   Donc $\mathcal{P}(n)$ est vraie. » Réécris une conclusion complète.

Ex. 4★★★La somme des carrés — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $S_n = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2$.

1. aCalcule $S_1$, $S_2$ et $S_3$, puis vérifie qu'ils sont égaux à $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour $n = 1$, $2$ et $3$.
2. bÉcris l'égalité qu'il faudra démontrer au rang $k+1$, en simplifiant chaque facteur.
3. cDémontre par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Factorise par $(k+1)$ plutôt que de tout développer.
4. dDéduis-en la valeur de $1^2 + 2^2 + \dots + 20^2$.

Ex. 5★★★Une somme de fractions — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $T_n = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.

1. aCalcule $T_1$ et $T_2$ sous forme de fractions irréductibles.
2. bQuel terme faut-il ajouter à $T_k$ pour obtenir $T_{k+1}$ ?
3. cVérifie que, pour tout entier $k \geqslant 1$, $\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}$.
4. dDémontre par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $T_n = \frac{n}{2n+1}$.

Ex. 6★★★Héréditaire… mais fausse — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $1 + 2 + \dots + n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$ ». Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a« La propriété $\mathcal{P}$ est héréditaire. »
2. b« $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$. »
3. c« $\mathcal{P}(n)$ n'est vraie pour aucun entier $n \geqslant 1$. »
4. d« Une propriété vraie pour $n = 1, 2, \dots, 50$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$. »

Ex. 7★★★La tirelire de Rayan — La semaine 1, Rayan met $2$ € dans sa tirelire. Ensuite, chaque semaine, il met $3$ € de plus que la semaine précédente. On note $T_n$ le total épargné après $n$ semaines ($n \geqslant 1$).

1. aCalcule $T_1$, $T_2$ et $T_3$.
2. bQuel montant Rayan dépose-t-il la semaine $k+1$ ? Exprime $T_{k+1}$ en fonction de $T_k$.
3. cDémontre par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $T_n = \frac{n(3n+1)}{2}$.
4. dAu bout de combien de semaines le total dépasse-t-il $500$ € ?

Ex. 8★★★Des cubes et des triangles — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $S_n = 1^3 + 2^3 + \dots + n^3$ et $T_n = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

1. aCalcule $S_1$, $S_2$, $S_3$ et $S_4$. Compare-les aux valeurs de $T_n$ du tableau, puis conjecture une expression de $S_n$ en fonction de $n$.
2. bMila a vérifié ta conjecture pour $n = 1$, $2$, $3$ et $4$. Elle affirme : « C'est démontré. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDémontre ta conjecture par récurrence, en factorisant par $(k+1)^2$ dans l'hérédité.
4. dDéduis-en la valeur de $11^3 + 12^3 + \dots + 20^3$.

Ex. 9★★★Une somme qui commence à 0 — Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = 1 \times 2^0 + 2 \times 2^1 + 3 \times 2^2 + \dots + (n+1) \times 2^n$.

1. aÉcris $S_0$, $S_1$ et $S_2$ sous forme de sommes, puis calcule-les.
2. bPour son hérédité, Léna écrit : « $S_{k+1} = S_k + (k+1) \times 2^k$ ». Explique son erreur et donne le bon terme à ajouter.
3. cDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $S_n = n \times 2^{n+1} + 1$.
4. dCalcule $1 + 2 \times 2 + 3 \times 2^2 + \dots + 10 \times 2^9$ en précisant à quel rang $n$ correspond cette somme.

Ex. 10★★★La pyramide de Zoé — Zoé construit une pyramide avec des cubes en bois. L'étage du haut compte $1$ cube. Chaque étage est un carré dont le côté a $2$ cubes de plus que celui de l'étage du dessus. Pour tout entier $n \geqslant 1$, $C_n = 1^2 + 3^2 + \dots + (2n-1)^2$ est le nombre de cubes d'une pyramide à $n$ étages.

1. aCalcule $C_1$, $C_2$ et $C_3$.
2. bPour tout entier $n \geqslant 1$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $C_n = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ ». Écris $\mathcal{P}(k+1)$ en simplifiant, puis exprime $C_{k+1}$ en fonction de $C_k$.
3. cDémontre par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$, en factorisant par $(2k+1)$ dans l'hérédité.
4. dZoé a $2\,000$ cubes. Combien d'étages complets peut-elle construire au maximum ? Combien de cubes lui reste-t-il ?

Ex. 11★★★Compléter une hérédité avec une fonction croissante — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{3x+2}{x+4}$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$. On veut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant 1$.

1. aCalcule $f'(x)$ et déduis-en le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bCalcule $f(0)$ et $f(1)$.
3. cRédige l'initialisation.
4. dSoit $k$ un entier naturel tel que $0 \leqslant u_k \leqslant 1$. Quel encadrement de $u_{k+1}$ obtiens-tu en appliquant $f$ ? Justifie.
5. eExplique pourquoi cet encadrement donne bien $\mathcal{P}(k+1)$, puis rédige la conclusion.

Ex. 12★★★Encadrer une expression : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a« Si $2 \leqslant x \leqslant 5$, alors $-5 \leqslant -3x + 1 \leqslant -14$. »
2. b« Si $0 \leqslant x \leqslant 4$, alors $1 \leqslant \sqrt{2x+1} \leqslant 3$. »
3. c« Si $1 \leqslant x \leqslant 2$, alors $2 \leqslant \frac{4}{x} \leqslant 4$. »
4. d« Si $-1 \leqslant x \leqslant 2$, alors $1 \leqslant x^2 \leqslant 4$. »
5. e« Si $0 < x \leqslant 3$, alors $1 < \mathrm{e}^{x}$. »
6. f« Pour démontrer qu'une suite $(u_n)$ est croissante, il suffit de démontrer par récurrence que $u_n \geqslant 0$ pour tout entier naturel $n$. »

Ex. 13★★★Choisir la bonne propriété pour le sens de variation — Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. On admet que tous ses termes sont positifs. On veut démontrer que $(u_n)$ est croissante.

1. aExplique pourquoi un raisonnement par récurrence est adapté ici.
2. bÉcris la propriété $\mathcal{P}(n)$ qu'il faut démontrer.
3. cCalcule $u_1$ et rédige l'initialisation.
4. dSoit $k$ un entier naturel tel que $u_k \leqslant u_{k+1}$. Démontre que $u_{k+1} \leqslant u_{k+2}$ en justifiant chaque étape.
5. eRédige la conclusion.

Ex. 14★★★Les truites du lac — Au 1er janvier 2026, un lac compte $2\,000$ truites. Chaque année, $20\,\%$ des truites disparaissent et on en relâche $1\,000$. On note $u_n$ le nombre de truites, en milliers, au 1er janvier $2026 + n$. Ainsi $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 1$.

1. aCalcule $u_1$ et $u_2$.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 5$.
3. cInterprète ce résultat pour la population de truites.
4. dInès affirme qu'il suffisait de savoir que $u_n < 5$ pour en déduire que la population augmente. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 15★★★Une fonction décroissante inverse l'ordre — Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{6}{u_n + 1}$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$. La suite $(u_n)$ est-elle monotone ? Justifie.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : $\frac{3}{2} \leqslant u_n \leqslant 3$. Pourquoi ne commence-t-on pas au rang $0$ ?
3. cMaé écrit : « $x \mapsto \frac{6}{x+1}$ est décroissante, donc à partir de $u_0 \leqslant u_1$ j'obtiens par récurrence $u_n \leqslant u_{n+1}$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 16★★★Une fonction monotone seulement sur un intervalle — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(2 - x)$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. aTom écrit : « $0 \leqslant x \leqslant 2$ donne $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(2)$. » Calcule $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$, puis explique son erreur.
2. bÉtudie le sens de variation de $f$ sur $[0\,;1]$.
3. cDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 < u_n < 1$.
4. dExprime $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $u_n$, puis déduis-en le sens de variation de $(u_n)$.

Ex. 17★★★Conjecturer sur un escalier, puis démontrer — Soit $f$ la fonction définie sur $[-6\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x+6}$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$. La figure montre la courbe $\mathcal{C}$ de $f$, la droite d'équation $y = x$ et les premiers termes de la suite.

1. aConjecture le sens de variation de $(u_n)$. Quel minorant entier suggère le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $y = x$ ?
2. bVérifie ta lecture en calculant l'image de ce minorant par $f$, puis justifie que $f$ est croissante sur $[-6\,;+\infty[$.
3. cÉcris une propriété $\mathcal{P}(n)$ qui traduit ta conjecture (sens de variation et minorant, avec le majorant $8$), puis démontre-la par récurrence.
4. dQue peux-tu conclure sur la suite $(u_n)$ ?

Ex. 18★★★Une suite construite avec $x\,\mathrm{e}^{-x}$ — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. aCalcule $f'(x)$ et déduis-en le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bCalcule $u_1$ (valeur exacte), puis donne une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-3}$ près.
3. cLéa affirme : « $f$ n'est pas croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc on ne peut pas appliquer $f$ à un encadrement de $u_n$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 < u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$. Conclus sur le sens de variation de $(u_n)$.
5. eRetrouve ce sens de variation d'une autre façon : en utilisant $u_n > 0$ (question 4), étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.

Ex. 19★★★Même fonction, deux destins — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2}{4} + 1$. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $(v_n)$ définie par $v_0 = 3$, avec, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$ et $v_{n+1} = f(v_n)$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Avec le graphique et le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $y = x$, conjecture le sens de variation de $(u_n)$ et un majorant entier.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
3. cDémontre que pour tout réel $x$, $f(x) - x = \frac{(x-2)^2}{4}$, puis calcule $v_1$ et $v_2$.
4. dDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $v_n \geqslant 3 + \frac{n}{4}$.
5. eDétermine un entier $N$ tel que, pour tout entier $n \geqslant N$, $v_n \geqslant 100$.

Ex. 20★★★La méthode de Héron pour approcher √5 — Ben montre à Sacha une méthode très ancienne pour approcher $\sqrt{5}$. Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{5}{x}\right)$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. aCalcule $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions irréductibles.
2. bDémontre que pour tout réel $x > 0$, $f(x) - \sqrt{5} = \frac{(x - \sqrt{5})^2}{2x}$.
3. cDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est bien défini et $u_n > \sqrt{5}$
   (inégalité stricte).
4. dÉtudie le signe de $u_{n+1} - u_n$, puis déduis-en le sens de variation de $(u_n)$.
5. eDéduis de la question 3 que $\frac{5}{u_2} < \sqrt{5} < u_2$, puis donne un encadrement de $\sqrt{5}$ par deux fractions, d'amplitude inférieure à $10^{-2}$.

Ex. 21★★★Bien démarrer : initialisation et rang de départ — Dans chaque cas, la suite et la propriété $\mathcal{P}(n)$ sont données.

1. a$u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 4u_n - 9$ ; $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2 \times 4^n + 3$ ». Vérifie $\mathcal{P}(0)$.
2. b$(v_n)$ est définie pour $n \geqslant 1$ par $v_1 = 1$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$ ; $\mathcal{P}(n)$ : « $v_n = n^2$ ». Quel est le premier rang ? Vérifie l'initialisation.
3. c$a_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = a_n + 2^n$. Mehdi vérifie « $a_n = 2^n$ » pour $n = 0$, $1$ et $2$, puis dit que c'est démontré. A-t-il raison ? Justifie.
4. d$z_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1} = z_n - \frac{2}{(n+1)(n+2)}$ ; $\mathcal{P}(n)$ : « $z_n = \frac{n+3}{n+1}$ ». Écris $\mathcal{P}(k+1)$ en simplifiant, puis vérifie $\mathcal{P}(0)$.

Ex. 22★★★Une hérédité à compléter — Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n + 3$. On veut démontrer par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2^{n+2} - 3$ ».

1. aSoit $k$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie. Écris l'hypothèse de récurrence.
2. bÉcris l'égalité qu'il faut obtenir, c'est-à-dire $\mathcal{P}(k+1)$, avec un exposant simplifié.
3. cPars de $u_{k+1} = 2u_k + 3$ et remplace $u_k$ grâce à l'hypothèse. Simplifie avec une seule puissance de $2$.
4. dLina écrit $2 \times 2^{k+2} = 4^{k+2}$. A-t-elle raison ? Justifie avec $k = 0$.
5. eVérifie $\mathcal{P}(0)$, puis rédige la conclusion de la récurrence.

Ex. 23★★★Erreurs dans des copies — Voici des extraits de rédactions d'élèves.

1. aHugo : $v_0 = 2$, $v_{n+1} = v_n + 6$, $\mathcal{P}(n)$ : « $v_n = 6n + 2$ ». Hérédité : « $v_{k+1} = 6(k+1) + 2 = 6k + 8 = v_k + 6$ ». Repère l'erreur et corrige-la.
2. bInès : $w_0 = 4$, $w_{n+1} = 3w_n - 2$. Elle démontre l'hérédité de « $w_n = 3^n + 1$ » et conclut que c'est vrai pour tout entier naturel $n$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cSami : $t_1 = 2$ et, pour $n \geqslant 1$, $t_{n+1} = t_n + 2(n+1)$ ; $\mathcal{P}(n)$ : « $t_n = n(n+1)$ ». Initialisation : « $t_0 = 0 \times 1 = 0$ ». Corrige-la.
4. dLéo : $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 5u_n$, $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2 \times 5^n$ ». Hérédité : « $u_{k+1} = 5 \times 2 \times 5^k = 10^{k+1}$ ». Calcule $u_2$ de deux façons pour montrer l'erreur, puis corrige.

Ex. 24★★★Une suite de fractions — Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_1 = \frac{1}{2}$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_{n+1} = \frac{1}{2 - v_n}$.

1. aSoit $k \geqslant 1$ un entier tel que $v_k = \frac{k}{k+1}$. Exprime $2 - v_k$ en fonction de $k$ et justifie que $2 - v_k \neq 0$.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_n = \frac{n}{n+1}$.
3. cDétermine le plus petit entier $n \geqslant 1$ tel que $v_n \geqslant 0{,}99$.

Ex. 25★★★Dérivées successives de x eˣ — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^x$. On note $f^{(n)}$ sa dérivée $n$-ième ($f^{(1)} = f'$ et $f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'$).

1. aDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ et pour tout réel $x$, $f^{(n)}(x) = (x + n)\,\mathrm{e}^x$.
2. bCalcule $f^{(20)}(0)$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $f^{(7)}(x) = 0$.

Ex. 26★★★Le placement de Maëlle — Au début, Maëlle place $1\,000$ € à $5$ % d'intérêts par an. Chaque fin d'année, une fois les intérêts ajoutés, elle verse $200$ € de plus. On note $C_n$ le capital après $n$ années, avec $C_0 = 1\,000$.

1. aJustifie que pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1} = 1{,}05 \times C_n + 200$.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $C_n = 5\,000 \times 1{,}05^n - 4\,000$.
3. cCalcule le capital après $10$ ans, arrondi au centime.

Ex. 27★★★La conjecture de Jade — Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + n + 1$. Jade a calculé :

1. aJade en déduit que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.
3. cCalcule $u_{30}$.

Ex. 28★★★Conjecturer à partir d'un tableau — Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - n + 1$. Voici ses premiers termes :

1. aCalcule $u_4$ et $u_5$.
2. bCalcule $u_n - n$ pour $n$ allant de $0$ à $5$. Conjecture une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. cDémontre par récurrence ta conjecture pour tout entier naturel $n$.
4. dRayan affirme : « $u_n$ est impair pour tout entier naturel $n$, car $u_1$ et $u_3$ le sont. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eDétermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n > 500$.

Ex. 29★★★Passer par l'inverse pour conjecturer — Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions irréductibles.
2. bCalcule $\frac{1}{u_n}$ pour $n$ allant de $0$ à $3$. Conjecture une expression de $\frac{1}{u_n}$, puis de $u_n$, en fonction de $n$.
3. cDémontre ta conjecture sur $u_n$ par récurrence. Justifie que le dénominateur $1 + u_k$ n'est pas nul.
4. dDémontre que la suite $(u_n)$ est décroissante.
5. eDétermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n < 0{,}01$.

Ex. 30★★★Les nénuphars de l'étang — La semaine 1, des nénuphars couvrent $7$ m² d'un étang de $1\,000$ m². Chaque semaine, leur surface double, puis Noé en retire $5$ m². On note $u_n$ la surface (en m²) couverte la semaine $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$. Ainsi $u_1 = 7$.

1. aJustifie que pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 2u_n - 5$. Calcule $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. bNoé remarque que $n^2 - n + 7$ donne $u_1$, $u_2$ et $u_3$. A-t-il prouvé que $u_n = n^2 - n + 7$ pour tout entier $n \geqslant 1$ ? Justifie.
3. cDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_n = 2^n + 5$.
4. dÀ partir de quelle semaine les nénuphars couvrent-ils tout l'étang ? Justifie.

Ex. 31★★★Compléter l'hérédité : 7 puissance n moins 1 — Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $7^n - 1$ est divisible par $6$ ».

1. aCalcule $7^0 - 1$ et $7^2 - 1$, puis écris chacun sous la forme $6 \times (\text{un entier})$.
2. bSoit $k$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie. Traduis $\mathcal{P}(k)$ par une égalité faisant intervenir un entier $m$.
3. cVérifie que $7^{k+1} - 1 = 7(7^k - 1) + 6$.
4. dDéduis-en une écriture de $7^{k+1} - 1$ sous la forme $6 \times (\ldots)$, en fonction de $m$.
5. eJustifie que le facteur obtenu est un entier et conclus l'hérédité.

Ex. 32★★★L'erreur de Lou — Lou veut démontrer que $5^n - 1$ est divisible par $4$ pour tout entier naturel $n$. Voici sa rédaction.
« Initialisation : $5^0 - 1 = 0 = 4 \times 0$. Hérédité : on suppose que $5^k - 1 = 4k$. Alors $5^{k+1} - 1 = 5 \times 5^k - 1 = 5(4k + 1) - 1 = 4(5k + 1)$. »

1. aCalcule $5^2 - 1$ et $4 \times 2$. L'égalité $5^k - 1 = 4k$ est-elle vraie pour $k = 2$ ? Justifie.
2. bExplique l'erreur que Lou commet dans l'hypothèse de récurrence.
3. cÉcris correctement l'hypothèse de récurrence, puis isole $5^k$.
4. dCorrige le calcul de $5^{k+1} - 1$ et conclus l'hérédité.

Ex. 33★★★Vrai ou faux : les pièges de la divisibilité — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a« Comme $13^1 - 1 = 12$, on a démontré que $13^n - 1$ est divisible par $12$ pour tout entier naturel $n$. »
2. b« La propriété « $6^n + 2$ est divisible par $5$ » est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel $n$. »
3. c« Dans l'hérédité, on peut écrire l'hypothèse « $8^k - 1 = 7m$ » sans préciser ce qu'est $m$. »
4. d« $2^n + 1$ est divisible par $3$ pour tout entier naturel $n$. »

Ex. 34★★★Deux puissances : 8 puissance n moins 3 puissance n — Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $8^n - 3^n$ est divisible par $5$ ».

1. aCalcule $8^n - 3^n$ pour $n = 0$, $n = 1$ et $n = 2$, puis vérifie que ces nombres sont divisibles par $5$.
2. bDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $8^n - 3^n$ est divisible par $5$.
3. cPierre affirme : « $8^n - 3^n$ est même divisible par $10$ pour tout entier naturel $n$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Un calcul plus long : divisibilité par 9 — Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $4^n + 15n - 1$ est divisible par $9$ ».

1. aCalcule $4^n + 15n - 1$ pour $n = 0$, $n = 1$ et $n = 2$, et écris chaque résultat sous la forme $9 \times (\text{un entier})$.
2. bSoit $k$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie. Exprime $4^k$ en fonction de $k$ et d'un entier $m$.
3. cExprime $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ en fonction de $m$ et de $k$, puis factorise par $9$.
4. dJustifie que le facteur obtenu est un entier et rédige la conclusion de la récurrence.

Ex. 36★★★n au cube moins n : avec ou sans récurrence — Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $n^3 - n$ est divisible par $3$ ».

1. aCalcule $n^3 - n$ pour $n = 0$, $1$, $2$ et $3$.
2. bDéveloppe $(k+1)^3$, où $k$ est un entier naturel.
3. cDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $n^3 - n$ est divisible par $3$.
4. dInès propose une preuve sans récurrence. Vérifie que $n^3 - n = (n-1) \times n \times (n+1)$, puis explique pourquoi ce produit est divisible par $3$.

Ex. 37★★★Les pièces de Malik — Dans un jeu vidéo, Malik possède $u_n$ pièces après $n$ niveaux. Au départ, $u_0 = 6$. À chaque niveau, son nombre de pièces est multiplié par $7$, puis il paie $12$ pièces : pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 7u_n - 12$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. bDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est divisible par $6$.
3. cMalik remarque que $u_2$ est divisible par $9$. Il en déduit que $u_n$ est divisible par $9$ pour tout entier naturel $n$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 38★★★Chercher le diviseur caché — Pour tout entier naturel $n$, on pose $A_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$.

1. aCalcule $A_0$, $A_1$ et $A_2$, puis décompose chacun en produit de facteurs premiers. Quel entier $d > 1$ divise, d'après toi, tous les $A_n$ ?
2. bDémontre ta conjecture par récurrence. Indication : dans l'hérédité, isole $3^{2k+1}$ dans l'hypothèse.
3. cDéduis-en que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $A_n$ n'est pas un nombre premier.

Ex. 39★★★Un lemme avant la récurrence principale — On veut démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $5n^3 + n$ est divisible par $6$.

1. aCalcule $5n^3 + n$ pour $n = 0$, $1$, $2$ et $3$, et écris chaque résultat sous la forme $6 \times (\text{un entier})$.
2. bDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n$ est divisible par $2$.
3. cSoit $k$ un entier naturel. Développe $5(k+1)^3 + (k+1)$ et montre qu'il est égal à $(5k^3 + k) + 15(k^2 + k) + 6$.
4. dDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $5n^3 + n$ est divisible par $6$.

Ex. 40★★★Le cas général : a puissance n moins 1 — Soit $a$ un entier, $a \geqslant 2$. On s'intéresse aux nombres $a^n - 1$, pour tout entier naturel $n$.

1. aÉcris $6^2 - 1$ et $6^3 - 1$ sous la forme $5 \times (\text{un entier})$.
2. bDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $a^n - 1$ est divisible par $a - 1$.
3. cDéduis-en le chiffre des unités de $11^n$ pour tout entier naturel $n$.
4. dNoé affirme : « Comme $6^2 - 1 = 35$, le nombre $6^n - 1$ est divisible par $35$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eDémontre que, pour tout entier naturel $n$, $6^{2n} - 1$ est divisible par $35$.

Ex. 41★★★Tester les petits rangs avant d'initialiser — On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $2^n \geqslant n^2$ ».

1. aVérifie que $\mathcal{P}(0)$, $\mathcal{P}(1)$ et $\mathcal{P}(2)$ sont vraies.
2. b$\mathcal{P}(3)$ est-elle vraie ? Justifie par un calcul.
3. cVérifie que $\mathcal{P}(4)$ est vraie.
4. dMaël initialise au rang $0$, puis affirme avoir démontré l'hérédité pour tout entier $k \geqslant 0$. Explique pourquoi son hérédité contient forcément une erreur.
5. eQuel rang de départ $n_0$ choisis-tu pour démontrer $\mathcal{P}(n)$ pour tout entier $n \geqslant n_0$ ? Justifie.

Ex. 42★★★Bernoulli pour $a > -1$ : hérédité à compléter — Soit $a$ un réel tel que $a > -1$. On note $\mathcal{P}(n)$ : « $(1+a)^n \geqslant 1+na$ ». Soit $k$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

1. aÉcris $(1+a)^{k+1}$ à l'aide de $(1+a)^k$.
2. bQuel est le signe de $1+a$ ? Justifie.
3. cDéduis de l'hypothèse de récurrence une minoration de $(1+a)^{k+1}$.
4. dDéveloppe et réduis le minorant obtenu à la question précédente.
5. eConclus que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.
6. fPour $a = -0{,}2$, calcule les deux membres de $\mathcal{P}(3)$ et vérifie l'inégalité.

Ex. 43★★★L'erreur de Tom : multiplier par un négatif — Tom veut appliquer Bernoulli avec $a = -3$, c'est-à-dire démontrer $\mathcal{P}(n)$ : « $(-2)^n \geqslant 1 - 3n$ » pour tout entier naturel $n$.

1. aCalcule $(-2)^5$ et $1 - 3 \times 5$. $\mathcal{P}(5)$ est-elle vraie ?
2. bTom écrit : « Par hypothèse, $(-2)^k \geqslant 1-3k$. Je multiplie par $-2$ : $(-2)^{k+1} \geqslant -2+6k$. » Repère son erreur.
3. cÉcris l'inégalité correcte obtenue en multipliant l'hypothèse par $-2$.
4. dQuelle condition sur $a$ manque ici pour que la preuve de Bernoulli fonctionne ? Justifie.

Ex. 44★★★Le placement d'Inès — Inès place $500$ € à intérêts composés au taux annuel de $4$ %. Au bout de $n$ années, son capital vaut $C_n = 500 \times 1{,}04^n$ euros.

1. aDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1{,}04^n \geqslant 1 + 0{,}04n$.
2. bDéduis-en que pour tout entier naturel $n$ : $C_n \geqslant 500 + 20n$.
3. cD'après cette minoration, à partir de combien d'années le capital est-il sûr d'atteindre $1\,000$ € ?
4. dExplique comment cette minoration garantit que le capital dépassera un jour $1\,000\,000$ €. Donne un rang qui convient.

Ex. 45★★★$2^n \geqslant n^2$ à partir du bon rang — On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $2^n \geqslant n^2$ ».

1. aDémontre que pour tout entier $k \geqslant 3$ : $2k^2 \geqslant (k+1)^2$. Tu pourras écrire $2k^2 - (k+1)^2$ sous la forme $(k-1)^2 - c$.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 4$ : $2^n \geqslant n^2$.
3. cDéduis-en que pour tout entier $n \geqslant 4$ : $\frac{n}{2^n} \leqslant \frac{1}{n}$.

Ex. 46★★★Les étagères de Lina : $n! \geqslant 2^{n-1}$ — Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ (« factorielle $n$ »). C'est le nombre de façons dont Lina peut ranger $n$ livres différents sur son étagère.

1. aCalcule $n!$ et $2^{n-1}$ pour $n = 1$, $2$, $3$ et $4$.
2. bJustifie que pour tout entier $k \geqslant 1$ : $(k+1)! = (k+1) \times k!$.
3. cDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $n! \geqslant 2^{n-1}$.
4. dDéduis-en que Lina peut ranger $20$ livres de plus de $500\,000$ façons.

Ex. 47★★★Deux colonies de bactéries — Au bout de $n$ heures, une colonie A compte $3^n$ milliers de bactéries et une colonie B compte $n^2 + 4n$ milliers. On note $\mathcal{P}(n)$ : « $3^n \geqslant n^2 + 4n$ ».

1. aCalcule $3^n$ et $n^2 + 4n$ pour $n = 0$, $1$, $2$ et $3$. Pour quelles valeurs $\mathcal{P}(n)$ est-elle vraie ?
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 3$ : $3^n \geqslant n^2 + 4n$.
3. cDéduis des questions précédentes l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

Ex. 48★★★Les abonnés de Sacha : améliorer Bernoulli — Chaque mois, le nombre d'abonnés de la chaîne de Sacha est multiplié par $1{,}2$. Sacha veut montrer que $1{,}2^n$ finit par dépasser $100$. On admet l'inégalité de Bernoulli : pour tout réel $a > 0$ et pour tout entier naturel $n$, $(1+a)^n \geqslant 1+na$.

1. aDéduis-en que pour tout entier naturel $n$, $1{,}2^n \geqslant 1 + 0{,}2n$. Trouve ensuite un entier $N$ tel que $1{,}2^n \geqslant 100$ pour tout $n \geqslant N$.
2. bSoit $a$ un réel, $a \geqslant 0$. Démontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $(1+a)^n \geqslant 1 + na + \frac{n(n-1)}{2}a^2$.
3. cApplique l'inégalité de la question précédente avec $a = 0{,}2$. Trouve le plus petit entier $N'$ à partir duquel elle garantit $1{,}2^n \geqslant 100$
   (tu pourras multiplier par $50$).
4. dÀ la calculatrice, trouve le plus petit entier $n$ tel que $1{,}2^n \geqslant 100$. Compare avec $N$ et $N'$, puis commente.

Ex. 49★★★$2^n \geqslant n^3$ : l'hérédité ne suffit pas — Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $2^n \geqslant n^3$ ».

1. aPour $n$ allant de $0$ à $10$, compare $2^n$ et $n^3$. Pour lesquels de ces entiers $\mathcal{P}(n)$ est-elle vraie ?
2. bDéveloppe $(k+1)^3$, puis montre que pour tout entier $k$ : $2k^3 - (k+1)^3 = k^2(k-3) - 3k - 1$.
3. cDéduis-en que pour tout entier $k \geqslant 4$ : $2k^3 \geqslant (k+1)^3$.
4. dLéo affirme : « L'hérédité marche pour $k \geqslant 4$ et $\mathcal{P}(0)$ est vraie, donc $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 10$ : $2^n \geqslant n^3$.

Ex. 50★★★Les carrés de Jade : renforcer la propriété — Jade aligne des carrés de côtés $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, …, $\frac{1}{n}$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, leur aire totale est $S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Elle se demande si cette aire reste inférieure ou égale à $2$.

1. aCalcule $S_1$, $S_2$ et $S_3$ sous forme de fractions irréductibles.
2. bJade suppose que $S_k \leqslant 2$ pour un entier $k \geqslant 1$. Quelle majoration obtient-elle pour $S_{k+1}$ ? Peut-elle conclure que $S_{k+1} \leqslant 2$ ? Justifie.
3. cMontre que pour tout entier $k \geqslant 1$ : $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{1}{k(k+1)^2}$.
4. dDémontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $S_n \leqslant 2 - \frac{1}{n}$.
5. eMontre que la suite $(S_n)$ est croissante, puis déduis de la question précédente qu'elle est majorée par $2$.