Cinquième / Proportionnalité

Ex. 1★★★Automatismes : le coefficient et son unité — Les deux grandeurs sont proportionnelles. Calcule le coefficient demandé et donne son unité (coefficient de A par rapport à B $=$ A $\div$ B).

1. a$4$ kg de pommes coûtent $11$ € : quel est le coefficient du prix par rapport à la masse ?
2. b$6$ m de tissu coûtent $27$ € : quel est le coefficient du prix par rapport à la longueur ?
3. c$12$ stylos coûtent $9{,}60$ € : quel est le coefficient du prix par rapport au nombre de stylos ?
4. dAvec $12$ €, on achète $1{,}5$ kg de noix : quel est le coefficient du prix par rapport à la masse ?
5. e$8$ parts de gâteau demandent $240$ g de farine : quel est le coefficient de la masse de farine par rapport au nombre de parts ?
6. fEn $3$ h, un car parcourt $195$ km : quel est le coefficient de la distance par rapport à la durée ?

Ex. 2★★★Automatismes : passage à l'unité et linéarité — Les prix sont proportionnels aux quantités. Calcule de tête, au centime près.

1. a$8$ cahiers coûtent $13{,}60$ €. Combien coûte un cahier ?
2. b$5$ croissants coûtent $4{,}50$ €. Combien coûtent $8$ croissants ?
3. c$2$ places de cinéma coûtent $17$ €. Combien coûtent $6$ places ?
4. d$300$ g de fromage coûtent $4{,}80$ €. Combien coûte $1{,}2$ kg de ce fromage ?
5. eUn œuf coûte $0{,}35$ €. Combien d'œufs peux-tu acheter avec $4{,}20$ € ?
6. f$6$ m de corde coûtent $8{,}10$ €. Combien coûtent $10$ m de cette corde ?

Ex. 3★★★Le tableau des cerises — Au marché, le prix des cerises est proportionnel à la masse achetée.

1. aInès écrit : « coefficient $= 2{,}5 \div 16$ ». A-t-elle raison ? Justifie et donne le bon coefficient avec son unité.
2. bComplète les prix de $0{,}5$ kg et de $4$ kg.
3. cRetrouve la masse de cerises achetée pour $9{,}60$ €.
4. dCombien coûtent $8$ kg de cerises ? Utilise la linéarité.

Ex. 4★★★Les crêpes de Noé — Pour 4 personnes, la recette des crêpes demande $200$ g de farine, $4$ œufs et $50$ cl de lait. Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes.

1. aPour 6 personnes, Noé dit : « J'ajoute 2 à chaque nombre : $202$ g de farine, $6$ œufs et $52$ cl de lait. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule les quantités pour 6 personnes en passant par 2 personnes.
3. cCalcule les quantités pour 12 personnes. Donne le lait en litres.
4. dIl reste $500$ g de farine, et assez des autres ingrédients. Pour combien de personnes au plus Noé peut-il cuisiner ?

Ex. 5★★★Les olives en vrac de Malik — Malik relève les prix des olives vendues en vrac dans l'épicerie de son quartier.

1. aMalik dit : « $0{,}8$ kg, c'est $2$ fois $0{,}4$ kg, et $10{,}40$ €, c'est $2$ fois $5{,}20$ €, donc c'est un tableau de proportionnalité. » A-t-il raison ? Justifie en calculant les quotients.
2. bCombien coûteraient $2{,}5$ kg d'olives au même tarif que $0{,}4$ kg ? Compare avec le prix relevé.
3. cSans calculer le prix d'un kilogramme, trouve le prix de $1{,}2$ kg d'olives au même tarif que $0{,}4$ kg. Nomme ta méthode.
4. dAu même tarif que $0{,}4$ kg, quelle masse d'olives Malik obtient-il pour $9{,}10$ € ?

Ex. 6★★★Deux offres de location de vélos — À Annecy, un loueur de vélos propose deux offres. Offre A : $6{,}50$ € par heure. Offre B : un forfait de $12$ €, puis $3{,}50$ € par heure. Une location dure un nombre entier d'heures.

1. aCalcule le prix de chaque offre pour une location de $2$ h, puis de $4$ h.
2. bPour chaque offre, le prix est-il proportionnel à la durée de location ? Justifie et donne le coefficient avec son unité quand il existe.
3. cZoé loue un vélo $6$ h avec l'offre B. Elle dit : « $6$ h, c'est $3$ fois $2$ h, donc je paie $3 \times 19 = 57$ €. » A-t-elle raison ? Justifie, puis dis quelle offre est la moins chère pour $6$ h.
4. dYanis a payé $40$ € avec l'offre B. Combien d'heures a-t-il loué son vélo ? Aurait-il payé moins avec l'offre A ?

Ex. 7★★★Le goûter du club de handball — Léna prépare le goûter des $15$ joueuses de son club de handball. Les prix sont proportionnels aux quantités : $6$ briquettes de jus coûtent $4{,}20$ €, $8$ gourdes de compote coûtent $6{,}80$ € et $0{,}6$ kg de madeleines coûtent $5{,}40$ €. Elle veut $1$ briquette et $1$ gourde par joueuse, et $1{,}2$ kg de madeleines.

1. aThomas dit : « $15 = 6 + 9$, donc $15$ briquettes coûtent $4{,}20 + 9 = 13{,}20$ €. » Explique son erreur, puis calcule le bon prix par passage à l'unité.
2. bCalcule le prix des $15$ gourdes de compote.
3. cCalcule le prix de $1{,}2$ kg de madeleines par linéarité. Léna dispose de $30$ € : son budget suffit-il pour tout acheter ? Justifie.
4. dLéna garde les jus et les compotes et veut dépenser exactement $30$ € au total. Calcule le coefficient de proportionnalité du prix des madeleines, avec son unité, puis la masse de madeleines qu'elle peut acheter.

Ex. 8★★★Automatismes : comparer deux quotients — On donne deux colonnes d'un tableau, sous la forme (1re ligne ; 2e ligne). Calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » de chaque colonne et dis s'ils sont égaux.

Ex. 9★★★Automatismes : proportionnel ou pas ? — Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ? Justifie en une phrase : donne le coefficient avec son unité, ou un contre-exemple.

1. aLe périmètre d'un carré et la longueur de son côté.
2. bLe temps de cuisson d'œufs durs et le nombre d'œufs cuits ensemble dans la même casserole.
3. cLa taille d'un enfant et son âge.
4. dLe prix payé et le nombre de cahiers achetés, à $1{,}80$ € le cahier.
5. eLe prix payé et le nombre de pots de miel, avec l'offre « 3 pots pour le prix de 2 » sur des pots à $4{,}50$ € l'un.
6. fÀ la piscine de Malik, le prix payé dans l'année et le nombre d'entrées : carte annuelle à 12 €, plus 4 € par entrée.

Ex. 10★★★Trois tableaux à contrôler — Pour chaque tableau, calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans toutes les colonnes.

1. aChez un primeur :

   Masse de cerises (kg)	2,5	1	4	0,5
   Prix (€)	15	6	24	3

   Est-ce un tableau de proportionnalité ? Si oui, donne le coefficient avec son unité.
2. bÀ la papeterie :

   Nombre de stylos	3	5	8
   Prix (€)	3,60	6	9,60	14,40

   Les trois premières colonnes ont-elles le même quotient ? Justifie, puis retrouve le nombre de stylos achetés pour 14,40 €.
3. cInès a converti des durées :

   Durée (h)	1,5	0,25	2	1,2
   Durée (min)	90	25	120	72

   Le résultat est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie, puis corrige la case fausse s'il y en a une.

Ex. 11★★★La pâte à crêpes de Jade — Jade note la quantité de farine selon le nombre de crêpes :

1. aJade calcule $100 \div 8 = 12{,}5$ et conclut : « C'est un tableau de proportionnalité. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bCorrige une seule case pour obtenir un tableau de proportionnalité. Nomme la méthode utilisée.
3. cLéo dit : « Pour 0 crêpe, il faut 0 g de farine, donc c'est forcément proportionnel. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Deux formules au club d'escalade — Malo veut s'inscrire au club d'escalade de Grenoble. Formule A : $6{,}50$ € par séance. Formule B : un abonnement de $24$ € pour l'année, puis $3{,}50$ € par séance.

1. aCalcule le prix de $4$ séances, puis de $8$ séances, avec chaque formule.
2. bAvec la formule A, le prix est-il proportionnel au nombre de séances ? Justifie et donne le coefficient avec son unité.
3. cMalo affirme : « Avec la formule B aussi, $8$ séances coûtent le double de $4$ séances. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dMalo prévoit $12$ séances dans l'année. Quelle formule lui conseilles-tu ? Justifie par un calcul.

Ex. 13★★★Le périmètre et l'aire des carrés de Lina — Lina dessine des carrés de différentes tailles. Pour chaque carré, elle note la longueur du côté, puis calcule le périmètre et l'aire.

1. aComplète le tableau des périmètres :

   Côté (cm)	3	1,5	4,5	2
   Périmètre (cm)

2. bComplète le tableau des aires :

   Côté (cm)	3	1,5	4,5	2
   Aire (cm²)

3. cLe périmètre est-il proportionnel à la longueur du côté ? Justifie en calculant les quotients.
4. dL'aire est-elle proportionnelle à la longueur du côté ? Justifie.
5. eLina affirme : « Si je double le côté d'un carré, je double aussi son aire. » Vrai ou faux ? Justifie avec deux carrés du tableau.

Ex. 14★★★Le week-end de Sacha — Sacha note plusieurs situations de son week-end. Samedi, il fait une randonnée à allure régulière dans le Vercors :

1. aSon amie Nora calcule $2{,}4 \div 30 = 0{,}08$ et $9{,}6 \div 2 = 4{,}8$, puis conclut : « Ce n'est pas proportionnel. » Explique son erreur.
2. bConvertis les durées en heures décimales. La distance est-elle proportionnelle à la durée ? Justifie et donne le coefficient avec son unité.
3. cAu marché :

   Masse de pommes (kg)	2	5	3,5
   Prix (€)	3,70	9	6,30

   Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.
4. dDimanche, au cinéma, une place coûte $9$ € et la carte de $5$ places coûte $38$ €. Le prix payé est-il proportionnel au nombre de places ? Justifie.
5. eÀ $10$ ans, Sacha mesure $1{,}40$ m. Sa sœur affirme : « À $20$ ans, tu mesureras $2{,}80$ m. » Explique pourquoi son raisonnement est faux.

Ex. 15★★★Automatismes : valeurs manquantes de tête — Dans chaque situation, les grandeurs sont proportionnelles. Calcule de tête.

1. a$2$ kg de riz coûtent $3{,}40$ €. Combien coûtent $6$ kg de riz ?
2. bPour $10$ personnes, il faut $850$ g de farine. Quelle masse de farine faut-il pour $5$ personnes ?
3. cDans un tableau, on passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant par $0{,}6$. Quel nombre de la 2e ligne correspond à $45$ ?
4. dDans un tableau, le coefficient (de la 1re ligne à la 2e) est $6$. Quel nombre de la 1re ligne correspond à $78$ ?
5. e$3$ cahiers coûtent $5{,}40$ € et $7$ cahiers coûtent $12{,}60$ €. Combien coûtent $10$ cahiers ?
6. fUn ruban de $1{,}5$ m pèse $24$ g. Combien pèse un ruban de $4{,}5$ m ?

Ex. 16★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a$6$ baguettes coûtent $5{,}40$ €.
   Donc $8$ baguettes coûtent $5{,}40 + 2 = 7{,}40$ €.
2. b$3$ m de tissu coûtent $21$ € et $5$ m coûtent $35$ €. Léa dit : « $15$ m coûtent $21 \times 35 = 735$ € ».
3. cCe tableau de proportionnalité, complété par Noé, est juste :

   Masse (kg)	2	5	8
   Prix (€)	3	7,5	13

4. dDans un tableau de coefficient $2{,}5$, le nombre $20$ de la 2e ligne correspond à $50$ dans la 1re ligne.

Ex. 17★★★Les clémentines du marché — Au marché, le prix des clémentines est proportionnel à leur masse.

1. aCalcule le prix de $8$ kg de clémentines. Nomme la méthode.
2. bCalcule le prix de $10$ kg en utilisant deux colonnes du tableau.
3. cQuelle masse de clémentines achète-t-on avec $4{,}20$ € ? Complète la dernière case de la 1re ligne.

Ex. 18★★★La pâte à crêpes de Ben — Pour sa pâte à crêpes, Ben utilise une quantité de lait proportionnelle au nombre de personnes. Chaque case se calcule à partir de la précédente.

1. aComplète la colonne « $3$ personnes ». Nomme la méthode.
2. bDéduis-en la quantité de lait pour $1$ personne. Nomme la méthode.
3. cPour combien de personnes faut-il $1\,250$ mL de lait ?
4. dBen n'a qu'une bouteille de $1$ L de lait. Combien de lait lui manque-t-il pour $12$ personnes ?

Ex. 19★★★La confiture de Zoé — Pour sa confiture, Zoé utilise une masse de sucre proportionnelle à la masse de fruits.

1. aCalcule le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la 1re ligne à la 2e. Donne son unité.
2. bCalcule la masse de sucre pour $6$ kg de fruits.
3. cLéna dit : « Pour trouver la masse de fruits qui va avec $3{,}6$ kg de sucre, je multiplie $3{,}6$ par le coefficient. » A-t-elle raison ? Justifie, puis complète la case.
4. dCalcule la masse de sucre pour $8{,}5$ kg de fruits avec la linéarité additive, sans utiliser le coefficient.
5. eVérifie avec le coefficient les deux cases que tu as trouvées aux questions 3 et 4.

Ex. 20★★★Les rideaux d'Inès — Inès achète du tissu pour coudre des rideaux. Le prix est proportionnel à la longueur achetée : $2$ m de tissu coûtent $9{,}60$ €. Elle complète ce tableau.

1. aPour $5$ m, Inès hésite : passer par l'unité, ou multiplier le prix de $2$ m par un nombre ? Choisis la méthode la plus rapide et calcule le prix de $5$ m.
2. bCalcule le prix d'un mètre de tissu, puis celui de $1{,}5$ m. Nomme la méthode.
3. cMalik dit : « $6{,}5 = 5 + 1{,}5$, donc je multiplie le prix de $5$ m par le prix de $1{,}5$ m. » Corrige son erreur et calcule le prix de $6{,}5$ m.
4. dAvec $18$ €, quelle longueur de tissu Inès peut-elle acheter ? Nomme la méthode.

Ex. 21★★★Les tickets de bus de Paul — Dans la ville de Paul, le prix des tickets de bus à l'unité est proportionnel au nombre de tickets. Paul a complété ce tableau à partir de la 1re colonne, qui est juste.

1. aCalcule le coefficient de proportionnalité à partir de la 1re colonne. Donne son unité.
2. bVérifie les trois autres colonnes avec le coefficient. Quelles cases sont fausses ?
3. cPour la colonne « $14$ », Paul explique : « $14 = 10 + 4$, donc j'ai ajouté $4$ au prix. » Explique son erreur, puis corrige la case sans utiliser le coefficient.
4. dRetrouve le bon prix de $35$ tickets par la linéarité additive, sans le coefficient.
5. ePaul dispose de $48$ €. Combien de tickets peut-il acheter ? Utilise la méthode la plus rapide.

Ex. 22★★★Automatismes : du plan à la réalité — Calcule la distance réelle et donne-la dans l'unité demandée.

1. aSur un plan de quartier à l'échelle $\frac{1}{2\,000}$, $7$ cm représentent combien de mètres ?
2. bSur une carte à l'échelle $\frac{1}{100\,000}$, $3{,}5$ cm représentent combien de kilomètres ?
3. cSur un plan à l'échelle $\frac{1}{200}$, $3{,}8$ cm représentent combien de mètres ?
4. dSur une carte à l'échelle $\frac{1}{50\,000}$, $1$ cm représente combien de mètres ?
5. eSur un plan de maison à l'échelle $\frac{1}{100}$, une pièce mesure $6{,}2$ cm de long. Quelle est sa longueur réelle, en mètres ?
6. fDeux villages sont à $12$ cm l'un de l'autre sur une carte routière au $1 : 250\,000$. Quelle est leur distance réelle, en kilomètres ?

Ex. 23★★★Automatismes : de la réalité au plan — Calcule la longueur sur le plan ou sur la carte, en cm. Pense à convertir la distance réelle en cm d'abord.

1. aUn mur de $4{,}3$ m sur un plan à l'échelle $\frac{1}{100}$.
2. bUn chemin de $1{,}3$ km sur une carte à l'échelle $\frac{1}{20\,000}$.
3. cUne piscine de $25$ m de long sur un plan à l'échelle $\frac{1}{250}$.
4. dUne distance de $85$ km entre deux villes sur une carte à l'échelle $\frac{1}{1\,000\,000}$.
5. eUn lit de $1{,}5$ m de large sur un plan de chambre à l'échelle $\frac{1}{50}$.

Ex. 24★★★Retrouver et comparer des échelles

1. aSur le plan du jardin de Sacha, $6$ cm représentent $12$ m. Quelle est l'échelle du plan ?
2. bSur une carte de randonnée des Vosges, $8$ cm représentent $2$ km. Quelle est l'échelle de la carte ?
3. cLina a deux cartes de la même région : l'une à $\frac{1}{80\,000}$, l'autre à $\frac{1}{200\,000}$. Laquelle a la plus grande échelle ? Calcule la longueur d'une route de $16$ km sur chaque carte.
4. dSur un plan de quartier, $4$ cm représentent $200$ m. Ilyès écrit : « $200 \div 4 = 50$, l'échelle est $\frac{1}{50}$. » Est-ce juste ? Justifie et corrige.

Ex. 25★★★Le plan de la maison de Malik — Le plan de la maison de Malik est à l'échelle $\frac{1}{60}$. Sur ce plan, le salon est un rectangle de $9$ cm sur $7$ cm.

1. aPour la longueur réelle du salon, Inès écrit : « $9 \times 60 = 540$, le salon mesure $540$ m. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
2. bCalcule la largeur réelle du salon, en mètres.
3. cLa cuisine mesure $3{,}3$ m de long en réalité. Quelle est sa longueur sur le plan, en cm ?
4. dPour dessiner le couloir de $3{,}6$ m, Théo calcule $3{,}6 \div 60 = 0{,}06$ cm. A-t-il raison ? Justifie et corrige.

Ex. 26★★★Deux cartes pour une randonnée — Léa prépare une randonnée en montagne et compare deux cartes de la même région. Sur la carte A, à l'échelle $\frac{1}{40\,000}$, le sentier qui va du parking au lac mesure $12$ cm. Sur la carte B, ce même sentier mesure $32$ cm.

1. aCalcule la longueur réelle du sentier, en km.
2. bRetrouve l'échelle de la carte B. Explique ta démarche.
3. cHugo affirme : « La carte A est à la plus grande échelle, puisque son dénominateur est le plus grand. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dUn refuge se trouve sur le sentier, à $2{,}1$ km du parking. À quelle distance du parking est-il dessiné sur la carte B ?
5. eLéa marche à la vitesse moyenne de $4$ km/h. Combien de temps met-elle pour aller du parking au lac ? Donne la réponse en h et min.

Ex. 27★★★La coccinelle agrandie — Sur une affiche de SVT, une coccinelle est dessinée à l'échelle $5 : 1$. Sur l'affiche, elle mesure $4{,}5$ cm de long.

1. aTom écrit : « $4{,}5 \times 5 = 22{,}5$, la vraie coccinelle mesure $22{,}5$ cm. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne la longueur réelle en mm.
2. bEn réalité, une antenne de la coccinelle mesure $2$ mm. Quelle est sa longueur sur l'affiche, en cm ?
3. cSur le cahier de Nadia, la même coccinelle est dessinée avec une longueur de $2{,}7$ cm. Retrouve l'échelle de ce dessin.
4. dUne fourmi de $7$ mm doit être dessinée dans une case de $3$ cm de l'affiche. À l'échelle $5 : 1$, tient-elle dans la case ? Et à l'échelle $4 : 1$ ? Justifie.

Ex. 28★★★Le plan du garage de Yanis — Yanis veut dessiner le plan de son garage. Le garage est un rectangle de $6$ m sur $4{,}5$ m. Sur sa feuille, le cadre réservé au plan mesure $15$ cm sur $10$ cm.

1. aCalcule les dimensions du garage sur un plan à l'échelle $\frac{1}{75}$. Ce plan tient-il dans le cadre ? Justifie.
2. bSa sœur Maëlys propose l'échelle $\frac{1}{20}$ et écrit : « $600 \times 20 = 12\,000$, la longueur mesure $12\,000$ cm sur le plan. » Corrige son erreur, puis dis si ce plan tient dans le cadre.
3. cYanis veut que la longueur de $6$ m mesure exactement $15$ cm sur le plan. Quelle échelle doit-il choisir ? La largeur tient-elle alors dans le cadre ? Justifie.
4. dSur le plan à l'échelle $\frac{1}{75}$, l'établi est un rectangle de $2{,}4$ cm sur $0{,}8$ cm. Quelles sont ses dimensions réelles, en m ?

Ex. 29★★★Automatismes : écrire une durée en heures — Écris chaque durée en heures, avec un nombre décimal. Si ce n'est pas possible, utilise une fraction.

Ex. 30★★★Automatismes : vitesse, distance, durée — Calcule en ligne.

1. aUne voiture roule 3 h à 85 km/h de moyenne. Quelle distance parcourt-elle ?
2. bUne moto parcourt 150 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
3. cUn camion roule à 80 km/h de moyenne. Combien de temps met-il pour faire 260 km ? Donne la réponse en h et min.
4. dUn car parcourt 25 km en 20 min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
5. eUn randonneur marche 1 h 15 min à 4 km/h de moyenne. Quelle distance parcourt-il ?
6. fUn nageur avance à 50 m/min. Combien de minutes lui faut-il pour nager 350 m ?

Ex. 31★★★La balade d'Inès le long de la Loire — Inès roule à vélo sur une voie verte, à vitesse constante. La distance qu'elle parcourt est proportionnelle à la durée du trajet.

1. aComplète le tableau. Nomme la méthode utilisée.
2. bCalcule la vitesse d'Inès en km/h.
3. cCombien de temps faut-il à Inès pour parcourir 33 km ? Donne la réponse en h et min.
4. dQuelle distance Inès parcourt-elle en 2 h 15 min ?

Ex. 32★★★Aller-retour chez la grand-mère — Malik va en voiture chez sa grand-mère, qui habite à 120 km de chez lui. À l'aller, il roule à 80 km/h de moyenne à cause des bouchons. Au retour, il roule à 120 km/h de moyenne.

1. aCalcule la durée de l'aller, puis celle du retour.
2. bMalik dit : « Sur l'aller-retour, ma vitesse moyenne est $(80 + 120) \div 2 = 100$ km/h. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cSa sœur Lina fait le même aller-retour en 2 h 24 min. Calcule sa vitesse moyenne.
4. dQui, de Malik ou de Lina, a la plus grande vitesse moyenne sur l'aller-retour ? Justifie.

Ex. 33★★★Le trajet de Bordeaux à Toulouse — La famille de Yanis part en voiture de Bordeaux à Toulouse, à environ $252$ km. Le trajet dure $3$ h $30$ min, avec une pause de $30$ min sur une aire d'autoroute.

1. aYanis écrit : « $3$ h $30$ min $= 3{,}30$ h, donc la vitesse moyenne est $252 \div 3{,}30$. » Explique son erreur, puis calcule la vitesse moyenne du trajet.
2. bSa sœur affirme : « La voiture a roulé à la même vitesse pendant tout le trajet. » Vrai ou faux ? Justifie, puis calcule la vitesse moyenne pendant le temps où la voiture roule.
3. cAu retour, sans pause, la famille roule à $90$ km/h de moyenne. Calcule la durée du retour en heures, puis en heures et minutes.
4. dLes grands-parents de Yanis font le même trajet en $3$ h $45$ min. Leur vitesse moyenne est-elle plus grande que celle de la famille à l'aller ? Justifie.

Ex. 34★★★Romane et le col du Grand Ballon — Romane monte à vélo le col du Grand Ballon, dans les Vosges, puis redescend par la même route. La montée dure $1$ h $20$ min, à $9$ km/h de moyenne. Dans la descente, elle roule à $36$ km/h de moyenne.

1. aCalcule la longueur de la montée, en km.
2. bCalcule la durée de la descente en minutes. Romane écrit cette durée « $0{,}2$ h » : a-t-elle raison ? Justifie.
3. cRomane affirme : « Sur toute la sortie, ma vitesse moyenne est $(9 + 36) \div 2 = 22{,}5$ km/h. » Calcule la vitesse moyenne de la sortie. A-t-elle raison ?
4. dExplique pourquoi la vitesse moyenne de la sortie est beaucoup plus proche de $9$ km/h que de $36$ km/h.

Ex. 35★★★À pied ou en trottinette jusqu'au collège — À Rennes, Hugo habite à $2{,}4$ km de son collège. Il marche à $4{,}8$ km/h de moyenne. Son amie Zoé habite à $3$ km du collège et met $40$ min pour y aller à pied.

1. aExprime la vitesse moyenne de Hugo en m/min.
2. bHugo part de chez lui à $7$ h $50$ et son cours commence à $8$ h $15$. Arrive-t-il à l'heure ? Justifie.
3. cZoé affirme : « Je marche plus vite que Hugo. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dEn trottinette, Hugo roule à $12$ km/h de moyenne. Il écrit : « $12$ km/h, c'est $12\,000$ m en $1$ h, donc $12\,000 \div 100 = 120$ m/min. » Corrige son erreur, puis calcule la durée de son trajet en trottinette.

Ex. 36★★★Lire le graphique d'un stand de gaufres — Ce graphique représente le prix payé à un stand de gaufres. En abscisse, on lit le nombre de gaufres achetées ; en ordonnée, le prix payé en €.

1. aLis sur le graphique le prix payé pour $3$ gaufres.
2. bQuel est le prix d'une seule gaufre ? Explique comment tu le lis sur le graphique.
3. cCombien de gaufres peut-on acheter avec $12$ € ?
4. dLe prix payé est-il proportionnel au nombre de gaufres ? Justifie.
5. eInès écrit le point $(6\,;\,2)$ pour dire « $2$ gaufres coûtent $6$ € ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 37★★★Proportionnalité ou pas ? — Pour chaque graphique, dis s'il traduit une situation de proportionnalité. Justifie. Si oui, donne le coefficient de proportionnalité.

1. aGraphique 1 :
   
2. bGraphique 2 :
   
3. cGraphique 3 :
   
4. dGraphique 4 :
   

Ex. 38★★★Construire le graphique des entrées à la piscine — Voici les tarifs d'une piscine municipale.

1. aPlace les points du tableau dans un repère : en abscisse, le nombre d'entrées ; en ordonnée, le prix en €
   (un carreau pour $1$ €).
2. bLe prix est-il proportionnel au nombre d'entrées ? Justifie avec ton graphique.
3. cLis le coefficient de proportionnalité sur ton graphique, puis vérifie-le par un calcul.
4. dFaut-il relier les points ? Justifie.
5. eLa piscine vend aussi une carte de $10$ entrées à $30$ €. Le point $(10\,;\,30)$ est-il aligné avec l'origine et les autres points ? Justifie.

Ex. 39★★★Deux offres de location de vélo — Un loueur de vélos propose deux offres. En abscisse, on lit la durée de location en heures ; en ordonnée, le prix en €.
Offre « Liberté » :

Offre « Forfait » :

1. aPour chaque offre, lis le prix d'une location de $2$ heures.
2. bLéo dit : « Les deux graphiques montent, donc les deux prix sont proportionnels à la durée. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cPour chaque offre qui est une situation de proportionnalité, donne le coefficient de proportionnalité avec son unité.
4. dPour une location de $4$ heures, quelle offre est la plus chère ? Justifie avec tes lectures.

Ex. 40★★★Le graphique d'un randonneur — Hugo randonne dans les Vosges. Le graphique donne la distance qu'il a parcourue. En abscisse, on lit la durée de marche en heures ; en ordonnée, la distance parcourue en km.

1. aLa distance parcourue est-elle proportionnelle à la durée de marche ? Justifie à l'aide du graphique.
2. bLis sur le graphique la vitesse moyenne d'Hugo. Explique comment tu la lis et donne son unité.
3. cLis sur le graphique la distance parcourue en $3$ h. Déduis-en, par linéarité, la distance parcourue en $6$ h.
4. dEwan écrit : « En $1$ h $30$ min, Hugo parcourt $1{,}30 \times 4{,}5 = 5{,}85$ km. » A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
5. eÀ la même vitesse, combien de temps faut-il à Hugo pour parcourir $22{,}5$ km ?

Ex. 41★★★Cerises : quel verger est le plus cher ? — Deux vergers vendent des cerises au poids. Sur chaque graphique, en abscisse, on lit la masse en kg ; en ordonnée, le prix en €.
Verger Dumas :
Verger Roux :

1. aAu verger Dumas, le prix est-il proportionnel à la masse ? Justifie, puis donne le coefficient de proportionnalité avec son unité.
2. bAu verger Roux, lis le prix de $3$ kg de cerises, puis celui de $5$ kg.
3. cLe graphique du verger Roux ne contient ni le point d'abscisse $0$ ni le point d'abscisse $1$. Montre par un calcul que le prix est quand même proportionnel à la masse, puis trouve le prix de $1$ kg.
4. dQuel verger vend les cerises le plus cher ? Pour $6$ kg, combien économise-t-on en choisissant l'autre verger ?

Ex. 42★★★Un chiot et une pension : ça monte, et alors ? — Léna note la masse de son chiot chaque mois :

1. aPlace les points du tableau dans un repère : en abscisse, l'âge en mois ; en ordonnée, la masse en kg
   (axe gradué de $1$ en $1$).
2. bNoé dit : « Les points montent, donc la masse du chiot est proportionnelle à son âge. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLe prix de la pension est-il proportionnel au nombre de jours ? Justifie à l'aide du graphique.
4. dLis sur le graphique de combien le prix augmente à chaque jour de garde en plus.
5. eLola dit : « $1$ jour coûte $15$ €, donc $4$ jours coûtent $4 \times 15 = 60$ €. » Trouve son erreur et donne le vrai prix de $4$ jours.

Ex. 43★★★Automatismes : petits problèmes express — Calcule mentalement ou en ligne. Donne chaque résultat avec son unité.

1. a$5$ cahiers identiques coûtent $7{,}50$ €. Quel est le prix d'un cahier ?
2. bUn car roule à $80$ km/h de moyenne pendant $1$ h $30$ min. Quelle distance parcourt-il ?
3. c$3$ kg de pommes coûtent $4$ €. Quel est le prix d'un kilogramme, arrondi au centime ?
4. dUne recette de cake pour $6$ personnes demande $240$ g de sucre. Quelle masse de sucre faut-il pour $9$ personnes ?
5. eSur un plan à l'échelle 1 : 200, un mur mesure $3$ cm. Quelle est sa longueur réelle, en mètres ?
6. fUn randonneur marche à $4$ km/h de moyenne. Quelle distance parcourt-il en $45$ min ?

Ex. 44★★★Automatismes : choisir et nommer la méthode — Chaque situation est proportionnelle. Nomme la méthode la plus rapide (coefficient, linéarité multiplicative, linéarité additive, passage à l'unité), puis calcule.

1. a$6$ bouteilles d'eau coûtent $3{,}60$ €. Combien coûtent $18$ bouteilles ?
2. b$2$ kg de cerises coûtent $9$ € et $5$ kg coûtent $22{,}50$ €. Combien coûtent $7$ kg ?
3. c$8$ m de tissu coûtent $36$ €. Combien coûtent $3$ m de ce tissu ?
4. dUn cycliste roule à $18$ km/h de moyenne. Combien de temps met-il pour parcourir $45$ km ?

Ex. 45★★★Quels yaourts acheter ? — Inès compare deux offres pour les mêmes yaourts : le pack A de $6$ yaourts à $3{,}90$ € et le pack B de $4$ yaourts à $2{,}70$ €. À l'épicerie du quartier, le yaourt coûte $0{,}70$ € l'unité, mais le $10^\text{e}$ est offert : pour $10$ yaourts, on n'en paie que $9$.

1. aCalcule le prix d'un yaourt dans le pack A, puis dans le pack B
   (arrondi au centime si besoin).
2. bQuel pack est le plus avantageux ? Justifie.
3. cAvec des packs A, Inès a payé $19{,}50$ €. Combien de yaourts a-t-elle achetés ?
4. dÀ l'épicerie, le prix payé est-il proportionnel au nombre de yaourts achetés ? Justifie avec $9$ et $10$ yaourts.

Ex. 46★★★De la carte au vélo — Sur une carte à l'échelle 1 : 250 000, la route qui relie les villages de Saint-Aubin et de Lavernay mesure $12$ cm. Léna fait l'aller à vélo, à $20$ km/h de moyenne. Elle revient par la même route en $1$ h $12$ min.

1. aCalcule la distance réelle entre les deux villages, en kilomètres.
2. bCombien de temps dure l'aller ? Donne la réponse en heures et minutes.
3. cNoé écrit : « $1$ h $12$ min $= 1{,}12$ h ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule la vitesse moyenne de Léna au retour.

Ex. 47★★★Des crêpes pour toute la classe — Pour la fête de fin d'année, Malo prépare des crêpes. Sa recette pour $4$ personnes : $250$ g de farine, $4$ œufs, $60$ cl de lait et $40$ g de beurre. Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes.

1. aPour $6$ personnes, Malo ajoute $2$ à chaque quantité : $252$ g de farine, $6$ œufs, $62$ cl de lait, $42$ g de beurre. A-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule les quantités pour $2$ personnes, puis pour $6$ personnes. Nomme la méthode utilisée.
3. cLa classe compte $30$ personnes. Calcule la masse de farine en kg et le volume de lait en L. Choisis la méthode la plus rapide.
4. dLes œufs sont vendus par boîte de $6$ à $2{,}35$ €. Calcule le nombre d'œufs pour $30$ personnes, puis leur prix exact.
5. eGabin arrondit d'abord le prix d'un œuf au centime, puis le multiplie par le nombre d'œufs. Quel prix trouve-t-il ? Explique son erreur.

Ex. 48★★★Jus de pomme pour la kermesse — À la ferme de Saint-Géniez, Yanis achète des bouteilles de jus de pomme. Offre A : lot de $6$ bouteilles à $13{,}50$ €. Offre B : lot de $4$ bouteilles à $9{,}20$ € (pour A et B, on n'achète que des lots entiers). Offre C, à la bouteille : $2{,}60$ € chacune pour les $5$ premières, puis $1{,}90$ € chacune des suivantes.

1. aCalcule le prix d'une bouteille avec l'offre A, puis avec l'offre B. Laquelle de ces deux offres est la plus avantageuse ?
2. bPour l'offre C, complète le tableau :

   Nombre de bouteilles	2	10	5
   Prix (€)

   Le prix est-il proportionnel au nombre de bouteilles ? Justifie.
3. cYanis a besoin de $12$ bouteilles. Calcule le prix payé avec chacune des trois offres. Quelle offre doit-il choisir ?
4. dSon amie Lou affirme : « Avec l'offre C, $24$ bouteilles coûtent le double du prix de $12$ bouteilles. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 49★★★Randonnée jusqu'au lac des Sapins — Clémence et Hugo partent ensemble à $9$ h $20$ vers le lac des Sapins par le même sentier. Sur leur carte, $4$ cm représentent $1$ km en réalité. Le graphique donne la distance parcourue par Hugo : en abscisse, la durée en heures ; en ordonnée, la distance en km.

1. aRetrouve l'échelle de la carte et écris-la sous la forme « 1 : … ».
2. bSur la carte, le sentier jusqu'au lac mesure $36$ cm. Calcule sa longueur réelle en km. Nomme la méthode la plus rapide.
3. cClémence marche à la vitesse moyenne de $5$ km/h. Calcule la durée de son trajet en heures, convertis-la en heures et minutes, puis donne son heure d'arrivée.
4. dLa distance parcourue par Hugo est-elle proportionnelle à la durée ? Justifie à l'aide du graphique, puis lis sa vitesse moyenne.
5. eÀ quelle heure Hugo arrive-t-il au lac ? Combien de temps après Clémence ?