Cinquième / Puissances

Ex. 1★★★Automatismes : carrés et cubes d'entiers — Calcule mentalement.

Ex. 2★★★Automatismes : carrés et cubes de décimaux — Calcule sans calculatrice. Compte bien les chiffres après la virgule.

Ex. 3★★★Tableau des carrés et des cubes — Recopie et complète ce tableau.

1. aComplète la ligne des carrés $a^2$.
2. bComplète la ligne des cubes $a^3$. Calcule d'abord le carré, puis multiplie encore une fois.
3. cQuel nombre $a$ du tableau a un cube compris entre 500 et 600 ?

Ex. 4★★★Retrouver le nombre de départ — Trouve le nombre positif qui convient, puis vérifie par un calcul.

1. aQuel nombre a pour carré $121$ ?
2. bQuel nombre a pour cube $343$ ?
3. cQuel nombre a pour carré $0{,}0036$ ?
4. dQuel nombre a pour cube $0{,}125$ ?

Ex. 5★★★Les erreurs d'Hugo — Hugo a fait ces calculs, et ils sont tous faux. Pour chacun, explique son erreur puis corrige-le.

Ex. 6★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou une phrase.

1. a$3^2 = 2^3$
2. b$5^2 < 3^3$
3. cLe carré de $0{,}7$ est plus grand que $0{,}7$.
4. dLe cube de $0{,}4$ est $0{,}64$.
5. eDans $5^3$, qui se lit « 5 au cube », la base est 3 et l'exposant est 5.

Ex. 7★★★L'aquarium cubique de Maëlys — À Rennes, Maëlys a un aquarium en forme de cube de $30$ cm d'arête. On rappelle que $1$ L $= 1\,000\ \text{cm}^3$.

1. aCalcule le volume de l'aquarium en $\text{cm}^3$.
2. bCombien de litres d'eau peut-il contenir au maximum ?
3. cCalcule l'aire du fond de l'aquarium, en $\text{cm}^2$.
4. dUn autre aquarium cubique a une arête deux fois plus grande. Calcule son volume. Combien de fois plus grand est-il ?

Ex. 8★★★Le carnet de défis de Lina — À Toulouse, Lina remplit un carnet de défis sur les carrés et les cubes. Réponds sans calculatrice et justifie chaque réponse par un calcul.

1. aLina lit « quatre au carré » et « trois au cube ». Écris chacun avec un exposant, puis comme un produit, et calcule-le.
2. bCompare $10^3$ et $32^2$, puis compare $14^2$ et $6^3$.
3. cLina affirme : « Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. » Teste avec $1{,}4$ puis avec $0{,}5$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dRange dans l'ordre croissant : $0{,}9$ ; $0{,}9^2$ ; $0{,}9^3$.
5. eTrouve deux nombres positifs qui sont égaux à leur carré et aussi à leur cube. Justifie.

Ex. 9★★★La terrasse d'Ilyès — À Annecy, Ilyès veut carreler sa terrasse carrée de $6$ m de côté. Il choisit des carreaux carrés de $0{,}6$ m de côté, vendus $4{,}50$ € l'unité.

1. aCalcule l'aire de la terrasse en $\text{m}^2$.
2. bCalcule l'aire d'un carreau en $\text{m}^2$.
3. cCombien de carreaux faut-il sur un côté de la terrasse ? Déduis-en le nombre total de carreaux, écrit sous la forme d'un carré.
4. dCalcule le prix total des carreaux.
5. eSon voisin a une terrasse carrée de côté double. Par combien son aire est-elle multipliée ? Vérifie en calculant cette aire.

Ex. 10★★★Le jeu de cubes de Sacha — À Lille, Sacha range des petits cubes en bois de $3$ cm d'arête dans une boîte cubique de $15$ cm d'arête, qu'il remplit entièrement.

1. aCalcule le volume de la boîte en $\text{cm}^3$
   (calcule d'abord le carré).
2. bCalcule le volume d'un petit cube en $\text{cm}^3$.
3. cCombien de petits cubes tiennent le long d'une arête ? Écris le nombre total de cubes sous la forme d'un cube, puis vérifie avec les volumes.
4. dSacha affirme : « Un cube de $9$ cm d'arête a un volume trois fois plus grand qu'un petit cube. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eSa petite sœur fabrique un minuscule cube de $0{,}8$ cm d'arête. Calcule son volume, puis compare le nombre obtenu à $0{,}8$.

Ex. 11★★★Automatismes : écrire comme un carré — Écris chaque nombre sous la forme $a^2$, où $a$ est un nombre entier.

Ex. 12★★★Automatismes : retrouver un nombre à partir de son carré (décimaux) — Donne le nombre positif qui a pour carré le nombre indiqué.

Ex. 13★★★Tableau de cubes dans les deux sens — Complète ce tableau de cubes.

1. aQuel est le cube de $5$ ?
2. bQuel nombre positif a pour cube $0{,}027$ ? Vérifie ta réponse.
3. cCalcule $0{,}4^3$.
4. dQuel nombre positif a pour cube $8\,000$ ? Vérifie ta réponse.

Ex. 14★★★Vrai ou faux : carrés parfaits — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a$87$ est un carré parfait.
2. bTout nombre entier qui se termine par $6$ est un carré parfait.
3. c$51$ est un carré parfait, car il se termine par $1$.
4. d$2\,500$ est un carré parfait.

Ex. 15★★★Erreurs d'élèves à corriger — Chaque élève se trompe. Explique son erreur, puis donne la bonne réponse.

1. aTom : « Le nombre positif qui a pour carré $64$ est $32$. »
2. bInès : « $0{,}09$ est le carré de $0{,}03$. »
3. cHugo : « $216 = 72^3$, car $72 \times 3 = 216$. »

Ex. 16★★★Écarts et encadrements — Utilise la table des carrés.

1. aCalcule les écarts entre $10^2$ et $11^2$, entre $11^2$ et $12^2$, puis entre $12^2$ et $13^2$. Vérifie que ce sont des nombres impairs qui se suivent.
2. bOn sait que $14^2 = 196$ et $15^2 = 225$. Trouve $16^2$ avec les écarts, sans poser de multiplication.
3. cEncadre $90$ entre deux carrés parfaits qui se suivent.
4. dEncadre $110$ entre deux carrés parfaits qui se suivent.

Ex. 17★★★Retrouver un côté ou une arête — Pour chaque objet, trouve la mesure demandée. Vérifie en recalculant.

1. aÀ Lille, Nora pose un carreau carré de $400\,\text{cm}^2$ d'aire. Quelle est la longueur de son côté ?
2. bLe dé à jouer cubique de Yanis a un volume de $27\,\text{cm}^3$. Quelle est la longueur de son arête ?
3. cÀ Brest, l'aquarium cubique de Chloé a un volume de $0{,}125\,\text{m}^3$. Quelle est la longueur de son arête ?
4. dLa nappe carrée de Malik a une aire de $1{,}96\,\text{m}^2$. Quelle est la longueur de son côté ?

Ex. 18★★★Enquête sur les carrés parfaits — Pour cette enquête, tu as droit à la table des carrés, mais pas à la calculatrice. Rappel : les écarts entre deux carrés parfaits qui se suivent sont les nombres impairs qui se suivent. Justifie chaque réponse.

1. aDonne le dernier chiffre de $0^2$, $1^2$, $2^2$, …, $9^2$. Explique pourquoi un carré parfait ne se termine jamais par $2$, $3$, $7$ ou $8$.
2. bSans calculatrice, prouve que $1\,387$ et $5\,942$ ne sont pas des carrés parfaits.
3. cPaul affirme : « Le carré parfait qui suit $30^2 = 900$ est $902$. » Montre que c'est faux de deux façons : avec le dernier chiffre, puis avec $31^2$.
4. dCombien de nombres entiers sont strictement compris entre $30^2$ et $31^2$ ? L'un d'eux est-il un carré parfait ? Justifie.

Ex. 19★★★À la fois carré et cube ? — Un nombre peut être à la fois le carré d'un nombre et le cube d'un autre. Mène l'enquête et justifie chaque réponse par un calcul.

1. aTrouve un nombre entier entre $50$ et $100$ qui est à la fois un carré parfait et le cube d'un entier. Justifie.
2. bCalcule $9^3$. Montre que ce nombre est aussi un carré parfait : cherche un entier entre $20$ et $30$.
3. cLou affirme : « $1\,000\,000$ est le cube de $100$, mais ce n'est pas un carré parfait. » Est-ce exact ? Justifie.
4. dJade affirme : « Le nombre positif qui a pour cube $0{,}343$ est $0{,}07$, car $7^3 = 343$. » Explique son erreur, puis donne la bonne réponse.

Ex. 20★★★Le potager de Romane — À Annecy, Romane aménage un potager carré de $121\,\text{m}^2$ d'aire. Vérifie chaque longueur trouvée en recalculant l'aire.

1. aQuelle est la longueur d'un côté du potager ?
2. bInès entoure son potager d'un grillage vendu $12$ € le mètre. Combien paie-t-elle ?
3. cAu milieu, un bac carré de fraises a une aire de $2{,}56\,\text{m}^2$. Quelle est la longueur de son côté ?
4. dL'allée est faite de dalles carrées de $0{,}64\,\text{m}^2$ d'aire chacune. Donne le côté d'une dalle en mètres, puis en centimètres.

Ex. 21★★★Automatismes : la puissance d'abord — Calcule de tête. Commence toujours par la puissance.

Ex. 22★★★Automatismes : parenthèses ou pas ? — Calcule chaque expression. Regarde bien sur quoi porte l'exposant.

Ex. 23★★★Quotients et décimaux — Calcule. Commence par la puissance.

Ex. 24★★★Calculer en écrivant les étapes — Calcule chaque expression en écrivant une étape par ligne.

1. a$A = 2 \times (4 + 1)^2 - 3^3$
2. b$B = 10^3 \div (3 + 2)^2 + 4^2$
3. c$C = 100 - (1 + (5 - 3)^2)^2$
4. d$D = 3^2 + 6 \times 0{,}5^2$

Ex. 25★★★Repérer et corriger les erreurs — Léna calcule $E = 4 + 2 \times 3^2$ de gauche à droite. Elle écrit : $E = 6 \times 3^2$ ; $E = 18^2$ ; $E = 324$.

1. aExplique les deux erreurs de Léna.
2. bCalcule $E$ correctement, étape par étape.
3. cYanis écrit : $(1 + 5)^2 = 1^2 + 5^2 = 26$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dInès affirme : « $5 \times 4^2 = 20^2$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 26★★★Une lettre, plusieurs valeurs — On étudie les expressions $3x^2$, $(3x)^2$ et $x^2 + x$.

1. aComplète le tableau :

   x	1	5	10	0,2
   3x²
   (3x)²
   x² + x

2. bPour $x = 5$, explique pourquoi $3x^2$ et $(3x)^2$ ne donnent pas le même résultat.
3. cCalcule $x^3 + 2x$ pour $x = 6$, étape par étape.

Ex. 27★★★La pelouse et le bassin — À Nantes, Camille a une pelouse carrée de $9$ m de côté. Au milieu se trouve un bassin carré de $3$ m de côté.

1. aÉcris, avec des carrés, une expression de l'aire de la pelouse sans le bassin.
2. bCalcule cette aire en $\text{m}^2$.
3. cSon frère Malik calcule $(9 - 3)^2$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dLe gazon coûte $4$ € le $\text{m}^2$. Écris le prix en une seule expression, puis calcule-le.

Ex. 28★★★Vrai ou faux avec des puissances — Les quatre premières questions sont des affirmations. Justifie chaque réponse par un calcul.

1. a« $10^2 \div 5 \times 2 = 10$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« $9^2 - 8^2 = 9 + 8$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« $0{,}05^2 \times 400 = 1$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
4. d« $8^2 \div 4 = 2^2 \times 4$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
5. eTrouve deux entiers $a$ et $b$, entre $1$ et $6$, tels que $(a + b)^2$ dépasse $a^2 + b^2$ d'exactement $24$. Vérifie par un calcul.

Ex. 29★★★Le cahier de Hugo — Hugo doit calculer $B = 50 - (2 + 3 \times (5 - 3))^2 \div 8$. Il écrit : $B = 50 - (5 \times 2)^2 \div 8$ ; $B = 50 - 10^2 \div 8$ ; $B = 50 - 100 \div 8$.

1. aQuelle étape de Hugo est fausse ? Explique son erreur.
2. bCalcule $B$ correctement en écrivant une étape par ligne.
3. cPlace des parenthèses dans $1 + 3^2 \times 4$ pour que le résultat soit $40$.
4. dPlace des parenthèses dans $1 + 3^2 \times 4$ pour que le résultat soit $64$.
5. eHugo pense à un nombre entier positif. Il l'élève au carré, multiplie par $3$, puis ajoute $4$ : il trouve $112$. Quel est ce nombre ? Vérifie par un calcul.

Ex. 30★★★La boîte de dés de Sacha — À Strasbourg, Sacha range des dés cubiques de $3$ cm d'arête dans une boîte cubique de $15$ cm d'arête. On ne tient pas compte de l'épaisseur des parois.

1. aCalcule le volume d'un dé, en $\text{cm}^3$.
2. bCalcule le volume de la boîte, en $\text{cm}^3$.
3. cCombien de dés faut-il pour remplir exactement la boîte ? Justifie.
4. dSacha affirme : « Si je double l'arête de la boîte, il faudra deux fois plus de dés. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eSacha peint les $6$ faces extérieures de la boîte de $15$ cm. Son ami calcule $(6 \times 15)^2$. Calcule l'aire peinte et explique l'erreur de l'ami.

Ex. 31★★★Automatismes : le signe × caché — Dans une expression littérale, le signe $\times$ devant une lettre est souvent sous-entendu.

1. aRemets le signe $\times$ sous-entendu : $5x^2$.
2. bRemets le signe $\times$ sous-entendu : $(4x)^2$.
3. cÉcris $6x^3$ en n'utilisant que des signes $\times$, sans exposant.
4. dÉcris $x^2 + 7x$ sans exposant, avec tous les signes $\times$.
5. eÉcris plus court, avec une puissance : $3 \times x \times x$.
6. fÉcris plus court, avec une puissance : $x \times x \times x + x$.

Ex. 32★★★Automatismes : calculs pour x = 6 — On prend $x = 6$. Calcule de tête.

Ex. 33★★★Un tableau pour tester une égalité — On considère le tableau suivant.

1. aComplète la ligne de $x^2$.
2. bComplète la ligne de $x + 2$.
3. cPour quelle(s) valeur(s) du tableau a-t-on $x^2 = x + 2$ ?
4. dInès affirme : « Pour $x = 3{,}5$, $x^2$ est plus petit que $x + 2$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 34★★★Avec un décimal, étape par étape — On prend $x = 0{,}5$. Calcule chaque expression en écrivant toutes les étapes.

Ex. 35★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul.

1. aPour $x = 2$, on a $x^2 = 2x$.
   Donc $x^2 = 2x$ quel que soit le nombre $x$.
2. bPour $x = 10$, $3x^2$ vaut $900$.
3. cPour $x = 1$, $x^3$ et $x^2$ ont la même valeur.
4. dPour $x = 0{,}4$, $x^2$ est plus grand que $x$.

Ex. 36★★★Les erreurs de Noé — Noé doit calculer des expressions pour $x = 9$. Chaque fois, trouve son erreur, puis corrige le calcul.

1. aNoé écrit : $5x^2 = 45^2 = 2\,025$.
2. bPour $(2x)^2$, Noé trouve $162$ en calculant $2 \times 81$.
3. cNoé écrit : $x \times x + x = 9 \times 18 = 162$.
4. dSelon Noé, $(x + 1)^2 = 9^2 + 1 = 82$.

Ex. 37★★★Le potager de Sami — À Rodez, Sami a un potager carré de $x$ mètres de côté. Il veut ajouter $1$ m à chaque côté. Il affirme : « L'aire n'augmente que de $1\ \text{m}^2$, car $(x + 1)^2 = x^2 + 1$. »

1. aPour $x = 8$, calcule l'aire du potager actuel.
2. bPour $x = 8$, calcule l'aire du potager agrandi.
3. cSami a-t-il raison ? Justifie avec cet exemple.
4. dCalcule $(x + 1)^2$ et $x^2 + 1$ pour $x = 0$. Cela prouve-t-il que Sami a raison ? Justifie.

Ex. 38★★★Le double, le carré, le carré du double — On considère trois expressions : $A = 2x^2$, $B = (2x)^2$ et $C = 4 \times x \times x$.

1. aRemets les signes $\times$ sous-entendus dans $A$ et dans $B$. Calcule ensuite $A$, $B$ et $C$ pour $x = 2{,}5$, en écrivant les étapes.
2. bComplète le tableau :

   x	0,1	4	10
   2x²
   (2x)²

3. cElsa affirme : « $(2x)^2$ est toujours le double de $2x^2$. » A-t-elle raison ? Justifie avec le tableau, puis en écrivant $(2x)^2$ comme un produit.
4. dGaspard choisit un nombre entier positif $x$. Il trouve $2x^2 = 242$. Quel nombre a-t-il choisi ? Justifie avec la table des carrés.
5. ePour le nombre choisi par Gaspard, trouve $(2x)^2$ sans calculer de carré. Explique ta méthode.

Ex. 39★★★Le nombre magique de Malik — Malik choisit un nombre $x$. Il le multiplie par lui-même, puis il ajoute le nombre de départ. Il obtient le résultat $M = x \times x + x$.

1. aÉcris $M$ avec un carré. Calcule ensuite $M$ pour $x = 12$, en écrivant les étapes.
2. bOn prend $x = 0{,}7$. Calcule $M$, puis calcule $x^3$, en écrivant les étapes.
3. cPour $x = 5$, Malik écrit : « $M = 2 \times 5 + 5 = 15$ ». Trouve son erreur, puis corrige le calcul.
4. dSa sœur Léa dit : « $M$ est aussi égal à $x \times (x + 1)$. » Vérifie qu'elle a raison pour $x = 3$, puis pour $x = 5$.
5. eEn utilisant l'écriture de Léa, calcule $M$ pour $x = 99$ sans calculer $99 \times 99$. Vérifie ensuite avec $x^2 + x$.

Ex. 40★★★Les cubes en bois de Clémence — À Brest, Clémence fabrique des cubes en bois d'arête $x$ cm. Le volume d'un cube est $x^3$ (en $\text{cm}^3$). L'aire totale de ses six faces est $6x^2$ (en $\text{cm}^2$).

1. aRemets le signe $\times$ sous-entendu dans $6x^2$. Montre que $6x^2$ et $(6x)^2$ ne sont pas égaux en les calculant pour $x = 2$.
2. bComplète le tableau :

   x	3	5	6	10
   x³
   6x²

3. cPour quelle valeur du tableau le volume et l'aire totale s'écrivent-ils avec le même nombre ? Pour les autres valeurs, lequel des deux est le plus grand ?
4. dZoé affirme : « Si on double l'arête d'un cube, son volume double aussi. » Montre avec un contre-exemple qu'elle se trompe.
5. eClémence a un bloc de bois de $1\,000\ \text{cm}^3$. Combien de cubes d'arête $5$ cm peut-elle fabriquer au plus avec ce bloc ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : aire d'un carré — Calcule l'aire d'un carré dont le côté est donné. N'oublie pas l'unité.

Ex. 42★★★Automatismes : volume d'un cube — Calcule le volume d'un cube dont l'arête est donnée. Calcule d'abord le carré, puis multiplie encore une fois. N'oublie pas l'unité.

Ex. 43★★★À rebours : retrouver le côté ou l'arête — Retrouve le nombre demandé grâce aux carrés et aux cubes que tu connais, puis vérifie par un calcul.

1. aUn carré a une aire de $81\ \text{cm}^2$. Quel est son côté ?
2. bUn cube a un volume de $125\ \text{cm}^3$. Quelle est son arête ?
3. cQuel nombre positif a pour carré $144$ ?
4. dUn cube a un volume de $0{,}216\ \text{m}^3$. Quelle est son arête ?
5. eÉcris $1{,}21$ sous la forme du carré d'un nombre décimal.
6. fUn carré a une aire de $0{,}25\ \text{dm}^2$. Quel est son côté ?

Ex. 44★★★Périmètre ou aire ? — Le périmètre d'un carré de côté $c$ vaut $4 \times c$.

1. aÀ Annecy, un potager carré a $17\ \text{m}$ de côté. Calcule son périmètre, puis son aire.
2. bLina écrit : « Un carré de $4\ \text{cm}$ de côté a un périmètre de $16\ \text{cm}$ et une aire de $16\ \text{cm}$. » Repère son erreur et corrige-la.
3. cUn carré a un périmètre de $52\ \text{cm}$. Calcule son côté, puis son aire.
4. dMathis affirme : « Pour un carré, le nombre qui mesure l'aire est toujours plus grand que celui qui mesure le périmètre. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 45★★★Doubler, tripler : l'effet sur l'aire et le volume

1. aInès agrandit une photo carrée de $8\ \text{cm}$ de côté : le nouveau côté mesure $16\ \text{cm}$. Elle pense que l'aire a doublé. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
2. bLe dé à jouer de Tom est un cube de $3\ \text{cm}$ d'arête. Le dé géant de sa sœur a une arête double. Calcule les deux volumes, puis par combien le volume est multiplié.
3. cUn tapis carré a $2\ \text{m}$ de côté. Un autre tapis carré a un côté trois fois plus grand. Calcule les deux aires, puis par combien l'aire est multipliée.
4. dSans calculer de volume, explique par combien est multiplié le volume d'un cube quand on triple son arête.

Ex. 46★★★Convertir avant de calculer — On a $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ et $1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}$.

1. aKenza dit : « $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$, donc $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{cm}^2$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bUne boîte à glaçons cubique a $1\ \text{dm}$ d'arête. Convertis l'arête en cm, puis calcule son volume en $\text{cm}^3$.
3. cElias pose une dalle carrée de $0{,}5\ \text{m}$ de côté. Convertis le côté en cm, puis calcule l'aire de la dalle en $\text{cm}^2$.
4. dÀ Lyon, une cuve de récupération d'eau cubique a $70\ \text{cm}$ d'arête. Sachant que $1\ \text{L} = 1\,000\ \text{cm}^3$, calcule sa contenance en litres.

Ex. 47★★★Figures composées et prix

1. aHugo découpe un cadre : un carré de $11\ \text{cm}$ de côté, dont il retire au centre un carré de $6\ \text{cm}$ de côté. Calcule l'aire du cadre.
2. bMaël pose un cube de $9\ \text{cm}$ d'arête sur un cube de $10\ \text{cm}$ d'arête. Calcule le volume total de la tour.
3. cÀ Brest, Sacha veut carreler une terrasse carrée de $4{,}5\ \text{m}$ de côté. Le carrelage coûte $20$ € le $\text{m}^2$. Calcule l'aire, puis le prix.

Ex. 48★★★Débat en classe : vrai ou faux ? — Des élèves d'une classe de 5ᵉ à Dijon donnent leur avis sur des carrés et des cubes. Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul et donne les unités.

1. aLéo : « Je retire un carré de $4\ \text{cm}$ de côté d'un carré de $9\ \text{cm}$ de côté. Comme $9 - 4 = 5$, il reste $5^2 = 25\ \text{cm}^2$. »
2. bMaëlys : « Un carré de $10\ \text{cm}$ de côté devient un carré de $30\ \text{cm}$ de côté. Son côté est multiplié par $3$, donc son aire aussi. »
3. cYanis : « Un cube de $2{,}4\ \text{cm}$ d'arête a un volume plus petit que $14\ \text{cm}^3$. »
4. dClara : « Un carré de $0{,}6\ \text{m}$ de côté a une aire de $3\,600\ \text{cm}^2$. »

Ex. 49★★★L'aquarium cubique de Nolan — À Saint-Malo, Nolan achète un aquarium en forme de cube de $50\ \text{cm}$ d'arête. On rappelle que $1\ \text{m} = 10\ \text{dm}$, $1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}$ et $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$.

1. aCalcule le volume de l'aquarium en $\text{cm}^3$.
2. bÉcris l'arête en $\text{dm}$, puis calcule le volume en $\text{dm}^3$. Combien de litres d'eau l'aquarium peut-il contenir ?
3. cNolan le remplit avec une carafe de $2{,}5\ \text{L}$. Combien de carafes lui faut-il pour le remplir complètement ?
4. dLe vendeur affirme : « Un aquarium cubique de $1\ \text{m}$ d'arête contient seulement $2$ fois plus d'eau que celui-ci. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 50★★★La tour de cubes de Zoé — À Nantes, Zoé empile trois cubes en bois, du plus grand en bas au plus petit en haut. Leurs volumes sont $512\ \text{cm}^3$, $343\ \text{cm}^3$ et $27\ \text{cm}^3$.

1. aRetrouve l'arête de chacun des trois cubes, puis vérifie chaque réponse par un calcul.
2. bCalcule la hauteur de la tour.
3. cCalcule le volume total de bois utilisé pour la tour.
4. dZoé veut remplacer la tour par un seul cube de même volume. Montre que son arête serait comprise entre $9\ \text{cm}$ et $10\ \text{cm}$.