Cinquième / Parallélogrammes, rectangle, losange, carré

Ex. 1★★★Un parallélogramme debout : le vocabulaire — RSTU est un parallélogramme « debout ». On sait que RS = $3{,}6$ cm.

1. aQuel autre côté de RSTU mesure aussi $3{,}6$ cm ? Justifie.
2. bQuel est le sommet opposé au sommet S ?
3. cLe segment [RT] est-il un côté ou une diagonale de RSTU ? Justifie.
4. dNomme les deux côtés consécutifs au côté [ST].
5. eInès affirme : « RSUT est le même quadrilatère que RSTU. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 2★★★Angles opposés, angles consécutifs — EFGH est un parallélogramme tel que $\widehat{HEF} = 64^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{FGH}$. Justifie.
2. bCalcule $\widehat{EFG}$. Justifie.
3. cNoé écrit : « $\widehat{GHE} = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$ ». Corrige son erreur.
4. dABCD est un autre parallélogramme, avec $\widehat{ABC} = 128^\circ$. Calcule $\widehat{BCD}$, puis $\widehat{CDA}$.

Ex. 3★★★Le centre d'un parallélogramme penché — IJKL est un parallélogramme de centre O. On donne IK = $10{,}6$ cm et OJ = $3{,}3$ cm.

1. aCalcule OI et OK.
2. bCalcule la longueur de la diagonale [JL].
3. cLou affirme : « OL = OI = $5{,}3$ cm, car O est le milieu des diagonales. » Corrige son erreur.
4. dQuel est le symétrique du point J par rapport à O ? Et celui du segment [IJ] ?

Ex. 4★★★Le massif de fleurs de Malik — Sur un plan de jardin, Malik dessine un massif de fleurs en forme de parallélogramme MNPQ : MN = $6{,}4$ m, $\widehat{QMN} = 72^\circ$, et le périmètre vaut $20{,}6$ m.

1. aCalcule PQ. Justifie.
2. bMalik écrit : « NP = $20{,}6 - 6{,}4 = 14{,}2$ m ». Explique son erreur, puis calcule NP.
3. cCalcule $\widehat{MNP}$ et $\widehat{NPQ}$.
4. dLe long du côté [QM], il y a un mur. Malik veut poser une bordure sur les trois autres côtés du massif. Quelle longueur de bordure lui faut-il ?

Ex. 5★★★Les quatre erreurs de Lina — Lina a fait cet exercice : « KLMN est un parallélogramme tel que KL = $7{,}5$ cm, LM = $4{,}2$ cm et $\widehat{NKL} = 63^\circ$. » Voici ses réponses.

1. aLina écrit : « [MN] est opposé à [LM], donc MN = $4{,}2$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
2. bLina écrit : « $\widehat{KLM} = 63^\circ$ car les angles opposés sont égaux. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
3. cLina écrit : « K et M sont deux sommets consécutifs, donc [KM] est un côté de KLMN. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
4. dLina écrit : « Le périmètre de KLMN vaut $7{,}5 + 4{,}2 = 11{,}7$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
5. eCalcule $\widehat{LMN}$ et $\widehat{MNK}$ en justifiant, puis vérifie que la somme des quatre angles de KLMN vaut $360^\circ$.

Ex. 6★★★Les barres de renfort du portail de Yanis — Le cadre du portail de Yanis est un parallélogramme EFGH. Deux barres de renfort, [EG] et [FH], se croisent en O. La barre [EG] mesure $2{,}7$ m et les deux barres mesurent $4{,}3$ m à elles deux. La figure est à l'échelle 2 cm pour 1 m.

1. aCalcule la longueur de la barre [FH], puis la distance OF. Justifie.
2. bDémontre que O est le milieu de [EG], puis calcule OE.
3. cUn ami de Yanis affirme : « O est le centre du portail, donc OE, OF, OG et OH mesurent tous $1{,}35$ m. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Le pantographe de Sacha — Le pantographe de Sacha est fait de quatre barres articulées qui forment toujours un parallélogramme PQRS, avec PQ = $24$ cm et QR = $15$ cm. Quand Sacha le déforme, les barres gardent leur longueur, mais les angles changent. Sur la figure, $\widehat{PQR} = 104^\circ$.

1. aCalcule la longueur totale des quatre barres. Justifie.
2. bDans la position de la figure, calcule $\widehat{SPQ}$, $\widehat{QRS}$ et $\widehat{RSP}$. Justifie.
3. cSacha déforme le pantographe : $\widehat{SPQ}$ mesure maintenant le double de $\widehat{PQR}$. Calcule ces deux angles.
4. dSacha veut que les quatre angles soient égaux. Quelle mesure doit-il donner à $\widehat{SPQ}$ ? Quelle figure obtient-il ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : quelle propriété caractéristique ? — Chaque quadrilatère est non croisé. Dis s'il est un parallélogramme. Si oui, donne la propriété caractéristique utilisée. Sinon, explique ce qui ne va pas.

1. aEFGH a $(EF) \parallel (HG)$ et $(EH) \parallel (FG)$.
2. bBCDE a BC = DE = $3{,}6$ cm et CD = EB = $2{,}4$ cm.
3. cLes diagonales de KLMN se coupent en O, avec OK = OM = $2{,}7$ cm, OL = $1{,}9$ cm et ON = $2{,}2$ cm.
4. dIJKL a $(IJ) \parallel (LK)$, avec IJ = $4{,}2$ cm et LK = $3{,}3$ cm.
5. eWXYZ a WX = WZ = $2{,}5$ cm et XY = YZ = $3{,}9$ cm.
6. fDans ABCD, le point K est à la fois le milieu de [AC] et le milieu de [BD].

Ex. 9★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en citant une propriété ou en donnant un contre-exemple.

1. a« Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles est toujours un parallélogramme. »
2. b« IJKL est non croisé, avec $(IJ) \parallel (LK)$ et IJ = LK = $5{,}4$ cm.
   Donc IJKL est un parallélogramme. »
3. c« PQRS est non croisé, avec PQ = RS = $3{,}8$ cm et $(QR) \parallel (PS)$.
   Donc PQRS est un parallélogramme. »
4. d« EFGH, dessiné ci-dessous, a EF = GH et FG = HE.
   Donc EFGH est un parallélogramme. »

Ex. 10★★★Corriger deux copies — Les diagonales [VX] et [WY] du quadrilatère VWXY se coupent en O, avec OV = OX = $2{,}6$ cm et OW = OY = $3{,}7$ cm. La figure est à main levée. Ben demande de démontrer que VWXY est un parallélogramme.

1. aNora écrit : « On sait que VWXY est un parallélogramme. Or dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu.
   Donc O est le milieu de [VX] et de [WY]. » Pourquoi ce n'est pas une preuve ?
2. bTom écrit : « On voit sur la figure que $(VW) \parallel (YX)$ et $(VY) \parallel (WX)$, donc VWXY est un parallélogramme. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cRédige la bonne démonstration avec « on sait que / or / donc ».
4. dCalcule les longueurs des diagonales [VX] et [WY].

Ex. 11★★★Le plan de jardin d'Inès — Inès dessine son jardin sur un quadrillage de 1 cm. Elle a placé les piquets R et S, puis le point O. T est le symétrique de R par rapport à O, et U est le symétrique de S par rapport à O.

1. aPlace T et U sur le quadrillage. Explique comment tu comptes les carreaux.
2. bQue représente le point O pour le segment [RT] ? Et pour le segment [SU] ?
3. cDémontre que RSTU est un parallélogramme.
4. dSur le terrain, l'allée [RT] mesure $13{,}4$ m. Calcule la longueur OT.

Ex. 12★★★Les barres du portail — Le cadre d'un portail est le quadrilatère KLMN. Ses barres de renfort [KM] et [LN] se croisent en I. Salomé, la soudeuse, a mesuré : IK = IM = $1{,}85$ m et IL = IN = $1{,}85$ m.

1. aDémontre que KLMN est un parallélogramme.
2. bCalcule KM et LN, puis démontre que KLMN est un rectangle.
3. cSur un deuxième portail, les barres se croisent en I avec IK = IM = $1{,}85$ m, IL = $1{,}6$ m et IN = $2{,}1$ m. Théo dit : « Les barres ont la même longueur, donc c'est un rectangle. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour décorer le portail, Salomé découpe une plaque ABCD (non croisée) avec AB = AD = $0{,}35$ m et BC = CD = $0{,}62$ m. Théo affirme : « Elle a deux paires de côtés égaux, donc c'est un parallélogramme. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 13★★★L'étagère penchée de Hugo — Hugo monte une étagère dont le cadre EFGH (non croisé) est penché. Il sait que $(EF) \parallel (HG)$, que EF = HG = $0{,}64$ m, que le périmètre du cadre vaut $2{,}3$ m et que $\widehat{FEH} = 74^\circ$.

1. aDémontre que EFGH est un parallélogramme.
2. bCalcule la longueur FG.
3. cCalcule $\widehat{EFG}$ et $\widehat{FGH}$.
4. dUne autre étagère s'est abîmée : elle a toujours $(EF) \parallel (HG)$, mais EF = $0{,}64$ m et HG = $0{,}58$ m. Lucas affirme qu'elle reste un parallélogramme puisque deux de ses côtés sont parallèles. A-t-il raison ? Justifie.
5. eMaël affirme : « EFGH est un parallélogramme, donc c'est aussi un rectangle. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 14★★★Le drapeau de Clara — Pour dessiner un drapeau, Clara trace deux droites perpendiculaires en O. Elle place I sur l'une et J sur l'autre, avec OI = $2{,}15$ cm et OJ = $1{,}35$ cm. Puis elle place K, le symétrique de I par rapport à O, et L, le symétrique de J par rapport à O. La figure est à main levée.

1. aExplique pourquoi O est le milieu de [IK] et le milieu de [JL].
2. bDémontre que IJKL est un parallélogramme.
3. cDémontre que IJKL est un losange.
4. dCalcule les longueurs IK et JL.
5. eNoé dit : « Sur la figure, on voit quatre angles droits, donc IJKL est un carré. » Explique son erreur, puis prouve que IJKL n'est pas un carré.

Ex. 15★★★Automatismes : le quatrième sommet sur quadrillage — On veut placer le point N pour que KLMN soit un parallélogramme.

1. aPour aller de L à M, de combien de carreaux te déplaces-tu vers la droite, puis vers le haut ?
2. bFais le même déplacement à partir de K, place le point N, puis trace KLMN.
3. cLéo part de M et fait le même déplacement que pour aller de K à L. Explique pourquoi il n'obtient pas le point N.
4. dJustifie que KLMN est un parallélogramme en citant la propriété utilisée.

Ex. 16★★★Automatismes : les bons arcs de compas — On connaît les sommets R, S et T, et on veut placer U au compas pour que RSTU soit un parallélogramme. On a RS = 6,2 cm et ST = 3,8 cm.

1. aQuel est le rayon de l'arc de centre R ? Donne le côté utilisé et sa longueur.
2. bQuel est le rayon de l'arc de centre T ? Donne le côté utilisé et sa longueur.
3. cLes deux arcs se coupent en deux points. Lequel faut-il choisir pour avoir U ?
4. dMia appelle la figure obtenue « RSUT ». Corrige ce nom et explique pourquoi.
5. eQuelle propriété justifie cette construction au compas ? Cite-la en entier.

Ex. 17★★★La maquette du portail — Sacha fabrique la maquette d'un portail en forme de parallélogramme EFGH, avec EF = 6,4 cm, EH = 3,5 cm et $\widehat{HEF} = 70^\circ$.

1. aFais une figure à main levée de EFGH, sommets dans l'ordre, et écris dessus les longueurs de [HG] et de [FG].
2. bÉcris un programme de construction de EFGH en 4 étapes : d'abord le rapporteur, puis le compas.
3. cCalcule les mesures des angles $\widehat{EFG}$, $\widehat{FGH}$ et $\widehat{GHE}$.
4. dSacha colle une baguette tout autour de la maquette. Quelle longueur de baguette lui faut-il ?

Ex. 18★★★Le parterre du jardin, par les diagonales — Pour le plan de son jardin, Inès suit ce programme : ① trace [IK] de 8,6 cm et place son milieu O ; ② trace une droite d passant par O, avec $\widehat{IOJ} = 55^\circ$ ; ③ place J et L sur d, de part et d'autre de O, à … cm de O, pour avoir JL = 5,2 cm ; ④ trace IJKL.

1. aCalcule OI, puis la distance qui manque à l'étape ③.
2. bTom place J et L à 5,2 cm de O. Quelle longueur JL obtient-il ? Corrige son erreur.
3. cJustifie que IJKL est un parallélogramme en citant la propriété utilisée.
4. dConstruis IJKL en vraie grandeur, en laissant les traits de construction apparents.

Ex. 19★★★Le support d'étagère de Noé, au compas — Noé dessine le plan d'un support d'étagère en forme de parallélogramme RSTU. Il a déjà placé R, S et T, avec RS = $5{,}6$ cm, ST = $4{,}2$ cm et $\widehat{RST} = 64^\circ$. Il doit placer U au compas.

1. aFais une figure à main levée de RSTU, sommets dans l'ordre. Nomme le côté opposé à [RU], puis le côté opposé à [TU].
2. bNoé trace l'arc de centre R de rayon $5{,}6$ cm et l'arc de centre T de rayon $4{,}2$ cm. Explique son erreur et donne les bons rayons.
3. cLes deux bons arcs se coupent en deux points. Lequel faut-il choisir ? Explique ce qui se passe avec l'autre.
4. dDémontre que le quadrilatère RSTU obtenu est un parallélogramme, en citant la propriété utilisée.
5. eCalcule $\widehat{RUT}$ et $\widehat{SRU}$ en citant à chaque fois la propriété utilisée.

Ex. 20★★★Les trois jetons du carrelage — Maëlys pose trois jetons E, F et G sur un carrelage quadrillé. Elle cherche où poser un quatrième jeton pour former un parallélogramme. Reproduis la figure sur un quadrillage, en laissant de la place tout autour.

1. aPlace le point H₁ tel que EFGH₁ soit un parallélogramme. Indique de quel point à quel point tu comptes le déplacement, et à partir de quel point tu le refais.
2. bAdam compte le déplacement de E vers F et le refait à partir de G : il obtient H₂. Nomme dans l'ordre le parallélogramme qu'il a construit. Pourquoi n'est-ce pas EFGH₂ ?
3. cIl existe un troisième point H₃ qui forme un parallélogramme avec E, F et G. Place-le, donne le déplacement utilisé et nomme ce parallélogramme dans l'ordre.
4. dJustifie que EFGH₁ est un parallélogramme en citant une propriété caractéristique.
5. eNina dit : « Pour placer H₁, je peux aussi placer O, milieu de [EG], puis H₁ symétrique de F par rapport à O. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Le cadre de fenêtre de Yanis — Pour la maquette d'un cadre de fenêtre WXYZ, Yanis prend deux baguettes [WY] et [XZ] de $7{,}6$ cm chacune. Il les fixe en leur milieu commun O, avec $\widehat{WOX} = 62^\circ$.

1. aÉcris un programme de construction de WXYZ en partant de la baguette [WY], et précise les distances à reporter depuis O.
2. bDémontre que WXYZ est un parallélogramme.
3. cDémontre ensuite que WXYZ est un rectangle.
4. dHugo affirme : « Les diagonales ne sont pas perpendiculaires, donc WXYZ ne peut pas être un rectangle. » Explique son erreur.
5. eAvec les mêmes baguettes, Yanis veut un cadre carré. Quelle mesure doit-il donner à $\widehat{WOX}$ ? Justifie.

Ex. 22★★★Lire le codage, pas l'œil — Pour chaque figure, sers-toi seulement du codage et des données de l'énoncé.

1. aDans KLMN, KL = $5{,}2$ cm et LM = $4{,}9$ cm. Quelle est la nature de KLMN ? Justifie.
2. bNomme les diagonales de EFGH, puis donne sa nature en justifiant.
3. cIJKL est-il un rectangle ? Est-il un losange ? Justifie.
4. dKenza affirme : « PQRS est un carré, ça se voit. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 23★★★Périmètres, dans les deux sens — Écris le calcul et donne le résultat avec son unité.

1. aCalcule le périmètre du rectangle VWXY.
2. bUn rectangle a pour périmètre 32 cm et pour longueur $10{,}25$ cm. Calcule sa largeur.
3. cUn losange a pour côté $3{,}7$ cm. Calcule son périmètre.
4. dUn carreau carré a pour périmètre 15 cm. Calcule la longueur de son côté.
5. eUn cadre de fenêtre rectangulaire mesure $1{,}2$ m sur 45 cm. Calcule son périmètre en cm.

Ex. 24★★★Vrai ou faux : familles et axes de symétrie — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par une définition, un contre-exemple ou un pliage. La figure montre le rectangle ABCD, avec AB = 11 cm et BC = 6 cm, et ses diagonales.

1. a« Un carré est à la fois un rectangle et un losange. »
2. b« Un rectangle est toujours un carré. »
3. cThéo affirme : « Les droites (AC) et (BD) sont les axes de symétrie de ABCD. » A-t-il raison ? Justifie.
4. d« Un parallélogramme qui n'est ni un rectangle ni un losange a deux axes de symétrie. »

Ex. 25★★★Le losange de signalisation — Pour un panneau de signalisation, Inès veut tracer en vraie grandeur le losange RSTU de côté 8 cm, dont la diagonale [RT] mesure 10 cm.

1. aÉcris le programme de construction de RSTU, puis construis-le.
2. bCalcule le périmètre de RSTU.
3. cCombien RSTU a-t-il d'axes de symétrie ? Nomme-les.
4. dLe vrai panneau a des côtés 10 fois plus longs. Combien de mètres de ruban faut-il pour en faire le tour ?

Ex. 26★★★Le grillage du potager — Malik trace le plan de son potager rectangulaire EFGH, avec EF = $13{,}5$ m et FG = $7{,}2$ m. Il veut l'entourer de grillage.

1. aSon frère Rayan calcule $13{,}5 \times 7{,}2 = 97{,}2$ et annonce qu'il faut $97{,}2$ m de grillage. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
2. bMalik laisse un portillon de $0{,}9$ m sans grillage. Le grillage est vendu en rouleaux de 10 m : combien de rouleaux doit-il acheter ? Justifie.
3. cSa voisine Clara a un potager rectangulaire de même périmètre que EFGH, de longueur $15{,}3$ m. Calcule sa largeur, puis vérifie avec le périmètre.
4. dSa sœur propose un potager carré entouré par la même longueur de grillage que EFGH (sans portillon). Calcule le côté de ce carré.

Ex. 27★★★Ben corrige trois copies — Nora, Lucas et Yanis ont répondu sur des figures codées. Pour chaque affirmation, dis si l'élève a raison et justifie avec le cours. Ne te fie qu'au codage et aux données, jamais à l'œil.

1. aNora : « Seuls deux côtés sont codés égaux, donc MNPQ est un rectangle, mais pas un carré. »
2. bLe rectangle EFGH a pour périmètre 21 cm et FG = $6{,}3$ cm. Lucas : « EF = $21 - 2 \times 6{,}3 = 8{,}4$ cm. »
3. cYanis : « KLMN n'a aucun angle droit, donc ce n'est pas un quadrilatère particulier : il n'a aucun axe de symétrie. »
4. dCombien d'axes de symétrie a le quadrilatère MNPQ de la première figure ? Nomme-les et justifie.

Ex. 28★★★Le cadre de fenêtre — Paul, menuisier, fabrique une fenêtre rectangulaire ABCD. Le montant [EF] la partage en deux vitres AEFD et EBCF, qui sont deux carrés identiques. Le tour du cadre extérieur ABCD mesure $5{,}1$ m.

1. aCalcule le côté d'une vitre, en m puis en cm.
2. bPaul dit : « ABCD est formé de deux carrés, donc ABCD est un carré. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cQuelle longueur totale de baguette faut-il pour le cadre extérieur et le montant [EF] ?
4. dJade, la fille de Paul, affirme : « Le tour d'une vitre est la moitié du tour de ABCD. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
5. eLe montant [EF] est-il porté par un axe de symétrie de la fenêtre ABCD ? Justifie.

Ex. 29★★★Les demi-diagonales d'un rectangle debout — RSTU est un rectangle de centre O avec RS = 4 cm et ST = $9{,}6$ cm. Ses diagonales [RT] et [SU] se coupent en O, et RT = $10{,}4$ cm.

1. aDonne la longueur SU. Justifie avec une propriété.
2. bCalcule OR.
3. cCalcule OS.
4. dQuelle est la nature du triangle ORS ? Justifie.
5. eLéa affirme : « Les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires, donc $\widehat{ROS} = 90^\circ$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 30★★★Diagonales et angles du losange — KLMN est un losange de centre I avec KM = 12 cm, LN = $7{,}2$ cm et $\widehat{KLM} = 118^\circ$.

1. aCalcule IK et IN.
2. bDonne la mesure de l'angle $\widehat{KIL}$. Justifie.
3. cCite les quatre triangles rectangles en I.
4. dCalcule $\widehat{LMN}$.
5. eCalcule $\widehat{MNK}$.
6. fSami affirme : « Les diagonales sont perpendiculaires, donc $\widehat{KLM}$ est droit. » Corrige son erreur.

Ex. 31★★★Tableau des propriétés et codage du carré — DEFG est un carré de centre O, posé sur une pointe, et DF = 13 cm.

1. aRecopie le tableau et complète chaque case par « oui » ou « pas toujours ».

   Diagonales	même milieu	même longueur	perpendiculaires
   parallélogramme
   rectangle
   losange
   carré

2. bCalcule EG et OE.
3. cQuel codage ajoutes-tu sur [OD], [OE], [OF], [OG] et en O pour traduire les propriétés des diagonales du carré ?
4. dQuelle est la nature du triangle DOE ? Justifie.

Ex. 32★★★Le portail de Nina — Le cadre du portail de Nina est un rectangle ABCD de périmètre $10{,}2$ m, avec AB = $3{,}6$ m. Deux barres de renfort [AC] et [BD] se croisent en O, où elles sont boulonnées. AC = $3{,}9$ m.

1. aCalcule la largeur AD du portail.
2. bQuelle longueur doit avoir la barre [BD] ? Justifie.
3. cÀ quelle distance du boulon O se trouve chaque coin du portail ?
4. dCombien de mètres de barre faut-il en tout pour le cadre et les deux renforts ?

Ex. 33★★★Le panneau de signalisation de Malik — Malik peint un panneau de signalisation PQRS. Ses diagonales [PR] et [QS] se coupent en I, avec IP = IR = $3{,}2$ dm, IQ = IS = $2{,}4$ dm et $(PR) \perp (QS)$. L'angle $\widehat{SPQ}$ mesure 74°.

1. aDémontre que PQRS est un parallélogramme.
2. bDémontre que PQRS est un losange.
3. cCalcule PR et QS. Hugo affirme : « PQRS est un carré. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule $\widehat{PQR}$ puis $\widehat{QRS}$ en justifiant par une propriété. Le panneau a-t-il un angle droit ?
5. eLe contour du panneau mesure 16 dm. Calcule la longueur PQ d'un côté.

Ex. 34★★★Le cadre de fenêtre de Sofiane — Sofiane fabrique un cadre de fenêtre EFGH. Ses diagonales [EG] et [FH] se coupent en M, qui est le milieu de [FH]. On a ME = MG = $3{,}25$ dm, FH = $6{,}5$ dm et EF = 6 dm. Le périmètre du cadre vaut 17 dm.

1. aDémontre que EFGH est un parallélogramme.
2. bCalcule EG, puis démontre que EFGH est un rectangle.
3. cCalcule la largeur FG du cadre.
4. dQuelle est la nature du triangle EMF ? Justifie par un calcul.
5. eInès affirme : « EFGH est un rectangle, donc ses diagonales sont perpendiculaires. » Montre qu'elle se trompe en utilisant EF et FG.

Ex. 35★★★Le motif de carrelage de Zoé — Zoé dessine un motif de carrelage sur un quadrillage de 1 cm. Elle veut obtenir un carré JKLM de centre O. Les points J, K et O sont déjà placés. P est le point de [OK] situé à 2 carreaux de O.

1. aPlace les sommets L et M. Explique ta méthode avec une propriété des diagonales.
2. bDonne JL et KM, puis démontre que JKLM est un carré : d'abord un parallélogramme, puis un rectangle, puis un losange.
3. cQ est le symétrique de P par rapport à O. Tom affirme : « $(JL) \perp (KQ)$, donc JKLQ est un losange. » Montre qu'il a tort.
4. dTrace JKLM et complète son codage : demi-diagonales, angle au centre, côtés et angles aux sommets.
5. eJPLQ est-il un carré ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. a« Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. »
2. b« Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. »
3. c« Un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. »
4. d« Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. »
5. eLéa mesure au rapporteur les angles de RSTU : 90°, 90°, 89° et 91°. Elle dit : « J'ai prouvé que RSTU n'est pas un rectangle. »
6. f« Un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré. »

Ex. 37★★★Automatismes : lire le codage — Pour chaque figure, traduis le codage par une phrase. Puis donne la nature du quadrilatère en citant la propriété caractéristique, ou explique pourquoi on ne peut pas conclure.

1. aQuelle est la nature de MNPQ ?
2. bPeut-on affirmer que DEFG est un losange ?
3. cQuelle est la nature de HIJK ?
4. dQuelle est la nature de STUV ?

Ex. 38★★★Le cadre de fenêtre de Malo — Malo dessine à main levée un cadre de fenêtre EFGH. Ses diagonales [EG] et [FH] se coupent en O, avec OE = OG = 3,1 cm et OF = OH = 3,1 cm. Malo écrit : « On sait que EG = FH. Or les diagonales d'un rectangle ont la même longueur. Donc EFGH est un rectangle. Et on voit que c'est un carré. »

1. aExplique les deux erreurs de Malo.
2. bDémontre que EFGH est un parallélogramme.
3. cCalcule EG et FH, puis démontre que EFGH est un rectangle.
4. dPeut-on affirmer que EFGH est un carré ? Justifie.

Ex. 39★★★Le carreau d'Inès — Inès étudie un carreau KLMN sur le plan d'un carrelage. Elle sait que (KL) // (NM), que (KN) // (LM), que KL = LM et que $\widehat{KLM} = 90^\circ$. Le périmètre du carreau vaut 34 cm.

1. aDémontre que KLMN est un parallélogramme.
2. bDémontre que KLMN est un losange.
3. cInès s'arrête à « losange ». Quelle est la nature exacte de KLMN ? Démontre-le.
4. dCalcule la longueur KL.

Ex. 40★★★Le portail de Yanis — Sur le plan du portail RSTU de Yanis, les barres [RS] et [UT] sont parallèles et mesurent chacune $4{,}8$ cm. Le montant [RU] est perpendiculaire à la barre [RS].

1. aDémontre que RSTU est un parallélogramme.
2. bDémontre que RSTU est un rectangle.
3. cLe périmètre du cadre RSTU vaut $13{,}6$ cm. Calcule ST.
4. dAutre portail WXYZ : ses barres [WY] et [XZ] mesurent $5{,}2$ cm chacune et se coupent en P, avec PW = 2 cm. Zoé dit : « Diagonales égales, donc WXYZ est un rectangle. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Le cerf-volant de Lina — Lina fabrique un cerf-volant IJKL avec deux baguettes [IK] et [JL] perpendiculaires, qui se coupent en O. Sur son plan, OJ = OL = $2{,}5$ cm, OI = $1{,}5$ cm et OK = 4 cm.

1. aLina écrit : « Les diagonales sont perpendiculaires, donc IJKL est un losange. » Explique pourquoi elle se trompe.
2. bLina fait glisser la baguette [IK], sans la couper, jusqu'à ce que O soit son milieu. Calcule IK, puis la nouvelle longueur OI.
3. cDémontre en deux étapes que le nouveau quadrilatère IJKL est un losange.
4. dSacha garde [JL] et prend une baguette [IK] de même longueur que [JL], de milieu O et perpendiculaire à [JL]. Il conclut : « IJKL est un losange. » Donne la conclusion la plus précise et démontre-la.

Ex. 42★★★Le plan du potager de Noé — Noé dessine le plan de son potager EFGH. Il code trois angles droits, en E, en F et en G. Il tend deux cordeaux le long des diagonales [EG] et [FH], qui se coupent en O, et il mesure EG = $6{,}5$ m.

1. aNoé hésite : « L'angle en H n'est pas codé, je ne peux pas conclure. » Calcule $\widehat{GHE}$, puis démontre que EFGH est un rectangle.
2. bSans mesurer, donne FH et EO. Justifie avec les propriétés des diagonales du rectangle.
3. cPour un massif PQRS, Jade écrit : « On sait que PQ = QR = RS = SP. Or un losange a ses quatre côtés de même longueur.
   Donc PQRS est un losange. » Explique son erreur, puis rédige la bonne démonstration.
4. dJade ajoute : « Au rapporteur, l'angle en P mesure 90°, donc PQRS est un carré. » Pourquoi n'est-ce pas une preuve ? Quelle donnée sur les diagonales de PQRS suffirait ?

Ex. 43★★★Automatismes : des angles en un clin d'œil — Calcule chaque angle demandé et cite la propriété utilisée.

1. aEFGH est un parallélogramme avec $\widehat{FEH} = 64^\circ$. Calcule $\widehat{FGH}$.
2. bPQRS est un losange avec $\widehat{PQR} = 142^\circ$. Calcule $\widehat{QRS}$.
3. cTUVW est un losange de centre O. Calcule $\widehat{TOU}$.
4. dLe quadrilatère WXYZ a trois angles qui mesurent $87^\circ$, $104^\circ$ et $95^\circ$. Calcule son quatrième angle.
5. eABCD est un parallélogramme avec $\widehat{BCD} = 73{,}5^\circ$. Calcule $\widehat{ABC}$.

Ex. 44★★★Automatismes : des longueurs à déduire — Calcule chaque longueur demandée et donne le résultat avec son unité.

1. aABCD est un rectangle de centre O et $OA = 4{,}15$ cm. Calcule AC.
2. bDans le même rectangle ABCD, calcule BD.
3. cUn losange a un périmètre de $23$ cm. Calcule la longueur de son côté.
4. dUn rectangle a un périmètre de $25{,}8$ cm et une longueur de $7{,}4$ cm. Calcule sa largeur.
5. eEFGH est un parallélogramme avec $EF = 5{,}4$ cm et $FG = 3{,}65$ cm. Calcule son périmètre.

Ex. 45★★★Le triangle caché du cadre de fenêtre — Le cadre de la fenêtre de Lina est un rectangle KLMN. Deux tiges [KM] et [LN] le renforcent et se croisent en O. On sait que $KM = 10{,}6$ cm et $KN = 4{,}7$ cm.

1. aCalcule OK, puis ON, en justifiant chaque égalité par une propriété.
2. bDémontre que le triangle OKN est isocèle.
3. cCalcule le périmètre du triangle OLM en justifiant chaque longueur.

Ex. 46★★★Le panneau de Noé — Un panneau de signalisation a la forme d'un losange IJKL avec $\widehat{JIL} = 68^\circ$. Noé écrit : « Dans un losange, les quatre angles sont égaux, donc $\widehat{IJK} = 68^\circ$. »

1. aNoé a-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule $\widehat{IJK}$, $\widehat{JKL}$ et $\widehat{KLI}$ en justifiant chaque égalité par une propriété.
3. cVérifie que la somme des quatre angles du panneau vaut bien $360^\circ$.
4. dSi les quatre angles d'un losange étaient égaux, combien mesurerait chacun d'eux ? Comment s'appellerait alors ce losange ?

Ex. 47★★★Le pantographe de Yanis — Le bras articulé du pantographe de Yanis forme un losange RSTU. Son périmètre vaut $23{,}4$ cm et $\widehat{URS} = 72^\circ$. Les diagonales [RT] et [SU] se coupent en O, et $RT = 9{,}46$ cm.

1. aCalcule la longueur RS. Justifie ta réponse.
2. bCalcule $\widehat{STU}$, puis $\widehat{RST}$, en citant la propriété utilisée à chaque fois.
3. cCalcule le périmètre du triangle RST. Justifie la longueur ST.
4. dCalcule la longueur RO, puis donne la mesure de $\widehat{ROS}$. Justifie chaque réponse.

Ex. 48★★★Les allées du potager de Maëlle — Le potager de Maëlle est un rectangle EFGH. Son périmètre vaut $27{,}4$ m et $EF = 8{,}5$ m. Deux allées suivent les diagonales [EG] et [FH]. Elles se croisent en K, et $EG = 9{,}96$ m.

1. aCalcule la largeur FG du potager.
2. bCalcule la longueur totale des deux allées. Justifie la longueur de [FH].
3. cCalcule les longueurs KE et KF en justifiant chaque égalité par une propriété.
4. dMaëlle pose une bordure autour du triangle EKF. Calcule la longueur de la bordure.
5. eMaëlle affirme : « La bordure du triangle FKG aura la même longueur, car K est le milieu des allées. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 49★★★L'étagère murale de Sacha — Le support d'une étagère murale forme un parallélogramme KLMN. On a $KL = 6{,}3$ cm, $KN = 3{,}8$ cm et $\widehat{KLM} = 117^\circ$. Les diagonales mesurent $KM = 8{,}7$ cm et $LN = 5{,}7$ cm. Elles se coupent en P.

1. aSacha écrit : « $\widehat{LMN}$ et $\widehat{KLM}$ sont opposés, donc $\widehat{LMN} = 117^\circ$. » Explique son erreur, puis calcule $\widehat{LMN}$.
2. bCalcule $\widehat{MNK}$ et $\widehat{NKL}$ en citant la propriété utilisée à chaque fois.
3. cCalcule le périmètre du parallélogramme KLMN.
4. dCalcule KP et PN. Le triangle KPN est-il isocèle ? Justifie.