Terminale spécialité / Primitives

Ex. 1★★★Vérifier en dérivant — Dans chaque cas, $F$ est-elle une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ ? Justifie en dérivant $F$.

1. a$F(x)=x^4-3x^2+7x$, $f(x)=4x^3-6x+7$, $I=\mathbb{R}$.
2. b$F(x)=\ln(x)+2x$, $f(x)=\dfrac{1}{x}+2$, $I=]0\,;+\infty[$.
3. c$F(x)=\mathrm{e}^{x^2}$, $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$, $I=\mathbb{R}$.
4. d$F(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}$, $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}$, $I=]0\,;+\infty[$.
5. e$F(x)=\sin(3x)+\cos(x)$, $f(x)=3\cos(3x)-\sin(x)$, $I=\mathbb{R}$.
6. f$F(x)=(x+3)\mathrm{e}^{2x}$, $f(x)=2(x+3)\mathrm{e}^{2x}$, $I=\mathbb{R}$.

Ex. 2★★★Deux primitives diffèrent d'une constante — Réponds à chaque question en justifiant.

1. aSoit $F(x)=(x-3)^2$ et $G(x)=x^2-6x+1$ sur $\mathbb{R}$. Calcule $F(x)-G(x)$, puis déduis-en, sans dériver, que $F'=G'$.
2. bSoit $H(x)=\frac{2x+1}{x}$ et $K(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Montre que $H-K$ est constante, puis donne une fonction dont $H$ et $K$ sont des primitives.
3. cVrai ou faux : $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ admet une seule primitive sur $\mathbb{R}$, qui est $-\mathrm{e}^{-x}$. Justifie.
4. dDonne toutes les primitives de $f(x)=\cos(x)+1$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 3★★★Forme imposée et piège du produit — Soit $f(x)=(x^2-3x+4)\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. On cherche une primitive de $f$ de la forme $G(x)=(ax^2+bx+c)\mathrm{e}^{-x}$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels.

1. aMontre que $G'(x)=\left(-ax^2+(2a-b)x+b-c\right)\mathrm{e}^{-x}$.
2. bPar identification, écris le système vérifié par $a$, $b$, $c$, puis résous-le.
3. cDonne toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. dLina prend une primitive de chaque facteur et propose $L(x)=-\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+4x\right)\mathrm{e}^{-x}$. Calcule $L'(0)$ et conclus.

Ex. 4★★★L'erreur de Sacha — Sacha doit montrer que $F(x)=x\ln(x)$ est une primitive de $f(x)=\ln(x)+1$. Il écrit : « $f'(x)=\frac{1}{x}$, ce n'est pas $F(x)$, donc $F$ n'est pas une primitive de $f$. »

1. aExplique l'erreur de méthode de Sacha.
2. bSur quel intervalle faut-il travailler ? Justifie.
3. cMontre que $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle.
4. dDéduis-en la primitive $G$ de $f$ sur cet intervalle telle que $G(1)=3$.
5. eÉtudie le signe de $f$ et déduis-en les variations de $G$.

Ex. 5★★★Exponentielle et sinus : identifier puis ajuster — Soit $f(x)=2\mathrm{e}^{x}\sin x$ sur $\mathbb{R}$. On cherche une primitive de $f$ de la forme $G(x)=(a\cos x+b\sin x)\mathrm{e}^{x}$, où $a$ et $b$ sont des réels.

1. aLéa écrit : « $-\cos x$ est une primitive de $\sin x$, donc $H(x)=-2\mathrm{e}^{x}\cos x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. » A-t-elle raison ? Justifie en dérivant $H$.
2. bCalcule $G'(x)$ et écris-le sous la forme $(\alpha\cos x+\beta\sin x)\mathrm{e}^{x}$, avec $\alpha$ et $\beta$ exprimés en fonction de $a$ et $b$.
3. cEn prenant deux valeurs de $x$ bien choisies, détermine $a$ et $b$. Vérifie ensuite que la fonction $G$ obtenue convient.
4. dDonne toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=1$.
5. eDéduis du signe de $f$ les variations de $F$ sur $[0\,;2\pi]$, puis calcule $F(\pi)$.

Ex. 6★★★Logarithme : quelle primitive, sur quel intervalle ? — Sur $I=]2\,;+\infty[$, on considère $f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$, $F(x)=\ln(x^2-4)$ et $G(x)=\ln(3x-6)+\ln(x+2)$.

1. aJustifie que $F$ est définie et dérivable sur $I$, puis montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
2. bMontre que $G(x)-F(x)$ est constante sur $I$. Déduis-en, sans dériver $G$, que $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.
3. cInès affirme : « $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dCombien $f$ a-t-elle de primitives sur $I$ ? Écris-les toutes, puis donne celle qui s'annule en $3$.
5. eMontre que $F$ est aussi une primitive de $f$ sur $]-\infty\,;-2[$. Est-ce aussi le cas pour $G$ ? Justifie.

Ex. 7★★★Le chariot sur son rail — Un chariot se déplace sur un rail rectiligne. À l'instant $t$ (en s), sa vitesse est $v(t)=10t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ (en m/s), pour $t\geqslant0$. Sa position $x(t)$, en m, vérifie $x'=v$ sur $[0\,;+\infty[$ et $x(0)=0$.

1. aDétermine les réels $a$ et $b$ tels que $P(t)=(at+b)\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ soit une primitive de $v$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bMalo affirme : « $P$ est une primitive de $v$, donc la position du chariot est $x(t)=P(t)$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDéduis-en l'expression de $x(t)$ pour $t\geqslant0$.
4. dJustifie que $x$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Donne ensuite la distance parcourue pendant les 4 premières secondes, au cm près.
5. eMontre que $x(t)<40$ pour tout $t\geqslant0$. Interprète ce résultat.

Ex. 8★★★Primitives des fonctions de référence — Pour chaque fonction $f$, définie sur $]0\,;+\infty[$, donne une primitive $F$ sur $]0\,;+\infty[$.

Ex. 9★★★Fonctions de la forme f(ax + b) — Pour chaque fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$, donne une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 10★★★Transformer avant de primitiver — Chaque fonction est définie sur $]0\,;+\infty[$. Écris-la d'abord comme une somme de fonctions usuelles, puis donne une primitive sur $]0\,;+\infty[$.

1. a$f(x) = (1 - 3x)^2$
2. b$g(x) = \dfrac{2x^2 - 5}{x}$
3. c$h(x) = \dfrac{x^3 + 8}{x^2}$
4. d$k(x) = (x + 2)(x - 3)$

Ex. 11★★★Les primitives d'Inès — Inès cherche une primitive $F$ de chaque fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$. Pour chaque ligne : a-t-elle raison ? Justifie en dérivant et corrige si besoin.

1. a$f(x) = \frac{1}{x^2}$ ; Inès écrit $F(x) = \ln(x^2)$.
2. b$f(x) = 4\sin x$ ; Inès écrit $F(x) = 4\cos x$.
3. c$f(x) = \mathrm{e}^{5x}$ ; Inès écrit $F(x) = 5\mathrm{e}^{5x}$.
4. d$f(x) = x\mathrm{e}^x$ ; Inès écrit $F(x) = \frac{x^2}{2} \times \mathrm{e}^x$. Corrige en vérifiant que $(x-1)\mathrm{e}^x$ convient.
5. e$f(x) = 2x + \frac{1}{x}$ ; Inès écrit $F(x) = x^2 + \ln x$.

Ex. 12★★★Un quotient à démonter — On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x + 6}{x^3}$.

1. aÉcris $f(x)$ sous la forme $a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2} + \frac{d}{x^3}$, avec $a$, $b$, $c$, $d$ réels.
2. bExplique pourquoi la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ne s'applique pas au terme en $\frac{1}{x}$. Donne ensuite une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. cDétermine la primitive $F$ de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ telle que $F(1) = 1$.
4. dExiste-t-il une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ qui s'annule à la fois en $1$ et en $\mathrm{e}$ ? Justifie.

Ex. 13★★★La position d'un drone — Un drone se déplace sur un axe. Sa vitesse, en m/s, à l'instant $t$ (en secondes, $t \geqslant 0$) est $v(t) = \frac{6}{\sqrt{2t + 1}} + 4\sin(\pi t)$. Sa position $p(t)$, en mètres, vérifie $p'(t) = v(t)$ et $p(0) = 0$.

1. aDonne une primitive sur $[0\,;+\infty[$ de la fonction $t \mapsto \frac{6}{\sqrt{2t + 1}}$. Justifie le coefficient obtenu.
2. bDéduis-en toutes les primitives de $v$ sur $[0\,;+\infty[$. Attention au signe et au coefficient du terme en $\sin$.
3. cDétermine l'expression de $p(t)$.
4. dCalcule la valeur exacte de $p(1)$ et celle de $p(4)$.

Ex. 14★★★Le coût total d'un atelier de vélos — Un atelier fabrique $q$ centaines de vélos, avec $q \in [0\,;10]$. Le coût marginal, en milliers d'euros, est $C_m(q) = 3 + 6\mathrm{e}^{-0{,}5q}$. Le coût total $C$ est la primitive de $C_m$ sur $[0\,;10]$ telle que $C(0) = 10$ (coûts fixes).

1. aDonne une primitive de $C_m$ sur $[0\,;10]$. Justifie le coefficient devant l'exponentielle.
2. bDétermine l'expression de $C(q)$.
3. cCalcule le coût total pour $400$ vélos, en valeur exacte, puis arrondi à l'euro.
4. dCalcule la hausse du coût total quand la production passe de $400$ à $600$ vélos, arrondie à l'euro.
5. eVrai ou faux : « Si les coûts fixes doublaient, le coût total $C(q)$ doublerait. » Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : la forme u′uⁿ — Pour chaque fonction, nomme $u$, calcule $u'(x)$, écris $f=\lambda \times u'u^n$, puis donne une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$. Si $u'$ n'apparaît pas en facteur, change de méthode.

Ex. 16★★★Automatismes : u′/u², u′uⁿ avec n < 0, u′/√u — Pour chaque fonction, nomme $u$ et vérifie que $u$ ne s'annule pas (ou que $u>0$) sur l'intervalle indiqué. Donne ensuite une primitive $F$ de $f$ sur cet intervalle.

1. a$f(x)=\dfrac{3}{(3x+2)^2}$ sur $]-\frac{2}{3}\,;+\infty[$
2. b$f(x)=\dfrac{x}{(x^2+4)^3}$ sur $\mathbb{R}$
3. c$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$ sur $]-\frac{1}{2}\,;+\infty[$
4. d$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2}$ sur $\mathbb{R}$
5. e$f(x)=\dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x+2}}$ sur $\mathbb{R}$
6. f$f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}$ sur $\mathbb{R}$

Ex. 17★★★Les propositions de Léa — Léa a cherché une primitive de plusieurs fonctions. Pour chaque proposition, dis si Léa a raison et justifie. Si elle se trompe, explique son erreur et corrige-la.

1. aPour $f(x)=\frac{2x}{(x^2+3)^2}$ sur $\mathbb{R}$, Léa propose $F(x)=\ln(x^2+3)$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bPour $g(x)=\frac{6}{(2x+1)^2}$ sur $]-\frac{1}{2}\,;+\infty[$, Léa propose $G(x)=\frac{3}{2x+1}$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cPour $h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ sur $\mathbb{R}$, Léa propose $H(x)=2\sqrt{x^2+9}$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dPour $k(x)=(5x+1)^3$ sur $\mathbb{R}$, Léa propose $K(x)=\frac{(5x+1)^4}{20}$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. ePour $m(x)=\frac{4x}{(x^2+5)^3}$ sur $\mathbb{R}$, Léa propose $M(x)=-\frac{1}{2(x^2+5)^4}$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 18★★★Le robot sur son rail — Un robot avance sur un rail rectiligne. À l'instant $t$ (en s), avec $t\geqslant0$, sa vitesse est $v(t)=\frac{3t}{\sqrt{t^2+16}}$ (en m/s). Sa position $d(t)$ (en m) vérifie $d'=v$ sur $[0\,;+\infty[$ et $d(0)=0$.

1. aNomme $u$, justifie que $u(t)>0$, puis donne toutes les primitives de $v$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bDéduis-en l'expression de $d(t)$ pour $t\geqslant0$.
3. cCalcule la distance parcourue par le robot pendant les 3 premières secondes.
4. dAu bout de combien de temps le robot a-t-il parcouru $13{,}5$ m ?

Ex. 19★★★Un dénominateur qui s'annule — On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{4x-6}{(x^2-3x+2)^2}$. On pose $u(x)=x^2-3x+2$.

1. aRésous $x^2-3x+2=0$. Explique pourquoi on cherche les primitives de $f$ sur $]2\,;+\infty[$ et non sur $\mathbb{R}$.
2. bCalcule $u'(x)$ et écris $f=\lambda\times\frac{u'}{u^2}$. Donne ensuite toutes les primitives de $f$ sur $]2\,;+\infty[$.
3. cDétermine la primitive $F$ de $f$ sur $]2\,;+\infty[$ telle que $F(3)=0$.
4. dSoit $G(x)=\frac{2x^2-6x+2}{x^2-3x+2}$ sur $]2\,;+\infty[$. Écris $G(x)$ sous la forme $a+\frac{b}{x^2-3x+2}$.
5. eDéduis-en que $G$ est une primitive de $f$ sur $]2\,;+\infty[$, puis calcule $G(x)-F(x)$.

Ex. 20★★★Ajuster une constante, pas un x — On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x^2+2)^2$ et $h(x)=x(x^2+2)^2$.

1. aMalik affirme qu'une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $\frac{(x^2+2)^3}{3}$. A-t-il raison ? Justifie en dérivant, puis explique son erreur.
2. bDonne une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.
3. cNomme $u$ et $\lambda$ pour écrire $h=\lambda\times u'u^2$. Donne ensuite une primitive $H$ de $h$ sur $\mathbb{R}$.
4. dRésous sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'=(4x-3)^5$. Donne ensuite la solution qui vérifie $y(1)=0$.
5. eDonne une primitive de $p(x)=\frac{6}{\sqrt{4x-3}}$ sur $]\frac{3}{4}\,;+\infty[$, en justifiant la condition sur $u$.

Ex. 21★★★L'atelier de bijoux — Un atelier fabrique $q$ centaines de bijoux, avec $q\in[0\,;10]$. Son coût marginal, en milliers d'euros, est $C_m(q)=3+\frac{8q}{(q^2+1)^3}$. Le coût total $C$ est la primitive de $C_m$ sur $[0\,;10]$ telle que $C(0)$ soit égal aux coûts fixes.

1. aOn pose $u(q)=q^2+1$. Justifie que $u$ ne s'annule pas, puis écris $\frac{8q}{(q^2+1)^3}$ sous la forme $\lambda\times u'(q)\times u(q)^n$, en précisant $\lambda$ et $n$.
2. bDonne toutes les primitives de $C_m$ sur $[0\,;10]$.
3. cLes coûts fixes s'élèvent à 5 milliers d'euros. Détermine $C(q)$.
4. dVérifie en dérivant ton expression de $C(q)$ que $C'(q)=C_m(q)$.
5. eCalcule le coût total de fabrication de 200 bijoux, en euros.

Ex. 22★★★Automatismes : forme $u'\mathrm{e}^{u}$ — Donne une primitive $F$ de chaque fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 23★★★Automatismes : forme $\dfrac{u'}{u}$ — Donne une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle indiqué. Vérifie à chaque fois que $u>0$.

1. a$f(x)=\dfrac{x}{x^2+5}$ sur $\mathbb{R}$
2. b$f(x)=\dfrac{1}{2x-6}$ sur $]3\,;+\infty[$
3. c$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}$ sur $\mathbb{R}$
4. d$f(x)=\dfrac{1}{x(1+\ln x)}$ sur $]\mathrm{e}^{-1}\,;+\infty[$
5. e$f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+4}$ sur $\mathbb{R}$
6. f$f(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}$ sur $\mathbb{R}$

Ex. 24★★★Vrai ou faux ? Justifie. — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie. Si c'est faux, donne une primitive correcte quand c'est possible.

1. aSur $]0\,;+\infty[$, $F(x)=\frac{1}{3}\ln(3x+1)$ est une primitive de $f(x)=\frac{1}{(3x+1)^2}$.
2. bSur $\mathbb{R}$, $G(x)=\ln(3\mathrm{e}^{2x}+3)$ est une primitive de $g(x)=\frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}+1}$.
3. cSur $]0\,;+\infty[$, $H(x)=\frac{\mathrm{e}^{x^2}}{2x}$ est une primitive de $h(x)=\mathrm{e}^{x^2}$.
4. dSur $\mathbb{R}$, $K(x)=\ln(x^2-2x+2)$ est une primitive de $k(x)=\frac{2x-2}{x^2-2x+2}$.

Ex. 25★★★Primitives avec une condition — Pour chaque question, reconnais la forme du cours, vérifie la condition sur $u$, puis utilise la donnée de l'énoncé.

1. aDétermine la primitive $F$ de $f(x)=\frac{x^2}{x^3+8}$ sur $]-2\,;+\infty[$ telle que $F(0)=\ln 2$.
2. bRésous sur $]-\infty\,;5[$ l'équation différentielle $y'=\frac{1}{x-5}$.
3. cDétermine la primitive $K$ sur $\mathbb{R}$ de $k(x)=x\,\mathrm{e}^{1-x^2}$ telle que $K(1)=0$.

Ex. 26★★★Coût total d'une production de vélos — Un atelier fabrique $q$ centaines de vélos, avec $q\in[0\,;10]$. Le coût marginal, en milliers d'euros, est $C_m(q)=2+\frac{6q}{q^2+4}$. Le coût total $C$ est la primitive de $C_m$ sur $[0\,;10]$ telle que $C(0)=5$ (ce sont les coûts fixes).

1. aÉcris $\frac{6q}{q^2+4}$ sous la forme $k\times\frac{u'}{u}$ en précisant $u$. Justifie que $u>0$ sur $[0\,;10]$, puis donne une primitive de cette fonction.
2. bDéduis-en l'expression de $C(q)$.
3. cMontre que $C(4)=13+3\ln 5$, puis donne le coût de 400 vélos à l'euro près.
4. dUn concurrent a pour coût marginal $D_m(q)=1+\frac{8}{(2q+1)^2}$. Malik affirme qu'une primitive de $D_m$ est $q+4\ln\big((2q+1)^2\big)$. A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
5. eJustifie que le coût total $C$ est strictement croissant sur $[0\,;10]$.

Ex. 27★★★Le vol d'un drone — Un drone décolle du sol à l'instant $t=0$ ($t$ en secondes). Pendant la montée, pour $t\in[0\,;5]$, sa vitesse verticale en m/s est $v(t)=\frac{4\mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}+1}$. Son altitude $h(t)$, en mètres, vérifie $h'=v$ et $h(0)=0$.

1. aReconnais la forme de $v$ en précisant $u$ et la condition à vérifier. Donne ensuite une primitive de $v$ sur $[0\,;5]$.
2. bDéduis-en $h(t)$, puis calcule $h(5)$ arrondi au dixième.
3. cDétermine l'instant $t_0$ où le drone atteint 10 m d'altitude. Donne sa valeur exacte, puis arrondie au centième.
4. dLe drone redescend ensuite. Au temps $s$ (en secondes) après la fin de la montée, sa vitesse vaut $w(s)=-8s\,\mathrm{e}^{-s^2}$. Donne une primitive de $w$ sur $[0\,;+\infty[$.
5. eL'altitude $a(s)$ vérifie $a'=w$ et $a(0)=h(5)$. Exprime $a(s)$, puis justifie que le drone ne touche jamais le sol.

Ex. 28★★★Formes cachées avec $\ln x$ — On travaille sur $I=]2\,;+\infty[$. On considère les fonctions $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$, $g(x)=\frac{\ln x}{x}$ et $p(x)=\frac{1}{x\sqrt{\ln x}}$.

1. aJustifie que $\ln x>0$ sur $I$. Donne ensuite une primitive de $f$ sur $I$ en écrivant $f$ sous la forme $\frac{u'}{u}$.
2. bReconnais dans $g$ une forme du cours et donne une primitive de $g$ sur $I$.
3. cDétermine la primitive $H$ sur $I$ de $h(x)=\frac{2+(\ln x)^2}{x\ln x}$ telle que $H(\mathrm{e})=1$.
4. dSacha propose $P(x)=\ln\big(\sqrt{\ln x}\big)$ comme primitive de $p$ sur $I$. A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
5. eExplique pourquoi on ne peut pas chercher une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

Ex. 29★★★Automatismes : primitives trigonométriques en ligne — Donne une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 30★★★Automatismes : repérer u, puis la forme — Pour chaque fonction $f$, précise $u$ et la forme reconnue, ajuste la constante, puis donne une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle indiqué.

1. a$f(x) = \cos x\sin x$ sur $\mathbb{R}$
2. b$f(x) = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$
3. c$f(x) = \sin(2x)\,\mathrm{e}^{\cos(2x)}$ sur $\mathbb{R}$
4. d$f(x) = \dfrac{\sin x}{3 - \cos x}$ sur $\mathbb{R}$
5. e$f(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$ sur $]0\,;\pi[$
6. f$f(x) = \frac{1}{x}\cos(\ln x)$ sur $]0\,;+\infty[$ (écris $f$ sous la forme $(v'\circ u)\times u'$)

Ex. 31★★★Trois affirmations à contrôler — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie en dérivant. Si l'affirmation est fausse, corrige-la quand c'est possible.

1. aLéna : « Une primitive de $f(x) = \sin(4x)$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \frac{1}{4}\cos(4x)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bYanis : « Une primitive de $g(x) = \cos(x^2)$ sur $]0\,;+\infty[$ est $G(x) = \frac{\sin(x^2)}{2x}$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cChloé : « $F(x) = 2\cos^2 x$ et $G(x) = \cos(2x)$ sont deux primitives d'une même fonction sur $\mathbb{R}$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 32★★★Le bouchon qui oscille — Un bouchon de pêche oscille verticalement sur l'eau. Sa vitesse, en cm/s, est $v(t) = 3\cos(2t)$ pour $t \geqslant 0$ en secondes. Sa hauteur $h(t)$, en cm, vérifie $h' = v$ sur $[0\,;+\infty[$, avec $h(0) = 1$.

1. aDétermine toutes les primitives de $v$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bDéduis-en l'expression de $h(t)$.
3. cCalcule la hauteur du bouchon à l'instant $t = \frac{\pi}{4}$.
4. dDétermine le premier instant $t > 0$ où le bouchon repasse à sa hauteur de départ.

Ex. 33★★★Démasquer v et u — Toutes les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$. On rappelle que si $f = k\times(v'\circ u)\times u'$, avec $k$ réel, alors $k\times(v\circ u)$ est une primitive de $f$.

1. aSoit $f(x) = (x + 1)\sin(x^2 + 2x)$. Précise $u$, $v$ et la constante $k$ telles que $f = k\times(v'\circ u)\times u'$, puis donne une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. bSoit $h(x) = \sin x\cos(\cos x)$. Précise $u$, $v$ et $k$, puis donne une primitive $H$ de $h$ sur $\mathbb{R}$. Contrôle en dérivant.
3. cSoit $g(x) = \sin x\cos^2 x$. Écris $g$ sous la forme $k\times u'\times u^2$, puis donne toutes les primitives de $g$ sur $\mathbb{R}$.
4. dDétermine la primitive $G$ de $g$ sur $\mathbb{R}$ telle que $G(0) = 0$, puis justifie que $G(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$.

Ex. 34★★★Un logarithme, une exponentielle et une condition initiale — On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \frac{\cos x}{2 + \sin x}$ et $h(x) = \sin x\,\mathrm{e}^{\cos x}$.

1. aJustifie que $2 + \sin x > 0$ pour tout réel $x$, puis donne une primitive $G$ de $g$ sur $\mathbb{R}$.
2. bNora propose $H(x) = \mathrm{e}^{\cos x}$ comme primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$. A-t-elle raison ? Justifie en dérivant, puis corrige si besoin.
3. cDétermine la fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $y' = g + h$ et $y(0) = \ln 2$.
4. dCalcule la valeur exacte de $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Ex. 35★★★La membrane du haut-parleur — Un point de la membrane d'un haut-parleur se déplace sur un axe. Sa vitesse, en mm/ms, est $v(t) = 2\sin\left(3t + \frac{\pi}{4}\right)$ pour $t \geqslant 0$ (en ms). Sa position $p(t)$, en mm, vérifie $p' = v$ et $p(0) = 0$.

1. aDonne toutes les primitives de $v$ sur $[0\,;+\infty[$, en précisant $u$ et la constante d'ajustement.
2. bDéduis-en l'expression de $p(t)$.
3. cSacha a écrit $p(t) = -6\cos\left(3t + \frac{\pi}{4}\right) + 3\sqrt{2}$, et il remarque que $p(0) = 0$. A-t-il raison ? Justifie en dérivant et explique son erreur.
4. dJustifie que la position reste entre deux valeurs que tu préciseras, puis donne un instant où elle est maximale.

Ex. 36★★★Primitive prenant une valeur donnée — Dans chaque cas, détermine la primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle indiqué qui vérifie la condition donnée.

1. a$f(x) = 4x^3 - 6x + 1$ sur $\mathbb{R}$, avec $F(1) = 0$.
2. b$f(x) = \mathrm{e}^{x-2}$ sur $\mathbb{R}$, avec $F(2) = 4$.
3. c$f(x) = \sin x$ sur $\mathbb{R}$, avec $F(0) = 2$.
4. d$f(x) = \frac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$, avec $F(\mathrm{e}) = 0$.
5. e$f(x) = \frac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$, avec $F(1) = 3$.
6. f$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$, avec $F(4) = 1$.

Ex. 37★★★Équations y′ = f avec condition initiale — Les solutions de $y'=f$ sont les primitives de $f$. Résous chaque équation différentielle sur l'intervalle donné, avec la condition initiale indiquée.

1. a$y' = (2x-1)^3$ sur $\mathbb{R}$, avec $y(1) = 2$.
2. b$y' = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$, avec $y(0) = -1$.
3. c$y' = \cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$, avec $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
4. d$y' = \frac{3}{3x+1}$ sur $\left]-\frac{1}{3}\,;+\infty\right[$, avec $y(0) = 5$.
5. e$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ sur $\mathbb{R}$, avec $y(4) = 2$.
6. f$y' = \frac{4}{(x+2)^2}$ sur $]-2\,;+\infty[$, avec $y(0) = 1$.

Ex. 38★★★L'erreur d'Hugo — Soit $f(x) = 2\mathrm{e}^{2x} - 3$ sur $\mathbb{R}$. On cherche la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 5$. Hugo écrit : « $F(x) = \mathrm{e}^{2x} - 3x$, donc $F(0) = 0 - 0 = 0 \neq 5$ : une telle primitive n'existe pas. »

1. aRepère les deux erreurs d'Hugo et explique-les.
2. bDonne toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. cDétermine la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 5$.
4. dVrai ou faux : une autre primitive $G$ de $f$, différente de $F$, peut aussi vérifier $G(0) = 5$. Justifie.

Ex. 39★★★Une courbe par un point, des tangentes horizontales — Soit $f(x) = \frac{2x}{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$. On étudie les courbes représentatives des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.

1. aJustifie que $x^2+3>0$ pour tout réel $x$, puis donne toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDétermine la primitive $F$ de $f$ dont la courbe passe par le point $A(1\,;3)$.
3. cChloé affirme : « on peut choisir la constante pour que la courbe de la primitive ait une tangente horizontale au point d'abscisse 1 ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dMontre que les courbes de toutes les primitives de $f$ ont une tangente horizontale en un même point, dont tu donneras l'abscisse.

Ex. 40★★★Le décollage d'un drone — Un drone décolle verticalement. À l'instant $t$ (en s), $t \geqslant 0$, son accélération est $a(t)=4\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ (en m/s²). Sa vitesse $v$ (en m/s) est une primitive de $a$ sur $[0\,;+\infty[$, et son altitude $h$ (en m) est une primitive de $v$. À $t=0$, la vitesse est nulle et l'altitude vaut $2$ m.

1. aDonne toutes les primitives de $a$ sur $[0\,;+\infty[$, puis détermine l'expression de $v(t)$.
2. bJustifie que la vitesse du drone augmente et qu'elle reste toujours inférieure à $8$ m/s.
3. cDétermine l'expression de l'altitude $h(t)$ pour $t \geqslant 0$.
4. dCalcule l'altitude du drone au bout de $10$ s, arrondie au dixième de mètre.
5. eUn second drone a la même vitesse $v(t)$, mais son altitude vaut $10$ m à l'instant $t=2$. Détermine son altitude $h_2(t)$.

Ex. 41★★★Une famille de courbes et son point bas — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x-4)\mathrm{e}^{x^2-4x}$. On note $A$ le point de coordonnées $(4\,;3)$.

1. aÉcris $f$ sous la forme $u'\mathrm{e}^{u}$ en précisant $u$, puis donne toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDétermine la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ dont la courbe passe par $A$.
3. cInès affirme : « la courbe de $F$ passe aussi par le point $B(0\,;3)$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÉtudie le signe de $f(x)$, puis détermine la primitive $G$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ dont le minimum vaut $0$.

Ex. 42★★★Équation y′ = f et forme imposée — On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=(3x+5)\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$. On note $g(x)=(3x+5)\mathrm{e}^{x}$.

1. aDétermine les réels $a$ et $b$ tels que $G(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{x}$ soit une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.
2. bRésous l'équation $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cDétermine la solution $y$ de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $y(0)=4$.
4. dVrai ou faux : « Il existe une solution $h$ de $(E)$ telle que $h(0)=4$ et $h(-1)=0$. » Justifie.

Ex. 43★★★Primitive prenant une valeur donnée — Pour chaque fonction $f$, détermine la primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $I$ indiqué qui vérifie la condition donnée.

1. a$f(x)=3x^2-4x+1$, $I=\mathbb{R}$, $F(1)=2$.
2. b$f(x)=\mathrm{e}^{3x}$, $I=\mathbb{R}$, $F(0)=1$.
3. c$f(x)=\cos(2x)$, $I=\mathbb{R}$, $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$.
4. d$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$, $I=]0\,;+\infty[$, $F(1)=0$.
5. e$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $I=]0\,;+\infty[$, $F(4)=1$.
6. f$f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$, $I=\mathbb{R}$, $F(0)=5$.

Ex. 44★★★Coût, position, volume : la valeur initiale fixe la constante — Dans chaque situation, détermine l’expression de la fonction demandée et précise son unité.

1. aUne usine produit $q$ tonnes d’engrais. Son coût marginal est $C'(q)=0{,}6q+40$ (milliers d’euros par tonne) et ses coûts fixes valent $15$ milliers d’euros. Donne $C(q)$.
2. bUn cycliste roule à la vitesse $v(t)=0{,}4t+5$ (en m/s, $t$ en s). Sa position à $t=0$ est $20$ m. Donne sa position $x(t)$.
3. cUne luge a pour vitesse $v(t)=6\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ (en m/s, $t$ en s). Elle part de la position $0$ m. Donne sa position $x(t)$.
4. dUne pompe remplit un aquarium avec le débit $d(t)=\frac{3}{\sqrt{t+1}}$ (en L/min, $t$ en min). À $t=0$, l’aquarium contient $40$ L. Donne le volume $V(t)$.

Ex. 45★★★Équation y′ = f : erreurs à corriger — Les questions portent sur des primitives et des équations différentielles de la forme $y'=f$, sur $\mathbb{R}$.

1. aHugo résout $y'=2x\mathrm{e}^{x^2}$ avec $y(0)=3$ : « $y(x)=\mathrm{e}^{x^2}+k$, $y(0)=k=3$, donc $y(x)=\mathrm{e}^{x^2}+3$ ». Repère son erreur et corrige.
2. bInès cherche la primitive $F$ de $f(x)=(2x+1)^3$ telle que $F(0)=1$. Elle écrit : « $F(x)=\frac{(2x+1)^4}{4}$, $F(0)=\frac{1}{4}\neq 1$, donc pas de solution. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cVrai ou faux ? « L’équation $y'=\sin x$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$. » Justifie.
4. dDétermine la solution de $y'=\sin x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $y(\pi)=0$.

Ex. 46★★★Remplissage puis vidange d’un bassin — Pour $t\in[0\,;4]$ (en heures), le débit d’eau d’un bassin est $d(t)=(2-t)\mathrm{e}^{t}$ (en m³/h). Quand il est positif, le bassin se remplit ; quand il est négatif, il se vide. Le volume $V(t)$ (en m³) est une primitive de $d$ sur $[0\,;4]$, avec $V(0)=60$.

1. aVérifie que $G(t)=(3-t)\mathrm{e}^{t}$ est une primitive de $d$ sur $[0\,;4]$.
2. bDéduis-en l’expression de $V(t)$.
3. cÉtudie le signe de $d(t)$ sur $[0\,;4]$, puis donne les variations de $V$.
4. dDonne le volume maximal, en valeur exacte puis arrondi à $0{,}01$ m³ près. Que se passe-t-il à cet instant ?

Ex. 47★★★Fabrique de skis : du coût marginal au bénéfice maximal — Une fabrique produit $q$ centaines de paires de skis par mois, avec $q\in[0\,;15]$. Le coût total, en milliers d’euros, est une fonction $C$ dérivable sur $[0\,;15]$ dont le coût marginal est $C'(q)=3q^2-36q+120$.

1. aLes coûts fixes s’élèvent à 50 milliers d’euros. Détermine l’expression de $C(q)$ sur $[0\,;15]$.
2. bSans calculer de valeurs de $C$, justifie que le coût total est croissant sur $[0\,;15]$.
3. cCalcule $C(10)$ et interprète ce résultat avec les unités.
4. dChaque centaine de paires est vendue 60 milliers d’euros. Le bénéfice est $B(q)=60q-C(q)$. Étudie les variations de $B$ sur $[0\,;15]$.
5. eDéduis-en la production qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice, en euros.

Ex. 48★★★Le robot sur son rail : avance, recul, retour — Un robot se déplace sur un rail rectiligne. À l’instant $t$ (en s), $t\geqslant 0$, sa vitesse est $v(t)=(1-t^2)\mathrm{e}^{-t}$ (en m/s). Son abscisse $p(t)$ (en m) vérifie $p'=v$ sur $[0\,;+\infty[$, et $p(0)=0$.

1. aDétermine les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(t)=(at^2+bt+c)\mathrm{e}^{-t}$ soit une primitive de $v$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bDéduis-en l’expression de $p(t)$ sur $[0\,;+\infty[$.
3. cÉtudie le signe de $v(t)$ sur $[0\,;+\infty[$, puis déduis-en les variations de $p$. Interprète le mouvement du robot.
4. dDonne la valeur exacte de l’abscisse maximale atteinte par le robot, puis son arrondi au centimètre.
5. eCalcule $p(3)$ et arrondis-le au centième. Le robot est-il repassé par son point de départ entre $t=1$ et $t=3$ ? Justifie.

Ex. 49★★★La citerne pendant l’orage : débordera, débordera pas ? — Pendant un orage de 12 heures, l’eau de pluie s’écoule dans une citerne d’une capacité de 22 m³. Pour $t\in[0\,;12]$ (en h), le débit entrant est $d(t)=\frac{8t}{t^2+4}$ (en m³/h). Le volume d’eau $V(t)$ (en m³) vérifie $V'=d$ sur $[0\,;12]$, et $V(0)=10$.

1. aÉlise propose $V(t)=4\ln(t^2+4)+10$. Vérifie que $V'=d$, explique son erreur, puis donne la bonne expression de $V(t)$.
2. bSans calculer de valeurs de $V$, justifie que le volume d’eau augmente pendant tout l’orage.
3. cCalcule $V(6)$ en valeur exacte, puis arrondis au dixième. Interprète ce résultat avec les unités.
4. dLa citerne déborde-t-elle avant la fin de l’orage ? Si oui, détermine à quel instant, à la minute près.
5. eÉtudie les variations de $d$ sur $[0\,;12]$. À quel instant le volume augmente-t-il le plus vite ?