1re spécialité / Probabilités conditionnelles

Ex. 1★★★Automatismes : traduire une phrase en notation — Dans une gare, on choisit un voyageur au hasard. On note $A$ : « le voyageur est abonné » et $R$ : « son train est en retard ».

1. aTraduis en notation : « $30\,\%$ des abonnés ont un train en retard ».
2. bLaquelle des notations $P_A(R)$, $P_R(A)$ ou $P(A \cap R)$ traduit « $12\,\%$ des voyageurs sont abonnés et ont un train en retard » ? Justifie.
3. cTraduis par une phrase l'égalité $P_R(A) = 0{,}5$.
4. dTraduis en notation : « chez les non-abonnés, $80\,\%$ ont un train à l'heure ».
5. eDéduis du premier item la probabilité qu'un abonné ait un train à l'heure.
6. fJade écrit : « $P_{\overline{A}}(R) = 1 - P_A(R)$ ». Corrige son erreur et calcule $P_{\overline{A}}(R)$.

Ex. 2★★★Automatismes : lire un tableau croisé — Un club d'athlétisme compte 320 licenciés. On choisit un licencié au hasard. $F$ : « c'est une fille », $G$ : « c'est un garçon », $C$ : « il fait de la compétition ». Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aCalcule la probabilité que le licencié soit une fille qui fait de la compétition.
2. bParmi les filles, calcule la proportion de licenciées qui font de la compétition.
3. cParmi les licenciés qui font de la compétition, calcule la proportion de filles.
4. dCalcule $P_G(\overline{C})$.
5. eTom écrit : « $P_{\overline{C}}(G) = \frac{42}{320}$ ». Corrige son erreur.
6. fSachant que le licencié fait de la compétition, calcule la probabilité que ce soit un garçon.

Ex. 3★★★Sondage sur les podcasts : compléter un tableau croisé — On interroge 1\,000 personnes. $45\,\%$ ont moins de 35 ans (événement $J$). Parmi les moins de 35 ans, $60\,\%$ écoutent des podcasts (événement $E$). Parmi les 35 ans et plus, $30\,\%$ en écoutent. On choisit une personne au hasard. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aComplète le tableau croisé d'effectifs.
2. bCalcule $P_E(J)$, puis compare-la à $P_J(E)$.
3. cCalcule $P(\overline{J} \cap \overline{E})$ et traduis ce nombre par une phrase.
4. dInès affirme : « $60\,\%$ et $30\,\%$ font $45\,\%$ en moyenne, donc $45\,\%$ des personnes écoutent des podcasts ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 4★★★Vélos défectueux : définition et probabilités composées — Dans une usine, $35\,\%$ des vélos produits sont électriques (événement $E$). On note $D$ l'événement « le vélo est défectueux ». $2{,}8\,\%$ des vélos sont électriques et défectueux. Chez les vélos non électriques, $4\,\%$ sont défectueux. On choisit un vélo au hasard.

1. aCalcule la probabilité qu'un vélo électrique soit défectueux.
2. bSur 2\,000 vélos produits, combien de vélos électriques non défectueux peut-on prévoir ?
3. cNoé affirme : « $P(\overline{E} \cap D) = 0{,}04$ ». Explique son erreur, puis calcule $P(\overline{E} \cap D)$.
4. dDéduis-en la proportion de vélos défectueux dans la production.

Ex. 5★★★Urgences : vrai ou faux sur un tableau croisé — Aux urgences d'un hôpital, on relève pour 600 patients s'ils sont arrivés en ambulance (événement $A$) et s'ils ont été hospitalisés (événement $H$). On choisit un patient au hasard. Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. a« $15\,\%$ des patients arrivés en ambulance sont hospitalisés. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« Les trois quarts des patients hospitalisés sont arrivés en ambulance. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Un quart des patients arrivés en ambulance ne sont pas hospitalisés. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. d« La probabilité qu'un patient qui n'est pas arrivé en ambulance soit hospitalisé vaut $0{,}25$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. e« L'hospitalisation est 5 fois plus probable pour un patient arrivé en ambulance que pour un autre patient. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 6★★★Auto-école : tableau à compléter et erreurs à corriger — Une auto-école suit 500 candidats au permis. $40\,\%$ d'entre eux ont fait la conduite accompagnée (événement $C$). Parmi eux, $80\,\%$ sont reçus du premier coup (événement $R$). Chez les autres candidats, $55\,\%$ sont reçus du premier coup. On choisit un candidat au hasard. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aÉcris en notation les trois pourcentages de l'énoncé.
2. bComplète le tableau croisé d'effectifs.

   	R	R̄	Total
   C	?	?	?
   C̄	?	?	?
   Total	?	?	500

3. cMaël affirme : « La probabilité qu'un candidat ait fait la conduite accompagnée et soit reçu du premier coup est $0{,}8$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dYasmine affirme : « $80\,\%$ des candidats reçus du premier coup ont fait la conduite accompagnée. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
5. eUn candidat a échoué au premier essai. Est-il plus probable qu'il ait fait la conduite accompagnée ou non ? Justifie par deux probabilités conditionnelles.

Ex. 7★★★Jeu en ligne : un effectif inconnu — Une plateforme de jeux en ligne compte 800 joueurs, dont 300 abonnés premium (événement $A$). Parmi les abonnés premium, 120 jouent surtout sur mobile (événement $M$). On note $x$ le nombre de joueurs non premium qui jouent surtout sur mobile, avec $0 \leqslant x \leqslant 500$. On choisit un joueur au hasard.

1. aExprime $P_{\overline{A}}(M)$ puis $P_M(A)$ en fonction de $x$.
2. bPour quelles valeurs de $x$ un joueur non premium a-t-il une probabilité de jouer sur mobile au moins égale à celle d'un joueur premium ?
3. cOn apprend que, parmi les joueurs sur mobile, $20\,\%$ sont premium. Traduis cette phrase en notation, puis détermine $x$.
4. dAvec cette valeur de $x$, calcule $P(M)$, puis la probabilité qu'un joueur qui ne joue pas surtout sur mobile soit premium. Interprète ce résultat.

Ex. 8★★★Compléter et lire un arbre — On choisit au hasard un voyageur d'un train régional. $R$ : « son train arrive en retard » ; $C$ : « il manque sa correspondance ». L'arbre est donné en texte : $P(R) = 0{,}15$ ; $P_R(C) = 0{,}6$ ; $P_{\overline{R}}(C) = 0{,}04$.

1. aCalcule $P(\overline{R})$.
2. bCalcule $P_R(\overline{C})$.
3. cCalcule $P_{\overline{R}}(\overline{C})$.
4. dMalik affirme que $P(R \cap C) = 0{,}6$, car c'est la valeur portée par la branche. A-t-il raison ? Justifie.
5. eCalcule $P(\overline{R} \cap C)$.
6. fCalcule $P(\overline{R} \cap \overline{C})$.
7. gCalcule $P(C)$.

Ex. 9★★★Traduire l'énoncé en notation — On choisit au hasard un élève d'un lycée. $I$ : « l'élève est interne » ; $T$ : « l'élève fait partie du club théâtre ». Pour chaque phrase, écris la probabilité correspondante et sa valeur.

1. aTraduis : « $40\,\%$ des élèves du lycée sont internes. »
2. bTraduis : « Parmi les internes, $25\,\%$ font partie du club théâtre. »
3. cTraduis : « $12\,\%$ des élèves du lycée sont externes et font partie du club théâtre. »
4. dTraduis : « Chez les externes, $80\,\%$ ne font pas partie du club théâtre. »
5. eCalcule la probabilité que l'élève soit interne et fasse partie du club théâtre.
6. fCalcule $P(I \cap \overline{T})$.

Ex. 10★★★Deux billes tirées sans remise — Un sac contient $9$ billes : $4$ rouges et $5$ vertes. Hugo tire une bille, la garde, puis en tire une seconde. $R_1$ : « la première bille est rouge » ; $R_2$ : « la seconde bille est rouge ». On note $V_1 = \overline{R_1}$ et $V_2 = \overline{R_2}$. Donne les valeurs exactes, puis arrondies à $10^{-3}$ si besoin.

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré : donne la probabilité de chaque branche.
2. bCalcule la probabilité que les deux billes soient rouges.
3. cCalcule la probabilité que les deux billes soient de la même couleur.
4. dCalcule la probabilité d'obtenir au moins une bille rouge.

Ex. 11★★★Trois machines, de l'arbre au tableau — Une usine fabrique des pièces sur trois machines. $M_1$ produit $50\,\%$ des pièces, $M_2$ en produit $30\,\%$ et $M_3$ produit le reste. Parmi les pièces de $M_1$, $2\,\%$ sont défectueuses. C'est $3\,\%$ pour $M_2$ et $5\,\%$ pour $M_3$. On choisit une pièce au hasard. $D$ : « la pièce est défectueuse ».

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré : donne la probabilité de chaque branche.
2. bComplète ce tableau pour une production fictive de $1\,000$ pièces :

   	D	D̄	Total
   M₁	?	?	500
   M₂	?	?	?
   M₃	?	?	?
   Total	?	?	1000

3. cCalcule $P(M_2 \cap \overline{D})$ à l'aide d'un chemin, puis retrouve ce résultat dans le tableau.
4. dLucas affirme que $P(D)$ est la moyenne des trois taux de défaut. A-t-il raison ? Justifie et donne $P(D)$.

Ex. 12★★★Le jeu des jetons à la kermesse — À la kermesse, une boîte contient $10$ jetons : $3$ bleus et $7$ jaunes. Zoé tire un jeton, le garde, puis en tire un second. $B_1$ : « le premier jeton est bleu » ; $B_2$ : « le second jeton est bleu ». Zoé gagne si ses deux jetons sont de la même couleur. Donne chaque résultat en fraction irréductible, puis arrondi à $10^{-3}$ si besoin.

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré à deux niveaux : donne la probabilité de chaque branche.
2. bCalcule la probabilité que Zoé gagne.
3. cTom affirme : « $P(B_2) = \frac{2}{9}$, car il reste un jeton bleu de moins. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dBen propose à Zoé de jouer avec remise : elle remet le premier jeton dans la boîte avant de tirer le second. A-t-elle intérêt à accepter ? Justifie.
5. eOn revient au jeu sans remise, mais Zoé tire maintenant trois jetons, l'un après l'autre. Calcule la probabilité que les trois jetons soient de la même couleur.

Ex. 13★★★Sondage sur la lecture : arbre et tableau — Dans une ville, $25\,\%$ des habitants ont moins de $30$ ans ($J$), $45\,\%$ ont de $30$ à $59$ ans ($M$), les autres ont $60$ ans ou plus ($S$). $L$ : « l'habitant lit au moins un livre par mois ». C'est le cas de $48\,\%$ des moins de $30$ ans, de $40\,\%$ des $30$ à $59$ ans et de $55\,\%$ des $60$ ans ou plus. On interroge un habitant au hasard. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aTraduis chaque donnée en notation. Précise si elle porte une branche du premier ou du second niveau de l'arbre, puis calcule $P(S)$.
2. bLina affirme : « Les lecteurs de $60$ ans ou plus sont plus nombreux que ceux de $30$ à $59$ ans, car $55\,\% > 40\,\%$. » A-t-elle raison ? Justifie par des produits de chemins.
3. cCalcule $P(L)$ en nommant la partition et la formule utilisées.
4. dPour une population fictive de $1\,000$ habitants, recopie et complète le tableau :

   	L	L̄	Total
   J	?	?	?
   M	?	?	?
   S	?	?	?
   Total	?	?	1000

5. eParmi les habitants qui lisent au moins un livre par mois, quelle est la proportion de personnes de $60$ ans ou plus ?

Ex. 14★★★Premier et second service au tennis — Au tennis, Inès a droit à deux services. Le premier est bon dans $60\,\%$ des cas ; elle gagne alors le point dans $75\,\%$ des cas. Sinon, le second est bon dans $90\,\%$ des cas et elle gagne alors le point une fois sur deux ; s'il est faute (double faute), elle perd le point. $S_1$ : « premier service bon » ; $S_2$ : « second service bon » ; $G$ : « Inès gagne le point ».

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré : décris ses niveaux et donne la probabilité de chaque branche.
2. bCalcule la probabilité qu'Inès fasse une double faute.
3. cCalcule la probabilité qu'Inès gagne le point.
4. dSon entraîneur lui propose un second service plus risqué : il est bon dans $70\,\%$ des cas, et Inès gagne alors le point dans $70\,\%$ des cas. Doit-elle suivre ce conseil ? Justifie.
5. eElle garde son second service habituel, bon dans $90\,\%$ des cas. Soit $x$ la probabilité de gagner le point quand ce service est bon. Quelle valeur minimale de $x$ donne $P(G) \geqslant 0{,}65$ ?

Ex. 15★★★Le bus du matin — Sur une ligne de bus, il pleut $35\,\%$ des jours ($R$). Un jour de pluie, le bus est en retard ($L$) avec la probabilité $0{,}4$ ; sinon, avec la probabilité $0{,}1$. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aJustifie que $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.
2. bCalcule $P(\overline{R})$.
3. cCalcule $P(R \cap L)$.
4. dCalcule $P(\overline{R} \cap L)$.
5. eDéduis-en $P(L)$.
6. fNoé écrit : « $P(L) = 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}5$, j'additionne les branches qui mènent à $L$. » Corrige son erreur.
7. gCalcule $P(R \cap \overline{L})$.

Ex. 16★★★Sondage musique et podcasts — On interroge au hasard un élève d'un lycée. $A$ : « il a un abonnement de musique en ligne » ; $B$ : « il écoute des podcasts ». Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aRecopie et complète le tableau de probabilités.
2. bCalcule $P_A(B)$.
3. cCalcule $P_{\overline{A}}(B)$.
4. dCalcule $P_B(A)$.
5. eRetrouve $P(B)$ avec la formule des probabilités totales, à partir de $P_A(B)$ et de $P_{\overline{A}}(B)$ (garde la valeur exacte de $P_{\overline{A}}(B)$).

Ex. 17★★★Trois fournisseurs de freins — Un fabricant de vélos achète ses freins à trois fournisseurs : $F_1$ ($48\,\%$ des freins), $F_2$ ($32\,\%$) et $F_3$ ($20\,\%$). Les taux de freins défectueux ($D$) sont de $1\,\%$, $3\,\%$ et $6\,\%$. On prend un frein au hasard. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aJustifie que $F_1$, $F_2$, $F_3$ forment une partition de l'univers, puis écris la formule donnant $P(D)$ avec les noms des événements.
2. bCalcule $P(D)$.
3. cHugo calcule $\frac{1 + 3 + 6}{3} \approx 3{,}33\,\%$. Explique son erreur.
4. dLe frein est défectueux. Calcule la probabilité qu'il vienne de $F_3$.

Ex. 18★★★Tournoi du club de handball — Dans un club de handball, une proportion $x$ des licenciés sont des jeunes ($J$), avec $0 \leqslant x \leqslant 1$. $70\,\%$ des jeunes participent au tournoi ($T$), contre $30\,\%$ des adultes. On choisit un licencié au hasard.

1. aJustifie que $J$ et $\overline{J}$ forment une partition, puis exprime $P(T)$ en fonction de $x$.
2. bCette saison, $P(T) = 0{,}46$. Détermine $x$.
3. cAvec la valeur de $x$ trouvée, recopie et complète le tableau des chemins de l'arbre pondéré, puis vérifie que leur somme vaut $1$.

   Chemin	$J \cap T$	$J \cap \overline{T}$	$\overline{J} \cap T$	$\overline{J} \cap \overline{T}$
   Probabilité	?	?	?	?

Ex. 19★★★Livraison de repas : un taux inconnu — Une plateforme de livraison confie ses commandes à trois restaurants : $R_1$ ($40\,\%$ des commandes), $R_2$ ($35\,\%$) et $R_3$ ($25\,\%$). Une commande est erronée ($E$) dans $3\,\%$ des cas pour $R_1$, dans $5\,\%$ des cas pour $R_2$ et avec une proportion inconnue $t$ pour $R_3$. On choisit une commande au hasard. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aJustifie que $R_1$, $R_2$, $R_3$ forment une partition de l'univers, puis exprime $P(E)$ en fonction de $t$.
2. bSur un mois, $4{,}7\,\%$ des commandes sont erronées : on admet que $P(E) = 0{,}047$. Détermine $t$.
3. cLéa affirme : « Parmi les commandes de $R_1$ ou de $R_2$, il y a $\frac{3 + 5}{2} = 4\,\%$ d'erreurs. » A-t-elle raison ? Justifie en calculant $P_{R_1 \cup R_2}(E)$.
4. dUne commande est erronée. Calcule la probabilité qu'elle vienne du restaurant $R_3$.

Ex. 20★★★Grippe et vaccination : la branche manquante — Dans une ville, $60\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe ($V$). Parmi les vaccinés, $5\,\%$ attrapent la grippe cet hiver ($G$). Dans toute la ville, $13\,\%$ des habitants l'attrapent. On choisit un habitant au hasard.

1. aTraduis les trois données par des probabilités, puis calcule $P(V \cap G)$.
2. bTom écrit : « $P(\overline{V} \cap G) = 0{,}13 - 0{,}05 = 0{,}08$ ». Explique son erreur, puis calcule $P(\overline{V} \cap G)$ en justifiant la partition utilisée.
3. cDéduis-en la probabilité qu'un habitant non vacciné attrape la grippe.
4. dRecopie et complète le tableau de probabilités :

   	$G$	$\overline{G}$	Total
   $V$	?	?	?
   $\overline{V}$	?	?	?
   Total	?	?	1

5. eVérifie que $P(G)$ est compris entre $P_V(G)$ et $P_{\overline{V}}(G)$, puis explique pourquoi c'était prévisible.

Ex. 21★★★Achats dans un jeu : une proportion inconnue — Sur une application de jeu, une proportion $x$ des joueurs joue sur téléphone ($M$), avec $0 \leqslant x \leqslant 1$ ; les autres jouent sur ordinateur. $12\,\%$ des joueurs sur téléphone font un achat dans le jeu ($A$), contre $20\,\%$ des joueurs sur ordinateur. On choisit un joueur au hasard.

1. aJustifie que $M$ et $\overline{M}$ forment une partition, puis montre que $P(A) = 0{,}2 - 0{,}08\,x$.
2. bInès affirme : « Les taux sont $12\,\%$ et $20\,\%$, donc $P(A) = 16\,\%$. » A-t-elle raison ? Justifie en résolvant $P(A) = 0{,}16$.
3. cL'éditeur souhaite que $P(A) \geqslant 0{,}17$. Détermine les valeurs de $x$ qui conviennent.
4. dPeut-on avoir $P(A) = 0{,}22$ ? Justifie de deux façons : par le calcul, puis sans calcul.
5. eOn suppose $x = 0{,}3$. Un joueur a fait un achat. Calcule la probabilité qu'il joue sur téléphone, arrondie à $10^{-3}$.

Ex. 22★★★Dépistage d'une carence : trois étapes — Une carence en fer touche $2\,\%$ des adolescents d'une ville. Un test sanguin a une sensibilité de $97\,\%$ et une spécificité de $99\,\%$. On choisit un adolescent au hasard. On note $M$ « il a la carence » et $T$ « son test est positif ». Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aTraduis « la spécificité est de $99\,\%$ » en notation, puis donne $P_{\overline{M}}(T)$.
2. bCalcule $P(M \cap T)$.
3. cCalcule la probabilité d'un faux positif.
4. dCalcule $P(T)$.
5. eCalcule la probabilité qu'un adolescent testé positif ait la carence.
6. fCalcule la probabilité d'un faux négatif.

Ex. 23★★★Contrôle qualité : pièce rejetée — Une usine fabrique des capteurs, dont $3\,\%$ sont défectueux. Une machine de contrôle rejette $96\,\%$ des capteurs défectueux et $5\,\%$ des capteurs conformes. On étudie un lot fictif de 10\,000 capteurs. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aCalcule le nombre de capteurs défectueux du lot.
2. bCalcule le nombre de capteurs défectueux rejetés.
3. cCalcule le nombre de capteurs conformes rejetés.
4. dComplète le tableau.
5. eOn prend au hasard un capteur rejeté. Calcule la probabilité qu'il soit défectueux.
6. fOn prend au hasard un capteur accepté. Calcule la probabilité qu'il soit conforme.

Ex. 24★★★Contrôle antidopage : parmi les positifs — Lors d'une compétition, $0{,}4\,\%$ des athlètes sont dopés. Le test antidopage a une sensibilité de $98\,\%$ et une spécificité de $97\,\%$. On contrôle un athlète au hasard. On note $D$ « il est dopé » et $T$ « son test est positif ». Arrondis à $10^{-3}$ sauf mention contraire.

1. aConstruis sur ta copie l'arbre pondéré de la situation.
2. bCalcule $P(T)$ en valeur exacte.
3. cLucas affirme : « Un athlète contrôlé positif est dopé avec une probabilité de $0{,}98$. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dCalcule la probabilité qu'un athlète contrôlé négatif ne soit pas dopé, arrondie à $10^{-4}$.
5. eCalcule le quotient $\frac{P(\overline{D} \cap T)}{P(D \cap T)}$ et explique pourquoi un résultat positif est toujours recontrôlé.

Ex. 25★★★Scanner à bagages : arrondir à la fin — À l'aéroport, $5\,\%$ des bagages contiennent un objet interdit. Le scanner signale $96\,\%$ de ces bagages et $2\,\%$ des autres. On note $O$ « le bagage contient un objet interdit » et $S$ « le bagage est signalé ». Arrondis à $10^{-3}$.

1. aTraduis les trois données de l'énoncé en notation.
2. bCalcule $P(S)$ en valeur exacte.
3. cInès arrondit $P(S)$ à $0{,}07$ puis calcule $P_S(O) \approx 0{,}686$. Calcule la bonne valeur et explique son erreur.
4. dComplète le tableau pour 10\,000 bagages et vérifie ton résultat.
5. eParmi les bagages non signalés, calcule la proportion de bagages qui contiennent un objet interdit.

Ex. 26★★★Autotest : quand la prévalence change — Un autotest détecte une infection virale. Sa sensibilité est de $99\,\%$ et sa spécificité de $97\,\%$. La proportion $p$ de personnes infectées varie selon la période. On choisit une personne au hasard. On note $M$ « elle est infectée » et $T$ « son autotest est positif ». Arrondis les résultats finaux à $10^{-3}$, sauf indication contraire.

1. aTraduis les données en notation, puis montre que $P(T) = 0{,}96p + 0{,}03$.
2. bHors épidémie, $p = 0{,}005$. Calcule $P_T(M)$ sans arrondir les étapes, puis interprète ce résultat.
3. cDétermine les valeurs de $p$ pour lesquelles $P_T(M) \geqslant 0{,}5$.
4. dPendant une épidémie, on observe $P(T) = 0{,}126$. Détermine $p$, puis calcule $P_T(M)$ et compare avec la question 2.

Ex. 27★★★Filtre anti-spam : trois sources de messages — Parmi les messages que reçoit Kenza, $60\,\%$ viennent de ses contacts ($C$), $30\,\%$ sont des lettres d'information ($L$) et $10\,\%$ viennent d'inconnus ($I$). Les spams ($S$) représentent respectivement $1\,\%$, $4\,\%$ et $30\,\%$ de ces messages. Le filtre classe en « indésirables » ($F$) $98\,\%$ des spams et $1\,\%$ des autres messages. Arrondis les résultats finaux à $10^{-3}$.

1. aMathis affirme : « $P(S) = \frac{0{,}01 + 0{,}04 + 0{,}30}{3} \approx 0{,}117$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $P(S)$.
2. bUn message reçu est un spam. Calcule la probabilité qu'il vienne d'un inconnu. Pourquoi n'est-ce pas $0{,}30$ ?
3. cUn faux positif est un message qui n'est pas un spam mais qui est classé indésirable. Calcule $P(\overline{S} \cap F)$, puis $P(F)$.
4. dKenza ouvre son dossier « indésirables ». Calcule $P_F(S)$, puis la proportion de faux positifs dans ce dossier.

Ex. 28★★★Dépistage en élevage : du tableau aux épreuves répétées — Dans un grand élevage, $4\,\%$ des bovins sont porteurs d'une maladie. Un test a une sensibilité de $95\,\%$ et une spécificité de $96\,\%$. On choisit un bovin au hasard. On note $M$ « il est porteur » et $T$ « son test est positif ». Arrondis les résultats finaux à $10^{-3}$.

1. aComplète le tableau d'effectifs pour un troupeau fictif de $10\,000$ bovins :

   	T	T̄	Total
   M	?	?	?
   M̄	?	?	?
   Total	?	?	10\,000

2. bCompare le nombre de vrais positifs et celui de faux positifs. Léa affirme : « le test est fiable à $95\,\%$, donc $95\,\%$ des bovins positifs sont porteurs ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule $P_T(M)$ à partir des probabilités, en trois étapes : chemin, probabilités totales, quotient.
4. dOn prend 3 bovins testés positifs. On assimile ce choix à 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « porteur » et de paramètre $P_T(M)$. Calcule la probabilité qu'au moins un des trois ne soit pas porteur.
5. eEn comptant les chemins de l'arbre, calcule la probabilité qu'exactement un des 3 bovins soit porteur.

Ex. 29★★★Automatismes : indépendants ou pas ? — Dans chaque cas, $A$ et $B$ sont deux événements d'un même univers $\Omega$. Tu donnes les valeurs exactes.

1. a$P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}25$ et $P(A\cap B)=0{,}1$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie.
2. b$P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}12$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie.
3. c$P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}35$, et $A$ et $B$ sont incompatibles. Sont-ils indépendants ? Justifie.
4. d$P(A)=0{,}7$, $P(B)=0{,}45$ et $P_A(B)=0{,}45$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Calcule ensuite $P(A\cap B)$.
5. e$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=0{,}2$ et $P(B)=0{,}65$. Calcule $P(A\cup B)$.
6. f$P(A)=0{,}8$ et $P(A\cap B)=0{,}28$. Quelle valeur doit avoir $P(B)$ pour que $A$ et $B$ soient indépendants ?

Ex. 30★★★Automatismes : un club d'athlétisme — Un club d'athlétisme compte 250 adhérents : 150 ont moins de 18 ans, 90 font de la compétition et 54 sont dans les deux cas. On choisit un adhérent au hasard. $J$ = « il a moins de 18 ans », $C$ = « il fait de la compétition ».

1. aComplète le tableau croisé d'effectifs.
2. bCalcule $P(J)$, $P(C)$ et $P(J\cap C)$.
3. cLes événements $J$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifie.
4. dTraduis par une phrase l'événement $\overline{J}\cap\overline{C}$, puis calcule sa probabilité.
5. eCalcule $P(J\cup C)$.
6. fCalcule $P_{\overline{J}}(C)$. Que remarques-tu ?

Ex. 31★★★Train puis bus : les événements contraires — Lina prend le train puis le bus. $T$ = « le train est à l'heure », $B$ = « le bus est à l'heure ». On suppose que $T$ et $B$ sont indépendants, avec $P(T)=0{,}9$ et $P(B)=0{,}8$.

1. aDémontre que $T$ et $\overline{B}$ sont indépendants, en partant de la partition $\{B\,;\overline{B}\}$ de $\Omega$.
2. bCalcule la probabilité que le train soit à l'heure et que le bus soit en retard.
3. cCalcule la probabilité que ni le train ni le bus ne soient à l'heure.
4. dLina dit : « La probabilité qu'au moins l'un des deux soit à l'heure vaut $0{,}9+0{,}8$. » Corrige son erreur et donne la bonne valeur.

Ex. 32★★★La roue de loterie — Une roue de loterie équilibrée a 12 secteurs numérotés de 1 à 12. Max la fait tourner une fois. $A$ = « multiple de 3 », $B$ = « nombre pair », $D$ = « au moins 10 », $E$ = « obtenir 1, 5 ou 7 ».

1. aÉcris $A$, $B$ et $A\cap B$ sous forme d'ensembles, puis étudie l'indépendance de $A$ et $B$.
2. bLes événements $B$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifie, puis calcule $P_D(B)$ et interprète.
3. cMax dit : « $A$ et $E$ n'ont aucune issue commune, donc ils sont indépendants. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule $P(B\cup D)$.

Ex. 33★★★Deux défauts sur une trottinette — Une usine fabrique des trottinettes électriques. Une trottinette peut avoir un défaut de freinage ($F$) et un défaut d'éclairage ($E$). On choisit une trottinette au hasard : $P(F)=0{,}05$, et la probabilité qu'elle ait au moins un des deux défauts vaut $0{,}088$. On note $x=P(E)$.

1. aÉcris l'événement « au moins un des deux défauts » avec $F$ et $E$, puis l'événement « aucun des deux défauts » avec $\overline{F}$ et $\overline{E}$. Calcule la probabilité de ce second événement.
2. bDans cette question seulement, on suppose que $F$ et $E$ sont incompatibles. Calcule $x$.
3. cOn suppose désormais que $F$ et $E$ sont indépendants. Exprime $P(F\cup E)$ en fonction de $x$, puis calcule $x$.
4. dAvec la valeur de $x$ trouvée à la question précédente, calcule $P(\overline{F})\times P(\overline{E})$ et compare ce nombre au résultat de la première question. Qu'est-ce que tu retrouves ?
5. eLéo affirme : « Ici, $F$ et $E$ pourraient être à la fois incompatibles et indépendants. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Grippe et vaccination — Une enquête sur 1\,200 habitants d'une ville relève qui s'est fait vacciner contre la grippe ($V$) et qui a eu la grippe dans l'hiver ($G$). On choisit un habitant au hasard. Tu donnes les résultats sous forme de fractions irréductibles, puis arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aComplète le tableau croisé d'effectifs.

   	G	Ḡ	Total
   V	24	?	480
   V̄	?	588	?
   Total	156	?	1200

2. bCalcule $P(V)$, $P(G)$ et $P(V\cap G)$. Les événements $V$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifie.
3. cCalcule $P_V(G)$ et $P_{\overline{V}}(G)$, puis interprète ces deux nombres par une phrase.
4. dSami écrit : « La probabilité qu'un habitant ne soit ni vacciné ni malade vaut $\frac{3}{5}\times\frac{87}{100}$. » Repère son erreur et donne la bonne valeur.
5. eOn garde 480 vaccinés, dont 24 ont eu la grippe, et 720 non-vaccinés. Combien de non-vaccinés auraient dû avoir la grippe pour que $V$ et $G$ soient indépendants ?

Ex. 35★★★Démonstration puis jeu de 32 cartes — On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. Le jeu a 4 couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) de 8 cartes chacune : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as. On note $C$ = « cœur », $R$ = « roi » et $F$ = « figure (valet, dame ou roi) ».

1. aSoient $A$ et $B$ deux événements indépendants. En partant de $P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)$, démontre que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
2. bCalcule $P(C)$, $P(R)$ et $P(C\cap R)$, puis démontre que $C$ et $R$ sont indépendants.
3. cDéduis-en, sans compter de cartes, la probabilité de tirer une carte qui n'est ni un cœur ni un roi. Vérifie ensuite en comptant les cartes.
4. dCalcule $P_F(R)$ et compare-la à $P(R)$. Les événements $R$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifie.
5. eOn retire du jeu le 7 de pique et on tire une carte parmi les 31 restantes. Les événements $C$ et $R$ sont-ils encore indépendants ? Justifie avec des fractions.

Ex. 36★★★Lancers francs d'Inès — Au basket, Inès réussit un lancer franc avec la probabilité $0{,}7$. Elle tire $3$ lancers francs, et les lancers sont supposés indépendants.

1. aNomme le succès. Donne $p$ et la probabilité de l'échec.
2. bCombien de chemins compte l'arbre des $3$ lancers ?
3. cCalcule la probabilité du chemin $SS\overline{S}$.
4. dCalcule la probabilité de rater les trois lancers.
5. eÉcris tous les chemins qui comportent exactement deux succès.
6. fCalcule la probabilité qu'Inès réussisse exactement deux lancers.
7. gCalcule la probabilité qu'Inès réussisse exactement un lancer.
8. hCalcule la probabilité de trois succès. Vérifie ensuite que les probabilités de $0$, $1$, $2$ et $3$ succès ont pour somme $1$.

Ex. 37★★★Bus puis tram — Chaque matin, Lucas prend un bus puis un tram. Les deux sont exploités par des réseaux sans aucun lien. On note $B$ : « le bus est en retard », avec $P(B)=0{,}15$, et $T$ : « le tram est en retard », avec $P(T)=0{,}1$.

1. aJustifie que les deux épreuves sont indépendantes. Dans l'arbre, que vaut $P_B(T)$ ? Et $P_{\overline{B}}(T)$ ?
2. bComplète le tableau à double entrée des probabilités :

   	T	T̄	Total
   B	?	?	0,15
   B̄	?	?	0,85
   Total	0,1	0,9	1

3. cCalcule la probabilité qu'un et un seul des deux transports soit en retard.
4. dCalcule la probabilité qu'au moins un des deux transports soit en retard.
5. eVérifie que la somme des quatre cases centrales du tableau vaut $1$.
6. fChloé affirme : « C'est une épreuve de Bernoulli répétée deux fois. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 38★★★Contrôle de capteurs — Une usine fabrique des capteurs, et $5\,\%$ d'entre eux sont défectueux. On prélève $4$ capteurs au hasard dans un stock très important : on assimile ce prélèvement à des tirages avec remise. Arrondis tes résultats à $10^{-4}$.

1. aJustifie qu'il s'agit de la répétition de $4$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Nomme le succès et donne $p$.
2. bCalcule la probabilité qu'aucun des $4$ capteurs ne soit défectueux.
3. cCalcule la probabilité qu'exactement un capteur soit défectueux.
4. dPour « exactement deux défectueux », Hugo trouve $0{,}05^2\times 0{,}95^2\approx 0{,}0023$. A-t-il raison ? Justifie, puis corrige.
5. eCalcule la probabilité qu'au plus deux capteurs soient défectueux.

Ex. 39★★★Le stand de Nora — À un stand de fête foraine, Nora gagne une partie avec la probabilité $p$, et les parties sont indépendantes. Quand elle joue deux parties, la probabilité qu'elle n'en gagne aucune vaut $0{,}64$.

1. aNomme le succès. Exprime en fonction de $p$ la probabilité de ne gagner aucune des deux parties.
2. bMalik écrit : « $p^2=0{,}64$, donc $p=0{,}8$. » A-t-il raison ? Justifie, puis détermine $p$.
3. cCalcule la probabilité que Nora gagne une et une seule des deux parties.
4. dNora veut que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0{,}5$. Combien de parties doit-elle jouer au minimum ? Procède par essais.

Ex. 40★★★Tomate et basilic — Au jardin, Capucine sème une graine de tomate et une graine de basilic, dans deux pots séparés. On note $T$ : « la graine de tomate germe », avec $P(T)=0{,}8$, et $B$ : « la graine de basilic germe », avec $P(B)=q$. La probabilité qu'une et une seule des deux graines germe vaut $0{,}38$. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aJustifie que les deux épreuves sont indépendantes. Exprime en fonction de $q$ la probabilité qu'une et une seule graine germe.
2. bDéduis-en la valeur de $q$, puis calcule la probabilité qu'au moins une des deux graines germe.
3. cOn note $U$ : « une et une seule graine germe ». Calcule $P_U(T)$, puis traduis ce résultat par une phrase.
4. dCapucine sème ensuite deux graines de tomate, dans deux pots séparés. Calcule la probabilité qu'une et une seule germe, puis explique pourquoi on ne retrouve pas $0{,}38$.

Ex. 41★★★Sondage sur la piste cyclable — Dans une grande ville, $60\,\%$ des habitants sont favorables à la création d'une piste cyclable. Pour un sondage, Sacha interroge $4$ habitants au hasard. La population est assez grande pour qu'on assimile ce choix à quatre tirages avec remise. On note $S$ : « l'habitant interrogé est favorable ».

1. aCombien de chemins comporte l'arbre des $4$ réponses ? Écris tous les chemins qui réalisent « exactement deux habitants favorables ».
2. bPour « exactement un habitant favorable », Romane écrit : $0{,}6^3 \times 0{,}4 = 0{,}0864$. Relève ses deux erreurs, puis donne le bon résultat.
3. cCalcule les probabilités d'avoir $0$, $2$, $3$ et $4$ habitants favorables. Contrôle que la somme des cinq probabilités vaut $1$.
4. dLe maire lance le projet si au moins $3$ des $4$ sondés sont favorables. Calcule cette probabilité, puis commente ce résultat.

Ex. 42★★★Les lunettes à l'infirmerie — Yanis tient l'infirmerie d'un lycée. On admet qu'un élève pris au hasard porte des lunettes avec la probabilité $0{,}25$. Yanis choisit des élèves au hasard. L'effectif est assez grand pour qu'on assimile ces choix à des tirages avec remise. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aYanis choisit $3$ élèves. Calcule la probabilité qu'exactement deux d'entre eux portent des lunettes.
2. bYanis choisit maintenant $4$ élèves. Calcule la probabilité qu'au moins l'un d'eux porte des lunettes.
3. cDans un autre lycée, la proportion $p$ est inconnue. Pour deux élèves choisis, la probabilité qu'un et un seul porte des lunettes vaut $0{,}42$. Montre que $p^2-p+0{,}21=0$.
4. dRésous cette équation. Moins de la moitié des élèves de ce lycée portent des lunettes : donne $p$.
5. eAvec cette valeur de $p$, calcule la probabilité qu'au plus un élève sur trois porte des lunettes.

Ex. 43★★★Aucun, au moins un, au plus un — Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est répétée $n$ fois, de façon identique et indépendante. Donne les valeurs exactes.

1. aPour $n=4$, écris l'événement contraire de « au moins un succès », puis le chemin de l'arbre qui lui correspond.
2. bPour $p=0{,}1$ et $n=2$, calcule la probabilité de n'obtenir aucun succès.
3. cPour $p=0{,}25$ et $n=3$, calcule la probabilité d'obtenir au moins un succès.
4. dUne graine germe avec la probabilité $0{,}35$. Hugo sème $4$ graines qui germent indépendamment et annonce : « P(au moins une germe) $=4\times 0{,}35$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.
5. ePour $p=0{,}1$ et $n=3$, calcule la probabilité d'obtenir au plus un succès.
6. fPour $p=0{,}1$ et $n=3$, calcule la probabilité d'obtenir au moins deux succès.

Ex. 44★★★Retrouver le paramètre $p$ — Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu, avec $0\leqslant p\leqslant 1$, est répétée $n$ fois, de façon identique et indépendante.

1. aPour $n=2$, la probabilité de n'obtenir aucun succès vaut $0{,}36$. Trouve $p$.
2. bPour $n=2$, la probabilité d'obtenir au moins un succès vaut $0{,}91$. Trouve $p$.
3. cPour $n=4$, la probabilité de n'obtenir aucun succès vaut $0{,}0016$. Trouve $p$.
4. dPour $(1-p)^2=0{,}81$, Mila écrit : « $1-p=0{,}9$ ou $1-p=-0{,}9$, donc $p=0{,}1$ ou $p=1{,}9$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Trois machines dans un atelier — Un atelier fait tourner 3 machines qui fonctionnent indépendamment. Chacune tombe en panne dans la journée avec la probabilité $0{,}04$. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aJustifie qu'on répète une épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante. Précise le succès et son paramètre.
2. bCalcule la probabilité qu'au moins une machine tombe en panne dans la journée.
3. cCalcule la probabilité qu'exactement une machine tombe en panne, en comptant les chemins de l'arbre.
4. dCalcule la probabilité d'avoir au moins deux pannes dans la journée, puis interprète ce résultat sur 1\,000 journées.

Ex. 46★★★Les penalties d'Inès — Inès tire des penalties indépendants, chacun réussi avec la même probabilité $p$, où $0\leqslant p\leqslant 1$. On note $R$ « le penalty est réussi ». Sur deux tirs, la probabilité qu'elle en rate au moins un vaut $0{,}3916$. Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aPour deux tirs, recopie et complète en fonction de $p$ :

   Chemin	RR	RR̄	R̄R	R̄R̄
   Probabilité	?	?	?	?

2. bQuel est l'événement contraire de « rater au moins un tir sur deux » ? Déduis-en une équation vérifiée par $p$, puis trouve $p$ en justifiant.
3. cCalcule la probabilité qu'Inès réussisse exactement un tir sur deux.
4. dInès tire $3$ penalties. Calcule la probabilité qu'elle les réussisse tous, puis celle qu'elle en rate au moins un. Interprète.

Ex. 47★★★Les tickets à gratter de Léo — Un ticket à gratter est gagnant avec la probabilité $0{,}15$. Les tickets sont gagnants indépendamment les uns des autres. Léo achète $4$ tickets. On note $G$ « le ticket est gagnant ». Arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aCalcule la probabilité que Léo ait au moins un ticket gagnant parmi ses $4$ tickets.
2. bCalcule la probabilité que Léo ait au plus un ticket gagnant parmi ses $4$ tickets.
3. cDéduis-en la probabilité qu'il ait au moins deux tickets gagnants. Interprète ce résultat dans le contexte.
4. dUn ticket « premium » est gagnant avec la probabilité $0{,}32$, indépendamment des autres. Compare $2$ tickets premium et $4$ tickets ordinaires pour « au moins un » puis « au moins deux » gagnants. Conseille Léo.

Ex. 48★★★Le bus de Nora — Chaque matin, le bus de Nora est en retard avec une probabilité $p$, où $0\leqslant p\leqslant 1$. Les retards sont indépendants d'un jour à l'autre. On note $R$ « le bus est en retard ». Sur $2$ jours, la probabilité d'avoir au moins un retard vaut $0{,}36$.

1. aÉcris une équation vérifiée par $p$. Résous-la en justifiant le choix de la solution.
2. bCalcule la probabilité que le bus soit en retard au moins deux jours sur $3$ jours.
3. cNora affirme : « Sur $3$ jours, j'ai $3\times p$ de risque d'avoir au moins un retard, donc plus d'une chance sur deux. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dPar essais, trouve le plus petit nombre de jours $n\leqslant 4$ tel que la probabilité d'avoir au moins un retard dépasse $0{,}5$.

Ex. 49★★★Le sondage téléphonique de Yanis — Yanis réalise un sondage par téléphone. Chaque personne appelée accepte de répondre avec une probabilité $p$, où $0\leqslant p\leqslant 1$, indépendamment des autres. On note $A$ « la personne accepte ». Quand Yanis appelle $2$ personnes, la probabilité qu'exactement une accepte vaut $0{,}42$.

1. aExprime en fonction de $p$ la probabilité qu'exactement une personne sur deux accepte. Déduis-en une équation du second degré vérifiée par $p$.
2. bRésous cette équation. Combien de valeurs de $p$ conviennent ? Justifie.
3. cOn sait aussi qu'il est plus probable que les deux personnes refusent plutôt que les deux acceptent. Déduis-en $p$.
4. dYanis appelle maintenant $3$ personnes. Recopie et complète le tableau, puis vérifie la somme :

   Acceptations	aucune	une seule	deux	trois
   Probabilité	?	?	?	?

5. eCalcule la probabilité qu'au plus deux personnes sur trois acceptent, puis interprète ce résultat.