Terminale maths expertes / Nombres complexes

Ex. 1★★★Développer et lire les parties — Écris chaque nombre sous forme algébrique, puis donne sa partie réelle et sa partie imaginaire.

1. a$(2 - 5\mathrm{i})(3 + \mathrm{i})$
2. b$(5 - 3\mathrm{i})^2$
3. c$\mathrm{i}(4 - 7\mathrm{i})$
4. d$(1 + 2\mathrm{i})(1 - 2\mathrm{i}) - 3\mathrm{i}(2 + \mathrm{i})$
5. e$(2 + \mathrm{i})^3$

Ex. 2★★★Puissances de i — Écris chaque nombre sous forme algébrique en utilisant le reste de la division de l'exposant par $4$.

1. a$\mathrm{i}^{2026}$
2. b$\mathrm{i}^{47}$
3. c$\mathrm{i}^{4n+3}$, où $n$ est un entier naturel
4. d$\mathrm{i}^{13} + \mathrm{i}^{14}$
5. e$(-\mathrm{i})^{7}$
6. f$S = 1 + \mathrm{i} + \mathrm{i}^2 + \mathrm{i}^3 + \dots + \mathrm{i}^{11}$

Ex. 3★★★Les erreurs de Léa — Léa écrit : « $(3 - 2\mathrm{i})^2 = 9 - 12\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2 = 13 - 12\mathrm{i}$, donc $\operatorname{Im}\big((3 - 2\mathrm{i})^2\big) = -12\mathrm{i}$. Et l'équation $z^2 = -36$ n'a aucune solution dans $\mathbb{C}$, car $z^2 \geqslant 0$. »

1. aRepère les deux erreurs de la première phrase, puis donne la bonne forme algébrique de $(3 - 2\mathrm{i})^2$ et sa partie imaginaire.
2. bExplique pourquoi l'argument « $z^2 \geqslant 0$ » n'a pas de sens dans $\mathbb{C}$. Appuie-toi sur un exemple.
3. cOn pose $z = x + \mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ réels. Écris $z^2$ sous forme algébrique, puis résous $z^2 = -36$ par identification.

Ex. 4★★★Binôme de Newton dans ℂ — On s'intéresse aux puissances du nombre complexe $1 - \mathrm{i}$.

1. aDéveloppe $(1 - \mathrm{i})^5$ avec la formule du binôme de Newton et écris le résultat sous forme algébrique.
2. bCalcule $(1 - \mathrm{i})^2$, puis $(1 - \mathrm{i})^4$, sous forme algébrique. Retrouve ainsi le résultat de la question précédente.
3. cDéduis-en la forme algébrique de $(1 - \mathrm{i})^{20}$, puis celle de $(1 - \mathrm{i})^{22}$.

Ex. 5★★★Réel ou imaginaire pur selon m — Pour tout réel $m$, on pose $z = (m + 2\mathrm{i})(3 - \mathrm{i})$.

1. aÉcris $z$ sous forme algébrique en fonction de $m$.
2. bDétermine le réel $m$ pour lequel $z$ est un réel, puis donne la valeur de $z$.
3. cDétermine le réel $m$ pour lequel $z$ est un imaginaire pur, puis donne la valeur de $z$.
4. dExiste-t-il un réel $m$ tel que $z = 0$ ? Justifie.

Ex. 6★★★Quand z² est-il réel ? — Soit $z$ un nombre complexe. On écrit $z = x + \mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ réels.

1. aExprime $\operatorname{Re}(z^2)$ et $\operatorname{Im}(z^2)$ en fonction de $x$ et $y$.
2. bDéduis-en tous les nombres complexes $z$ tels que $z^2$ soit réel. Justifie.
3. cDéduis-en tous les nombres complexes $z$ tels que $z^2$ soit un réel strictement négatif.
4. dRésous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 = \overline{z}$ en identifiant les parties réelles et imaginaires.

Ex. 7★★★Une somme de coefficients binomiaux — On pose $S = \dbinom{2030}{0} - \dbinom{2030}{2} + \dbinom{2030}{4} - \dots + (-1)^{p}\dbinom{2030}{2p} + \dots - \dbinom{2030}{2030}$ et $T = \dbinom{2030}{1} - \dbinom{2030}{3} + \dots + (-1)^{p}\dbinom{2030}{2p+1} + \dots + \dbinom{2030}{2029}$.

1. aÉcris $(1 + \mathrm{i})^2$ puis $(1 + \mathrm{i})^4$ sous forme algébrique.
2. bDéduis-en la forme algébrique de $(1 + \mathrm{i})^{2030}$, puis sa partie réelle et sa partie imaginaire.
3. cDéduis-en la forme algébrique de $(1 + \mathrm{i})^{2031}$.
4. dEn développant $(1 + \mathrm{i})^{2030}$ par le binôme, justifie que $\operatorname{Re}\big((1 + \mathrm{i})^{2030}\big) = S$ et $\operatorname{Im}\big((1 + \mathrm{i})^{2030}\big) = T$.
5. eDéduis-en les valeurs de $S$ et de $T$.

Ex. 8★★★Une suite de nombres complexes — On définit la suite $(z_n)$ par $z_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1} = \mathrm{i}z_n + 1$. On note $u_n = \operatorname{Re}(z_n)$ et $v_n = \operatorname{Im}(z_n)$.

1. aCalcule $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$ sous forme algébrique.
2. bDéduis-en $z_{2031}$, puis donne $\operatorname{Re}(z_{2031})$ et $\operatorname{Im}(z_{2031})$.
3. cExprime $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.
4. dDétermine, en posant $\ell = x + \mathrm{i}y$ avec $x$, $y$ réels, le complexe $\ell$ tel que $\ell = \mathrm{i}\ell + 1$.
5. eNadia affirme : « La somme $z_1 + z_2 + \dots + z_{2032}$ est un nombre réel. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 9★★★Calculer des conjugués — Donne la forme algébrique de chaque nombre.

1. a$\overline{4\mathrm{i} - 7}$
2. b$\overline{(1+2\mathrm{i})(3-\mathrm{i})}$
3. c$\overline{\mathrm{i}(5-2\mathrm{i})}$
4. d$z\overline{z}$ pour $z = 6 - \mathrm{i}$
5. e$\overline{z} + 2z$ pour $z = 1 + 4\mathrm{i}$
6. f$\overline{\left(\dfrac{2+\mathrm{i}}{1-3\mathrm{i}}\right)}$

Ex. 10★★★Réel, imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre — Donne la forme algébrique de chaque nombre, puis précise s'il est réel, imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre.

Ex. 11★★★Conclure sans développer — Dans cet exercice, pour conclure, tu calcules le conjugué de chaque nombre, sans chercher d'abord sa forme algébrique.

1. aDémontre que $A = (4+\mathrm{i})^7 - (4-\mathrm{i})^7$ est imaginaire pur.
2. bDémontre que $B = \frac{2+3\mathrm{i}}{5-\mathrm{i}} + \frac{2-3\mathrm{i}}{5+\mathrm{i}}$ est réel, puis calcule $B$.
3. cSoit $z \in \mathbb{C}$. Démontre que $C = z\overline{z} + \mathrm{i}(z - \overline{z})$ est réel.
4. dSoit $z \in \mathbb{C}$ et $D = z^2 - \overline{z}^{\,2}$. $D$ est-il réel ou imaginaire pur ? Justifie.

Ex. 12★★★Équations en z et en son conjugué — Résous dans $\mathbb{C}$ chaque équation. Pose $z = x + \mathrm{i}y$, avec $x$ et $y$ réels, puis identifie les parties réelles et imaginaires.

Ex. 13★★★Vrai ou faux sur le conjugué — Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie par une démonstration ou un contre-exemple.

1. aPour tout $z \in \mathbb{C}$, $\overline{(2+\mathrm{i})z} = (2+\mathrm{i})\,\overline{z}$.
2. bSi $z\overline{z} = 0$, alors $z = 0$.
3. cSi $z + \overline{z} = 0$ et $z \neq 0$, alors $z^2$ est un réel strictement négatif.
4. dPour tout $z \neq 0$, $\frac{z}{\overline{z}} + \frac{\overline{z}}{z}$ est réel.
5. eSi $z^2$ est réel, alors $z$ est réel.

Ex. 14★★★Un quotient imaginaire pur — Soit $z$ un nombre complexe tel que $z\overline{z} = 1$ et $z \neq -1$. On pose $Z = \frac{z - 1}{z + 1}$.

1. aJustifie que $z \neq 0$, puis exprime $\overline{z}$ en fonction de $z$.
2. bExprime $\overline{Z}$ à l'aide de $\overline{z}$, puis démontre que $\overline{Z} = -Z$. Déduis-en la nature de $Z$.
3. cApplication : on prend $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}\mathrm{i}$. Vérifie que $z\overline{z} = 1$, puis donne la forme algébrique de $Z$.
4. dRéciproque : soit $z \neq -1$ tel que $Z$ est imaginaire pur. Démontre que $z\overline{z} = 1$.

Ex. 15★★★L'erreur d'Inès, puis un système — Inès résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $\overline{z} + 2z = 9 - 2\mathrm{i}$. Elle écrit : « $\overline{z} + 2z = 3z$, donc $3z = 9 - 2\mathrm{i}$ et $z = 3 - \frac{2}{3}\mathrm{i}$ ».

1. aCalcule $\overline{z} + 2z$ pour la valeur trouvée par Inès. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bRésous correctement l'équation. Pose $z = x + \mathrm{i}y$, avec $x$ et $y$ réels.
3. cBen affirme que l'équation $z + \overline{z} = 4\mathrm{i}$ n'a aucune solution dans $\mathbb{C}$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dDétermine tous les complexes $z$ tels que $z\overline{z} = 25$ et $z - \overline{z} = 8\mathrm{i}$.

Ex. 16★★★Racines conjuguées d'un polynôme réel — Pour tout $z \in \mathbb{C}$, on pose $P(z) = z^3 + 13z - 34$.

1. aDémontre que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $\overline{P(z)} = P(\overline{z})$. Cite les propriétés du conjugué utilisées.
2. bVérifie que $4\mathrm{i} - 1$ est une racine de $P$.
3. cDéduis-en, sans calcul de $P$, une autre racine non réelle de $P$. Donne-la sous forme algébrique.
4. dCalcule la somme et le produit de ces deux racines. Déduis-en un trinôme $Q$ à coefficients réels qui s'annule en ces deux racines.
5. eDétermine le réel $r$ tel que $P(z) = (z - r)Q(z)$ pour tout $z$, puis résous $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$.

Ex. 17★★★Inverses sous forme algébrique — Écris chaque inverse sous forme algébrique $a + b\mathrm{i}$.

Ex. 18★★★Quotients sous forme algébrique — Écris chaque quotient sous forme algébrique $a + b\mathrm{i}$, sans $\mathrm{i}$ au dénominateur.

Ex. 19★★★Équations du premier degré en z — Résous chaque équation dans $\mathbb{C}$. Donne la solution sous forme algébrique.

1. a$(3 - \mathrm{i})z = 5 + 5\mathrm{i}$
2. b$\mathrm{i}z = 4 + 5\mathrm{i}$
3. c$(3 + 2\mathrm{i})z - \mathrm{i} = 2 + 3\mathrm{i}$
4. d$3z - 2\mathrm{i} = (1 + \mathrm{i})z + 4$

Ex. 20★★★L'erreur de Malo — Pour écrire $\frac{6 + 8\mathrm{i}}{2 + 4\mathrm{i}}$ sous forme algébrique, Malo divise la partie réelle par la partie réelle et la partie imaginaire par la partie imaginaire. Il trouve $3 + 2\mathrm{i}$.

1. aCalcule $(2 + 4\mathrm{i})(3 + 2\mathrm{i})$. Malo a-t-il raison ? Justifie.
2. bÉcris $\frac{6 + 8\mathrm{i}}{2 + 4\mathrm{i}}$ sous forme algébrique correcte.
3. cDétermine le réel $a$ tel que $\frac{a + 8\mathrm{i}}{2 + 4\mathrm{i}}$ soit un nombre réel. Donne ce réel.
4. dPour cette valeur de $a$, quel résultat la méthode de Malo donne-t-elle ? Conclus.

Ex. 21★★★Une équation avec z et son conjugué — On cherche les complexes $z$ tels que $2z + \mathrm{i}\,\overline{z} = 3 + 3\mathrm{i}$. On pose $z = x + \mathrm{i}y$, avec $x$ et $y$ réels.

1. aÉcris $2z + \mathrm{i}\,\overline{z}$ sous forme algébrique, en fonction de $x$ et $y$.
2. bDéduis-en un système de deux équations réelles, puis résous l'équation.
3. cSacha remplace $\overline{z}$ par $z$ et écrit $(2 + \mathrm{i})z = 3 + 3\mathrm{i}$. Calcule la valeur de $z$ qu'il obtient.
4. dCette valeur est-elle solution de l'équation de départ ? Justifie.

Ex. 22★★★Une équation avec un paramètre réel — Soit $m$ un nombre réel. On étudie l'équation $(E_m)$ : $z + m\overline{z} = 2 + 4\mathrm{i}$, d'inconnue $z \in \mathbb{C}$.

1. aOn pose $z = x + \mathrm{i}y$, avec $x$ et $y$ réels. Écris $z + m\overline{z}$ sous forme algébrique, en fonction de $x$, $y$ et $m$.
2. bVrai ou faux : pour une certaine valeur de $m$, $(E_m)$ a une solution réelle. Justifie.
3. cDémontre que $(E_1)$ et $(E_{-1})$ n'ont aucune solution dans $\mathbb{C}$.
4. dOn suppose $m \neq 1$ et $m \neq -1$. Résous $(E_m)$ et donne la solution sous forme algébrique, en fonction de $m$.
5. eDéduis-en la valeur de $m$ pour laquelle la solution de $(E_m)$ a une partie réelle égale à sa partie imaginaire. Donne cette solution.

Ex. 23★★★Un quotient, sa valeur interdite et ses équations — On considère le quotient $Q = \frac{z + 1}{z - 2\mathrm{i}}$, où $z$ est un nombre complexe.

1. aPour quelle valeur de $z$ le quotient $Q$ n'est-il pas défini ? Justifie.
2. bCalcule $Q$ pour $z = \mathrm{i}$. Donne le résultat sous forme algébrique.
3. cDémontre que l'équation $Q = 1 + \mathrm{i}$ se ramène à une équation de la forme $az = b$, puis résous-la dans $\mathbb{C}$.
4. dVrai ou faux : pour tout complexe $w$, l'équation $Q = w$ a au moins une solution. Justifie.

Ex. 24★★★Un système de deux équations dans ℂ — Hugo doit trouver deux nombres complexes $z$ et $w$ tels que $z + w = 4 + 2\mathrm{i}$ et $z - \mathrm{i}w = 1$.

1. aÉlimine $z$ entre les deux équations. Déduis-en que $w$ est solution d'une équation de la forme $aw = b$, en précisant les complexes $a$ et $b$.
2. bRésous cette équation et donne $w$ sous forme algébrique.
3. cDéduis-en $z$ sous forme algébrique, puis vérifie que le couple trouvé satisfait la seconde équation.
4. dBen remplace la seconde équation par $z - \mathrm{i}\,\overline{w} = 1$, la première restant la même. En posant $w = x + \mathrm{i}y$, démontre que ce nouveau système n'a aucune solution.

Ex. 25★★★Modules à la chaîne — Calcule le module de chaque nombre complexe.

Ex. 26★★★Découper avant de calculer — Sans développer, calcule le module de chaque nombre complexe.

1. a$A = (1 + 2\mathrm{i})(3 - \mathrm{i})$
2. b$B = \dfrac{6 + 8\mathrm{i}}{4 - 2\mathrm{i}}$
3. c$C = \left(1 + \mathrm{i}\sqrt{3}\right)^5$
4. d$D = (2 + \mathrm{i})^4$
5. e$E = (-3 + \mathrm{i})^2(1 - 2\mathrm{i})$
6. f$F = \dfrac{(5 + 5\mathrm{i})^3}{1 + 7\mathrm{i}}$

Ex. 27★★★L'erreur de Léo — On pose $z = 24 - 7\mathrm{i}$ et $z' = 4\mathrm{i}$. Léo écrit : « $\lvert z\rvert = 24 - 7 = 17$, donc $\lvert z + z'\rvert = \lvert z\rvert + \lvert z'\rvert = 17 + 4 = 21$. »

1. aExplique l'erreur de Léo dans le calcul de $\lvert z\rvert$, puis calcule $\lvert z\rvert$ correctement.
2. bÉcris $z + z'$ sous forme algébrique, puis calcule $\lvert z + z'\rvert$.
3. cCompare $\lvert z + z'\rvert$ et $\lvert z\rvert + \lvert z'\rvert$. Quelle autre erreur Léo a-t-il commise ? Justifie.

Ex. 28★★★Vrai ou faux sur le module — Vrai ou faux ? Justifie par une démonstration ou par un contre-exemple.

1. aPour tout complexe $z$, $\lvert z\rvert^2 = z^2$.
2. bPour tout complexe $z$, $\lvert z^2\rvert = \lvert z\rvert^2$.
3. cPour tout complexe $z$, $\lvert -\overline{z}\rvert = \lvert z\rvert$.
4. dPour tous complexes $z$ et $z'$, $\lvert z - z'\rvert = \lvert z\rvert - \lvert z'\rvert$.

Ex. 29★★★Un quotient de module 1 — On pose $z = \dfrac{2 + 5\mathrm{i}}{5 + 2\mathrm{i}}$.

1. aSans calculer la forme algébrique de $z$, démontre que $\lvert z\rvert = 1$.
2. bDéduis de la question 1 la valeur de $z\overline{z}$, sans calculer la forme algébrique de $z$.
3. cÉcris $z$ sous forme algébrique.
4. dDéduis-en, sans nouvelle division, la forme algébrique de $\frac{1}{z}$, puis donne $\lvert z^{2027}\rvert$.

Ex. 30★★★Module 1 et quotient imaginaire pur — Soit $z$ un nombre complexe différent de $1$. On pose $w = \frac{1 + z}{1 - z}$.

1. aOn suppose $\lvert z\rvert = 1$. Démontre que $\overline{z} = \frac{1}{z}$.
2. bOn suppose toujours $\lvert z\rvert = 1$. Exprime $\overline{w}$ à l'aide de $\overline{z}$, puis démontre que $\overline{w} = -w$. Déduis-en que $w$ est imaginaire pur.
3. cApplication : $z = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}\mathrm{i}$. Vérifie que $\lvert z\rvert = 1$, puis calcule $w$ sous forme algébrique.
4. dRéciproque : on suppose seulement que $w = t\mathrm{i}$ avec $t$ réel. Exprime $z$ en fonction de $w$, puis démontre que $\lvert z\rvert = 1$.

Ex. 31★★★Démontrer l'inégalité triangulaire — Dans cet exercice, $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes quelconques. On rappelle que $\lvert w\rvert^2 = w\overline{w}$ pour tout complexe $w$.

1. aDémontre que $\lvert z + z'\rvert^2 = \lvert z\rvert^2 + \lvert z'\rvert^2 + 2\operatorname{Re}(z\overline{z'})$.
2. bSoit $w = a + b\mathrm{i}$ avec $a$ et $b$ réels. Justifie que $\operatorname{Re}(w) \leqslant \lvert w\rvert$.
3. cDéduis des questions précédentes que $\lvert z + z'\rvert \leqslant \lvert z\rvert + \lvert z'\rvert$.
4. dDémontre que $\lvert z + z'\rvert^2 + \lvert z - z'\rvert^2 = 2\left(\lvert z\rvert^2 + \lvert z'\rvert^2\right)$.
5. eApplication : $z = -4$ et $z' = 3 - 2\mathrm{i}$. Compare $\lvert z + z'\rvert$ et $\lvert z\rvert + \lvert z'\rvert$, puis déduis $\lvert z - z'\rvert$ de la question 4.

Ex. 32★★★Une suite de puissances — On pose $q = \frac{1 + 3\mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}}$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_n = q^n$.

1. aCalcule la forme algébrique de $q$. Calcule ensuite $\lvert q\rvert$ de deux façons : avec cette forme algébrique, puis avec le module d'un quotient.
2. bExprime $\lvert u_n\rvert$ en fonction de $n$. Justifie la propriété utilisée.
3. cDétermine le plus petit entier $n$ tel que $\lvert u_n\rvert > 1000$.
4. dSans calculer $u_3$, détermine la valeur de $u_3 \times \overline{u_3}$.
5. eDétermine tous les réels $x$ tels que $\lvert (x - 2\mathrm{i}) \times u_4\rvert = 12$.

Ex. 33★★★Résoudre selon le signe de Δ — Résous dans $\mathbb{C}$ chaque équation. Donne les solutions sous forme algébrique.

1. aCalcule le discriminant de $z^2 - 2z + 26$, puis résous $z^2 - 2z + 26 = 0$.
2. bRésous $4z^2 + 4z + 5 = 0$. Attention au dénominateur $2a$.
3. cRésous $z^2 - 8z + 16 = 0$ et précise si la solution est réelle.
4. dRésous $z^2 + z - 6 = 0$ et précise la nature des solutions.
5. eRésous $3z^2 + 2z + 1 = 0$, puis contrôle avec le produit $\frac{c}{a}$.
6. fDétermine tous les complexes $z$ tels que $z^2 = -49$.

Ex. 34★★★Retrouver l'équation à partir des solutions — Dans chaque cas, calcule la somme $S$ et le produit $P$ des deux nombres. Écris ensuite une équation $z^2 - Sz + P = 0$ dont ils sont les solutions.

1. a$1 + 4\mathrm{i}$ et $1 - 4\mathrm{i}$.
2. b$-3 + \mathrm{i}$ et son conjugué.
3. c$2\mathrm{i}$ et $-2\mathrm{i}$.
4. d$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$ et son conjugué. Donne une équation à coefficients entiers.
5. e$\sqrt{2} + \mathrm{i}$ et $\sqrt{2} - \mathrm{i}$.

Ex. 35★★★L'erreur de Noé — Noé résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $9z^2 + 6z + 5 = 0$. Il écrit : « $\Delta = -144$, donc $\sqrt{\Delta} = 12$ et $z = \frac{-6 \pm 12}{18}$ », puis conclut que les solutions sont $-1$ et $\frac{1}{3}$.

1. aMontre en remplaçant que $-1$ n'est pas solution. Explique ensuite l'erreur de Noé.
2. bRésous correctement l'équation dans $\mathbb{C}$.
3. cInès, elle, propose $z_1 = -\frac{1}{3} + 12\mathrm{i}$. Explique pourquoi c'est faux.
4. dContrôle tes solutions avec le produit $\frac{c}{a}$. Écris ensuite $9z^2 + 6z + 5$ sous la forme $a(z - z_1)(z - z_2)$.

Ex. 36★★★Vrai ou faux sur le second degré — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul, une propriété ou un contre-exemple.

1. a« L'équation $z^2 + 4z + 5 = 0$ a pour solutions $-2 + \mathrm{i}$ et $2 - \mathrm{i}$. »
2. b« Si $5 - 2\mathrm{i}$ est solution de $az^2 + bz + c = 0$ avec $a$, $b$, $c$ réels, alors $5 + 2\mathrm{i}$ l'est aussi. »
3. c« L'équation $z^2 - 6z + 7 = 0$ a deux solutions non réelles dans $\mathbb{C}$. »
4. d« Si une équation du second degré a une solution non réelle, son conjugué est aussi solution. » Teste avec $z^2 - 3\mathrm{i}z - 2 = 0$ et $\mathrm{i}$.
5. e« Les deux solutions de $2z^2 + 3z + 4 = 0$ ont pour somme $\frac{3}{2}$ et pour produit $2$. »

Ex. 37★★★Une équation bicarrée — Pour $z \in \mathbb{C}$, on pose $P(z) = z^4 - 2z^2 - 8$ et $Z = z^2$.

1. aRésous dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z^2 - 2Z - 8 = 0$.
2. bDéduis-en toutes les solutions de $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$.
3. cÉcris $P(z)$ comme un produit de quatre facteurs du premier degré.
4. dRésous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4 + 10z^2 + 9 = 0$ par la même méthode. Vérifie l'une des solutions en remplaçant.

Ex. 38★★★Une famille d'équations à paramètre — Pour tout réel $m$, on note $(E_m)$ l'équation $z^2 - 4z + m = 0$, d'inconnue $z \in \mathbb{C}$.

1. aCalcule le discriminant de $(E_m)$ en fonction de $m$. Discute, selon $m$, le nombre et la nature (réelles ou non) des solutions.
2. bRésous $(E_3)$ puis $(E_{20})$ dans $\mathbb{C}$. Donne les solutions sous forme algébrique.
3. cPour $m > 4$, exprime en fonction de $m$ les solutions de $(E_m)$. On note $z_1$ celle dont la partie imaginaire est positive.
4. dDémontre que, pour $m > 4$, $\lvert z_1 \rvert^2 = m$. Déduis-en la valeur de $m$ pour laquelle $\lvert z_1 \rvert = 5$, puis donne $z_1$.
5. eDétermine le réel $m > 4$ pour lequel $z_1^2$ est un imaginaire pur. Vérifie ta réponse en remplaçant dans $(E_m)$.

Ex. 39★★★Forme canonique et démonstration du cours — On considère $P(z) = 2z^2 - 6z + 9$ pour $z \in \mathbb{C}$.

1. aÉcris $P(z)$ sous forme canonique $a(z - \alpha)^2 + \beta$, avec $\alpha$ et $\beta$ réels.
2. bÉcris $\frac{9}{4}$ sous la forme $-w^2$ avec $w$ imaginaire pur. Déduis-en une factorisation de $P(z)$, puis les solutions de $P(z) = 0$.
3. cRetrouve ces solutions à l'aide du discriminant, puis contrôle-les par la somme et le produit des racines.
4. dSoit $a$, $b$, $c$ réels, $a \neq 0$, avec $\Delta = b^2 - 4ac < 0$. Par la même méthode, démontre que $az^2 + bz + c = 0$ a deux solutions conjuguées $\frac{-b \pm \mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
5. eDéduis de la factorisation obtenue à la question précédente que $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \frac{c}{a}$.

Ex. 40★★★Un polynôme de degré 4 à coefficients réels — Pour $z \in \mathbb{C}$, on pose $P(z) = z^4 + 324$. On cherche toutes les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$.

1. aOn pose $Z = z^2$. Résous $Z^2 + 324 = 0$ dans $\mathbb{C}$. Explique pourquoi la méthode de l'équation bicarrée ne permet pas de conclure ici.
2. bCalcule $(3 + 3\mathrm{i})^2$ puis $(3 + 3\mathrm{i})^4$. Déduis-en que $3 + 3\mathrm{i}$ est une racine de $P$.
3. cDémontre que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $P\left(\overline{z}\right) = \overline{P(z)}$ et $P(-z) = P(z)$. Déduis-en trois autres racines de $P$.
4. dDétermine le polynôme $z^2 + pz + q$, avec $p$ et $q$ réels, dont les racines sont $3 + 3\mathrm{i}$ et $3 - 3\mathrm{i}$. Fais de même avec $-3 + 3\mathrm{i}$ et $-3 - 3\mathrm{i}$.
5. eDéduis-en une factorisation de $P(z)$ en produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels. Justifie que $P$ n'a pas d'autre racine.

Ex. 41★★★Racine ou pas ? — Pour chaque polynôme $P$ et chaque complexe $\alpha$, calcule $P(\alpha)$. Déduis-en si $\alpha$ est racine de $P$.

1. a$P(z)=z^3+z^2+z+1$ et $\alpha=-1$.
2. b$P(z)=z^3-3z^2+4$ et $\alpha=2$.
3. c$P(z)=z^2+49$ et $\alpha=7\mathrm{i}$.
4. d$P(z)=z^3+2z^2+5$ et $\alpha=1$.
5. e$P(z)=z^3-z^2+2z-2$ et $\alpha=\mathrm{i}$.
6. f$P(z)=z^4+16$ et $\alpha=-2\mathrm{i}$.

Ex. 42★★★Le facteur conjugué — Pour chaque complexe $\alpha$, écris $(z-\alpha)(z-\overline{\alpha})$ sous la forme $z^2+bz+c$, avec $b$ et $c$ réels.

Ex. 43★★★Une puissance moins une puissance — On considère le polynôme $P(z)=z^4-81$.

1. aÀ l'aide de l'identité $z^n-a^n=(z-a)(z^{n-1}+az^{n-2}+\dots+a^{n-1})$, factorise $P(z)$ par $z-3$.
2. bOn note $Q$ le quotient obtenu. Cherche une racine de $Q$ parmi $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, puis factorise $Q$ par identification.
3. cRésous l'équation $z^4=81$ dans $\mathbb{C}$.
4. dJustifie que l'équation $z^4=81$ n'a pas d'autre solution que celles que tu as trouvées.

Ex. 44★★★L'identification de Léna — Léna sait que $1$ est racine de $P(z)=z^3-5z^2+12z-8$. Elle écrit : $(z-1)(z^2+bz+c)=z^3+(b+1)z^2+(c+b)z+c$. Elle en déduit $b=-6$ et $c=18$. Elle résout $z^2-6z+18=0$ et conclut : $\mathcal{S}=\{3+3\mathrm{i}\,;3-3\mathrm{i}\}$.

1. aVérifie que $1$ est bien racine de $P$.
2. bDéveloppe correctement $(z-1)(z^2+bz+c)$ et repère l'erreur de Léna.
3. cQuelle équation de l'identification aurait dû alerter Léna ? Justifie.
4. dDétermine la bonne factorisation de $P$, puis résous $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$. Quel autre oubli Léna a-t-elle fait ?

Ex. 45★★★À la recherche de racines imaginaires pures — On considère $P(z)=z^4+2z^3+9z^2+8z+20$.

1. aSoit $y$ un réel. Écris $P(y\mathrm{i})$ sous forme algébrique.
2. bDéduis-en les racines imaginaires pures de $P$.
3. cJustifie que $P(z)=T(z)(z^2+bz+c)$, où $T$ est un trinôme à coefficients réels que tu préciseras. Détermine les réels $b$ et $c$.
4. dRésous $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$.

Ex. 46★★★Un paramètre à régler — Soit $m$ un réel. Pour tout complexe $z$, on pose $P(z)=z^3+mz^2+10z-12$.

1. aDétermine la valeur de $m$ pour laquelle $2$ est racine de $P$.
2. bDans la suite, $m$ prend la valeur trouvée à la question précédente. Détermine les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout complexe $z$, $P(z)=(z-2)(z^2+bz+c)$.
3. cRésous dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.
4. dCalcule le produit des trois solutions. Compare-le au terme constant de $P$, puis explique ce lien à l'aide de la factorisation.

Ex. 47★★★Une racine à dénicher — Pour tout complexe $z$, on pose $P(z)=z^4-4z^3+6z^2-4z+5$.

1. aCalcule $P(1)$, $P(-1)$, $P(2)$ et $P(\mathrm{i})$. Lesquels de ces nombres sont des racines de $P$ ?
2. bSans calculer $P(-\mathrm{i})$, démontre que $-\mathrm{i}$ est aussi une racine de $P$.
3. cDéduis-en que $P(z)$ se factorise par $z^2+1$. Détermine ensuite les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $z$, $P(z)=(z^2+1)(z^2+bz+c)$.
4. dRésous $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$. Justifie que tu as obtenu toutes les solutions.

Ex. 48★★★La somme de cubes d'Inès — Pour tout complexe $z$, on pose $P(z)=z^3+64$. On rappelle que $z^3-a^3=(z-a)(z^2+az+a^2)$ pour tous complexes $z$ et $a$. Inès écrit : « $z^3+64=z^3-4^3=(z-4)(z^2+4z+16)$ ».

1. aExplique l'erreur d'Inès. Factorise ensuite correctement $P(z)$ à l'aide du rappel.
2. bRésous l'équation $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$.
3. cCalcule le module de chacune des solutions. Que remarques-tu ?
4. dDéduis-en les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(z-1)^3+64=0$.
5. eLucas affirme : « un polynôme de degré $3$ à coefficients réels peut avoir trois racines distinctes, toutes non réelles. » A-t-il raison ? Justifie.