49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Produit scalaire avec le cosinus
À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$ est un nombre. Les deux vecteurs partent du même point : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$. Le signe est celui de $\cos\theta$ ; $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ ; $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leqslant \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|$. Ex. : $2 \times 5 \times \cos 120^\circ = -5$.
Ex. 1★★★Automatismes : normes et angle— Calcule chaque produit scalaire en valeur exacte. $\theta$ désigne l'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Ex. 2★★★Automatismes : dans un triangle équilatéral— $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $5$ et $H$ est le milieu de $[BC]$. Calcule chaque produit scalaire en valeur exacte.
Ex. 3★★★Travail d'une force : à l'endroit et à rebours— Le travail (en joules) d'une force $\vec{F}$ (en newtons) pendant un déplacement $\overrightarrow{AB}$ (en mètres) est le produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}$. Donne les valeurs exactes, puis arrondis au dixième si besoin.
aLéa pousse un chariot avec une force de $40$ N, sur $AB = 15$ m (figure). Calcule $W$.
bHugo tire une luge sur $10$ m avec une force de $60$ N. Le travail vaut $450$ J. Calcule l'angle entre la force et le déplacement.
cInès affirme : « Avec une force de $25$ N sur $14$ m, j'ai fourni $400$ J. » Est-ce possible ? Justifie.
dLe vent exerce sur un cycliste une force qui fait un angle de $120^\circ$ avec son déplacement de $12$ m. Son travail vaut $-180$ J. Calcule la norme de cette force.
Ex. 4★★★Vrai ou faux dans l'hexagone régulier— $ABCDEF$ est un hexagone régulier de centre $O$ et de côté $3$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.
a« $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ est un vecteur de norme $\frac{9}{2}$. »
Ex. 5★★★Le panneau de treillis d'un pont— Sur le plan d'un pont, un panneau de treillis a la forme d'un parallélogramme $ABCD$ avec $AB = 6$, $AD = 2\sqrt{2}$ (en mètres) et $\widehat{BAD} = 45^\circ$. Donne chaque résultat en valeur exacte.
bDétermine la mesure de l'angle $\widehat{ADC}$, puis calcule $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC}$.
cCalcule $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DA}$ en justifiant la position des deux vecteurs.
dNoé écrit : « $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 6\overrightarrow{AB}$, c'est un vecteur de même sens que $\overrightarrow{AB}$ ». Corrige son erreur et calcule ce produit scalaire.
eÉcris $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$ pour calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Le signe du résultat est-il cohérent avec la figure ? Justifie.
Ex. 6★★★Le losange du carreleur— Pour un carrelage, Maëlle trace un losange $ABCD$ de côté $4$ avec $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Donne chaque résultat en valeur exacte.
bRayan écrit : « $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CB} = 4 \times 4 \times \cos 60^\circ = 8$ ». Explique son erreur et donne le bon résultat.
cAvec $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$, développe $BD^2$ pour calculer la longueur $BD$.
dAvec $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, calcule $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$. Que dis-tu des droites $(AC)$ et $(BD)$ ? Justifie.
eCalcule $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}$, puis déduis-en la mesure de l'angle $\widehat{ABD}$.
Ex. 7★★★Le bras articulé d'un robot— Le bras articulé d'un robot a une épaule $O$, un coude $A$ et une pince $B$, avec $OA = 5$ dm et $AB = 3$ dm. Le capteur du coude affiche $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} = -7{,}5$. Arrondis les angles non remarquables au dixième de degré.
aDétermine la mesure exacte de l'angle $\widehat{OAB}$.
cDéveloppe $\|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}\|^2$ pour montrer que $OB = 7$.
dJade lit à l'écran : $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 40$. Explique pourquoi c'est impossible, puis calcule la vraie valeur.
eDéduis-en une mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
2.Produit scalaire par projection orthogonale
À retenir : $H$ projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ si $H$ est du côté de $B$, $-AB \times AH$ sinon, $0$ si $H = A$. Ex. : $AB = 3$,$AH = 2$, $H$ opposé à $B$ : $-6$. Même origine d'abord.
Ex. 8★★★Lire le projeté et choisir le signe— Sur la figure, $H$ et $K$ sont les projetés orthogonaux de $C$ et de $D$ sur la droite $(AB)$. Calcule chaque produit scalaire.
Ex. 9★★★Rectangle : projeter au bon endroit— $ABCD$ est un rectangle avec $AB = 6$ et $AD = 4$ ; $I$ est le milieu de $[DC]$. Calcule chaque produit scalaire sans calculer $AC$.
Ex. 10★★★Hexagone régulier et erreur d'Inès— $ABCDEF$ est un hexagone régulier de côté $4$ et de centre $O$ (ses angles mesurent $120^\circ$).
aJustifie que $(BD) \perp (AB)$ et que $(AE) \perp (AB)$, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$.
bCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$ par projection orthogonale.
cJustifie que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}$, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
dInès écrit : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC = 4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$. Explique son erreur, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
Ex. 11★★★Trapèze rectangle : sur quelle droite projeter ?— $ABCD$ est un trapèze rectangle en $A$ et en $D$, avec $(AB) \parallel (DC)$,$AB = 7$, $DC = 3$ et $AD = 5$.
Ex. 12★★★Hauteur extérieure : signes et relation de Chasles— $ABC$ est un triangle et $H$ est le pied de la hauteur issue de $C$, c'est-à-dire le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. On a $AB = 7$, $AH = 1$ et $CH = 3$, et $A$ est entre $H$ et $B$. Arrondis l'angle au dixième de degré.
aNoa écrit : « $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH = 7$ ». Explique son erreur, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
bCalcule $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ par projection.
cDéduis-en, sans nouvelle projection, $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}$.
dEn écrivant $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{HA}$ et $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{HB}$, calcule $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$.
eCalcule $AC$, puis la valeur exacte de $\cos\widehat{BAC}$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Ex. 13★★★Losange : projeter sur la bonne diagonale— Un carreau de faïence a la forme d'un losange $ABCD$ de centre $O$, de côté $6$, avec $\widehat{BAD} = 60^\circ$. On rappelle que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
aJustifie que le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ est $O$, puis calcule $AO$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
bLina écrit : « $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$ ». Trouve son erreur, puis calcule correctement ce produit scalaire.
cCalcule $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC}$ en projetant sur la droite $(BD)$.
dCalcule $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{CD}$ en remplaçant d'abord $\overrightarrow{CD}$ par un vecteur égal.
Ex. 14★★★Allées perpendiculaires dans un terrain carré— Malo trace deux allées droites $[DE]$ et $[AF]$ dans un terrain carré $ABCD$ de côté $6$ (en mètres). $E$ est sur $[AB]$, $F$ est sur $[BC]$, et $AE = BF$. Sur la figure, $AE = BF = 2$. Arrondis l'angle au degré.
aCalcule $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ par projection sur la droite qui porte $\overrightarrow{AE}$, sans calculer $AF$.
bAvec $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}$, calcule $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AF}$. Que peux-tu dire des allées ?
cDans le cas général $AE = BF = x$ avec $0 \leqslant x \leqslant 6$, démontre que les droites $(DE)$ et $(AF)$ sont toujours perpendiculaires.
dOn revient au cas $AE = BF = 2$. En décomposant $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ avec la relation de Chasles, calcule $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF}$.
eCalcule $DE$ et $DF$, puis une mesure de l'angle $\widehat{EDF}$.
3.Bilinéarité, développement et normes
À retenir : $\|\vec{u}\pm\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2\pm 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2)$. Pièges : $\|\vec{u}+\vec{v}\|\neq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$ et $(2\vec{u})\cdot(3\vec{v})=6\,\vec{u}\cdot\vec{v}$.
Ex. 15★★★Automatismes — développer par bilinéarité— On donne $\|\vec{u}\| = 5$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -2$. Sur la figure, $\vec{u}=\overrightarrow{OU}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OV}$. Développe par bilinéarité en gardant les vecteurs, puis calcule.
Ex. 16★★★Automatismes — norme d'une somme, d'une différence— $ABCD$ est un parallélogramme, $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, donc $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. On donne $\|\vec{u}\| = 6$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{5}$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4$.
aNina écrit : « $\|\vec{u}+\vec{v}\| = \|\vec{u}\|+\|\vec{v}\| = 6+\sqrt{5}$ ». Explique son erreur, puis calcule $\|\vec{u}+\vec{v}\|$.
bCalcule $\|\vec{u}-\vec{v}\|$.
cCalcule $\|\vec{u}-3\vec{v}\|$.
Ex. 17★★★Un cadre de portail : d'une diagonale à l'autre— Inès fabrique un cadre de portail en forme de parallélogramme $ABCD$ avec $AB = 7$ dm, $AD = 4$ dm et une diagonale $AC = 10$ dm. On pose $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Arrondis l'angle au dixième de degré.
aExprime $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
cDéduis-en la longueur exacte de la diagonale $BD$.
dCalcule une mesure de l'angle $\widehat{BAD}$.
Ex. 18★★★Démonstration à compléter, puis le terrain de Malik— $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs quelconques. Malik étudie aussi un terrain triangulaire $ABC$ avec $AB = 5$ m, $AC = 7$ m et $BC = 9$ m.
bExprime $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$, puis calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$.
cDéduis-en $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$, puis la nature de l'angle $\widehat{ABC}$. Justifie.
dMalik voulait un angle droit en $B$, avec les mêmes longueurs $AB$ et $BC$. Quelle longueur $AC$ aurait-il fallu ? Justifie.
Ex. 19★★★Le bras articulé d'un robot— Le bras articulé d'un robot pivote en $A$. Ses deux segments mesurent $AB = 6$ cm et $AC = 4$ cm, et ses pinces $B$ et $C$ sont à $BC = 8$ cm l'une de l'autre. On pose $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. $I$ est le milieu de $[BC]$. Les angles sont à donner à $0{,}1^\circ$ près.
aExprime $\overrightarrow{CB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis développe $BC^2$ pour calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
bDéduis-en la nature de l'angle $\widehat{BAC}$, puis sa mesure.
cLéo écrit : « $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})$, donc $AI^2=\frac{1}{4}(AB^2+AC^2)=13$ ». Trouve son erreur, puis calcule $AI$.
dCalcule $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC}$ par bilinéarité. La médiane $(AI)$ est-elle perpendiculaire à $(BC)$ ? Justifie.
Ex. 20★★★Les barres de renfort d'une passerelle— Kofi dessine le cadre d'une passerelle : un rectangle $ABCD$ avec $AB = 8$ m et $AD = h$ m ($h > 0$). $M$ est le milieu de $[AB]$. Deux barres de renfort suivent $[DM]$ et $[AC]$.
aÉcris $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, puis exprime $\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{AC}$ en fonction de $h$.
bDans cette question, $h = 4$. Calcule $DM^2$,$AC^2$, puis $\|\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{AC}\|$.
cDétermine la valeur de $h$ pour laquelle les barres $[DM]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires.
dPour cette valeur, Zoé affirme : « $\|\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{AC}\|^2=DM^2+AC^2$ ». Vrai ou faux ? Justifie, puis calcule cette norme.
Ex. 21★★★Deux cordes sur un anneau : tout retrouver à partir des normes— Deux cordes tirent un anneau $O$ avec les forces $\vec{u}=\overrightarrow{OU}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OV}$ (en newtons). $OUSV$ est un parallélogramme. Lina mesure $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{u}+\vec{v}\| = 7$ et $\|\vec{u}-\vec{v}\| = 5$. L'angle est à donner à $0{,}1^\circ$ près.
aÉcris $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ comme des vecteurs de la figure.
bYanis écrit : « $\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2-2\,\vec{u} \cdot \vec{v}-\|\vec{v}\|^2$ ». Corrige son erreur en développant $(\vec{u}-\vec{v}) \cdot (\vec{u}-\vec{v})$.
cCombine les développements de $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ et de $\|\vec{u}-\vec{v}\|^2$ pour calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
dCalcule $\|\vec{v}\|$, puis la mesure de l'angle géométrique entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
eCalcule $\overrightarrow{OS} \cdot \overrightarrow{VU}$. Les diagonales du parallélogramme sont-elles perpendiculaires ? Justifie.
4.En coordonnées : calcul et orthogonalité
À retenir : Seulement en repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Orthogonaux $\iff$ produit scalaire nul (colinéaires $\iff xy' - x'y = 0$). $\vec{u}(a\,;b) \perp \vec{v}(-b\,;a)$ : $(2\,;5) \perp (-5\,;2)$.
Ex. 22★★★Automatismes : produit scalaire et norme en coordonnées— Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$. Donne les résultats en valeur exacte.
aCalcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(-2\,;5)$ et $\vec{v}(3\,;-4)$.
bCalcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(-3\,;-2)$ et $\vec{v}(-4\,;1)$.
cCalcule la norme de $\vec{w}(-6\,;3)$.
dOn donne $A(3\,;-2)$ et $B(-5\,;4)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, puis la longueur $AB$.
eSoit $\vec{u}(-7\,;4)$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{i}$ et $\vec{u} \cdot \vec{j}$.
Ex. 23★★★Automatismes : orthogonalité et perpendicularité— Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$.
a$\vec{u}(4\,;-6)$ et $\vec{v}(-6\,;9)$ sont-ils orthogonaux ? colinéaires ? Justifie.
b$\vec{u}(-3\,;7)$ et $\vec{v}(8\,;3)$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
cOn donne $A(-2\,;1)$,$B(1\,;3)$, $C(0\,;-2)$ et $D(2\,;-5)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifie.
dOn donne $A(-3\,;2)$ et $B(1\,;7)$. Donne un vecteur directeur d'une droite perpendiculaire à $(AB)$.
Ex. 24★★★Trois copies à corriger— Ben corrige trois copies. Pour chaque élève, trouve l'erreur, puis donne le bon calcul et la bonne conclusion.
aRepère orthonormé, $\vec{u}(3\,;-2)$ et $\vec{v}(4\,;6)$. Tom écrit : « $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 6 + 4 \times (-2) = 10$, donc ils ne sont pas orthogonaux ».
bRepère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ avec $\vec{i} \perp \vec{j}$, $\|\vec{i}\| = 1$ et $\|\vec{j}\| = 2$. Chloé écrit, pour $\vec{u}(2\,;1)$ et $\vec{v}(-1\,;2)$ : « $2 \times (-1) + 1 \times 2 = 0$, donc $\vec{u} \perp \vec{v}$ ».
cRepère orthonormé, $A(0\,;-1)$,$B(4\,;-4)$,$C(2\,;2)$. Yanis écrit : « $\overrightarrow{AB}(-4\,;3)$,$\overrightarrow{AC}(2\,;3)$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1$ et $\widehat{BAC}$ est aigu ».
Ex. 25★★★Le terrain de Sacha— Sacha dessine un terrain triangulaire dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 10 m) : $A(-2\,;-1)$, $B(4\,;1)$ et $C(2\,;7)$.
aMontre que le triangle $ABC$ est rectangle et précise en quel sommet.
bCalcule la valeur exacte de $\cos\widehat{BAC}$, puis une mesure de $\widehat{BAC}$.
cSacha veut placer un piquet $D(m\,;m)$ tel que le triangle $ABD$ soit rectangle en $A$. Trouve $m$.
dPour quelles valeurs de $m$ les vecteurs $\vec{u}(m\,;4)$ et $\vec{v}(m + 3\,;-1)$ sont-ils orthogonaux ?
Ex. 26★★★La pince du bras robotisé— Inès programme un bras articulé de robot dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$. Le bras va de $A(-1\,;3)$ à $B(3\,;1)$. La pince est au point $C(m\,;5)$, où $m$ est un réel : elle se déplace sur la droite $(DE)$ de la figure.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$ (en fonction de $m$), puis la norme $\|\overrightarrow{AB}\|$ en valeur exacte.
bLéo cherche $m$ pour que $ABC$ soit rectangle en $A$. Il écrit : « $4 \times 2 + (m+1) \times (-2) = 0$, donc $m = 3$ ». Trouve son erreur et donne la bonne valeur de $m$.
cDétermine $m$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $B$.
dDémontre qu'aucune valeur de $m$ ne rend le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
ePour quelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Quel outil utilises-tu, et pourquoi pas le produit scalaire ?
Ex. 27★★★Le motif de carrelage de Nina— Nina trace un motif de carrelage. $ABCD$ est un carré de côté $10$ cm, $I$ est le milieu de $[BC]$ et $J$ le milieu de $[CD]$. On se demande si les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont perpendiculaires. Arrondis les angles au degré.
aDans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, Nina trouve $\overrightarrow{AI}\left(\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$, $\overrightarrow{BJ}\left(-\frac{3}{2}\,;1\right)$, puis $xx' + yy' = -\frac{1}{4} \neq 0$, et conclut « pas perpendiculaires ». Explique son erreur.
bOn pose $\vec{i} = \frac{1}{10}\overrightarrow{AB}$ et $\vec{j} = \frac{1}{10}\overrightarrow{AD}$. Justifie que $(A\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, puis donne les coordonnées de $B$,$I$,$J$, $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{BJ}$.
cDémontre que $(AI) \perp (BJ)$. Quelle relation entre les coordonnées de $\overrightarrow{AI}$ et de $\overrightarrow{BJ}$ permettait de le prévoir ?
dCalcule $AI$ en valeur exacte, puis $\cos\widehat{BAI}$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAI}$.
Ex. 28★★★Le vitrail de Malik— Malik conçoit un vitrail $ABCD$ dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 dm) : $A(-3\,;1)$,$B(2\,;1)$, $C(5\,;5)$ et $D(0\,;5)$. Arrondis les angles au dixième de degré.
aDémontre que $ABCD$ est un parallélogramme, puis que ses diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires. Quelle est la nature de $ABCD$ ?
bCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$, puis une mesure de l'angle $\widehat{DAB}$.
cLina calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = -10$ et conclut que l'angle $\widehat{ABD}$ est obtus. Corrige-la, puis donne une mesure de $\widehat{ABD}$.
dMalik ajoute une baguette dirigée par un vecteur $\vec{w}(x\,;y)$ orthogonal à $\overrightarrow{AC}$ et de même norme que $\overrightarrow{AC}$. Détermine les vecteurs $\vec{w}$ possibles.
5.Calculer un angle
À retenir :$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$, avec $\theta$ entre $0^\circ$ et $180^\circ$ : cos < 0 ⇒ angle obtus. Angle en A : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ partent de A. Simplifie avant de conclure : $\frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $45^\circ$. Deux droites : angle entre $0^\circ$ et $90^\circ$.
Ex. 29★★★Automatismes : du cosinus à l'angle— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Donne les angles en degrés ; arrondis au dixième de degré si l'angle n'est pas remarquable.
a$\|\vec{u}\| = 2\sqrt{3}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{6}$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -3\sqrt{6}$. Détermine l'angle géométrique $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
b$\vec{u}(2\,;0)$ et $\vec{v}(3\,;3)$ : calcule $\cos\theta$ en valeur exacte simplifiée, puis l'angle $\theta$.
c$\vec{u}(4\,;1)$ et $\vec{v}(-1\,;3)$ sont représentés ci-dessous. Calcule l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
dOn sait que $\|\vec{u}\| = 6$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 9$ et que l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $60^\circ$. Retrouve $\|\vec{v}\|$.
eVrai ou faux ? « Si $\cos\theta = -\frac{1}{2}$, alors $\theta = -60^\circ$. » Justifie.
Ex. 30★★★Automatismes : l'angle en un sommet— Dans le repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on donne $A(-1\,;1)$, $B(4\,;0)$ et $C(1\,;4)$. Arrondis les angles au dixième de degré.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
bCalcule les longueurs $AB$ et $AC$ en valeur exacte.
cCalcule $\cos\widehat{BAC}$ en valeur exacte, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
dPour l'angle en A, Léo utilise les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AC}$. Quel angle trouve-t-il ? Explique son erreur.
Ex. 31★★★Deux voiliers : angle de vecteurs, angle de droites— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 mille marin), deux voiliers quittent le port O. Le premier suit la droite $d_1$ dirigée par $\vec{u}(2\,;1)$, le second suit la droite $d_2$ dirigée par $\vec{v}(-3\,;1)$.
aCalcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$, puis l'angle géométrique $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en valeur exacte.
bJade affirme : « les droites $d_1$ et $d_2$ forment un angle de $135^\circ$ ». Corrige son affirmation.
cUn troisième voilier suit la droite $d_3$ dirigée par $\vec{w}(1\,;m)$. Détermine $m$ pour que $d_3$ soit perpendiculaire à $d_2$.
dAvec cette valeur de $m$, calcule l'angle entre les droites $d_1$ et $d_3$.
Ex. 32★★★Un terrain, trois méthodes pour un angle— Un terrain triangulaire ABC est placé dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 10 m) : $A(1\,;1)$, $B(7\,;1)$ et $C(3\,;5)$. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). Arrondis les angles au dixième de degré.
aCalcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ de deux façons : avec les coordonnées, puis avec le projeté orthogonal H.
bMalik écrit « $\cos\widehat{BAC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12$ ». Explique pourquoi c'est impossible, puis calcule $\widehat{BAC}$.
cCalcule $BC$, puis retrouve $\cos\widehat{BAC}$ avec le théorème d'Al-Kashi.
dCalcule $\widehat{ABC}$ en valeur exacte. Déduis $\widehat{ACB}$ de la somme des angles, puis contrôle avec $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$.
Ex. 33★★★Bras de robot : l'angle au coude— Dans le repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, le bras articulé d'un robot est schématisé par le triangle $ECM$ : l'épaule $E(0\,;0)$, le coude $C(4\,;1)$ et la pince $M(7\,;6)$. Arrondis les angles au dixième de degré.
aCalcule $\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CM}$, puis la valeur exacte de $\cos\widehat{ECM}$ et la mesure de l'angle $\widehat{ECM}$.
bLina écrit : « $\overrightarrow{EC}(4\,;1)$ et $\overrightarrow{CM}(3\,;5)$, donc $\cos\widehat{ECM} = \frac{17}{\sqrt{17} \times \sqrt{34}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\widehat{ECM} = 45^\circ$ ». Explique son erreur et ce qu'elle a calculé.
cCalcule les valeurs exactes de $\cos\widehat{CEM}$ et de $\cos\widehat{EMC}$, puis les mesures de ces deux angles.
dVérifie tes trois résultats avec la somme des angles du triangle $ECM$.
Ex. 34★★★Étagère en trapèze : l'angle des diagonales— Maëlle conçoit une étagère en forme de trapèze rectangle $ABCD$, renforcée par deux barres placées sur les diagonales. Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 dm), on a $A(0\,;0)$,$B(8\,;0)$, $C(2\,;h)$ et $D(0\,;h)$, avec $h > 0$. On note $\theta$ l'angle géométrique entre $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$. Arrondis les angles au dixième de degré.
aExprime $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ en fonction de $h$.
bDétermine $h$ pour que les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ soient perpendiculaires. Justifie.
cDans cette question, $h = 2$. Calcule la valeur exacte de $\cos\theta$, puis $\theta$.
dToujours avec $h = 2$, Sami affirme : « l'angle entre les droites $(AC)$ et $(BD)$ est $\theta$ ». Vrai ou faux ? Justifie, puis donne cet angle.
Ex. 35★★★Deux poussées : un angle sans coordonnées— Deux ouvriers poussent une lourde caisse. Leurs poussées sont représentées par $\vec{u}$ et $\vec{v}$, avec $\|\vec{u}\| = 5$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\|\vec{u} + \vec{v}\| = 7$ (en centaines de newtons). On place les points $O$, $A$ et $S$ tels que $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{AS} = \vec{v}$. Arrondis les angles au dixième de degré.
aDéveloppe $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ par bilinéarité, puis calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
bDéduis-en l'angle géométrique $\theta$ entre les deux poussées.
cPour l'angle $\beta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{u} + \vec{v}$, Noé écrit $\cos\beta = \frac{\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v})}{\|\vec{u} + \vec{v}\|}$, et sa calculatrice affiche une erreur. Explique pourquoi, puis calcule $\beta$.
dRetrouve $\cos\beta$ avec le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $OAS$, puis calcule $\widehat{OAS}$. Pourquoi cet angle n'est-il pas égal à $\theta$ ?
eCalcule $\|\vec{u} - \vec{v}\|$, puis l'angle $\alpha$ entre $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} - \vec{v}$.
6.Théorème d’Al-Kashi
À retenir : Côté opposé à gauche : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$, avec $\widehat{A}$ compris entre $b$ et $c$. Angle obtus : $\cos\widehat{A}<0$, le terme devient $+$. Ex. : $b=c=1$, $\widehat{A}=120^\circ$ : $a^2=3$,$a=\sqrt3$. Aire $\frac12bc\sin\widehat{A}$.
Ex. 36★★★Automatismes : le troisième côté— Dans chaque triangle, écris d'abord la formule d'Al-Kashi avec les lettres du triangle, puis donne la valeur exacte de la longueur demandée.
cTriangle $KLM$ : $KL = 6$, $KM = \sqrt{2}$ et $\widehat{K} = \frac{\pi}{4}$. Quel côté est opposé à l'angle $\widehat{K}$ ? Calcule sa longueur.
dTriangle $RST$ : $RS = \sqrt{3}$, $ST = 5$ et $\widehat{RST} = 30^\circ$. Quelle longueur peut-on calculer directement ? Calcule-la.
Ex. 37★★★Automatismes : un angle et sa nature à partir des trois côtés— Dans chaque question, on connaît les trois côtés du triangle. Donne les valeurs exactes ; arrondis au dixième de degré un angle qui n'est pas remarquable.
aTriangle $ABC$ : $AB = 4$, $AC = 6$ et $BC = 7$. Calcule $\cos\widehat{A}$, puis donne la mesure de $\widehat{A}$ en degrés.
bTriangle $PQR$ : $PQ = \sqrt{3}$, $PR = 4$ et $QR = \sqrt{31}$. Calcule $\cos\widehat{P}$, puis donne la mesure de $\widehat{P}$ en radians.
cTriangle $UVW$ : $UV = 9$, $UW = 12$ et $VW = 15$. Calcule $UV^2 + UW^2 - VW^2$. Quelle est la nature de l'angle $\widehat{U}$ ?
dUn triangle a pour côtés $6$, $7$ et $10$. Quel est le seul angle qui peut être obtus ? L'est-il ? Justifie.
Ex. 38★★★Démonstration d'Al-Kashi et erreur de Noé— Dans un triangle $ABC$, on note $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$.
aJustifie que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, puis complète par bilinéarité : $BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 - \ldots + AB^2$.
bExprime $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ avec $b$, $c$ et $\cos\widehat{A}$, puis conclus. Que devient la formule si $\widehat{A} = 90^\circ$ ?
cAvec $AB = 3$, $AC = 4\sqrt{2}$ et $\widehat{A} = 135^\circ$, Noé écrit : $BC^2 = 9 + 32 - 2 \times 3 \times 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 17$, donc $BC = 17$. Trouve ses deux erreurs et corrige.
Ex. 39★★★Navigation entre deux îles— Yanis pilote une vedette depuis le port $P$. L'île $I$ est à $18$ km de $P$, l'île $J$ à $25$ km, et les deux routes forment un angle $\widehat{IPJ} = 40^\circ$. Arrondis les longueurs au dixième de km, l'aire au km² et l'angle au degré.
aCalcule la distance $IJ$ entre les deux îles.
bCalcule l'aire de la zone triangulaire $PIJ$.
cCalcule l'angle $\widehat{PIJ}$ formé par les routes $[IP]$ et $[IJ]$. Est-il aigu ou obtus ?
Ex. 40★★★L'angle connu n'est pas compris : deux triangles possibles— Inès veut construire avec son triangle de géomètre un triangle $ABC$ tel que $AB = 8$, $BC = 7$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$. On note $x = AC$. Sur la figure, le point $C$ est sur la demi-droite $[AE)$ et sur le cercle de centre $B$ et de rayon $7$.
aInès écrit $AC^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \times 8 \times 7 \times \cos 60^\circ$. Explique son erreur.
bÉcris le théorème d'Al-Kashi en partant du côté opposé à l'angle $\widehat{A}$, puis montre que $x^2 - 8x + 15 = 0$.
cRésous cette équation. Combien de triangles conviennent ?
dOn note $C$ et $D$ les deux points obtenus, avec $AC < AD$. Dans les triangles $ABC$ et $ABD$, donne la nature de l'angle opposé au plus grand côté. Justifie.
eCalcule la valeur exacte de l'aire de chacun des deux triangles.
Ex. 41★★★Bras articulé de robot— Sacha programme un bras de robot : l'épaule $O$ et le coude $A$ sont reliés par un segment de $30$ cm, le coude $A$ et la pince $P$ par un segment de $20$ cm. L'angle $\widehat{OAP}$ est réglable. Donne les valeurs exactes, puis les valeurs arrondies au dixième. La figure montre la position de la question 1.
aOn règle $\widehat{OAP} = \frac{2\pi}{3}$. Calcule la distance $OP$ entre l'épaule et la pince.
bLa pince doit atteindre un objet situé à $40$ cm de l'épaule. Calcule $\cos\widehat{OAP}$, puis la mesure de l'angle $\widehat{OAP}$.
cDans la position de la question 2, calcule $\cos\widehat{AOP}$, puis la mesure de l'angle $\widehat{AOP}$.
dL'angle $\widehat{OAP}$ varie strictement entre $0^\circ$ et $180^\circ$. Justifie que, pour tout réglage, $OP < 50$ cm.
eCalcule l'aire du triangle $OAP$ dans la position de la question 1.
Ex. 42★★★Le terrain de Malik— Malik, géomètre, relève une parcelle $ABCD$ : $AB = 40$ m, $AD = 30$ m, $BC = 30$ m, $CD = 70$ m, et l'angle $\widehat{BAD}$ est droit. Il trace la diagonale $[BD]$. Arrondis l'aire au m² près.
aCalcule $BD$ avec le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ABD$. Quel théorème retrouves-tu ?
bMalik affirme : « Dans le triangle $BCD$, seul l'angle $\widehat{CBD}$ peut être obtus. » Vrai ou faux ? Justifie sans calculer d'angle.
cCalcule $\cos\widehat{CBD}$, puis donne la mesure exacte de l'angle $\widehat{CBD}$.
dCalcule l'aire exacte de la parcelle $ABCD$, puis sa valeur arrondie.
7.Ensemble des points M tels que MA · MB = k
À retenir : $I$ milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$. Pour $=k$ : $MI^2 = k + \frac{AB^2}{4}$ ; $>0$ cercle, $=0$ point $I$, $<0$ vide. $k=0$ : cercle de diamètre $[AB]$, rayon $\frac{AB}{2}$. Ex. : $AB=2$, $k=3$ donne $MI=2$.
Ex. 43★★★Automatismes : lire l'ensemble selon la valeur de k— $A$ et $B$ sont deux points tels que $AB = 6$, et $I$ est le milieu de $[AB]$. Pour chaque valeur de $k$, détermine l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k$.
a$k = 7$.
b$k = -9$.
c$k = -12$.
d$k = 3$ (rayon en valeur exacte).
e$k = 0$ : précise le centre et le rayon.
Ex. 44★★★Automatismes : le cercle de diamètre [AB] en coordonnées— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. On donne $A(0\,;3)$,$B(4\,;-1)$, $M(4\,;3)$ et $N(3\,;3)$. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$.
aDonne le centre $I$ de $\mathcal{C}$ et son rayon en valeur exacte.
bCalcule $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$. Déduis-en que $M \in \mathcal{C}$ et donne la nature du triangle $AMB$.
cLe point $N$ appartient-il à $\mathcal{C}$ ? Justifie avec un produit scalaire.
dLe point $A$ appartient-il à $\mathcal{C}$ ? Justifie avec le produit scalaire $\overrightarrow{AA} \cdot \overrightarrow{AB}$.
eVrai ou faux ? Justifie : « Ici, le calcul $xx' + yy'$ suffit, sans équation de cercle, parce que le repère est orthonormé. »
Ex. 45★★★Démonstration exigible : transformer MA · MB— $A$ et $B$ sont deux points distincts et $I$ est le milieu de $[AB]$. On veut démontrer que, pour tout point $M$,$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$.
aAvec la relation de Chasles, écris $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ en passant par $I$, puis justifie que $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$.
bDéduis-en que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2$ et cite l'identité utilisée.
cExprime $IA^2$ en fonction de $AB$, puis conclus.
dDémontre que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. Précise son centre et son rayon.
Ex. 46★★★Bras de robot : l'erreur de Lina et le choix de k— Deux capteurs $A$ et $B$ d'un bras articulé de robot sont distants de $AB = 10$ cm. $I$ est le milieu de $[AB]$, et la pince est en un point $M$. Lina cherche l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16$ (en cm²). Elle écrit : « $MI^2 = -16 + \frac{10}{4} = -13{,}5 < 0$, donc l'ensemble est vide. »
aRepère l'erreur de Lina, puis donne l'ensemble correct.
bPour quelle valeur de $k$ l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k$ est-il réduit au point $I$ ?
cTrouve $k$ pour que cet ensemble soit le cercle de centre $I$ et de rayon $2\sqrt{5}$ cm.
dPour quelles valeurs de $k$ cet ensemble est-il vide ? Justifie.
Ex. 47★★★Navigation : deux balises et un voilier— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé (unité : le mille marin). Deux balises sont en $A(-2\,;1)$ et $B(4\,;3)$, une bouée en $C(2\,;-1)$ et un voilier en $E(3\,;5)$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$. Les angles sont arrondis au dixième de degré.
aCalcule $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$. Déduis-en que $C$ appartient à $\mathcal{C}$, puis la nature du triangle $ABC$.
bDonne les coordonnées du centre $I$ de $\mathcal{C}$ et son rayon en valeur exacte.
cCalcule $\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EB}$, puis vérifie que $\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EB} = EI^2 - \frac{AB^2}{4}$.
dSans utiliser d'équation de cercle, détermine l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 3$. La bouée $C$ est-elle sur $\Gamma$ ? Justifie.
eCalcule $EA$ et $EB$, puis une mesure de l'angle $\widehat{AEB}$ sous lequel le voilier voit les deux balises.
Ex. 48★★★Terrain de sport : angles vus depuis deux poteaux— Sur un terrain, deux poteaux $A$ et $B$ sont distants de $AB = 12$ m ; $I$ est le milieu de $[AB]$. On admet que, pour tout point $M$,$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$.
aUn arbitre en $S$ voit les deux poteaux sous un angle droit : $\widehat{ASB} = 90^\circ$. Calcule $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB}$, puis la distance $SI$.
bThéo affirme : « $A$ et $B$ n'appartiennent pas à l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$, car l'angle $\widehat{AMB}$ n'existe pas pour eux. » Vrai ou faux ? Justifie.
cUn joueur est en $P$ avec $PI = 5$ m. Calcule $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ et déduis-en la nature de l'angle $\widehat{APB}$.
dDétermine l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 28$, puis justifie que pour ces points l'angle $\widehat{AMB}$ est aigu.
eUn point $R$ vérifie $RA = 8$ m et $RB = 10$ m. Calcule $\overrightarrow{RA} \cdot \overrightarrow{RB}$ avec les normes seules, puis $RI$ en valeur exacte.
Ex. 49★★★Ferme de pont : un demi-hexagone— La ferme d'un pont est un trapèze $ABCD$ avec $(BC) \parallel (AD)$, $AD = 14$ m et $AB = BC = CD = 7$ m. $O$ est le milieu de $[AD]$ ; on admet que les triangles $ABO$, $OBC$ et $OCD$ sont équilatéraux. Pour tout point $M$,$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MD} = MO^2 - \frac{AD^2}{4}$.
aNora se place dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ : $B(1\,;0)$,$D(0\,;2)$, donc $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = (-1) \times (-1) + 0 \times 2 = 1$. Repère son erreur, puis calcule $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}$ par bilinéarité et conclus sur $\widehat{ABD}$.
bDémontre que $C$ appartient au cercle de diamètre $[AD]$ et déduis-en la nature du triangle $ACD$.
cPour quelle valeur de $k$ l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MD} = k$ est-il réduit à un point ? Et pour $k = -60$, quel est cet ensemble ? Justifie.
d$K$ est le milieu de $[BC]$. Détermine $k$ pour que $K$ appartienne à l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MD} = k$, puis décris cet ensemble.