Cinquième / Nombres relatifs

Ex. 1★★★Automatisme : l'opposé — Donne l'opposé de chaque nombre.

Ex. 2★★★Automatisme : la distance à zéro — Donne la distance à zéro de chaque nombre.

Ex. 3★★★Positif ou négatif ? — Pour chaque nombre, dis s'il est positif, négatif, ou ni l'un ni l'autre.

Ex. 4★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. aLa distance à zéro de $-17$ est $-17$.
2. b$-0$ est un nombre négatif.
3. c$-8{,}2$ et $8{,}2$ ont la même distance à zéro.
4. dLe nombre $19$ n'est pas positif, car il n'a pas de signe $+$.
5. eL'opposé de l'opposé de $-25$ est $25$.

Ex. 5★★★Sur la droite graduée — Voici une droite graduée.

1. aLis les abscisses des points $A$, $B$ et $C$.
2. bPlace le point $D$ dont l'abscisse est l'opposé de celle de $A$.
3. cParmi $A$, $B$ et $C$, quel point est le plus loin de l'origine ? Justifie avec les distances à zéro.
4. dTrouve les deux nombres dont la distance à zéro est $3{,}5$. Place les points $E$ et $F$ qui ont ces abscisses.

Ex. 6★★★La copie de Maëlle — Maëlle a rendu son devoir sur les nombres relatifs. Chaque phrase contient une erreur. Trouve-la, explique-la, puis écris la bonne réponse.

1. a« L’opposé de $-31$ est $-31$, car c’est déjà un nombre négatif. »
2. b« $-9$ est plus petit que $2$, donc la distance à zéro de $-9$ est plus petite que celle de $2$. »
3. c« $-7{,}2$ et $2{,}7$ sont opposés, donc ils ont la même distance à zéro. »
4. d« Si l’opposé d’un nombre est $-50$, alors ce nombre est négatif. »

Ex. 7★★★Qui suis-je ? — Réponds à chaque question. Justifie ta réponse en une ou deux phrases.

1. aNous sommes deux nombres entiers. Notre distance à zéro est plus grande que $6$ et plus petite que $8$. Qui sommes-nous ?
2. bJe suis un nombre négatif, et mon opposé a pour distance à zéro $13$. Qui suis-je ?
3. cJe suis un nombre entier plus petit que mon opposé, et ma distance à zéro est $1$. Qui suis-je ?
4. dÉcris tous les nombres entiers relatifs dont la distance à zéro est inférieure ou égale à $5$. Combien y en a-t-il ?
5. eInès affirme : « Un nombre et son opposé sont toujours différents. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Symétriques autour de l’origine — Reproduis cette droite graduée d’origine $O$. Tu y placeras les points demandés dans les questions.

1. aPlace le point $P$ d’abscisse $-1{,}5$, puis le point $Q$ tel que $O$ soit le milieu de $[PQ]$. Combien d’unités mesure $PQ$ ?
2. bLe point $R$ a une abscisse négative. Il est deux fois plus loin de l’origine que $P$. Quelle est l’abscisse de $R$ ? Place $R$.
3. cLe point $S$ est $5$ unités à droite de $R$. Sami dit : « $S$ a une abscisse positive, donc il est plus loin de l’origine que $R$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLes points $E$ et $F$ ont des abscisses opposées. $E$ est à gauche de l’origine, et $E$ et $F$ sont à $1$ unité l’un de l’autre. Trouve leurs abscisses, puis place-les.

Ex. 9★★★Lire des abscisses — Observe cette droite graduée.

1. aCombien y a-t-il d'intervalles entre $-2$ et $0$ ? Quel est le pas ?
2. bLis l'abscisse du point A.
3. cÀ quelle distance de l'origine se trouve le point B ? Quelle est son abscisse ?
4. dÉcris les abscisses de C et de D sous la forme C(…) et D(…).
5. eQuel point a pour abscisse $1$ ?

Ex. 10★★★Placer des points sans l'origine — L'origine n'apparaît pas sur cette droite graduée.

1. aCalcule le pas de cette droite.
2. bPlace le point M d'abscisse $-2{,}6$.
3. cPlace le point N d'abscisse $-1{,}4$.
4. dPlace le point R, 3 graduations à droite de $-3$, puis donne son abscisse.
5. eLe point S a pour abscisse $-2{,}9$. Entre quelles graduations se trouve-t-il ? Place-le.

Ex. 11★★★Les erreurs de Lucas — Lucas travaille sur cette droite graduée. Il fait une erreur à chaque question.

1. aLucas dit : « Entre $-1$ et $0$, je compte 6 traits, donc le pas vaut $1 \div 6$. » Corrige son erreur.
2. bPour placer W($-1{,}2$), Lucas part de $-1$ et avance d'une graduation vers la droite. Quelle abscisse a le point qu'il a placé ? Où doit-il placer W ?
3. cLe point Z est 8 graduations à gauche de l'origine. Lucas écrit Z($1{,}6$). Explique son erreur, puis donne l'abscisse de Z.

Ex. 12★★★Une semaine froide à Chamonix — Amira note la température chaque matin à Chamonix. Elle la représente sur une droite graduée en °C : L pour lundi, M pour mardi, J pour jeudi et V pour vendredi.

1. aQuelle température a-t-il fait lundi ?
2. bLe point M est entre deux graduations. Quelle température indique-t-il ?
3. cQuel jour a-t-il fait le plus froid ? Justifie avec la droite.
4. dCombien de degrés séparent la température de lundi et celle de jeudi ?

Ex. 13★★★Vrai ou faux sur une droite sans origine — Pour chaque phrase, réponds Vrai ou Faux et justifie.

1. a« Les nombres écrits sont des entiers, donc le pas vaut 1. »
2. b« Le point S a pour abscisse $-4{,}5$. »
3. c« T et l'origine sont séparés par 4 graduations. »
4. d« R est plus près de l'origine que T. »

Ex. 14★★★Enquête sur une droite sans origine — L'origine n'apparaît pas sur cette droite graduée. Seuls deux nombres sont écrits.

1. aExplique comment trouver le pas sans voir l'origine, puis donne sa valeur.
2. bLis les abscisses des points P, Q et R. Justifie chaque lecture.
3. cCombien de graduations séparent P de R ? Déduis-en la distance PR.
4. dLe point S est au milieu de [PR]. Quelle est son abscisse ? Entre quelles graduations se trouve-t-il ?
5. eSans la voir, à combien de graduations à droite de R se trouve l'origine ? Justifie.

Ex. 15★★★Les sauts de la grenouille — Une grenouille part de l'origine de cette droite graduée. Chacun de ses sauts mesure exactement 3 graduations.

1. aQuel est le pas de cette droite ? Quelle longueur fait un saut ?
2. bLa grenouille fait 2 sauts vers la gauche et arrive en F. Place F et donne son abscisse.
3. cDepuis F, elle fait 4 sauts vers la droite et arrive en G. Place G et donne son abscisse.
4. dMila place le point H($-3{,}5$) entre $-3$ et $-2$. Explique son erreur, puis place H correctement.
5. eEn partant de l'origine, la grenouille peut-elle atterrir sur H ? Justifie.

Ex. 16★★★La droite effacée de Zoé — Zoé a effacé presque tous les nombres de cette droite graduée. Il ne reste que deux nombres.

1. aCalcule le pas de cette droite en expliquant ta méthode.
2. bCombien de graduations séparent $-0{,}4$ de l'origine ? Déduis-en les abscisses de U et de V.
3. cZoé veut réécrire un nombre sous chaque graduation. Combien de nombres doit-elle encore écrire ? Justifie.
4. dLes points K et L sont tous les deux à $1$ unité de l'origine. Donne leurs abscisses et place-les.
5. eInès dit : « U est plus loin de l'origine que V, donc l'abscisse de U est la plus grande. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes : le bon symbole — Complète par $<$ ou $>$.

Ex. 18★★★Automatismes : entre deux entiers — Encadre chaque nombre entre deux nombres entiers consécutifs.

Ex. 19★★★Matin d’hiver dans le Nord — Voici les températures relevées un matin de janvier.

1. aRange ces quatre températures dans l’ordre décroissant.
2. bÀ Tromsø, il fait plus froid qu’à Reykjavik mais moins froid qu’à Helsinki. Propose une température possible pour Tromsø.
3. cÀ Québec, il fait $-4{,}2$ °C. Entre quelles villes du tableau se place Québec dans ton rangement ? Justifie.

Ex. 20★★★Les comparaisons de Malik — Malik a écrit ces phrases. Pour chacune : a-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.

1. a« $-13 > -8$ car $13 > 8$. »
2. b« Entre $-17$ et $-17{,}5$, le plus grand est $-17{,}5$ car il a des chiffres après la virgule. »
3. c« $-1{,}6 < +0{,}4$ car un nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif. »
4. d« $-0{,}85 < -2$ car $0{,}85 < 2$. »

Ex. 21★★★Lire, placer, intercaler — Voici une droite graduée.

1. aLis les abscisses des points A, B et C.
2. bPlace le point D d’abscisse $-1{,}8$ et le point E d’abscisse $-0{,}2$.
3. cÉcris trois nombres compris entre les abscisses de D et de A, rangés dans l’ordre croissant.

Ex. 22★★★Le nombre mystère d’Inès — Inès pense à un nombre entier relatif. Indice 1 : il est strictement compris entre $-7{,}4$ et $-2{,}3$. Indice 2 : sa distance à zéro est strictement supérieure à $5$.

1. aÉcris tous les nombres entiers strictement compris entre $-7{,}4$ et $-2{,}3$. Justifie pour le plus petit et pour le plus grand.
2. bParmi ces nombres, lesquels respectent aussi l’indice 2 ?
3. cInès ajoute un indice 3 : « Mon nombre est plus grand que $-6{,}5$. » Trouve son nombre. Justifie.
4. dLucas affirme : « Le nombre d’Inès est plus petit que $-6{,}05$, car $6 < 6{,}05$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 23★★★Les comptes du club de théâtre — Léa, trésorière du club, a noté le solde du compte à la fin de chaque mois.

1. aEn quel mois le solde était-il le plus proche de $0$ ? Justifie avec les distances à zéro.
2. bTom a écrit dans l’ordre décroissant : $-1 > -0{,}9 > -36{,}5 > -36{,}05$. Trouve ses deux erreurs et corrige son rangement.
3. cFin juillet, le solde est un nombre entier compris entre celui de mars et celui de mai. Est-ce possible ? Justifie avec un encadrement.
4. dPropose un solde au centime près strictement compris entre celui de mars et celui de mai. Justifie.

Ex. 24★★★La bataille des cartes relatives — Sacha et Nour jouent aux cartes. Chaque carte porte un nombre relatif. À chaque manche, chaque joueur pose une carte et le plus grand nombre gagne.

1. aNour affirme : « Avec la carte $-16$, je perds contre toute carte négative de distance à zéro plus petite que $16$. » A-t-elle raison ? Justifie avec un exemple.
2. bNour pose $-0{,}42$. Sacha peut jouer $-0{,}4$, $-1$ ou $-0{,}45$. Lesquelles de ses cartes gagnent ? Justifie.
3. cNour veut une carte qui bat $-2{,}4$ mais qui perd contre $-1{,}9$. Parmi $-2{,}04$ ; $-2{,}5$ ; $-1{,}85$ et $-2$, lesquelles conviennent ? Justifie.
4. dYanis rejoint la partie. Sacha pose $-15{,}3$, Nour $-15{,}03$ et Yanis $-15$. Classe les joueurs du gagnant au perdant. Justifie.

Ex. 25★★★Automatismes : additions de relatifs entiers — Calcule. Regarde d’abord les signes.

Ex. 26★★★Automatismes : additions avec des décimaux — Calcule.

Ex. 27★★★Additionner sur la droite graduée — Calcule à l’aide de la droite graduée : pars du premier nombre, puis avance vers la droite (nombre positif) ou recule vers la gauche (nombre négatif).

Ex. 28★★★Trouve l’erreur — Chaque élève s’est trompé. Explique son erreur, puis écris le bon résultat.

1. aLéna écrit : $(-9) + (-4) = -5$.
2. bYanis écrit : $(+3) + (-11) = +8$.
3. cSofia écrit : $(-6{,}5) + (-2{,}5) = +9$.
4. dNoé écrit : $(-15) + (+15) = -30$.

Ex. 29★★★Le score de Clara — À un jeu de cartes, Clara joue 6 manches. Ses points sont : $+12$ ; $-7$ ; $-5$ ; $+3$ ; $-12$ ; $+6$. Au début, son score est 0.

1. aCalcule la somme des points gagnés
   (les nombres positifs).
2. bCalcule la somme des points perdus
   (les nombres négatifs).
3. cDéduis-en le score final de Clara.
4. dClara dit : « Mon score est devenu négatif pour la première fois après la 5ᵉ manche. » A-t-elle raison ? Justifie en calculant son score après chaque manche.

Ex. 30★★★La pyramide de Malik — Malik construit une pyramide de 4 étages. Chaque brique contient la somme des deux briques sur lesquelles elle est posée. L’étage du bas contient, de gauche à droite : $-3{,}5$ ; $+1{,}5$ ; $-4$ ; $+4$.

1. aUne brique du 2ᵉ étage se trouve sans poser de calcul. Laquelle ? Justifie.
2. bCalcule les deux autres briques du 2ᵉ étage.
3. cCalcule les deux briques du 3ᵉ étage, puis la brique du sommet.
4. dTom remplace seulement la brique $+4$ de l’étage du bas par $-4$. Calcule la nouvelle brique du sommet.

Ex. 31★★★Le compte d’Inès — Cette semaine, sur le compte en banque d’Inès, on a enregistré les opérations suivantes (en €) : $+120$ ; $-48{,}5$ ; $-35$ ; $+48{,}5$ ; $-72$.

1. aParmi ces cinq opérations, laquelle modifie le plus le solde ? Justifie avec les distances à zéro.
2. bCalcule le total des cinq opérations en regroupant les termes de façon astucieuse.
3. cAu début de la semaine, le solde du compte d’Inès est de $-25$ €. Calcule son solde à la fin de la semaine.
4. dLundi suivant, Inès reçoit un virement de $15$ €. Son compte est-il encore à découvert (solde négatif) ? Justifie par un calcul.

Ex. 32★★★Vrai ou faux sur les sommes — Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifie par une règle du cours, un calcul ou un contre-exemple.

1. a« La somme de deux nombres négatifs est toujours un nombre négatif. »
2. b« $(-6{,}2) + (-1{,}8) = -4{,}4$ »
3. c« La somme d’un nombre positif et d’un nombre négatif est toujours positive. »
4. d« $(-9{,}5) + (+5{,}9) = 0$ »
5. e« $(+13) + (-21)$ et $(-13) + (+21)$ ont la même distance à zéro, mais pas le même signe. »

Ex. 33★★★Automatismes : soustraire un relatif — Calcule. Pense à ajouter l'opposé.

Ex. 34★★★Automatismes : écriture simplifiée — Écris chaque somme en écriture simplifiée, sans calculer.

1. a$(+5) - (-8) + (-2)$
2. b$(-4) + (+9) - (+6)$
3. c$(-1{,}2) - (-3{,}4) - (-0{,}6)$
4. d$(+7) + (-7) - (+10)$
5. e$(-15) - (+2) + (+11) - (-3)$

Ex. 35★★★Calculer astucieusement — Calcule chaque somme. Regroupe d'abord les nombres opposés ou les positifs et les négatifs.

Ex. 36★★★Les erreurs d'Inès et de Yanis — Inès doit calculer $A = (-6) - (-9) + (-4) - (+2)$. Elle écrit : $A = 6 + 9 - 4 - 2 = 9$.

1. aRepère l'erreur d'Inès dans son écriture simplifiée.
2. bÉcris correctement l'écriture simplifiée de $A$.
3. cCalcule $A$ en regroupant les positifs et les négatifs.
4. dYanis affirme que $-8 - 5 = 13$, car « deux moins donnent plus ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 37★★★Le compte de Malo — Le 1ᵉʳ mars, le compte de Malo affiche $-35$ €. Pendant le mois, il dépose 60 €, paie un vélo 42 €, reçoit un remboursement de 18 €, puis paie 25 € de cours de judo.

1. aÉcris le solde du compte à la fin du mois sous forme d'une somme algébrique simplifiée.
2. bCalcule ce solde en regroupant les positifs et les négatifs.
3. cCombien Malo doit-il déposer pour que son compte revienne à 0 € ?
4. dDe combien le solde a-t-il changé entre le 1ᵉʳ mars et la fin du mois ? Calcule-le par une soustraction.

Ex. 38★★★Le carré magique de Ben — Ben a construit un carré magique : les sommes des trois nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale sont toutes égales. Cette somme commune s'appelle la somme magique. Il a caché quatre cases A, B, C et D.

1. aCalcule la somme magique à l'aide de la première ligne.
2. bCalcule la somme de la diagonale qui part de $-5$. Est-ce cohérent avec la question précédente ? Justifie.
3. cL'autre diagonale contient $-1$, $-2$ et C. Calcule $(-1) + (-2)$, puis trouve C par une soustraction.
4. dTrouve A grâce à la première colonne, puis B grâce à la deuxième ligne. Justifie chaque calcul.
5. eTrouve D grâce à la deuxième colonne, puis vérifie que la dernière ligne a bien la somme magique.

Ex. 39★★★Températures à Oulan-Bator — À Oulan-Bator, Tsetseg relève la température le matin et l'après-midi. La variation d'un jour se calcule ainsi : température de l'après-midi $-$ température du matin.

1. aCalcule la variation de lundi en écrivant la soustraction. La température a-t-elle monté ou baissé ?
2. bCalcule les variations de mardi et de mercredi. Lequel de ces trois jours, de lundi à mercredi, a la plus forte hausse ?
3. cTsetseg affirme : « Jeudi, la température a monté de 3 °C. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
4. dVendredi matin, il fait 7 °C de moins que jeudi après-midi. Puis la température monte de 13,5 °C. Calcule la température de vendredi après-midi avec une somme algébrique.

Ex. 40★★★Le duel de cartes de Noam et Lila — Dans un jeu de cartes, chaque carte porte un nombre relatif. Après cinq tours, les scores sont :
$N = (-7) + (+3{,}5) - (+8) + (+11) + (-3{,}5)$ pour Noam ;
$L = (+6) - (-2) + (-11) - (-1) + (-9)$ pour Lila.

1. aÉcris $N$ en écriture simplifiée, puis calcule-le en repérant deux nombres opposés.
2. bÉcris $L$ en écriture simplifiée, puis calcule-le en regroupant les positifs et les négatifs.
3. cQui mène la partie ? Calcule son avance avec une soustraction.
4. dAu sixième et dernier tour, Noam tire la carte $(-5)$. Quelle carte Lila doit-elle tirer pour finir à égalité avec lui ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : traduire par un nombre relatif — Traduis chaque situation par un nombre relatif, avec son signe et son unité.

1. aIl fait 9 degrés sous zéro à Moscou.
2. bLa mer Morte est à 430 m sous le niveau de la mer.
3. cUn refuge est à 3 170 m au-dessus du niveau de la mer.
4. dLe compte de Lina est à découvert de 48 €.
5. eJules César est mort en 44 avant J.-C.
6. fUn ascenseur s'arrête au 3^e sous-sol.
7. gAu jeu, Sami gagne 15 points.

Ex. 42★★★Automatismes : écarts de températures — Calcule l'écart entre les deux températures (la plus haute moins la plus basse).

Ex. 43★★★Repère l'erreur — Chaque élève s'est trompé. Explique son erreur, puis donne la bonne réponse avec une phrase.

1. aTom : « Une plongeuse est à 18 m sous la surface de la mer, donc son altitude est $18$ m. »
2. bInès : « Le matin il fait $-5$ °C, l'après-midi $9$ °C : l'écart est de $4$ °C. »
3. cNoah : « J'avais 60 € sur mon compte, j'ai payé 85 €, mon solde est de $25$ €. »
4. dMaël : « Du 1^er janvier de l'an $-12$ au 1^er janvier de l'an $12$, il s'est écoulé 24 ans. »

Ex. 44★★★Tableau de températures — Le tableau donne la température le matin, sa variation dans la journée et la température le soir dans quatre villes.

1. aCalcule la température du soir à Oslo.
2. bCalcule la température du soir à Lyon.
3. cCalcule la variation de température à Québec.
4. dCalcule la température du matin à Lille.
5. eQuelle ville a eu le soir le plus froid ? Justifie.

Ex. 45★★★Le compte de Hugo — Hugo a 73 € sur son compte. Il paie un jeu à 49 €, puis des baskets à 41 €. Ensuite, sa grand-mère lui vire 32 €.

1. aCalcule le solde de Hugo après ses deux achats. Est-il à découvert ?
2. bCalcule le solde de Hugo après le virement de sa grand-mère.
3. cZoé a un solde de $-14$ € et reçoit 9 €. Est-elle encore à découvert ? Justifie.

Ex. 46★★★La station du lac salé — Une station de recherche est construite au bord d'un lac salé, à 37 m sous le niveau de la mer. Un sous-marin plonge dans le lac jusqu'à 64 m sous la station. Un hélicoptère vole 215 m au-dessus de la station.

1. aÉcris l'altitude de la station avec un nombre relatif.
2. bCalcule l'altitude du sous-marin quand il est au plus profond.
3. cLéo affirme : « L'hélicoptère vole à $215$ m d'altitude. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dCalcule la distance verticale entre l'hélicoptère et le sous-marin au plus profond.

Ex. 47★★★Le compte du club de handball — Le 1^er mai, le compte du club de handball de Saint-Malo affiche 226 €. En mai, le club paie d'abord des maillots à 348 €, puis il reçoit une subvention de 160 € et enfin il paie un car à 96 €.

1. aCalcule le solde du compte juste après l'achat des maillots. Le club est-il à découvert ?
2. bCalcule le solde du compte à la fin du mois de mai.
3. cÀ la fin du mois de mai, quelle somme le club doit-il recevoir, au minimum, pour que son solde revienne à 0 € ? Justifie.
4. dVrai ou faux ? « En mai, le solde du compte a baissé de 284 €. » Justifie par un calcul.

Ex. 48★★★Vrai ou faux dans la vie courante — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul et termine par une phrase avec l'unité.

1. a« À Ifrane, il fait $-16$ °C la nuit et $6$ °C l'après-midi : la température a augmenté de 10 °C. »
2. b« Un pont romain construit en 29 av. J.-C. a été rénové en 47 apr. J.-C. : 76 ans séparent ces deux dates. »
3. c« Une baleine est à l'altitude $-140$ m. Elle remonte de 95 m : elle est alors à l'altitude $-45$ m. »
4. d« Le compte de Yanis est à $-34$ €. Il dépose 53 € : il a maintenant 87 €. »
5. e« Le thermomètre passe de $-7{,}5$ °C à $-13$ °C : la température a baissé de 5,5 °C. »