Troisième / Pythagore, Thalès, trigonométrie

Ex. 1★★★Automatismes : repérer l'hypoténuse — Réponds sans calculatrice.

1. aSur la figure, le triangle $KLM$ est rectangle en $L$. Nomme son hypoténuse.
2. bÉcris l'égalité de Pythagore dans le triangle $KLM$.
3. cLe triangle $DEF$ est rectangle en $F$. Écris l'égalité de Pythagore qui donne $DE^2$.
4. dLe triangle $GHI$ est rectangle en $G$. Écris l'égalité qui permet de calculer $GI^2$ quand on connaît $GH$ et $HI$.
5. eCalcule $0{,}3^2$ et $1{,}5^2$.

Ex. 2★★★Automatismes : calculer une longueur — Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième si elle n'est pas décimale.

1. aLe triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$ cm et $AC = 2$ cm. Calcule $BC$.
2. bLe triangle $NOP$ est rectangle en $O$, avec $NP = 2{,}5$ cm et $NO = 0{,}7$ cm. Calcule $OP$.
3. cLe triangle $XYZ$ est rectangle en $Y$, avec $XY = 45$ mm et $YZ = 6$ cm. Calcule $XZ$ en cm.
4. dUn carré a pour côté $3$ cm. Calcule sa diagonale $d$.

Ex. 3★★★Rectangle ou pas ? Rédiger la réciproque — Pour chaque triangle, fais deux calculs séparés, compare, puis conclus en nommant le théorème utilisé.

1. aLe triangle $IJK$ a pour côtés $IJ = 2{,}9$ cm, $JK = 2$ cm et $IK = 2{,}1$ cm. Est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
2. bLe triangle $LMN$ a pour côtés $LM = 5$ cm, $MN = 8$ cm et $LN = 9{,}4$ cm. Est-il rectangle ? Justifie.
3. cThéo mesure un triangle de côtés $3$ cm, $9$ cm et $9{,}5$ cm. Il écrit : « $9{,}5^2 \approx 90$ et $3^2 + 9^2 = 90$, donc le triangle est rectangle. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 4★★★La voile de Maëlle, à Lorient — La voile triangulaire du dériveur de Maëlle est fixée au mât $[MH]$, vertical, et à la bôme $[MB]$, horizontale : le triangle $HMB$ est rectangle en $M$. Elle mesure $MH = 5{,}6$ m et $MB = 3{,}3$ m. Arrondis au dixième si nécessaire.

1. aCalcule la longueur $HB$ du troisième côté de la voile.
2. bYanis affirme : « Pas besoin de Pythagore, $HB = 3{,}3 + 5{,}6 = 8{,}9$ m. » Explique son erreur.
3. cMaëlle commande une deuxième voile $RST$, rectangle en $S$, avec $RT = 7{,}3$ m et $ST = 2{,}7$ m le long de la bôme. Calcule $RS$, le côté fixé au mât.

Ex. 5★★★Le jardin de Nadia, à Angers — Le jardin de Nadia a la forme du quadrilatère $ABCD$. Le triangle $ABD$ est rectangle en $A$. On donne $AB = 3{,}6$ m, $AD = 7{,}7$ m, $BC = 15{,}7$ m et $DC = 1\,320$ cm. La figure n'est pas à l'échelle.

1. aCalcule la longueur $BD$.
2. bLéo affirme : « Dans le triangle $BCD$, le plus long côté est $[DC]$, car $1\,320 > 15{,}7$. » Explique son erreur.
3. cLe triangle $BCD$ est-il rectangle ? Justifie.
4. dCalcule l'aire du jardin $ABCD$.

Ex. 6★★★Les supports d'étagère de Sacha, à Besançon — Sacha est menuisier et fabrique des supports d'étagère triangulaires. Le premier support est le triangle $KUV$ rectangle en $U$, avec $KU = 50$ cm et $UV = 80$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la longueur $KV$ : donne la valeur exacte, puis l'arrondi.
2. bSacha coupe une planche à la longueur arrondie trouvée à la question précédente. Il l'assemble avec deux planches de $50$ cm et de $80$ cm. Le triangle obtenu est-il rectangle ? Justifie.
3. cIl fabrique ensuite un petit support $XYZ$ rectangle en $Y$, avec $XZ = 0{,}65$ m et $XY = 25$ cm. Calcule $YZ$.

Ex. 7★★★L'échelle d'Alix, pompière à Grenoble — Pendant un exercice, Alix appuie une échelle $[AB]$ de $6{,}1$ m contre un mur vertical $[AH]$. Le sol est horizontal et le pied $B$ de l'échelle est à $1{,}1$ m du pied $H$ du mur. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis au centimètre.

1. aHugo écrit : « $AH^2 = 6{,}1^2 + 1{,}1^2 = 38{,}42$, donc $AH \approx 6{,}20$ m ». Explique son erreur sans refaire le calcul juste.
2. bCalcule la hauteur $AH$ atteinte par le haut de l'échelle.
3. cAlix éloigne le pied de l'échelle jusqu'au point $B'$ du sol, et le haut de l'échelle descend de $0{,}3$ m. Calcule la nouvelle distance $HB'$.
4. dMax affirme : « Le haut est descendu de $0{,}3$ m, donc le pied s'est éloigné de $0{,}3$ m. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : quel outil pour quelle question ? — Sur la figure, le triangle $EFG$ est rectangle en $F$, $H$ est sur $[EG]$, $J$ est sur $[FG]$ et $(HJ) \parallel (EF)$. Pour chaque question, nomme l'outil et justifie ton choix en une phrase. Ne calcule pas.

1. aOn connaît $EF$ et $FG$. Quel outil te permet de calculer $EG$ ?
2. bOn connaît $FG$ et la mesure de $\widehat{EGF}$. Quel outil te permet de calculer $EF$ ?
3. cOn connaît $FG$ et $EG$. Quel outil te permet de calculer la mesure de $\widehat{FGE}$ ?
4. dOn connaît $GJ$, $GF$ et $EF$. Quel outil te permet de calculer $HJ$ ?
5. eImagine qu'on ne sache pas que $(HJ) \parallel (EF)$, mais qu'on connaisse $GH$, $GE$, $GJ$ et $GF$. Quel outil permet de savoir si ces droites sont parallèles ?

Ex. 9★★★Automatismes : vrai ou faux ? Ne lis rien à l'œil — Sur la figure, $U$ est sur $[RS]$ et $V$ est sur $[RT]$. Aucun angle droit et aucune droite parallèle ne sont codés. Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. a« Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ : cela se voit sur la figure. »
2. b« Si $RS = 8{,}4$ cm, $ST = 3{,}5$ cm et $RT = 9{,}1$ cm, alors le triangle $RST$ est rectangle en $S$. »
3. c« $(UV)$ a l'air parallèle à $(ST)$, donc on peut calculer $UV$ avec le théorème de Thalès. »
4. d« Dans un triangle $DEF$ sans angle droit, on connaît $DE = 6{,}8$ cm et $\widehat{DEF} = 58^\circ$. On peut calculer $EF$ avec $\cos(\widehat{DEF})$. »
5. e« Si $(UV) \perp (RS)$ et $(ST) \perp (RS)$, alors on peut appliquer le théorème de Thalès dans le triangle $RST$. »

Ex. 10★★★Prouver les parallèles avant d'utiliser Thalès — Sur la figure, les points $P$, $O$, $R$ sont alignés, ainsi que les points $Q$, $O$, $S$. On donne $OP = 7{,}5$ cm, $PQ = 4$ cm et $OR = 6$ cm. Arrondis l'angle au degré.

1. aDémontre que les droites $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles.
2. bCalcule la longueur $OQ$.
3. cCalcule la longueur $RS$.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{POQ}$.

Ex. 11★★★La voile du dériveur : rectangle d'abord, angles ensuite — La voile triangulaire d'un dériveur, sur le lac d'Annecy, a pour côtés $IJ = 4$ m, $JK = 4{,}2$ m et $IK = 5{,}8$ m. Aucun angle droit n'est donné. Arrondis les angles au degré.

1. aDémontre que la voile $IJK$ est un triangle rectangle.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{JIK}$.
3. cPour l'angle $\widehat{IKJ}$, Inès écrit $\sin(\widehat{IKJ}) = \frac{JK}{IK}$. Corrige son erreur, puis calcule $\widehat{IKJ}$.

Ex. 12★★★La tyrolienne du parc d'aventure — Près de Millau, le câble [AC] d'une tyrolienne part du haut $A$ d'une tour [AB] et arrive au sol en $C$. Un piquet [DE] soutient le câble. Les points $B$, $D$, $C$ sont alignés au sol, $(AB) \perp (BC)$ et $(DE) \perp (BC)$. On donne $AB = 12$ m, $BC = 35$ m et $DC = 14$ m. Arrondis les angles au degré.

1. aDémontre que les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
2. bCalcule la longueur $AC$ du câble. Justifie en une phrase le choix de l'outil.
3. cCalcule la hauteur $DE$ du piquet.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ que fait le câble avec le sol.
5. eNour écrit : « Dans le triangle $CDE$, $CE^2 = CD^2 - DE^2$. » Explique son erreur, puis calcule $CE$.

Ex. 13★★★Une figure qui trompe l'œil — La figure n'est pas à l'échelle. Le triangle $PNL$ a pour côtés $PN = 9$ cm, $NL = 12$ cm et $PL = 16$ cm. $K$ est sur [PN] avec $PK = 4{,}5$ cm, et $M$ est sur [PL] avec $PM = 7{,}8$ cm. Arrondis les angles au degré.

1. aLe triangle $PNL$ a l'air rectangle en $N$. Démontre qu'il ne l'est pas.
2. bYanis écrit : « $\cos(\widehat{NPL}) = \frac{PN}{PL} = \frac{9}{16}$, donc $\widehat{NPL} \approx 56^\circ$. » Explique pourquoi sa méthode est fausse.
3. cThéo affirme : « $K$ est le milieu de [PN], donc $(KM) \parallel (NL)$. » Démontre que $(KM)$ et $(NL)$ ne sont pas parallèles, puis explique son erreur.
4. d$H$ est le point de [PL] tel que $(NH) \perp (PL)$, et $NH = 6{,}68$ cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{NPL}$.

Ex. 14★★★Le tipi de la colonie — Dans une colonie du Vercors, un tipi a la forme d'un cône de révolution. Son sommet est $S$ et sa base est un disque posé au sol, de centre $O$ et de rayon $OM = 1{,}4$ m. La toile [SM] fait avec le sol un angle $\widehat{SMO} = 65^\circ$. La figure montre une coupe du tipi. Arrondis les longueurs au centimètre.

1. aAucun angle droit n'est codé. Explique pourquoi le triangle $SOM$ est rectangle en $O$.
2. bCalcule la longueur $SM$ de la génératrice.
3. cLou a obtenu $SM \approx -2{,}49$ m. Explique pourquoi ce résultat est impossible, et quel réglage de la calculatrice est en cause.
4. dCalcule la hauteur $SO$ du tipi.
5. eMalo mesure 1,75 m. Debout à 0,6 m du centre $O$, sa tête touche-t-elle la toile ? Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : Thalès dans des triangles emboîtés — Les points $R$, $U$, $S$ sont alignés, ainsi que $R$, $V$, $T$, et $(UV) \parallel (ST)$. On donne $RU = 2{,}6$ cm, $US = 3{,}9$ cm, $RV = 3$ cm et $ST = 8$ cm.

1. aCalcule la longueur $RS$.
2. bCalcule le rapport de réduction $k = \frac{RU}{RS}$, qui fait passer du triangle $RST$ au triangle $RUV$.
3. cCalcule la longueur $RT$.
4. dCalcule la longueur $UV$.
5. eDéduis-en la longueur $VT$.

Ex. 16★★★Automatismes : parallèles ou pas ? — Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$. Dans chaque cas, dis si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles et justifie.

1. a$M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec $AM = 4$ cm, $AB = 9$ cm, $AN = 6$ cm et $AC = 13{,}5$ cm.
2. b$M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec $AM = 2{,}2$ cm, $AB = 6{,}6$ cm, $AN = 1{,}9$ cm et $AC = 5{,}8$ cm. Léo arrondit les deux rapports au dixième, trouve $0{,}3$ et conclut que les droites sont parallèles.
3. cLes points $M$, $A$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $N$, $A$, $C$, avec $AM = 2{,}7$ cm, $AB = 4{,}5$ cm, $AN = 3{,}3$ cm et $AC = 5{,}5$ cm.
4. dSur la figure, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec $AM = 3$ cm, $MB = 5$ cm, $AN = 2{,}25$ cm et $NC = 3{,}75$ cm.

Ex. 17★★★Le support pliant en X — Un support pliant est formé de deux barres $[PR]$ et $[QS]$ qui se croisent en $O$ ; les traverses $[PQ]$ et $[RS]$ sont parallèles. On donne $PR = 1{,}95$ m, $OP = 75$ cm, $OS = 96$ cm et $PQ = 50$ cm. Donne les longueurs en mètres.

1. aCalcule la longueur $OR$.
2. bCalcule la longueur $OQ$.
3. cCalcule la longueur de la traverse $[RS]$.
4. dNour écrit $\frac{OP}{PR} = \frac{OQ}{QS}$. Explique son erreur.

Ex. 18★★★La charpente de l’abri de jardin — Ben fait poser la charpente d’un abri de jardin. Les points $K$, $E$, $D$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $K$, $F$, $G$. On donne $KE = 2{,}25$ m, $ED = 2{,}75$ m, $KF = 2{,}7$ m et $KG = 6$ m.

1. aCalcule la longueur $KD$.
2. bMontre que la traverse $(EF)$ est parallèle à la poutre $(DG)$.
3. cJules mesure $EF = 2{,}88$ m et $DG = 6{,}4$ m. Il écrit : « $\frac{EF}{DG} = \frac{KE}{KD}$, donc $(EF) \parallel (DG)$. » Explique pourquoi sa justification ne convient pas.
4. dLe charpentier déplace la traverse : $F$ reste sur $[KG]$, mais avec $KF = 2{,}5$ m, et $E$ ne bouge pas. Les droites $(EF)$ et $(DG)$ sont-elles encore parallèles ? Justifie.

Ex. 19★★★Papillon et angle droit caché — La figure n’est pas à l’échelle. Les points $D$, $O$, $F$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $E$, $O$, $G$, et $(DE) \parallel (FG)$. On donne $OD = 5{,}4$ cm, $DE = 7{,}2$ cm, $OE = 9$ cm et $DF = 8{,}1$ cm.

1. aDémontre que le triangle $ODE$ est rectangle en $D$.
2. bCalcule la longueur $FG$.
3. cDémontre que le triangle $OFG$ est rectangle en $F$.
4. dCalcule la longueur $EG$.

Ex. 20★★★Parallèles : les rapports ne suffisent pas toujours — La figure n’est pas à l’échelle. $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec $AM = 2{,}3$ cm, $MB = 4{,}6$ cm, $AN = 2{,}9$ cm, $AC = 8{,}7$ cm et $BC = 6{,}3$ cm. Le point $R$ est sur la droite $(AB)$, avec $A$ entre $R$ et $B$, et $AR = 2{,}3$ cm.

1. aCalcule la longueur $AB$.
2. bDémontre que $(MN) \parallel (BC)$.
3. cCalcule le rapport de réduction $k$ du triangle $ABC$ au triangle $AMN$, puis la longueur $MN$.
4. dInès affirme : « $\frac{AR}{AB} = \frac{AN}{AC}$, donc $(RN) \parallel (BC)$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 21★★★L’ombre du mât et le lampadaire — À Vannes, Maëlle ($[ET]$, $165$ cm) et un mât $[PH]$ sont verticaux sur un sol horizontal ; leurs ombres se terminent en $S$. Les points $S$, $E$, $P$ sont alignés, ainsi que $S$, $T$, $H$, avec $SE = 2{,}2$ m et $EP = 9{,}8$ m. Un lampadaire $[LR]$ a $L \in [SP]$, $R \in [SH]$, $SL = 5{,}2$ m et $SR = 6{,}6$ m.

1. aHugo écrit $\frac{2{,}2}{9{,}8} = \frac{1{,}65}{PH}$ et trouve $PH \approx 7{,}4$ m. Explique son erreur.
2. bCalcule la hauteur $PH$ du mât.
3. cCalcule la longueur $SH$.
4. dLe lampadaire $[LR]$ est-il vertical ? Justifie.

Ex. 22★★★Nommer les côtés avant de choisir le rapport — Le triangle KTR est rectangle en T.

1. aQuelle est l'hypoténuse du triangle KTR ?
2. bPar rapport à l'angle $\widehat{KRT}$, quel est le côté adjacent ? Quel est le côté opposé ?
3. cPar rapport à l'angle $\widehat{TKR}$, quel est le côté adjacent ? Quel est le côté opposé ?
4. dOn connaît KR = 6 cm et TR = 5,2 cm, et on cherche l'angle $\widehat{TKR}$. Quel rapport utilises-tu ? Écris-le en fraction irréductible.
5. eOn connaît KT et l'angle $\widehat{KRT}$ ; on cherche TR. Quel rapport utilises-tu ? Écris l'égalité.
6. fAli affirme : « [KR] est le côté adjacent à l'angle $\widehat{KRT}$, car il passe par R. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 23★★★Longueur : multiplier ou diviser ? — Arrondis au dixième.

1. aLe triangle DUV est rectangle en U, avec $\widehat{UDV} = 37^\circ$ et DV = 9 cm. Calcule DU.
2. bLe triangle FGH est rectangle en G, avec $\widehat{GFH} = 41^\circ$ et FG = 5 cm. Noé écrit $FH = 5 \times \cos(41^\circ) \approx 3{,}8$ cm. Explique son erreur, puis calcule FH.
3. cLe triangle ZEN est rectangle en E, avec $\widehat{EZN} = 53^\circ$ et ZE = 3,4 cm. Calcule EN.

Ex. 24★★★L'angle d'élévation d'un cerf-volant — Sacha fait voler un cerf-volant K. Le fil, tendu et droit, mesure 38 m. Le cerf-volant est à 24 m au-dessus de l'horizontale qui passe par la main M de Sacha. L'angle d'élévation est l'angle $\widehat{PMK}$ entre le fil et l'horizontale. Arrondis au degré.

1. aSacha écrit $\sin(\widehat{PMK}) = \frac{38}{24} \approx 1{,}58$. Explique pourquoi c'est impossible, puis calcule l'angle d'élévation $\widehat{PMK}$.
2. bDéduis-en l'angle $\widehat{MKP}$ entre le fil et la verticale.
3. cHugo tape $\sin^{-1}\left(\frac{24}{38}\right)$ et lit $0{,}68$ sur sa calculatrice. Explique ce qui s'est passé.

Ex. 25★★★Une route de montagne à 12 % — À Barcelonnette, un panneau annonce une pente de 12 % : la route monte de 12 m pour 100 m parcourus à l'horizontale. La pente en % vaut $\tan(\widehat{ADH}) \times 100$. Le tronçon DA mesure 850 m. Arrondis au dixième.

1. aLéo pense que la route fait un angle de 12° avec l'horizontale. Calcule $\widehat{ADH}$, puis explique son erreur.
2. bCalcule le dénivelé AH de ce tronçon.
3. cZoé arrondit d'abord l'angle au degré, puis calcule le dénivelé avec cet arrondi : elle trouve $103{,}6$ m. Explique pourquoi son résultat est différent du tien.
4. dUne autre route fait un angle de 10° avec l'horizontale. Calcule sa pente en %.

Ex. 26★★★Un voilier s'approche d'un phare — À Saint-Malo, un phare [PH] haut de 48 m est vertical, et H est au niveau de la mer. Depuis le point B, un voilier voit le sommet P sous un angle $\widehat{HBP} = 32^\circ$. Il avance en ligne droite vers H jusqu'au point C, d'où $\widehat{HCP} = 51^\circ$. Arrondis au dixième de mètre.

1. aCalcule la distance HB. Explique d'abord ton choix entre cosinus, sinus et tangente.
2. bCalcule la distance HC.
3. cDéduis-en la distance BC parcourue par le voilier.
4. dNour écrit $\tan(32^\circ) \approx 0{,}6$, puis $HB = 48 \div 0{,}6 = 80$ m. Explique son erreur et donne l'écart avec ton résultat.

Ex. 27★★★Le toboggan du parc — Dans un parc d'Annecy, on modélise un toboggan par le triangle TSG : l'échelle [TS] mesure 2,8 m, la glissière [TG] mesure 5,3 m et l'écart au sol est SG = 4,5 m. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis les angles au degré et les longueurs au dixième.

1. aDémontre que le triangle TSG est rectangle en S.
2. bCalcule l'angle $\widehat{TGS}$ que fait la glissière avec le sol.
3. cLucas écrit $\cos(\widehat{TGS}) = \frac{SG}{TG}$. Justifie son égalité, puis calcule l'angle qu'il obtient et compare-le avec ton résultat.
4. dDéduis-en l'angle $\widehat{STG}$, sans nouvelle formule de trigonométrie.
5. eBen veut un nouveau toboggan de même hauteur TS, rectangle en S, dont la glissière ferait un angle de 24° avec le sol. Quelle longueur de glissière lui faut-il ?

Ex. 28★★★La tour qui penche — À Pise, on modélise l'axe de la tour penchée par le segment [BS], long de 56 m : B est le centre de la base, S celui du sommet, et H le pied de la verticale qui passe par S. Le triangle BHS est rectangle en H et $\widehat{SBH} = 86^\circ$. Arrondis les longueurs au dixième de mètre et les angles au degré.

1. aCalcule la hauteur SH du sommet.
2. bCalcule l'écart BH entre le centre de la base et le pied de la verticale.
3. cTom dit : « [BS] passe par B, donc c'est le côté adjacent », et il écrit $\cos(86^\circ) = \frac{56}{BH}$. Explique son erreur et pourquoi son résultat serait absurde.
4. dSi l'écart BH était de 5,6 m, avec toujours BS = 56 m, quelle serait la mesure de l'angle $\widehat{SBH}$ ?

Ex. 29★★★Automatismes : valeurs exactes et équation x² = a — Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième quand il est demandé.

1. a$x$ est une longueur en cm et $x^2 = 37$. Donne $x$ en valeur exacte, puis son arrondi.
2. bLéo écrit : $(x + 3)^2 = x^2 + 9$. Corrige son développement.
3. cLe triangle $PRT$ est rectangle en $R$, avec $PR = 5$ cm et $RT = 6$ cm. Calcule $PT$ en valeur exacte, puis son arrondi.
4. dLe triangle $EFG$ est rectangle en $G$, avec $EF = 9$ cm et $EG = 7$ cm. Calcule $FG$ en valeur exacte, puis son arrondi.
5. eUn segment $[UV]$ mesure $\sqrt{19}$ cm. Calcule $UV^2$. Sami a d'abord arrondi $UV$ à $4{,}4$ cm et trouve $UV^2 = 19{,}36$ : explique son erreur.

Ex. 30★★★Automatismes : la bonne propriété à citer — Pour chaque question, cite la propriété utilisée et conclus par une phrase.

1. aLe point $C$ est sur le cercle de centre $O$ et de diamètre $[AB]$, et il est différent de $A$ et de $B$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifie.
2. bDans le triangle $RST$, $I$ est le milieu de $[RS]$, $J$ le milieu de $[RT]$, et $ST = 7{,}6$ cm. Calcule $IJ$ et donne la position de $(IJ)$ par rapport à $(ST)$.
3. cLes droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(UV)$. Quelle est la position relative de $(d_1)$ et $(d_2)$ ? Justifie.
4. dDans le triangle $XYZ$, $M$ est le milieu de $[XY]$. La parallèle à $(YZ)$ qui passe par $M$ coupe $[XZ]$ en $N$, et $XZ = 9$ cm. Calcule $XN$ en justifiant.

Ex. 31★★★Prouver l'angle droit avant le sinus — Le triangle $GHJ$ a pour côtés $GH = 2{,}8$ cm, $HJ = 4{,}5$ cm et $GJ = 5{,}3$ cm. Aucun angle droit n'est codé sur la figure. Arrondis les angles au degré.

1. aDémontre que le triangle $GHJ$ est rectangle et précise en quel sommet.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{HGJ}$ en utilisant le sinus.
3. cLéa écrit $\cos(\widehat{HGJ}) = \frac{HJ}{GJ}$ et trouve $32^\circ$. Explique son erreur et indique quel angle du triangle elle a calculé en réalité.

Ex. 32★★★Une longueur en fonction de x, puis Thalès — Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DE = 5$ cm, $EF = x$ cm et $DF = (x + 1)$ cm. Le point $N$ est sur $[FE]$ avec $FN = 4$ cm, et $M$ est sur $[FD]$ avec $(MN) \perp (EF)$. Arrondis au dixième.

1. aExprime $DF^2$ en fonction de $x$ en développant $(x + 1)^2$.
2. bÉcris l'égalité de Pythagore dans le triangle $DEF$, puis calcule $x$.
3. cDémontre que les droites $(MN)$ et $(DE)$ sont parallèles.
4. dCalcule la longueur $FM$ en valeur exacte, puis son arrondi.

Ex. 33★★★Type brevet : parallèles à prouver, papillon et valeur exacte — Les points $A$, $O$, $C$ sont alignés, ainsi que les points $B$, $O$, $D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AC)$. On donne $OA = 2$ cm, $AB = 7$ cm et $OC = 6$ cm. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis les longueurs au dixième et les angles au degré.

1. aDémontre que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
2. bCalcule $OB$ en valeur exacte.
3. cCalcule $OD$. Donne sa valeur exacte, puis son arrondi.
4. dPour la question précédente, Inès a d'abord arrondi $OB$ à $7{,}3$ cm et elle trouve $OD \approx 21{,}9$ cm. Explique d'où vient l'écart avec ton résultat.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{COD}$.

Ex. 34★★★Demi-cercle, droite des milieux et cosinus — Le cercle de centre $O$ a pour diamètre $[EF]$, avec $EF = 8{,}5$ cm. Le point $G$ est sur ce cercle et $EG = 3{,}6$ cm. Le point $K$ est le milieu de $[EG]$. Aucun angle droit n'est codé sur la figure. Arrondis les angles au degré.

1. aJustifie que le triangle $EGF$ est rectangle, puis calcule $GF$.
2. bDémontre que $(OK) \parallel (GF)$, puis calcule $OK$.
3. cDéduis-en que le triangle $EKO$ est rectangle en $K$.
4. dDans le triangle $EKO$, Noé écrit $\sin(\widehat{KEO}) = \frac{EK}{EO}$ et trouve $25^\circ$. Explique son erreur, puis calcule la bonne mesure de $\widehat{KEO}$.

Ex. 35★★★Toit pyramidal : x² = a, arête, angle et section — À Vichy, le toit d'un kiosque à musique a la forme d'une pyramide régulière $SABCD$. Sa base est un carré de côté $x$ m et de centre $H$. La hauteur $[SH]$ mesure $6$ m et la diagonale $[AC]$ de la base mesure $9$ m. Arrondis les longueurs au dixième et les angles au degré.

1. aEn te plaçant dans le triangle $ABC$, montre que $x^2 = 40{,}5$. Donne ensuite $x$ en valeur exacte, puis son arrondi.
2. bCalcule la longueur $SA$ de l'arête du toit.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{SAH}$ entre l'arête $[SA]$ et la base.
4. dUn plafond décoratif parallèle à la base coupe la hauteur $[SH]$ en $H'$, avec $SH' = 2$ m. La section est un carré, réduction de la base de rapport $k = \frac{SH'}{SH}$. Calcule son aire en valeur exacte.

Ex. 36★★★Automatismes : la boîte de craies — Une boîte de craies a la forme du pavé droit $ABCDEFGH$ avec $AB = 15$ cm, $BF = 8{,}8$ cm et $AD = 6{,}6$ cm. Arrondis au dixième et au degré.

1. aSur le dessin, l'angle $\widehat{BFG}$ n'a pas l'air droit. Calcule pourtant la diagonale $BG$ de la face $BFGC$.
2. bCalcule la valeur exacte de la diagonale $AC$ de la face $ABCD$, puis son arrondi.
3. cCalcule l'angle $\widehat{BAC}$.
4. dCalcule l'angle $\widehat{FBG}$.

Ex. 37★★★Automatismes : le cornet de glace — Le cornet de Maëlle est un cône de sommet $S$. Sa base est le disque de centre $O$ et de diamètre $9$ cm ; $A$ est un point du cercle de base et la génératrice mesure $SA = 11{,}7$ cm. Rappel : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$. Arrondis l'angle au degré et le volume au cm³.

1. aDonne le rayon $r$ de la base du cône.
2. bCalcule la hauteur $SO$ du cornet.
3. cCalcule l'angle $\widehat{OSA}$ entre la hauteur et une génératrice.
4. dCalcule le volume du cornet.

Ex. 38★★★Le presse-papier pyramidal — Un presse-papier en verre a la forme d'une pyramide régulière $SABCD$ à base carrée, de hauteur $[SH]$ ($H$ centre du carré). On donne $AB = 5{,}6$ cm et $SA = 5{,}7$ cm. Rappel : $V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la diagonale $AC$ du carré $ABCD$ : valeur exacte, puis arrondi.
2. bNoé écrit : « $AH = 5{,}6 \div 2 = 2{,}8$ cm, donc $SH^2 = 5{,}7^2 - 2{,}8^2 = 24{,}65$. » Explique son erreur.
3. cCalcule la hauteur $SH$ de la pyramide.
4. dCalcule le volume du presse-papier.

Ex. 39★★★La tranche de pastèque — Ben assimile une pastèque à une boule de centre $O$ et de diamètre $29$ cm. Il la coupe par un plan situé à $10$ cm de $O$ : $H$ est le pied de la perpendiculaire au plan menée de $O$, $M$ un point du bord de la section. Arrondis au dixième.

1. aQuelle est la nature de la section ? Explique pourquoi le triangle $OHM$ est rectangle en $H$.
2. bCalcule le rayon $HM$ de la section.
3. cCalcule l'aire de la section.
4. dBen veut une section de rayon $14$ cm. À quelle distance de $O$ doit-il couper ?

Ex. 40★★★L'aquarium de Lina — L'aquarium de Lina a la forme du pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous, avec $AB = 60$ cm, $BF = 32$ cm et $AD = 40$ cm. Arrondis au dixième et au degré.

1. aCalcule la longueur $AF$, diagonale du fond $ABFE$.
2. bSur le dessin, l'angle $\widehat{AFG}$ n'a pas l'air droit. Explique pourquoi le triangle $AFG$ est quand même rectangle en $F$.
3. cCalcule la valeur exacte de la diagonale $AG$ du pavé, puis son arrondi.
4. dLina veut ranger une baguette rigide de $79$ cm dans l'aquarium fermé. Est-ce possible ? Justifie sans utiliser d'arrondi.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{GAF}$ que fait la diagonale $[AG]$ avec le fond.

Ex. 41★★★Le tas de sel d'Inès — Le tas de sel d'Inès a la forme d'un cône de sommet $S$. Sa base est le disque de centre $O$, de diamètre $4$ m, et sa hauteur est $SO = 2{,}1$ m. $[AB]$ est un diamètre du cercle de base. On rappelle que le volume d'un cône est $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$. Arrondis au dixième et au degré.

1. aCalcule la longueur $SA$ d'une génératrice du cône.
2. bCalcule la mesure de l'angle au sommet $\widehat{ASB}$ du cône.
3. cOn coupe le tas par un plan parallèle à la base, à $1{,}4$ m du sol. Donne la nature de la section, puis son rayon en valeur exacte et arrondie.
4. dCalcule le volume $V$ du tas de sel, en m³.
5. eInès affirme : « Le petit cône situé au-dessus de la section contient le tiers du sel du tas. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 42★★★La verrière du hall — La verrière d'un hall d'Annecy a la forme d'une pyramide régulière $SABCD$ à base carrée, de hauteur $[SH]$ ($H$ est le centre du carré). On donne $AB = 8$ m et $SH = 7$ m. On rappelle que $V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$. Arrondis au dixième et au degré.

1. aCalcule la valeur exacte de la diagonale $AC$ du carré, puis celle de $HA^2$.
2. bCalcule la longueur de l'arête latérale $SA$.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{SAH}$ entre l'arête $[SA]$ et la base.
4. dUn plan parallèle à la base coupe $[SH]$ en $K$, avec $SK = 2{,}8$ m. Donne la nature de la section, puis calcule son côté et son aire.
5. eCalcule le volume de la petite pyramide de sommet $S$ découpée par ce plan, en m³.

Ex. 43★★★Automatismes : quel outil pour quelle figure ? — Pour chaque situation, nomme l'outil (théorème ou formule), vérifie ses hypothèses, puis calcule.

1. aLe triangle $KLM$ est rectangle en $L$, avec $KL = 5$ cm et $LM = 8$ cm. Calcule la valeur exacte de $KM$.
2. bLe triangle $PQR$ a pour côtés $PQ = 3{,}3$ cm, $QR = 5{,}6$ cm et $PR = 6{,}5$ cm. Démontre qu'il est rectangle.
3. cLe triangle $UVW$ est rectangle en $V$, avec $UW = 10$ cm et $\widehat{VUW} = 30^\circ$. Calcule $VW$.
4. dLes droites $(PR)$ et $(QS)$ se coupent en $O$ et $(PQ) \parallel (RS)$. On a $OP = 3$ cm, $OR = 4{,}5$ cm et $PQ = 3{,}4$ cm. Calcule $RS$.

Ex. 44★★★Automatismes : trigonométrie, unités et pente — Arrondis au dixième.

1. aLe triangle $EFG$ est rectangle en $G$, avec $EF = 8$ cm et $\widehat{GEF} = 40^\circ$. Calcule $EG$.
2. bLe triangle $HIJ$ est rectangle en $I$, avec $HI = 45$ mm et $IJ = 8$ cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{IHJ}$.
3. cLe triangle $RST$ est rectangle en $S$, avec $ST = 5$ cm et $\widehat{SRT} = 25^\circ$. Calcule $RT$.
4. dUne route monte de $21$ m pour une distance horizontale de $0{,}3$ km. Calcule sa pente en pourcentage.

Ex. 45★★★La voile d'ombrage d'Inès — À Lorient, Inès installe dans son jardin une voile d'ombrage triangulaire $DEF$ avec $DE = 2{,}1$ m, $EF = 2{,}8$ m et $DF = 3{,}5$ m. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis l'angle au degré.

1. aDémontre que le triangle $DEF$ est rectangle. Précise en quel sommet.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{EDF}$.
3. cLa toile coûte $15$ € le m². Calcule le prix de la toile de cette voile.

Ex. 46★★★La rampe de la médiathèque — À Valence, une rampe $[AB]$ mène à l'entrée d'une médiathèque. Le sol $(AC)$ est horizontal et $[BC]$ est vertical, avec $AC = 7{,}5$ m et $BC = 36$ cm. La pente vaut $\frac{BC}{AC}$ (en %) ; une rampe est conforme si sa pente ne dépasse pas $5$ %. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis $AB$ au centimètre et le prix au centime.

1. aCalcule la pente de la rampe en pourcentage. La rampe est-elle conforme ? Justifie.
2. bLe triangle $ABC$ est rectangle en $C$. Calcule la longueur $AB$ de la rampe.
3. cOn veut ramener la pente à $4$ % en gardant la même hauteur $BC$. Calcule la longueur horizontale nécessaire.
4. dOn garde la rampe $[AB]$ de départ. Une main courante la longe de $A$ à $B$ et coûte $45$ € le mètre. Calcule son prix.

Ex. 47★★★La tyrolienne de Yanis — À Gérardmer, Yanis teste une tyrolienne. Le câble $[DA]$ part du sommet $D$ d'une tour verticale $[DH]$ et arrive en $A$, sur le sol horizontal, avec $DH = 16$ m et $HA = 63$ m. Un poteau $[MN]$ perpendiculaire à $(HA)$ soutient le câble : $M$ est sur $[DA]$, $N$ est sur $[HA]$ et $AN = 21$ m. À chaque question, nomme le théorème utilisé. Arrondis les longueurs au centimètre et les angles au degré.

1. aCalcule la longueur $DA$ du câble.
2. bLa notice demande que l'angle entre le câble et le sol soit compris entre 5° et 15°. Calcule $\widehat{DAH}$. La notice est-elle respectée ? Justifie.
3. cDémontre que les droites $(MN)$ et $(DH)$ sont parallèles, puis calcule la hauteur $MN$ du poteau.
4. dLe câble acheté mesure $DA$ plus 4 m pour les attaches. Il coûte 12,50 € le mètre. Calcule le prix du câble.

Ex. 48★★★Le toit de l'abri de Clémence — À Rodez, Clémence construit un abri de jardin. Vu de côté, le toit forme le triangle $TUV$, avec le montant $TU = 320$ cm, la poutre $UV = 6$ m et le chevron $TV = 6{,}8$ m. Une jambe de force $[KL]$ relie $K$ sur $[VT]$ et $L$ sur $[VU]$, avec $VK = 2{,}55$ m et $VL = 2{,}25$ m. La figure n'est pas à l'échelle. Arrondis au dixième.

1. aClémence affirme que le montant $[TU]$ est perpendiculaire à la poutre $[UV]$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bLe fabricant des plaques exige que l'angle $\widehat{TVU}$ du toit avec la poutre mesure au moins 25°. Calcule cet angle. L'abri convient-il ? Justifie.
3. cLes droites $(KL)$ et $(TU)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dCalcule la longueur $KL$ de la jambe de force.
5. eUn pan du toit est un rectangle de longueur $TV$ et de largeur 4,5 m. Calcule son aire.

Ex. 49★★★La verrière du musée — À Nantes, le hall d'un musée est couvert d'une verrière qui a la forme d'une pyramide régulière $SABCD$ à base carrée. Son côté mesure $AB = 8$ m et sa hauteur $SH = 7$ m ($H$ est le centre du carré $ABCD$). Arrondis les longueurs au centimètre, l'angle au degré et l'aire au centième de m².

1. aCalcule la valeur exacte de la diagonale $AC$ de la base.
2. bCalcule la longueur $SA$ d'une arête de la verrière.
3. cNoé arrondit $AC$ à 11 m, en déduit $AH = 5{,}5$ m, puis trouve $SA \approx 8{,}9$ m. Explique son erreur.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{SAH}$ que fait une arête avec le sol.
5. eUn plan parallèle à la base coupe la verrière selon un carré $A'B'C'D'$, avec $A'$ sur $[SA]$ et $SA' = 300$ cm. Calcule l'aire de ce carré.