Sixième / Quadrilatères : rectangle, losange, carré

Ex. 1★★★Automatisme : sommets et diagonales — Voici le quadrilatère WXYZ.

1. aCite les quatre côtés de WXYZ.
2. bQuel est le sommet opposé au sommet W ?
3. cCombien WXYZ a-t-il de diagonales ? Nomme-les.
4. dCite les deux sommets consécutifs au sommet Z.

Ex. 2★★★Automatisme : côtés consécutifs ou opposés — Voici le quadrilatère KLMN.

1. aCite le côté opposé au côté [LM].
2. bCite les deux côtés consécutifs au côté [KL].
3. cLes côtés [MN] et [NK] sont-ils consécutifs ou opposés ? Justifie.
4. dLéa dit que [KM] est un côté de KLMN. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eQuel est le sommet opposé au sommet L ?
6. fCombien le quadrilatère KLMN a-t-il de diagonales ? Et le triangle KLM ? Justifie.

Ex. 3★★★Segment ou longueur ? — GHIJ est un quadrilatère. On rappelle : [GH] désigne le segment, GH désigne sa longueur.

1. aÉcris avec la bonne notation : « la longueur du côté qui joint G et H est $4{,}5$ cm ».
2. bTom écrit : « [HI] = $3{,}8$ cm ». Corrige son écriture.
3. cComplète par [GI] ou GI : « La diagonale … mesure $6{,}3$ cm », puis « … = $6{,}3$ cm ».
4. dChloé écrit : « Le côté IJ est opposé au côté GH ». Corrige son écriture.

Ex. 4★★★Des sommets dans le désordre — Lis bien le nom des sommets sur la figure.

1. aEn partant du sommet P, écris le nom de ce quadrilatère en suivant le tour.
2. bCite les deux diagonales de ce quadrilatère.
3. cInès le nomme PQRS. Explique pourquoi ce nom ne convient pas.
4. dYanis écrit « [PR] = $5$ cm ». Corrige son écriture et explique son erreur.

Ex. 5★★★Vrai ou faux ? — Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifie. TUVW est un quadrilatère.

1. a« Un triangle a des diagonales. »
2. b« Dans TUVW, U et W sont deux sommets consécutifs. »
3. c« Dans TUVW, les côtés [TU] et [VW] sont consécutifs. »
4. d« Un quadrilatère a exactement deux diagonales. »

Ex. 6★★★Une figure à main levée — Malo a tracé à main levée le quadrilatère DEFG et l'a codé. On sait que DE = $3{,}4$ cm.

1. aD'après le codage, quelle est la longueur EF ? Justifie, puis nomme le sommet commun aux côtés [DE] et [EF].
2. bCite le côté opposé à [DE] et le côté opposé à [EF].
3. cMalo dit : « DEFG a l'air d'un carré, donc c'est un carré. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Le vitrail de Nora — À Colmar, Nora fabrique un vitrail ABCD. Ses côtés mesurent AB = $42$ cm, BC = $30$ cm, CD = $38$ cm et DA = $35{,}3$ cm. Elle renforce aussi chaque diagonale avec une baguette : $50$ cm pour [AC] et $53$ cm pour [BD].

1. aCalcule la longueur de baguette nécessaire pour le contour du vitrail.
2. bExplique pourquoi les baguettes [AC] et [BD] ne font pas partie du contour.
3. cNora a $2{,}5$ m de baguette. Peut-elle faire le contour et les deux diagonales ? Justifie.

Ex. 8★★★Les erreurs de Léna — Léna étudie le quadrilatère ci-dessous. On donne KM = $5$ cm, ML = $3$ cm, LN = $3{,}2$ cm, NK = $4$ cm et KL = $4$ cm. Aucun angle droit n'est codé.

1. aLéna nomme ce quadrilatère « KLMN ». Explique son erreur, puis écris son nom en partant de K et en suivant le tour.
2. bLéna cite comme côtés [KL], [LM], [MN] et [NK]. Lesquels ne sont pas des côtés ? Que sont-ils ? Justifie avec les sommets opposés.
3. cCite deux côtés opposés de ce quadrilatère, puis deux côtés consécutifs en nommant leur sommet commun.
4. dLéna calcule le périmètre : KM + ML + KL + NK = $5 + 3 + 4 + 4 = 16$ cm. Trouve son erreur, puis calcule le bon périmètre.
5. eLéna dit : « Deux côtés mesurent $4$ cm et l'angle en K a l'air droit. » Ce quadrilatère est-il un rectangle, un losange ou un carré ? Justifie.

Ex. 9★★★Le panneau de Yanis — À Brest, Yanis fabrique un panneau RSTU pour son club de voile. Le contour du panneau mesure $2$ m. Il le renforce avec les deux barres tracées sur la figure, de $80$ cm et de $60$ cm.

1. aYanis affirme : « Mon panneau est un carré posé sur une pointe, ça se voit. » A-t-il raison ? Justifie avec le codage.
2. bNomme le sommet opposé à R, puis celui opposé à S. Les deux barres sont-elles des côtés ou des diagonales ? Justifie.
3. cYanis veut ajouter une troisième diagonale, la barre [RS]. Explique pourquoi c'est impossible.
4. dCalcule la longueur RS d'un côté du panneau, en cm.
5. eYanis découpe le panneau le long de [RT]. Nomme les deux triangles obtenus. Peut-il renforcer chacun d'eux par une diagonale ? Justifie.

Ex. 10★★★Le jardin de Sacha — À Annecy, Sacha décrit son jardin EFGH : « Ses quatre angles sont droits. Le côté [EF] mesure $6{,}4$ m. Le côté consécutif à [EF] qui a F pour sommet commun mesure $4{,}5$ m. Une allée droite va de E à G. »

1. aNomme le côté qui mesure $4{,}5$ m, puis le côté opposé à [EF].
2. bQuelle est la nature du jardin EFGH ? Est-ce un carré ? Justifie.
3. cDonne la longueur des quatre côtés du jardin, en justifiant celles qui ne sont pas données.
4. dTrace EFGH à main levée, code-le, puis trace l'allée en pointillés. Cette allée est-elle un côté ou une diagonale ? Justifie.
5. eSacha écrit : « Pour la clôture, il faut $6{,}4 \times 4{,}5 = 28{,}8$ m. » Trouve son erreur, puis calcule la bonne longueur de clôture.

Ex. 11★★★Lire le codage d'une figure — Automatisme. Observe le codage de chaque figure. On ne se fie jamais à l'œil.

1. aDonne le nom le plus précis du quadrilatère ABCD. Justifie.
2. bWXYZ ressemble à un carré posé sur une pointe. Quelle est sa nature ? Justifie.
3. cPeut-on affirmer que RSTU est un rectangle ? Justifie.
4. dD'après le codage, quels côtés de IJKL ont la même longueur ? Donne la nature de IJKL.

Ex. 12★★★Le vocabulaire du quadrilatère — Automatisme. Voici un quadrilatère PQRS.

1. aTom nomme ce quadrilatère PRQS. Explique son erreur, puis écris un nom correct qui commence par Q.
2. bQuel est le côté opposé au côté [PQ] ?
3. cCite les deux côtés consécutifs au côté [QR].
4. dQuel est le sommet opposé au sommet Q ?
5. eNomme les deux diagonales de PQRS.

Ex. 13★★★Vrai ou faux ? — Chloé a écrit ces phrases. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. a« Un carré est un rectangle. »
2. b« Un rectangle est toujours un carré. »
3. c« Un carré n'est pas un losange, car il a des angles droits. »
4. d« Un quadrilatère dont les quatre côtés mesurent $5{,}3$ cm est un losange. »
5. e« Un quadrilatère dont les côtés mesurent $4$ cm, $6{,}5$ cm, $4$ cm et $6{,}5$ cm est un rectangle. »

Ex. 14★★★Le cadre photo dessiné à main levée — Ben a dessiné à main levée le cadre photo KLMN : il a quatre angles droits, KL = $4{,}6$ cm et LM = $3{,}9$ cm.

1. aInès dit : « KLMN est un carré, ça se voit. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bDonne le nom le plus précis de KLMN. Justifie.
3. cCalcule le périmètre du cadre KLMN.
4. dQuelle longueur devrait avoir [LM] pour que KLMN soit un carré ?

Ex. 15★★★Coder une figure d'après un texte — Dans le quadrilatère EFGH, les quatre côtés mesurent $3{,}5$ cm et aucun angle n'est droit.

1. aReproduis EFGH à main levée et code-le d'après le texte.
2. bQuelle est la nature de EFGH ? Justifie.
3. cMaël affirme : « EFGH est aussi un carré. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule le périmètre de EFGH.

Ex. 16★★★Le vitrail de Lyon — À Lyon, Nolan dessine le plan d'un vitrail ACDF. Le point B est sur [AC] et le point E sur [DF]. AB = $3$ cm et BC = $4{,}5$ cm.

1. aDonne le nom le plus précis de ABEF. Justifie.
2. bNolan écrit : « ABEF n'est pas un rectangle, puisque ses quatre côtés ont la même longueur. » Corrige son erreur.
3. cBCDE est-il un carré ? Justifie.
4. dCalcule le périmètre du grand rectangle ACDF.

Ex. 17★★★Le carreau penché — Sur un carrelage, Hugo repère le carreau STUV posé de travers.

1. aExplique pourquoi STUV est un rectangle.
2. bDéduis-en que les quatre côtés de STUV ont la même longueur, puis donne le nom le plus précis de STUV.
3. cHugo dit : « STUV est penché, donc ce n'est plus un carré. » Corrige son erreur.

Ex. 18★★★Les panneaux de Sacha — À Toulouse, Sacha prépare des panneaux pour l'exposition de son collège. Certaines figures ne sont pas à l'échelle : seuls le codage et les longueurs données comptent.

1. aSacha appelle ce panneau penché RTSU. Corrige ce nom, puis donne la nature la plus précise du panneau. Justifie.
2. bEFGH a quatre angles droits, EF = $4{,}2$ cm et un périmètre de $16{,}8$ cm. Lina dit : « C'est un rectangle, pas un carré. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cNoé affirme : « KLMN n'est pas un losange : il est bien trop allongé. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★L'enclos des lapins de Jade — À Lille, Jade fabrique un enclos en grillage pour ses lapins. Il est formé de deux parties, MNPQ et NRSP, séparées par le grillage [NP]. MN = $4{,}5$ m.

1. aDonne le nom le plus précis de MNPQ. Justifie.
2. bJade dit : « Mon enclos MNRSPQ est un grand quadrilatère. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cSon frère Yanis dit : « NRSP est un carré, car ses côtés ont la même longueur que ceux de MNPQ. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule la longueur du grillage qui fait le tour de l'enclos, puis la longueur totale de grillage en comptant [NP].
5. eSa voisine veut un enclos de la même forme avec $39$ m de grillage pour le tour. Quelle longueur doit mesurer chaque côté ?

Ex. 20★★★Les devinettes du club maths — Au club maths de Bordeaux, Ben pose des devinettes. Chacune décrit un quadrilatère qui parle à la première personne.

1. a« Je suis à la fois un rectangle et un losange. » Donne mon nom le plus précis. Justifie.
2. b« J'ai quatre angles droits et un périmètre de $20$ cm. » Lou affirme : « Tu es forcément un carré de $5$ cm de côté. » A-t-elle raison ? Justifie par un exemple.
3. c« J'ai quatre angles droits, un côté de $9{,}5$ cm et un autre de $8$ cm. » Mila calcule mon périmètre : $9{,}5 + 8 = 17{,}5$ cm. Corrige son erreur.
4. d« J'ai quatre côtés de même longueur, un périmètre de $19{,}6$ cm et aucun angle droit. » Donne mon nom le plus précis et la longueur de mon côté.

Ex. 21★★★Ce que l'on sait d'un rectangle — RSTU est un rectangle tel que RS = $6{,}4$ cm et ST = $2{,}5$ cm.

1. aDonne la longueur TU, puis justifie.
2. bDonne la longueur UR, puis justifie.
3. cCombien mesure l'angle $\widehat{TUR}$ ? Justifie.
4. dYanis appelle ce rectangle « RTSU ». Explique pourquoi ce nom ne convient pas, puis cite les deux côtés consécutifs au côté [RS].
5. eLila dit : « Les quatre côtés de RSTU mesurent $6{,}4$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Lire un codage — Pour chaque figure, lis uniquement le codage : on ne se fie jamais à l'œil.

1. aQuelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Justifie.
2. bQuelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Peut-on dire que c'est un carré ? Justifie.
3. cSami affirme : « KLMN est un carré, ça se voit. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPQRS est-il un rectangle ? Est-il un losange ? Justifie.

Ex. 23★★★Calculer des périmètres — Calcule chaque périmètre en écrivant le calcul.

1. aCalcule le périmètre d'un losange de côté $4{,}7$ cm.
2. bCalcule le périmètre d'un bac à sable carré de côté $2{,}25$ m.
3. cUn rectangle mesure $6$ cm de longueur et $45$ mm de largeur. Calcule son périmètre en cm.
4. dPour un tableau d'affichage rectangulaire de $1{,}2$ m sur $0{,}8$ m, Jade écrit : « $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ m ». Corrige son erreur.

Ex. 24★★★Retrouver un côté à partir du périmètre — Chaque fois, écris le calcul et donne la réponse avec son unité.

1. aLe tour d'un cadre photo carré mesure $30$ cm. Quelle est la longueur de son côté ?
2. bL'enclos ABCD est un rectangle de périmètre $26$ m, avec AB = $9$ m. Calcule la largeur BC.
3. cNoé écrit pour l'enclos : « $26 - 9 = 17$, donc BC = $17$ m. » Explique son erreur.
4. dUn cerf-volant en losange a un périmètre de $156$ mm. Donne la longueur d'un côté en cm.

Ex. 25★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie. Si elle est fausse, donne un contre-exemple.

1. a« Tout losange est un carré. »
2. b« Tout carré est un losange. »
3. c« Un rectangle de périmètre $20$ cm a forcément ses quatre côtés de $5$ cm. »
4. d« Un quadrilatère qui a quatre côtés de $2{,}8$ cm et quatre angles droits est un rectangle. »

Ex. 26★★★Coder, puis conclure — KLMN est un rectangle tel que KL = $5{,}2$ cm et LM = $3$ cm. Voici un schéma à main levée, sans codage.

1. aRecopie le schéma et code-le complètement
   (angles droits et côtés de même longueur).
2. bDonne les longueurs MN et NK. Justifie.
3. cVXYZ a ses côtés opposés de même longueur : VX = YZ = $5{,}2$ cm et XY = ZV = $3$ cm. Tom dit : « Comme KLMN, c'est un rectangle. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 27★★★Le vitrail de Lou — Lou veut réaliser un vitrail ABCD : ses quatre côtés mesurent $4$ cm et la diagonale [AC] mesure $6$ cm. Voici son schéma à main levée.

1. aTrace [AC] de $6$ cm, puis construis au compas le point B tel que AB = BC = $4$ cm. Écris tes étapes.
2. bConstruis de même le point D de l'autre côté de [AC], termine le quadrilatère ABCD et code-le.
3. cCalcule la longueur de baguette de plomb qu'il faut pour faire le tour du vitrail.

Ex. 28★★★Les quatre phrases de Malo — Malo a écrit une phrase sur chaque figure. Pour chaque phrase, dis si elle est juste, puis corrige l'erreur en justifiant à l'aide du codage et des longueurs données.

1. aPQ = $5$ cm et QR = $4{,}8$ cm. Malo : « PQRS est un carré : ça se voit. » La phrase est-elle juste ? Justifie.
2. bMalo : « KLMN est un carré, donc ce n'est pas un rectangle. » La phrase est-elle juste ? Justifie.
3. cEF = $8$ cm et FG = $35$ mm. Malo : « Le périmètre de EFGH est $8 + 35 = 43$ cm. » Trouve ses erreurs et calcule le bon périmètre.
4. dRS = $4{,}5$ cm. Malo : « RSTU a quatre côtés de même longueur, donc c'est un carré. » La phrase est-elle juste ? Justifie.

Ex. 29★★★Le galon de la nappe — Nina coud un galon tout autour d'une nappe rectangulaire ABCD : AB = $1{,}4$ m et BC = $90$ cm. Le galon est vendu en rouleaux de $5$ m.

1. aNina écrit : « P = $2 \times (1{,}4 + 90) = 182{,}8$ ». Explique son erreur, puis calcule le périmètre de la nappe en cm.
2. bNina utilise un rouleau de $5$ m pour la nappe. Quelle longueur de galon, en cm, lui reste-t-il ?
3. cAvec un deuxième rouleau de $5$ m, elle borde des serviettes carrées de $32$ cm de côté. Combien de serviettes peut-elle border entièrement ? Combien de galon reste-t-il ?
4. dUn troisième rouleau de $5$ m borde exactement une autre nappe rectangulaire de longueur $1{,}8$ m. Calcule sa largeur en cm.

Ex. 30★★★Le panneau de Sacha — Sacha dessine un panneau : ABCD est un carré et BEFC est un rectangle. Les points A, B, E sont alignés, et les points D, C, F aussi. Voici son schéma à main levée.

1. aDonne les longueurs CF et EF. Justifie chaque réponse.
2. bQuelle est la nature du quadrilatère AEFD ? Est-ce un carré ? Justifie.
3. cCalcule le périmètre de AEFD en écrivant le calcul.
4. dSacha dit : « Le périmètre de AEFD est la somme des périmètres de ABCD et de BEFC. » Calcule cette somme, puis explique son erreur.
5. eÉcris un programme de construction de la figure, puis construis-la en vraie grandeur.

Ex. 31★★★Automatismes : les bons instruments — Réponds en une phrase.

1. aPour tracer la perpendiculaire à (EF) passant par F, quel instrument utilises-tu ?
2. bUn segment commence à la graduation $1{,}5$ de la règle et se termine à la graduation $7{,}3$. Quelle est sa longueur ?
3. cTu veux placer N à $3{,}7$ cm de K avec le compas. Où mets-tu la pointe, et quel écartement prends-tu ?
4. dLucas dit : « Mon angle a l'air droit, pas besoin d'équerre. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eTu veux reporter la longueur d'un segment [AB] déjà tracé sans le mesurer. Quel instrument utilises-tu ?

Ex. 32★★★Automatismes : préparer la construction — Ben veut construire le rectangle KLMN tel que KL = $5{,}4$ cm et LM = $2{,}8$ cm.

1. aQuelle longueur doit mesurer [MN] ? Justifie.
2. bQuelle longueur doit mesurer [NK] ? Justifie.
3. cÀ quels sommets faut-il coder un angle droit ?
4. dZoé appelle ce rectangle KMLN. Pourquoi est-ce une erreur ?

Ex. 33★★★Le modèle d'un cadre photo — Mila dessine le modèle d'un cadre photo : c'est le rectangle PQRS tel que PQ = $6{,}5$ cm et QR = $3{,}2$ cm.

1. aFais une figure à main levée de PQRS, avec les longueurs et le codage des angles droits.
2. bConstruis PQRS en vraie grandeur, puis écris les étapes dans l'ordre.
3. cContrôle ta figure : quelles longueurs dois-tu trouver en mesurant [RS] et [SP] ? Que vérifies-tu à l'équerre ?

Ex. 34★★★L'erreur de Léna — Léna trace le plan d'un terrain de sport : le rectangle EFGH tel que EF = $5{,}6$ cm et FG = $2{,}4$ cm. Elle a tracé [EF] et les perpendiculaires en E et en F. Elle a ensuite placé G et H à $2{,}4$ cm. Voici sa figure.

1. aLes côtés [FG] et [EH] mesurent bien $2{,}4$ cm. Quelle erreur Léna a-t-elle faite ?
2. bSa figure EFGH est-elle un rectangle ? Justifie.
3. cExplique comment corriger la figure, puis construis le bon rectangle EFGH.

Ex. 35★★★Le carreau de Hugo — Pour dessiner un carreau de carrelage, Hugo suit ce programme. 1. Trace [GH] de $4{,}3$ cm. 2. À l'équerre, trace la perpendiculaire à (GH) passant par H ; places-y I avec HI = $4{,}3$ cm. 3. Trace un arc de centre G et un arc de centre I, de rayon $4{,}3$ cm : ils se coupent en H et en un second point J. 4. Trace [IJ] et [JG].

1. aSuis le programme et construis GHIJ.
2. bPourquoi les deux arcs de l'étape 3 ont-ils un rayon de $4{,}3$ cm ?
3. cContrôle à l'équerre les angles en I, en J et en G. Quelle est la nature de GHIJ ? Justifie.

Ex. 36★★★Le schéma d'Inès — Inès a fait ce schéma à main levée d'un morceau de vitrail : le losange RSTU de côté $4{,}5$ cm, dont la diagonale [RT] mesure $6$ cm.

1. aSur le schéma, [RT] paraît plus courte que [RS]. Est-ce gênant pour construire ? Explique.
2. bConstruis RSTU en vraie grandeur, puis écris les étapes dans l'ordre.
3. cContrôle ta figure : quelles longueurs dois-tu trouver en mesurant [ST], [TU] et [UR] ?

Ex. 37★★★Vrai ou faux sur les constructions — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. aOn peut construire un losange de côté $2{,}5$ cm dont une diagonale mesure $6$ cm.
2. bUn carré de côté $5{,}2$ cm se construit comme un rectangle de longueur $5{,}2$ cm et de largeur $5{,}2$ cm.
3. cPour placer E dans le losange DEFG de côté $3{,}9$ cm, à partir de la diagonale [DF] de $5$ cm, on trace des arcs de rayon $5$ cm.
4. dUne fois la figure finie, on efface les arcs de construction pour qu'elle soit propre.

Ex. 38★★★Le panneau du club de voile — Le club de voile de Nour fabrique un panneau qui a la forme du losange KLMN de côté $5$ cm. Sa diagonale [KM] mesure $8$ cm.

1. aÉcris un programme de construction de KLMN en quatre étapes, qui commence par le tracé de la diagonale [KM].
2. bSuis ton programme : construis KLMN en vraie grandeur. Contrôle ensuite ta figure terminée.
3. cZoé trace [KM] de $8$ cm. Puis elle trace des arcs de centre K et de centre M avec un écartement de $4$ cm, « la moitié de la diagonale ». Que se passe-t-il ? Quelle est son erreur ?
4. dPour un second panneau, on garde la diagonale [KM] de $8$ cm, mais on veut un losange de périmètre $22$ cm. Quel écartement de compas faut-il prendre pour les arcs ? Justifie.

Ex. 39★★★Le plan du jardin de Sacha — Sacha a fait ce schéma à main levée de son jardin : un potager ABCD et, collé le long de [BC], un massif de fleurs BEFC. Les points A, B et E sont alignés, ainsi que les points D, C et F.

1. aQuelle longueur doit mesurer [EF] ? Justifie à l'aide du codage.
2. bConstruis la figure en vraie grandeur avec tes instruments. Décris tes étapes.
3. cJustifie que AEFD est un rectangle, puis calcule la longueur AE.
4. dCalcule le périmètre du rectangle AEFD.
5. eTom dit : « Le périmètre de ABCD vaut $18$ cm, celui de BEFC vaut $14$ cm, donc celui de AEFD vaut $18 + 14 = 32$ cm. » Explique son erreur.

Ex. 40★★★La nappe de Jade — Pour décorer une nappe, Jade construit un carré de côté $4{,}2$ cm. Ses sommets s'appellent R, S, T et U. Ses diagonales sont [RS] et [TU].

1. aPour nommer ce carré en suivant le tour, dans quel ordre faut-il lire les sommets ? Explique, puis écris ses quatre côtés.
2. bConstruis ce carré en vraie grandeur, à la règle, à l'équerre et au compas. Décris tes étapes dans l'ordre.
3. cTa figure est terminée. Que dois-tu contrôler, et avec quel instrument ?
4. dMalo affirme : « Ce quadrilatère est un carré, donc ce n'est pas un rectangle. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eJade coud un galon doré tout autour du carré. Quelle longueur de galon lui faut-il ?

Ex. 41★★★Automatismes · Segment, droite ou demi-droite — Lis chaque étape de programme avec attention aux crochets et aux parenthèses. Ici, EF = $4{,}5$ cm.

1. a« Trace [EF] » : que traces-tu, et où t'arrêtes-tu ?
2. bÉcris avec les bons symboles : « la droite qui passe par E et par F ».
3. cTom lit « Trace [EF) » et trace un trait qui part de F et passe par E. A-t-il raison ? Justifie.
4. d« Place G sur [EF) tel que EG = $7$ cm. » Est-ce possible ? Si oui, calcule FG.
5. e« Place H sur [EF] tel que EH = $7$ cm. » Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 42★★★Automatismes · Le bon outil, la bonne précision — Pour chaque étape, dis précisément ce que tu fais. Les points K et L sont déjà placés et la droite (KL) est tracée.

1. a« Trace la perpendiculaire à (KL) passant par K. » Quel instrument utilises-tu, et combien de droites obtiens-tu ?
2. bLina écrit : « Trace une perpendiculaire à (KL). » Pourquoi son étape n'est-elle pas assez précise ?
3. c« Trace l'arc de cercle de centre K et de rayon $3{,}8$ cm. » Où places-tu la pointe du compas, et quel écartement prends-tu ?
4. dMalo place M sur la perpendiculaire à (KL) passant par K, avec KM = $2{,}6$ cm. Combien de positions sont possibles, et à quelle distance l'une de l'autre ? Que faut-il préciser ?

Ex. 43★★★Remettre un programme dans l'ordre — Voici, dans le désordre, les étapes pour construire le carré PQRS de côté $4{,}4$ cm (figure attendue ci-dessous).
① Place le point S sur cette droite, à $4{,}4$ cm de P.
② Trace les segments [QR], [RS] et [SP].
③ Trace le segment [PQ] de longueur $4{,}4$ cm.
④ Trace la perpendiculaire à (PQ) passant par P.
⑤ Place le point R, autre que P, tel que QR = $4{,}4$ cm et SR = $4{,}4$ cm (deux arcs au compas).

1. aÉcris les numéros des cinq étapes dans le bon ordre.
2. bQue désigne « cette droite » à l'étape ① ?
3. cQuels points l'étape ⑤ utilise-t-elle ? À quelles étapes ont-ils été placés ?
4. dÀ l'étape ⑤, pourquoi le programme précise-t-il « autre que P » ?
5. eCalcule le périmètre du carré PQRS obtenu.

Ex. 44★★★Suivre un programme avec deux arcs — Pour décorer un panneau, Léna suit ce programme.
① Trace le segment [EG] de longueur $4{,}8$ cm.
② Trace un arc de cercle de centre E et de rayon $4$ cm, puis un arc de centre G et de même rayon.
③ Les arcs se coupent en deux points : nomme F celui au-dessus de [EG], H celui en dessous.
④ Trace les segments [EF], [FG], [GH] et [HE].

1. aFais une figure à main levée codée, puis construis EFGH en vraie grandeur en suivant le programme.
2. bÀ l'étape ③, pourquoi le programme dit-il lequel des deux points s'appelle F ?
3. cQuelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Justifie.
4. dQue représente le segment [EG] pour EFGH ? Justifie, puis calcule le périmètre de EFGH.

Ex. 45★★★Corriger le programme de Noé — Noé veut construire le cadre photo rectangulaire KLMN ci-dessous, avec KL = $5{,}4$ cm et LM = $3$ cm. Il écrit :
① Trace le segment [KL] de longueur $5{,}4$ cm.
② Trace une perpendiculaire à (KL).
③ Place N sur cette droite, à $3$ cm de K.
④ Trace un arc de centre N et de rayon $3$ cm, puis un arc de centre L et de rayon $5{,}4$ cm : M est leur point d'intersection.
⑤ Trace [LM], [MN] et [NK].

1. aRéécris l'étape ② pour qu'elle soit précise.
2. bL'étape ④ contient une erreur de longueurs. Explique-la, puis réécris l'étape correctement.
3. cAvec les bons rayons, les deux arcs de l'étape ④ se coupent en deux points. Lequel doit-on appeler M ?
4. dNoé entoure le cadre KLMN d'une baguette dorée. Quelle longueur de baguette lui faut-il ?

Ex. 46★★★Écrire le programme d'un plan de jardin — Voici le plan du jardin d'Inès, à Rennes : un rectangle RSTU partagé par le segment [VW] en une partie fleurs RVWU et une partie potager VSTW.

1. aÉcris un programme de construction de cette figure. Commence par le rectangle RSTU et emploie les mots « segment », « perpendiculaire » et « passant par ».
2. bQuelle est la nature du quadrilatère RVWU ? Justifie à l'aide du codage.
3. cCalcule la longueur VS.

Ex. 47★★★Compléter le programme d'un vitrail — Ben a dessiné un vitrail : un carré ABCD et un losange BEFC accolés le long de [BC], avec CE = $6$ cm. Complète son programme.
① Construis le carré ABCD de côté $3{,}6$ cm.
② Place le point E, de l'autre côté de (BC) par rapport à A, tel que BE = … cm et CE = $6$ cm.
③ Trace l'arc de centre C et de rayon … cm, puis l'arc de centre … et de rayon $3{,}6$ cm ; F est leur point d'intersection autre que …
④ Trace les segments …

1. aComplète l'étape ② en justifiant la longueur choisie.
2. bComplète les trois trous de l'étape ③.
3. cComplète l'étape ④ : quels segments reste-t-il à tracer ?
4. dLe contour du vitrail est entouré d'un fil de plomb. Calcule la longueur de ce contour.

Ex. 48★★★Les trois défauts du programme de Sacha — Sacha veut construire le losange KLMN de côté $5$ cm dont la diagonale [KM] mesure $8$ cm (schéma à main levée). Il écrit : ① Trace la droite (KM) de longueur $8$ cm. ② Trace un arc de centre K et de rayon $5$ cm, puis un arc de centre L et de rayon $5$ cm. ③ Les deux arcs se coupent en L. ④ Trace [KL], [LM], [MN] et [NK].

1. aÀ l'étape ①, Sacha confond deux objets de géométrie. Explique son erreur et réécris l'étape ①.
2. bExplique pourquoi l'étape ② ne peut pas être suivie, puis réécris-la.
3. cLes étapes ③ et ④ posent un problème avec les points L et N. Lequel ? Réécris l'étape ③.
4. dConstruis KLMN en vraie grandeur avec le programme corrigé, puis justifie que la figure obtenue est un losange.
5. eSacha veut maintenant un losange de périmètre $26$ cm, avec la même diagonale [KM] de $8$ cm. Quel rayon doit-il prendre pour les arcs ?

Ex. 49★★★La façade d'une cabane à oiseaux — À Annecy, Yanis peint la façade d'une cabane à oiseaux : un carré ABCD surmonté du triangle équilatéral DCE (schéma à main levée ci-dessous). Le contour de la façade, ABCED, mesure $23$ cm.

1. aCalcule la longueur du côté du carré ABCD. Explique ton calcul.
2. bÉcris un programme de construction de la façade, en commençant par le carré ABCD, avec les mots segment, perpendiculaire, arc.
3. cEn traçant les arcs pour placer E, Clara obtient un point E à l'intérieur du carré. Explique ce qui s'est passé et comment l'éviter.
4. dConstruis la façade en vraie grandeur en suivant ton programme.

Ex. 50★★★Une frise de carrelage à suivre pas à pas — Pour une frise de carrelage, à Lille, Maëlys suit ce programme. ① Trace [AB] de $3{,}4$ cm. ② Trace deux arcs de rayon $3{,}4$ cm, de centres A et B : appelle C leur point d'intersection au-dessus de [AB], et D celui au-dessous. ③ Trace deux arcs de rayon $3{,}4$ cm, de centres B et C : ils se coupent en A et en un point E. ④ Trace [AC], [CB], [BD], [DA], [CE] et [EB].

1. aFais une figure à main levée, puis construis la frise en vraie grandeur en suivant les étapes dans l'ordre.
2. bRayan appelle ABCD le quadrilatère formé par les points A, B, C et D. Explique son erreur et donne un nom correct.
3. cQuelle est la nature du quadrilatère ACEB ? Justifie à partir du programme.
4. dDans le quadrilatère ACEB, nomme le côté opposé au côté [AC], puis les deux diagonales.
5. eMaëlys calcule le contour de la frise, ACEBD : « J'ai tracé 7 segments de $3{,}4$ cm, donc $7 \times 3{,}4 = 23{,}8$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie.