Quatrième / Puissances

Ex. 1★★★Automatismes : carrés et cubes — Calcule de tête.

Ex. 2★★★Automatismes : priorités avec des puissances — Calcule en respectant les priorités.

Ex. 3★★★Carrés parfaits et exposant manquant — Complète par le nombre qui convient.

1. a$\ldots^2 = 400$ (avec un nombre positif)
2. b$\ldots^3 = 27$
3. c$\ldots^2 = 0{,}64$ (avec un nombre positif)
4. d$2^{\ldots} = 32$
5. e$0{,}5^{\ldots} = 0{,}125$

Ex. 4★★★Les erreurs de Lina — Lina a fait ces calculs. Chacun contient une erreur : explique-la, puis corrige le calcul.

1. a$7^2 = 7 \times 2 = 14$
2. b$0{,}7^2 = 1{,}4$
3. c$(4 + 5)^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
4. d$4 \times 3^2 = 12^2 = 144$

Ex. 5★★★Dalles, dés et boîtes — Chez Noah, à Rennes, on mesure des objets en centimètres. Réponds à chaque question en donnant l'unité.

1. aUne dalle carrée a un côté de $11\ \text{cm}$. Calcule son aire.
2. bUn dé cubique a une arête de $1{,}1\ \text{cm}$. Calcule son volume en deux étapes.
3. cUne boîte cubique a un volume de $343\ \text{cm}^3$. Trouve la longueur de son arête.
4. dPour $x = 8$, $3x^2$ est l'aire de 3 carrés de côté $x\ \text{cm}$ et $(3x)^2$ celle d'un carré de côté $3x\ \text{cm}$. Calcule ces deux aires et compare-les.

Ex. 6★★★Vrai ou faux : les pièges des carrés et des cubes — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux. Justifie par un calcul.

1. a« Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. » Cherche un exemple autre que $0{,}5$.
2. b« Le carré de la somme de deux entiers non nuls est égal à la somme de leurs carrés. »
3. c« Si on double un nombre, son carré est lui aussi doublé. » Teste avec $5$.
4. d« Il existe une valeur de $x$ pour laquelle $2x^2$ et $(2x)^2$ ont la même valeur. »
5. e« Le cube de $1{,}2$ est plus petit que $2$. » Calcule $1{,}2^3$ en deux étapes.

Ex. 7★★★Le grand cube de Zoé — À Brest, Zoé colle des petits cubes en bois d'arête $1{,}5\ \text{cm}$. Elle veut fabriquer un grand cube plein d'arête $6\ \text{cm}$. Donne chaque résultat avec son unité.

1. aCalcule le volume d'un petit cube en deux étapes : d'abord $1{,}5^2$, puis $1{,}5^3$.
2. bCalcule le volume du grand cube.
3. cCombien de petits cubes faut-il le long d'une arête du grand cube ? Déduis-en, à l'aide d'une puissance, le nombre total de petits cubes.
4. dZoé peint les 6 faces du grand cube. Calcule l'aire totale peinte, en respectant les priorités.

Ex. 8★★★Enquête sur les carrés parfaits — Réponds à chaque question en justifiant. Tu peux utiliser les carrés des entiers de 0 à 15.

1. aParmi $48$ ; $100$ ; $125$ ; $169$ ; $210$ ; $225$, lesquels sont des carrés parfaits ? Justifie chaque réponse.
2. bÉcrire $n^2 = n \times 2$ est souvent une erreur. Pour quel seul entier $n$ non nul est-ce vrai ? Explique.
3. cCalcule $2 + 4 \times 3^2$. Place ensuite des parenthèses pour obtenir $54$, puis pour obtenir $196$.
4. dTrouve deux entiers positifs consécutifs dont la somme des carrés vaut $113$.

Ex. 9★★★Calculer une puissance — Automatismes : calcule chaque puissance.

Ex. 10★★★Écrire sous forme d’une puissance — Automatismes : écris chaque nombre sous la forme d’une seule puissance.

1. a$7 \times 7 \times 7 \times 7$
2. b$0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}6$
3. c$(-4) \times (-4) \times (-4) \times (-4) \times (-4)$
4. d$\dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8}$
5. e$x \times x \times x$
6. f$81$, de deux façons différentes
7. g$100\,000$, sous forme de puissance de 10

Ex. 11★★★Le signe d’une puissance — Sans calculer, dis si chaque nombre est positif ou négatif.

Ex. 12★★★Puissances de 2 et exposant manquant — Voici un tableau de puissances de 2 :

1. aComplète le tableau.
2. bTrouve l’exposant $n$ tel que $6^n = 216$.
3. cTrouve l’exposant $p$ tel que $(-2)^p = -128$.
4. dZoé plie une feuille en deux $8$ fois de suite (chaque pliage double le nombre d'épaisseurs). Combien d'épaisseurs obtient-elle ? Donne le résultat sous forme de puissance de 2, puis calcule-le.

Ex. 13★★★Vrai ou faux ? Repère l’erreur — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie, puis corrige si elle est fausse.

1. aTom écrit : $2^5 = 10$.
2. bInès affirme : $2^5 < 5^2$.
3. cHugo écrit : $13^0 = 0$.
4. dMaëlle écrit : $-15^2 = 225$.
5. eNoé écrit : $0{,}4^3 = 0{,}064$.

Ex. 14★★★Une culture de bactéries — Au laboratoire de Lyon, Léa observe une culture. Au départ, il y a $5$ bactéries. Leur nombre double toutes les $30$ minutes. Après $n$ doublements, il y a $5 \times 2^n$ bactéries.

1. aCombien y a-t-il de doublements en $2$ h ? Calcule le nombre de bactéries à ce moment-là.
2. bCalcule le nombre de bactéries au bout de $4$ h.
3. cAu bout de combien de temps le nombre de bactéries dépasse-t-il $2\,000$ pour la première fois ? Justifie.
4. dLéa affirme : « Au départ, $n = 0$, donc la formule donne $5 \times 2^0 = 0$ bactérie. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 15★★★Six puissances à ranger — On donne six nombres : $A = (-5)^3$, $B = (-5)^4$, $C = -5^4$, $D = (-1)^{77}$, $E = 5^0$ et $F = 0^9$.

1. aCalcule $A$, $B$ et $C$ en écrivant les facteurs.
2. bDonne la valeur de $D$, $E$ et $F$ sans poser de multiplication. Justifie.
3. cRange les six nombres dans l'ordre croissant.
4. dRayan affirme : « $B$ et $C$ sont égaux, c'est le même calcul. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 16★★★Le défi de Ben — Ben propose quatre défis sur les puissances. Justifie chaque réponse.

1. aBen affirme : « On peut toujours échanger la base et l'exposant, la preuve : $2^4 = 4^2$. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bTrouve le seul nombre entier strictement compris entre $100$ et $1\,000$ qui est à la fois un carré et un cube. Justifie.
3. cCalcule $0{,}8^2$ et $0{,}8^3$. Range $0{,}8^0$, $0{,}8^2$ et $0{,}8^3$ dans l'ordre croissant, puis explique pourquoi.
4. dSans calculer, donne le signe de $(-3)^{7} \times (-6)^{4}$, puis celui de $-2^{4} \times (-1)^{9}$. Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes : produits d’un même nombre — Écris chaque produit sous la forme d’une seule puissance, en comptant les facteurs.

Ex. 18★★★Automatismes : quotients et puissances de puissances — Écris chaque expression sous la forme d’une seule puissance, en comptant les facteurs.

Ex. 19★★★L’exposant manquant — Dans chaque égalité, $n$ est un nombre entier. Trouve sa valeur en comptant les facteurs.

1. aTrouve $n$ tel que $3^4 \times 3^{n} = 3^{13}$.
2. bTrouve $n$ tel que $5^{n} \div 5^6 = 5^2$.
3. cTrouve $n$ tel que $(2^{n})^4 = 2^{20}$.
4. dTrouve $n$ tel que $9^5 \times 9^{n} = 9^5$.
5. eTrouve $n$ tel que $4^2 \times 4^{n} \div 4^3 = 4^6$.

Ex. 20★★★Regrouper… ou pas ? — Calcule chaque expression. Écris-la d’abord sous la forme d’une seule puissance seulement quand c’est possible.

Ex. 21★★★Les calculs d’Inès — Inès a écrit les égalités ci-dessous. Corrige-les si besoin, en comptant les facteurs.

1. aInès écrit $6^8 \div 6^2 = 6^4$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bInès écrit $(4^2)^5 = 4^7$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cInès écrit $5^3 \times 5^4 = 25^7$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dInès écrit $2^7 \times 2 = 2^8$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eInès écrit $3^6 \times 3^3 \div 3^7 = 3^2 = 6$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Les photos du club de Rennes — Le serveur du club photo d’un collège de Rennes compte $2^{5}$ disques. Chaque disque contient $2^{8}$ dossiers, et chaque dossier contient $2^{6}$ photos.

1. aÉcris le nombre total de photos sous la forme d’une seule puissance de 2, en comptant les facteurs.
2. bMalo affirme que le total est $2^{240}$, car $5 \times 8 \times 6 = 240$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cLe club double le nombre de disques. Écris le nouveau nombre total de photos sous la forme d’une seule puissance de 2.
4. dOn copie ce nouveau total de photos sur des clés USB qui contiennent chacune $2^{14}$ photos. Combien faut-il de clés ? Donne une puissance de 2, puis son écriture décimale.

Ex. 23★★★Le défi de Ben : quatre calculs à ranger — Ben propose ces quatre expressions : $A = 7^{6} \times 7^{3} \div 7^{8}$ ; $B = (5^{3})^{2} \div 5^{6}$ ; $C = 2^{3} + 2^{5}$ ; $D = 5^{4} \times 20^{4}$.

1. aÉcris $7^{6} \times 7^{3}$ sous la forme d’une seule puissance de 7, puis calcule $A$.
2. bÉcris $(5^{3})^{2}$ sous la forme d’une seule puissance de 5, puis calcule $B$.
3. cLou écrit $C = 2^{3} + 2^{5} = 2^{8}$. A-t-elle raison ? Justifie et donne la valeur de $C$.
4. dCalcule $D$ sans calculer $5^{4}$ ni $20^{4}$, puis range $A$, $B$, $C$ et $D$ dans l’ordre croissant.

Ex. 24★★★Enquête sur des bases variées — Réponds à chaque question en comptant les facteurs. Justifie chaque réponse.

1. aÉcris $(-2)^{4} \times (-2)^{3}$ sous la forme d’une seule puissance. Donne son signe sans la calculer, puis calcule-la.
2. bÉcris $\left(\frac{3}{4}\right)^{5} \div \left(\frac{3}{4}\right)^{3}$ sous la forme d’une seule puissance, puis sous la forme d’une fraction.
3. cSans les calculer, montre que $(1{,}5^{2})^{4}$ et $1{,}5^{3} \times 1{,}5^{5}$ sont égaux.
4. dVrai ou faux ? $2^{3} \times 3^{4} = 6^{7}$. Justifie.

Ex. 25★★★Automatismes : écriture décimale — Donne l'écriture décimale de chaque puissance de 10.

Ex. 26★★★Automatismes : écrire sous forme d'une puissance de 10 — Écris chaque nombre sous la forme d'une puissance de 10.

Ex. 27★★★Comparer des puissances de 10 — Compare avec $<$, $>$ ou $=$.

Ex. 28★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a$10^{4}$ vaut $40$.
2. b$10^{-6}$ est un nombre négatif.
3. c$10^{-5}$ s'écrit avec 5 zéros après la virgule.
4. d$10^{-1}$ est dix fois plus petit que $10^{0}$.

Ex. 29★★★La copie de Hugo — Ben a corrigé la copie de Hugo. Pour chaque réponse : Hugo a-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. a« Un milliard s'écrit $10^{6}$. »
2. b« Un millième, c'est $10^{3}$. »
3. c« $0{,}000\,000\,01 = 10^{-7}$, car il y a 7 zéros après la virgule. »
4. d« Un dixième, c'est $10^{-10}$. »
5. e« Un dix-millième, c'est $10^{-4}$. »

Ex. 30★★★Comprendre les exposants négatifs — Dans ce tableau, on passe d'une case à la case de droite en divisant par $10$, et l'exposant baisse de 1.

1. aComplète le tableau en divisant par $10$ d'une case à la suivante.
2. bLéna affirme : « $10^{0} = 0$, car il n'y a aucun facteur $10$. » Explique-lui son erreur à l'aide du tableau.
3. cCombien de fois $10^{2}$ est-il plus grand que $10^{-2}$ ? Justifie en prolongeant le tableau vers la droite.
4. dOn prolonge le tableau vers la gauche en multipliant par $10$. Quelle puissance de 10 trouve-t-on 5 cases avant $10^{2}$ ? Donne son écriture décimale.
5. eNina écrit : « $10^{-4} = -40$. » Explique pourquoi c'est impossible sans calculer, puis donne la bonne valeur.

Ex. 31★★★Du milliard au dix-milliardième — Réponds à chaque question en justifiant.

1. aÉcris sous la forme d'une puissance de 10 : un centième ; un cent-millième ; un million.
2. bRange dans l'ordre croissant : $10^{-1}$ ; $10^{4}$ ; $10^{0}$ ; $10^{-7}$ ; $0{,}000\,001$ ; $100$.
3. cTrouve l'entier $n$ tel que $10^{n}$ soit compris entre $50\,000$ et $500\,000$.
4. dThéo affirme : « $10^{-10}$ est plus grand que $10^{-1}$, car $10 > 1$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eSami a écrit $10^{9} = 90$. Explique son erreur, puis écris $10^{9}$ en écriture décimale et en lettres.

Ex. 32★★★Dilutions au laboratoire — À Grenoble, Inès travaille dans un laboratoire. Elle part d'une solution qui contient $1\ \text{g}$ de colorant par litre. À chaque dilution, la quantité de colorant par litre est divisée par $10$.

1. aÉcris la quantité de départ, $1\ \text{g/L}$, sous la forme d'une puissance de 10. Justifie.
2. bDonne la quantité après 1, 2 puis 3 dilutions, en écriture décimale et sous forme de puissance de 10.
3. cAprès 6 dilutions, écris la quantité sous forme de puissance de 10, en écriture décimale, puis en lettres.
4. dMalik affirme qu'après 7 dilutions il reste $0{,}000\,000\,01\ \text{g/L}$, « car il faut 7 zéros ». A-t-il raison ? Justifie.
5. eCombien de dilutions faut-il pour obtenir $0{,}000\,000\,001\ \text{g/L}$ ? Comment s'appelle ce nombre ?

Ex. 33★★★Décaler la virgule — Automatismes. Donne l'écriture décimale de chaque nombre.

Ex. 34★★★Une seule puissance de 10 — Automatismes. Écris chaque nombre sous la forme d'une seule puissance de 10.

Ex. 35★★★Entier × puissance de 10 — Automatismes. Écris chaque nombre sous la forme d'un entier qui ne se termine pas par 0, multiplié par une puissance de 10.

Ex. 36★★★Les égalités d'Inès — Inès a écrit ces égalités dans son cahier. Pour chacune : vrai ou faux ? Justifie, puis corrige si elle est fausse.

1. a$10^{2} \times 10^{5} = 10^{10}$
2. b$10^{4} + 10^{3} = 10^{7}$
3. c$6 \times 10^{-2}$ est un nombre négatif.
4. d$10^{6} \div 10^{-2} = 10^{4}$
5. e$(10^{2})^{5} = 10^{10}$

Ex. 37★★★Calculs enchaînés et exposant caché — Calcule en détaillant chaque étape, ou trouve l'exposant $n$ manquant.

1. aDonne l'écriture décimale de $E = 41 \times 10^{6} \times 10^{-8}$.
2. bÉcris $F = 10^{-4} \times 10^{7} \div 10^{2}$ sous la forme d'une puissance de 10, puis en écriture décimale.
3. cÉcris $G = 10^{5} \div 10^{-3} \times 10^{-6}$ sous la forme d'une puissance de 10, puis en écriture décimale.
4. dTrouve $n$ tel que $10^{n} \times 10^{3} = 10^{-2}$.
5. eTrouve $n$ tel que $10^{7} \div 10^{n} = 10^{9}$.

Ex. 38★★★La mémoire du téléphone de Clara — Le téléphone de Clara a une capacité de $256\,\text{Go}$. Ici, $1\,\text{Go} = 10^{3}\,\text{Mo}$, $1\,\text{Mo} = 10^{3}\,\text{ko}$ et $1\,\text{ko} = 10^{3}$ octets. Détaille tes calculs avec les puissances de 10.

1. aJustifie que $1\,\text{Go} = (10^{3})^{3}$ octets, puis écris ce nombre sous la forme d'une seule puissance de 10.
2. bUne photo de Clara pèse $4\,\text{Mo}$. Combien de photos peut-elle stocker au maximum ?
3. cClara filme une vidéo de $1\,800\,\text{Mo}$. Donne sa taille en $\text{Go}$, en écriture décimale.
4. dUne application occupe $5 \times 10^{8}$ octets. Tom, le frère de Clara, dit : « C'est $5\,\text{Mo}$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 39★★★Sous le microscope de Sacha — Au microscope, Sacha observe un globule rouge de $8\,\mu\text{m}$ de diamètre, un virus de $100\,\text{nm}$ et une bactérie de $2\,\mu\text{m}$ de long.

1. aComplète le tableau :

   Préfixe	méga (M)	milli (m)	micro (µ)	nano (n)
   Puissance de 10

2. bÉcris le diamètre du globule rouge en mètre, sous la forme $8 \times 10^{n}$, puis en écriture décimale.
3. cÉcris la taille du virus en mètre, sous la forme d'une seule puissance de 10.
4. dCombien de virus alignés faut-il pour couvrir le diamètre du globule rouge ? Détaille le calcul.
5. eCombien de bactéries peut-on aligner bout à bout sur $1\,\text{mm}$ ?

Ex. 40★★★Le voyage de la lumière — La lumière parcourt environ $300\,000\,\text{km}$ en une seconde. La Lune est à environ $384\,000\,\text{km}$ de la Terre, et le Soleil à environ $150\,000\,000\,\text{km}$. Détaille tes calculs avec les puissances de 10.

1. aÉcris la distance parcourue par la lumière en une seconde, en mètre, sous la forme $3 \times 10^{n}$.
2. bSachant que $384\,000 = 384 \times 10^{3}$, calcule le temps mis par la lumière pour aller de la Lune à la Terre, en écriture décimale.
3. cSachant que $150\,000\,000 = 15 \times 10^{7}$, calcule le temps mis par la lumière du Soleil pour arriver sur Terre, en secondes, puis en minutes et secondes.
4. dUn signal radio va à la vitesse de la lumière et met $2 \times 10^{4}$ secondes pour atteindre une sonde. Donne cette distance en $\text{km}$, puis en $\text{m}$, sous la forme entier $\times 10^{n}$.

Ex. 41★★★Du préfixe à l'unité — Remplace le préfixe par sa puissance de 10, puis donne l'écriture décimale dans l'unité demandée.

Ex. 42★★★D'un préfixe à un autre — Compare les deux puissances de 10, puis complète.

Ex. 43★★★Corrige l'erreur — Chaque élève s'est trompé. Explique son erreur, puis écris l'égalité correcte.

1. aTom écrit : « $1\ \text{m} = 10\,000\ \mu\text{m}$ ».
2. bSarah écrit : « $4\ \text{MW} = 0{,}004\ \text{W}$ ».
3. cYanis écrit : « $3\ \text{mm} = 300\ \mu\text{m}$ ».
4. dMaëlle écrit : « $1\ \text{GW} = 1\,000\ \text{kW}$ ».

Ex. 44★★★Les photos de Jade — Jade a une clé USB de $32\ \text{Go}$. Chaque photo de son appareil occupe $5\ \text{Mo}$.

1. aÉcris $32\ \text{Go}$ en octets avec une puissance de 10, puis en $\text{Mo}$.
2. bCombien de photos peut-elle stocker sur la clé vide ?
3. cElle y place d'abord une vidéo de $1{,}6\ \text{Go}$. Convertis cette taille en $\text{Mo}$.
4. dCombien de photos peut-elle encore stocker après avoir placé la vidéo ?

Ex. 45★★★Comparer des grandeurs — Pour comparer, convertis d'abord les deux grandeurs avec le même préfixe.

1. aCombien de fois $1\ \text{MW}$ est-il plus grand que $1\ \text{mW}$ ? Donne la réponse avec une puissance de 10.
2. bUne centrale A produit $2{,}6\ \text{GW}$, une centrale B produit $2\,400\ \text{MW}$. Laquelle est la plus puissante ?
3. cUn cheveu a une épaisseur de $0{,}08\ \text{mm}$ et un fil d'araignée de $4\ \mu\text{m}$. Combien de fois le cheveu est-il plus épais ?
4. dRange dans l'ordre croissant : $0{,}2\ \text{ms}$ ; $50\ \mu\text{s}$ ; $80\,000\ \text{ns}$.

Ex. 46★★★Le virus et la bactérie — Au microscope, Inès observe un virus qui mesure $120\ \text{nm}$ et une bactérie qui mesure $3\ \mu\text{m}$. Justifie chaque réponse avec des puissances de 10.

1. aÉcris la taille du virus en $\text{m}$, d'abord avec une puissance de 10, puis en écriture décimale.
2. bConvertis la taille de la bactérie en $\text{nm}$.
3. cCombien de fois la bactérie est-elle plus longue que le virus ?
4. dUn grain de sable mesure $0{,}6\ \text{mm}$. Combien de bactéries faut-il aligner pour obtenir sa longueur ?
5. eInès écrit : « Le virus mesure $0{,}12\ \text{mm}$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 47★★★La centrale et le voyant — Une centrale électrique produit une puissance de $1\,300\ \text{MW}$. Une éolienne produit $4\ \text{MW}$. Le voyant de la télévision de Malik consomme $40\ \text{mW}$.

1. aConvertis la puissance de la centrale en $\text{GW}$. Justifie avec des puissances de 10.
2. bCombien d'éoliennes faut-il pour produire autant que la centrale ?
3. cÉcris la puissance du voyant en $\text{W}$, en écriture décimale.
4. dCombien de fois la puissance de la centrale est-elle plus grande que celle du voyant ? Donne le résultat sous la forme d'un entier $\times 10^{n}$.
5. eMalik affirme : « La centrale produit $1\,300\,000\ \text{kW}$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 48★★★L'ordinateur de Noé — Le processeur de l'ordinateur de Noé effectue une opération toutes les $0{,}4\ \text{ns}$. Noé télécharge un film de $1{,}8\ \text{Go}$ à la vitesse de $12\ \text{Mo}$ par seconde.

1. aÉcris la durée d'une opération en $\text{s}$, en écriture décimale.
2. bCombien d'opérations le processeur effectue-t-il en $1\ \mu\text{s}$ ? Justifie.
3. cCombien d'opérations effectue-t-il en $1\ \text{ms}$ ? Donne le résultat sous la forme d'un entier $\times 10^{n}$.
4. dConvertis la taille du film en $\text{Mo}$, puis calcule la durée du téléchargement.
5. eCombien d'opérations le processeur effectue-t-il pendant le téléchargement ? Donne le résultat sous la forme d'un entier $\times 10^{n}$.