Sixième / Proportionnalité

Ex. 1★★★Automatismes — calculer des quotients — Chaque colonne d'un tableau est donnée sous la forme (1re ligne ; 2e ligne). Calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne ».

Ex. 2★★★Automatismes — vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie.

1. aLe périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de son côté.
2. bHugo chausse du $30$ à $8$ ans. À $16$ ans, il chaussera donc du $60$.
3. cLe gazole coûte $1{,}74$ € le litre. Mehdi paie $26{,}10$ € pour $15$ L, donc il paiera $52{,}20$ € pour $30$ L.
4. dUn forfait coûte $5$ € par mois plus $0{,}10$ € par SMS. Le prix est proportionnel au nombre de SMS.
5. eAvec $3$ ouvriers, un mur est construit en $10$ jours. Avec $6$ ouvriers, il faudra donc $20$ jours.

Ex. 3★★★Tableau de proportionnalité ou non ? — Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie par un calcul. Si oui, donne le coefficient.

1. a

   Masse (kg)	3	4	6	10
   Prix (€)	6{,}60	8{,}80	13{,}20	23

2. b

   Nombre de bouteilles	12	4	10	6
   Volume (L)	9	3	7{,}5	4{,}5

3. c

   Nombre de cafés	1	2	4	8
   Prix (€)	1{,}80	3{,}60	6{,}40	12{,}80

4. d

   Nombre de paquets	3	7	10	15
   Nombre de biscuits	36	84	120	180

Ex. 4★★★Des livres en ligne ou en magasin — Inès achète des romans à $8{,}50$ € l'un. Sur un site, on ajoute $4$ € de frais de livraison par commande. En magasin, il n'y a pas de frais.

1. aCalcule le prix payé sur le site pour $1$ roman, puis pour $2$ romans.
2. bSur le site, le prix payé est-il proportionnel au nombre de romans ? Justifie en doublant.
3. cEn magasin, $4$ romans coûtent $34$ € et $7$ romans coûtent $59{,}50$ €. Est-ce proportionnel ? Justifie par un calcul.
4. dSur le site, Inès a payé $46{,}50$ € pour une commande. Combien de romans a-t-elle commandés ?

Ex. 5★★★L'erreur de Tom — Pour des crêpes, Tom a noté la masse de farine selon le nombre de personnes :

1. aTom a calculé $375 \div 6$ et $125 \div 2$. Fais ces deux calculs.
2. bTom conclut : « C'est un tableau de proportionnalité. » A-t-il raison ? Justifie par le calcul des autres quotients.
3. cUne seule case est fausse. Corrige-la pour obtenir un tableau de proportionnalité.
4. dQue représente le coefficient de proportionnalité dans cette recette ?

Ex. 6★★★Trois tarifs à la piscine — À la piscine, Léa a le choix entre trois tarifs. Tarif A : $4{,}20$ € l'entrée. Tarif B : une carte à $15$ € pour l'année, puis $2{,}70$ € l'entrée. Tarif C : $4{,}50$ € l'entrée seule, $20$ € le carnet de $5$ entrées, $36$ € le carnet de $10$ entrées.

1. aAu tarif A, calcule le prix de $3$, de $5$ et de $12$ entrées. Le prix est-il proportionnel au nombre d'entrées ? Justifie.
2. bAu tarif B, calcule le prix de $5$ entrées, puis de $10$ entrées. En doublant le nombre d'entrées, double-t-on le prix ? Conclus.
3. cAu tarif C, calcule le prix d'une entrée dans chaque cas : entrée seule, carnet de $5$, carnet de $10$. Le prix est-il proportionnel au nombre d'entrées ? Justifie.
4. dLéa ira exactement $8$ fois à la piscine cette année. Pour chaque tarif, calcule le prix le plus bas possible, puis dis lequel elle doit choisir.

Ex. 7★★★L'enquête de Sami — Sami relève des mesures pour un exposé. Aide-le à répondre à chaque question en justifiant par un calcul.

1. aTaille de son petit frère :

   Âge (ans)	1	2	4	6
   Taille (cm)	75	86	102	115

   Sami affirme : « La taille augmente avec l'âge, donc c'est proportionnel. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bRénovation d'un mur :

   Nombre d'ouvriers	2	4	8
   Durée (jours)	12	6	3

   La durée est-elle proportionnelle au nombre d'ouvriers ? Justifie en doublant le nombre d'ouvriers.
3. cAu rayon tissu, Sami lit seulement : « $3$ m de tissu coûtent $22{,}50$ € ». Peut-il affirmer, avec cette seule information, que le prix est proportionnel à la longueur ? Explique.
4. dPeinture d'une façade :

   Surface (m²)	5	8	12	20
   Peinture (L)	2	3{,}2	4{,}8	8

   Sami calcule $5 \div 2$, puis $8 \div 3{,}2$… et trouve toujours $2{,}5$. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Donne le coefficient « 2e ligne ÷ 1re ligne » et explique ce qu'il représente.

Ex. 8★★★L'affiche de Chloé au marché — Au marché, Chloé vend des clémentines. Elle affiche ce tableau, aux colonnes dans le désordre :

1. aCalcule le quotient « prix ÷ masse » dans chaque colonne. L'affiche est-elle un tableau de proportionnalité ? Justifie.
2. bChloé s'est trompée dans une seule case. Corrige-la avec une somme de colonnes, puis vérifie avec le coefficient.
3. cAvec l'affiche corrigée, Paul paie $12$ € de clémentines. Quelle masse de clémentines achète-t-il ?
4. dChloé vend aussi des filets d'oranges à $2{,}90$ € le filet, avec l'offre « 3 filets pour le prix de 2 ». Complète :

   Nombre de filets	1	2	3	6
   Prix (€)	2{,}90	…	…	…

5. eChloé dit : « $6$ filets coûtent le double de $3$ filets, donc le prix des filets est proportionnel. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : calculer le coefficient — Chaque ligne décrit une colonne d'un tableau de proportionnalité : le nombre de la 1ʳᵉ ligne, puis celui de la 2ᵉ ligne. Calcule le coefficient de proportionnalité (de la 1ʳᵉ ligne vers la 2ᵉ).

1. a1ʳᵉ ligne : $14$ ; 2ᵉ ligne : $21$. Quel est le coefficient ?
2. b1ʳᵉ ligne : $40$ ; 2ᵉ ligne : $34$. Quel est le coefficient ?
3. c1ʳᵉ ligne : $8$ ; 2ᵉ ligne : $10$. Quel est le coefficient ?
4. d1ʳᵉ ligne : $20$ ; 2ᵉ ligne : $3$. Quel est le coefficient ?
5. e1ʳᵉ ligne : $12$ ; 2ᵉ ligne : $9$. Quel est le coefficient ?
6. f1ʳᵉ ligne : $4$ ; 2ᵉ ligne : $26$. Quel est le coefficient ?

Ex. 10★★★Automatismes : multiplier ou diviser ? — Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la 1ʳᵉ ligne à la 2ᵉ en multipliant par le coefficient. Trouve le nombre manquant de la colonne.

1. aCoefficient $2{,}5$ ; 1ʳᵉ ligne : $6$. Quel nombre est dans la 2ᵉ ligne ?
2. bCoefficient $2{,}5$ ; 2ᵉ ligne : $20$. Quel nombre est dans la 1ʳᵉ ligne ?
3. cCoefficient $0{,}25$ ; 1ʳᵉ ligne : $18$. Quel nombre est dans la 2ᵉ ligne ?
4. dCoefficient $0{,}25$ ; 2ᵉ ligne : $3{,}5$. Quel nombre est dans la 1ʳᵉ ligne ?
5. eCoefficient $1{,}25$ ; 2ᵉ ligne : $15$. Quel nombre est dans la 1ʳᵉ ligne ?
6. fCoefficient $4$ ; 2ᵉ ligne : $2{,}6$. Quel nombre est dans la 1ʳᵉ ligne ?

Ex. 11★★★Les pommes du marché — Au marché, Yanis achète des pommes. Le prix est proportionnel à la masse.

1. aCalcule le coefficient de proportionnalité. Que représente-t-il ?
2. bQuel est le prix de $5$ kg de pommes ?
3. cQuelle masse de pommes coûte $17{,}60$ € ?
4. dQuel est le prix de $0{,}5$ kg de pommes ?
5. eQuelle masse de pommes coûte $29{,}70$ € ?

Ex. 12★★★Les erreurs de Tom — Pour un gâteau pour $8$ personnes, il faut $200$ g de farine. La masse de farine est proportionnelle au nombre de personnes. Tom fait plusieurs calculs.

1. aTom calcule le coefficient : $8 \div 200 = 0{,}04$. Explique son erreur et donne le bon coefficient.
2. bQue représente ce coefficient ? Précise l'unité.
3. cCalcule la masse de farine nécessaire pour $12$ personnes.
4. dTom dit : « $2$ personnes de plus, donc $2$ g de plus : $202$ g pour $10$ personnes. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eAvec $350$ g de farine, Tom multiplie $350$ par le coefficient pour trouver le nombre de personnes. Corrige sa méthode et donne le bon nombre de personnes.

Ex. 13★★★Le sirop d'Inès — Inès prépare une boisson. La quantité d'eau est proportionnelle à la quantité de sirop.

1. aCalcule le coefficient pour passer de la quantité de sirop à la quantité d'eau.
2. bComplète les deux cases vides de la 2ᵉ ligne.
3. cComplète les deux cases vides de la 1ʳᵉ ligne.
4. dVérifie ta colonne de $42$ cL d'eau en la comparant à la colonne de $21$ cL d'eau.
5. eQuelle quantité de boisson (sirop et eau) Inès obtient-elle avec $9$ cL de sirop ?

Ex. 14★★★Le voyage de Lina au Canada — À l'aéroport, Lina échange des euros contre des dollars canadiens. Le nombre de dollars est proportionnel au nombre d'euros : $20$ € donnent $25$ dollars.

1. aLina dit : « Le coefficient est $20 \div 25 = 0{,}8$. » A-t-elle raison ? Justifie, donne le bon coefficient et dis ce qu'il représente.
2. bComplète les cases vides de la ligne « Dollars ».
3. cComplète les cases vides de la ligne « Euros ». Dis si tu multiplies ou si tu divises par le coefficient.
4. dVérifie la case que tu as trouvée sous $100$ dollars en utilisant deux autres colonnes du tableau.
5. eAu retour, il reste $30$ dollars à Lina. Son frère dit : « $25$ dollars valent $20$ €. $30$ dollars, c'est $5$ dollars de plus, donc ça fait $20 + 5 = 25$ €. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 15★★★Le plein de Chloé — À la station-service, Chloé remplit des bidons d'essence pour sa tondeuse. Le prix payé est proportionnel au volume d'essence.

1. aSans calculer le coefficient, trouve le prix de $6$ L. Nomme l'outil que tu utilises.
2. bCalcule le coefficient de proportionnalité. Que représente-t-il ? Donne son unité.
3. cCalcule le prix de $30$ L avec le coefficient, puis celui de $36$ L par une somme de deux colonnes du tableau.
4. dCombien de litres Chloé obtient-elle pour $38{,}85$ € ?
5. eChloé a $50$ €. Combien de litres entiers peut-elle acheter au maximum ? Justifie.

Ex. 16★★★Le jus d'oranges de la fête — Pour la fête du collège, Sacha presse des oranges. Le volume de jus est proportionnel à la masse d'oranges : $5$ kg d'oranges donnent $4$ L de jus.

1. aCalcule le coefficient. Ilan affirme : « Un coefficient de proportionnalité est toujours plus grand que 1. » A-t-il raison ? Justifie et dis ce que représente le coefficient.
2. bSans utiliser le coefficient, trouve le volume de jus pour $15$ kg et pour $20$ kg. Nomme chaque outil.
3. cCalcule le volume de jus obtenu avec $3{,}5$ kg d'oranges.
4. dPour $10$ L de jus, Léa multiplie $10$ par le coefficient pour trouver la masse d'oranges. Corrige sa méthode, puis vérifie ta réponse avec la colonne $5$ kg.
5. eIl faut $30$ L de jus pour la fête. Les oranges coûtent $2{,}40$ € le kg. Combien Sacha va-t-il payer ?

Ex. 17★★★Automatismes : multiplier ou diviser une colonne — Chaque situation est proportionnelle. Calcule de tête en multipliant ou en divisant la colonne donnée par un même nombre, sur les deux lignes.

1. a$3$ baguettes coûtent $2{,}70$ €. Combien coûtent $9$ baguettes ?
2. b$12$ stylos coûtent $21$ €. Combien de stylos achètes-tu avec $7$ € ?
3. c$6$ sacs de terreau couvrent $45$ m² de jardin. Quelle surface couvrent $3$ sacs ?
4. dPour $4$ personnes, il faut $250$ g de pâtes. Quelle masse faut-il pour $12$ personnes ?
5. e$10$ m de corde coûtent $37$ €. Combien coûtent $2$ m ?
6. f$2{,}5$ L de jus remplissent $10$ verres. Quel volume faut-il pour $40$ verres ?

Ex. 18★★★Automatismes : additionner ou soustraire deux colonnes — À la fromagerie, le prix est proportionnel à la masse de fromage. Réponds à chaque question en additionnant ou en soustrayant deux colonnes du tableau.

1. aTrouve le prix de $7$ kg de fromage.
2. bTrouve le prix de $3$ kg de fromage avec une différence de deux colonnes.
3. cTrouve le prix de $12$ kg de fromage.
4. dBastien dit : « $10$ kg coûtent $42{,}50 \times 2 = 85$ € ». Vérifie avec une somme de deux colonnes. A-t-il raison ?

Ex. 19★★★Des pots de peinture : colonnes en désordre — Un magasin vend des petits pots de peinture, tous au même prix. Les colonnes sont en désordre : choisis bien ta colonne de départ.

1. aCalcule le prix de $3$ pots sans passer par l'unité. Quelle propriété utilises-tu ?
2. bDéduis-en le prix de $15$ pots en combinant deux colonnes.
3. cCalcule le prix d'un pot, puis le prix de $7$ pots.
4. dCalcule le prix de $10$ pots par une somme de deux colonnes, puis vérifie avec le prix d'un pot.

Ex. 20★★★Au marché : deux erreurs à corriger — Au marché, $5$ kg de pommes de terre coûtent $9$ €. Le prix est proportionnel à la masse.

1. aCalcule le coefficient de proportionnalité. Que représente-t-il ?
2. bHugo dit : « J'ajoute $3$ aux deux lignes : $8$ kg coûtent $12$ € ». A-t-il raison ? Justifie en calculant le prix de $8$ kg.
3. cZoé écrit : « $13 = 5 + 8$, donc $13$ kg coûtent $9 + 8 = 17$ € ». Trouve son erreur et corrige-la.
4. dAvec $27$ €, combien de kilogrammes peux-tu acheter ?

Ex. 21★★★La piscine : une carte, puis des entrées — À la piscine, tu paies une carte de $10$ € pour l'année, puis $5$ € par entrée.

1. aEst-ce une situation de proportionnalité ? Justifie par un calcul.
2. bNolan écrit : « $6 = 2 + 4$, donc $6$ entrées coûtent $20 + 30 = 50$ € ». Explique son erreur et calcule le vrai prix.
3. cLina dit : « $8$ entrées coûtent deux fois le prix de $4$ entrées, soit $60$ € ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 22★★★À la station-service : compléter sans passer par l'unité — Chez Ben, à la station-service, le prix payé est proportionnel au volume de carburant. Pour chaque question, nomme la propriété utilisée (colonne × un nombre, colonne ÷ un nombre, somme de deux colonnes) et écris le calcul sur les deux lignes.

1. aCalcule le prix de $24$ L à partir de la colonne « $8$ L ». Par quel nombre multiplies-tu ?
2. bCalcule le prix de $32$ L sans passer par l'unité.
3. cCalcule le prix de $2$ L sans passer par l'unité. Quelle colonne divises-tu, et par quel nombre ?
4. dCalcule le prix de $26$ L en utilisant deux colonnes que tu as déjà complétées. Vérifie ensuite avec le prix d'un litre.
5. eLéa écrit : « $8$ L coûtent $14{,}80$ €. J'ajoute $2$ aux deux lignes, donc $10$ L coûtent $16{,}80$ €. » A-t-elle raison ? Justifie et donne le bon prix.

Ex. 23★★★Des crêpes pour la fête : colonnes en désordre — Nora prépare des crêpes pour une fête. La masse de farine est proportionnelle au nombre de personnes. Les colonnes sont en désordre : choisis bien les colonnes que tu utilises.

1. aCalcule la masse de farine pour $10$ personnes. Nomme la propriété utilisée.
2. bCalcule la masse de farine pour $2$ personnes à l'aide de deux colonnes du tableau, sans passer par l'unité.
3. cCalcule la masse de farine pour $14$ personnes en combinant deux propriétés.
4. dNora a un paquet de $1{,}5$ kg de farine. Pour combien de personnes peut-elle faire des crêpes en utilisant tout le paquet ?
5. eSami écrit : « $8 = 4 \times 2$, donc pour $8$ personnes il faut $200 \times 4 = 800$ g de farine. » Explique son erreur et donne la bonne masse.

Ex. 24★★★Location de vélos : quel loueur choisir ? — Pour une randonnée à vélo, Inès compare deux loueurs. Chez le loueur A, le prix est proportionnel à la durée : $2$ h coûtent $7$ €. Chez le loueur B, on paie $6$ € de forfait, puis $2$ € par heure.

1. aExplique pourquoi tu peux utiliser les propriétés des colonnes chez le loueur A, mais pas chez le loueur B. Justifie par un calcul.
2. bCalcule le prix de $4$ h chez le loueur A. Compare avec le prix de $4$ h chez le loueur B.
3. cCalcule le prix de $3$ h, puis celui de $8$ h, chez chaque loueur. Quel loueur Inès doit-elle choisir dans chaque cas ?
4. dChez le loueur A, Inès a payé $24{,}50$ €. Combien d'heures a-t-elle loué son vélo ?

Ex. 25★★★Automatismes : le prix d'une unité — Calcule la valeur qui correspond à 1, puis écris une phrase courte.

1. a$4$ stylos coûtent $7$ €. Quel est le prix d'un stylo ?
2. bAvec $12$ €, on achète $5$ kg de pommes. Quel est le prix de $1$ kg ?
3. c$3$ m de ruban coûtent $4{,}20$ €. Quel est le prix de $1$ m ?
4. dIl faut $450$ g de riz pour $6$ personnes. Combien de grammes faut-il pour $1$ personne ?
5. eUne imprimante imprime $84$ pages en $6$ minutes, toujours au même rythme. Combien de pages imprime-t-elle en $1$ minute ?
6. f$8$ croissants coûtent $9{,}20$ €. Quel est le prix d'un croissant ?

Ex. 26★★★Automatismes : au rayon fromage — Le prix du fromage est proportionnel à sa masse. Passe par le prix de $1$ g pour compléter le tableau.

1. aCalcule le prix de $1$ g de fromage.
2. bCalcule le prix de $100$ g de fromage.
3. cCalcule le prix de $340$ g de fromage.
4. dQuelle masse de fromage peut-on acheter avec $7{,}20$ € ?

Ex. 27★★★Des crêpes pour tout le monde — Pour $6$ personnes, la pâte à crêpes demande $360$ g de farine, $0{,}9$ L de lait et $3$ œufs. Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes.

1. aCalcule les quantités de farine, de lait et d'œufs pour $1$ personne.
2. bCalcule les quantités de farine, de lait et d'œufs pour $8$ personnes.
3. cPour $15$ personnes, combien faut-il de farine ? Combien d'œufs le calcul donne-t-il, et combien en prends-tu ?
4. dTom a $1{,}5$ kg de farine. Pour combien de personnes au plus peut-il faire la pâte ?

Ex. 28★★★Le meilleur prix au litre — Pour repeindre sa chambre, Inès compare trois pots de peinture. Pot A : $2{,}5$ L pour $31$ €. Pot B : $4$ L pour $47{,}60$ €. Pot C : $3$ L pour $35$ €.

1. aCalcule le prix de $1$ L de peinture pour le pot A, puis pour le pot B.
2. bAu prix au litre du pot A, quelle quantité de peinture obtiendrait-on pour $18{,}60$ € ?
3. cCalcule le prix de $1$ L pour le pot C, arrondi au centime. Quel pot a le meilleur prix au litre ?
4. dAu même prix au litre que le pot C, combien coûteraient $5$ L ? Donne le prix exact au centime près.

Ex. 29★★★Tomates du marché et sauce maison — Au marché, $3$ kg de tomates coûtent $5{,}70$ €. Hugo écrit : « $3 \div 5{,}70 \approx 0{,}53$, donc $1$ kg coûte $0{,}53$ €. » Avec $1$ kg de tomates, Hugo prépare $0{,}4$ L de sauce.

1. aHugo a-t-il raison ? Justifie, puis calcule le vrai prix de $1$ kg.
2. bCombien coûtent $4{,}5$ kg de tomates ?
3. cAvec $15{,}20$ €, combien de kilogrammes de tomates peut-on acheter ?
4. dCombien de litres de sauce Hugo obtient-il avec $7$ kg de tomates ?
5. eIl range cette sauce dans des pots de $0{,}25$ L. Combien de pots doit-il prévoir ? Combien de pots seront pleins ?

Ex. 30★★★L'essence de la tondeuse — À la station, Malik achète de l'essence pour la tondeuse du jardin : $7$ L coûtent $13$ €. Le prix est proportionnel au nombre de litres. La tondeuse consomme $0{,}8$ L d'essence en $16$ minutes.

1. aCalcule le prix de $1$ L d'essence, arrondi au centime.
2. bMalik veut $12$ L. Il multiplie par $12$ le prix de $1$ L arrondi au centime. Explique pourquoi son résultat n'est pas le prix exact, puis calcule le prix de $12$ L au centime près.
3. cMalik n'a que $20$ €. Combien de litres entiers peut-il acheter au plus ? Justifie par des calculs.
4. dAvec $10$ L d'essence, pendant combien de minutes la tondeuse peut-elle tourner ? Passe par la consommation en $1$ minute.

Ex. 31★★★Salade de fruits pour la fête de l'école — Chloé prépare une salade de fruits pour $18$ personnes. Sa recette pour $4$ personnes demande $320$ g de fraises et $3$ bananes (quantités proportionnelles). Fraises : barquette A, $250$ g pour $2{,}90$ € ; barquette B, $500$ g pour $5{,}40$ €.

1. aChloé écrit : « $18 = 4 + 14$, donc il faut $320 + 14 = 334$ g de fraises. » Explique son erreur, puis calcule la bonne masse en passant par $1$ personne.
2. bCombien de bananes Chloé doit-elle acheter ? Justifie ton arrondi.
3. cCalcule le prix de $1$ kg de fraises pour chaque barquette. Quelle barquette est la plus avantageuse ?
4. dChloé n'achète que des barquettes B. Combien doit-elle en acheter, et combien paie-t-elle ?

Ex. 32★★★Du tissu au mètre pour les costumes — Pour les costumes du spectacle, Zoé achète du tissu à la mercerie. Le prix est proportionnel à la longueur.

1. aComplète la case sous $1{,}5$ m sans passer par l'unité. Nomme l'outil utilisé.
2. bComplète la case sous $7{,}5$ m à partir de deux colonnes déjà remplies. Nomme l'outil utilisé.
3. cZoé ne voit pas de lien simple entre $4$ et $6$. Passe par l'unité pour compléter la dernière case.
4. dLa vendeuse coupe le tissu par tranches de $10$ cm. Avec $40$ €, quelle longueur de tissu Zoé peut-elle acheter au plus ? Justifie.
5. eOn ajoute au tableau une colonne : $12$ m pour $50$ € (prix d'un rouleau entier). Le tableau est-il encore un tableau de proportionnalité ? Justifie par un calcul.

Ex. 33★★★Automatismes : conversions et échelle — Calcule mentalement. Rappel : 1 m = 100 cm et 1 km = 100 000 cm.

1. aConvertis $7$ km en cm.
2. bConvertis $2{,}8$ km en cm.
3. cConvertis $64\,000$ cm en m.
4. dConvertis $350\,000$ cm en km.
5. eSur une carte à l'échelle 1/45 000, 1 cm représente combien de mètres dans la réalité ?
6. fSur une carte à l'échelle 1/75 000, 1 cm représente combien de kilomètres dans la réalité ?

Ex. 34★★★Automatismes : du plan à la réalité, et retour — Calcule, puis donne le résultat dans l'unité demandée.

1. aCarte à 1/20 000 : $6$ cm sur la carte. Distance réelle en m ?
2. bCarte à 1/40 000 : $2{,}5$ cm sur la carte. Distance réelle en km ?
3. cPlan de maison à 1/100 : un mur mesure $7{,}6$ cm sur le plan. Longueur réelle en m ?
4. dCarte à 1/300 000 : une route réelle de $24$ km. Longueur sur la carte en cm ?
5. ePlan à 1/500 : une allée réelle de $35$ m. Longueur sur le plan en cm ?
6. fCarte à 1/125 000 : deux villages distants de $3$ km. Distance sur la carte en cm ?

Ex. 35★★★Le tableau de l'échelle — Une carte est à l'échelle 1/60 000. Complète ce tableau de proportionnalité (distances en cm).

1. aQuel coefficient de proportionnalité permet de passer de la 1ʳᵉ ligne à la 2ᵉ ligne ?
2. bDistance réelle pour $3$ cm sur la carte.
3. cDistance sur la carte pour $420\,000$ cm dans la réalité.
4. dDistance réelle pour $0{,}5$ cm sur la carte.
5. eDistance réelle pour $8{,}5$ cm sur la carte.
6. fDistance sur la carte pour $1\,200\,000$ cm dans la réalité.

Ex. 36★★★Trouver l'échelle — Pour trouver l'échelle, écris les deux longueurs en cm, puis calcule $n$ = distance réelle ÷ distance sur le plan.

1. aSur la carte des pistes cyclables de Lina, le tour du lac, long de $4{,}8$ km, mesure $16$ cm. Trouve l'échelle de la carte.
2. bSur le plan de la maison de Sacha, la cuisine mesure $4$ cm alors qu'en vrai elle est longue de $3{,}2$ m. Trouve l'échelle du plan.
3. cTom dit : « Sur mon plan, $5$ cm représentent $350$ m, donc l'échelle est 1/70. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dVrai ou faux ? « $9$ km mesurent $6$ cm sur la carte A et $1{,}8$ cm sur la carte B, donc la carte A réduit plus la réalité. » Trouve les deux échelles et justifie.

Ex. 37★★★Les maquettes de Zoé — Zoé collectionne les maquettes : sa voiture miniature est à l'échelle 1/43 et son train électrique à l'échelle 1/87.

1. aLa vraie voiture mesure $4{,}3$ m de long. Quelle est la longueur de la maquette, en cm ?
2. bZoé affirme : « À 1/43, 1 cm de la maquette représente $43$ m. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cLa locomotive miniature mesure $23$ cm. Quelle est la longueur de la vraie locomotive, en m ?
4. dUn vrai wagon mesure $26{,}1$ m. Quelle est la longueur du wagon miniature, en cm ?

Ex. 38★★★Le plan de l'appartement de Malik — Malik dessine le plan de son futur appartement à l'échelle 1/50. Sur le plan, le salon est un rectangle de $11{,}2$ cm de long et de $8{,}4$ cm de large.

1. aSa sœur Inès affirme : « À 1/50, 1 cm représente $50$ m, donc le salon mesure $560$ m de long. » Repère son erreur, puis donne la vraie longueur du salon en m.
2. bCalcule la largeur réelle du salon, en m.
3. cMalik veut dessiner un canapé de $2{,}35$ m de long. Quelle longueur doit-il tracer sur le plan, en cm ?
4. dSur le plan, l'espace libre le long d'un mur mesure $6{,}3$ cm. Une bibliothèque de $3{,}2$ m de long peut-elle y tenir ? Justifie.

Ex. 39★★★Deux cartes pour une randonnée — Pour préparer sa randonnée, Hugo a deux cartes : une carte IGN à l'échelle 1/25 000 et une carte routière à l'échelle 1/250 000.

1. aSur chaque carte, que représente 1 cm dans la réalité, en m ? Quelle carte réduit le plus la réalité ? Justifie.
2. bSur la carte IGN, le circuit se compose de trois tronçons de $6{,}4$ cm, $3{,}8$ cm et $5{,}8$ cm. Calcule la longueur réelle du circuit, en km.
3. cQuelle longueur ce même circuit mesurerait-il sur la carte routière, en cm ?
4. dVrai ou faux ? « Sur la carte routière, les $37$ km entre chez Hugo et le village de départ mesurent moins de $15$ cm. » Justifie.

Ex. 40★★★L'échelle effacée du plan du parc — Léa a trouvé un vieux plan du parc de sa ville, mais l'échelle est effacée. Sur ce plan, l'allée principale, longue de $150$ m en réalité, mesure $7{,}5$ cm.

1. aRetrouve l'échelle du plan. Écris-la sous la forme $1/n$.
2. bSur le plan, le bassin mesure $2{,}3$ cm de long. Quelle est sa longueur réelle, en m ?
3. cLe parc mesure $840$ m de long. Léa veut le recopier à la même échelle sur une feuille de $29{,}7$ cm de long. Est-ce possible ? Justifie.
4. dLéa choisit finalement l'échelle 1/4 000. Quelle longueur doit-elle tracer pour le parc ? Tient-il sur sa feuille ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : calcul mental — Chaque situation est proportionnelle. Calcule mentalement.

1. a$5$ stylos coûtent $4$ €. Combien coûtent $10$ stylos ?
2. b$3$ kg de pommes coûtent $7{,}50$ €. Combien coûte $1$ kg ?
3. c$1$ L de jus coûte $1{,}80$ €. Combien coûtent $4$ L ?
4. d$9$ cahiers coûtent $13{,}50$ €. Combien coûtent $3$ cahiers ?
5. ePour $4$ personnes, une recette demande $300$ g de farine. Combien en faut-il pour $6$ personnes ?
6. fUn robinet verse $15$ L d'eau en $2$ minutes. Combien en verse-t-il en $8$ minutes ?

Ex. 42★★★Automatismes : proportionnel ou pas ? — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

1. aLes oranges sont vendues $2{,}40$ € le kg. Le prix payé est proportionnel à la masse achetée.
2. bUn taxi coûte $4$ € de prise en charge, puis $1{,}50$ € par km. Le prix est proportionnel à la distance.
3. cLe périmètre d'un triangle équilatéral est proportionnel à la longueur de son côté.
4. dUn lot de $3$ yaourts coûte $2$ € et un lot de $6$ yaourts coûte $3{,}50$ €. Le prix est proportionnel au nombre de yaourts.
5. e$4$ m de tissu coûtent $10$ €, $6$ m coûtent $15$ € et $10$ m coûtent $25$ €. Le prix est proportionnel à la longueur.
6. fLina gagne $17$ € pour $2$ h de baby-sitting, $25{,}50$ € pour $3$ h et $43$ € pour $5$ h. Son gain est proportionnel à la durée.

Ex. 43★★★Farine en vrac : choisis ton outil — À l'épicerie, le prix de la farine en vrac est proportionnel à la masse.

1. aCalcule le coefficient de proportionnalité. Que représente-t-il ?
2. bComplète la case sous $5$ kg avec le coefficient.
3. cComplète la case sous $7$ kg sans utiliser le coefficient. Nomme l'outil choisi.
4. dComplète la case sous $0{,}5$ kg à partir de la colonne $2$ kg. Nomme l'outil.
5. eRetrouve la masse de farine achetée pour $16$ €.

Ex. 44★★★Le miel du marché — Au marché, un apiculteur vend le même miel en trois pots : pot A de $250$ g à $3{,}40$ € ; pot B de $1$ kg à $12{,}90$ € ; pot C de $500$ g à $6{,}60$ €.

1. aCalcule le prix de $1$ kg de miel acheté en pots A.
2. bCalcule le prix de $1$ kg de miel acheté en pots C.
3. cQuel pot est le plus avantageux ? Justifie.
4. dLéa a $20$ €. Elle achète un pot B. Combien de pots A peut-elle encore acheter avec le reste ?

Ex. 45★★★Terreau livré à domicile — Un site de jardinage vend le terreau $3{,}75$ € le sac. On paie en plus $9$ € de livraison par commande. Au magasin du quartier, le même sac coûte $5$ €, sans frais de livraison.

1. aCalcule le prix d'une commande en ligne de $4$ sacs.
2. bNoé dit : « $8$ sacs, c'est le double de $4$ sacs, donc la commande coûte le double. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cBen a payé $54$ € pour sa commande en ligne. Combien de sacs a-t-il commandés ?
4. dÀ partir de combien de sacs la commande en ligne est-elle moins chère que le magasin ? Justifie.

Ex. 46★★★Crêpes pour toute la classe — Recette pour $8$ personnes : $250$ g de farine, $4$ œufs, $0{,}5$ L de lait, $40$ g de beurre. Nora prépare des crêpes pour les $28$ élèves de sa classe. Son budget est de $15$ €. Au magasin : farine $1{,}20$ € le paquet de $1$ kg ; œufs $2{,}10$ € la boîte de $6$ ; lait $1{,}15$ € la bouteille de $1$ L ; beurre $2{,}45$ € la plaquette de $250$ g.

1. aPar quel nombre faut-il multiplier les quantités de la recette ? Calcule la masse de farine nécessaire.
2. bCalcule le volume de lait nécessaire, en cL. Combien de bouteilles Nora doit-elle acheter ?
3. cCombien d'œufs faut-il ? Combien de boîtes Nora doit-elle acheter ?
4. dCalcule la masse de beurre nécessaire, puis le prix total des courses. Combien restera-t-il sur le budget de Nora ?
5. eLéo affirme : « Pour $56$ élèves, il suffit de doubler le prix des courses. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 47★★★La teinte de la chambre — Théo repeint sa chambre. Il mélange de la peinture blanche et du colorant vert. Pour garder la même teinte, la quantité de colorant doit être proportionnelle à la quantité de peinture blanche. Le vendeur lui donne ce tableau :

1. aCe tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie par un calcul.
2. bCalcule la quantité de colorant nécessaire pour $8$ L de peinture blanche. Compare avec le tableau du vendeur.
3. cThéo utilise $12{,}5$ L de peinture blanche. Quelle quantité de colorant lui faut-il, en cL puis en L ?
4. dIl reste $21$ cL de colorant à Théo. Quelle quantité de peinture blanche doit-il y mélanger ?
5. eLa peinture blanche se vend en pots de $2{,}5$ L à $18{,}90$ € ou en pots de $10$ L à $71{,}50$ €. Pour $12{,}5$ L, compare $5$ petits pots à $1$ grand pot et $1$ petit pot.

Ex. 48★★★Deux bureaux de change à Londres — En voyage à Londres, Yanis échange des euros (€) contre des livres sterling (£). Bureau A : $1$ € donne $0{,}82$ £, sans frais. Bureau B : $1$ € donne $0{,}86$ £, mais le bureau garde $4$ £ de frais à chaque échange.

1. aAu bureau B, combien de livres Yanis reçoit-il pour $50$ € ? Et pour $100$ € ?
2. bAu bureau B, le nombre de livres reçues est-il proportionnel au nombre d'euros échangés ? Justifie.
3. cAu bureau A, combien de livres reçoit-on pour $50$ € ? Et pour $150$ € ?
4. dQuel bureau est le plus avantageux pour échanger $50$ € ? Et pour échanger $150$ € ? Justifie.
5. eLe bureau A n'accepte que des billets de $10$ €. Combien d'euros Yanis doit-il donner au minimum pour recevoir au moins $60$ £ ?