Terminale spécialité / Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace

Ex. 1★★★Produit scalaire avec le cosinus — $\theta$ désigne l'angle géométrique des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Calcule chaque produit scalaire en valeur exacte et contrôle son signe avec l'angle.

1. a$\|\vec{u}\| = 7$, $\|\vec{v}\| = 2$ et $\theta = 45^\circ$ : calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
2. b$\|\vec{u}\| = 2\sqrt{3}$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $\theta = 150^\circ$ : calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
3. c$\|\vec{u}\| = 6$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\theta = 90^\circ$. Lina écrit $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{0}$. Corrige-la.
4. d$\vec{u} = \vec{0}$ et $\|\vec{v}\| = 9$ : calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
5. e$\|\vec{u}\| = 4$ et $\vec{v} = -\frac{5}{8}\vec{u}$ : calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
6. fDans le triangle $EFG$ de la figure, calcule $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{FG}$.

Ex. 2★★★En coordonnées dans le plan — Sauf au dernier item, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$.

1. aCalcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(4\,;\,5)$.
2. bLes vecteurs $\vec{u}\left(-\frac{1}{2}\,;\,3\right)$ et $\vec{v}(6\,;\,1)$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
3. cCalcule la distance $EF$ pour $E(1\,;\,-2)$ et $F(4\,;\,2)$.
4. dAvec en plus $G(-7\,;\,4)$, calcule $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG}$. Déduis-en la nature du triangle $EFG$.
5. ePour $\vec{u}(-2\,;\,1)$ et $\vec{v}(3\,;\,4)$, dis sans calculer l'angle s'il est aigu, droit ou obtus.
6. fTrouve le réel $m$ tel que $\vec{u}(m\,;\,4)$ et $\vec{v}(3\,;\,-6)$ soient orthogonaux.
7. g$ABCD$ est le rectangle de la figure. Jade lit $C(1\,;\,1)$ dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD})$ et écrit $AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Justifie qu'elle a tort.

Ex. 3★★★Plan d'architecte : projection et polarisation — Sur la figure, $H$ et $K$ sont les projetés orthogonaux de $C$ et de $D$ sur la droite $(AB)$. Le point $K$ n'est pas du même côté de $A$ que $B$. On donne $AB = 6$, $AH = 4$, $AK = 2$ et $AC = 5$ (en cm). Les angles s'arrondissent au dixième de degré.

1. aCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ à l'aide du projeté $H$.
2. bCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$. Déduis-en la nature de l'angle $\widehat{BAD}$.
3. cDéduis-en la longueur $BC$ à l'aide d'une formule de polarisation.
4. dCalcule $\cos\widehat{BAC}$, puis une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

Ex. 4★★★Ferme de charpente : Al-Kashi — Une ferme de charpente forme un triangle $PQR$ avec $PQ = 5$ m, $PR = 8$ m et $\widehat{QPR} = 60^\circ$. Les angles s'arrondissent au dixième de degré.

1. aCalcule $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}$.
2. bDéduis-en la longueur $QR$ avec le théorème d'Al-Kashi.
3. cCalcule $\cos\widehat{PQR}$, puis une mesure de l'angle $\widehat{PQR}$.
4. dNoé affirme : « $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QR} = PQ \times QR \times \cos\widehat{PQR}$ ». Corrige son erreur et calcule $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QR}$.

Ex. 5★★★Carreau de mosaïque en parallélogramme — Ben dessine un carreau de mosaïque en forme de parallélogramme $ABCD$, avec $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm et $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Les angles s'arrondissent au dixième de degré.

1. aCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.
2. bCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ en utilisant l'angle $\widehat{ABC}$.
3. cExprime $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, puis calcule les longueurs exactes $AC$ et $BD$.
4. dCalcule $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$, puis la mesure de l'angle géométrique formé par les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$. Le signe est-il cohérent ? Justifie.
5. eBen veut des diagonales perpendiculaires sans changer $AB$ ni l'angle $\widehat{BAD}$. Quelle longueur $AD$ doit-il choisir ? Justifie.

Ex. 6★★★Voile de bateau : polarisation, projeté et Al-Kashi — Une voile triangulaire $ABC$ mesure $AB = 4$ m, $AC = 6$ m et $BC = 8$ m. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Les angles s'arrondissent au dixième de degré.

1. aCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ par une formule de polarisation. Déduis-en la nature de l'angle $\widehat{BAC}$.
2. bTom écrit : « $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(AB + AC - BC) = 1$ ». Explique son erreur.
3. cJustifie que $H$ n'est pas du même côté de $A$ que $B$, puis calcule $AH$ à l'aide de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
4. dCalcule la valeur exacte de $CH$, puis l'aire de la voile.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ avec le théorème d'Al-Kashi.

Ex. 7★★★Vrai ou faux justifié : les pièges du produit scalaire — Inès révise son contrôle. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie. Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$.

1. aAvec $A(-2\,;\,1)$, $B(2\,;\,-1)$ et $C(4\,;\,3)$, le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.
2. bLes vecteurs $\vec{u}(m\,;\,m)$ et $\vec{v}(m - 1\,;\,3)$ sont orthogonaux pour une seule valeur du réel $m$.
3. cIl existe deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 7$.
4. dPour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ : $(\vec{u} \cdot \vec{v})\,\vec{w} = \vec{u}\,(\vec{v} \cdot \vec{w})$.

Ex. 8★★★Projections dans un cube — $ABCDEFGH$ est un cube d'arête $5$ ($ABCD$ en bas, $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$). $I$ est le milieu de $[FG]$. Calcule chaque produit scalaire sans coordonnées.

1. a$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BG}$
2. b$\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{EC}$
3. c$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BH}$
4. d$\overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{AD}$
5. e$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AI}$
6. f$\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{AI}$
7. gCalcule $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CB}$, puis dis si les droites $(AE)$ et $(CB)$ sont sécantes. Justifie.

Ex. 9★★★Bilinéarité avec des normes — $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l'espace avec $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -4$. Calcule :

Ex. 10★★★Une sculpture de verre en tétraèdre régulier — Une sculpture de verre a la forme d'un tétraèdre régulier $ABCD$ d'arête $4$ : ses quatre faces sont des triangles équilatéraux. $I$ est le milieu de $[CD]$. Les angles s'arrondissent au dixième de degré.

1. aCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ avec le cosinus, puis vérifie ton résultat avec la formule de polarisation.
2. bDémontre que $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI}$.
3. cLina écrit : « $\|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\|^2 = AC^2 + AD^2 = 32$ ». A-t-elle raison ? Justifie et donne la bonne valeur.
4. dDéduis-en la longueur $AI$.
5. eCalcule $\cos \widehat{BAI}$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAI}$.

Ex. 11★★★Les diagonales d'un cube dans un logiciel 3D — Dans un logiciel 3D, Malik modélise un cube $ABCDEFGH$ d'arête $6$ ($ABCD$ en bas, $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$). Il travaille sans coordonnées.

1. aJustifie que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = -36$.
2. bEn écrivant $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$, calcule $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD}$.
3. cLes droites $(AG)$ et $(BD)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifie.
4. dCalcule $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AG}$ par bilinéarité, puis déduis-en la longueur $AG$.
5. eEn écrivant $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$, calcule $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{HB}$. Déduis-en le cosinus de l'angle entre ces deux vecteurs.

Ex. 12★★★Le renfort et la poutre d'une charpente — Pour une charpente, Hugo modélise un module en pavé droit $ABCDEFGH$ avec $AB = 4$, $AD = 3$ et $AE = 2$ (en mètres ; $ABCD$ en bas, $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$). Un renfort suit $[AG]$, une poutre suit $[BD]$. On travaille sans coordonnées. Angle au dixième de degré.

1. aJustifie que le projeté orthogonal de $G$ sur $(AB)$ est $B$, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG}$.
2. bDe la même façon, calcule $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AG}$.
3. cÉcris $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, puis déduis-en $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD}$. Le renfort et la poutre sont-ils orthogonaux ? Justifie.
4. dEn écrivant $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$, calcule $AG^2 = \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AG}$, puis déduis-en $AG$.
5. eCalcule $BD$, puis la mesure de l'angle géométrique $\theta$ entre les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BD}$.

Ex. 13★★★Le câble d'une tente en tétraèdre — Inès monte une tente pour enfant en forme de tétraèdre régulier $ABCD$ d'arête $6$ (en décimètres) : ses quatre faces sont des triangles équilatéraux. $I$ est le milieu de $[BC]$, $J$ celui de $[AD]$ ; elle tend un câble de $I$ à $J$.

1. aCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en te plaçant dans la face $ABC$, puis donne $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$.
2. bExprime $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$, puis calcule la longueur $IJ$ du câble.
3. cDémontre que la droite $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(BC)$ et à la droite $(AD)$.
4. dLes droites $(BC)$ et $(AD)$ sont-elles orthogonales ? perpendiculaires ? Et $(IJ)$ avec chacune d'elles ? Justifie.
5. eCalcule $\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{AB}$, puis la mesure de l'angle géométrique entre les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AB}$.

Ex. 14★★★Deux rayons laser dans un escape game — Pour un escape game, Yasmine installe deux rayons laser dans une salle cubique $ABCDEFGH$ d'arête $4$ m ($ABCD$ au sol, $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$). $J$ est sur $[AE]$ avec $AJ = 1$, $K$ est le milieu de $[CG]$. Les rayons vont de $J$ vers $B$ et de $J$ vers $K$. On travaille sans coordonnées. Angle au dixième de degré.

1. aCalcule $JB^2$ et $BK^2$ en justifiant.
2. bEn écrivant $\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK}$, calcule $JK^2$ sans oublier les doubles produits.
3. cDéduis-en $\overrightarrow{JB} \cdot \overrightarrow{JK}$ par polarisation, puis la mesure de l'angle $\widehat{BJK}$ entre les deux rayons.
4. dThéo affirme : « $(BK)$ est dans la face $BCGF$, orthogonale à $(AB)$, donc $\overrightarrow{BJ} \cdot \overrightarrow{BK} = 0$. » A-t-il raison ? Justifie en calculant $\overrightarrow{BJ} \cdot \overrightarrow{BK}$.
5. eLe triangle $JBK$ a-t-il un angle obtus ? Justifie avec le signe de produits scalaires.

Ex. 15★★★Produits scalaires et normes en coordonnées — Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, on donne $\vec{u}(3\,;\,-2\,;\,2)$, $\vec{v}(-1\,;\,4\,;\,5)$, $\vec{w}\left(\frac{1}{2}\,;\,-3\,;\,2\right)$ et $\vec{t}(2\,;\,5\,;\,2)$.

1. aCalcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
2. bCalcule $\vec{u} \cdot \vec{w}$.
3. cCalcule $\|\vec{u}\|^2$, puis $\|\vec{u}\|$.
4. dCalcule $\|\vec{u} - \vec{v}\|$.
5. eCalcule $\|\vec{w}\|$.
6. fLes vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{t}$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
7. gLes vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.

Ex. 16★★★Distances dans un cube — $ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$. On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[FG]$ et $J$ est le point de $[AE]$ tel que $AJ = \frac{1}{4}AE$. Donne les distances en valeur exacte.

1. aDonne les coordonnées des points $I$ et $J$.
2. bCalcule $AI^2$, puis la distance $AI$.
3. cCalcule la distance $CJ$.
4. dCalcule la distance $IJ$.
5. eLe triangle $CGJ$ est-il isocèle en $J$ ? Justifie.

Ex. 17★★★Charpente : nature d'un triangle et angle obtus — Une charpente est modélisée dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre) par les points $P(2\,;\,-1\,;\,0)$, $Q(3\,;\,3\,;\,-1)$, $R(5\,;\,-1\,;\,3)$ et $S(0\,;\,-2\,;\,2)$. Arrondis les angles au dixième de degré, ou au centième en radians.

1. aCalcule les longueurs $PQ$, $PR$ et $QR$ en valeur exacte.
2. bCalcule $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}$. Déduis-en la nature précise du triangle $PQR$.
3. cLéo calcule $\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{PS} = 8$ et conclut que l'angle $\widehat{QPS}$ est aigu. Vérifie son calcul puis corrige son raisonnement.
4. dDonne $\cos \widehat{QPS}$ en valeur exacte, puis une mesure de $\widehat{QPS}$ en degrés et en radians.

Ex. 18★★★Logiciel 3D : paramètre m, orthogonalité et normes — Dans un logiciel de modélisation 3D, on travaille dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$. Pour un réel $m$, on définit $\vec{u}(m\,;\,3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(2\,;\,m\,;\,5)$.

1. aPour $m = 1$, Hugo écrit $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 5$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bDétermine la valeur de $m$ pour laquelle $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
3. cDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $\|\vec{u}\| = 7$.
4. dVrai ou faux ? Il existe un réel $m$ pour lequel $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$. Justifie.

Ex. 19★★★Pyramide de verre : arêtes, angle au sommet et angle droit introuvable — Une pyramide de verre $SABCD$ à base carrée est modélisée dans un repère orthonormé $(H\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre). $H$ est le centre de la base. On a $A(3\,;\,-3\,;\,0)$, $B(3\,;\,3\,;\,0)$, $C(-3\,;\,3\,;\,0)$, $D(-3\,;\,-3\,;\,0)$ et $S(0\,;\,0\,;\,4)$. Donne les angles au dixième de degré.

1. aCalcule $SA$, $SB$ et $AB$ en valeur exacte. Les faces latérales sont-elles des triangles équilatéraux ? Justifie.
2. bTom écrit $\cos \widehat{ASC} = \frac{\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{SC}}{AS \times SC}$ et trouve un angle aigu. Explique son erreur, puis calcule $\widehat{ASC}$.
3. cCalcule l'angle $\widehat{ASB}$ au sommet d'une face latérale.
4. dPour un réel $m$, on note $M(0\,;\,0\,;\,m)$. Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles l'angle $\widehat{AMC}$ est droit. Un point du segment $[HS]$ convient-il ? Justifie.

Ex. 20★★★Drone au-dessus d'une rampe : distance imposée et angle aigu — Une rampe de skate triangulaire $ABC$ est modélisée dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre) par $A(1\,;\,2\,;\,-1)$, $B(0\,;\,2\,;\,1)$ et $C(3\,;\,4\,;\,0)$. Un drone se place au point $D(m\,;\,m\,;\,4)$, où $m$ est un réel. Donne l'angle au dixième de degré.

1. aCalcule $AB$, $AC$, $BC$ en valeur exacte, puis $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Déduis-en la nature du triangle $ABC$.
2. bExprime $AD^2$ en fonction de $m$, puis détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $AD = \sqrt{30}$.
3. cPour chacune de ces valeurs, calcule $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$. Laquelle donne un angle $\widehat{DAC}$ aigu ? Justifie.
4. dPour la valeur de $m$ retenue, calcule l'angle $\widehat{DAC}$.

Ex. 21★★★Aquarium : repère orthonormé obligatoire et angle droit à rebours — Un aquarium est modélisé par le pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous (unité : le décimètre), avec $AB = 4$, $AD = 2$ et $AE = 2$. $I$ est le milieu de $[FG]$. On pose $\vec{\imath} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $\vec{\jmath} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$. Le repère $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ est orthonormé. Donne l'angle au dixième de degré.

1. aZoé se place dans $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$, où $G(1\,;\,1\,;\,1)$, et écrit $AG = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule $AG$.
2. bDonne les coordonnées de $I$ dans $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$. Lucas écrit $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AI} = 4 \times 2 \times 2 + 4 \times 1 \times 2 = 24$. Corrige son calcul.
3. cCalcule $AI$ en valeur exacte, puis l'angle $\widehat{GAI}$.
4. d$M$ est le point de $[AB]$ tel que $AM = m$, avec $0 \leqslant m \leqslant 4$. Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles le triangle $DMI$ est rectangle en $M$.

Ex. 22★★★Tests d'orthogonalité et points d'un plan — L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$.

1. aLes vecteurs $\vec{u}\left(\frac{1}{2}\,;\,-3\,;\,2\right)$ et $\vec{v}\left(4\,;\,1\,;\,\frac{1}{2}\right)$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
2. bLes vecteurs $\vec{u}(-2\,;\,5\,;\,1)$ et $\vec{w}(1\,;\,2\,;\,-3)$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
3. cDonne un vecteur normal au plan $\mathcal{P} : 4x - 3z + 7 = 0$.
4. dLe point $A(2\,;\,-1\,;\,5)$ appartient-il au plan $3x + 2y - z + 1 = 0$ ? Justifie.
5. eTrouve le réel $d$ tel que $B(-1\,;\,3\,;\,2)$ appartienne au plan $x - 4y + 2z + d = 0$.
6. fTrouve le réel $m$ tel que $\vec{u}(m\,;\,2\,;\,-3)$ et $\vec{v}(5\,;\,m\,;\,2)$ soient orthogonaux.
7. gLes droites $\Delta_1 : \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ et $\Delta_2 : \begin{cases} x = 4 + 2s \\ y = 4 + s \\ z = 2 \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$ sont-elles perpendiculaires ? Justifie.

Ex. 23★★★Comparer des vecteurs normaux — L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$.

1. aLes plans $\mathcal{P}_1 : 2x - y + 3z - 4 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : x + 5y + z + 2 = 0$ sont-ils perpendiculaires ? Justifie.
2. bLes plans $\mathcal{Q}_1 : 3x - 6y + 9z + 1 = 0$ et $\mathcal{Q}_2 : -x + 2y - 3z + 4 = 0$ sont-ils parallèles ? Justifie.
3. cLa droite $d : \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = 3 + 6t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{P}_1 : 2x - y + 3z - 4 = 0$ ? Justifie.
4. dTrouve le réel $m$ tel que les plans $mx + 2y - z + 1 = 0$ et $3x - y + mz = 0$ soient perpendiculaires.
5. eLa droite $d' : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = -t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{R} : x + 2y + 3z - 5 = 0$ ? Justifie.
6. fDonne une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathcal{P}_1 : 2x - y + 3z - 4 = 0$ passant par l'origine $O$.

Ex. 24★★★La grande diagonale d'un cube, sans coordonnées — Inès modélise dans un logiciel 3D un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ ($a > 0$). Tu travailles sans coordonnées : les arêtes $[AB]$, $[AD]$ et $[AE]$ sont deux à deux orthogonales et de longueur $a$.

1. aÉcris $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$, puis démontre que $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ avec $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$.
2. bLina affirme : « $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$, donc la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDémontre que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.
4. dDéduis-en que les droites $(AG)$ et $(DE)$ sont orthogonales.
5. eLes droites $(AG)$ et $(DE)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifie.

Ex. 25★★★Renfort de charpente dans une caisse — Malik, charpentier, renforce une caisse en forme de pavé droit $ABCDEFGH$ avec une planche triangulaire $BDE$. Dans un repère orthonormé d'origine $A$ : $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$, $E(0\,;\,0\,;\,3)$ et $G(4\,;\,2\,;\,3)$.

1. aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$, puis justifie que ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
2. bTrouve un vecteur $\vec{n}$ normal au plan $(BDE)$ de première coordonnée $3$.
3. cThéo affirme que $\vec{m}(1\,;\,2\,;\,0)$ est normal au plan $(BDE)$ car $\vec{m} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dUne cloison est modélisée par le plan $\mathcal{Q} : 2x - y - 8 = 0$. Le plan $(BDE)$ est-il perpendiculaire à $\mathcal{Q}$ ? Justifie.
5. eLa droite $(AG)$ est-elle orthogonale au plan $(BDE)$ ? Justifie.

Ex. 26★★★La tige et la vitre d'une lanterne cubique — Nora fabrique une lanterne en forme de cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ dm. Elle y place une vitre triangulaire $ACH$ et une tige $[DF]$. On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$, où $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $C(1\,;\,1\,;\,0)$, $D(0\,;\,1\,;\,0)$, $F(1\,;\,0\,;\,1)$ et $H(0\,;\,1\,;\,1)$.

1. aCalcule $\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{AC}$. Hugo en conclut que les droites $(DF)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. A-t-il raison ? Justifie.
2. bDémontre que la droite $(DF)$ est orthogonale au plan $(ACH)$. Déduis-en, sans calcul, que $(DF)$ et $(CH)$ sont orthogonales.
3. cDéduis-en une équation cartésienne du plan $(ACH)$.
4. dLa droite $(DF)$ coupe le plan $(ACH)$ en $K$. Détermine les coordonnées de $K$, puis la distance du point $D$ au plan $(ACH)$.
5. eCalcule le volume du tétraèdre $ACDH$ en prenant $ACD$ pour base. Déduis-en l'aire du triangle $ACH$.

Ex. 27★★★Le panneau solaire et ses supports — Yanis fixe un panneau solaire incliné en trois points $A(1\,;\,2\,;\,3)$, $B(0\,;\,-2\,;\,0)$ et $C(3\,;\,0\,;\,4)$. Ces points sont donnés dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ d'unité $1$ m.

1. aJustifie que $A$, $B$ et $C$ définissent un plan. Détermine ensuite un vecteur $\vec{n}$ normal au plan $(ABC)$ dont l'ordonnée vaut $1$.
2. bDéduis-en une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. cPour $m$ réel, une barre de support est posée sur le plan $\mathcal{Q}_m : x + my + 2z - 1 = 0$. Trouve $m$ pour que $\mathcal{Q}_m \perp (ABC)$. $\mathcal{Q}_m$ peut-il être parallèle à $(ABC)$ ? Justifie.
4. dUn second panneau est posé sur le plan $\mathcal{R} : x + \frac{1}{2}y - z + 3 = 0$. Détermine la position relative de $\mathcal{R}$ et de $(ABC)$. Justifie.
5. e$\Delta$ est la droite qui passe par $A$ et qui est orthogonale à $(ABC)$. Détermine les points $M$ de $\Delta$ situés à $6$ m du plan $(ABC)$.

Ex. 28★★★La tente pyramidale et sa lampe — Camille monte une tente en forme de pyramide $SABCD$ à base carrée. On se place dans un repère orthonormé d'origine $H$, le centre de la base (unité : $1$ m), avec $A(-2\,;\,-2\,;\,0)$, $B(2\,;\,-2\,;\,0)$, $C(2\,;\,2\,;\,0)$, $D(-2\,;\,2\,;\,0)$ et $S(0\,;\,0\,;\,2)$. Une lampe est posée en $H$.

1. aMontre que $\vec{n}(1\,;\,0\,;\,1)$ est normal au plan $(SBC)$, puis déduis-en une équation cartésienne de ce plan.
2. bVrai ou faux : « Les pans $(SBC)$ et $(SAD)$ de la tente sont perpendiculaires. » Justifie.
3. cDétermine les coordonnées du projeté orthogonal $K$ de $H$ sur le plan $(SBC)$, puis la distance de la lampe à ce plan.
4. dDémontre que, pour tout point $M$ du plan $(SBC)$, $HM \geqslant HK$, et que l'égalité n'a lieu que si $M = K$.
5. eDétermine le projeté orthogonal $P$ de $H$ sur la droite $(SC)$ et la distance $HP$. Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ? Justifie.

Ex. 29★★★Lire une équation de plan — Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, on donne le plan $\mathcal{P}_1 : 3x - 2y + z - 7 = 0$.

1. aDonne un vecteur normal à $\mathcal{P}_1$.
2. bNora prend les coefficients pour former le point $N(3\,;\,-2\,;\,1)$. $N$ appartient-il à $\mathcal{P}_1$ ? Justifie.
3. cLe point $A(2\,;\,-1\,;\,-1)$ appartient-il à $\mathcal{P}_1$ ? Justifie.
4. dDétermine la cote $z$ du point $B(1\,;\,4\,;\,z)$ pour que $B$ appartienne à $\mathcal{P}_1$.
5. eVrai ou faux ? $-6x + 4y - 2z + 14 = 0$ est aussi une équation de $\mathcal{P}_1$. Justifie.
6. fDonne un vecteur normal au plan $\mathcal{Q} : 2y + 6 = 0$ et décris ce plan.
7. gDétermine $d$ pour que $C(-1\,;\,2\,;\,5)$ appartienne au plan $x - 4y + 2z + d = 0$.

Ex. 30★★★Écrire l’équation d’un plan — Le repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ est orthonormé. Dans chaque cas, détermine une équation cartésienne du plan.

1. aLe plan passant par $A(-2\,;\,1\,;\,4)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3\,;\,-1\,;\,2)$.
2. bLe plan passant par $B(1\,;\,-3\,;\,-4)$ et orthogonal à l’axe $(Oz)$.
3. cLe plan passant par $C\left(\frac{1}{2}\,;\,2\,;\,-1\right)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4\,;\,-2\,;\,-6)$.
4. dLe plan passant par $O$ et parallèle au plan $x - 5y + 2z + 9 = 0$.
5. eLe plan passant par $D(2\,;\,0\,;\,-3)$ et orthogonal à une droite de vecteur directeur $\vec{u}(1\,;\,4\,;\,-1)$.

Ex. 31★★★Un plan qui coupe un cube dans un logiciel 3D — Dans un logiciel 3D, Malo modélise le cube $ABCDEFGH$ d’arête 1. $I$ est le milieu de $[FG]$. On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$.

1. aDonne les coordonnées des points $B$, $D$ et $I$.
2. bJustifie que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BI}$ ne sont pas colinéaires.
3. cDétermine un vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$ au plan $(BDI)$ en prenant $b = 2$. Vérifie-le sur $\overrightarrow{BD}$ et sur $\overrightarrow{BI}$.
4. dDéduis-en une équation cartésienne du plan $(BDI)$. Contrôle-la avec $D$ et $I$.
5. eDétermine les coordonnées du point d’intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDI)$.

Ex. 32★★★Le plan médiateur d’une diagonale de charpente — Une charpente a la forme d’un cube $ABCDEFGH$ d’arête 1. On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $K$ est le milieu de $[BH]$, $J$ celui de $[AD]$ et $I$ celui de $[FG]$. On note $\mathcal{P}$ le plan médiateur de $[BH]$.

1. aDonne les coordonnées de $B$, de $H$ et de $K$.
2. bInès écrit : « $\overrightarrow{BH}(-1\,;\,1\,;\,1)$ est normal et $B \in \mathcal{P}$, donc $\mathcal{P} : -x + y + z + 1 = 0$. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
3. cJustifie que $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $\mathcal{Q} : 2x - 2y - 2z + 5 = 0$. Ces deux plans sont-ils confondus ? Justifie.
4. dÉtudie l’intersection de la droite $(AC)$ et du plan $\mathcal{P}$.
5. eLa droite $(JI)$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = t \\ y = \frac{1}{2} \\ z = t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$. Étudie son intersection avec $\mathcal{P}$.

Ex. 33★★★Un panneau solaire incliné — Ambre installe un panneau solaire triangulaire. Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre), ses sommets sont $A(1\,;\,-2\,;\,0)$, $B(3\,;\,0\,;\,1)$ et $C(0\,;\,1\,;\,2)$.

1. aDémontre que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
2. bLou propose le vecteur normal $\vec{v}(3\,;\,-2\,;\,-2)$ parce que $\vec{v} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDétermine un vecteur normal $\vec{n}$ à $(ABC)$ dont la première coordonnée vaut 1. Déduis-en une équation cartésienne de $(ABC)$, puis contrôle-la avec $B$ et $C$.
4. dNoé trouve une équation de $(ABC)$ dont le coefficient de $x$ vaut 3. Écris-la sans refaire de calcul et justifie.
5. eLa plaque de fixation du panneau est le plan $\mathcal{S} : 2x + 2y + z - 3 = 0$. Les plans $(ABC)$ et $\mathcal{S}$ sont-ils perpendiculaires ? Justifie.

Ex. 34★★★Trois trajectoires de drone au-dessus d’une rampe — Une rampe de skate est modélisée par le plan $\mathcal{P} : x + 2y - 2z - 4 = 0$ dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre). Timéo programme trois trajectoires de drone : $d_1 : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$, $d_2 : \begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = t \\ z = 2t \end{cases}$, $d_3 : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

1. aLéo affirme : « $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-2)$, lu dans l'équation, dirige la rampe. La droite passant par $O$ de vecteur directeur $\vec{u}$ ne coupe donc pas $\mathcal{P}$. » Corrige son erreur en calculant le point d'intersection.
2. bÉtudie la position de $d_1$, puis celle de $d_2$, par rapport à $\mathcal{P}$.
3. cDémontre que $d_3$ coupe $\mathcal{P}$ et donne les coordonnées du point d'intersection.
4. dPour un réel $m$, on pose $d_m : \begin{cases} x = 1 + mt \\ y = 2 + t \\ z = t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$. Détermine $m$ pour que $d_m$ ne coupe pas la rampe.

Ex. 35★★★Le plan médiateur des haubans d’une tente — Yanis monte une tente. Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre), le sol est le plan d'équation $z = 0$. Deux haubans sont attachés en $A(1\,;\,-3\,;\,2)$ et en $B(5\,;\,-1\,;\,0)$. La toile centrale suit le plan médiateur $\mathcal{P}$ de $[AB]$.

1. aDétermine une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
2. bLe piquet central est planté au sol en $C(c\,;\,0\,;\,0)$. Détermine $c$ pour que $C$ soit à égale distance de $A$ et de $B$.
3. cDonne un vecteur normal au sol. Justifie que $\mathcal{P}$ et le sol sont sécants. Sont-ils perpendiculaires ? Justifie.
4. dPour un réel $k$, on pose $\mathcal{T}_k : 6x + 3y - 3z + k = 0$. Justifie que $\mathcal{T}_k$ est parallèle à $\mathcal{P}$, puis trouve $k$ pour qu'ils soient confondus.
5. eLe mât suit la droite $\Delta : \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$. Détermine le point $M$ où il traverse $\mathcal{P}$, puis vérifie que $MA = MB$.

Ex. 36★★★Capteur et panneau solaire incliné — Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, un panneau solaire incliné est modélisé par le plan $\mathcal{P} : 2x - 3y + 6z - 1 = 0$ et un capteur par le point $M(1\,;\,-2\,;\,7)$.

1. aLis un vecteur normal $\vec{n}$ à $\mathcal{P}$ et calcule $\|\vec{n}\|$.
2. bDonne une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal{P}$.
3. cDétermine le paramètre $t$ du point d'intersection $H$ de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$.
4. dDonne les coordonnées de $H$ et vérifie que $H \in \mathcal{P}$.
5. eCalcule la distance $MH$ du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.
6. fCalcule la distance du point $A(-1\,;\,3\,;\,2)$ au plan $\mathcal{P}$.

Ex. 37★★★Rayon laser dans une vitrine — Un rayon laser suit la diagonale $(AG)$ d'une vitrine en forme de pavé $ABCDEFGH$ avec $AB = 2$, $AD = 4$, $AE = 2$. On se place dans le repère orthonormé d'origine $A$ où $B(2\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,2)$. $K$ est le centre du pavé.

1. aDonne les coordonnées de $G$ et de $K$.
2. bJustifie que $(AG)$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$.
3. c$K$ est sur $(AG)$. $K$ est-il le projeté orthogonal de $B$ sur $(AG)$ ? Justifie.
4. dPour le point $M(t\,;\,2t\,;\,t)$ de $(AG)$, exprime $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AG}$ en fonction de $t$.
5. eDéduis-en les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $B$ sur $(AG)$.
6. fCalcule la distance du point $B$ à la droite $(AG)$.

Ex. 38★★★Drone au-dessus d'une rampe — Dans un repère orthonormé, une rampe est modélisée par le plan $\mathcal{R} : 2x + 2y - z - 3 = 0$ et un drone par le point $D(3\,;\,4\,;\,2)$. On note $\vec{n}(2\,;\,2\,;\,-1)$.

1. aMalo écrit : « distance $= \frac{|2 \times 3 + 2 \times 4 - 2|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = 4$ ». Explique pourquoi sa méthode n'est pas acceptée et repère son erreur de calcul.
2. bDonne une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale à $\mathcal{R}$, puis le paramètre $t$ du projeté orthogonal $H$ de $D$ sur $\mathcal{R}$.
3. cDonne les coordonnées de $H$ et vérifie que $H \in \mathcal{R}$.
4. dInès écrit : « $DH = t \times \|\vec{n}\|$ ». Corrige son erreur et calcule la distance du drone à la rampe.
5. eDétermine le point $D'$ de $\Delta$, différent de $D$, dont la distance à $\mathcal{R}$ est égale à $DH$.

Ex. 39★★★Tétraèdre dans un cube en 3D — Dans un logiciel 3D, Clara modélise un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$, avec le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[BD]$.

1. aDonne les coordonnées de $B$, $D$, $E$, $G$ et vérifie que $x + y + z - 1 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(BDE)$.
2. b$I$ appartient à $(BDE)$. Noé affirme que $I$ est le projeté orthogonal de $G$ sur $(BDE)$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine le projeté orthogonal $J$ de $G$ sur $(BDE)$, puis la distance de $G$ au plan $(BDE)$.
4. dOn admet que le triangle $BDE$ a pour aire $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Déduis-en le volume du tétraèdre $BDEG$.
5. eCalcule le volume du tétraèdre $ABDE$ en prenant $ABD$ pour base, puis déduis-en la distance de $A$ au plan $(BDE)$.

Ex. 40★★★Pyramide de verre — Une pyramide de verre $SABCD$ a pour base le carré $ABCD$ de côté $4$ m. Sa hauteur $[SH]$ mesure $4$ m. On se place dans un repère orthonormé (unité : le mètre) où $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $C(4\,;\,4\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $S(2\,;\,2\,;\,4)$. On note $\vec{n}(2\,;\,0\,;\,1)$. Distances en valeur exacte.

1. aDémontre que $\vec{n}$ est normal au plan $(SBC)$, puis déduis-en une équation cartésienne de $(SBC)$.
2. bDétermine les coordonnées du projeté orthogonal $K$ de $A$ sur $(SBC)$, puis la distance de $A$ au plan $(SBC)$.
3. cYanis affirme : « Le milieu $I$ de $[BC]$ est dans $(SBC)$, donc $AI$ est la distance de $A$ au plan $(SBC)$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule le volume du tétraèdre $SABC$ en prenant $ABC$ pour base, puis déduis-en l'aire du triangle $SBC$.

Ex. 41★★★Lanterne et toile de tente — Dans un repère orthonormé (unité : le mètre), un pan de toile de tente est modélisé par le plan $\mathcal{P} : 2x - 2y + z - 3 = 0$, de vecteur normal $\vec{n}(2\,;\,-2\,;\,1)$. Une lanterne est au point $M(6\,;\,-2\,;\,5)$. Un arceau posé sur la toile suit la droite $(d)$ : $\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 1 + 2s \\ z = 3 + 2s \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$, de vecteur directeur $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,2)$.

1. aCas général : $H$ est le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ et $N$ un point de $\mathcal{P}$. Démontre que $MN^2 = MH^2 + HN^2$, puis déduis-en que $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$.
2. bDétermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de la lanterne $M$ sur $\mathcal{P}$.
3. cVrai ou faux ? Justifie : « La lanterne $M$ est à moins de $5$ m du plan $\mathcal{P}$. »
4. dDétermine les coordonnées du projeté orthogonal $K$ de $M$ sur la droite $(d)$, puis calcule $MK$.
5. eCalcule $HK$, vérifie que $MK^2 = MH^2 + HK^2$ et explique ce résultat avec la première question.

Ex. 42★★★Planche de charpente dans un hangar — Un hangar est modélisé par le pavé $ABCDEFGH$ avec $AB = 4$, $AD = 2$ et $AE = 2$ (en mètres). Une planche de charpente occupe le plan $(EFC)$. Dans le repère orthonormé d'origine $A$ (unité : le mètre) : $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $C(4\,;\,2\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$, $E(0\,;\,0\,;\,2)$, $F(4\,;\,0\,;\,2)$, $G(4\,;\,2\,;\,2)$, $H(0\,;\,2\,;\,2)$. Distances en valeur exacte.

1. aDémontre que la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $(EFC)$, puis déduis-en une équation cartésienne de $(EFC)$.
2. bLéa cherche le projeté orthogonal de $B$ sur $(EFC)$ avec la droite passant par $B$ dirigée par $\overrightarrow{EC}$. Montre qu'elle échoue, explique son erreur, puis détermine ce projeté et la distance de $B$ à $(EFC)$.
3. cPour $s \in [0\,;\,1]$, le point $M(4s\,;\,2s\,;\,2s)$ décrit $[AG]$. Exprime la distance de $M$ à $(EFC)$ en fonction de $s$. Pour quel point est-elle nulle ? Justifie.
4. dDétermine les coordonnées des points $M$ de $[AG]$ situés à la distance $\frac{\sqrt{2}}{2}$ du plan $(EFC)$.
5. eCalcule l'aire du triangle $EFC$, puis le volume du tétraèdre $GEFC$ en prenant $EFC$ pour base.

Ex. 43★★★Charpente cubique : coordonnées et orthogonalité — Malik étudie une charpente cubique $ABCDEFGH$ d'arête 1 dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[FG]$ et $J$ le point de $[AE]$ tel que $AJ = \frac{1}{4}AE$. Donne les résultats en valeur exacte.

1. aDonne les coordonnées des points $G$, $I$ et $J$.
2. bCalcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{JI}$.
3. cCalcule la longueur $JI$.
4. dLes droites $(AI)$ et $(CH)$ sont-elles orthogonales ? Justifie.
5. eLes vecteurs $\overrightarrow{JI}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
6. fCalcule la distance $DI$.

Ex. 44★★★Panneau solaire dans un cadre en pavé — Yasmine fixe un panneau solaire incliné selon le triangle $BDE$ d'un cadre en forme de pavé $ABCDEFGH$. Dans un repère orthonormé d'origine $A$ (unité : le mètre), $B(2\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,2)$. On note $\mathcal{P} : 2x + y + 2z - 4 = 0$.

1. aVérifie que les points $B$, $D$ et $E$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$.
2. bLis un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$.
3. cLe sommet $G$ appartient-il au plan $\mathcal{P}$ ? Justifie.
4. dLa droite $(AG)$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{P}$ ? Justifie.
5. eLes plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q} : x + 2y - 2z = 0$ sont-ils perpendiculaires ? Justifie.
6. fDétermine le réel $d$ tel que le plan $\mathcal{P}' : 2x + y + 2z + d = 0$ passe par $G$.

Ex. 45★★★Logiciel 3D : du vecteur normal au volume — Inès modélise dans un logiciel 3D un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[AE]$. Donne les résultats en valeur exacte. Au bac, un résultat « démontre que » peut servir pour la suite même si tu n'as pas réussi à le démontrer.

1. aDonne les coordonnées des points $B$, $D$, $G$ et $I$.
2. bDémontre que $\vec{n}(1\,;\,1\,;\,2)$ est normal au plan $(BDI)$, puis déduis-en une équation cartésienne de ce plan.
3. cDétermine une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $G$ et orthogonale à $(BDI)$, puis son point d'intersection $K$ avec $(BDI)$ et la distance de $G$ au plan $(BDI)$.
4. dJustifie que $K$ est le milieu de $[BD]$ et que $(IK) \perp (BD)$, puis calcule l'aire du triangle $BDI$.
5. eDéduis-en le volume du tétraèdre $GBDI$.

Ex. 46★★★Drone au-dessus d'une rampe : les erreurs de Noé — Une rampe est le rectangle $BCHE$ tracé dans un pavé $ABCDEFGH$, dans un repère orthonormé d'origine $A$ (unité : le mètre) où $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,5\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,3)$. On admet que le plan $\mathcal{R} = (BCH)$ a pour équation $3x + 4z - 12 = 0$ ; on note $\vec{n}(3\,;\,0\,;\,4)$. Un drone se trouve en $M\left(5\,;\,2\,;\,\frac{11}{2}\right)$.

1. aNoé affirme : « $N(0\,;\,2\,;\,3)$ est sur la rampe, donc c'est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{R}$. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bDétermine une représentation paramétrique de la droite passant par $M$ orthogonale à $\mathcal{R}$, puis le projeté orthogonal $K$ de $M$ sur $\mathcal{R}$.
3. cNoé écrit « $MK = t \times \|\vec{n}\| = -5$ », puis vérifie avec une formule de distance toute faite. Corrige-le et donne la distance de $M$ à $\mathcal{R}$.
4. dJustifie que $\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{KN} = 0$, puis déduis-en $MN$ à l'aide de $MK$ et $KN$.
5. eLe drone descend sur la droite $(MK)$ jusqu'à être à $2{,}5$ m de la rampe, du côté de $M$. Détermine sa position $L$.

Ex. 47★★★Pyramide de verre : distance, volume et aire — Lina étudie la maquette d'une pyramide de verre $SABCD$ à base carrée de centre $H$. Dans un repère orthonormé d'origine $H$ (unité : le mètre), on a $A(2\,;\,-2\,;\,0)$, $B(2\,;\,2\,;\,0)$, $C(-2\,;\,2\,;\,0)$, $D(-2\,;\,-2\,;\,0)$ et $S(0\,;\,0\,;\,4)$. Les résultats se donnent en valeur exacte.

1. aDétermine un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $(SBC)$, puis déduis-en une équation cartésienne de ce plan.
2. bMontre que le point $K\left(2\,;\,\frac{6}{5}\,;\,\frac{8}{5}\right)$ est le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $(SBC)$.
3. cDéduis-en la distance du point $A$ au plan $(SBC)$.
4. dCalcule le volume du tétraèdre $SABC$ en prenant pour base le triangle $ABC$.
5. eDéduis-en l'aire du triangle $SBC$, puis vérifie-la par un calcul direct.

Ex. 48★★★Rayon laser et miroir plan dans un pavé — Sacha place un miroir plan dans une boîte en forme de pavé $ABCDEFGH$ avec $AB = 4$ dm, $AD = 2$ dm et $AE = 2$ dm. On utilise le repère orthonormé $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le décimètre) où $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,2)$. Le miroir est le plan $(IJK)$, où $I$, $J$ et $K$ sont les milieux de $[BF]$, $[DC]$ et $[EH]$. Les angles s'arrondissent au dixième de degré.

1. aExplique pourquoi le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$ n'est pas orthonormé, puis donne les coordonnées de $I$, $J$ et $K$.
2. bDémontre que $\vec{n}(1\,;\,2\,;\,2)$ est normal au miroir $(IJK)$, puis déduis-en une équation cartésienne de ce plan.
3. cLe laser part de $A$ et vise $G$. Détermine les coordonnées du point $L$ où le rayon $(AG)$ frappe le miroir.
4. dCalcule l'angle géométrique entre les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\vec{n}$
   (angle d'incidence du rayon).
5. eSacha affirme que la distance de $G$ au miroir est $GL$. Détermine le projeté orthogonal $R$ de $G$ sur le miroir, puis corrige Sacha.

Ex. 49★★★Antenne et toit incliné : du plan au volume — Hugo modélise un local technique cubique $ABCDEFGH$ d'arête 6 m dans le repère orthonormé $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ (unité : le mètre), avec $B(6\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,6\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,6)$. Les points $I$ et $J$ sont les milieux de $[EF]$ et $[EH]$. Le toit incliné suit le plan $(BDI)$. Un câble d'antenne relie $G$ au toit par le chemin le plus court. Les résultats se donnent en valeur exacte.

1. aDonne les coordonnées de $I$ et $J$. Montre que le plan $(BDI)$ a pour équation $2x + 2y + z - 12 = 0$, puis que $J$ appartient à ce plan.
2. bDonne une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $G$ et orthogonale au toit, puis les coordonnées du point $P$ d'intersection de $\Delta$ et du toit.
3. cDémontre que $P$ est le point du plan $(BDI)$ le plus proche de $G$, puis déduis-en la distance de $G$ au toit.
4. dDétermine le projeté orthogonal $Q$ de $J$ sur la droite $(BD)$, puis calcule l'aire du triangle $BDJ$.
5. eDéduis-en le volume du tétraèdre $GBDJ$.