Quatrième / Probabilités

Ex. 1★★★Automatismes : fraction, décimal, pourcentage — Une probabilité peut s'écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage.

1. aÉcris $\frac{7}{8}$ en décimal, puis en pourcentage.
2. bÉcris $\dfrac{9}{25}$ en pourcentage.
3. cÉcris $0{,}45$ en fraction simplifiée.
4. dÉcris $12\,\%$ en fraction simplifiée.
5. eRange du plus petit au plus grand : $\frac{2}{5}$ ; $0{,}38$ ; $41\,\%$.
6. fLina trouve $P(A) = \frac{9}{7}$. Ce résultat est-il possible ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : une carte au hasard — On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes bien mélangé. Il y a 4 couleurs de 8 cartes : cœur et carreau (rouges), pique et trèfle (noires). Chaque couleur a un as, un roi, une dame, un valet, un 10, un 9, un 8 et un 7. Les figures sont les rois, les dames et les valets. Donne chaque probabilité en fraction simplifiée.

1. aCalcule la probabilité de tirer un as.
2. bCalcule la probabilité de tirer une figure rouge.
3. cCalcule la probabilité de tirer une carte qui n'est pas une figure.
4. dCalcule la probabilité de tirer le roi de pique.
5. eCalcule la probabilité de tirer une carte noire qui n'est pas un as.
6. fCalcule la probabilité de tirer un 7 rouge. Donne-la en décimal et en pourcentage.

Ex. 3★★★Trouve l'erreur — Chaque élève donne une probabilité. Lis bien chaque situation.

1. aKermesse de Vannes : 40 billets de tombola, dont 6 gagnants. Hugo prend un billet au hasard et dit : « $P(\text{gagner}) = \frac{6}{34}$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.
2. bUne urne contient 3 boules jaunes et 9 boules violettes, indiscernables au toucher. Noé dit : « Il y a deux couleurs, donc une chance sur deux de tirer une jaune ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cOn lance un dé à 20 faces équilibré, numéroté de 1 à 20. Maëlle dit : « Obtenir au plus 12, c'est obtenir 1 à 11, donc $P = \frac{11}{20}$ ». A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
4. dDonne une urne de 10 boules de deux couleurs dans laquelle la phrase de Noé serait juste.

Ex. 4★★★Une pièce, puis un dé à 4 faces — On lance une pièce équilibrée (P pour pile, F pour face), puis un dé à 4 faces équilibré, numéroté de 1 à 4.

1. aComplète le tableau à double entrée des issues.
2. bCombien d'issues compte cette expérience ? Justifie par un calcul.
3. cCalcule la probabilité de l'événement B : « le dé affiche 3 ».
4. dCalcule la probabilité de C : « obtenir pile et un nombre strictement supérieur à 1 ».
5. eCalcule la probabilité de D : « obtenir face ou un nombre au plus égal à 2 ».

Ex. 5★★★Le sac de la fête de quartier — À la fête de quartier de Colmar, Sacha prépare un sac de 60 billes bleues, rouges ou vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard : $P(\text{bleue}) = \frac{3}{10}$ et $P(\text{rouge}) = 0{,}45$.

1. aCombien y a-t-il de billes bleues dans le sac ?
2. bCombien y a-t-il de billes rouges dans le sac ?
3. cCalcule le nombre de billes vertes, puis $P(\text{verte})$ en fraction et en pourcentage.
4. dCombien de billes vertes Sacha doit-il ajouter pour que $P(\text{bleue})$ devienne $\frac{1}{5}$ ?

Ex. 6★★★Deux stands à la kermesse — À la kermesse de Montauban, Inès hésite entre deux stands. Stand 1 : une urne contient 7 boules rouges et 13 boules blanches, indiscernables au toucher ; on gagne si on tire une boule rouge. Stand 2 : une roue à 12 secteurs égaux numérotés de 1 à 12 ; on gagne si on obtient un nombre strictement supérieur à 8.

1. aCalcule la probabilité de gagner au stand 1, en fraction, puis en décimal, puis en pourcentage.
2. bAu stand 1, calcule la probabilité de tirer une boule blanche. Que vaut la somme des probabilités des deux couleurs ? Explique.
3. cAu stand 2, liste les issues favorables au gain, puis calcule la probabilité de gagner.
4. dÀ quel stand Inès a-t-elle le plus de chances de gagner ? Justifie.
5. eL'organisateur veut que le stand 1 donne la même probabilité de gagner que le stand 2, en ajoutant seulement des boules blanches. Combien doit-il en ajouter ? Justifie.

Ex. 7★★★Une lettre, puis une roue — Dans un jeu de plateau, à Annecy, Romane tire au hasard un jeton parmi trois jetons indiscernables au toucher, marqués M, A et I (les lettres du mot MAI). Elle fait ensuite tourner une roue à 4 secteurs égaux numérotés de 1 à 4. Une issue s'écrit par exemple A3.

1. aCombien cette expérience a-t-elle d'issues ? Justifie sans toutes les écrire, puis dresse le tableau à double entrée.
2. bJules affirme : « La probabilité d'obtenir le nombre 1 est $\frac{1}{12}$, car c'est une seule case. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule la probabilité de l'événement $E$ : « obtenir une voyelle et un nombre au plus égal à 2 ».
4. dListe les issues de l'événement $G$ : « obtenir la lettre M ou un nombre au moins égal à 4 », puis calcule $P(G)$.
5. eCalcule la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4. Comment appelle-t-on cet événement ?

Ex. 8★★★Le jeu de cartes du club — Au club de jeux de Quimper, Ben utilise un jeu de 32 cartes : 4 couleurs (cœur et carreau, qui sont rouges ; pique et trèfle, qui sont noirs) de 8 cartes chacune : as, roi, dame, valet, 10, 9, 8 et 7. Les figures sont les rois, les dames et les valets. On tire une carte au hasard.

1. aCombien ce jeu compte-t-il de figures ? Calcule la probabilité de tirer une figure de trèfle.
2. bPropose un événement dont la probabilité vaut $18{,}75\,\%$. Justifie par un calcul.
3. cCalcule la probabilité de tirer un cœur ou une figure. Explique comment tu comptes les issues.
4. dBen retire les 4 as du jeu, puis tire une carte parmi celles qui restent. Yanis dit : « La probabilité de tirer un roi vaut toujours $\frac{4}{32}$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eDans ce jeu sans les as, Ben retire maintenant des figures, sans rien ajouter. Combien doit-il en retirer pour que la probabilité de tirer une figure soit $\frac{1}{5}$ ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : probabilité du contraire — Calcule la probabilité demandée. Donne-la sous la même forme que la donnée (fraction, décimal ou pourcentage).

1. a$P(A) = \dfrac{3}{11}$. Calcule $P(\overline{A})$.
2. b$P(B) = 0{,}37$. Calcule $P(\overline{B})$.
3. cLa probabilité qu'une graine germe est $15\,\%$. Quelle est la probabilité qu'elle ne germe pas ?
4. d$P(\overline{C}) = 0{,}04$. Calcule $P(C)$.
5. eLa probabilité qu'un ticket à gratter soit gagnant est $\frac{2}{13}$. Quelle est la probabilité qu'il soit perdant ?

Ex. 10★★★Automatismes : est-ce une probabilité ? — Ce nombre peut-il être la probabilité d'un événement ? Justifie.

Ex. 11★★★Le dé à 20 faces de Chloé — Pour un jeu de plateau, Chloé lance un dé équilibré à $20$ faces, numérotées de $1$ à $20$. Elle note le numéro obtenu.

1. a$A$ est l'événement « obtenir au plus $9$ ». Décris $\overline{A}$ par une phrase et donne le nombre de ses issues.
2. bCalcule $P(A)$ et $P(\overline{A})$.
3. c$B$ est l'événement « obtenir au moins $5$ ». Décris $\overline{B}$, puis utilise-le pour calculer $P(B)$.
4. d$C$ est l'événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à $20$ ». Décris $\overline{C}$ et calcule $P(\overline{C})$.

Ex. 12★★★La tombola de la kermesse d'Annecy — À la kermesse d'un collège d'Annecy, $60$ tickets sont numérotés de $1$ à $60$. On en tire un au hasard ; chaque ticket a la même chance d'être tiré.

1. a$D$ est l'événement « le numéro n'est pas un multiple de $6$ ». Décris $\overline{D}$ et compte ses issues.
2. bCalcule $P(D)$.
3. c$E$ est l'événement « le numéro ne contient aucun chiffre $5$ ». Liste les issues de $\overline{E}$.
4. dCalcule $P(E)$ en écriture décimale.

Ex. 13★★★Repère l'erreur — Quatre élèves ont fait une affirmation. Dis si chacun a raison. Justifie et corrige si besoin.

1. aInès : « $P(A) = 0{,}25$, donc $P(\overline{A}) = \frac{1}{0{,}25} = 4$. » A-t-elle raison ?
2. bBastien : « $P(A) = \frac{4}{15}$, donc $P(\overline{A}) = -\frac{4}{15}$. » A-t-il raison ?
3. cMalo lance un dé équilibré à $6$ faces : « Le contraire de "obtenir au moins $3$" est "obtenir au plus $3$". » A-t-il raison ? Calcule $P(\text{au moins } 3)$.
4. dLéna a écrit ce tableau pour une roue à $4$ secteurs et dit que c'est une liste valable. A-t-elle raison ?

   Couleur	rouge	bleu	vert	jaune
   Probabilité	0,35	0,25	0,15	0,2

Ex. 14★★★Le dé à 4 faces truqué de Malik — Malik a truqué un dé à $4$ faces, numérotées de $1$ à $4$. Il affirme que les probabilités d'obtenir chaque face sont les suivantes :

1. aSans faire d'expérience, explique pourquoi le tableau de Malik ne peut pas être juste.
2. bCalcule la vraie probabilité d'obtenir la face $4$.
3. cLou affirme : « "Obtenir $1$" et "obtenir $4$" sont des événements contraires. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. d$A$ est l'événement « obtenir au moins $3$ ». Donne les issues de $\overline{A}$, puis calcule $P(\overline{A})$ et $P(A)$.
5. e$B$ est l'événement « ne pas obtenir $4$ ». Calcule $P(B)$ et donne-la en pourcentage.

Ex. 15★★★La playlist aléatoire de Yanis — Yanis a une playlist de $40$ titres, numérotés de $1$ à $40$. En mode aléatoire, son application choisit le premier titre au hasard ; chaque titre a la même chance d'être choisi.

1. a$A$ est l'événement « le numéro ne contient pas le chiffre $3$ ». Décris $\overline{A}$, donne la liste de ses issues, puis calcule $P(A)$ en fraction et en pourcentage.
2. bLina affirme : « Le contraire de "le numéro est au plus $9$" est "le numéro est au moins $9$" ». A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule la probabilité de ce contraire en décimal.
3. cYanis ajoute $10$ titres, numérotés de $41$ à $50$. Calcule la nouvelle probabilité que le numéro ne contienne pas le chiffre $3$. Donne-la en fraction simplifiée et en pourcentage.

Ex. 16★★★Les deux dés de Noé à Brest — À Brest, Noé lance en même temps un dé équilibré à $4$ faces (numérotées de $1$ à $4$) et un dé équilibré à $6$ faces (numérotées de $1$ à $6$). Il note la somme des deux numéros.

1. aComplète le tableau des sommes. Combien d'issues équiprobables cette expérience a-t-elle ?
2. b$A$ est l'événement « aucun des deux dés ne montre $1$ ». Décris $\overline{A}$, compte ses issues, puis calcule $P(A)$.
3. c$G$ est l'événement « la somme est au moins $5$ ». Décris $\overline{G}$ par ses sommes, puis calcule $P(G)$.
4. dHugo trouve $\frac{25}{24}$ pour la probabilité que la somme soit au plus $6$. Sans refaire son calcul, explique pourquoi il s'est trompé, puis calcule la bonne valeur.

Ex. 17★★★Automatismes : « et », « ou » avec un dé à 8 faces — Inès lance un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8. $A$ : « obtenir un nombre pair » ; $B$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 ».

1. aListe les issues de $A$, puis celles de $B$.
2. bListe les issues de l'événement « $A$ et $B$ ».
3. cCalcule $P(A \text{ et } B)$.
4. dListe les issues de l'événement « $A$ ou $B$ ».
5. eCalcule $P(A \text{ ou } B)$.
6. fCalcule la probabilité de l'événement « ni $A$ ni $B$ ».

Ex. 18★★★Automatismes : incompatibles ou contraires ? — On lance un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12. Pour chaque paire d'événements, dis s'ils sont incompatibles, puis s'ils sont contraires. Justifie en listant les issues.

1. a« Obtenir un multiple de 5 » et « obtenir un nombre impair ».
2. b« Obtenir au plus 4 » et « obtenir au moins 5 ».
3. c« Obtenir un multiple de 4 » et « obtenir un nombre impair ».
4. d« Obtenir un diviseur de 12 » et « obtenir un nombre supérieur à 10 ».
5. e« Obtenir un multiple de 3 » et « obtenir un multiple de 5 ».

Ex. 19★★★L'erreur de Lina — Un jeu de 52 cartes comporte 4 couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle) de 13 cartes : as, 2 à 10, valet, dame, roi. Les figures sont le valet, la dame et le roi. Lina tire une carte au hasard. $F$ : « tirer une figure » ; $S$ : « tirer un pique ».

1. aLe roi de pique réalise-t-il l'événement « $F$ ou $S$ » ? Justifie.
2. bQuelles cartes réalisent « $F$ et $S$ » ? Calcule $P(F \text{ et } S)$.
3. cLina écrit : $P(F \text{ ou } S) = \frac{12}{52} + \frac{13}{52} = \frac{25}{52}$. A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
4. dCalcule la probabilité de tirer une carte qui n'est ni une figure ni un pique.

Ex. 20★★★La tombola de Quimper — À la tombola de l'école de Quimper, Noé tire au hasard un ticket parmi 40 tickets numérotés de 1 à 40. $A$ : « le numéro est un multiple de 6 » ; $B$ : « le numéro est un multiple de 8 ».

1. aListe les issues de $A$, puis celles de $B$.
2. bListe les issues de « $A$ et $B$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifie.
3. cCalcule $P(A \text{ ou } B)$ et donne-la en pourcentage.
4. d$C$ : « le numéro est inférieur ou égal à 5 ». Justifie que $A$ et $C$ sont incompatibles, puis calcule $P(A \text{ ou } C)$ en décimal.

Ex. 21★★★La roue de la fête de Colmar — À la fête de Colmar, Sacha fait tourner une roue à 4 secteurs inégaux. $A$ : « obtenir un nombre pair » ; $B$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 ».

1. aComplète la ligne des probabilités
   (en décimal).
2. bListe les issues de « $A$ et $B$ » et calcule sa probabilité.
3. cCalcule $P(A \text{ ou } B)$. Explique pourquoi on ne peut pas additionner $P(A)$ et $P(B)$.
4. dDécris le contraire de « $A$ et $B$ » par ses issues et calcule sa probabilité.

Ex. 22★★★Deux dés à 4 faces au club de jeux de Lorient — Au club de jeux de Lorient, Maël lance deux dés équilibrés à 4 faces numérotées de 1 à 4 : un rouge et un bleu. Il additionne les deux nombres. Dans le tableau, chaque ligne donne le résultat du dé rouge et chaque colonne celui du dé bleu. $A$ : « la somme vaut 5 » ; $B$ : « au moins un des deux dés donne 4 ».

1. aComplète le tableau des sommes.
2. bCombien d'issues compte cette expérience ? Calcule $P(A)$ et $P(B)$.
3. cListe les issues de l'événement « $A$ et $B$ », puis calcule $P(A \text{ et } B)$.
4. dTom affirme : « Pour calculer $P(A \text{ ou } B)$, il suffit d'additionner $P(A)$ et $P(B)$. » A-t-il raison ? Justifie et calcule $P(A \text{ ou } B)$.
5. e$C$ : « la somme est au plus 3 ». $A$ et $C$ sont-ils incompatibles ? Sont-ils contraires ? Justifie, puis calcule $P(A \text{ ou } C)$.

Ex. 23★★★Figures et cartes rouges — Un jeu de 32 cartes comporte 4 couleurs : pique et trèfle (noires), cœur et carreau (rouges). Chaque couleur a 8 cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as. Les figures sont le valet, la dame et le roi. On tire une carte au hasard. $F$ : « tirer une figure » ; $R$ : « tirer une carte rouge ».

1. aCombien de cartes réalisent l'événement « $F$ et $R$ » ? Calcule $P(F \text{ et } R)$.
2. bCalcule $P(F \text{ ou } R)$ et donne le résultat en écriture décimale.
3. cDécris par une phrase l'événement « ni $F$ ni $R$ », puis calcule sa probabilité de deux façons.
4. dHugo affirme : « Le contraire de « $F$ et $R$ », c'est « ni $F$ ni $R$ ». » Vrai ou faux ? Justifie, puis calcule la probabilité du contraire de « $F$ et $R$ ».
5. eNina tire une carte 400 fois de suite, en la remettant à chaque fois dans le jeu. Combien de fois peut-elle s'attendre à obtenir « $F$ ou $R$ » ?

Ex. 24★★★La playlist aléatoire de Zoé — À Annecy, Zoé écoute sa playlist de 40 morceaux en lecture aléatoire : chaque morceau a la même probabilité d'être joué en premier. Le tableau donne le nombre de morceaux par langue et par genre. $R$ : « le premier morceau est du rap » ; $F$ : « le premier morceau est en français ».

1. aCalcule $P(R)$ et $P(F)$ et donne-les en pourcentage.
2. bDécris l'événement « $R$ et $F$ » par une phrase, puis donne sa probabilité en pourcentage.
3. cZoé affirme : « Un rap en français ne réalise pas « $R$ ou $F$ », car il est les deux à la fois. » A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule $P(R \text{ ou } F)$ en pourcentage.
4. d$G$ : « le premier morceau est de la pop ». Justifie que $R$ et $G$ sont incompatibles, puis calcule $P(R \text{ ou } G)$ en pourcentage.
5. eZoé ajoute seulement des raps en anglais pour que $P(R \text{ ou } F)$ soit égale à $75\,\%$. Combien doit-elle en ajouter ? Justifie.

Ex. 25★★★Automatismes : la case manquante — Dans chaque cas, utilise le fait que la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

1. aUne punaise retombe « pointe en l'air » avec la probabilité $0{,}38$, sinon « sur le côté ». Calcule $P(\text{sur le côté})$.
2. bUne roue a trois secteurs : $P(\text{rouge}) = 0{,}46$ et $P(\text{vert}) = 0{,}27$. Calcule $P(\text{jaune})$.
3. cUne fléchette tombe dans la zone A, B ou C d'une cible : $P(A) = \frac{1}{4}$ et $P(B) = \frac{1}{3}$. Calcule $P(C)$.
4. dUne application de musique aléatoire joue du rap à $35\,\%$, du rock à $20\,\%$, de la pop à $30\,\%$, sinon du jazz. Calcule $P(\text{jazz})$ en pourcentage.
5. eUn dé à 8 faces est truqué : $P(8) = 0{,}3$ et les sept autres faces ont la même probabilité. Calcule $P(1)$.
6. fUn dé à 20 faces est truqué : $P(20) = \frac{1}{10}$ et $P(1) = \frac{1}{20}$. Calcule la probabilité d'obtenir un nombre de 2 à 19.

Ex. 26★★★Automatismes : une roue à secteurs inégaux — Une roue de loterie de kermesse est partagée en quatre secteurs. On la fait tourner et on note la couleur obtenue.

1. aCalcule l'angle du secteur jaune.
2. bCalcule $P(\text{rouge})$ en fraction simplifiée.
3. cCalcule $P(\text{vert})$ en écriture décimale.
4. dCalcule $P(\text{jaune})$ en pourcentage.
5. eCalcule $P(\text{rouge ou bleu})$.
6. fMia dit : « Le rouge a trois fois plus de chances de sortir que le bleu. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 27★★★Un événement, c'est une somme — Un dé à quatre faces numérotées de 1 à 4 est truqué. On le lance et on lit la face obtenue.

1. aCalcule la probabilité de l'événement A « obtenir un nombre pair ».
2. bCalcule la probabilité de l'événement B « obtenir un nombre inférieur ou égal à 3 ».
3. cCalcule, en pourcentage, la probabilité d'obtenir un nombre premier.
4. dHugo affirme : « Obtenir un nombre impair, c'est 2 issues sur 4, donc la probabilité vaut $\frac{1}{2}$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eQuelle est la face qui a le plus de chances de sortir ? Justifie.

Ex. 28★★★Un sac de jetons regardé par couleur — Inès met dans un sac 6 jetons verts, 10 jetons bleus et 4 jetons rouges, indiscernables au toucher. Elle tire un jeton au hasard et ne regarde que sa couleur.

1. aComplète le tableau de probabilités en fractions simplifiées.
2. bInès dit : « Il y a trois couleurs, donc chaque couleur a la probabilité $\frac{1}{3}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule, en pourcentage, la probabilité de tirer un jeton rouge ou vert.
4. dCombien de jetons rouges Inès doit-elle ajouter pour que la probabilité de tirer un rouge soit égale à $\frac{1}{3}$ ?

Ex. 29★★★Le dé truqué de Sacha — Sacha a un dé à six faces truqué : le 6 sort deux fois plus souvent que le 1, et les faces 1, 2, 3, 4 et 5 ont toutes la même probabilité. On note $p = P(1)$.

1. aExprime la somme des probabilités des six faces en fonction de $p$.
2. bDéduis-en $P(1)$ et $P(6)$.
3. cCalcule la probabilité d'obtenir un nombre pair avec ce dé.
4. dPour un autre dé à quatre faces, Sacha écrit $P(1) = \frac{1}{2}$, $P(2) = \frac{1}{3}$ et $P(3) = \frac{1}{4}$. Calcule ce que vaudrait $P(4)$ : ce dé peut-il exister ? Justifie.

Ex. 30★★★Trois tableaux pour une toupie — Une toupie truquée a quatre faces, marquées A, B, C et E. On la lance et on lit la lettre de la face sur laquelle elle s'arrête. Trois élèves proposent chacun un tableau de probabilités :

1. aExplique pourquoi le tableau de Noé est impossible.
2. bJade affirme : « La somme de mes probabilités fait $1$, donc mon tableau est correct. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cLe tableau de Yanis est le bon. Calcule la probabilité de la face E.
4. dOn note $V$ l'événement « obtenir une voyelle ». Calcule $P(V)$ et donne le résultat en pourcentage.
5. eLes événements $V$ et « obtenir B » sont-ils incompatibles ? Sont-ils contraires ? Justifie.

Ex. 31★★★La roue ou l'urne ? — À la fête de l'école d'Annecy, Maëlys doit choisir un jeu. Elle gagne si elle obtient « vert ». Jeu 1 : une roue à trois secteurs

1. aKylian dit : « La roue a trois couleurs, donc chaque couleur a la probabilité $\frac{1}{3}$. » Vérifie que la roue est complète, puis montre qu'il a tort.
2. bCalcule la probabilité de gagner au jeu 1, en fraction simplifiée.
3. cCalcule la probabilité de gagner au jeu 2.
4. dÀ quel jeu Maëlys a-t-elle le plus de chances de gagner ? Justifie par un calcul.

Ex. 32★★★Le dé à huit faces de Romane — Romane a un dé truqué à huit faces, numérotées de 1 à 8. Les quatre faces impaires ont la même probabilité $p$, et chaque face paire a la probabilité $2 \times p$. On lance le dé une fois. On note $A$ « obtenir un multiple de 3 » et $B$ « obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 ».

1. aMontre que $12 \times p = 1$, puis donne $P(1)$ et $P(8)$ en fractions simplifiées.
2. bCalcule $P(A)$ et $P(B)$.
3. cRomane écrit : « $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$. » Liste les issues de « $A$ et $B$ » et de « $A$ ou $B$ », puis explique son erreur.
4. dCalcule $P(A \text{ ou } B)$.
5. eRomane lance ce dé $450$ fois. Environ combien de fois peut-elle s'attendre à obtenir 8 ?

Ex. 33★★★Automatismes : calculer une fréquence — Calcule la fréquence demandée, sous la forme indiquée.

1. aInès lance une pièce 40 fois et obtient 18 fois « pile ». Donne la fréquence de « pile » en fraction simplifiée.
2. bRomane fait 25 tirages avec remise dans une urne et tire 7 fois une boule bleue. Donne la fréquence de « bleue » en pourcentage.
3. cOn tourne une roue 80 fois : 26 fois rouge, 30 fois vert, et bleu les autres fois. Donne la fréquence de « bleu » en décimal.
4. dBasile lance une punaise : 36 fois « pointe en haut » et 44 fois « pointe en bas ». Donne la fréquence de « pointe en haut » en pourcentage.
5. eOn lance 200 fois un dé à 20 faces et le 20 sort 11 fois. Donne la fréquence du 20 en décimal.

Ex. 34★★★Automatismes : nombre attendu — Pour chaque situation, réponds à la question posée.

1. aOn lance 400 fois un dé équilibré à 8 faces. Environ combien de fois peut-on s'attendre à obtenir le 3 ?
2. bSur une roue, $P(\text{vert})=0{,}35$. On la tourne 300 fois. Environ combien de fois le vert peut-il sortir ?
3. cUne application de musique aléatoire choisit un morceau de rap avec une probabilité de $20\,\%$. Sur 150 morceaux, environ combien de morceaux de rap peut-on attendre ?
4. dOn lance 600 fois un dé équilibré à 12 faces. Environ combien de fois peut-on s'attendre à obtenir un multiple de 4 ?
5. eLe secteur jaune d'une roue mesure $72^\circ$. Combien de fois faut-il tourner la roue pour s'attendre à obtenir le jaune environ 70 fois ?
6. fVrai ou faux ? « Si on lance 60 fois un dé équilibré à 6 faces, on obtiendra exactement 10 fois le 6. » Justifie.

Ex. 35★★★La punaise de Noé — Noé lance une punaise et note combien de fois elle retombe « pointe en haut ».

1. aComplète la ligne des fréquences, en écriture décimale.
2. bAu bout de 10 lancers, Noé affirme : « $P(\text{pointe en haut})=0{,}7$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDonne une estimation de la probabilité de « pointe en haut », puis de celle de « pointe en bas ».
4. dNoé lance encore la punaise 200 fois. Environ combien de fois peut-il s'attendre à obtenir « pointe en haut » ?

Ex. 36★★★Un dé truqué ? — Yanis et Chloé pensent que leur dé à 6 faces est truqué. Yanis le lance 150 fois et obtient 39 fois le 6. Chloé lance le même dé 350 fois et obtient 84 fois le 6.

1. aCalcule la fréquence du 6 pour Yanis, puis pour Chloé, en écriture décimale.
2. bLes deux fréquences sont différentes, alors que le dé est le même. Explique pourquoi.
3. cLaquelle des deux séries donne la meilleure estimation de $P(6)$ ? Justifie.
4. dLeur ami Max dit : « Sur les 500 lancers, la fréquence du 6 est $\frac{0{,}26+0{,}24}{2}=0{,}25$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. ePeut-on penser que ce dé est truqué ? Justifie en comparant avec $\frac{1}{6}\approx0{,}167$, la probabilité d'obtenir le 6 avec un dé équilibré.

Ex. 37★★★Vrai ou faux sur le hasard — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. aSofiane a obtenu 8 fois « pile » de suite avec une pièce équilibrée. Au lancer suivant, $P(\text{face})$ est plus grande que $\frac{1}{2}$.
2. bElsa lance 12 fois un dé à 6 faces et n'obtient jamais le 2. Son dé est donc truqué.
3. cUne roue a 5 secteurs égaux, dont un orange. Sur 2 000 tours, la fréquence d'« orange » sera proche de 0,2.
4. dDeux classes lancent 50 fois la même pièce. Elles trouveront forcément la même fréquence de « face ».
5. eSur 64 lancers d'un dé à 8 faces, le 8 est sorti 10 fois. La fréquence du 8 est donc de $10\,\%$.

Ex. 38★★★L'urne mystère du club de Rennes — Au club de jeux de Rennes, une urne contient 20 boules rouges ou blanches, indiscernables au toucher. Lina et Malo veulent estimer le nombre de boules rouges. Lina fait 40 tirages avec remise et obtient 14 boules rouges. Malo fait 160 tirages avec remise et obtient 36 boules rouges.

1. aCalcule la fréquence de « rouge » pour Lina, puis pour Malo, en écriture décimale.
2. bMalo dit : « Sur nos 200 tirages, la fréquence de rouge est la moyenne de nos deux fréquences. » Calcule cette moyenne et la vraie fréquence. A-t-il raison ? Justifie.
3. cLina dit : « D'après ma série, l'urne contient 7 boules rouges. » Estime le nombre de boules rouges grâce aux 200 tirages. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 39★★★Le dé à 4 faces de Clara — Clara se demande si son dé à 4 faces (numérotées de 1 à 4) est équilibré. Elle le lance 800 fois et note ses résultats.

1. aCombien de fois Clara a-t-elle obtenu le 3 ?
2. bComplète la ligne des fréquences, en pourcentage.
3. cCe dé semble-t-il équilibré ? Justifie en comparant avec la probabilité de chaque face pour un dé équilibré.
4. dEstime la probabilité d'obtenir un nombre pair avec ce dé, en écriture décimale.
5. eLes 5 derniers lancers de Clara ont donné le 2. Hugo dit : « Au prochain lancer, le 2 a moins de chances de sortir. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 40★★★La roue de la kermesse de Colmar — À la kermesse de Colmar, une roue est partagée en deux secteurs : un secteur « Gagné » de 54° et un secteur « Perdu » de 306°. Le samedi matin, la roue a tourné 60 fois : 12 fois « Gagné » et 48 fois « Perdu ». L'après-midi, elle a tourné 240 fois, dont 33 fois « Gagné ».

1. aCalcule la probabilité de tomber sur « Gagné », en fraction puis en pourcentage.
2. bEnzo calcule la fréquence de « Gagné » le matin : $\frac{12}{48} = 0{,}25$. Explique son erreur, puis donne la bonne fréquence en pourcentage.
3. cCalcule la fréquence de « Gagné » l'après-midi, en pourcentage. Pourquoi est-elle différente de celle du matin, alors que la roue n'a pas changé ?
4. dDimanche, la roue devrait tourner 2 000 fois. Environ combien de lots faut-il prévoir ? Faut-il en prévoir exactement ce nombre ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : calculs directs — Toutes les expériences sont équiprobables. Calcule chaque probabilité sous la forme demandée.

1. aOn lance un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12. Probabilité d’obtenir un multiple de 4 (fraction simplifiée) ?
2. bOn tire au hasard une lettre du mot PROBABILITÉ. Probabilité de tirer la lettre I (fraction) ?
3. cUn jeu de 32 cartes compte 4 couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) de 8 cartes : as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7. On tire une carte. Probabilité de tirer un as (décimal) ?
4. dUne roue a 20 secteurs égaux, dont 9 jaunes. Probabilité qu’elle s’arrête sur un secteur jaune (pourcentage) ?
5. eOn lance un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8. Probabilité d’obtenir un nombre premier (fraction simplifiée) ?
6. fDans une classe de 25 élèves, il y a 15 filles. On tire un élève au sort. Probabilité de tirer un garçon (décimal) ?

Ex. 42★★★Automatismes : on ajoute, on retire — Une urne contient 6 boules rouges, 4 bleues et 2 vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Chaque question repart de l’urne de départ. Donne la probabilité en fraction simplifiée.

1. aQuelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
2. bOn ajoute 3 boules bleues. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule bleue ?
3. cOn retire 2 boules rouges. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule rouge ?
4. dOn retire les 2 boules vertes. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule rouge ?
5. eOn ajoute 4 boules vertes. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule verte ?

Ex. 43★★★Quel stand choisir à la kermesse ? — À la kermesse de Nantes, Inès hésite entre deux stands. Stand A : une roue à 12 secteurs égaux, dont 5 gagnants. Stand B : un sac de 8 jetons indiscernables, dont 3 gagnants.

1. aCalcule la probabilité de gagner au stand A.
2. bCalcule la probabilité de gagner au stand B.
3. cÉcris ces deux probabilités avec le même dénominateur. À quel stand Inès a-t-elle intérêt à jouer ?
4. dMalo dit : « Le stand B est meilleur, il n’y a que 5 jetons perdants contre 7 secteurs perdants. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn ajoute un jeton gagnant dans le sac du stand B. Quel stand est maintenant le plus avantageux ? Justifie.

Ex. 44★★★Composer une urne à rebours — À Rennes, Lina prépare une urne de 30 boules rouges, vertes et noires pour un jeu de société. On tirera une boule au hasard.

1. aElle veut que $P(\text{rouge})=\frac{3}{10}$. Combien de boules rouges doit-elle mettre ?
2. bElle veut aussi que $P(\text{verte})=0{,}2$. Combien de boules vertes doit-elle mettre ?
3. cToutes les autres boules sont noires. Calcule $P(\text{noire})$ en pourcentage.
4. dSon frère veut une autre urne de 30 boules où $P(\text{jaune})=\frac{1}{4}$. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 45★★★Deux dés et un jeu de plateau — Pour avancer sur un jeu de plateau, Noé lance deux dés équilibrés à 6 faces, un rouge et un bleu, et il ajoute les deux résultats.

1. aConstruis le tableau à double entrée des sommes. Combien y a-t-il d’issues ?
2. bNoé affirme : « $P(\text{somme }7)=\frac{3}{36}$, car $7=1+6=2+5=3+4$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cQuelle somme a la plus grande probabilité ? Justifie à l’aide du tableau.
4. dCompte les issues sans aucun 6, puis déduis-en la probabilité d’obtenir au moins un 6.
5. eNoé rejoue s’il fait un double. Calcule la probabilité de faire un double, puis celle de ne pas rejouer, en pourcentage arrondi à 0,1 %.

Ex. 46★★★Les deux roues de la fête foraine — À la fête foraine de Lille, Mathis fait tourner deux roues, une verte et une orange. Chacune a 4 secteurs égaux numérotés de 1 à 4. Il multiplie les deux nombres obtenus.

1. aComplète le tableau à double entrée des produits (lignes : roue verte ; colonnes : roue orange). Combien y a-t-il d’issues ?

   ×	1	2	3	4
   1	1
   2
   3
   4				16

2. bHugo dit : « Il y a 9 produits différents, donc $P(\text{produit } 4)=\frac{1}{9}$. » Explique son erreur, puis calcule la bonne probabilité.
3. cCalcule la probabilité que le produit soit pair, en pourcentage.
4. dMathis gagne une peluche si le produit est un multiple de 3 ou s’il est supérieur ou égal à 12. Calcule la probabilité qu’il gagne.

Ex. 47★★★Contraires ou incompatibles ? Une soirée cartes — À Grenoble, Chloé tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes : 13 cœurs et 13 carreaux (rouges), 13 piques et 13 trèfles (noirs). Chaque couleur a 3 figures : valet, dame, roi. $A$ : « tirer un cœur », $B$ : « tirer une carte noire », $C$ : « tirer une figure ».

1. aCalcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.
2. bLes événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Sont-ils contraires ? Justifie chaque réponse.
3. cCalcule $P(A \text{ ou } B)$.
4. dLéa écrit : $P(A \text{ ou } C)=\frac{1}{4}+\frac{3}{13}$. Explique son erreur, puis calcule $P(A \text{ ou } C)$ en comptant les issues.
5. eDécris par une phrase l’événement contraire de « $A$ ou $B$ », puis calcule sa probabilité.

Ex. 48★★★Le dé à 20 faces ou l’urne dorée ? — À la fête de l’école de Toulouse, Sacha choisit un jeu. Jeu 1 : on lance un dé équilibré à 20 faces (1 à 20) ; on gagne avec un nombre premier. Jeu 2 : on tire au hasard une boule dans une urne de 4 boules dorées (gagnantes) et 5 blanches, indiscernables au toucher.

1. aCalcule la probabilité de gagner à chaque jeu, en fraction puis en pourcentage
   (arrondi à 0,1 % près si besoin).
2. bQuel jeu Sacha doit-il choisir ? Justifie par un calcul.
3. cSacha joue 90 parties au jeu 2. Environ combien peut-il en gagner ? Il en gagne 37 : est-ce anormal ? Justifie.
4. dL’organisateur ajoute seulement des boules dorées dans l’urne de départ pour que $P(\text{dorée})=\frac{2}{3}$. Combien doit-il en ajouter ?
5. ePeut-on obtenir $P(\text{dorée})=\frac{2}{5}$ en retirant seulement des boules dorées de l’urne de départ ? Justifie.