Quatrième / Proportionnalité

Ex. 1★★★Automatismes : coefficient, unité et linéarité — Dans chaque situation, les grandeurs sont proportionnelles. Réponds en donnant l'unité.

1. a$6$ L de jus de pomme coûtent $13{,}80$ €. Calcule le coefficient de proportionnalité avec son unité.
2. bUn engrais pour gazon s'utilise à raison de $0{,}15$ kg par m². Quelle masse d'engrais faut-il pour $40$ m² ?
3. cUn rouleau de papier peint couvre $5{,}4$ m². Combien de rouleaux faut-il pour couvrir $37{,}8$ m² ?
4. dLa location d'un vélo coûte $19{,}50$ € pour $6$ h. Calcule le coefficient et dis ce qu'il représente.
5. eUne imprimante de bureau imprime $11$ pages en $8$ secondes. Combien de secondes lui faut-il pour imprimer $44$ pages ?

Ex. 2★★★Automatismes : proportionnel ou pas ? — Pour chaque situation, dis si c'est une situation de proportionnalité. Justifie par un calcul ou un contre-exemple.

1. aChloé mesure $1{,}15$ m à $6$ ans. Son frère affirme : « À $12$ ans, elle mesurera $2{,}30$ m. » La taille est-elle proportionnelle à l'âge ?
2. bUn abonnement de cinéma illimité coûte $17{,}90$ € par mois. Le prix payé dans le mois est-il proportionnel au nombre de films vus ?
3. cÀ la mercerie, $2{,}5$ m de ruban coûtent $3{,}50$ € et $4$ m coûtent $5{,}60$ €. Pour ces deux achats, le prix est-il proportionnel à la longueur ?
4. dAu bowling, on paie $2{,}50$ € pour louer les chaussures, puis $6$ € par partie. Le prix est-il proportionnel au nombre de parties ?
5. eÀ la boulangerie, la baguette coûte $1{,}20$ €. Le prix payé est-il proportionnel au nombre de baguettes ?

Ex. 3★★★Tester deux tableaux — Tableau A : le prix d'un fromage chez un crémier de Dijon. Tableau B : les tarifs d'une location de kayaks à Annecy.

1. aCalcule les quotients du tableau A. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.
2. bDonne le coefficient du tableau A avec son unité et dis ce qu'il représente.
3. cCalcule les quotients du tableau B. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.
4. dDans le tableau B, par quel prix faudrait-il remplacer $54$ € pour obtenir un tableau de proportionnalité ?

Ex. 4★★★La farine des cookies — Pour une vente de gâteaux à Lille, Yanis prépare des cookies. La masse de farine est proportionnelle au nombre de cookies.

1. aComplète la case de $32$ cookies en additionnant deux colonnes.
2. bComplète la case de $60$ cookies en multipliant une colonne par un nombre.
3. cCalcule la masse de farine pour $1$ cookie. Donne le coefficient avec son unité.
4. dInès dit : « $20$ cookies demandent $350$ g, donc $21$ cookies demandent $351$ g. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eAvec $437{,}5$ g de farine, combien de cookies Yanis peut-il préparer ?

Ex. 5★★★La peinture de l'appartement de Malik — Malik repeint son appartement à Rennes. Avec $2$ L de peinture, il couvre $25$ m² de mur. La surface couverte est proportionnelle au volume de peinture. Le magasin livre la peinture : il facture $6$ € de livraison, plus $4{,}50$ € par litre.

1. aMalik écrit : « $2$ L couvrent $25$ m², donc $5$ L couvrent $28$ m², car j'ajoute $3$ aux deux lignes. » Explique son erreur, puis calcule la bonne surface.
2. bCalcule le coefficient de proportionnalité qui permet de passer du volume à la surface. Donne son unité et dis ce qu'il représente.
3. cLes murs du salon mesurent $87{,}5$ m² au total. Combien de litres de peinture faut-il pour les couvrir ?
4. dRecopie et complète le tableau du magasin.
5. eLe prix livré est-il proportionnel au volume de peinture ? Justifie.

Ex. 6★★★La machine de la biscuiterie — Dans une biscuiterie de Nantes, une machine emballe $9$ boîtes de biscuits en $7$ secondes. La durée est proportionnelle au nombre de boîtes.

1. aLina passe par l'unité : elle arrondit $7 \div 9$ à $0{,}78$ s, puis calcule $45 \times 0{,}78 = 35{,}1$ s. Explique pourquoi son résultat n'est pas exact, puis trouve la durée exacte pour $45$ boîtes.
2. bComplète la case de $54$ boîtes en additionnant deux colonnes.
3. cComplète la case de $99$ boîtes avec la méthode de ton choix.
4. dLa machine tourne sans arrêt pendant $2$ min $20$ s. Combien de boîtes emballe-t-elle ?
5. eÉcris sous forme de fraction le coefficient qui donne le nombre de boîtes à partir de la durée. Donne son unité, puis vérifie-le avec la colonne de $99$ boîtes.

Ex. 7★★★Le carreleur de Montpellier — Théo, carreleur à Montpellier, pose des dalles carrées de $15$ cm, $20$ cm et $35$ cm de côté. Pour les joints, il achète des sacs de mortier. Voici les prix qu'il a payés :

1. aCalcule le périmètre et l'aire de chacune des trois dalles.
2. bLe périmètre d'une dalle est-il proportionnel à son côté ? Justifie et donne le coefficient.
3. cThéo affirme : « Plus le côté est grand, plus l'aire est grande, donc l'aire est proportionnelle au côté. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule le quotient « prix ÷ nombre de sacs » dans chaque colonne du tableau.
5. eL'apprenti de Théo dit : « Trois quotients sur quatre sont égaux, donc le prix est proportionnel au nombre de sacs. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne le prix de $15$ sacs au tarif des autres colonnes.

Ex. 8★★★Automatismes : trouver la quatrième proportionnelle — Dans chaque cas, les grandeurs sont proportionnelles. Calcule la valeur manquante par la méthode de ton choix.

1. a

   Masse (kg)	3	8
   Prix (€)	10,50

2. b

   Durée (h)		5
   Distance (km)	42	70

3. cUne pâte contient 128 g de sucre pour 400 g de farine. Quelle masse de sucre faut-il pour 250 g de farine ?
4. d6 L de lave-glace coûtent 10,90 €. Combien coûtent 11 L ? Arrondis au centime.
5. eUn rouleau de câble de 35 kg contient 14 m de câble. Quelle longueur de ce câble pèse 22,5 kg ?

Ex. 9★★★Automatismes : tester par les produits en croix — Utilise les produits en croix pour savoir si les deux colonnes sont proportionnelles.

1. aEst-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.

   Ligne 1	2,5	4
   Ligne 2	7	11,2

2. bEst-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.

   Ligne 1	9	15
   Ligne 2	6,3	10,4

3. cUn sac de 0,6 kg de graines coûte 4 €, un sac de 1,5 kg coûte 9 €. Le prix est-il proportionnel à la masse ? Justifie.
4. dLéa affirme : « Les colonnes $(12 ; 20)$ et $(18 ; 30)$ ne sont pas proportionnelles, car $18 - 12 \neq 30 - 20$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 10★★★Les crêpes d'Inès : choisir sa méthode — Inès fait des crêpes. Pour 8 crêpes, il lui faut 140 g de farine. Sa poêle cuit 8 crêpes en 12 min. On admet que la farine et la durée sont proportionnelles au nombre de crêpes.

1. aQuelle masse de farine faut-il pour 12 crêpes ? Utilise la linéarité.
2. bQuelle masse de farine faut-il pour 28 crêpes ? Choisis la méthode la plus rapide.
3. cInès a un paquet de 1 kg de farine. Combien de crêpes peut-elle faire au maximum ?
4. dCombien de crêpes peut-elle cuire en 1 h 30 ?

Ex. 11★★★Erreurs d'élèves à corriger — Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis donne le bon résultat quand c'est possible.

1. aUn scooter consomme 2,8 L pour 100 km. Pour 65 km, Tom calcule $2{,}8 \times 100 \div 65 \approx 4{,}31$ L.
2. bIl faut 0,75 L de peinture pour 3 m². Pour 14 m², Sarah remplit ce tableau et trouve $3 \times 14 \div 0{,}75 = 56$ L.

   Ligne 1	3
   Ligne 2	0,75	14

3. cNoé mesurait 1,10 m à 6 ans. Il calcule qu'à 15 ans, il mesurera $1{,}10 \times 15 \div 6 = 2{,}75$ m.
4. d$4$ m de papier peint coûtent $22$ €. Malik ajoute $2$ aux deux nombres et annonce que $6$ m coûtent $24$ €.

Ex. 12★★★Le stand de jus de Lucas — Lucas tient un stand de jus de pomme à la fête de son village, près d'Annecy. Avec $2{,}5$ kg de pommes, sa presse donne $1{,}5$ L de jus. La quantité de jus est proportionnelle à la masse de pommes.

1. aQuelle quantité de jus Lucas obtient-il avec $8$ kg de pommes ?
2. bLucas veut obtenir $9$ L de jus. Quelle masse de pommes doit-il presser ? Range bien chaque grandeur sur sa ligne.
3. cIl a payé $16{,}80$ € pour $12$ kg de pommes, et le prix est proportionnel à la masse. Combien coûtent $750$ g de pommes ?
4. dLucas vend le jus avec un gobelet réutilisable à $0{,}20$ €, payé une seule fois. Ses tarifs :

   Gobelets de jus	1	3	5
   Prix (€)	1,20	3,20	5,20

   Pour $8$ gobelets, il calcule $8 \times 3{,}20 \div 3 \approx 8{,}53$ €. A-t-il raison ? Justifie, puis donne le bon prix.

Ex. 13★★★Vrai ou faux : les pièges du produit en croix — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul ou un argument.

1. aUn carré de $3$ cm de côté a une aire de $9$ cm². Léna fait un produit en croix et affirme qu'un carré de $6$ cm de côté a une aire de $18$ cm².
2. bDans ce tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par $k$. Alors $a \times d = b \times c$.

   Ligne 1	a	c
   Ligne 2	b	d

3. c$1{,}5$ m de tissu coûtent $13$ €. Zoé arrondit le prix d'un mètre à $8{,}67$ €, puis annonce que $340$ cm de ce tissu coûtent $8{,}67 \times 340 = 2\,947{,}80$ €.
4. dDes cahiers identiques : $12$ coûtent $21$ € et $5$ coûtent $8{,}75$ €. Yanis trouve le prix de $7$ cahiers sans division : $21 - 8{,}75 = 12{,}25$ €.
5. eCe tableau est un tableau de proportionnalité.

   Ligne 1	4,8	6,4	8
   Ligne 2	7,2	9,6	12,4

Ex. 14★★★La chambre de Nadia — Nadia repeint les $48$ m² de murs de sa chambre, à Rennes. Sur le pot : « $30$ m² pour $2{,}5$ L ». Elle mélange de la peinture blanche et de la peinture bleue dans le ratio $5 : 3$ (blanc : bleu). Elle peint $9$ m² en $1$ h $12$ min, toujours au même rythme.

1. aQuel volume de peinture faut-il pour la chambre ? Range d'abord les valeurs de même nature sur la même ligne.
2. bCombien de litres de peinture blanche et de peinture bleue Nadia doit-elle mélanger pour obtenir ce volume ?
3. cCombien de temps lui faut-il pour peindre toute la chambre ? Donne le résultat en heures et minutes.
4. dPour le couloir, Nadia garde le même ratio et utilise $2{,}1$ L de peinture bleue. Quel volume total de mélange obtient-elle ?
5. eQuelle surface de mur ce mélange permet-il de couvrir ?

Ex. 15★★★Automatismes : partager selon un ratio — Calcule les parts demandées.

1. aLina et Hugo se partagent 40 bonbons dans le ratio $3 : 5$ (Lina : Hugo). Combien de bonbons reçoit chacun ?
2. bUne corde de 13 m est coupée en deux morceaux dans le ratio $3 : 2$. Calcule la longueur de chaque morceau.
3. cOn répartit 56 kg de pommes entre trois cagettes dans le ratio $1 : 2 : 4$. Calcule la masse de pommes de chaque cagette.
4. dDans le ratio $4 : 5$, quelle fraction du total représente la première part ? Calcule cette part pour un ruban de $2{,}7$ m.
5. eUn produit nettoyant se dilue dans l'eau dans le ratio $1 : 3$ (produit : eau). Quelle fraction du mélange est du produit ? Combien de produit y a-t-il dans $2{,}4$ L de mélange ?

Ex. 16★★★Automatismes : simplifier et vérifier un ratio

1. aTom simplifie le ratio $18 : 12$ et trouve $2 : 3$. Explique son erreur et corrige-la.
2. bComplète l'égalité : $20 : 35 = 4 : \ldots$
3. cSimplifie le ratio $4{,}5 : 1{,}5$.
4. dSimplifie le ratio $12 : 20 : 28$.
5. eLes nombres 21 et 14 sont-ils dans le ratio $3 : 2$ ? Justifie.
6. fLes nombres 16 et 10 sont-ils dans le ratio $3 : 2$ ? Justifie.

Ex. 17★★★Le mélange du jardin — Pour ses jardinières, Maëlle mélange du terreau et du sable dans le ratio $5 : 2$ (terreau : sable).

1. aMaëlle utilise $12{,}5$ L de terreau. Quelle quantité de sable doit-elle ajouter ?
2. bQuelle quantité de mélange obtient-elle alors ?
3. cUn autre jour, son mélange contient 9 L de terreau de plus que de sable. Quelle quantité totale de mélange a-t-elle préparée ?
4. dSon voisin Karim affirme : « Pour 14 L de mélange, il faut 4 L de terreau et 10 L de sable. » A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
5. eLe frère de Maëlle dit que le sable représente $\frac{2}{5}$ du mélange. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 18★★★La facture des colocataires — Léo, Yanis et Zoé partagent la facture d'électricité de leur colocation dans le ratio $4 : 3 : 2$ (Léo : Yanis : Zoé), selon la taille de leur chambre. En janvier, la facture est de $157{,}50$ €.

1. aLéo calcule sa part ainsi : $\frac{4}{3} \times 157{,}50$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule sa vraie part.
2. bCalcule les parts de Yanis et de Zoé, puis vérifie que la somme des trois parts redonne la facture.
3. cEn février, Yanis paie $45{,}60$ €. Quel est le montant de la facture de février ?
4. dZoé propose de passer au ratio $8 : 6 : 4$. Les parts de chacun changent-elles ? Justifie.

Ex. 19★★★Le prix du concours de robotique — Inès, Malo et Sacha gagnent un prix à un concours de robotique. Ils le partagent dans le ratio $2 : 3 : 7$ (Inès : Malo : Sacha), selon leurs heures de travail. Sacha reçoit $85$ € de plus qu'Inès.

1. aEn combien de parts égales le prix est-il partagé ? Quelle fraction du prix Malo reçoit-il ? Simplifie-la.
2. bCalcule la valeur d'une part, puis le montant total du prix.
3. cCalcule la somme reçue par chacun des trois amis, puis vérifie avec le total.
4. dInès affirme : « Le ratio Inès : Sacha est $2 : 7$, donc je reçois les $\frac{2}{7}$ du prix. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 20★★★Le sirop de Romane — Romane prépare une boisson en mélangeant du sirop de menthe et de l'eau dans le ratio $1 : 4$ (sirop : eau).

1. aRomane dit : « Le sirop représente un quart de la boisson. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. bRomane veut préparer une carafe de $1{,}6$ L. Calcule la quantité de sirop et la quantité d'eau.
3. cIl lui reste $0{,}45$ L de sirop. Quelle quantité de boisson, au plus, peut-elle préparer avec ce sirop ?
4. dSon frère Nathan verse $1{,}2$ L de sirop et $0{,}3$ L d'eau. Quel ratio sirop : eau obtient-il ? Simplifie-le et explique son erreur.
5. eUne amie mélange $0{,}25$ L de sirop et $1{,}25$ L d'eau. Respecte-t-elle le ratio de Romane ? Justifie en simplifiant.

Ex. 21★★★Le béton de la terrasse — Killian coule une dalle pour sa terrasse. Le sac de ciment indique le ratio $10 : 25 : 35$ pour le mélange sec (ciment : sable : gravier), en masse.

1. aSimplifie ce ratio le plus possible.
2. bKillian veut préparer $336$ kg de mélange sec. Calcule la masse de ciment, de sable et de gravier.
3. cPour une deuxième dalle, il veut utiliser tout son tas de $210$ kg de gravier. Quelle masse totale de mélange obtient-il ? Quelles masses de ciment et de sable lui faut-il ?
4. dSon voisin mélange $45$ kg de ciment, $110$ kg de sable et $160$ kg de gravier. Respecte-t-il le ratio ? Justifie par le calcul.

Ex. 22★★★Automatismes : proportionnalité ou non ? — Chaque phrase décrit un graphique. Dis s'il représente une situation de proportionnalité. Justifie.

1. aUne droite passe par l'origine et par le point $(5 ; 12)$.
2. bUne droite coupe l'axe vertical en $3$ et passe par le point $(2 ; 9)$.
3. cUne courbe, qui n'est pas une droite, passe par l'origine et par les points $(1 ; 1)$, $(4 ; 16)$ et $(6 ; 36)$.
4. dLes points $(0 ; 0)$, $(2 ; 1{,}5)$ et $(6 ; 4{,}5)$ sont placés dans un repère.
5. eLes points $(0 ; 0)$, $(2 ; 3)$ et $(4 ; 5)$ sont placés dans un repère.

Ex. 23★★★Automatismes : lire le coefficient — Dans chaque cas, la droite passe par l'origine. Donne le coefficient de proportionnalité avec son unité.

1. aAbscisse : masse de cerises (kg). Ordonnée : prix (€). La droite passe par le point $(1 ; 6{,}5)$.
2. bAbscisse : volume de peinture (L). Ordonnée : surface couverte (m²). La droite passe par le point $(4 ; 38)$.
3. cOrdonnée : prix (€). Abscisse : longueur de papier peint (m). Le point de la droite d'ordonnée $17$ a pour abscisse $5$.
4. dAbscisse : masse de pommes (kg). Ordonnée : masse de compote obtenue (kg). La droite passe par le point $(3 ; 2)$.
5. eAbscisse : longueur de corde $x$ (m). Ordonnée : prix $y$ (€). La droite a pour formule $y = 1{,}8 \times x$.
6. fLa droite passe par le point $(1 ; 3)$. Elsa écrit sa formule : $y = x + 3$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 24★★★Presque alignés : le calcul tranche — Noé vend du tissu à Roubaix. Il place trois achats dans un repère : la longueur en abscisse, le prix en ordonnée.

1. aCalcule le quotient prix ÷ longueur pour l'achat de $3$ m, puis pour celui de $5$ m.
2. bSur le graphique, les trois points ont l'air alignés avec l'origine. Le prix est-il proportionnel à la longueur ? Justifie par le calcul.
3. cNoé trace la droite qui passe par l'origine et par le point d'abscisse $3$. Pour $6{,}5$ m, il y lit « environ $18$ € ». Vérifie par le calcul.
4. dSur cette même droite, quelle longueur correspond à un prix de $35$ € ?

Ex. 25★★★Deux tarifs d'escalade — À Grenoble, Inès hésite entre deux tarifs dans une salle d'escalade. Tarif Libre : $9$ € la séance. Tarif Carte : une carte à $24$ €, puis $5$ € la séance. On note $x$ le nombre de séances et $y$ le prix payé en €.

1. aÉcris la formule qui donne $y$ pour chaque tarif. Le tarif Libre est-il proportionnel au nombre de séances ? Justifie.
2. bInès place les points du tarif Carte et dit : « Ils sont alignés, donc c'est proportionnel. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cElle relie ensuite ses points par un trait continu. Pourquoi ne faut-il pas les relier ici ?
4. dPour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Donne les coordonnées du point commun aux deux graphiques.
5. eÀ partir de combien de séances le tarif Carte est-il le moins cher ? Justifie.

Ex. 26★★★Tirages photo : deux magasins — À Brest, Gabriel veut faire tirer ses photos. Magasin A : $0{,}35$ € le tirage. Magasin B : $4$ € de livraison, puis $0{,}15$ € le tirage. Il place les prix dans un repère : le nombre de tirages en abscisse, le prix en ordonnée.

1. aComplète le tableau.
2. bLe prix du magasin A est-il proportionnel au nombre de tirages ? Justifie. Gabriel a payé $12{,}60$ € chez A : combien de tirages a-t-il commandés ?
3. cLe prix du magasin B est-il proportionnel au nombre de tirages ? Justifie par le calcul.
4. dZoé écrit la formule du magasin A : $y = x + 0{,}35$, avec $x$ le nombre de tirages et $y$ le prix en €. A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
5. ePour combien de tirages les deux magasins coûtent-ils le même prix ? Au-delà, quel magasin est le moins cher ? Justifie.

Ex. 27★★★Carrés de feutrine et disques — À Poitiers, Maëlys découpe des carrés de feutrine pour un atelier. Pour chaque carré, elle note le côté $c$, le périmètre $P$ et l'aire $A$.

1. aComplète le tableau.
2. bLe périmètre $P$ est-il proportionnel au côté $c$ ? Justifie, puis écris la formule sous la forme $P = k \times c$.
3. cMaëlys affirme : « Mes points $(c ; A)$ partent de l'origine, donc l'aire est proportionnelle au côté. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dElle découpe aussi des disques. La longueur d'un cercle est $L = \pi \times d$. Avec $d$ en abscisse et $L$ en ordonnée, quelle est l'ordonnée du point d'abscisse $1$ ?
5. eQuel diamètre faut-il pour que le cercle mesure $50$ cm de long ? Arrondis au dixième.

Ex. 28★★★Le carnet de bord de Lina — À Clermont-Ferrand, Lina note la distance parcourue avec une voiture et le carburant consommé. Dans le repère tracé par son professeur (distance en km en abscisse, carburant en L en ordonnée), la droite passe par l'origine et par le point $(250 ; 15)$. Lina a aussi noté trois trajets.

1. aQuelle est l'ordonnée du point d'abscisse $1$ de cette droite ? Donne le coefficient de proportionnalité avec son unité.
2. bParmi les trois trajets du tableau, lesquels donnent un point situé sur la droite ? Justifie par le calcul.
3. cSur le graphique, Lina lit qu'avec $40$ L elle parcourt environ $650$ km. Vérifie par le calcul, en arrondissant au km.
4. dElle loue cette voiture : $45$ € de forfait, plus le carburant consommé à $1{,}90$ €/L. Le prix total est-il proportionnel à la distance ? Justifie.
5. eCombien paie-t-elle au total pour un trajet de $500$ km ?

Ex. 29★★★Automatismes : le coefficient multiplicateur — Réponds sans calculatrice.

1. aDonne le coefficient multiplicateur d'une hausse de $6\,\%$.
2. bDonne le coefficient multiplicateur d'une baisse de $45\,\%$.
3. cUn coefficient multiplicateur vaut $0{,}92$. Quelle évolution traduit-il ?
4. dChloé affirme : « Augmenter de $9\,\%$, c'est multiplier par $1{,}9$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eUn coefficient multiplicateur vaut $1{,}3$. Quelle évolution traduit-il ?
6. fHugo affirme : « Multiplier par $0{,}7$, c'est baisser de $70\,\%$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 30★★★Automatismes : appliquer et calculer un pourcentage — Calcule. Arrondis au centime si besoin.

1. aCalcule $18\,\%$ de $250$.
2. bDans un club de judo de $80$ adhérents, $28$ sont mineurs. Quel pourcentage des adhérents est mineur ?
3. cUn vélo à $240$ € baisse de $15\,\%$. Calcule son nouveau prix.
4. dUn loyer de $650$ € augmente de $4\,\%$. Calcule le nouveau loyer.
5. eLe prix d'un casque passe de $50$ € à $58$ €. De quel pourcentage a-t-il augmenté ?
6. fLe prix d'une lampe passe de $64$ € à $48$ €. Quelle est l'évolution en pourcentage ?

Ex. 31★★★Soldes : prix soldé et prix de départ — C'est la période des soldes dans la boutique de Nora, à Rennes.

1. aUne veste affichée $125$ € est soldée à $-40\,\%$. Calcule son prix soldé.
2. bAprès une remise de $25\,\%$, un pull coûte $36$ €. Calcule son prix avant la remise.
3. cAvant les soldes, le prix d'un sac avait augmenté de $12\,\%$ pour atteindre $179{,}20$ €. Yanis calcule $179{,}20$ € moins $12\,\%$ de $179{,}20$ € pour trouver l'ancien prix. A-t-il raison ? Justifie et donne l'ancien prix.
4. dUne écharpe passe de $32$ € à $24{,}96$ € pendant les soldes. Calcule le pourcentage de la remise, puis le prix soldé d'un bonnet à $14$ € avec la même remise.

Ex. 32★★★Deux évolutions successives — Camille compare les abonnements mensuels de plusieurs salles de sport à Toulouse.

1. aSon abonnement de $30$ € augmente de $10\,\%$ en janvier, puis de $10\,\%$ en juillet. Camille dit : « $+20\,\%$ en tout, donc $36$ €. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bUne autre salle baisse ses prix de $20\,\%$, puis de $5\,\%$. Calcule le coefficient multiplicateur global et traduis-le par un pourcentage.
3. cUne troisième salle augmente son abonnement de $40$ € de $25\,\%$, puis le baisse de $25\,\%$. Revient-il à $40$ € ? Justifie par un calcul.
4. dUne salle annonce deux baisses successives de $50\,\%$. Lou affirme que l'abonnement devient gratuit. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 33★★★Le devoir de Malo : repérer et corriger les erreurs — Malo, élève de 4ᵉ à Nantes, a rendu ce devoir sur les pourcentages. Pour chaque affirmation, dis si Malo a raison et justifie. Si elle est fausse, corrige-la.

1. aMalo écrit : « Pour augmenter un prix de $72$ € de $5\,\%$, je multiplie par $1{,}5$ : $72 \times 1{,}5 = 108$ €. »
2. bMalo écrit : « Pour baisser un prix de $140$ € de $35\,\%$, je multiplie par $0{,}35$ : $140 \times 0{,}35 = 49$ €. »
3. cMalo écrit : « Après une hausse de $20\,\%$, un vélo coûte $186$ €. Avant la hausse, il coûtait $186 - 20\,\%$ de $186$, soit $148{,}80$ €. »
4. dMalo écrit : « Un prix augmente de $20\,\%$ puis baisse de $20\,\%$ : il revient à sa valeur de départ. »

Ex. 34★★★Le festival d'Inès — Inès est bénévole dans un festival de musique à Lille. La salle compte $1\,200$ places. Le billet coûtait $48$ € en 2025 et coûte $54$ € en 2026.

1. aCalcule le pourcentage d'évolution du prix du billet entre 2025 et 2026. Précise s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.
2. bEn prévente, $780$ billets ont été vendus. Quel pourcentage des places cela représente-t-il ?
3. cAu bar, une boisson coûte $4{,}86$ € après une hausse de $8\,\%$. Calcule son prix avant la hausse, puis vérifie que ton résultat est cohérent.
4. dLe pass 3 jours a augmenté de $5\,\%$, puis de $20\,\%$ ; il coûte maintenant $113{,}40$ €. Ben dit : « En tout, c'est une hausse de $25\,\%$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eCalcule le prix du pass 3 jours avant ces deux hausses, puis vérifie ton résultat.

Ex. 35★★★Quelle trottinette pour Sacha ? — À Grenoble, Sacha veut acheter une trottinette électrique affichée $260$ € dans deux magasins. Le magasin A fait une remise de $30\,\%$, puis une remise de $15\,\%$ sur le prix déjà réduit. Le magasin B fait une seule remise de $45\,\%$.

1. aCalcule le prix de la trottinette dans le magasin A, en deux étapes.
2. bSacha pense que les deux remises du magasin A font une remise de $45\,\%$. A-t-il raison ? Justifie avec le coefficient multiplicateur global.
3. cCalcule le prix dans le magasin B. Quel magasin est le moins cher, et de combien ?
4. dLa semaine suivante, le magasin B augmente de $10\,\%$ son prix soldé. Sacha dit : « La remise par rapport aux $260$ € n'est plus que de $35\,\%$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : du plan à la réalité, et retour — Écris d'abord les longueurs en cm, puis donne le résultat dans l'unité demandée.

1. aÀ l'échelle $\frac{1}{500}$, quelle longueur réelle, en m, représentent $4{,}2$ cm sur un plan ?
2. bUn mur de $3{,}6$ m est dessiné à l'échelle $\frac{1}{40}$. Quelle est sa longueur sur le plan, en cm ?
3. cSur une carte à l'échelle $\frac{1}{200\,000}$, deux villages sont à $7$ cm l'un de l'autre. Quelle est la distance réelle, en km ?
4. dQuelle longueur, en cm, mesure un sentier de $2{,}5$ km sur une carte à l'échelle $\frac{1}{20\,000}$ ?
5. eUn dessin agrandit un grain de riz à l'échelle $30 : 1$. Le grain mesure $0{,}8$ cm en réalité. Combien mesure-t-il sur le dessin, en cm ?
6. fLa carte A est à l'échelle $\frac{1}{15\,000}$ et la carte B à l'échelle $\frac{1}{60\,000}$. Sur laquelle une même route paraît-elle la plus longue ? Justifie.

Ex. 37★★★Automatismes : trouver l'échelle — Calcule plan $\div$ réel avec les deux longueurs en cm. Donne l'échelle sous la forme $\frac{1}{n}$, ou $n : 1$ s'il s'agit d'un agrandissement.

1. aUn garage de $12$ m de long mesure $4$ cm sur un plan.
2. bSur une carte, $5$ cm représentent $2$ km.
3. cSur le plan d'une cuisine, une longueur réelle de $4{,}5$ m est dessinée par $6$ cm.
4. dUn trajet de $50$ km mesure $2{,}5$ cm sur une carte routière.
5. eUne graine de tournesol de $0{,}6$ cm mesure $12$ cm sur une affiche.

Ex. 38★★★Une carte de randonnée près d'Annecy — Sur la carte de randonnée de Malik, $4$ cm représentent $6$ km.

1. aSans chercher l'échelle, calcule par quatrième proportionnelle la distance réelle, en km, représentée par $10$ cm.
2. bUne boucle de $21$ km est tracée sur cette carte. Quelle longueur, en cm, mesure-t-elle sur la carte ?
3. cNoé écrit : « $6$ km $= 6\,000$ cm et $6\,000 \div 4 = 1\,500$, donc l'échelle est $\frac{1}{1\,500}$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dSur une autre carte, à l'échelle $\frac{1}{50\,000}$, quelle longueur mesure la boucle de $21$ km ? Sur quelle carte est-elle la plus longue ?

Ex. 39★★★Le potager d'un jardin à Rennes — Sur le plan d'un jardin à l'échelle $\frac{1}{400}$, le potager est un rectangle de $3{,}5$ cm sur $2{,}5$ cm.

1. aCalcule les dimensions réelles du potager, en m.
2. bDéduis-en l'aire réelle du potager, en m².
3. cInès calcule l'aire sur le plan, puis la multiplie par $400$. Elle trouve $0{,}35$ m². A-t-elle raison ? Justifie et corrige son calcul.
4. dUne terrasse a une aire réelle de $24$ m². Quelle aire, en cm², occupe-t-elle sur le plan ?
   ($1$ m² $= 10\,000$ cm²)

Ex. 40★★★Deux cartes de la presqu'île de Crozon — Pour préparer une sortie, Théo compare deux cartes : la carte A à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$ et la carte B à l'échelle $\frac{1}{100\,000}$. Écris toujours les longueurs en cm avant de calculer.

1. aPour une route de $9$ km sur la carte A, Théo écrit : « $9$ km $= 9\,000$ cm et $9\,000 \div 25\,000 = 0{,}36$ cm. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.
2. bSur la carte B, un sentier côtier mesure $13{,}4$ cm. Quelle est sa longueur réelle, en km ?
3. cQuelle longueur, en cm, ce même sentier mesure-t-il sur la carte A ?
4. dVrai ou faux ? « Sur la carte B, une même distance est dessinée plus longue que sur la carte A, car $100\,000$ est plus grand que $25\,000$. » Justifie.
5. eSur la carte A, un lac occupe $2$ cm². Théo en déduit une aire réelle de $2 \times 25\,000 = 50\,000$ cm². Explique son erreur, puis donne l'aire réelle du lac en m².

Ex. 41★★★Un poster d'insectes agrandis — Pour un exposé à Dijon, Lina dessine des insectes agrandis. Son abeille mesure $12$ mm en réalité et $7{,}2$ cm sur le dessin.

1. aJules calcule l'échelle du dessin : « $7{,}2 \div 12 = 0{,}6$ ». Explique son erreur, puis donne l'échelle sous la forme $n : 1$.
2. bEn réalité, l'aile de l'abeille mesure $9$ mm. Quelle est sa longueur sur le dessin, en cm ?
3. cSur le dessin, l'antenne mesure $2{,}1$ cm. Quelle est sa longueur réelle, en mm ?
4. dLina veut dessiner une coccinelle de $7$ mm à l'échelle $8 : 1$ dans un espace de $5$ cm. Son dessin va-t-il rentrer ? Justifie.
5. eUne fourmi mesure $4{,}5$ mm. Quelle est la plus grande échelle $n : 1$, avec $n$ entier, pour que son dessin mesure au plus $5$ cm ? Justifie.

Ex. 42★★★Le plan d'un appartement à Toulouse — Sur le plan d'un appartement, la porte d'entrée mesure $1{,}8$ cm, alors qu'elle fait $0{,}9$ m de large en réalité. Sur le plan, le salon est un rectangle de $11$ cm sur $8$ cm.

1. aCalcule l'échelle du plan, puis écris-la sous la forme $\frac{1}{n}$.
2. bLe couloir mesure $6{,}5$ m de long. Quelle est sa longueur sur le plan, en cm ?
3. cPar combien l'aire réelle du salon est-elle multipliée par rapport à son aire sur le plan ? Déduis-en l'aire réelle du salon, en m².
4. dLe parquet coûte $34{,}50$ € le m². Combien coûte le parquet pour tout le salon ?
5. eNora veut redessiner le salon seul à l'échelle $\frac{1}{20}$ sur une feuille de $29{,}7$ cm sur $21$ cm. Son dessin tiendra-t-il sur la feuille ? Justifie.

Ex. 43★★★Automatismes : réfléchis avant de calculer — Justifie chaque réponse par un calcul.

1. aUn carré de côté $3$ cm a une aire de $9$ cm². Un carré de côté $6$ cm a une aire de $36$ cm². L'aire du carré est-elle proportionnelle à son côté ? Justifie.
2. bUne boisson mélange du sirop et de l'eau dans le ratio $1 : 4$. Quel pourcentage de la boisson est du sirop ?
3. cPendant les soldes, une veste coûte $56$ € après une remise de $20\,\%$. Quel était son prix avant les soldes ?
4. dHugo achète $3{,}5$ kg de pommes à $2{,}60$ €/kg. Il annonce qu'il va payer $91$ €. Est-ce vraisemblable ? Corrige si besoin.

Ex. 44★★★Automatismes : calculs en contexte — Pour chaque question, écris le calcul puis une phrase de réponse avec l'unité.

1. aUne recette de pâte à crêpes pour $4$ personnes demande $300$ g de farine. Quelle masse de farine faut-il pour $10$ personnes ?
2. bUne imprimante imprime $42$ pages en $3$ minutes. Combien de pages imprime-t-elle en $1$ heure ?
3. cSur une carte à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, deux villages sont à $6$ cm l'un de l'autre. Quelle est la distance réelle en km ?
4. dSur un plan à l'échelle $\frac{1}{200}$, une chambre rectangulaire mesure $2$ cm sur $3$ cm. Quelle est son aire réelle en m² ?
5. eLe pot A de confiture pèse $750$ g et coûte $4{,}20$ €. Le pot B pèse $1{,}2$ kg et coûte $6{,}60$ €. Lequel est le moins cher au kilo ?

Ex. 45★★★Deux tarifs pour la piscine — À la piscine de Rennes, Inès a le choix entre deux tarifs. Tarif A : $4{,}50$ € par entrée. Tarif B : un abonnement annuel de $24$ €, puis $2{,}50$ € par entrée.

1. aComplète le tableau.
2. bLequel des deux tarifs est proportionnel au nombre d'entrées ? Justifie.
3. cOn place les points (nombre d'entrées ; prix) des deux tarifs dans un repère. Décris la position des points de chaque tarif. Faut-il relier les points ? Justifie.
4. dÀ partir de combien d'entrées le tarif B devient-il plus avantageux ? Justifie.

Ex. 46★★★Le béton de Malik — Pour couler une petite dalle, Malik mélange du ciment, du sable et du gravier dans le ratio $1 : 2 : 3$ (en masse).

1. aMalik veut préparer $90$ kg de béton. Calcule la masse de ciment, de sable et de gravier.
2. bQuel pourcentage de la masse du béton le ciment représente-t-il ? Arrondis au dixième.
3. cMalik veut utiliser tout un sac de $25$ kg de ciment. Quelle masse de gravier lui faut-il ? Quelle masse de béton obtiendra-t-il ?
4. dSa sœur affirme : « Le sable représente $\frac{2}{3}$ de la masse du béton. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Le parquet du salon de Yanis — À Lille, Yanis veut poser du parquet dans son salon rectangulaire. Sur le plan de l'appartement, à l'échelle $\frac{1}{50}$, le salon mesure $9$ cm sur $7{,}2$ cm. Le magasin A vend le parquet en packs de $2{,}4$ m² à $45{,}60$ €, le magasin B en packs de $1{,}8$ m² à $32{,}94$ €.

1. aCalcule les dimensions réelles du salon, en mètres.
2. bLéo multiplie l'aire du salon sur le plan par $50$ et trouve $3\,240$ cm². Explique son erreur, puis calcule l'aire réelle du salon en m².
3. cCalcule le prix d'un mètre carré de parquet dans chaque magasin. Quel magasin est le moins cher au m² ?
4. dYanis trouve $2\,964{,}60$ € pour le magasin B. Montre avec un ordre de grandeur que c'est invraisemblable, puis calcule le vrai coût dans chaque magasin
   (packs entiers uniquement).

Ex. 48★★★Le punch de la fête de quartier — À Toulouse, Margaux organise la fête de son quartier. Sa recette de punch sans alcool pour $8$ personnes : $1{,}2$ L de jus d'orange, $0{,}6$ L de jus d'ananas et $0{,}3$ L de limonade. $30$ personnes sont attendues.

1. aMargaux compare des lots de gobelets. Le prix est-il proportionnel au nombre de gobelets ? Justifie, puis indique le lot le plus avantageux.

   Nombre de gobelets	25	100	50
   Prix (€)	3,50	12	6,50

2. bCalcule la quantité de chaque ingrédient nécessaire pour $30$ personnes.
3. cÉcris le ratio jus d'orange : jus d'ananas : limonade avec les plus petits entiers possible, puis donne le pourcentage de jus d'ananas dans le punch, arrondi à l'unité.
4. dUne bouteille de $1{,}5$ L de jus d'orange coûte $2{,}04$ € après une remise de $15\,\%$. Quel était son prix avant la remise ? Combien Margaux paie-t-elle le jus d'orange du punch ?

Ex. 49★★★Le voyage de Sacha et Lou — Sacha et Lou vont en voiture de Nantes à Clermont-Ferrand. Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{1\,500\,000}$, leur itinéraire mesure $35$ cm. Le carburant coûte $1{,}75$ €/L.

1. aCalcule la longueur réelle de l'itinéraire, en kilomètres.
2. bSacha a noté la consommation de la voiture sur d'anciens trajets. Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifie, puis donne le coefficient avec son unité.

   Distance (km)	275	150	400
   Carburant (L)	17,6	9,6	25,6

3. cCalcule le volume de carburant nécessaire pour le voyage, puis son prix.
4. dIls partagent le prix du carburant proportionnellement aux distances conduites : Sacha a conduit $300$ km et Lou le reste. Combien paie chacun ?