Cinquième / Périmètres et aires

Ex. 1★★★Automatismes : contour ou surface ? — Le rectangle EFGH est dessiné ci-dessous. Écris la formule, pose le calcul et donne l'unité.

1. aTom écrit : « périmètre de EFGH $= 7 + 4{,}5 = 11{,}5$ cm ». Explique son erreur, puis calcule le bon périmètre.
2. bCalcule l'aire du rectangle EFGH.
3. cSarah calcule l'aire d'un carré de côté $3{,}6$ cm : $4 \times 3{,}6 = 14{,}4\ \text{cm}^2$. Corrige son calcul. Que représente $14{,}4$ ?
4. dUn tapis rectangulaire mesure $1{,}2$ m sur $35$ cm. Calcule, en cm, la longueur de la bordure qui fait le tour du tapis.
5. ePour peindre un mur de $4$ m sur $2{,}5$ m, faut-il connaître son périmètre ou son aire ? Calcule cette grandeur.

Ex. 2★★★Automatismes : aires sur quadrillage — Chaque carreau du quadrillage mesure 1 cm de côté : son aire est $1\ \text{cm}^2$. Compte les carreaux entiers et les demi-carreaux.

1. aDonne l'aire de la figure ABCDE.
2. bDonne l'aire de la figure PQRST.
3. cPour le triangle KLM, Lucas compte 6 carreaux entiers et 4 demi-carreaux, puis écrit « aire = 10 cm² ». Corrige son résultat.

Ex. 3★★★Même périmètre, même aire ? — Le rectangle ABCD et le carré EFGH sont dessinés ci-dessous.

1. aCalcule le périmètre et l'aire de ABCD, puis de EFGH. Ont-ils le même périmètre ? La même aire ? Justifie.
2. bHugo dit : « Un rectangle de 16 cm sur 4 cm a la même aire qu'un carré de 8 cm de côté, donc le même périmètre. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
3. cMaëlle cherche un rectangle de même périmètre que ABCD, mais d'aire $33\ \text{cm}^2$, avec des côtés entiers en cm. Donne sa longueur et sa largeur, puis vérifie.

Ex. 4★★★Le potager de Chloé — À Rennes, Chloé a un potager rectangulaire RSTU de longueur $12{,}5$ m et d'aire $75\ \text{m}^2$.

1. aCalcule la largeur ST du potager.
2. bChloé veut entourer son potager de grillage. Quelle longueur de grillage lui faut-il ?
3. cSa voisine a une pelouse rectangulaire de périmètre $30$ m et de longueur $9{,}5$ m. Calcule sa largeur.
4. dLa voisine veut regarnir toute sa pelouse en gazon. Quelle surface doit-elle semer ?

Ex. 5★★★Le carrelage de la cuisine d'Inès — À Lyon, Inès refait le sol de sa cuisine rectangulaire KLMN : KL $= 4{,}8$ m et LM $= 360$ cm. Le sol sera couvert de carreaux carrés de $40$ cm de côté. Une plinthe (bordure en bas des murs) fera le tour de la pièce, sauf devant la porte, qui mesure $90$ cm de large.

1. aCalcule l'aire du sol de la cuisine, en $\text{m}^2$.
2. bCalcule l'aire d'un carreau, en $\text{m}^2$.
3. cCombien de carreaux Inès doit-elle poser ? Justifie par un calcul.
4. dLa plinthe est vendue en barres de $2{,}5$ m. Combien de barres Inès doit-elle acheter ? Justifie.

Ex. 6★★★Le fanion de Lina — Pour la fête de son école à Nantes, Lina coud un fanion rectangulaire VWXY. Sa longueur VW mesure $75$ cm et son périmètre $250$ cm.

1. aCalcule la largeur WX du fanion.
2. bCalcule l'aire du fanion VWXY.
3. cLina hésite avec un fanion carré qui a le même périmètre, $250$ cm. Lequel demande le plus de tissu ? Justifie par un calcul.
4. dNoé affirme : « Si on double la longueur et la largeur de VWXY, il faudra deux fois plus de tissu. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 7★★★Les plans de Yanis — Sur un quadrillage dont les carreaux mesurent $1$ cm de côté, Yanis a dessiné le polygone ABCDEF et la « maison » GHIJK. Compte les carreaux entiers et les demi-carreaux.

1. aCalcule l'aire du polygone ABCDEF.
2. bCalcule l'aire de la maison GHIJK.
3. cCalcule le périmètre du polygone ABCDEF.
4. dYanis veut un rectangle de même aire que ABCDEF et de largeur $2{,}5$ cm. Calcule sa longueur, puis son périmètre. Est-ce le même périmètre que ABCDEF ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : longueurs et aires — Écris le calcul, puis le résultat avec son unité.

1. aComplète : $4{,}7\ \text{km} = \ldots\ \text{m}$.
2. bExprime $85\ \text{mm}$ en cm.
3. cCombien de $\text{cm}^2$ y a-t-il dans $0{,}7\ \text{m}^2$ ?
4. dVrai ou faux : $4\,300\ \text{dm}^2 = 430\ \text{m}^2$. Justifie.
5. eUn timbre a une aire de $1\,450\ \text{mm}^2$. Quelle est son aire en $\text{cm}^2$ ?

Ex. 9★★★Automatismes : hectares et ares — Écris le calcul, puis le résultat avec son unité.

1. aUn champ de blé mesure $3{,}4$ ha. Quelle est son aire en $\text{m}^2$ ?
2. bUn jardin partagé a une aire de $650\ \text{m}^2$. Exprime cette aire en ares.
3. cComplète : $52\,000\ \text{m}^2 = \ldots$ ha.
4. dUne forêt couvre $0{,}08\ \text{km}^2$. Combien d'hectares cela représente-t-il ?
5. eYanis écrit : « $2$ ha $= 200\ \text{m}^2$ ». Corrige cette égalité, puis exprime $200\ \text{m}^2$ en ares.

Ex. 10★★★L'erreur de Noé — Noé écrit : « $1\ \text{m}^2 = 10\ \text{dm}^2$, donc $3{,}6\ \text{m}^2 = 36\ \text{dm}^2$ ». Le carré ABCD ci-dessous a $1$ m de côté.

1. aExprime le côté du carré ABCD en dm, puis calcule son aire en $\text{dm}^2$.
2. bExplique l'erreur de Noé, puis convertis correctement $3{,}6\ \text{m}^2$ en $\text{dm}^2$.
3. cDans le tableau de conversion des aires, chaque unité a deux colonnes. Sers-t'en pour écrire $3{,}6\ \text{m}^2$ en $\text{cm}^2$.

Ex. 11★★★La planche d'Inès — À Rennes, Inès veut fabriquer une étagère. Elle prend une planche rectangulaire EFGH de $1{,}2$ m sur $35$ cm. Ne mesure pas sur la figure : calcule.

1. aPourquoi ne peut-on pas calculer $1{,}2 \times 35$ pour trouver l'aire ? Exprime la longueur EF en cm.
2. bCalcule l'aire de la planche en $\text{cm}^2$, puis en $\text{m}^2$.
3. cRange dans l'ordre croissant ces trois aires : l'aire de la planche, $4\,500\ \text{cm}^2$ et $41\ \text{dm}^2$.

Ex. 12★★★Le champ de Malik — Près de Chartres, Malik cultive un champ rectangulaire KLMN. Le côté [KL] mesure $0{,}45$ km et le côté [LM] mesure $260$ m. Ne mesure pas sur la figure : calcule.

1. aExprime la longueur KL en m, puis calcule l'aire du champ en $\text{m}^2$.
2. bConvertis l'aire du champ en hectares.
3. cLe maïs occupe $7{,}85$ ha du champ. Hugo écrit : « $7{,}85$ ha $= 0{,}0785$ a ». Explique sans calcul pourquoi c'est faux, puis convertis correctement en ares.
4. dLe reste du champ est une prairie. Calcule son aire en hectares, puis en $\text{m}^2$.
5. eMalik pose une clôture tout autour du champ. Calcule la longueur de clôture en m, puis en km.

Ex. 13★★★Le carrelage de Yasmine — À Lyon, Yasmine veut carreler le sol de sa cuisine rectangulaire RSTU de $4{,}2$ m sur $2{,}4$ m. Elle hésite entre quatre modèles de carreaux : A, carré de $30$ cm de côté ; B, d'aire $0{,}08\ \text{m}^2$ ; C, d'aire $8{,}5\ \text{dm}^2$ ; D, d'aire $87\,000\ \text{mm}^2$.

1. aCalcule l'aire du sol de la cuisine en $\text{m}^2$, puis en $\text{cm}^2$.
2. bSon frère Ilan écrit : « $87\,000\ \text{mm}^2 = 8\,700\ \text{cm}^2$ ». Explique son erreur et donne la bonne valeur en $\text{cm}^2$.
3. cExprime l'aire des modèles A, B et C en $\text{cm}^2$, puis range les quatre modèles du plus petit au plus grand.
4. dYasmine choisit le modèle A. En raisonnant sur les aires, calcule le nombre de carreaux nécessaires.

Ex. 14★★★La voile de Lou — À Quiberon, Lou fabrique la voile triangulaire KLM de sa planche à voile. Le côté [KL], le long du mât, mesure $4{,}6$ m. La hauteur [MH] relative au côté [KL] mesure $180$ cm. Ne mesure pas sur la figure : calcule.

1. aCalcule l'aire de la voile en $\text{cm}^2$, puis en $\text{m}^2$.
2. bMalo a une voile de $395\ \text{dm}^2$. Il affirme : « Ma voile est plus grande que celle de Lou, car mon nombre est plus grand. » Qui a raison ? Justifie.
3. cTrace un tableau de conversion des aires (deux colonnes par unité), places-y $4{,}14\ \text{m}^2$, puis donne cette aire en $\text{mm}^2$.
4. dLa voile de son petit frère est un triangle d'aire $1{,}62\ \text{m}^2$, dont un côté mesure $270$ cm. Calcule la hauteur relative à ce côté, en cm.

Ex. 15★★★Base et hauteur dans toutes les positions — Pour chaque parallélogramme, repère la base et la hauteur qui lui est perpendiculaire. Écris la formule, puis calcule l'aire.

1. aDans le parallélogramme KLMN, on a KL = 5 cm, KN = 3,6 cm et la hauteur NH relative à [KL] mesure 3 cm. Calcule son aire.
2. bLe parallélogramme RSTU penche à gauche. On a RS = 6,5 cm et la hauteur TK relative à [RS] mesure 3,2 cm. Calcule son aire.
3. cLe parallélogramme ABCD est posé sur son côté vertical [AB]. On a AB = 4,5 cm et la hauteur DH relative à [AB] mesure 2,8 cm. Calcule son aire.
4. dDans le parallélogramme EFGH, on a EF = 3,5 cm. La hauteur HP relative à [EF] mesure 2,4 cm, et son pied P est sur le prolongement de [EF]. Calcule son aire.

Ex. 16★★★Deux bases, deux hauteurs — Dans le parallélogramme ABCD, on a AB = 6 cm et AD = 5 cm. La hauteur DH relative à [AB] mesure 4 cm. On a aussi tracé le segment [BK], qui mesure 4,8 cm.

1. aCalcule l'aire de ABCD en prenant [AB] comme base.
2. bQuelle hauteur va avec la base [AD] ? Justifie, puis calcule à nouveau l'aire de ABCD avec cette base.
3. cTom écrit : « $\mathcal{A} = 6 \times 5 = 30\ \text{cm}^2$ ». Explique son erreur.
4. dCalcule le périmètre de ABCD. Quelles longueurs utilises-tu ?

Ex. 17★★★Le vitrail en losange — Pour un vitrail, Inès découpe un morceau de verre en forme de losange EFGH, de côté 10 cm. La hauteur HK relative au côté [EF] mesure 6 cm.

1. aSam dit : « Un losange n'est pas un parallélogramme, donc base × hauteur ne marche pas. » Qui a raison ? Justifie.
2. bCalcule l'aire du losange EFGH.
3. cCalcule le périmètre du losange EFGH.
4. dInès veut un second morceau en forme de parallélogramme, de même aire et de base 16 cm. Calcule la hauteur relative à cette base.

Ex. 18★★★Le champ découpé et recollé — Le champ de M. Royer a la forme du parallélogramme ABCD. On a AB = 250 m et AD = 170 m. La hauteur DH relative à [AB] mesure 160 m.

1. aOn découpe le triangle ADH et on le recolle contre le côté [BC]. Quelle figure obtient-on ? Donne ses dimensions.
2. bDéduis-en l'aire du champ en $\text{m}^2$.
3. cConvertis cette aire en hectares.
4. dM. Royer pose une clôture tout autour du champ. Quelle longueur de clôture lui faut-il ?

Ex. 19★★★Le carrelage de Malik — Malik refait le sol de sa salle de bains, à Valence. Il utilise des carreaux identiques en forme de parallélogramme PQRS. On a PQ = 25 cm et PS = 15 cm. La hauteur ST relative à [PQ] mesure 12 cm. On suppose que les carreaux couvrent le sol sans chute.

1. aLéo calcule l'aire d'un carreau : $25 \times 15 = 375\ \text{cm}^2$. Explique son erreur.
2. bCalcule l'aire d'un carreau en $\text{cm}^2$. Écris la formule.
3. cMalik pose un joint tout autour d'un carreau. Quelle longueur de joint lui faut-il pour un carreau ?
4. dConvertis l'aire d'un carreau en $\text{dm}^2$.
5. eLe sol mesure $6\ \text{m}^2$. Combien de carreaux faut-il à Malik ? Justifie par un calcul.

Ex. 20★★★Une hauteur qui sort de la figure — RSTU est un parallélogramme très penché. On a RS = 3 cm et RU = 6 cm. La hauteur UH relative au côté [RS] mesure 4,8 cm. Son pied H est sur le prolongement de [RS].

1. aNina dit : « H n'est pas sur [RS], donc [UH] n'est pas une hauteur de RSTU. » Qui a raison ? Justifie.
2. bCalcule l'aire de RSTU. Écris la formule.
3. cCalcule le périmètre de RSTU.
4. dCalcule la hauteur relative au côté [RU].
5. eHugo affirme : « [RU] est plus long que [RS], donc sa hauteur est plus longue que [UH]. » Qui a raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Les parcelles du jardin partagé — Au jardin partagé de Rennes, la parcelle d'Awa a la forme du parallélogramme EFGH, posé sur son côté vertical [EF]. On a EF = 8 m et EH = 7,5 m. La hauteur HK relative à [EF] mesure 4,5 m. La parcelle carrée de Yanis a la même aire.

1. aCalcule l'aire de la parcelle EFGH. Écris la formule.
2. bUn carré est un parallélogramme : sa base est un côté et sa hauteur est un autre côté. Trouve le côté de la parcelle de Yanis.
3. cCalcule la longueur de grillage nécessaire pour clôturer chacune des deux parcelles.
4. dVrai ou faux : « Deux parcelles de même aire demandent toujours la même longueur de grillage. » Justifie.
5. eLe grillage coûte 3,50 € le mètre. Combien Yanis dépense-t-il de moins qu'Awa ?

Ex. 22★★★Automatismes : l'aire dans toutes les positions — Calcule l'aire de chaque triangle. Écris d'abord la formule $\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} \div 2$.

1. aLe triangle RST est obtus en S. RS = 4 cm et TH = 3,5 cm.
2. bLe triangle XYZ est rectangle en Y. YX = 6 cm, YZ = 5,5 cm et XZ = 8,1 cm.
3. cLe triangle DEF est posé sur sa pointe D. EF = 7 cm, DH = 3,6 cm et DE = 4,4 cm.
4. dUn triangle a un côté de 16 cm. La hauteur relative à ce côté mesure 2,5 cm. Donne son aire en $\text{cm}^2$, puis en $\text{mm}^2$.

Ex. 23★★★Automatismes : la bonne base, la bonne hauteur — Dans le triangle NPQ, le côté [NP] est vertical. NP = 6 cm et QK = 4 cm.

1. aQuel segment est la hauteur relative au côté [NP] ?
2. bLe segment [NH] est la hauteur relative à quel côté ? De quel sommet part-il ?
3. cCalcule l'aire du triangle NPQ en choisissant la bonne base et la bonne hauteur.
4. dDe quel sommet part la hauteur relative au côté [NQ] ? À quelle droite est-elle perpendiculaire ?

Ex. 24★★★Deux élèves, deux erreurs — Le triangle UVW est obtus en V. UV = 6 cm, WH = 2,8 cm et VW = 3,4 cm. Inès écrit : $6 \times 2{,}8 = 16{,}8\ \text{cm}^2$. Malik écrit : $6 \times 3{,}4 \div 2 = 10{,}2\ \text{cm}^2$.

1. aQuelle erreur trouves-tu dans le calcul d'Inès ?
2. bPourquoi le calcul de Malik est-il faux ?
3. cExplique pourquoi le pied H de la hauteur n'est pas sur le segment [UV].
4. dCalcule l'aire correcte du triangle UVW.

Ex. 25★★★Une autre hauteur, un sommet qui glisse — Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. AB = 6 cm, AC = 3 cm et CH = 2,4 cm, où [CH] est la hauteur relative à [AB].

1. aCalcule l'aire du triangle ABC.
2. bDe quel sommet part la hauteur relative au côté [AC] ? Calcule sa longueur.
3. cLe triangle ABD a-t-il la même aire que le triangle ABC ? Justifie par un calcul.

Ex. 26★★★Le triangle posé sur sa pointe — Le triangle KLM est rectangle en L. Il est posé sur sa pointe L. KL = 7,5 cm, LM = 10 cm et KM = 12,5 cm. Le segment [LP] est la hauteur relative au côté [KM].

1. aCalcule l'aire du triangle KLM. Justifie ton choix de base et de hauteur.
2. bSara écrit : $\mathcal{A} = 12{,}5 \times 7{,}5 \div 2$. Explique son erreur, puis calcule le résultat qu'elle trouve.
3. cCalcule la longueur LP, la hauteur relative au côté [KM].

Ex. 27★★★La voile du club nautique — Une voile a la forme du triangle EFG, obtus en F. FG = 2,4 m. Le pied K de la hauteur issue de E est sur le prolongement de [FG], avec FK = 1,2 m et EK = 5 m.

1. aCalcule l'aire de la voile en $\text{m}^2$.
2. bLéo a calculé $3{,}6 \times 5 \div 2 = 9\ \text{m}^2$. D'où vient son 3,6 ? Explique son erreur.
3. cLe tissu coûte 0,25 € le $\text{dm}^2$. Calcule le prix du tissu de la voile.
4. dUne deuxième voile a la même base de 2,4 m et une aire de $7{,}8\ \text{m}^2$. Calcule sa hauteur relative à cette base.

Ex. 28★★★Le vitrail bleu — Un vitrail est le rectangle RSTU : RS = 10 cm et ST = 4 cm. M est sur [TU], avec UM = 3 cm et RM = 5 cm. Le triangle RSM est en verre bleu. [SP] est la hauteur relative au côté [RM]. Son pied P est sur le prolongement de [RM].

1. aCalcule l'aire du triangle bleu RSM. Indique de quel sommet part la hauteur relative à [RS].
2. bNina écrit : aire de RSM $= 10 \times 4 = 40\ \text{cm}^2$. Calcule les aires des triangles RUM et STM, puis prouve qu'elle se trompe.
3. cCalcule la longueur SP.
4. dBen remplace le point M par le point T. L'aire du triangle bleu change-t-elle ? Justifie par un calcul.

Ex. 29★★★Automatismes : calculer la longueur d’un cercle — Prends $\pi \approx 3{,}14$. Calcule la longueur de chaque cercle. Regarde bien si on te donne le rayon ou le diamètre.

1. aLe cercle de diamètre [AB] ci-dessous.
2. bUn cercle de rayon $6$ cm.
3. cUn cercle de diamètre $2{,}5$ m.
4. dUn cercle de rayon $45$ cm. Donne sa longueur en mètres.

Ex. 30★★★Automatismes : retrouver le diamètre ou le rayon — Prends $\pi \approx 3{,}14$. Comme $L = \pi \times d$, on retrouve le diamètre en divisant la longueur par $\pi$.

1. aUn cercle mesure $56{,}52$ cm de long. Calcule son diamètre.
2. bCe cercle mesure $131{,}88$ m de long. Calcule son rayon.
3. cLe tour d’un cerceau mesure $2{,}198$ m. Calcule son diamètre, en cm.
4. dTom affirme : « Un cercle de $31{,}4$ cm de long a un rayon de $31{,}4 \div 3{,}14 = 10$ cm. » Corrige son erreur.

Ex. 31★★★Le galon d’une table en demi-disque — Prends $\pi \approx 3{,}14$. Le plateau d’une table a la forme d’un demi-disque de diamètre [AB], avec $AB = 120$ cm. Maëlle veut coller un galon sur le bord du plateau.

1. aCalcule la longueur du bord arrondi du plateau, en cm.
2. bLe galon fait tout le tour du plateau (bord arrondi et bord droit). Calcule sa longueur, en m.
3. cLe galon est vendu par rouleaux de $1$ m. Combien de rouleaux Maëlle doit-elle acheter ?

Ex. 32★★★Les tours de roue d’un vélo — La roue du vélo de Noé a un diamètre de $66$ cm. Utilise la touche $\pi$ de la calculatrice et arrondis au dixième, seulement à la fin des calculs.

1. aCalcule la longueur de la roue, en cm.
2. bNoé fait faire $500$ tours à sa roue. Quelle distance parcourt-il, en m ?
3. cCombien de tours complets la roue fait-elle sur une piste cyclable de $1{,}2$ km ?

Ex. 33★★★Les tours de piste de Clara — La piste du stade de Clara, à Saint-Malo, a deux lignes droites de $84{,}4$ m. À chaque bout se trouve un virage : c’est un demi-cercle de diamètre $64$ m. Utilise la touche $\pi$ de la calculatrice. Arrondis au dixième de mètre, à la fin des calculs.

1. aExplique pourquoi les deux virages mis bout à bout forment un cercle entier. Calcule ensuite la longueur de ce cercle, en m.
2. bCalcule la longueur d’un tour de piste, en m.
3. cClara court $5$ tours de piste. Calcule la distance qu’elle parcourt en m, puis donne-la en km.
4. dYanis écrit : « Un virage mesure $2 \times \pi \times 64 \div 2$. » Explique son erreur, puis calcule la bonne longueur d’un virage.

Ex. 34★★★Le plomb du vitrail rond — Le vitrail rond d’une chapelle est formé de deux cercles de même centre O. Le cercle intérieur a pour rayon $OA = 35$ cm. Le cercle extérieur a pour diamètre $EF = 100$ cm. Un fil de plomb suit chacun des deux cercles. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aCalcule la longueur du fil de plomb du cercle intérieur, puis celle du cercle extérieur, en cm.
2. bLe plomb se vend en rouleaux de $2$ m. Combien de rouleaux faut-il acheter pour les deux fils ? Justifie.
3. cInès affirme : « Le fil extérieur est plus long que le fil intérieur d’environ $3{,}14 \times 15 = 47{,}1$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
4. dPour un autre vitrail, on utilise un seul fil de $4{,}71$ m qui fait le tour d’un cercle. Calcule le rayon de ce cercle, en cm.

Ex. 35★★★La roue de mesure du jardinier — Pour mesurer les bords de ses massifs, Malik, jardinier à Colmar, pousse une roue de mesure. À chaque tour, la roue avance de sa propre longueur. Le diamètre de la roue est $MN = 40$ cm. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aCalcule la longueur de la roue de Malik, en cm, puis en m.
2. bUn massif de fleurs a la forme d’un demi-disque de diamètre [EF], avec $EF = 6$ m. Calcule le périmètre de ce massif, en m.
3. cMalik affirme : « Pour faire tout le tour du massif, ma roue fera moins de $12$ tours. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dJade, une voisine, a une autre roue de mesure. Elle fait $40$ tours le long d’une allée de $69{,}08$ m. Calcule le diamètre de la roue de Jade, en cm.

Ex. 36★★★Calculer l’aire d’un disque — Automatismes. Calcule l’aire de chaque surface. Prends $\pi \approx 3{,}14$. Arrondis au dixième.

1. aUn disque de rayon $3$ cm.
2. bUn disque de diamètre $18$ cm.
3. cUn disque de rayon $2{,}5$ m.
4. dUn demi-disque de rayon $1{,}2$ dm.
5. eUn quart de disque de rayon $2$ m.

Ex. 37★★★Valeur exacte, puis valeur approchée — Automatismes. Pour les trois premiers disques, donne la valeur exacte de l’aire (par exemple $10\pi\ \text{cm}^2$), puis sa valeur approchée avec $\pi \approx 3{,}14$, arrondie au dixième.

1. aUn disque de rayon $13$ cm.
2. bUn disque de rayon $11$ mm.
3. cUn rond-point de diamètre $30$ m.
4. dÀ rebours : un disque a une aire de $196\pi\ \text{cm}^2$ (valeur exacte). Quel est son rayon ?

Ex. 38★★★Repère et corrige l’erreur — Chaque élève s’est trompé. Explique l’erreur, puis fais le bon calcul. Prends $\pi \approx 3{,}14$. Arrondis au dixième.

1. aPour l’aire du disque de rayon $3{,}5$ cm dessiné ci-dessus, Lina écrit : $3{,}14 \times 3{,}5 \times 2 = 21{,}98\ \text{cm}^2$.
2. bPour l’aire d’une nappe ronde de diamètre $12$ dm, Hugo écrit : $3{,}14 \times 12 \times 12 = 452{,}16\ \text{dm}^2$.
3. cInès affirme : « Si on double le rayon d’un disque, son aire double. » Calcule l’aire des disques de rayons $8$ cm et $16$ cm, puis dis par combien l’aire est multipliée.

Ex. 39★★★L’allée autour du bassin — Dans un parc de Rodez, un bassin rond de centre O et de rayon $4$ m est entouré d’une allée de $1{,}5$ m de large. L’allée est la couronne entre les deux cercles. Prends $\pi \approx 3{,}14$. Arrondis au dixième.

1. aCalcule l’aire du bassin.
2. bCalcule l’aire de l’allée.
3. cZoé calcule l’aire de l’allée par $3{,}14 \times 1{,}5 \times 1{,}5$. Explique son erreur.
4. dUn sac de gravier couvre $500\ \text{dm}^2$. Combien de sacs faut-il acheter pour couvrir l’allée ?

Ex. 40★★★Vrai ou faux sur l’aire du disque — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aSacha affirme : « Un demi-disque de rayon $7$ cm a une aire d’environ $153{,}86\ \text{cm}^2$. »
2. b« Un disque de rayon $4{,}5$ dm a une aire d’environ $63{,}585\ \text{dm}^2$, soit $635{,}85\ \text{cm}^2$. »
3. cLe disque de diamètre [AB], avec AB $= 34$ cm, dessiné ci-dessous, a une aire d’environ $907{,}46\ \text{cm}^2$.
4. dPour un disque de rayon $2$ cm, Noé affirme : « L’aire du disque et la longueur du cercle valent toutes les deux $12{,}56\ \text{cm}^2$. »

Ex. 41★★★Le vitrail de Chartres — Un maître verrier de Chartres fabrique un vitrail carré ABCD de $40$ cm de côté. Un disque rouge de centre O touche les quatre côtés du carré. Les quatre coins sont en verre jaune. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aCalcule l’aire du carré ABCD.
2. bTrouve le rayon du disque rouge, puis calcule son aire.
3. cDéduis-en l’aire de la partie jaune
   (les quatre coins).
4. dConvertis l’aire de la partie jaune en $\text{dm}^2$, puis calcule le prix du verre jaune à $2{,}50$ € le $\text{dm}^2$.

Ex. 42★★★La pelouse de Maëlle — À Vannes, la pelouse de Maëlle est formée d’un rectangle ABCD, avec AB $= 19$ m et BC $= 10$ m, et de deux demi-disques de diamètres [BC] et [AD], collés à l’extérieur du rectangle sur ces deux côtés. Prends $\pi \approx 3{,}14$. Arrondis au dixième.

1. aExplique pourquoi les deux demi-disques forment ensemble un disque entier, puis donne le rayon de ce disque.
2. bCalcule l’aire totale de la pelouse.
3. cMaëlle veut poser une bordure tout autour de la pelouse. Calcule la longueur de cette bordure.
4. dUn sac d’engrais traite $1$ a de pelouse. Convertis l’aire de la pelouse en ares, puis dis combien de sacs acheter.
5. eUn arroseur placé en B arrose un quart de disque de centre B et de rayon $3$ m, à l’intérieur du rectangle. Calcule l’aire arrosée.

Ex. 43★★★Automatismes : découper pour calculer une aire — Calcule l'aire de chaque figure. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aLa maison ABCED est formée d'un rectangle ABCD de 7 cm sur 4 cm surmonté d'un triangle DCE de base [DC] et de hauteur EH = 2,6 cm. Calcule son aire.
2. bDans un carré de côté 10 cm, on découpe un disque qui touche les quatre côtés du carré. Calcule l'aire de ce qui reste.
3. cSur une largeur d'un rectangle de 11 cm sur 2 cm, on colle à l'extérieur un demi-disque dont le diamètre est cette largeur. Calcule l'aire de la figure obtenue.
4. dDans un coin d'un rectangle de 12 cm sur 5 cm, on découpe un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 4 cm et 3 cm. Calcule l'aire de ce qui reste.

Ex. 44★★★Automatismes : périmètre d'une figure composée — Calcule le périmètre de chaque figure. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aTous les angles de la figure RSTUVW sont droits ; RS = 8 cm, ST = 3 cm, VW = 5 cm et WR = 6 cm. Calcule son périmètre.
2. bSur une largeur d'un rectangle de 10 cm sur 4 cm, on colle à l'extérieur un demi-disque de diamètre 4 cm. Calcule le périmètre de la figure obtenue.
3. cSur un côté d'un carré de côté 5 cm, on colle à l'extérieur un triangle dont les trois côtés mesurent 5 cm. Calcule le périmètre de la figure obtenue.
4. dUn quart de disque a un rayon de 3 cm. Calcule le périmètre de ce quart de disque.

Ex. 45★★★Même aire, même périmètre ? — Le rectangle KLMN mesure 9 cm sur 4 cm. Le carré EFGH a la même aire que le rectangle KLMN.

1. aCalcule l'aire et le périmètre du rectangle KLMN.
2. bTrouve la longueur du côté du carré EFGH, puis calcule son périmètre.
3. cHugo affirme : « Ces deux figures ont la même aire, donc elles ont le même périmètre. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dMalo accole deux carrés comme EFGH par un côté. Il écrit : « $P = 24 + 24 = 48$ cm ». Corrige-le, puis calcule l'aire de la figure obtenue.

Ex. 46★★★Le gazon du jardin de Yanis — À Rodez, le jardin de Yanis est un rectangle DEFG de 24 m sur 15 m. Au milieu se trouve un bassin rond de centre O et de rayon 2 m. Yanis sème du gazon partout, sauf sur le bassin. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aCalcule l'aire du jardin en $\text{m}^2$, puis convertis-la en ares.
2. bCalcule l'aire du bassin, puis l'aire de la surface à semer.
3. cUn sac de graines permet de semer 40 $\text{m}^2$. Combien de sacs Yanis doit-il acheter ?
4. dUn sac coûte 12,50 €. Combien Yanis va-t-il payer ? Réponds par une phrase.

Ex. 47★★★Le champ de Mathis — Près de Chartres, Mathis cultive un champ ABECD. Il est formé d'un rectangle ABCD de 250 m sur 160 m et d'un triangle BEC. Le pied H de la hauteur issue de E est sur [BC], avec EH = 60 m. De plus, BE = CE = 100 m.

1. aDécoupe le champ et calcule son aire en $\text{m}^2$.
2. bConvertis l'aire du champ en hectares.
3. cMathis loue ce champ 210 € par hectare et par an. Combien paie-t-il par an ?
4. dMathis affirme : « L'aire du champ est la somme des aires du rectangle et du triangle, donc son périmètre est la somme de leurs périmètres. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
5. eMathis entoure son champ d'un grillage vendu en rouleaux de 25 m. Combien de rouleaux doit-il acheter ?

Ex. 48★★★La terrasse d'Inès — À Toulon, Inès carrelle sa terrasse. Elle est formée d'un carré PQRS de 6 m de côté. Un demi-disque de diamètre [QR] est collé à l'extérieur du carré, sur le côté [QR]. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aCalcule l'aire de la terrasse en $\text{m}^2$.
2. bUn carreau carré mesure 50 cm de côté. Calcule son aire en $\text{cm}^2$, puis en $\text{m}^2$.
3. cLes carreaux sont vendus par cartons de 8, à 29,90 € le carton. Combien de cartons faut-il acheter, et pour quel prix ?
4. dLéo calcule la longueur de la bordure qui fait le tour de la terrasse : $P = 4 \times 6 + 3{,}14 \times 6 \div 2 = 33{,}42$ m. Explique son erreur et calcule le bon périmètre.

Ex. 49★★★Le drapeau du club de Kenza — Pour la fête de son club à Lorient, Kenza découpe un drapeau dans un rectangle KLMN de 90 cm sur 60 cm. Elle retire le triangle LPM. La pointe P se trouve à 60 cm du bord [KN], et PL = PM = 42,4 cm.

1. aCalcule la hauteur du triangle LPM relative au côté [LM], puis l'aire du drapeau en $\text{cm}^2$.
2. bConvertis l'aire du drapeau en $\text{m}^2$.
3. cKenza dit : « J'ai enlevé un morceau au rectangle, donc le périmètre du drapeau est plus petit que celui du rectangle. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.
4. dKenza coud un ruban tout autour du drapeau. Le ruban est vendu au mètre entier, à 1,80 € le mètre. Combien de mètres achète-t-elle, et pour quel prix ?