48 exercices en 6 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Rappels de 5ᵉ : carrés et carrés parfaits
À retenir :$7^2 = 7 \times 7 = 49$, pas $14$. Un carré n'est jamais négatif : $(-6)^2 = 36$, mais $-6^2 = -36$. Décimal : compte les chiffres après la virgule, $0{,}03^2 = 0{,}0009$. Carré parfait ? Encadre : $36 < 45 < 49$, donc $45$ n'en est pas un.
Ex. 1★★★Automatismes : calculer des carrés— Calcule de tête.
Ex. 2★★★Automatismes : la table des carrés— Réponds de tête, en t'aidant de la table des carrés.
aComplète le tableau des carrés :
a
4
9
…
13
…
a²
…
…
196
…
100
bQuel entier positif a pour carré $64$ ?
cÉcris $900$ comme le carré d'un entier positif.
dQuel est le plus grand carré parfait inférieur à $150$ ?
eQuel est le plus petit carré parfait supérieur à $230$ ?
Ex. 3★★★Carré parfait ou pas ?— Justifie chaque réponse par un calcul ou par un encadrement.
a$361$ est-il un carré parfait ? Justifie.
b$300$ est-il un carré parfait ? Justifie.
c$3\,428$ est-il un carré parfait ? Justifie.
dVrai ou faux ? « $41$ se termine par $1$, donc c'est un carré parfait. » Justifie.
eÉcris tous les carrés parfaits compris entre $500$ et $700$.
Ex. 4★★★Les erreurs de Léa— Léa a fait des erreurs dans ses calculs de carrés.
aLéa écrit $20^2 = 40$. Explique son erreur, puis corrige.
bPour $0{,}05^2$, Léa trouve $0{,}025$. Combien de chiffres après la virgule faut-il ? Corrige.
cLéa affirme qu'un carré peut être négatif, car $(-4)^2 = -16$. A-t-elle raison ? Justifie.
dLéa trouve $9$ pour $-3^2$ et pour $(-3)^2$. Calcule les deux, puis explique son erreur.
eVrai ou faux ? « $0{,}7^2$ est plus grand que $0{,}7$. » Justifie.
Ex. 5★★★Le carrelage de la salle de bains— Ben carrelle le sol carré d'une salle de bains de $2{,}4$ m de côté. Il utilise des carreaux carrés de $0{,}4$ m de côté, posés sans espace.
aCalcule l'aire du sol, en m².
bCalcule l'aire d'un carreau, en m².
cCombien de carreaux faut-il pour couvrir tout le sol ? Justifie.
dAvec des carreaux carrés de $0{,}3$ m de côté, combien de carreaux faudrait-il ? Justifie.
Ex. 6★★★Vrai ou faux sur les carrés— Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux. Justifie par un calcul ou par un contre-exemple.
a« $(-0{,}3)^2 = -0{,}09$. » Vrai ou faux ? Justifie.
b« Il y a exactement $22$ entiers strictement compris entre $11^2$ et $12^2$, et aucun n'est un carré parfait. » Vrai ou faux ? Justifie.
c« La somme de deux carrés parfaits est toujours un carré parfait. » Vrai ou faux ? Justifie.
d« Aucun carré parfait n'a $7$ pour chiffre des unités. » Vrai ou faux ? Justifie.
e« Le carré de $0{,}1$ est $0{,}01$, donc le carré de $0{,}01$ est $0{,}001$. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 7★★★Le jardin de Malik— Malik a un jardin carré de $21$ m de côté. Au milieu, il a creusé un bassin carré de $1{,}5$ m de côté. Le reste du jardin est en gazon.
aSa sœur Jade affirme : « L'aire du bassin vaut $1{,}5 \times 2 = 3$ m². » Explique son erreur, puis calcule l'aire correcte.
bCalcule l'aire du jardin entier, en m².
cCalcule l'aire du gazon, en m².
dMalik entoure le bassin d'une allée de $0{,}5$ m de large, prise sur le gazon. Calcule l'aire de l'allée, puis la nouvelle aire du gazon.
Ex. 8★★★Enquête sur les carrés parfaits— Réponds sans calculatrice et justifie chaque réponse.
aEncadre $2\,025$ entre $40^2$ et $50^2$, puis trouve l'entier positif dont le carré vaut $2\,025$. Justifie.
bTom affirme : « $30^2 = 900$, donc $300^2 = 9\,000$. » A-t-il raison ? Justifie.
cQuel est le plus grand carré parfait qui s'écrit avec trois chiffres ? Justifie.
dQuel est le plus petit entier à ajouter à $200$ pour obtenir un carré parfait ? Justifie.
2.Racine carrée d’un nombre positif
À retenir : Pour $a \geqslant 0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{4} = 2$ car $2^2 = 4$ et $2 \geqslant 0$. $\sqrt{-4}$ n'existe pas, mais $-\sqrt{4} = -2$ existe. La barre est une parenthèse : on calcule d'abord dessous.
Ex. 9★★★Automatismes : racines carrées en ligne— Calcule de tête. Justifie par un carré quand c'est utile.
Ex. 11★★★La barre est une parenthèse— Calcule chaque expression en écrivant les étapes.
aCalcule $A = \sqrt{16 + 9}$ et $B = \sqrt{16} + \sqrt{9}$. Les nombres $A$ et $B$ sont-ils égaux ?
b$C = 4\sqrt{25} - 7$
c$D = \sqrt{3 \times 12}$
d$E = \sqrt{170 - 26}$
e$F = 10 - 3\sqrt{2{,}25}$
Ex. 12★★★Repère et corrige l'erreur— Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis écris la bonne réponse.
aInès écrit $\sqrt{100} = 50$, car « la racine carrée, c'est la moitié ».
bTom écrit $\sqrt{81} = -9$, car $(-9)^2 = 81$.
cNora écrit $\sqrt{-400} = -20$.
dYanis écrit $\sqrt{0{,}16} = 0{,}04$.
Ex. 13★★★Vrai ou faux, et à rebours— Réponds en justifiant par un calcul ou par un contre-exemple.
a« Le nombre $900$ a deux racines carrées. » Vrai ou faux ? Justifie.
bDe quel nombre la racine carrée vaut-elle $15$ ?
cDe quel nombre la racine carrée vaut-elle $0{,}6$ ?
d« Si $b^2 = 289$, alors $b = \sqrt{289}$. » Vrai ou faux ? Justifie.
e« $\sqrt{0{,}25}$ est plus petit que $0{,}25$. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 14★★★Le défi des cinq cartes— Ben a écrit une expression sur chaque carte. Calcule sans calculatrice et justifie chaque résultat par un carré.
aCarte 1 : $\sqrt{-64}$ ; carte 2 : $-\sqrt{64}$. Une seule de ces deux cartes donne un nombre. Laquelle ? Calcule-le, puis explique pourquoi l'autre n'existe pas.
bCarte 3 : $\sqrt{(-8)^2}$. Lou affirme que cette carte vaut $-8$. A-t-elle raison ? Justifie.
dCarte 5 : $\sqrt{16^2} - 10\sqrt{2{,}56}$. Calcule cette carte.
eRange dans l'ordre croissant les valeurs des cartes 2, 3, 4 et 5.
Ex. 15★★★Le carrelage de Nadia— Le sol d'une salle de bains est un carré d'aire $6{,}25$ m². Nadia veut le couvrir entièrement de carreaux carrés, tous d'aire $625$ cm², sans en couper aucun.
aNadia pense que le côté de la salle mesure la moitié de $6{,}25$, soit $3{,}125$ m. Montre par un calcul qu'elle se trompe.
bCalcule la longueur exacte du côté de la salle, en m puis en cm. Justifie par un carré.
cCalcule la longueur du côté d'un carreau. Justifie par un carré.
dCombien de carreaux faut-il sur une rangée le long d'un mur ? Combien en faut-il en tout ?
eVérifie ton total en divisant l'aire de la salle par l'aire d'un carreau. Attention aux unités.
Ex. 16★★★Les énigmes à rebours— Chaque énigme parle d'un nombre positif. Trouve-le, puis vérifie ta réponse en calculant sa racine carrée.
a« Ma racine carrée vaut $21$. » Qui suis-je ?
b« Ma racine carrée vaut $0{,}9$. » Qui suis-je ? Suis-je plus grand ou plus petit que ma racine carrée ?
c« Ma racine carrée est le double de $35$. » Hugo répond $140$. A-t-il raison ? Justifie, puis trouve le bon nombre.
dMalik affirme : « Le nombre dont la racine carrée vaut $-5$, c'est $25$. » A-t-il raison ? Justifie.
e« Je suis un entier compris entre $500$ et $600$, et ma racine carrée est un entier. » Trouve tous les nombres possibles.
3.Racines carrées des carrés parfaits, des décimaux, calculs
À retenir : Je calcule d'abord sous la barre : $\sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$, pas $5 - 4$.$2\sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$. Je vérifie au carré : $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ car $0{,}8^2 = 0{,}64$. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Ex. 17★★★Automatismes — lire la table des carrés à l'envers— Calcule mentalement. Si le calcul est impossible, explique pourquoi.
Ex. 20★★★Les erreurs de Lucas— Lucas a écrit ces égalités. A-t-il raison ? Justifie en élevant au carré, puis corrige. Si besoin, donne une valeur approchée au centième à la calculatrice.
aLucas écrit $\sqrt{0{,}16} = 0{,}04$.
bLucas écrit $\sqrt{0{,}4} = 0{,}2$.
cLucas écrit $\sqrt{1\,000} = 100$.
dLucas écrit $\sqrt{16 + 9} = 4 + 3 = 7$.
eLucas écrit $\sqrt{50} = 25$, « car c'est la moitié de 50 ».
Ex. 21★★★Vrai ou faux ?— Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou par un contre-exemple.
a« La racine carrée d'un nombre positif est toujours plus petite que ce nombre. »
b« Pour tous nombres positifs $a$ et $b$,$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. » Teste avec $a = 64$ et $b = 225$.
c« Le nombre positif dont la racine carrée vaut $0{,}7$ est $0{,}49$. »
d« $5\sqrt{4} = \sqrt{20}$. »
Ex. 22★★★Quatre calculs à ranger— On pose $A = 5 \times \sqrt{36} - \sqrt{144}$,$B = \sqrt{169 - 25}$, $C = 4\sqrt{25} + \sqrt{3 \times 48}$ et $D = \sqrt{\sqrt{100} + 71}$. Écris chaque étape de calcul en respectant les priorités.
aCalcule $A$.
bCalcule $B$, puis calcule $\sqrt{169} - \sqrt{25}$. Les deux résultats sont-ils égaux ? Justifie.
cCalcule $C$.
dSacha affirme que $4\sqrt{25} = \sqrt{100}$. A-t-il raison ? Justifie en élevant $4\sqrt{25}$ au carré.
eCalcule $D$ en commençant par la racine placée sous la grande barre, puis range $A$,$B$, $C$ et $D$ dans l'ordre croissant.
Ex. 23★★★Le défi des virgules et des zéros— Justifie chaque réponse en élevant au carré. Prends la calculatrice seulement quand on te demande un arrondi.
aDe quel nombre positif la racine carrée vaut-elle $0{,}05$ ? Justifie.
bCalcule $\sqrt{0{,}0064}$, $\sqrt{8\,100}$ et $\sqrt{40\,000}$ en justifiant chaque résultat par un carré.
cMalo écrit $\sqrt{9\,000} = 300$. A-t-il raison ? Justifie, puis donne $\sqrt{9\,000}$ arrondi au dixième.
dZoé écrit $\sqrt{0{,}9} = 0{,}3$. A-t-elle raison ? Justifie, puis donne $\sqrt{0{,}9}$ arrondi au centième.
eCompare $\sqrt{0{,}9}$ et $0{,}9$, puis $\sqrt{0{,}25}$ et $0{,}25$. Que remarques-tu pour ces nombres compris entre 0 et 1 ?
Ex. 24★★★Le carrelage d'Inès— Inès veut carreler le sol de sa cuisine. Ce sol est carré et son aire vaut $15{,}21$ m². Elle pose des carreaux carrés de $0{,}09$ m² chacun, côte à côte, sans aucune découpe.
aCalcule la longueur du côté d'un carreau, en m puis en cm. Justifie par un carré.
bCalcule la longueur du côté de la cuisine. Justifie par un carré.
cCombien de carreaux Inès pose-t-elle sur une rangée ? Et en tout ? Vérifie avec les aires.
dLes carreaux sont vendus par boîtes de $20$. Combien de boîtes Inès doit-elle acheter ?
4.Encadrer une racine carrée, comparer
À retenir : Si $n^2 < a < (n+1)^2$ avec deux carrés parfaits consécutifs, alors $n < \sqrt{a} < n+1$ : $81 < 92 < 100$ donc $9 < \sqrt{92} < 10$. Pour comparer $\sqrt{a}$ et $b$, compare $a$ et $b^2$. Entier le plus proche : compare $a$ à $(n+0{,}5)^2$.
Ex. 25★★★Automatismes : encadrer entre deux entiers consécutifs— Encadre d'abord le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs, puis encadre sa racine carrée entre deux entiers consécutifs.
Ex. 26★★★Automatismes : comparer une racine carrée et un nombre— Compare les deux nombres en comparant le nombre sous la racine au carré de l'autre. Complète avec < ou >.
aEncadre $\sqrt{57}$ entre deux entiers consécutifs.
bComplète le tableau d'essais.
x
7{,}3
7{,}4
7{,}5
7{,}6
7{,}7
x²
…
…
…
…
…
cDéduis-en un encadrement de $\sqrt{57}$ au dixième.
dQuel est l'entier le plus proche de $\sqrt{57}$ ? Justifie.
eÀ la calculatrice, donne l'arrondi de $\sqrt{57}$ au centième.
Ex. 28★★★Repérer et corriger l'erreur— Chaque élève s'est trompé. Explique l'erreur, puis écris la bonne réponse.
aLéna écrit : « $100 < 115 < 121$, donc $\sqrt{115}$ est compris entre 100 et 121. »
bHugo doit encadrer $\sqrt{140}$ entre deux entiers consécutifs. Il écrit : « $100 < 140 < 169$, donc $10 < \sqrt{140} < 13$. »
cInès écrit : « $\sqrt{0{,}8} < 0{,}8$, car la racine carrée rend toujours un nombre plus petit. »
dTom écrit : « $\sqrt{68} = 8{,}2$ ».
eZoé affirme : « Ma terrasse carrée a une aire de $45$ m², donc son côté mesure $7$ m. »
Ex. 29★★★Ranger et placer des racines carrées
aRange dans l'ordre croissant, en justifiant : $5{,}5$ ; $\sqrt{29}$ ; $5{,}4$ ; $\sqrt{30}$.
bLes points R, S et T ont pour abscisses $\sqrt{11}$, $\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$, dans le désordre. Associe chaque point à son abscisse.
cSur la droite graduée de la question précédente, entre quelles graduations consécutives (de $0{,}5$ en $0{,}5$) faut-il placer $\sqrt{5}$ ? Justifie.
dCombien y a-t-il de nombres entiers $n$ tels que $6 < \sqrt{n} < 7$ ? Justifie.
Ex. 30★★★Le jardin carré de Léo— Le jardin de Léo est un carré d'aire $75$ m². Son côté mesure donc $\sqrt{75}$ m.
aEncadre $75$ entre deux carrés parfaits consécutifs. Encadre ensuite le côté du jardin entre deux nombres entiers consécutifs de mètres.
bComplète le tableau d'essais, puis encadre $\sqrt{75}$ au dixième.
x
8{,}6
8{,}7
8{,}8
x²
…
…
…
cLéo écrit : « Le côté mesure $8{,}7$ m. » Explique pourquoi c'est faux. La calculatrice affiche $8{,}660\,254$ : donne l'arrondi au centième.
dBen veut agrandir le jardin. Il doit rester carré, et son côté doit mesurer un nombre entier de mètres. Quelle est la plus petite aire possible ? De combien de m² l'aire augmente-t-elle ?
Ex. 31★★★Racines de décimaux, entre 0 et 1 et au-delà— Justifie chaque réponse par un calcul de carré.
aMia affirme : « $\sqrt{0{,}9} = 0{,}3$. » Vrai ou faux ? Justifie, puis encadre $\sqrt{0{,}9}$ au dixième.
bSans calculatrice, range dans l'ordre croissant : $0{,}7$ ; $\sqrt{0{,}5}$ ; $0{,}5$ ; $0{,}8$.
cEncadre $\sqrt{18{,}6}$ entre deux entiers consécutifs, puis au dixième.
dSur la droite graduée, le point $P$ se trouve entre les graduations $3$ et $3{,}5$. Son abscisse est $\sqrt{n}$, avec $n$ entier. Trouve toutes les valeurs possibles de $n$.
Ex. 32★★★Une corde en diagonale sur un terrain— Le terrain rectangulaire $ABCD$ a pour côtés $AB = 9$ m et $BC = 6$ m. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Noé veut tendre une corde du coin $A$ au coin $C$.
aCalcule la valeur exacte de la longueur $AC$ avec le théorème de Pythagore.
bNoé encadre $AC$ avec les carrés parfaits $100$ et $144$ : il trouve que $AC$ mesure entre $10$ m et $12$ m. Explique son erreur, puis écris le bon encadrement.
cSans calculatrice, trouve l'entier le plus proche de la longueur $AC$ (en m). Justifie.
dLa calculatrice donne $AC \approx 10{,}816\,65$ m. Donne l'arrondi au dixième. Une corde de $10{,}8$ m suffit-elle ? Justifie avec un carré.
5.Valeur approchée à la calculatrice
À retenir : La calculatrice donne une valeur approchée : j'écris $\sqrt{21} \approx 4{,}58$, jamais $=$. Pour arrondir, je regarde le chiffre suivant : s'il vaut 5 ou plus, j'augmente. Je garde la valeur exacte jusqu'au bout et je tape la parenthèse : $\sqrt{9 + 16}$.
Ex. 33★★★Arrondir à l'unité, au dixième, au centième— À la calculatrice, donne une valeur approchée de chaque nombre arrondie à l'unité, puis au dixième, puis au centième.
Ex. 34★★★Contrôler l'affichage— Léa a recopié ces résultats. Sans calculatrice, encadre chaque racine entre deux entiers consécutifs. Dis ensuite si le résultat de Léa est possible. Justifie.
Ex. 36★★★Les erreurs de Tom— Tom fait des calculs de racines carrées. Repère chaque erreur, puis corrige-la.
aPour $3\sqrt{6}$ arrondi au dixième, Tom écrit $\sqrt{6} \approx 2{,}4$ puis $3 \times 2{,}4 = 7{,}2$. Donne le bon arrondi.
bPour $\sqrt{90 + 35}$, Tom tape √ 90 + 35 et obtient environ $44{,}5$. Donne le bon arrondi au dixième.
cTom lit $5{,}916\,0…$ pour $\sqrt{35}$ et écrit $\sqrt{35} \approx 5{,}91$ au centième. Explique son erreur et corrige-la.
dSans calculatrice, Tom arrondit $\sqrt{42}$ à l'unité et écrit $\sqrt{42} \approx 7$. Calcule $6{,}5^2$, puis corrige-le.
Ex. 37★★★Le grillage du potager— Le potager de Sofia est un carré d'aire $45$ m². Elle veut l'entourer de grillage.
aDonne la valeur exacte du côté du potager.
bSans calculatrice, encadre ce côté entre deux entiers consécutifs.
cÀ la calculatrice, donne le côté arrondi au centième.
dLe grillage est vendu au mètre. Combien de mètres Sofia doit-elle acheter ? Justifie.
Ex. 38★★★L'échelle du peintre— Le mur est vertical, le sol est horizontal. Une échelle droite est posée contre le mur : son pied est à $1{,}5$ m du mur et son sommet touche le mur à $4{,}2$ m du sol.
aMontre que la longueur de l'échelle vaut $\sqrt{19{,}89}$ m.
bSans calculatrice, encadre $\sqrt{19{,}89}$ entre deux entiers consécutifs.
cNoé tape la touche √ puis « $4{,}2^2 + 1{,}5^2$ » sans parenthèse, et l'écran affiche $6{,}45$. Explique pourquoi c'est impossible, puis ce qu'il fallait taper.
dÀ la calculatrice, arrondis la longueur de l'échelle au dixième, puis au centième.
eLina affirme : « L'échelle mesure exactement $4{,}46$ m. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.
Ex. 39★★★Agrandir une photo— Une photo rectangulaire mesure $6$ cm sur $9$ cm. Rayan veut un agrandissement de cette photo dont l'aire est $3$ fois plus grande.
aPar quel nombre faut-il multiplier les longueurs ? Donne la valeur exacte.
bEncadre ce coefficient entre deux dixièmes consécutifs par essais. Calcule ensuite $1{,}75^2$, puis déduis-en son arrondi au dixième.
cDonne la valeur exacte de la largeur et de la longueur de la photo agrandie, puis arrondis-les au dixième à la calculatrice.
dZoé arrondit d'abord ce coefficient au dixième, puis elle trouve $10{,}2$ cm et $15{,}3$ cm. Explique son erreur.
eCalcule le produit des deux longueurs arrondies de la question 3, puis celui des longueurs de Zoé. Lequel est le plus proche de $3 \times 54$ ?
Ex. 40★★★Le nombre mystère de Ben— Ben a choisi un nombre entier $n$. Il a tapé $\sqrt{n}$ sur sa calculatrice, puis il a arrondi le résultat.
aBen annonce : « $\sqrt{n}$ arrondi à l'unité vaut $9$. » Calcule $8{,}5^2$ et $9{,}5^2$, puis trouve tous les entiers $n$ possibles.
bParmi ces entiers, un seul permet d'écrire $\sqrt{n}$ avec le signe $=$ et un nombre décimal. Lequel ? Justifie.
cBen précise : « Arrondi au dixième, $\sqrt{n}$ vaut $8{,}6$. » Calcule $8{,}55^2$ et $8{,}65^2$, puis trouve $n$.
dBen écrit alors « $\sqrt{n} = 8{,}6$ ». Corrige son écriture et justifie par un calcul.
eÀ la calculatrice, donne l'arrondi au centième de $\sqrt{n}$.
6.Racine carrée et géométrie : côté d’un carré, aires, Pythagore
À retenir : Carré d'aire $A$ : côté $\sqrt{A}$ ($\sqrt{25} = 5$ cm, pas $25 \div 4$). Rapport $k$ : aires $\times k^2$ ; aire $\times m$ : longueurs $\times \sqrt{m}$. Pythagore : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$, pas $AB + AC$ ; côté de l'angle droit : on soustrait.
Ex. 41★★★Du carré à son côté, et retour— Donne la valeur exacte. Si ce n'est ni un entier ni un décimal, encadre-la entre deux entiers consécutifs puis arrondis-la au dixième.
aCalcule la longueur du côté d'un carré d'aire $81$ cm².
bLou dit : « Un carrelage carré d'aire $64$ dm² a un côté de $16$ dm. » Vrai ou faux ? Justifie.
cUne nappe carrée a une aire de $1{,}21$ m². Quelle est la longueur de son côté ?
dQuel est le côté d'un champ carré de $4\,900$ m² ?
eUn carré a une aire de $30$ cm². Quelle est la longueur de son côté ?
fUn carré a un côté de $1{,}3$ dm. Quelle est son aire ?
Ex. 42★★★Longueurs et aires : qui multiplie quoi ?— Arrondis au centième si besoin.
aKenza dit : « Si on double toutes les longueurs d'une figure, son aire double. » Vrai ou faux ? Justifie.
bOn agrandit une figure avec un rapport $5$. Par combien son aire est-elle multipliée ?
cOn réduit un plan avec un rapport $0{,}1$. Par combien son aire est-elle multipliée ?
dPour multiplier l'aire d'une figure par $49$, par combien faut-il multiplier ses longueurs ?
ePour multiplier l'aire d'une figure par $3$, par combien faut-il multiplier ses longueurs ?
fUn logo d'aire $12$ cm² est agrandi avec un rapport $4$. Quelle est sa nouvelle aire ?
Ex. 43★★★Trouver l'hypoténuse sans se tromper— Le triangle RST est rectangle en S, avec RS = $6$ cm et ST = $8$ cm. Lina écrit : « RT = $6 + 8 = 14$ cm ».
aQuel côté du triangle RST est l'hypoténuse ? Justifie.
bCalcule la longueur RT avec le théorème de Pythagore.
cLina a-t-elle raison ? Justifie.
dUn terrain rectangulaire mesure $32$ m sur $18$ m. Calcule la longueur de sa diagonale : valeur exacte, puis arrondi au dixième.
Ex. 44★★★L'échelle contre le mur— Une échelle de $2{,}5$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur le sol horizontal, à $0{,}7$ m du mur. On note h la hauteur atteinte par le haut de l'échelle sur le mur.
aOù se trouve l'angle droit ? Quelle longueur est l'hypoténuse ?
bCalcule la hauteur h.
cNoé écrit $h^2 = 2{,}5^2 + 0{,}7^2$. Explique son erreur et pourquoi son résultat est impossible.
dOn rapproche le pied de l'échelle à $0{,}5$ m du mur. Calcule la nouvelle hauteur : valeur exacte, puis arrondi au centième.
Ex. 45★★★Le jardin de Maëlle— Le jardin carré de Maëlle a une aire de $225$ m². Elle veut le clôturer avec du grillage. Ensuite, elle rêve d'un jardin carré deux fois plus grand en aire.
aCalcule la longueur du côté du jardin.
bQuelle longueur de grillage faut-il pour faire le tour du jardin ?
cMaëlle propose de doubler le côté. Calcule l'aire obtenue. Son idée convient-elle ? Justifie.
dCalcule le côté du jardin rêvé, d'aire deux fois plus grande : valeur exacte, encadrement entre deux entiers consécutifs, puis arrondi au centième.
Ex. 46★★★La terrasse d'Inès— Inès veut carreler sa terrasse carrée d'aire $56{,}25$ m² avec des carreaux carrés d'aire $0{,}09$ m². Elle veut aussi poser une bordure tout autour. Tom affirme : « Le côté de la terrasse mesure $56{,}25 \div 4$ m. »
aExplique l'erreur de Tom : quel carré a pour côté $56{,}25 \div 4$ m ?
bCalcule la longueur du côté de la terrasse. Justifie.
cQuelle longueur de bordure faut-il pour faire le tour de la terrasse ?
dCalcule la longueur du côté d'un carreau, en m. Justifie.
eCombien de carreaux faut-il sur une rangée ? Combien en tout ?
Ex. 47★★★La diagonale de l'écran de Sacha— L'écran rectangulaire ABCD de Sacha mesure AB = $80$ cm de large et BC = $45$ cm de haut. La diagonale [AC] le partage en deux triangles. Sacha écrit : « AC = $80 + 45 = 125$ cm. »
aDans le triangle ABC, où est l'angle droit ? Quel côté est l'hypoténuse ? Justifie.
bExplique l'erreur de Sacha.
cCalcule AC² puis la valeur exacte de AC. Encadre AC entre deux entiers consécutifs.
dDonne l'arrondi de AC au dixième, avec son unité.
eUne tablette rectangulaire a une diagonale de $26$ cm et une largeur de $21$ cm. Calcule sa hauteur : valeur exacte, puis arrondi au dixième.
Ex. 48★★★Les affiches de Zoé— Zoé a imprimé une affiche rectangulaire de $30$ cm sur $40$ cm. Elle étudie plusieurs agrandissements et réductions de cette affiche.
aCalcule l'aire de l'affiche, puis l'aire de son agrandissement de rapport $3$.
bIlan dit : « Pour obtenir une aire $5$ fois plus grande, je multiplie les longueurs par $5$. » A-t-il raison ? Justifie.
cPar quel nombre faut-il multiplier les longueurs pour obtenir une aire $5$ fois plus grande ? Donne les nouvelles dimensions arrondies au centième.
dCalcule l'aire d'une réduction de rapport $0{,}6$ de l'affiche.
eUne autre version de l'affiche a une aire de $1\,728$ cm². Quel est le rapport d'agrandissement ? Donne ses dimensions.