2nde / Racine carrée

Ex. 1★★★Calculs en ligne — Calcule sans calculatrice.

Ex. 2★★★Existe ou n’existe pas ? — Ce nombre existe-t-il ? Si oui, donne sa valeur exacte ; sinon, justifie.

Ex. 3★★★Les erreurs de Noé — Noé a écrit les égalités suivantes. Pour chacune : a-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

Ex. 4★★★Carrés, écran et terrain — Réponds à chaque question en rédigeant.

1. aUn carré a une aire de $196$ m². Calcule la longueur de son côté.
2. bUn écran carré a une aire de $0{,}64$ m². Calcule la longueur de son côté, en centimètres.
3. cUn carré a une aire de $10$ cm². Donne la valeur exacte de son côté, puis son périmètre arrondi au dixième.
4. dUn terrain rectangulaire mesure $7$ m sur $24$ m. Calcule la longueur exacte de sa diagonale.

Ex. 5★★★Démontrer avec les deux conditions — Pour démontrer que $\sqrt{a} = b$, tu vérifies deux conditions : $b \geqslant 0$ et $b^2 = a$. Rédige chaque réponse.

1. aDémontre que $\sqrt{0{,}0225} = 0{,}15$.
2. bDémontre que $\sqrt{\dfrac{144}{625}} = \dfrac{12}{25}$.
3. cOn a $(-8)^2 = 64$. Explique pourquoi on ne peut pas écrire $\sqrt{64} = -8$, puis donne la valeur de $\sqrt{64}$.
4. dTom affirme : « $\sqrt{49} = \frac{49}{2}$, car la racine carrée, c’est la moitié. » A-t-il raison ? Justifie avec les deux conditions.
5. eDémontre que $\sqrt{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17}$ est un entier et donne sa valeur.

Ex. 6★★★Le jardin de Malik — Malik trace dans son jardin un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 9$ m et $AC = 12$ m. Garde les valeurs exactes et n’arrondis qu’à la fin, quand on te le demande.

1. aCalcule la longueur $BC$ avec le théorème de Pythagore.
2. bUn carré a la même aire que le triangle $ABC$. Donne la valeur exacte de son côté, puis une valeur approchée au centimètre.
3. cMalik pave une allée avec des dalles carrées de côté $1$ m. Calcule la valeur exacte de la diagonale d’une dalle.
4. dIl pose un joint le long d’une diagonale sur chacune des $10$ dalles. Donne la longueur totale exacte du joint, puis son arrondi au centimètre.
5. eZoé, elle, a remplacé $\sqrt{2}$ par $1{,}4$ dès le début. Quelle longueur trouve-t-elle ? Calcule son erreur, au centimètre près.

Ex. 7★★★Chasse aux carrés parfaits — Réponds sans calculatrice et justifie chaque réponse.

1. aTrouve tous les entiers $n$ tels que $100 \leqslant n \leqslant 250$ et que $\sqrt{n}$ soit un entier. Justifie que tu n’en oublies aucun.
2. bTrouve le plus petit entier $k \geqslant 1$ tel que $\sqrt{12 \times k}$ soit un entier, et donne cet entier.
3. cJade affirme : « $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$, donc $\sqrt{0{,}036} = 0{,}06$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis trouve le nombre dont la racine carrée vaut $0{,}06$.
4. dDémontre que $\sqrt{13^2 - 12^2} \neq \sqrt{13^2} - \sqrt{12^2}$.

Ex. 8★★★Automatismes : regrouper sous une seule racine — Calcule. Donne le résultat sous forme d'un entier ou d'une fraction.

Ex. 9★★★Automatismes : carré de k√a — Calcule. Donne un résultat sans racine quand c'est possible.

Ex. 10★★★Erreurs d'élèves — Pour chaque calcul, dis si l'élève a raison. Justifie par un calcul et corrige si besoin.

1. aLucas écrit : $\sqrt{36} + \sqrt{64} = \sqrt{100} = 10$.
2. bInès écrit : $2 \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$.
3. cHugo écrit : $\sqrt{-2} \times \sqrt{-18} = \sqrt{36} = 6$.
4. dChloé écrit : $\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 10$.
5. eNathan écrit : $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = 3$.

Ex. 11★★★Un rectangle aux côtés irrationnels — Un rectangle a pour longueur $\sqrt{28}$ cm et pour largeur $\sqrt{7}$ cm.

1. aRecopie et complète, pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : « $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est … car … ; $\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = … \times … = …$ ;
   Donc $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = …$ ».
2. bL'aire de ce rectangle est-elle un nombre entier ? Justifie par un calcul.
3. cCombien de fois la largeur est-elle contenue dans la longueur ? Justifie par un calcul.
4. dBen affirme que la diagonale mesure $\sqrt{28} + \sqrt{7}$ cm. Calcule la valeur exacte de la diagonale, puis compare avec des valeurs approchées au centième. Est-ce juste ?

Ex. 12★★★Démontrer la règle du quotient puis l'utiliser — Soit $a \geqslant 0$ et $b > 0$. On veut démontrer que $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, puis utiliser cette règle.

1. aExplique pourquoi le nombre $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est positif ou nul. Pourquoi faut-il $b > 0$ et pas seulement $b \geqslant 0$ ?
2. bCalcule $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2$. Conclus avec la définition de la racine carrée.
3. cCalcule $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}$ puis $\sqrt{\frac{196}{81}}$. Donne des résultats sans racine.
4. dSacha écrit : $\frac{\sqrt{63}}{3} = \sqrt{21}$. Est-ce juste ? Écris $3$ comme une racine carrée, puis donne la valeur exacte correcte.

Ex. 13★★★Démontrer qu'un nombre est un entier — Pour chaque nombre, dis s'il est un entier. Justifie par un calcul rédigé.

1. a$A = \sqrt{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{12}$
2. b$B = \left(-2\sqrt{7}\right)^2 - \left(3\sqrt{3}\right)^2$
3. c$C = \sqrt{11} \times \sqrt{11} + \dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$
4. d$D = 2\sqrt{3} \times \sqrt{6}$. Zoé affirme que $D = \sqrt{36} = 6$. Calcule $D^2$ et conclus.

Ex. 14★★★Vrai ou faux sur les règles de calcul — Vrai ou faux ? Justifie : une preuve si c'est vrai, un contre-exemple si c'est faux.

1. aPour tous $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. bPour tout $a \geqslant 0$ : $\sqrt{a} \times \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\sqrt{a}$.
3. cPour tous réels $a$ et $b$ tels que $ab \geqslant 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
4. dPour tout $a \geqslant 0$ : $\sqrt{25a} = 5\sqrt{a}$.
5. ePour tout réel $k$, même négatif : $\left(k\sqrt{5}\right)^2 = 5k^2$.

Ex. 15★★★Sortir le plus grand carré parfait — Écris sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $b$ entier le plus petit possible. Teste les carrés parfaits du plus grand au plus petit.

Ex. 16★★★Faire entrer le coefficient sous la racine — Écris chaque nombre sous la forme $\sqrt{n}$, avec $n$ entier, en utilisant $k\sqrt{b} = \sqrt{k^2 b}$ pour $k \geqslant 0$.

Ex. 17★★★Réduire une somme de racines carrées — Réduis chaque expression : simplifie d'abord chaque racine sous la forme $a\sqrt{b}$, puis regroupe seulement les termes qui ont la même racine.

Ex. 18★★★Repérer et corriger l'erreur — Justifie chaque réponse par un calcul, puis donne le résultat correct.

1. aLina écrit $\sqrt{108} = 2\sqrt{27}$ et s'arrête là. A-t-elle terminé ?
2. bMalo écrit $\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{10}$. A-t-il raison ?
3. cSacha écrit $\sqrt{24} + \sqrt{54} = \sqrt{78}$. A-t-il raison ?
4. dYanis écrit $4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{5}$. A-t-il raison ? Utilise des valeurs approchées au centième.
5. eZoé écrit $-2\sqrt{10} = \sqrt{40}$. A-t-elle raison ?

Ex. 19★★★Vrai ou faux sur les racines carrées — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul ou par un contre-exemple.

1. aPour tous nombres positifs $a$ et $b$, on a $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. b$\sqrt{52} + \sqrt{117} = \sqrt{325}$.
3. c$\sqrt{3} \times \sqrt{5} + \sqrt{60} = \sqrt{75}$.
4. dPour tout nombre $n \geqslant 0$, on a $\sqrt{n} + \sqrt{4n} + \sqrt{9n} = 6\sqrt{n}$.

Ex. 20★★★Un triangle aux côtés en racines carrées — On donne un triangle $EFG$ tel que $EF = \sqrt{45}$ cm, $FG = \sqrt{80}$ cm et $EG = \sqrt{125}$ cm. Donne des valeurs exactes.

1. aÉcris $EF$, $FG$ et $EG$ sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $b$ entier le plus petit possible.
2. bCalcule le périmètre du triangle $EFG$ sous la forme $a\sqrt{b}$.
3. cDémontre que le triangle $EFG$ est rectangle et précise en quel sommet.
4. dCalcule l'aire du triangle $EFG$. Ce nombre est-il un entier ? Justifie par un calcul.
5. eNoé affirme que le périmètre vaut $\sqrt{45 + 80 + 125} = \sqrt{250}$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Des sommes qui cachent des entiers — On pose $A = \sqrt{28} - 2\sqrt{112} + \sqrt{175}$, $B = \sqrt{147} - 2\sqrt{243} + 3\sqrt{75}$ et $C = \sqrt{242} - \sqrt{2} + \sqrt{363} - 3\sqrt{27}$.

1. aDémontre que $A^2$ est un nombre entier.
2. bDémontre que $B$ peut s'écrire $\sqrt{n}$, avec $n$ entier, et donne $n$.
3. cTrouve l'entier $n$ tel que $\sqrt{32} + \sqrt{162} + \sqrt{n} = 15\sqrt{2}$. Justifie.
4. dRéduis $C$ au maximum. Lucas a commencé par écrire $\sqrt{242} - \sqrt{2} = \sqrt{240}$ : explique son erreur.

Ex. 22★★★Distributivité et double distributivité — Développe et réduis. Donne le résultat sous la forme $a + b\sqrt{c}$ ou sous la forme d'un entier.

Ex. 23★★★Identités remarquables — Développe avec une identité remarquable, puis réduis.

Ex. 24★★★Repère l'erreur — Chaque élève a fait une erreur en développant. Trouve-la, puis écris le calcul correct.

1. aInès écrit $\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)^2 = 5 + 3 = 8$. Trouve son erreur en développant, puis corrige.
2. bHugo écrit $\left(2 + \sqrt{6}\right)^2 = 4 + 6 = 10$. Quel terme a-t-il oublié ? Corrige son calcul.
3. cLéa écrit $\left(\sqrt{7} - 1\right)\left(\sqrt{7} + 2\right) = 7 + 2\sqrt{7} - \sqrt{7} + 2 = 9 + \sqrt{7}$. Trouve l'erreur et corrige.
4. dNora écrit $\left(\sqrt{2} - 3\right)\left(\sqrt{2} + 3\right) = 2 - 3 = -1$. Trouve l'erreur et corrige.

Ex. 25★★★Un rectangle et des nombres entiers — Un rectangle $ABCD$ a pour côtés $AB = 3 + \sqrt{2}$ et $BC = 3 - \sqrt{2}$ (en cm). Donne les valeurs exactes.

1. aCalcule l'aire du rectangle $ABCD$. Est-ce un nombre entier ? Justifie par un calcul.
2. bCalcule le périmètre du rectangle $ABCD$.
3. cAvec le théorème de Pythagore, calcule la longueur de la diagonale $AC$.
4. dOn allonge le côté $[AB]$ de $\sqrt{2}$ cm sans changer $BC$. Calcule la nouvelle aire sous la forme $a + b\sqrt{2}$.

Ex. 26★★★Vérifier qu'un nombre est solution — On considère l'équation $x^2 - 2x - 1 = 0$. Tu ne la résous pas : tu remplaces $x$ par le nombre proposé, tu développes et tu réduis.

1. aDéveloppe et réduis $\left(1 + \sqrt{2}\right)^2$. Donne le résultat sous la forme $a + b\sqrt{2}$.
2. bVérifie que $1 + \sqrt{2}$ est solution de l'équation $x^2 - 2x - 1 = 0$.
3. cLe nombre $1 - \sqrt{2}$ est-il aussi solution de cette équation ? Justifie par un calcul.
4. dLina affirme que $1 + \sqrt{2}$ est solution de $(x - 2)(x + 3) = 2 + 3\sqrt{2}$. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 27★★★Un signe moins devant le carré — On pose $A = \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 - \left(2 - \sqrt{3}\right)^2$, $B = 7 - \left(2 - \sqrt{3}\right)^2$ et $C = \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 + \left(2 - \sqrt{3}\right)^2$. Donne les valeurs exactes.

1. aDéveloppe et réduis $\left(2 - \sqrt{3}\right)^2$. Donne le résultat sous la forme $a + b\sqrt{3}$.
2. bÉcris $B$ sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a$ entier.
3. cÉcris $A$ sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a$ entier.
4. dLe nombre $C$ est-il un entier ? Justifie par un calcul.

Ex. 28★★★Triangle rectangle et hauteur — Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ et $AC = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ (en cm). On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. Donne les valeurs exactes.

1. aDéveloppe $AB^2$ et $AC^2$. Écris chaque résultat sous la forme $a + b\sqrt{3}$.
2. bCalcule la longueur $BC$. Est-ce un nombre entier ? Justifie.
3. cCalcule l'aire du triangle $ABC$, en cm².
4. dEn écrivant l'aire du triangle d'une deuxième façon, calcule la longueur $AH$.

Ex. 29★★★Dénominateur $\sqrt{b}$ ou $k\sqrt{b}$ — Écris chaque nombre sans racine carrée au dénominateur, puis simplifie la fraction.

Ex. 30★★★Expression conjuguée et produit — Pour chaque nombre, écris son expression conjuguée, puis calcule le produit du nombre par son expression conjuguée.

Ex. 31★★★Dénominateur avec l'expression conjuguée — Écris chaque nombre sans racine carrée au dénominateur à l'aide de l'expression conjuguée, puis simplifie le résultat.

Ex. 32★★★Erreurs à corriger et égalités à prouver — Réponds à chaque question en justifiant par un calcul.

1. aInès écrit : $\frac{7}{3 + \sqrt{2}} = \frac{7\left(3 - \sqrt{2}\right)}{9 + 2} = \frac{7\left(3 - \sqrt{2}\right)}{11}$. Repère son erreur et corrige le calcul.
2. bThéo écrit : $\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{36} = \frac{\sqrt{6}}{12}$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cProuve que $\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 2$.
4. dProuve que $\dfrac{4}{\sqrt{13} - \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{13} + \sqrt{5}}{2}$.

Ex. 33★★★Un rectangle à dimensions irrationnelles — Un rectangle a une aire de $4$ cm² et une longueur $L = 3 + \sqrt{5}$ cm. On note $\ell$ sa largeur, en cm. Donne chaque résultat en valeur exacte, sans racine carrée au dénominateur.

1. aExprime $\ell$ en fonction de $L$, puis écris $\ell$ sans racine carrée au dénominateur.
2. bJustifie que la largeur trouvée est bien un nombre positif, en comparant $\sqrt{5}$ et $3$ par leurs carrés.
3. cLe périmètre de ce rectangle est-il un nombre entier ? Justifie par un calcul.
4. dCalcule la longueur exacte de la diagonale du rectangle et écris-la sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $b$ entier le plus petit possible.
5. eCalcule le quotient $\frac{L}{\ell}$ et écris-le sans racine carrée au dénominateur.

Ex. 34★★★Ce nombre est-il un entier ? — Pour chaque nombre, écris les fractions sans racine carrée au dénominateur, puis réduis. Le nombre est-il un entier ? Justifie par un calcul.

1. a$A = \dfrac{4}{5 - \sqrt{21}} + \dfrac{4}{5 + \sqrt{21}}$
2. b$B = \dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
3. c$C = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + 3\sqrt{5}$
4. d$D = \dfrac{12}{\sqrt{6}} - \dfrac{10}{\sqrt{6} + 1}$

Ex. 35★★★Une somme qui se simplifie en cascade — Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $1$.

1. aDéveloppe et réduis le produit $\left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$.
2. bDéduis-en une écriture de $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ sans racine carrée au dénominateur.
3. cSoit $S = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{9}}$. $S$ est-il un entier ? Justifie.
4. dÉcris $T = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{17} + \sqrt{18}}$ sous la forme $a\sqrt{b} + c$, avec $a$, $b$, $c$ entiers.
5. eOn poursuit la même somme à partir de $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$. Jusqu'à quel dénominateur $\sqrt{N} + \sqrt{N + 1}$ faut-il aller pour que la somme vaille $10$ ? Justifie.

Ex. 36★★★Valeurs absolues et racines de carrés — Donne la valeur exacte de chaque nombre, sans racine carrée ni valeur absolue.

Ex. 37★★★Chercher le signe avant d'enlever la racine — Écris chaque nombre sans racine extérieure ni valeur absolue. Cherche d'abord le signe de ce qui est au carré (ou entre les barres).

Ex. 38★★★Une racine de carré qui dépend de x — Pour tout réel $x$, on pose $A = \sqrt{(x - 5)^2}$.

1. aCalcule $A$ pour $x = 8$, puis pour $x = 1$.
2. bÉcris $A$ sans racine lorsque $x \geqslant 5$, puis lorsque $x < 5$.
3. cPour $x < 5$, simplifie $A + x$. Que remarques-tu ?
4. dCalcule $A$ pour $x = \sqrt{23}$. Compare d'abord $\sqrt{23}$ et $5$.

Ex. 39★★★Démonstration guidée : √(a²) = |a| — Soit $a$ un réel quelconque. On rappelle que, pour $b \geqslant 0$, $\sqrt{b}$ est l'unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $b$.

1. aExplique pourquoi $|a| \geqslant 0$, en distinguant les cas $a \geqslant 0$ et $a < 0$.
2. bMontre que $|a|^2 = a^2$, en distinguant les deux mêmes cas.
3. cDéduis-en que $\sqrt{a^2} = |a|$.
4. dUtilise ce résultat pour écrire $\sqrt{49a^2}$ sans racine lorsque $a < 0$.

Ex. 40★★★Vrai ou faux sur la racine d'un carré — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie : un contre-exemple si elle est fausse, un raisonnement rédigé si elle est vraie.

1. a« Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$. »
2. b« Pour tout réel $a$, $\left(\sqrt{a}\right)^2 = \sqrt{a^2}$. »
3. c« $|\pi - 4| = \pi - 4$. »
4. d« $\sqrt{\left(3 - \sqrt{10}\right)^2} = \sqrt{10} - 3$. »

Ex. 41★★★Une somme de deux racines de carrés — Pour tout réel $x$, on pose $B = \sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x + 4)^2}$.

1. aCalcule la valeur exacte de $B$ pour $x = 0$, puis pour $x = -6$.
2. bLina affirme : « Pour tout $x$, $B = (x - 2) + (x + 4) = 2x + 2$. » A-t-elle raison ? Justifie à l'aide d'un calcul.
3. cOn suppose $-4 \leqslant x \leqslant 2$. Donne le signe de $x - 2$ et celui de $x + 4$, puis écris $B$ sans racine.
4. dOn suppose $x \geqslant 2$. Écris $B$ sans racine.
5. eTrouve le réel $x \geqslant 2$ pour lequel $B = 20$. Vérifie ensuite ta réponse dans la définition de $B$.

Ex. 42★★★Un entier caché sous les racines — On pose $C = \sqrt{\left(4 - \sqrt{17}\right)^2} + \sqrt{\left(5 - \sqrt{17}\right)^2}$ et $D = \sqrt{\left(2\sqrt{3} - 3\right)^2} - \sqrt{\left(2\sqrt{3} - 4\right)^2}$.

1. aCompare $4$ et $\sqrt{17}$ en comparant leurs carrés. Déduis-en le signe de $4 - \sqrt{17}$.
2. bCompare $5$ et $\sqrt{17}$ de la même façon. Déduis-en le signe de $5 - \sqrt{17}$.
3. cLe nombre $C$ est-il un entier ? Justifie par un calcul.
4. dÉcris $D$ sans racine extérieure, sous la forme $a\sqrt{3} + b$ avec $a$ et $b$ entiers.
5. eHugo affirme : « $D$ est un nombre entier. » A-t-il raison ? Justifie en encadrant $4\sqrt{3}$ entre deux entiers consécutifs.

Ex. 43★★★Comparer sans calculatrice — Compare les nombres sans valeur approchée. Justifie avec les carrés.

1. a$4\sqrt{3}$ et $3\sqrt{5}$
2. b$9$ et $\sqrt{80}$
3. c$-2\sqrt{3}$ et $-\sqrt{11}$
4. d$0{,}09$ et $\sqrt{0{,}09}$
5. e$3\sqrt{6}$ et $2\sqrt{13}$
6. fRange dans l'ordre croissant : $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{2}$ et $\sqrt{19}$.

Ex. 44★★★Entre deux entiers consécutifs — Encadre chaque nombre entre deux entiers consécutifs. Cite les carrés parfaits que tu utilises.

1. a$\sqrt{55}$
2. b$\sqrt{130}$
3. c$-\sqrt{200}$
4. d$2\sqrt{10}$
5. eSur cette droite graduée, lequel des points A, B ou C a pour abscisse $\sqrt{20}$ ?

Ex. 45★★★Le côté d'une terrasse carrée — Une terrasse carrée a une aire de $47$ m². On note $c$ la longueur de son côté, en mètres.

1. aExplique pourquoi $c = \sqrt{47}$, puis encadre $c$ entre deux entiers consécutifs.
2. bComplète le tableau :

   $x$	$6{,}6$	$6{,}7$	$6{,}8$	$6{,}9$
   $x^2$	…	…	…	…

3. cDéduis-en un encadrement de $\sqrt{47}$ au dixième.
4. dZoé dit : « La valeur arrondie de $\sqrt{47}$ au dixième est $6{,}8$, la borne de gauche. » Calcule $6{,}85^2$. Zoé a-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 46★★★Le programme de Nina — Nina écrit ce programme. Il doit renvoyer le couple $(k, k + 1)$, où $k$ est l'entier tel que $k \leqslant \sqrt{a} < k + 1$, pour un entier $a$ positif. def encadre_entier(a): k = 0 while (k + 1)**2 < a: k = k + 1 return k, k + 1

1. aQu'affiche print(encadre_entier(30)) ? Ce résultat est-il juste ? Justifie.
2. bQu'affiche print(encadre_entier(36)) ? Explique pourquoi ce résultat ne convient pas.
3. cCorrige la ligne du while. Donne ensuite l'affichage de print(encadre_entier(36)).
4. dÉcris une fonction encadre_dixieme(a) qui calcule seulement avec des entiers : elle compare (k + 1)**2 à a * 100 et renvoie k / 10, (k + 1) / 10. Qu'affiche-t-elle pour a = 13 ?

Ex. 47★★★Ranger, encadrer, placer — On pose $a = 3\sqrt{7}$, $b = 2\sqrt{17}$ et $c = 8$. Tu travailles sans calculatrice.

1. aExplique pourquoi tu peux comparer $a$, $b$ et $c$ par leurs carrés, puis range ces trois nombres dans l'ordre croissant.
2. bLéo écrit : « $\left(-3\sqrt{7}\right)^2 = 63$ et $\left(-2\sqrt{17}\right)^2 = 68$, donc $-3\sqrt{7} < -2\sqrt{17}$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cEncadre $a$ et $b$ au dixième. Cite les carrés que tu utilises.
4. dPlace les points A, B et C d'abscisses $a$, $b$ et $c$ sur la droite graduée.

Ex. 48★★★Le balayage de Sacha — Sacha veut une fonction qui renvoie le couple $(m, M)$ tel que $m \leqslant \sqrt{a} < M$ et $M - m = 10^{-n}$. Voici son programme. def encadre(a, n): p = 10**n k = 0 while (k + 1)**2 <= a * p**2: k = k + 1 return k / p, (k + 1) / p

1. aQu'affiche print(encadre(2, 2)) ? Justifie avec deux carrés.
2. bQu'affiche print(encadre(49, 1)) ? Pourquoi la borne de gauche est-elle ici la valeur exacte de $\sqrt{49}$ ?
3. cExplique pourquoi la condition (k + 1)**2 <= a * p**2 revient à $\left(\frac{k + 1}{p}\right)^2 \leqslant a$.
4. dTom propose la condition ((k + 1) / p)**2 <= a. Python trouve 1.1**2 égal à 1.2100000000000002. Qu'afficherait print(encadre(1.21, 1)) ? Conclus.

Ex. 49★★★Une racine plus grande que le nombre ? — Dans cet exercice, $a$ désigne un nombre strictement positif. On cherche à comparer $a$ et $\sqrt{a}$, sans calculatrice.

1. aCalcule $\sqrt{0{,}49}$ et $\sqrt{1{,}44}$. Compare ensuite chaque racine au nombre sous la racine.
2. bOn suppose $0 < a < 1$. Montre que $a^2 < a$ en étudiant le signe de $a^2 - a$.
3. cDéduis-en, en comparant des carrés, que $\sqrt{a} > a$ lorsque $0 < a < 1$.
4. dUne dalle carrée a une aire de $0{,}8$ m². Son côté mesure-t-il plus de $0{,}8$ m ? Justifie, puis encadre ce côté au dixième.