1re tronc commun / Probabilités conditionnelles

Ex. 1★★★Tirage d'un dossard — Pour une course, on tire au sort un dossard parmi $20$ dossards numérotés de $1$ à $20$. $A$ : « le numéro est premier » ; $B$ : « le numéro est un multiple de $4$ ». Donne chaque probabilité sous forme de fraction irréductible.

1. aPourquoi les $20$ issues sont-elles équiprobables ?
2. bÉcris $A$ en extension, puis calcule $P(A)$.
3. cÉcris $B$ en extension, puis calcule $P(B)$.
4. dCalcule la probabilité que le numéro ne soit pas premier.
5. eLes événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifie.
6. fCalcule $P(A \cup B)$.
7. gCalcule la probabilité que le numéro ne soit ni premier ni multiple de $4$.

Ex. 2★★★Automatismes : contraire, somme, comptage — Questions indépendantes. Donne les résultats en écriture décimale, ou sous forme de fraction irréductible quand c'est plus simple.

1. aDans un lycée, $38\,\%$ des élèves viennent en bus. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne vienne pas en bus ?
2. bUn élève trouve $P(A) = 1{,}15$. Que peux-tu en conclure ? Justifie.
3. cUne urne contient $7$ boules rouges, $5$ vertes et $3$ bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une verte ?
4. dUn trajet domicile-travail se fait en voiture avec la probabilité $0{,}48$, en transports en commun avec $0{,}31$, et sinon à vélo ou à pied. Quelle est la probabilité « à vélo ou à pied » ?
5. eUn code d'accès est un chiffre de $0$ à $9$ choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit un multiple de $3$ ?
6. fTraduis en notation l'événement « ni $A$ ni $B$ ».

Ex. 3★★★Achats en pharmacie — Dans une pharmacie, $45\,\%$ des clients achètent un médicament (événement $M$) et $30\,\%$ un produit d'hygiène (événement $H$). $12\,\%$ achètent les deux. On choisit un client au hasard.

1. aTraduis en notation « le client achète les deux », puis donne sa probabilité en écriture décimale.
2. bCalcule $P(M \cup H)$.
3. cCalcule la probabilité que le client achète un médicament mais pas de produit d'hygiène.
4. dCalcule la probabilité que le client achète exactement un des deux produits.
5. eUn jour, la pharmacie reçoit $400$ clients. Estime le nombre de clients qui n'achètent aucun médicament.

Ex. 4★★★Une carte dans un jeu de 32 — Un jeu de $32$ cartes compte $4$ couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique). Chaque couleur a $8$ cartes : $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi, as. On tire une carte au hasard. $F$ : « la carte est une figure (valet, dame ou roi) » ; $K$ : « la carte est un carreau ». Donne les résultats en fraction irréductible, puis arrondis au centième.

1. aJustifie l'équiprobabilité, puis calcule $P(F)$.
2. bDécris l'événement $F \cap K$, puis calcule sa probabilité.
3. cCalcule la probabilité que la carte soit une figure ou un carreau.
4. dLes cœurs et les carreaux sont rouges. Calcule la probabilité que la carte ne soit pas une figure rouge.

Ex. 5★★★Deux dés au jeu de société — Dans un jeu de société, on lance deux dés équilibrés à $6$ faces, un rouge et un bleu. On note le couple (rouge ; bleu). Donne les probabilités sous forme de fraction irréductible, puis arrondis au centième.

1. aCombien d'issues compte l'univers $\Omega$ ? Pourquoi sont-elles équiprobables ?
2. bCalcule la probabilité que la somme des deux dés soit égale à $9$.
3. cCalcule la probabilité de n'obtenir aucun $6$.
4. dSam affirme : « la probabilité d'avoir au moins un $6$ vaut $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 6★★★La roue de la kermesse — À la kermesse, une roue est partagée en quatre secteurs : rouge $90^\circ$, bleu $108^\circ$, vert $117^\circ$, jaune $45^\circ$. La probabilité que la flèche s'arrête sur une couleur vaut l'angle de son secteur divisé par $360^\circ$. Donne les probabilités en écriture décimale.

1. aLéa affirme : « Il y a $4$ couleurs, donc la probabilité d'obtenir jaune vaut $\frac{1}{4}$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule $P(\text{jaune})$.
2. bCalcule la probabilité d'obtenir rouge, puis bleu, puis vert. Vérifie que la somme des probabilités des quatre couleurs vaut $1$.
3. cOn gagne un lot si la flèche ne s'arrête pas sur le vert. Calcule la probabilité de gagner un lot en passant par l'événement contraire.
4. dSur $200$ lancers, Léa a obtenu $31$ fois le jaune. Calcule la fréquence observée. Est-ce que cela prouve que la roue est truquée ? Justifie.

Ex. 7★★★Abonnés de la médiathèque — Une médiathèque compte $200$ abonnés. Le mois dernier, $130$ ont emprunté des romans, $110$ des BD et $70$ les deux. On choisit un abonné au hasard. $R$ : « il a emprunté des romans » ; $D$ : « il a emprunté des BD ». Donne les probabilités en écriture décimale.

1. aComplète le tableau croisé d'effectifs :

   	D	D̄	Total
   R	70	?	130
   R̄	?	?	?
   Total	110	?	200

2. bHugo écrit : « $P(R \cup D) = 0{,}65 + 0{,}55 = 1{,}2$ ». Explique pourquoi ce résultat est forcément faux et d'où vient l'erreur, puis calcule $P(R \cup D)$.
3. cTraduis en notation l'événement « l'abonné n'a emprunté ni roman ni BD », puis calcule sa probabilité de deux façons : avec le tableau et avec le contraire.
4. dVrai ou faux ? Justifie : « $R$ et $D$ sont incompatibles, car un abonné peut emprunter seulement des romans. »
5. eCalcule la probabilité que l'abonné n'ait pas emprunté les deux types de livres, en passant par l'événement contraire.

Ex. 8★★★Lire un tableau croisé — Un club d'escalade compte 360 licenciés. On choisit un licencié au hasard. $F$ : « c'est une fille », $C$ : « le licencié fait de la compétition ». Donne les valeurs exactes, puis arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule la probabilité que le licencié soit une fille.
2. bCalcule $P(F \cap C)$.
3. cCalcule la probabilité que le licencié fasse de la compétition sachant que c'est une fille.
4. dParmi les licenciés qui font de la compétition, quelle est la probabilité de choisir une fille ?
5. eCalcule la probabilité que le licencié soit un garçon qui ne fait pas de compétition.
6. fCalcule $P_{\overline{F}}(C)$.

Ex. 9★★★Traduire une phrase en notation — Une ligne de trains régionaux est étudiée. On choisit un train au hasard. $M$ : « le train circule le matin », $R$ : « le train est en retard ». $\overline{R}$ signifie donc « le train est à l'heure ».

1. aTraduis en notation : « $10\,\%$ des trains qui ne circulent pas le matin sont en retard ».
2. bTraduis en notation : « si un train est en retard, il circule le matin une fois sur deux ».
3. cÉcris une phrase en français qui traduit $P(M \cap \overline{R})=0{,}34$.
4. dÉcris une phrase en français qui traduit $P_M(\overline{R})=0{,}85$.
5. eOn sait que $P(M)=0{,}4$ et $P_M(R)=0{,}15$. Calcule $P(M \cap R)$.

Ex. 10★★★Compléter un tableau à partir de pourcentages — Une enseigne interroge 1\,000 clients. $J$ : « le client a moins de 35 ans », $B$ : « il achète des produits bio ». $38\,\%$ des clients ont moins de 35 ans. Parmi eux, $45\,\%$ achètent bio. Parmi les autres, $30\,\%$ achètent bio. On choisit un client au hasard. Arrondis au centième.

1. aRecopie et complète le tableau d'effectifs.
2. bCalcule $P(J \cap B)$, puis $P_J(B)$. Explique pourquoi ces deux nombres sont différents.
3. cBen affirme : « parmi les clients qui achètent bio, $45\,\%$ ont moins de 35 ans ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule la probabilité que le client ait 35 ans ou plus et n'achète pas bio.

Ex. 11★★★Corriger l'erreur d'un élève — Un cabinet médical a suivi 500 patients pendant un hiver. $V$ : « le patient est vacciné contre la grippe », $G$ : « il a eu la grippe ». On choisit un patient au hasard. Arrondis au centième si besoin.

1. aLéa écrit : $P_V(G)=\frac{12}{500}=0{,}024$. Explique son erreur, puis corrige.
2. bCalcule la proportion de vaccinés parmi les patients qui ont eu la grippe. Écris-la d'abord en notation.
3. cCalcule $P_{\overline{V}}(G)$. Compare avec $P_V(G)$ et interprète.
4. dDéduis $P_V(\overline{G})$ de $P_V(G)$, sans revenir au tableau.

Ex. 12★★★Vrai ou faux sur une plateforme de jeux — Sur une plateforme de jeux vidéo, $30\,\%$ des joueurs sont abonnés ($A$). Parmi les abonnés, $80\,\%$ jouent en ligne ($L$). En tout, $52\,\%$ des joueurs jouent en ligne. On choisit un joueur au hasard. Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« $24\,\%$ des joueurs sont des abonnés qui jouent en ligne. »
2. b« Parmi les joueurs en ligne, $80\,\%$ sont abonnés. »
3. c« Si un joueur est abonné, la probabilité qu'il ne joue pas en ligne est $0{,}7$. »
4. d« $28\,\%$ des joueurs ne sont pas abonnés et jouent en ligne. »

Ex. 13★★★Téléphone le soir et fatigue — Un lycée interroge 400 élèves sur leur sommeil. On en choisit un au hasard. $E$ : « il utilise son téléphone après 23 h », $F$ : « il se dit fatigué le matin ». $30\,\%$ des élèves sont dans $E$. $16{,}5\,\%$ des élèves interrogés sont dans $E$ et se disent fatigués. Parmi les autres, $20\,\%$ se disent fatigués. Arrondis au millième.

1. aRecopie et complète le tableau. Pour chaque case calculée à partir d'un pourcentage, précise sur quel effectif tu prends ce pourcentage.

   	F	F̄	Total
   E	?	?	?
   Ē	?	?	?
   Total	?	?	400

2. bCalcule $P_E(F)$ puis $P_E(\overline{F})$. Traduis chaque résultat par une phrase commençant par « parmi les… ».
3. cCalcule $P(F)$. Range $P(F)$, $P_E(F)$ et $P_{\overline{E}}(F)$ dans l'ordre croissant, puis interprète.
4. dInès affirme : « Plus de la moitié des élèves fatigués utilisent leur téléphone après 23 h. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Permis de conduire et conduite accompagnée — Une auto-école présente 400 candidats au permis. On en choisit un au hasard. $C$ : « il a suivi la conduite accompagnée », $R$ : « il est reçu du premier coup ». $25\,\%$ des candidats sont dans $C$ ; parmi eux, $76\,\%$ sont reçus. Parmi les autres, $52\,\%$ sont reçus. Donne les valeurs exactes, puis arrondies au millième.

1. aRecopie et complète le tableau d'effectifs.

   	R	R̄	Total
   C	?	?	?
   C̄	?	?	?
   Total	?	?	400

2. bLe directeur annonce : « Notre taux de réussite est de $64\,\%$, la moyenne de $76\,\%$ et de $52\,\%$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cÉcris en notation, puis calcule : la probabilité qu'un candidat ait suivi la conduite accompagnée et ait échoué ; la proportion d'échecs parmi les candidats en conduite accompagnée.
4. dParmi les candidats reçus, quelle est la proportion de ceux qui ont suivi la conduite accompagnée ? Écris-la en notation, calcule-la, puis compare-la à $P(C)$.
5. eTraduis $P_{\overline{R}}(\overline{C})$ par une phrase, puis calcule cette probabilité.

Ex. 15★★★Automatismes : lire un arbre au club de sport — Dans un club, $35\,\%$ des adhérents font de la natation (événement $N$), les autres font du tennis. Parmi les nageurs, $15\,\%$ font de la compétition (événement $C$) ; parmi les joueurs de tennis, $8\,\%$. On choisit un adhérent au hasard.

1. aTraduis la phrase « parmi les nageurs, $15\,\%$ font de la compétition » par une notation, puis donne sa valeur décimale.
2. bCalcule $P(\overline{N})$.
3. cDonne la notation et la valeur de la probabilité portée par la branche qui va de $N$ à $\overline{C}$.
4. dCalcule la probabilité que l’adhérent soit un nageur qui fait de la compétition.
5. eCalcule $P(\overline{N} \cap C)$.
6. fCalcule la probabilité que l’adhérent choisi fasse de la compétition.

Ex. 16★★★Automatismes : deux jetons, avec ou sans remise — Un sac contient $10$ jetons : $6$ rouges et $4$ noirs. On tire deux jetons au hasard, l’un après l’autre. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible ou de nombre décimal.

1. aLe tirage se fait sans remise. Calcule la probabilité de tirer deux jetons rouges.
2. bLe tirage se fait avec remise. Calcule la probabilité de tirer deux jetons rouges.
3. cLe tirage se fait sans remise. Calcule la probabilité que le premier jeton soit rouge et le second noir.
4. dLe tirage se fait sans remise. Sachant que le premier jeton est noir, quelle est la probabilité que le second soit noir ?
5. eLe tirage se fait sans remise. Calcule la probabilité que les deux jetons soient de couleurs différentes.
6. fLe tirage se fait avec remise. Calcule la probabilité que les deux jetons soient de couleurs différentes.

Ex. 17★★★Trois lignes de bus et des retards — Dans une ville, $45\,\%$ des trajets en bus se font sur la ligne 1 ($L_1$), $35\,\%$ sur la ligne 2 ($L_2$) et les autres sur la ligne 3 ($L_3$). Sont en retard ($R$) : $10\,\%$ des trajets de la ligne 1, $4\,\%$ de la ligne 2 et $15\,\%$ de la ligne 3. On choisit un trajet au hasard. Arrondis au centième si nécessaire.

1. aConstruis l’arbre pondéré sur ta copie : donne la probabilité portée par chacune des neuf branches.
2. bCalcule la probabilité que le trajet soit sur la ligne 3 et en retard.
3. cCalcule la probabilité que le trajet soit en retard.
4. dUn trajet est en retard. Calcule la probabilité qu’il ait eu lieu sur la ligne 1.

Ex. 18★★★Dépistage d’une allergie — Une allergie touche $5\,\%$ d’une population. Un test de dépistage est positif pour $90\,\%$ des allergiques (sensibilité) et négatif pour $92\,\%$ des non-allergiques (spécificité). On note $M$ : « la personne est allergique » et $T$ : « le test est positif ». On imagine une population de 10\,000 personnes.

1. aComplète le tableau d’effectifs :

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	10 000

2. bCalcule la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un test positif.
3. cCalcule $P_T(M)$, arrondie au centième.
4. dUne personne testée positive pense avoir $90\,\%$ de chances d’être allergique. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Retours d’achats : corrige les erreurs — Une enseigne de vêtements réalise $30\,\%$ de ses ventes en ligne ($L$), les autres en magasin. Sont retournés ($R$) $20\,\%$ des achats en ligne et $5\,\%$ des achats en magasin. On choisit un achat au hasard. Arrondis au centième si nécessaire.

1. aInès affirme : « La probabilité qu’un achat soit fait en ligne et retourné vaut $0{,}20$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bTom affirme que la probabilité qu’un achat soit retourné vaut $\frac{0{,}20 + 0{,}05}{2}$. Explique son erreur, puis calcule $P(R)$.
3. cUn achat est retourné. Calcule la probabilité qu’il ait été fait en ligne.
4. dVrai ou faux : « Parmi les achats non retournés, plus de $70\,\%$ ont été faits en magasin. » Justifie.

Ex. 20★★★Livraison de repas : du chemin à la branche — Une application de livraison reçoit $70\,\%$ de ses commandes le soir (événement $S$), les autres le midi. Au total, $14\,\%$ des commandes sont passées le soir et livrées en retard (événement $R$). Parmi les commandes du midi, $5\,\%$ sont livrées en retard. On choisit une commande au hasard. Arrondis au millième si besoin.

1. aTraduis « $14\,\%$ des commandes sont passées le soir et livrées en retard » par une notation, puis calcule $P_S(R)$.
2. bConstruis l’arbre pondéré sur ta copie : $S$ et $\overline{S}$ au premier niveau, $R$ et $\overline{R}$ au second. Donne les six probabilités.
3. cCalcule la probabilité qu’une commande soit livrée en retard.
4. dComplète le tableau des chemins, puis vérifie que la somme des quatre chemins vaut $1$ :

   Chemin	S∩R	S∩R̄	S̄∩R	S̄∩R̄
   Probabilité	0,14	?	?	?

5. eUne commande est livrée en retard. Calcule la probabilité qu’elle ait été passée le midi. Compare avec la part des commandes du midi.

Ex. 21★★★Jeu de kermesse : avec ou sans remise ? — À une kermesse, une urne contient $7$ boules : $4$ vertes et $3$ jaunes. Le joueur tire deux boules au hasard, l’une après l’autre. Il gagne (événement $G$) si les deux boules sont de la même couleur. On note $V_1$ : « la 1re boule est verte » et $V_2$ : « la 2e boule est verte ». Donne les résultats en fractions irréductibles.

1. aLe tirage se fait sans remise. Construis l’arbre pondéré sur ta copie et donne les probabilités de ses six branches.
2. bCalcule la probabilité de gagner quand le tirage se fait sans remise.
3. cCalcule la probabilité de gagner quand le tirage se fait avec remise. L’organisateur veut que le joueur ait moins d’une chance sur deux de gagner. Quel mode doit-il choisir ? Justifie.
4. dSans remise, un joueur a gagné. Calcule la probabilité qu’il ait tiré deux boules vertes.
5. eTom affirme : « Sans remise, les événements $V_1$ et $V_2$ sont indépendants. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

Ex. 22★★★Retards au lycée : un arbre à trois branches — Dans un lycée, $50\,\%$ des élèves viennent en bus ($B$), $30\,\%$ à vélo ($V$), les autres en voiture ($C$). Un élève est en retard ($R$) avec une probabilité de $0{,}1$ s’il vient en bus, $0{,}05$ s’il vient à vélo et $0{,}2$ s’il vient en voiture. On choisit un élève au hasard.

1. aDonne $P(C)$.
2. bDonne la probabilité portée par la branche qui va de $V$ vers $\overline{R}$.
3. cCalcule $P(B \cap R)$.
4. dCalcule $P(V \cap R)$.
5. eCalcule $P(R)$.
6. fBen écrit $P(R)=\frac{0{,}1+0{,}05+0{,}2}{3}$. Calcule ce nombre, arrondi au millième, et explique pourquoi c’est faux.
7. gCalcule $P(\overline{R})$.

Ex. 23★★★QCM : retours de commandes en ligne — Un site de vente en ligne reçoit $60\,\%$ de ses commandes de clients abonnés ($A$). $4\,\%$ des commandes des abonnés et $14\,\%$ des commandes des non-abonnés sont retournées ($R$). On choisit une commande au hasard. Pour chaque question, choisis la bonne réponse et justifie.

1. a« La commande est retournée, sachant qu’elle vient d’un abonné » se note : $P(A \cap R)$ — $P_A(R)$ — $P_R(A)$.
2. b$P(\overline{A} \cap R)$ vaut : $0{,}14$ — $0{,}056$ — $0{,}4$.
3. c$P(R)$ vaut : $0{,}09$ — $0{,}08$ — $0{,}18$.
4. d$P_{\overline{A}}(\overline{R})$ vaut : $0{,}86$ — $0{,}344$ — $0{,}6$.
5. eLa proportion de commandes d’abonnés parmi les commandes retournées vaut : $0{,}04$ — $0{,}6$ — $0{,}3$.

Ex. 24★★★Un test de dépistage et ses faux positifs — Une maladie touche $1\,\%$ d’une population. Un test de dépistage a une sensibilité de $92\,\%$ et une spécificité de $98\,\%$. On note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test est positif ». On choisit une personne au hasard.

1. aTraduis la sensibilité et la spécificité en notation, puis déduis-en $P_{\overline{M}}(T)$.
2. bComplète le tableau pour une population fictive de 10\,000 personnes.

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	10 000

3. cCombien y a-t-il de faux positifs ? Calcule $P(T)$ à l’aide des chemins de l’arbre, puis vérifie avec le tableau.
4. dCalcule la proportion de malades parmi les personnes testées positives, arrondie au centième.
5. eLéa affirme : « Le test est fiable à $92\,\%$, donc une personne testée positive est malade avec une probabilité de $0{,}92$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 25★★★Service au tennis : l’erreur d’Inès — Une joueuse de tennis réussit sa première balle de service ($S$) dans $65\,\%$ des cas. Elle gagne le point ($G$) dans $70\,\%$ des cas si sa première balle est réussie, et dans $45\,\%$ des cas sinon. On choisit un de ses points au service au hasard.

1. aCalcule $P(S \cap G)$ et $P(\overline{S} \cap G)$.
2. bCalcule $P(G)$. Calcule ensuite $P(\overline{G})$ par les chemins de l’arbre, puis vérifie ce résultat avec $P(G)$.
3. cLa joueuse a gagné le point. Calcule la probabilité que sa première balle ait été réussie, arrondie au millième.
4. dInès arrondit $P(S \cap G)$ et $P(G)$ au dixième avant de diviser. Quel résultat obtient-elle ? Explique pourquoi il faut arrondir seulement à la fin.

Ex. 26★★★Deux bonbons tirés sans remise — Une boîte contient $10$ bonbons indiscernables au toucher, dont $4$ à la menthe. Tu en prends un au hasard, tu le manges, puis tu en prends un second. On note $M_1$ : « le 1er bonbon est à la menthe » et $M_2$ : « le 2e bonbon est à la menthe ». Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. aConstruis sur ta copie l’arbre pondéré de l’expérience, en indiquant la probabilité de chaque branche.
2. bCalcule $P(M_1 \cap M_2)$.
3. cCalcule la probabilité que le second bonbon soit à la menthe.
4. dLe second bonbon est à la menthe. Calcule la probabilité que le premier l’ait été aussi.
5. eVrai ou faux : « Si l’on remettait le premier bonbon dans la boîte, la probabilité que le second soit à la menthe changerait. » Justifie.

Ex. 27★★★Contrôle antidopage : que vaut un résultat positif ? — Lors d’une course cycliste, $0{,}5\,\%$ des coureurs sont dopés. Le contrôle antidopage a une sensibilité de $96\,\%$ et une spécificité de $94\,\%$. On choisit un coureur au hasard. On note $D$ : « le coureur est dopé » et $T$ : « le contrôle est positif ». N’arrondis que le résultat final, au millième.

1. aConstruis l’arbre pondéré sur ta copie, puis calcule $P(T)$ en justifiant chaque étape.
2. bUn coureur est contrôlé positif. Calcule la probabilité qu’il soit réellement dopé.
3. cComplète ce tableau pour $10\,000$ coureurs fictifs, retrouve le résultat précédent, puis donne la proportion de faux positifs parmi les contrôles positifs.

   	T	T̄	Total
   D	?	?	?
   D̄	?	?	?
   Total	?	?	10000

4. dDans un groupe ciblé, $20\,\%$ des coureurs sont dopés. Avec le même contrôle, calcule $P_T(D)$ dans ce groupe et explique l’écart avec le résultat obtenu pour toute la course.

Ex. 28★★★Satisfaction dans les transports : l’hypothèse de Léo — Un réseau de transport interroge ses usagers : $75\,\%$ voyagent en tram ($T$), les autres en bus ($B$). $88\,\%$ des usagers du tram et $64\,\%$ des usagers du bus se disent satisfaits ($S$). On interroge un usager au hasard.

1. aTraduis les données en notation et construis l’arbre pondéré sur ta copie, avec toutes les branches.
2. bCalcule $P(S)$. Léo affirme : « Si le bus transportait autant d’usagers que le tram, la part de satisfaits resterait la même. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cL’usager interrogé n’est pas satisfait. Calcule la probabilité qu’il voyage en bus.
4. dLes événements $T$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : calculer avec l’indépendance — Dans un club de sport, on choisit un adhérent au hasard. $A$ : « il pratique la natation », $B$ : « il fait de la compétition ». On sait que $P(A) = 0{,}35$, $P(B) = 0{,}4$ et que $A$ et $B$ sont indépendants.

1. aCalcule $P(A \cap B)$.
2. bDonne $P_A(B)$ sans faire de division.
3. cCalcule $P(A \cap \overline{B})$.
4. dCalcule $P(A \cup B)$.
5. eCalcule la probabilité que l’adhérent ne fasse ni natation ni compétition.

Ex. 30★★★Automatismes : indépendants ou non ? — Dans chaque cas, dis si $A$ et $B$ sont indépendants. Justifie par un calcul.

1. a$P(A) = 0{,}6$ ; $P(B) = 0{,}25$ ; $P(A \cap B) = 0{,}15$.
2. b$P(A) = 0{,}5$ ; $P(B) = 0{,}3$ ; $P_A(B) = 0{,}4$.
3. c$A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}2$ et $P(B) = 0{,}45$.
4. dOn lance un dé équilibré à $6$ faces. $A$ : « le résultat est pair », $B$ : « le résultat est inférieur ou égal à $4$ ».
5. e$P(A) = 0{,}7$ ; $P(\overline{B}) = 0{,}4$ ; $P(A \cap B) = 0{,}42$.

Ex. 31★★★Vrai ou faux sur l’indépendance — Vrai ou faux ? Justifie. Dans les trois premières affirmations, $A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}2$ et $P(B) = 0{,}6$.

1. a« Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors ils sont incompatibles. »
2. b« Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \cup B) = 0{,}8$. »
3. c« Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6$. »
4. dUne urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes. On tire $2$ boules sans remise. $R_1$ : « la 1re est rouge », $R_2$ : « la 2e est rouge ». « $P(R_1 \cap R_2) = 0{,}6^2 = 0{,}36$. »
5. eOn lance trois fois une pièce équilibrée. « La probabilité d’obtenir trois fois Face est $0{,}125$. »

Ex. 32★★★Usagers d’une gare : tableau et indépendance — On interroge $400$ usagers d’une gare. $A$ : « il voyage pour son travail », $B$ : « il a un abonnement ». On choisit un usager au hasard.

1. aComplète le tableau croisé.
2. bCalcule $P_A(B)$ et $P_{\overline{A}}(B)$.
3. cCalcule $P(B)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie.
4. dUn usager affirme : « $A$ et $\overline{B}$ ne sont pas indépendants, car $P(A \cap \overline{B})$ n’est pas égal à $P(A) \times P(B)$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 33★★★Deux lampes pour une randonnée — Avant une randonnée de nuit, Ben emporte une lampe frontale et une lampe torche. La frontale fonctionne avec une probabilité de $0{,}9$ et la torche avec une probabilité de $0{,}85$, indépendamment l’une de l’autre. $F$ : « la frontale fonctionne », $T$ : « la torche fonctionne ».

1. aCalcule la probabilité que les deux lampes fonctionnent.
2. bCalcule la probabilité qu’aucune lampe ne fonctionne.
3. cDéduis-en la probabilité qu’au moins une lampe fonctionne.
4. dUn ami affirme : « “Exactement une lampe fonctionne” est le contraire de “les deux fonctionnent”. » A-t-il raison ? Justifie en calculant la bonne probabilité.

Ex. 34★★★Bons de réduction : quatre passages en caisse — À chaque passage en caisse, l’appli de fidélité d’un supermarché offre un bon de réduction avec la probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres passages. Ce mois-ci, Ben passe $4$ fois en caisse. On note $S$ : « Ben reçoit un bon » lors d’un passage. Arrondis les résultats au millième.

1. aCalcule la probabilité que Ben ne reçoive aucun bon sur ses $4$ passages.
2. bLéa affirme : « Au moins un bon, c’est $4 \times 0{,}15 = 0{,}6$. » Explique son erreur, puis calcule la bonne probabilité.
3. cÉcris la liste des chemins de l’arbre qui comptent exactement deux bons. Déduis-en la probabilité que Ben reçoive exactement deux bons.
4. dCalcule la probabilité que Ben reçoive exactement un bon.
5. eCalcule la probabilité que Ben reçoive au moins deux bons.

Ex. 35★★★Deux feux sur le trajet du lycée — Sur le trajet de Ben jusqu’au lycée, il y a deux feux. On note $V_1$ : « le premier feu est vert » et $V_2$ : « le second feu est vert ». Sur un grand nombre de trajets, on a observé $P(V_1) = 0{,}6$, $P(V_2) = 0{,}45$ et $P(V_1 \cap V_2) = 0{,}27$.

1. aUn camarade affirme : « $V_1$ et $V_2$ ne sont pas indépendants, puisqu’ils peuvent se produire ensemble. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
2. bCalcule $P_{V_1}(V_2)$, puis interprète ce résultat en une phrase.
3. cCalcule la probabilité qu’au moins un des deux feux soit vert.
4. dCalcule $P(V_1 \cap \overline{V_2})$ à partir de $P(V_1)$ et $P(V_1 \cap V_2)$. Compare avec $P(V_1) \times P(\overline{V_2})$ et conclus.
5. eBen fait $180$ trajets par an. Estime le nombre de trajets où aucun des deux feux n’est vert.

Ex. 36★★★Automatismes : deux services au tennis — Une joueuse de tennis réussit sa mise en jeu avec la probabilité $0{,}65$. Ses mises en jeu sont indépendantes les unes des autres. On observe $2$ mises en jeu. Donne les valeurs exactes.

1. aNomme le succès $S$ d'une mise en jeu, puis donne $p$ et $1-p$.
2. bCombien de chemins compte l'arbre de ces $2$ mises en jeu ? Et l'arbre de $4$ mises en jeu ?
3. cCalcule la probabilité du chemin $\overline{S}S$
   (première ratée, seconde réussie).
4. dCalcule la probabilité que les deux mises en jeu soient réussies.
5. eCalcule la probabilité qu'exactement une mise en jeu soit réussie.
6. fCalcule la probabilité qu'aucune mise en jeu ne soit réussie, puis vérifie que les probabilités de $0$, $1$ et $2$ succès ont pour somme $1$.

Ex. 37★★★Automatismes : le bus du matin — Chaque matin, le bus de Léa est en retard avec la probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres jours. On observe $4$ matins, du lundi au jeudi. Arrondis au millième si nécessaire.

1. aCalcule la probabilité que le bus ne soit jamais en retard pendant ces $4$ matins.
2. bCalcule la probabilité que le bus soit en retard au moins un matin sur les $4$.
3. cSur une autre ligne, le retard a pour probabilité $0{,}3$. Tom affirme : « au moins un retard sur $4$ matins, c'est $4 \times 0{,}3$ ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule la probabilité que le bus de Léa soit en retard les $4$ matins.
5. eCalcule la probabilité que le bus de Léa soit en retard le lundi seulement, et à l'heure les trois autres matins.
6. fCalcule la probabilité que le bus de Léa soit en retard exactement un matin sur les $4$.

Ex. 38★★★Le stand de la fête foraine — À un stand de fête foraine, une urne contient $8$ boules : $2$ rouges et $6$ blanches. Le joueur tire une boule, note sa couleur et la remet. Il fait ainsi $3$ tirages. Donne les valeurs exactes.

1. aExplique pourquoi les $3$ tirages sont des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Nomme le succès et donne $p$.
2. bConstruis l'arbre sur ta copie. Combien a-t-il de chemins ? Écris ceux qui comportent exactement une boule rouge.
3. cCalcule la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge, puis exactement deux.
4. dCalcule la probabilité d'obtenir au plus une boule rouge.
5. eLe joueur gagne un lot s'il obtient au moins deux boules rouges. Calcule cette probabilité de deux façons différentes, puis interprète-la.

Ex. 39★★★Un QCM rempli au hasard — Un QCM compte $4$ questions, avec $5$ propositions par question dont une seule est juste. Noé répond au hasard à chaque question, sans tenir compte de ses autres réponses. Sa note sur $4$ est son nombre de bonnes réponses. Donne les valeurs exactes.

1. aNomme le succès, donne $p$ et justifie que les $4$ épreuves sont identiques et indépendantes.
2. bCalcule la probabilité que Noé réponde juste aux $4$ questions.
3. cÉcris tous les chemins de l'arbre qui comportent exactement $2$ bonnes réponses, puis calcule la probabilité que Noé ait $2$ sur $4$.
4. dCalcule la probabilité que Noé ait au moins $3$ sur $4$, puis interprète ce résultat.
5. eBen affirme : « au hasard, Noé a autant de chances d'avoir $0$ que d'avoir $1$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 40★★★Lancers francs : repère les erreurs — Au basket, Inès réussit un lancer franc avec la probabilité $0{,}9$. Ses lancers sont indépendants. Elle tire $3$ lancers francs. Sacha a écrit les affirmations ci-dessous. Pour chacune : vrai ou faux ? Justifie, et corrige si c'est faux.

1. a« L'arbre des $3$ lancers compte $6$ chemins. »
2. b« La probabilité qu'Inès réussisse exactement $2$ lancers vaut $0{,}9^2 \times 0{,}1 = 0{,}081$. »
3. c« La probabilité qu'Inès rate au moins un lancer vaut $1 - 0{,}9^3$. »
4. d« La probabilité qu'Inès réussisse au plus un lancer vaut $0{,}1^3 + 0{,}9 \times 0{,}1^2$. »

Ex. 41★★★Cartes à collectionner : combien de pochettes ? — Une pochette de cartes à collectionner contient une carte rare avec la probabilité $0{,}16$, indépendamment des autres pochettes. Maël achète $3$ pochettes. On note $S$ l'événement « la pochette contient une carte rare ». Arrondis au millième si nécessaire.

1. aMaël dit : « $3 \times 0{,}16 = 0{,}48$, donc j'ai $48\,\%$ de chances d'avoir au moins une carte rare. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
2. bÉcris les chemins de l'arbre qui donnent exactement une carte rare, puis calcule la probabilité de cet événement.
3. cCalcule la probabilité d'obtenir exactement $2$ cartes rares, puis exactement $3$. Vérifie que les probabilités de $0$, $1$, $2$ et $3$ cartes rares ont pour somme $1$.
4. dCalcule la probabilité que Maël obtienne au moins une carte rare, mais pas trois, puis interprète ce résultat.
5. eMaël veut avoir plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins une carte rare. Combien de pochettes doit-il acheter au minimum (entre $1$ et $4$) ? Justifie.

Ex. 42★★★Le dé et les quatre manches — On lance un dé équilibré à $6$ faces. On note $A$ : « le résultat est pair », $B$ : « le résultat est inférieur ou égal à $4$ » et $C$ : « le résultat est supérieur ou égal à $5$ ». Une manche est gagnée si $A$ et $\overline{B}$ sont réalisés. Arrondis au millième si nécessaire.

1. aMontre que les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
2. bLou affirme : « $B$ et $C$ sont incompatibles, donc ils sont indépendants. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cUtilise l'indépendance de $A$ et $B$ pour trouver la probabilité $p$ de gagner une manche. Contrôle ensuite en listant les issues de $A \cap \overline{B}$.
4. dOn joue $4$ manches identiques et indépendantes. Combien de chemins compte l'arbre ? Liste les chemins à exactement $2$ manches gagnées, puis calcule la probabilité de cet événement.
5. eOn gagne un lot si on remporte au moins une manche sur les $4$. A-t-on plus d'une chance sur deux de gagner un lot ? Justifie.