2nde / Probabilités conditionnelles

Ex. 1★★★Tombola du lycée — Pour la tombola du lycée, on tire au hasard un ticket parmi $30$ tickets numérotés de $1$ à $30$. On note $A$ : « le numéro est un multiple de $4$ », $B$ : « le numéro se termine par $5$ » et $C$ : « le numéro est un multiple de $3$ ». Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. aJustifie que les issues sont équiprobables et donne $\mathrm{Card}(\Omega)$.
2. bÉcris $A$ en extension et calcule $P(A)$.
3. cÉcris $B$ en extension et calcule $P(B)$.
4. dCalcule $P(\overline{A})$.
5. eDétermine $A \cap B$ et calcule $P(A \cap B)$. Que peux-tu dire de $A$ et $B$ ?
6. fCalcule $P(B \cup C)$.

Ex. 2★★★Comment viens-tu au lycée ? — On choisit au hasard un élève d'un lycée. Son mode de transport principal suit la loi suivante :

1. aÉcris les pourcentages en nombres décimaux, puis calcule la probabilité qu'il vienne à pied.
2. bCalcule la probabilité qu'il ne vienne pas en bus.
3. cCalcule la probabilité qu'il vienne à vélo ou à pied.
4. dCalcule la probabilité qu'il ne vienne ni en bus ni en voiture.
5. eUn autre lycée annonce : bus $0{,}55$ ; voiture $0{,}35$ ; vélo $0{,}2$, et aucun autre mode. Cette loi est-elle possible ? Justifie.

Ex. 3★★★Deux dés sur le plateau — Dans un jeu de plateau, on lance deux dés équilibrés à $6$ faces, un rouge et un vert, et on note $S$ la somme des deux faces. On note $A$ : « $S = 8$ » et $B$ : « au moins un dé affiche $6$ ». Donne les fractions irréductibles.

1. aMathis dit : « $S$ prend $11$ valeurs, de $2$ à $12$, donc $P(A) = \frac{1}{11}$. » A-t-il raison ? Justifie et calcule $P(A)$.
2. bCalcule la probabilité que $S$ soit supérieure ou égale à $10$.
3. cDécris $\overline{B}$ par une phrase, puis calcule $P(B)$.
4. d$A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifie, puis calcule $P(A \cup B)$.

Ex. 4★★★Les lancers francs de Lina — Lina, basketteuse, a réussi $185$ lancers francs sur $250$ à l'entraînement. Pour modéliser un lancer, on choisit de prendre comme probabilité de réussite (événement $R$) la fréquence observée.

1. aCalcule cette fréquence, puis $P(\overline{R})$.
2. bCe modèle est-il démontré ? Explique d'où vient ce choix.
3. cEn match, elle réussit $4$ lancers sur $5$ et dit : « Ma probabilité de réussite est passée à $0{,}8$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dSur $200$ actions, elle a marqué $0$, $1$, $2$ ou $3$ points respectivement $90$, $10$, $76$ et $24$ fois. Avec les fréquences, donne la loi des points, puis la probabilité de marquer au moins $1$ point.

Ex. 5★★★Abonnements en ligne — On choisit au hasard un habitant d'une ville. On note $A$ : « il a un abonnement de musique en ligne » et $B$ : « il a un abonnement de vidéo en ligne ». D'après un sondage, $P(A) = 0{,}48$, $P(B) = 0{,}61$ et $P(A \cap B) = 0{,}32$.

1. aTraduis $A \cap B$ et $\overline{B}$ par une phrase.
2. bNoé écrit $P(A \cup B) = 0{,}48 + 0{,}61 = 1{,}09$. Explique pourquoi c'est faux, puis calcule $P(A \cup B)$.
3. cCalcule la probabilité que l'habitant n'ait aucun des deux abonnements.
4. dVrai ou faux ? « $A$ et $B$ sont incompatibles. » Justifie.
5. eVrai ou faux ? « $C$ : “aucun des deux abonnements” et $D$ : “les deux abonnements” sont incompatibles, donc contraires. » Justifie.

Ex. 6★★★Une carte dans un jeu de 32 — On tire au hasard une carte d'un jeu de $32$ cartes. Il y a $4$ couleurs : cœur et carreau sont rouges, pique et trèfle sont noirs. Chaque couleur compte $8$ cartes : $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi et as. On note $R$ : « la carte est rouge » et $F$ : « la carte est une figure (valet, dame ou roi) ». Donne les résultats sous forme décimale.

1. aJustifie que les issues sont équiprobables, puis calcule $P(R)$ et $P(F)$.
2. bDécris l'événement $R \cap F$ par une phrase, donne $\mathrm{Card}(R \cap F)$, puis calcule $P(R \cap F)$.
3. cInès écrit : « $R \cup F$ compte $16 + 12 = 28$ cartes, donc $P(R \cup F) = \frac{28}{32}$. » Explique son erreur, puis calcule $P(R \cup F)$ de deux façons.
4. dÉcris l'événement « la carte n'est ni rouge ni une figure » à l'aide de $R$ et $F$, puis calcule sa probabilité.
5. eOn note $N$ : « la carte est un as noir ». Vrai ou faux : « $\overline{R}$ et $N$ sont incompatibles, donc $P(\overline{R} \cup N)=P(\overline{R})+P(N)$. » Justifie, puis calcule $P(\overline{R} \cup N)$.

Ex. 7★★★La roue du magasin — Pour son anniversaire, un magasin fait tourner une roue à chaque passage en caisse. Les secteurs n'ont pas tous la même taille. La loi de probabilité est donnée ci-dessous.

1. aComplète la loi de probabilité en justifiant ton calcul.
2. bCalcule la probabilité de gagner un bon d'au moins $10$ €.
3. cOn note $E$ : « gagner un bon » et $F$ : « ne pas gagner le bon de $20$ € ». Calcule $P(E)$ et $P(F)$ en utilisant des événements contraires.
4. dDécris $E \cap F$ par une phrase, puis calcule $P(E \cup F)$. Que représente l'événement $E \cup F$ ?
5. eLe magasin double la probabilité du bon de $5$ € ; seule celle de « Perdu » change pour compenser. Donne la nouvelle loi, puis la nouvelle valeur de $P(E)$.

Ex. 8★★★Le dossard gagnant du cross — Au cross du lycée, $50$ coureurs portent des dossards numérotés de $1$ à $50$. À l'arrivée, on tire au hasard un dossard pour gagner des chaussures de course. On note $A$ : « le numéro est un nombre premier » (un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même) et $C$ : « le numéro s'écrit avec au moins un chiffre $3$ ». Arrondis au millième si nécessaire.

1. aÉcris $A$ en extension, puis calcule $P(A)$.
2. bNoé dit : « Le contraire de $C$ est “le numéro s'écrit avec au plus un chiffre $3$”. » A-t-il raison ? Justifie et calcule la probabilité de l'événement cité par Noé.
3. cEn passant par l'événement contraire de $C$, calcule $P(C)$.
4. dDétermine $A \cap C$, puis calcule la probabilité que le numéro soit premier sans contenir de chiffre $3$.
5. eL'an prochain, il y aura $60$ coureurs, numérotés de $1$ à $60$. La probabilité de tirer un numéro premier sera-t-elle plus grande ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes — lire un tableau croisé — Une entreprise interroge ses 500 salariés. On note $T$ : « le salarié télétravaille au moins un jour par semaine » et $V$ : « il vient au travail en vélo ». On choisit un salarié au hasard.

1. aCalcule la probabilité que le salarié télétravaille.
2. bCalcule la probabilité que le salarié soit à la fois en télétravail et cycliste.
3. cCalcule $P_T(V)$, puis traduis ce résultat par une phrase.
4. dParmi les cyclistes, quelle proportion télétravaille ? Écris-la d'abord en notation.
5. eSachant que le salarié télétravaille, calcule la probabilité qu'il ne vienne pas en vélo, en utilisant le contraire.
6. fCalcule $P_{\overline{T}}(V)$, arrondie au centième.

Ex. 10★★★Automatismes — traduire et utiliser la formule — Dans une ville, $40\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe, $15\,\%$ ont eu la grippe cet hiver et $3\,\%$ sont à la fois vaccinés et grippés. On choisit un habitant au hasard. On note $V$ : « il est vacciné » et $G$ : « il a eu la grippe ».

1. aTraduis chacune des trois données de l'énoncé en notation.
2. bLéa affirme : « $3\,\%$ des vaccinés ont eu la grippe. » Traduis sa phrase en notation. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cTraduis $P_G(V)$ par une phrase, puis calcule-la.
4. dCalcule la probabilité qu'un habitant vacciné n'ait pas eu la grippe.

Ex. 11★★★Compléter le tableau avant de calculer — Un supermarché étudie 600 passages en caisse. $C$ : « le client a la carte de fidélité » ; $B$ : « il a acheté un produit bio ». On choisit un client au hasard. Arrondis au centième si nécessaire.

1. aComplète le tableau par différences, puis vérifie les totaux.
2. bCalcule $P_C(B)$ et traduis le résultat par une phrase commençant par « parmi ».
3. cCalcule $P_{\overline{C}}(B)$. Compare avec la question précédente.
4. dTom affirme : « La plupart des acheteurs de bio n'ont pas la carte de fidélité. » Vrai ou faux ? Justifie par une probabilité.

Ex. 12★★★Un tableau construit à partir de pourcentages — Un lycée compte 1\,200 élèves, dont $25\,\%$ d'internes. $40\,\%$ des internes sont inscrits à l'association sportive, contre $15\,\%$ des non-internes. On note $I$ : « l'élève est interne » et $S$ : « il est inscrit à l'association sportive ». On choisit un élève au hasard. Arrondis au centième.

1. aConstruis le tableau croisé des effectifs, avec $I$, $\overline{I}$ en lignes et $S$, $\overline{S}$ en colonnes.
2. bTraduis « $40\,\%$ des internes sont inscrits » en notation, puis calcule $P(I\cap S)$.
3. cInès affirme : « $P(S)=\frac{40+15}{2}\,\%=27{,}5\,\%$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dCalcule la probabilité qu'un élève inscrit à l'association sportive soit interne. Traduis par une phrase.

Ex. 13★★★Filles qui nagent ou nageurs qui sont des filles ? — Un club multisport compte 250 licenciés. On note $F$ : « le licencié est une fille » et $N$ : « il pratique la natation ». On choisit un licencié au hasard. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible ou de nombre décimal.

1. a« La probabilité que le licencié soit une fille qui nage vaut $0{,}45$. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. bÉcris en notation « parmi les nageurs, la proportion de filles », puis calcule-la.
3. cCalcule la probabilité qu'une fille choisie au hasard ne nage pas.
4. d« $P_{\overline{F}}(\overline{N})=0{,}7$, donc $70\,\%$ des licenciés sont des garçons qui ne nagent pas. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Corriger la copie de Lina — Un institut interroge 800 personnes. On note $S$ : « la personne est abonnée à une plateforme de streaming » et $C$ : « elle est allée au cinéma ce mois-ci ». On choisit une personne au hasard. Arrondis au centième si besoin.

1. aLina écrit : « $P_S(C) = \frac{210}{800} = 0{,}2625$ ». Explique son erreur, puis donne la bonne valeur sous forme de fraction simplifiée.
2. bLina note $P_S(C)$ la probabilité qu'une personne allée au cinéma ce mois-ci soit abonnée. Corrige la notation, puis calcule cette probabilité.
3. cLina écrit : « $P_S(\overline{C}) = 1 - P(C) = 0{,}575$ ». Corrige ce calcul, puis traduis le résultat par une phrase « parmi les … ».
4. dÉcris en notation, puis calcule en fraction simplifiée : la probabilité qu'un non-abonné ne soit pas allé au cinéma, puis la part des non-abonnés parmi ceux qui n'y sont pas allés.

Ex. 15★★★Trois transporteurs, un seul responsable ? — Une boutique en ligne a expédié 2\,000 colis grâce à trois transporteurs $X$, $Y$ et $Z$. On note $R$ : « le colis est arrivé en retard ». On choisit un colis au hasard. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $P_X(R)$, $P_Y(R)$ et $P_Z(R)$. Quel transporteur a le taux de retard le plus élevé ?
2. bUn colis est arrivé en retard. Quel transporteur est le plus probablement responsable ? Justifie avec trois probabilités.
3. cCalcule la probabilité qu'un colis soit à la fois confié à $Z$ et en retard, puis la probabilité qu'il soit confié à $Z$ ou en retard.
4. dLe gérant confie désormais à $X$ les 300 colis de $Z$, avec le taux de retard de $X$. Calcule la nouvelle valeur de $P(R)$ et compare-la à l'ancienne.

Ex. 16★★★Le casque protège-t-il les skieurs ? — Une station de ski a suivi 4\,000 skieurs pendant une saison : 3\,200 portaient un casque, 104 se sont blessés, et 64 des blessés portaient un casque. On note $K$ : « le skieur porte un casque » et $B$ : « il s'est blessé ». On choisit un skieur au hasard.

1. aConstruis le tableau croisé des effectifs, avec $K$, $\overline{K}$ en lignes et $B$, $\overline{B}$ en colonnes. Vérifie les totaux.
2. bTraduis $P_B(K)$ et $P_K(B)$ par une phrase « parmi les … », puis calcule chacune sous forme de fraction simplifiée.
3. cUn article affirme : « La majorité des skieurs blessés portaient un casque, donc le casque ne protège pas. » Explique pourquoi ce raisonnement est faux, à l'aide de $P_K(B)$ et $P_{\overline{K}}(B)$.
4. dCalcule la probabilité qu'un skieur soit à la fois sans casque et blessé. Explique pourquoi elle diffère de $P_{\overline{K}}(B)$.

Ex. 17★★★Automatismes : compléter les branches d'un arbre — Dans un club omnisports, $35\,\%$ des adhérents sont mineurs ($M$). Parmi les mineurs, $80\,\%$ pratiquent la natation ($N$) ; parmi les majeurs, $45\,\%$. On choisit un adhérent au hasard.

1. aQuelle probabilité porte la branche du premier niveau qui mène à $\overline{M}$ ?
2. bTraduis « $80\,\%$ des mineurs pratiquent la natation » en notation. Donne ensuite la probabilité de la branche de $M$ vers $\overline{N}$.
3. cÉcris les probabilités des deux branches qui partent du nœud $\overline{M}$.
4. dCalcule $P(M \cap N)$ avec la règle du chemin.
5. eCalcule la probabilité que l'adhérent soit majeur et ne pratique pas la natation.
6. fVrai ou faux : « $P(N) = 0{,}8$ ». Justifie.

Ex. 18★★★Automatismes : branches, chemins et tirages — Calcule directement, sans arbre complet.

1. aUne urne contient 4 boules rouges et 6 vertes. On tire deux boules sans remise ($R_1$, $R_2$ : rouge au 1er, au 2e tirage). Calcule $P_{R_1}(R_2)$.
2. bAvec la même urne, on tire cette fois avec remise. Calcule $P_{R_1}(R_2)$.
3. cUn client vient du rayon A avec une probabilité de $0{,}25$, du rayon B avec $0{,}4$, sinon du rayon C. Quelle probabilité porte la branche C ?
4. dDans un arbre, $P(A) = 0{,}7$ et $P_A(B) = 0{,}05$. Calcule $P(A \cap B)$.
5. eTrois des quatre chemins d'un arbre valent $0{,}12$ ; $0{,}28$ et $0{,}18$. Combien vaut le quatrième ?
6. fOn a $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}12$. Léo écrit $0{,}12$ sur la branche de $A$ vers $B$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Festival : choisir l'ordre des niveaux — Sondage auprès des spectateurs d'un festival. Parmi les spectateurs venus en train ($T$), $15\,\%$ ont acheté un pass 3 jours ($J$) ; parmi les autres, $40\,\%$. Par ailleurs, $22\,\%$ des spectateurs sont venus en train. On interroge un spectateur au hasard.

1. aQuel événement places-tu au premier niveau de l'arbre ? Justifie avec le texte.
2. bConstruis l'arbre pondéré complet sur ta copie.
3. cCalcule la probabilité que le spectateur soit venu en train et n'ait pas acheté de pass 3 jours.
4. dCalcule la probabilité que le spectateur ait acheté un pass 3 jours.
5. eVérifie que la somme des quatre chemins vaut 1.

Ex. 20★★★Trois lignes de bus — Dans une ville, $40\,\%$ des trajets en bus se font sur la ligne 1 ($L_1$), $35\,\%$ sur la ligne 2 ($L_2$) et les autres sur la ligne 3 ($L_3$). Le bus est en retard ($R$) sur $10\,\%$ des trajets de la ligne 1, $6\,\%$ de la ligne 2 et $20\,\%$ de la ligne 3. On choisit un trajet au hasard.

1. aCalcule $P(L_3)$.
2. bConstruis l'arbre pondéré sur ta copie : trois branches au premier niveau, puis deux branches par nœud.
3. cCalcule la probabilité que le trajet se fasse sur la ligne 3 avec du retard.
4. dCalcule $P(L_2 \cap \overline{R})$.
5. eSam dit : « Le taux de retard vaut $\frac{10 + 6 + 20}{3} = 12\,\%$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.

Ex. 21★★★Jeu de jetons : tirage sans remise — Un sac contient 10 jetons : 6 gagnants et 4 perdants. Yanis tire un jeton au hasard, le garde, puis en tire un second. $G_1$ : « le 1er jeton est gagnant », $G_2$ : « le 2e jeton est gagnant ». Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. aDonne $P(G_1)$ et $P_{G_1}(G_2)$.
2. bÉcris les probabilités des deux branches qui partent du nœud $\overline{G_1}$.
3. cCalcule la probabilité que les deux jetons soient gagnants.
4. dCalcule la probabilité que Yanis tire exactement un jeton gagnant.
5. eSi Yanis remettait le premier jeton dans le sac, quelle serait la probabilité de tirer deux jetons gagnants ?

Ex. 22★★★Dépistage d'une maladie rare — Une maladie touche $2\,\%$ de la population. Son test de dépistage est positif chez $95\,\%$ des malades. Il est négatif chez $90\,\%$ des personnes non malades. On choisit une personne au hasard. $M$ : « la personne est malade », $T$ : « le test est positif ». Arrondis au centième si nécessaire.

1. aTraduis les trois données de l'énoncé en notation. Construis ensuite l'arbre pondéré sur ta copie et complète chaque nœud.
2. bUn faux positif est une personne non malade dont le test est positif. Calcule la probabilité que la personne soit un faux positif, puis calcule $P(T)$.
3. cComplète le tableau croisé pour 10\,000 personnes :

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	10 000

4. dCalcule $P_T(M)$ puis traduis-la par une phrase « parmi les … ».
5. eUn journaliste écrit : « Ce test est fiable à $95\,\%$, donc un test positif signifie $95\,\%$ de risque d'être malade. » Explique son erreur et pourquoi l'écart est si grand.

Ex. 23★★★Car scolaire et retards : retrouver une branche — Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves prennent le car scolaire ($C$). $R$ : « l'élève arrive en retard au moins une fois par mois ». $14\,\%$ des élèves sont à la fois usagers du car et en retard au moins une fois par mois. Parmi les élèves qui ne prennent pas le car, $5\,\%$ sont en retard au moins une fois par mois. On choisit un élève au hasard. Arrondis au centième si nécessaire.

1. aPeut-on placer le nombre $0{,}14$ sur une branche de l'arbre ? Traduis-le en notation et justifie.
2. bCalcule la probabilité qu'un élève qui prend le car soit en retard au moins une fois par mois. Construis ensuite l'arbre complet en le décrivant nœud par nœud.
3. cCalcule $P(R)$.
4. dCalcule $P(\overline{R})$ de deux façons : avec deux chemins de l'arbre, puis avec l'événement contraire de $R$.
5. eCalcule la probabilité qu'un élève en retard au moins une fois par mois prenne le car. Explique en une phrase pourquoi ce résultat est différent de $P_C(R)$.

Ex. 24★★★Cartes bonus : avec ou sans remise ? — Un jeu de société contient un paquet de 8 cartes : 5 cartes « bonus » et 3 cartes « malus ». Nina tire une carte au hasard, puis une seconde. $B_1$ : « la 1re carte est bonus », $B_2$ : « la 2e carte est bonus ». Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. aNina ne remet pas la 1re carte dans le paquet. Construis l'arbre pondéré en le décrivant niveau par niveau, et justifie les probabilités du second niveau.
2. bSans remise, calcule la probabilité que les deux cartes soient du même type.
3. cTom affirme : « Sans remise, la 2e carte a moins de chances d'être bonus que la 1re, car un bonus a pu partir. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.
4. dNina remet maintenant la 1re carte dans le paquet avant le second tirage. Calcule la probabilité que les deux cartes soient du même type.
5. eNina gagne si ses deux cartes sont de types différents. A-t-elle intérêt à jouer avec ou sans remise ? Justifie.

Ex. 25★★★Automatismes — Compléter et lire les branches — On choisit un élève au hasard dans un lycée. $L$ : « l'élève est demi-pensionnaire », $S$ : « l'élève pratique un sport en club ». L'arbre pondéré donne : $P(L) = 0{,}65$ ; $P_L(S) = 0{,}4$ ; $P_{\overline{L}}(S) = 0{,}3$.

1. aComplète le premier niveau : calcule $P(\overline{L})$.
2. bCalcule $P_L(\overline{S})$.
3. cLucas affirme : « $P_L(S) + P_{\overline{L}}(S) = 0{,}7$, pas $1$ : l'arbre est faux. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dTraduis en symboles, sans calculer : « la probabilité qu'un élève inscrit en club soit demi-pensionnaire ».
5. eTraduis par une phrase l'égalité $P_{\overline{L}}(S) = 0{,}3$.
6. fKenza affirme : « $40\,\%$ des élèves du lycée sont à la fois demi-pensionnaires et en club. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 26★★★Automatismes — Règle du chemin — Dans une boulangerie, on choisit un client au hasard. $C$ : « il paie par carte », $V$ : « il achète une viennoiserie ». L'arbre donne : $P(C) = 0{,}7$ ; $P_C(V) = 0{,}45$ ; $P_{\overline{C}}(V) = 0{,}2$.

1. aCalcule $P(C \cap V)$.
2. bCalcule $P(\overline{C} \cap V)$, puis traduis ce résultat par une phrase, en pourcentage.
3. cCalcule la probabilité que le client paie par carte et n'achète pas de viennoiserie.
4. dSans multiplier, déduis $P(\overline{C} \cap \overline{V})$ de la somme des quatre chemins.
5. eVérifie ce dernier résultat par la règle du chemin.
6. fLéo affirme : « $P(V) = 0{,}45$, on le lit sur l'arbre. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 27★★★Retards dans les transports — Dans une ville, $55\,\%$ des trajets domicile-travail se font en bus ($B$), les autres en tram. Un trajet est en retard ($R$) dans $18\,\%$ des trajets en bus et dans $6\,\%$ des trajets en tram. On choisit un trajet au hasard.

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré de la situation, en complétant chaque nœud.
2. bCalcule la probabilité que le trajet soit fait en bus et soit en retard.
3. cCalcule $P(R)$. Explique pourquoi le résultat de la question précédente ne suffit pas.
4. dTom affirme : « $P(R) = \frac{18\,\% + 6\,\%}{2} = 12\,\%$ ». A-t-il raison ? Justifie.
5. eSur $2\,000$ trajets, combien environ sont en retard ? Combien de ces retards ont lieu en tram ?

Ex. 28★★★Deux jetons sans remise — Un sac contient $10$ jetons : $6$ rouges et $4$ verts. Noé tire un jeton au hasard, le garde, puis tire un second jeton. $R_1$ : « le premier jeton est rouge », $R_2$ : « le second jeton est rouge ». Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. aDonne $P(R_1)$ et $P_{R_1}(R_2)$, puis calcule $P(R_1 \cap R_2)$.
2. bCalcule la probabilité que les deux jetons soient verts.
3. cDéduis-en la probabilité d'obtenir deux jetons de même couleur.
4. dEn passant par l'événement contraire, calcule la probabilité d'obtenir au moins un jeton vert.
5. eSami trouve $0{,}36$ pour la probabilité de tirer deux jetons rouges. Explique son erreur.

Ex. 29★★★Retrouver une branche au club d'escalade — Dans un club d'escalade, $70\,\%$ des adhérents sont adultes ($A$). $20\,\%$ des adhérents sont des adultes qui font de la compétition ($C$). Parmi les mineurs, $40\,\%$ font de la compétition. On choisit un adhérent au hasard. Arrondis au millième si nécessaire.

1. aTraduis les trois données de l'énoncé en notation.
2. bCalcule $P_A(C)$ en valeur exacte, puis arrondie.
3. cDéduis-en $P_A(\overline{C})$ en valeur exacte, puis arrondie.
4. dCalcule la probabilité que l'adhérent fasse de la compétition. Conclus par une phrase.
5. eInès arrondit $P_A(C)$ à $0{,}3$, puis calcule $P(A \cap \overline{C}) = 0{,}7 \times 0{,}7$. Explique son erreur et donne la valeur exacte.

Ex. 30★★★Deux lancers francs — Au basket, Maëlle tire deux lancers francs. $R_1$ : « elle réussit le premier », $R_2$ : « elle réussit le second ». Elle réussit le premier dans $80\,\%$ des cas. Après une réussite, elle réussit le second dans $85\,\%$ des cas. Après un échec, elle le réussit dans $60\,\%$ des cas.

1. aConstruis l'arbre pondéré sur ta copie en complétant chaque nœud. Calcule les probabilités des quatre chemins, puis contrôle leur somme.
2. bCalcule la probabilité que Maëlle réussisse exactement un des deux lancers.
3. cLéa affirme : « $P(R_2) = \frac{0{,}85 + 0{,}6}{2} = 0{,}725$ ». A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule $P(R_2)$.
4. dDonne $P_{\overline{R_1}}(R_2)$ et $P(\overline{R_1} \cap R_2)$. Explique par une phrase ce que représente chacun de ces deux nombres.

Ex. 31★★★Colis en retard — Un site de vente en ligne livre $35\,\%$ de ses commandes en point relais ($R$), les autres à domicile. $T$ : « la commande arrive en retard ». $4{,}2\,\%$ des commandes sont livrées en point relais et arrivent en retard. Parmi les commandes livrées à domicile, $8\,\%$ arrivent en retard. On choisit une commande au hasard.

1. aCalcule la probabilité portée par la branche qui va de $R$ à $T$. Interprète-la par une phrase.
2. bHugo affirme : « une commande arrive en retard avec une probabilité de $0{,}042$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $P(T)$.
3. cComplète le tableau sur $10\,000$ commandes :

   	T	T̄	Total
   R	?	?	?
   R̄	?	?	?
   Total	?	?	10 000

4. dUne commande arrive en retard. Calcule la probabilité qu'elle ait été livrée en point relais, arrondie au centième. Compare-la avec $P_R(T)$.

Ex. 32★★★Deux billets de tombola — À la tombola du club de foot, l'urne contient $25$ billets, dont $5$ gagnants. Yanis tire un billet au hasard et le garde, puis il en tire un second. $G_1$ : « le premier billet est gagnant », $G_2$ : « le second billet est gagnant ».

1. aConstruis l'arbre pondéré sur ta copie. Calcule les probabilités des quatre chemins en fractions irréductibles, puis contrôle leur somme.
2. bCalcule la probabilité que Yanis gagne au moins un lot.
3. cYanis a gagné au moins un lot. Calcule la probabilité qu'il ait gagné deux lots, arrondie au centième.
4. dOn remet maintenant le premier billet dans l'urne avant le second tirage. Calcule la probabilité de gagner au moins un lot.
5. ePour gagner au moins un lot, Yanis a-t-il intérêt à ce que l'on remette le premier billet ? Justifie.

Ex. 33★★★Automatismes : de l'arbre au tableau — Dans un lycée, $45\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires ($D$). Parmi eux, $60\,\%$ font partie de l'association sportive ($S$), contre $20\,\%$ chez les autres élèves. On choisit un élève au hasard et on imagine un effectif de $1\,000$ élèves.

1. aCalcule l'effectif des élèves demi-pensionnaires.
2. bCalcule l'effectif des élèves qui sont à la fois demi-pensionnaires et membres de l'association.
3. cCalcule l'effectif de $\overline{D} \cap S$.
4. dDéduis par différence l'effectif de $D \cap \overline{S}$.
5. eCombien d'élèves font partie de l'association sportive ?
6. fCalcule $P(S)$.

Ex. 34★★★Automatismes : du tableau à l'arbre — On a interrogé 400 personnes. $A$ : « est abonné à une plateforme de streaming », $F$ : « a vu le film de l'été ». On choisit une personne au hasard.

1. aCalcule la probabilité que la personne soit abonnée.
2. bDonne la branche $P_A(F)$ de l'arbre dont le premier niveau est $A$.
3. cParmi les personnes non abonnées, quelle proportion a vu le film ?
4. dDéduis-en $P_{\overline{A}}(\overline{F})$ avec la règle du nœud.
5. eLéo affirme que $P(F)$ se lit sur une branche de cet arbre. Calcule $P(F)$ et corrige-le.
6. fLa personne a vu le film. Calcule la probabilité qu'elle soit abonnée.

Ex. 35★★★Choisir le bon effectif fictif — Pour chaque situation, donne le plus petit effectif $N$ parmi $100$, $1\,000$ et $10\,000$ qui rend entiers les effectifs de $A$ et de $A \cap B$. Donne ensuite l'effectif de $A \cap B$.

1. a$P(A) = 0{,}8$ et $P_A(B) = 0{,}35$.
2. b$75\,\%$ des clients n'ont pas de bon de réduction. Parmi ceux qui en ont un ($A$), $60\,\%$ l'utilisent
   ($B$).
3. c$15\,\%$ des trains sont en retard ($A$). Parmi eux, $70\,\%$ ont moins de 10 minutes de retard
   ($B$).
4. d$P(A) = 0{,}12$ et $P_A(\overline{B}) = 0{,}65$.
5. eDans un jeu à gratter, $0{,}5\,\%$ des tickets sont gagnants ($A$). Parmi eux, $90\,\%$ sont réclamés par leur acheteur
   ($B$).
6. fLina prend $N = 100$ avec $P(A) = 0{,}03$ et $P_A(B) = 0{,}9$. Elle trouve $2{,}7$ personnes. Corrige son choix.

Ex. 36★★★Club de tennis : tableau et inversion — Dans un club de tennis, $25\,\%$ des joueurs font de la compétition ($C$). Parmi eux, $60\,\%$ s'entraînent plus de deux fois par semaine ($E$), contre $12\,\%$ chez les autres joueurs. On choisit un joueur au hasard.

1. aComplète ce tableau pour $1\,000$ joueurs et vérifie les totaux :

   	E	Ē	Total
   C	?	?	?
   C̄	?	?	?
   Total	?	?	1 000

2. bCalcule la probabilité que le joueur s'entraîne plus de deux fois par semaine.
3. cLe joueur s'entraîne plus de deux fois par semaine. Calcule la probabilité qu'il fasse de la compétition.
4. dSami dit : « Parmi les joueurs qui s'entraînent plus de deux fois par semaine, $60\,\%$ font de la compétition. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 37★★★Magasin : du tableau à l'arbre inversé — Un magasin a interrogé 800 clients. $F$ : « a la carte de fidélité », $L$ : « a déjà acheté en ligne ». On choisit un client au hasard. Arrondis au millième si besoin.

1. aComplète le tableau par différence, puis vérifie tous les totaux.
2. bConstruis sur ta copie l'arbre pondéré dont le premier niveau est $L$, $\overline{L}$.
3. cHugo écrit : « $P(F \cap L) = \frac{180}{240} = 0{,}75$ ». Trouve son erreur et corrige-la.
4. dCalcule $P_F(L)$, puis compare cette probabilité à $P_L(F)$.

Ex. 38★★★Dépistage d'une maladie rare : choisir $N$ et inverser — Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test est positif chez $95\,\%$ des malades et chez $3\,\%$ des non-malades. On choisit une personne au hasard. $M$ : « la personne est malade », $T$ : « son test est positif ». Arrondis au millième si nécessaire.

1. aLina prend $N = 1\,000$ personnes. Calcule l'effectif de $M$, celui de $M \cap T$ et celui de $\overline{M} \cap T$. Explique pourquoi ce choix de $N$ ne convient pas.
2. bComplète ce tableau pour $10\,000$ personnes, puis vérifie tous les totaux :

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	10 000

3. cCalcule $P(T)$. Explique pourquoi cette probabilité ne se lit sur aucune branche de l'arbre.
4. dLéo dit : « Mon test est positif, donc j'ai $95\,\%$ de risques d'être malade. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
5. eCalcule la probabilité qu'une personne dont le test est négatif ne soit pas malade. Interprète ce résultat.

Ex. 39★★★Gare : retourner l'arbre et corriger deux erreurs — Dans une gare, $35\,\%$ des voyageurs ont un abonnement ($A$). Parmi les abonnés, $80\,\%$ voyagent aux heures de pointe ($H$), contre $40\,\%$ des non-abonnés. On choisit un voyageur au hasard. Donne les fractions irréductibles, puis leurs arrondis au millième.

1. aComplète ce tableau pour $1\,000$ voyageurs, puis vérifie les totaux :

   	H	H̄	Total
   A	?	?	?
   Ā	?	?	?
   Total	?	?	1000

2. bCalcule $P(H)$ de deux façons : avec le tableau, puis comme somme de deux chemins de l'arbre de départ.
3. cInès cherche la probabilité qu'un voyageur des heures de pointe soit abonné. Elle divise la case $A \cap H$ par le total de la ligne $A$. Explique son erreur et corrige-la.
4. dConstruis l'arbre « dans l'autre sens », avec $H$ et $\overline{H}$ au premier niveau. Donne les six probabilités des branches.
5. eSur ce nouvel arbre, applique la règle du chemin pour retrouver $P(A \cap H)$, puis vérifie que la somme des quatre chemins vaut $1$.

Ex. 40★★★Cinéma : trois séances, un tarif réduit — Dans un cinéma, $20\,\%$ des spectateurs viennent à une séance du matin ($M$), $50\,\%$ l'après-midi ($A$) et les autres le soir ($S$). Le tarif réduit ($R$) concerne $70\,\%$ des spectateurs du matin, $40\,\%$ de ceux de l'après-midi et $10\,\%$ de ceux du soir. On choisit un spectateur au hasard. Arrondis au millième si nécessaire.

1. aPour $1\,000$ spectateurs, Théo remplit la case $M \cap R$ avec $1\,000 \times 0{,}7 = 700$. Explique son erreur et donne la bonne valeur.
2. bComplète ce tableau pour $1\,000$ spectateurs, puis vérifie les totaux :

   	R	R̄	Total
   M	?	?	?
   A	?	?	?
   S	?	?	?
   Total	?	?	1000

3. cCalcule $P(R)$, puis la probabilité que le spectateur vienne le soir ou paie le tarif réduit.
4. dVrai ou faux : « La plupart des tarifs réduits sont vendus le matin. » Justifie par un calcul de probabilité.
5. eBen place $R$ et $\overline{R}$ au premier niveau de l'arbre. Donne $P(\overline{R})$ et les trois branches qui partent du nœud $\overline{R}$.

Ex. 41★★★Automatismes : filtre anti-spam, dans un sens puis dans l'autre — Un filtre anti-spam a trié 2\,000 courriels. On choisit un courriel au hasard. On note $S$ : « c'est un spam » et $B$ : « le filtre l'a bloqué ».

1. aCalcule $P_S(B)$.
2. bParmi les courriels bloqués, quelle est la proportion de spams ? Écris-la en notation, puis calcule-la.
3. cTraduis en notation, puis calcule : la probabilité qu'un courriel qui n'est pas un spam soit bloqué.
4. dCalcule $P_B(\overline{S})$.
5. eCalcule $P(S \cap B)$.
6. fVrai ou faux : « deux probabilités conditionnelles qui ont le même numérateur sont égales ». Justifie avec ce tableau.

Ex. 42★★★Automatismes : contrôle antidopage — Lors d'une compétition, $2\,\%$ des athlètes sont dopés. Le contrôle antidopage a une sensibilité de $90\,\%$ et une spécificité de $94\,\%$. On choisit un athlète au hasard. On note $D$ : « l'athlète est dopé » et $T$ : « le contrôle est positif ».

1. aCalcule la probabilité qu'un athlète dopé ait un contrôle négatif (faux négatif). Écris-la en notation.
2. bUn élève écrit : « la spécificité donne $P_{\overline{D}}(T)=0{,}94$ ». Corrige son erreur.
3. cCalcule la probabilité qu'un athlète soit dopé et contrôlé positif.
4. dCalcule $P(\overline{D} \cap T)$, la probabilité d'un faux positif.
5. eDéduis-en $P(T)$.
6. fCalcule la probabilité qu'un athlète soit dopé ou contrôlé positif.

Ex. 43★★★Maladie rare : la question du patient — Une maladie du sang touche $1\,\%$ des adultes. Un test a une sensibilité de $98\,\%$ et une spécificité de $95\,\%$. On choisit un adulte au hasard. On note $M$ : « il est malade » et $T$ : « son test est positif ».

1. aComplète le tableau croisé sur 10\,000 adultes.

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	10 000

2. bCombien y a-t-il de faux positifs ? Combien de fois plus que de vrais positifs (arrondi à l'unité) ?
3. cUn adulte a un test positif. Calcule la probabilité qu'il soit malade, arrondie au centième.
4. dBen affirme : « le test détecte $98\,\%$ des malades, donc un positif est malade à $98\,\%$ ». Explique son erreur.
5. eCalcule $P_{\overline{T}}(M)$, arrondie au dix-millième, puis interprète un test négatif.

Ex. 44★★★Contrôle qualité : les téléphones rejetés — Dans une usine, $4\,\%$ des téléphones sont défectueux. Un appareil de contrôle rejette $95\,\%$ des téléphones défectueux et rejette à tort $2\,\%$ des téléphones conformes. On choisit un téléphone au hasard. On note $D$ : « il est défectueux » et $R$ : « il est rejeté ».

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré, avec $D$ et $\overline{D}$ au premier niveau.
2. bComplète le tableau des chemins.

   Chemin	D∩R	D∩R̄	D̄∩R	D̄∩R̄
   Probabilité	?	?	?	?

3. cCalcule $P(R)$.
4. dParmi les téléphones rejetés, quelle proportion est vraiment défectueuse ? Arrondis au centième.
5. eUn technicien affirme : « $95\,\%$ des téléphones rejetés sont défectueux ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Alarme de magasin : « fiable à 99 % » ? — Une société de surveillance a relevé 20\,000 nuits dans des magasins. On choisit une nuit au hasard. On note $I$ : « il y a eu une intrusion » et $D$ : « l'alarme s'est déclenchée ».

1. aCalcule la sensibilité $P_I(D)$ de l'alarme.
2. bCalcule $P_{\overline{I}}(\overline{D})$, arrondie au millième. Comment s'appelle cette probabilité ?
3. cL'installateur annonce une alarme « fiable à $99\,\%$ ». Explique pourquoi cette phrase est ambiguë.
4. dL'alarme sonne. Calcule la probabilité qu'il y ait vraiment une intrusion, arrondie au centième.
5. eVrai ou faux : plus de $4$ déclenchements sur $5$ sont de fausses alertes. Justifie.

Ex. 46★★★Le même test dans deux populations — Un test détecte un virus respiratoire : sensibilité $99\,\%$, spécificité $97\,\%$. Le virus touche $0{,}5\,\%$ de la population générale et $30\,\%$ des patients hospitalisés avec des symptômes. On choisit une personne au hasard dans le groupe étudié. On note $M$ : « elle a le virus » et $T$ : « son test est positif ». Arrondis au millième.

1. aDonne $P_{\overline{M}}(T)$. Explique en une phrase ce que représente cette probabilité.
2. bPour la population générale, complète le tableau sur 100\,000 personnes.

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	100000

3. cUne personne de la population générale est positive. Calcule la probabilité qu'elle ait le virus. Compare le nombre de faux positifs et de vrais positifs.
4. dUn patient hospitalisé avec des symptômes est positif. Calcule la probabilité qu'il ait le virus. Utilise un tableau sur 10\,000 patients.
5. eUn médecin affirme : « Un test positif n'a pas la même valeur selon la personne testée. » Justifie cette phrase avec tes résultats et explique le rôle de $P(M)$.

Ex. 47★★★Car scolaire : qui sont les usagers ? — Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves sont en 2nde, $35\,\%$ en 1re et $25\,\%$ en terminale. Prennent le car : $60\,\%$ des élèves de 2nde, $50\,\%$ de ceux de 1re et $30\,\%$ de ceux de terminale. On choisit un élève au hasard. On note $S$, $R$, $T$ : « il est en 2nde », « en 1re », « en terminale », et $C$ : « il prend le car ». Arrondis au millième.

1. aConstruis l'arbre pondéré sur ta copie. Calcule ensuite $P(S \cap C)$, $P(R \cap C)$ et $P(T \cap C)$.
2. bDéduis-en la probabilité que l'élève prenne le car.
3. cLéa affirme : « $60\,\%$ des usagers du car sont en 2nde. » Vrai ou faux ? Justifie en écrivant en notation la probabilité donnée par l'énoncé et celle dont parle Léa.
4. dCalcule la proportion d'élèves de terminale parmi les élèves qui ne prennent pas le car.
5. eOn suppose $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$ non nuls. Justifie que $P_A(B) = P_B(A)$ seulement si $P(A) = P(B)$. Est-ce le cas pour $S$ et $C$ ?

Ex. 48★★★Deux scanners de bagages « fiables à 99 % » — Dans un aéroport, $2\,\%$ des bagages contiennent un objet interdit. Le scanner A sonne pour $99\,\%$ des bagages avec objet interdit et laisse passer $90\,\%$ des autres ; le scanner B sonne pour $90\,\%$ des premiers et laisse passer $99\,\%$ des autres. On choisit un bagage au hasard. On note $O$ : « il contient un objet interdit » et $D$ : « le scanner sonne ». Arrondis au millième.

1. aLes deux fabricants annoncent « fiable à $99\,\%$ ». Pour chaque scanner, écris en notation la probabilité qui vaut $0{,}99$ et donne son nom.
2. bPour le scanner A, complète le tableau sur 10\,000 bagages.

   	D	D̄	Total
   O	?	?	?
   Ō	?	?	?
   Total	?	?	10000

3. cPour le scanner B, calcule le nombre de faux positifs et le nombre de faux négatifs sur 10\,000 bagages.
4. dPour chaque scanner, calcule la probabilité qu'un bagage qui a fait sonner le scanner contienne un objet interdit.
5. eL'aéroport veut d'abord laisser passer le moins possible d'objets interdits, puis éviter les fouilles inutiles. Quel scanner doit-il choisir ? Justifie avec tes résultats.