1re spécialité / Nombre dérivé

Ex. 1★★★Automatismes : taux de variation entre deux réels — Calcule le taux de variation de $f$ entre les deux réels donnés. Donne la valeur exacte.

1. a$f(x) = 3x^2 - 1$ entre $1$ et $3$.
2. b$f(x) = x^3$ entre $-2$ et $1$.
3. c$f(x) = \dfrac{6}{x}$ entre $2$ et $3$.
4. d$f(x) = \sqrt{x}$ entre $16$ et $25$.
5. e$f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 7$ entre $-4$ et $2$.
6. f$f(x) = x^2 + 2x$ entre $-3$ et $1$.

Ex. 2★★★Automatismes : taux entre a et a + h — Pour tout réel $h$ non nul, écris sous forme simplifiée le taux de variation $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$.

1. a$f(x) = x^2 + 5$ et $a = 3$.
2. b$f(x) = 4x - 1$ et $a = 2$.
3. c$f(x) = 2x^2 - x$ et $a = -1$.
4. d$f(x) = -x^2 + 3x$ et $a = 2$.
5. e$f(x) = \dfrac{3}{x}$ et $a = 1$ (avec $1 + h > 0$).

Ex. 3★★★Les erreurs d'Inès — Inès étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3$. Pour chaque calcul d'Inès, repère l'erreur puis corrige-la.

1. a« Entre $1$ et $4$ : $\frac{f(4) - f(1)}{1 - 4} = \frac{15}{-3} = -5$. » Explique l'erreur et donne le bon taux.
2. b« $f(-2 + h) = 4 + h^2 - 3 = 1 + h^2$, donc le taux entre $-2$ et $-2 + h$ vaut $h$. » Corrige ce calcul.
3. c« $f(-3) = -3^2 - 3 = -12$, donc le taux entre $-3$ et $0$ vaut $3$ : la sécante monte. » Corrige, puis conclus.
4. d« Pour tout réel $h$, $f(1 + h) = f(1) + h$. » Montre avec $h = 1$ que c'est faux.

Ex. 4★★★Une sécante et son équation — Soit $f(x) = x^3 - 2x$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. On note $A$ et $B$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $-1$ et $2$.

1. aCalcule les coordonnées de $A$ et de $B$.
2. bCalcule le coefficient directeur de la sécante $(AB)$.
3. cDonne une équation de la droite $(AB)$.
4. d$D$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $0$. La sécante $(AD)$ monte-t-elle ou descend-elle ? Justifie.

Ex. 5★★★La vitesse moyenne de Malik — À vélo, Malik a parcouru $d(t) = 0{,}5t^2 + 4t$ mètres au bout de $t$ secondes, pour $0 \leqslant t \leqslant 20$.

1. aCalcule sa vitesse moyenne entre $t = 0$ et $t = 10$.
2. bCalcule sa vitesse moyenne entre $t = 10$ et $t = 20$.
3. cPour tout réel $h$ non nul (avec $0 \leqslant 4 + h \leqslant 20$), exprime sa vitesse moyenne entre $4$ et $4 + h$.
4. dDéduis-en sa vitesse moyenne entre $4$ s et $4{,}1$ s.

Ex. 6★★★Vrai ou faux sur les sécantes — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. aSi $f(x) = x^2 - 6x$, le taux de variation de $f$ entre $1$ et $5$ est nul, donc $f$ est constante sur $[1\,;5]$.
2. bPour $g(x) = -3x + 2$, le taux de variation de $g$ entre deux réels distincts $a$ et $b$ vaut toujours $-3$.
3. cPour $k(x) = \frac{4}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$, la sécante passant par les points d'abscisses $1$ et $2$ a pour coefficient directeur $2$.
4. dPour une fonction $p$, si $p(0) = -1$ et si le taux de variation de $p$ entre $0$ et $2$ vaut $3$, alors $p(2) = 5$.

Ex. 7★★★Les pentes des sécantes en Python — Soit $f(x) = x^3 + x$ et $A(1\,;2)$ sur $\mathcal{C}_f$. Ben écrit ce programme : def f(x): return x**3 + x a = 1 pentes = [] for h in [1, 0.1, 0.01, 0.001]: pentes.append(round((f(a + h) - f(a)) / h, 4)) print(pentes)

1. aQue représente chaque nombre de la liste pentes pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
2. bMontre que, pour tout réel $h$ non nul, le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$ vaut $4 + 3h + h^2$.
3. cDéduis-en la liste affichée par le programme.
4. dVers quelle valeur ces pentes semblent-elles se rapprocher quand $h$ devient proche de $0$ ?

Ex. 8★★★Les sécantes d'une parabole — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 1$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aMontre que, pour tous réels distincts $a$ et $b$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ vaut $a + b - 4$.
2. bDéduis-en le taux de $f$ entre $-3$ et $5$. Vérifie-le en calculant $f(-3)$ et $f(5)$ séparément. La sécante monte-t-elle ?
3. cDétermine le réel $b$ tel que la sécante entre $1$ et $b$ soit parallèle à la droite $d : y = 3x - 7$.
4. dMontre que la sécante entre $a$ et $b$ est horizontale si et seulement si $a + b = 4$. Vérifie-le avec $a = -1$, puis donne une équation de cette sécante.
5. eMontre que les sécantes entre $0$ et $2$ et entre $-3$ et $5$ sont parallèles. Sont-elles confondues ? Justifie.

Ex. 9★★★La balle de Yanis — Yanis lance une balle vers le haut. Au bout de $t$ secondes, elle est à la hauteur $z(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$ mètres, pour $0 \leqslant t \leqslant 4$.

1. aCalcule la vitesse moyenne de la balle entre $t = 0$ et $t = 1$, avec son unité.
2. bNoé affirme : « Entre $t = 1$ et $t = 3$, la vitesse moyenne est nulle, donc la balle n'a pas bougé. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule la vitesse moyenne entre $t = 3$ et $t = 4$. Que traduit son signe ?
4. dMontre que, pour tout réel $h$ non nul tel que $-2 \leqslant h \leqslant 2$, la vitesse moyenne entre $2$ et $2 + h$ vaut $-5h$.
5. eDéduis-en le signe de cette vitesse moyenne selon que $h > 0$ ou $h < 0$, puis interprète-le pour le mouvement de la balle.

Ex. 10★★★Les sécantes de la racine carrée — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aCalcule le taux de variation de $f$ entre $9$ et $1$
   (dans cet ordre).
2. bMontre que, pour tous réels positifs et distincts $a$ et $b$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ vaut $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.
3. cDéduis-en que toutes les sécantes de $\mathcal{C}_f$ montent. Avec ce résultat, compare les pentes des sécantes entre $1$ et $4$ et entre $36$ et $49$.
4. dZoé écrit : « $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{1 + \sqrt{h} - 1}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h}$ ». Repère son erreur, puis donne le bon taux simplifié pour $h > 0$.

Ex. 11★★★Automatismes : simplifier le taux — Pour tout réel $h$ non nul (et $h \neq -6$ au dernier item), calcule et simplifie le taux de variation $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$.

1. a$f(x) = 5x + 2$ et $a = -1$.
2. b$f(x) = x^2 + 3x$ et $a = 1$.
3. c$f(x) = -x^2$ et $a = -2$.
4. d$f(x) = x^3$ et $a = 3$ (développe $(3 + h)^3$).
5. e$f(x) = \frac{3}{x}$ et $a = 6$
   (réduis au même dénominateur).

Ex. 12★★★Automatismes : du taux au nombre dérivé — Dans chaque item, $h$ désigne un réel non nul. Réponds sans calculatrice.

1. aLe taux de $f$ entre $3$ et $3 + h$ vaut $7 - 2h$. Donne $f'(3)$.
2. bOn sait que $k(2 + h) - k(2) = 3h - h^2$. Donne $k'(2)$.
3. cPour $h \neq -1$, le taux de $g$ entre $-1$ et $-1 + h$ vaut $\frac{-3}{1 + h}$. Donne $g'(-1)$.
4. dLe taux de $u$ entre $5$ et $5 + h$ vaut $10 + h$. Lina écrit $u'(5) = 10 + h$. Corrige-la.
5. e$m(4) = 9$ et le taux de $m$ entre $4$ et $4 + h$ vaut $2 + 3h$. Ilyes affirme : « $m'(4) = 9$ ». A-t-il raison ? Justifie.
6. f$p(x) = -5$ pour tout réel $x$. Calcule le taux de $p$ entre $a$ et $a + h$, puis $p'(a)$.

Ex. 13★★★Nombre dérivé d'un polynôme par la définition — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - x + 3$, et $a = -1$.

1. aCalcule $f(-1)$.
2. bDéveloppe et réduis $f(-1 + h)$.
3. cTom remplace directement $h$ par $0$ dans $\frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$. Qu'obtient-il ? Explique pourquoi c'est une impasse.
4. dPour tout réel $h$ non nul, factorise $f(-1 + h) - f(-1)$ par $h$, puis simplifie le taux.
5. eConclus : $f$ est-elle dérivable en $-1$ ? Donne $f'(-1)$.

Ex. 14★★★Conjecturer avec un tableau, puis prouver — On considère $f(x) = x^3 + x$. Le tableau donne le taux $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ pour quelques valeurs de $h$ ; une case manque.

1. aCalcule $f(1)$ et $f(0{,}9)$, puis la valeur manquante du tableau
   ($h = -0{,}1$).
2. bVers quel nombre le taux semble-t-il tendre quand $h$ tend vers $0$, avec $h$ positif ou négatif ?
3. cSacha affirme : « Le tableau prouve la valeur de $f'(1)$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dDéveloppe $(1 + h)^3$, simplifie le taux pour tout réel $h$ non nul, puis conclus sur $f'(1)$.

Ex. 15★★★Pentes des sécantes en Python — On étudie $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 9$ (quantité conjuguée : approfondissement). Ben écrit ce programme, qui affiche 0.1623, 0.1662, 0.1666 puis 0.1667.from math import sqrt def f(x): return sqrt(x) a = 9 for h in [1, 0.1, 0.01, 0.001]: print(round((f(a + h) - f(a)) / h, 4))

1. aQue représente, pour la courbe $\mathcal{C}_f$, chacun des nombres affichés ?
2. bModifie une ligne du programme pour tester $h = -0{,}1$ ; $-0{,}01$ ; $-0{,}001$.
3. cPour $h \neq 0$ et $h \geqslant -9$, multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{9 + h} + 3$ pour montrer que le taux vaut $\frac{1}{\sqrt{9 + h} + 3}$.
4. dConclus : $f$ est-elle dérivable en $9$ ? Donne $f'(9)$ et compare-le aux affichages.

Ex. 16★★★Racine carrée et valeur absolue en 0 — On pose $f(x) = 3\sqrt{x}$ pour $x \geqslant 0$, et $g(x) = |x|$ pour tout réel $x$, avec $|x| = x$ si $x \geqslant 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.

1. aPour $h > 0$, simplifie le taux de variation de $f$ entre $0$ et $h$.
2. bCalcule ce taux pour $h = 0{,}01$ puis pour $h = 0{,}000\,1$. Conclus sur la dérivabilité de $f$ en $0$.
3. cCalcule le taux de variation de $g$ entre $0$ et $h$, pour $h > 0$ puis pour $h < 0$.
4. dNadia affirme : « $g$ est définie en $0$, donc elle est dérivable en $0$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 17★★★Corriger une erreur sur un quotient — On considère $f(x) = \frac{6}{x}$ et $a = 3$, avec $h \neq 0$ et $h \neq -3$. Hugo écrit : $f(3 + h) - f(3) = \frac{6}{3 + h} - 2 = \frac{4}{3 + h}$.

1. aExplique l'erreur de Hugo, puis calcule correctement $f(3 + h) - f(3)$ en réduisant au même dénominateur.
2. bSimplifie le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3 + h$.
3. cConclus : $f$ est-elle dérivable en $3$ ? Donne $f'(3)$.
4. dÀ l'aide de $f(3 + h) \approx f(3) + h \times f'(3)$ avec $h = -0{,}03$, donne une valeur approchée de $\frac{6}{2{,}97}$.

Ex. 18★★★Vitesse instantanée d'un chariot — Un chariot roule sur un rail. Sa position, en mètres, à l'instant $t$ (en secondes) est $d(t) = t^3 + 2t$ pour $t \geqslant 0$.

1. aCalcule la vitesse moyenne du chariot entre $t = 2$ et $t = 3$.
2. bDéveloppe $(2 + h)^3$. Montre ensuite que, pour tout réel $h$ non nul avec $h \geqslant -2$, le taux de variation de $d$ entre $2$ et $2 + h$ vaut $14 + 6h + h^2$.
3. cNoah écrit : « $d(2) = 12$, donc la vitesse à $t = 2$ est $12$ m/s ». Inès écrit : « la vitesse à $t = 2$ est $14 + 6h + h^2$ m/s ». Corrige-les tous les deux, puis conclus.
4. dAvec l'approximation $d(2 + h) \approx d(2) + h \times d'(2)$, donne une valeur approchée de $d(1{,}9)$. Calcule ensuite $d(1{,}9)$ et l'erreur commise.

Ex. 19★★★Tangentes parallèles à une droite — On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x) = \frac{2}{x}$, sa courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $d$ d'équation $y = -0{,}5x + 4$. Dans les deux premières questions, $a$ est un réel non nul.

1. aPour tout réel $h$ non nul avec $h \neq -a$, montre en réduisant au même dénominateur que $f(a + h) - f(a) = \frac{-2h}{a(a + h)}$.
2. bDéduis-en que $f$ est dérivable en $a$ et exprime $f'(a)$ en fonction de $a$.
3. cDétermine les points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à $d$. Donne une équation de chacune de ces tangentes.
4. dVrai ou faux : « $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale en au moins un point ». Justifie.

Ex. 20★★★Une rampe : dérivable ou pas en 1 ? — Le profil d'une rampe est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = 1$ si $0 \leqslant x \leqslant 1$ et $f(x) = 2\sqrt{x} - 1$ si $x > 1$. Pour $h > 0$, Zoé calcule le taux entre $1$ et $1 + h$ (valeurs arrondies) :

1. aPour $h > 0$, montre à l'aide de la quantité conjuguée (approfondissement) que le taux de $f$ entre $1$ et $1 + h$ vaut $\frac{2}{\sqrt{1 + h} + 1}$.
2. bDéduis-en la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$ avec $h > 0$.
3. cPour $-1 \leqslant h < 0$, calcule le taux de $f$ entre $1$ et $1 + h$, puis sa limite quand $h$ tend vers $0$.
4. dZoé a-t-elle raison d'affirmer que $f$ est dérivable en $1$ ? Justifie, et explique pourquoi son tableau ne suffisait pas.

Ex. 21★★★Lire f(a) et f′(a) avec deux points de la tangente — Automatismes. Donne les résultats sous forme de valeurs exactes.

1. aLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(2\,;1)$ passe par $B(4\,;7)$. Donne $f(2)$ et $f'(2)$.
2. bLa tangente à $\mathcal{C}_g$ au point $A(-1\,;4)$ passe par $B(1\,;-2)$. Calcule $g'(-1)$.
3. cLa tangente à $\mathcal{C}_u$ au point $A(3\,;-5)$ passe par $B(0\,;-5)$. Donne $u(3)$ et $u'(3)$.
4. dLa tangente à $\mathcal{C}_k$ au point $A(1\,;2)$ passe par $B(-3\,;0)$. Calcule $k'(1)$.
5. eAu point $A(0\,;-3)$ de $\mathcal{C}_m$, la tangente monte de $2$ quand on avance de $5$. Donne $m(0)$ et $m'(0)$.
6. fLa tangente à $\mathcal{C}_p$ en $A(-2\,;0)$ passe par $B(-1\,;-4)$. Zoé dit : « $p(-2) = 0$, donc $p'(-2) = 0$ ». Corrige-la.

Ex. 22★★★Pente d'une tangente donnée par une droite — Automatismes. Dans chaque question, $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}_f$ est sa courbe.

1. aLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$ est parallèle à la droite d'équation $y = 3x - 7$. Donne $f'(2)$.
2. bLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(-1\,;6)$ est parallèle à l'axe des abscisses. Donne $f(-1)$ et $f'(-1)$.
3. cLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(0\,;3)$ a pour équation $y = 3 - 2x$. Donne $f'(0)$.
4. dLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $5$ est parallèle à la droite d'équation $x + 4y = 2$. Donne $f'(5)$.
5. eLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(3\,;2)$ passe par l'origine $O$. Calcule $f'(3)$.
6. fLa tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(4\,;-2)$ a pour équation $y = -\frac{1}{2}x$. Donne $f(4)$ et $f'(4)$.

Ex. 23★★★Les erreurs de Lina et Tom — Lina étudie une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par $A(1\,;2)$ et $C(3\,;12)$. Les tangentes à $\mathcal{C}_f$ en $A$ et en $C$ se coupent au point $B(2\,;5)$.

1. aLina écrit : $f'(1) = \frac{12 - 2}{3 - 1} = 5$. Que représente en réalité ce nombre $5$ ?
2. bCalcule correctement $f'(1)$.
3. cTom affirme : « la tangente en $A$ passe par $B(2\,;5)$, donc $f'(2) = 5$ ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dTom ajoute : « $B$ est sur la tangente en $A$ et sur la tangente en $C$, donc ces deux tangentes sont parallèles ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 24★★★Vrai ou faux sur des tangentes — La courbe $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ passe par $A(-2\,;1)$ et $F(0\,;3)$. La tangente à $\mathcal{C}_g$ en $A$ passe par $B(-4\,;5)$, et la tangente en $F$ passe par $G(1\,;1)$. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a« $g'(-2) = \dfrac{5 - 1}{-2 - (-4)} = 2$ ».
2. b« La tangente en $A$ descend, donc $g(-2) < 0$ ».
3. c« Les tangentes à $\mathcal{C}_g$ en $A$ et en $F$ sont parallèles ».
4. d« La tangente à $\mathcal{C}_g$ en $A$ passe par le point $H(1\,;-5)$ ».

Ex. 25★★★Exploiter un tableau de valeurs de f et de f′ — Une fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On donne quelques valeurs de $f(x)$ et de $f'(x)$ :

1. aEn quels points de $\mathcal{C}_f$ du tableau la tangente est-elle horizontale ? Donne leurs coordonnées.
2. bInès affirme : « $f(0) = 0$, donc la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $O$ est horizontale ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cQuelles tangentes du tableau sont parallèles entre elles ? Laquelle est parallèle à la droite d'équation $y = 5 - 12x$ ?
4. dDonne les coordonnées du point d'abscisse $4$ de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $3$.

Ex. 26★★★La balle de Nadia : vitesse moyenne ou instantanée — Nadia lance une balle vers le haut. Son altitude, en mètres, au bout de $t$ secondes est $z(t)$. La courbe de $z$ passe par $A(1\,;20)$ et $C(3\,;30)$. La tangente en $A$ passe par $B(2\,;35)$ et la tangente au point $S(2{,}5\,;31{,}25)$ est horizontale.

1. aCalcule la vitesse moyenne de la balle entre $t = 1$ et $t = 3$.
2. bCalcule la vitesse instantanée $z'(1)$ de la balle à $t = 1$.
3. cQue vaut la vitesse instantanée à $t = 2{,}5$ ? Que vaut l'altitude à cet instant ?
4. dLa tangente au point $T(4\,;20)$ passe par $U(5\,;5)$. Calcule $z'(4)$ et interprète son signe.

Ex. 27★★★Coût marginal et graduations — Produire $q$ objets coûte $C(q)$ euros. Sur le graphique de Léo, un carreau vaut $10$ objets en abscisse et $100$ € en ordonnée. La courbe de $C$ passe par $A(20\,;900)$ et la tangente en $A$ passe par $B(50\,;1\,500)$.

1. aLéo écrit : « de $A$ à $B$, on avance de $3$ carreaux et on monte de $6$, donc $C'(20) = 2$ ». Explique son erreur et donne $C'(20)$.
2. bInterprète $C'(20)$ en termes de coût marginal.
3. cSans calculatrice, donne une valeur approchée de $C(21)$.
4. dLa tangente au point d'abscisse $60$ est parallèle à la droite d'équation $y = 12x + 300$. Compare les coûts marginaux pour $20$ et $60$ objets.

Ex. 28★★★Retrouver une parabole avec ses tangentes — La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels inconnus. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par $A(0\,;3)$. La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ passe par $B(2\,;-1)$. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

1. aDonne $c$. Puis lis $f'(0)$ à l'aide des points $A$ et $B$.
2. bMontre que, pour tout réel $h$ non nul, $\frac{f(h) - f(0)}{h} = ah + b$. Déduis-en la valeur de $b$.
3. cExprime le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$ en fonction de $a$, $b$ et $h$. Utilise la tangente au point d'abscisse $1$ pour trouver $a$.
4. dKenza affirme : « la tangente au point d'abscisse $1$ est horizontale, donc c'est l'axe des abscisses ». A-t-elle raison ? Justifie et donne l'équation de cette tangente.
5. eLe point $E(3\,;6)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ? La tangente en $E$ est-elle parallèle à la droite d'équation $y = 4x$ ? Justifie.

Ex. 29★★★Une tangente qui se redresse jusqu'à la verticale — La fonction $f$ est définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = 3\sqrt{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(4\,;6)$ passe aussi par $B(8\,;9)$. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $O(0\,;0)$ est l'axe des ordonnées.

1. aLis $f'(4)$ à l'aide de $A$ et $B$. Donne ensuite l'équation de la tangente en $A$.
2. bMontre que, pour tout réel $h$ non nul avec $h > -4$, $\frac{f(4 + h) - f(4)}{h} = \frac{3}{\sqrt{4 + h} + 2}$. Retrouve ainsi $f'(4)$.
3. cSans calculatrice, donne une valeur approchée de $3\sqrt{4{,}08}$ grâce à l'approximation affine en $4$.
4. dMontre que, pour tout $h > 0$, le taux de variation de $f$ entre $0$ et $h$ vaut $\frac{3}{\sqrt{h}}$. Calcule-le pour $h = 0{,}01$, $h = 0{,}0001$ et $h = 0{,}000001$.
5. eMalo dit : « en $O$, la tangente est l'axe des ordonnées, donc $f'(0) = 0$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 30★★★Cinq tangentes à identifier — La courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ passe par $A$, $B$, $C$, $D$ et $E(1\,;-1)$. Le tableau donne chaque point de contact et un autre point de la tangente en ce point :

1. aÀ l'aide du tableau, calcule $f'(-2)$, $f'(-1)$, $f'(0)$ et $f'(2)$.
2. bEma écrit : « la tangente en $B$ est la droite d'équation $y = 3$, donc $f'(-1) = 3$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDonne une équation de la tangente en $C$. Est-ce la droite d'équation $y = -3x + 5$ ? Justifie.
4. dOn admet que $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Montre que, pour $h \neq 0$, $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = h^2 + 3h$. Déduis-en $f'(1)$ et la tangente en $E$.
5. eNora décrit trois tangentes : (1) horizontale et sous l'axe des abscisses ; (2) qui descend ; (3) qui monte de $9$ quand on avance de $1$. Associe à chacune les points concernés.

Ex. 31★★★Automatismes : écrire la tangente — Dans chaque cas, $f$ est dérivable en $a$. Donne l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$, puis contrôle avec $x = a$.

1. a$a = 3$, $f(3) = 5$ et $f'(3) = 2$.
2. b$a = -2$, $f(-2) = 1$ et $f'(-2) = 3$.
3. c$a = 0$, $f(0) = -4$ et $f'(0) = 5$.
4. d$a = 1$, $f(1) = 7$ et $f'(1) = 0$.
5. e$a = -3$, $f(-3) = -2$ et $f'(-3) = -\dfrac{1}{2}$.
6. f$a = 4$, $f'(4) = -3$ et $f(4) = 6$.

Ex. 32★★★Automatismes : lecture inverse — La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a l'équation réduite donnée. Donne $f'(a)$ et $f(a)$.

1. a$a = 2$ et $y = 3x - 1$.
2. b$a = -1$ et $y = -2x + 4$.
3. c$a = 0$ et $y = 7x - 3$.
4. d$a = 5$ et $y = -4$.
5. e$a = -3$ et $y = \dfrac{1}{2}x + 2$.

Ex. 33★★★Deux copies à corriger — Soit $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. On cherche la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$.

1. aCalcule $f(-1)$, puis montre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} = -9 + 2h$.
2. bDéduis-en que $f$ est dérivable en $-1$ et donne $f'(-1)$.
3. cLina écrit $T : y = 8(x + 1) - 9$. Repère son erreur, puis donne l'équation réduite correcte de $T$.
4. dTom écrit $T : y = -9(x - 1) + 8$. Montre avec le contrôle en $x = -1$ que c'est faux, puis nomme son erreur.

Ex. 34★★★Une tangente qui dépend d'un paramètre — Soit $k$ un réel et $f(x) = x^2 + kx$. On note $T_k$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.

1. aMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 2 + k + h$. Déduis-en $f'(1)$.
2. bDétermine l'équation réduite de $T_k$.
3. cPour quelle valeur de $k$ la tangente $T_k$ passe-t-elle par $K(3\,;11)$ ?
4. dBen affirme : « on peut choisir $k$ pour que $T_k$ passe par l'origine ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 35★★★Tangente à la courbe de la racine carrée — Soit $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $4$.

1. aMontre que pour tout réel $h$ non nul avec $h \geqslant -4$, $\frac{f(4 + h) - f(4)}{h} = \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2}$.
2. bDéduis-en que $f$ est dérivable en $4$ et donne $f'(4)$.
3. cDonne l'équation réduite de $T$, puis contrôle-la.
4. dDétermine les coordonnées du point où $T$ coupe l'axe des abscisses.

Ex. 36★★★Tangente horizontale, tangente de pente imposée — Soit $f(x) = -x^2 + 4x + 1$. On admet que pour tout réel $a$ et tout réel $h$ non nul, $\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = 4 - 2a - h$.

1. aDéduis-en $f'(a)$ pour tout réel $a$.
2. bDétermine le point $A$ de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est horizontale, puis l'équation de cette tangente.
3. cDétermine le point $B$ de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à $d : y = 6x - 1$, puis l'équation réduite de cette tangente.

Ex. 37★★★Deux tangentes parallèles — Soit $f(x) = x^3 - 4x$. On admet que $(a + h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$.

1. aMontre que pour tout réel $a$ et tout réel $h$ non nul, $\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = 3a^2 - 4 + 3ah + h^2$. Déduis-en $f'(a)$.
2. bCalcule $f'(2)$ et $f'(-2)$. Que dire des tangentes $T_1$ et $T_2$ aux points d'abscisses $2$ et $-2$ ?
3. cDonne les équations réduites de $T_1$ et $T_2$. Sont-elles confondues ?
4. dVrai ou faux : la tangente au point d'abscisse $0$ est parallèle à $T_1$. Justifie.

Ex. 38★★★Tangentes issues d'un point — Soit $f(x) = x^2 + x - 1$ pour tout réel $x$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Pour tout réel $a$, on note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

1. aMontre que pour tout réel $a$ et tout réel $h$ non nul, $\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = 2a + 1 + h$. Déduis-en $f'(a)$.
2. bMontre que $T_a$ a pour équation réduite $y = (2a + 1)x - a^2 - 1$, puis contrôle avec $x = a$.
3. cDétermine les réels $a$ pour lesquels $T_a$ passe par $K(0\,;-5)$, puis donne l'équation réduite de chacune de ces tangentes.
4. dDétermine les points où ces deux tangentes coupent l'axe des abscisses.
5. eLéa affirme que par tout point de l'axe des ordonnées passent exactement deux tangentes à $\mathcal{C}_f$. A-t-elle raison ? Justifie avec $E(0\,;-1)$ puis $F(0\,;1)$.

Ex. 39★★★Tangentes à une hyperbole — Soit $f(x) = \frac{3}{x}$ pour tout réel $x \neq 0$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Pour tout réel $a \neq 0$, on note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

1. aMontre que pour tout réel $h$ non nul tel que $a + h \neq 0$, $\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{-3}{a(a + h)}$. Déduis-en $f'(a)$.
2. bDonne l'équation réduite de $T_{-1}$, puis contrôle-la avec $x = -1$.
3. cMontre que pour tout réel $a \neq 0$, $T_a$ a pour équation réduite $y = -\frac{3}{a^2}x + \frac{6}{a}$.
4. dPour $a > 0$, $T_a$ coupe l'axe des abscisses en $P$ et l'axe des ordonnées en $Q$. Montre que l'aire du triangle $OPQ$ ne dépend pas de $a$.
5. eDétermine les points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à la droite $D : y = -12x + 1$, puis donne l'équation de ces tangentes.

Ex. 40★★★Retrouver une parabole à partir d'une tangente — Soit $f(x) = px^2 + qx + r$, où $p$, $q$ et $r$ sont des réels. On sait que $\mathcal{C}_f$ passe par $B(0\,;2)$ et que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = 3x - 2$.

1. aNour lit sur l'équation de la tangente que $f(1) = -2$ et $f'(1) = 3$. A-t-elle raison ? Justifie et donne $f(1)$ et $f'(1)$.
2. bMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 2p + q + ph$. Déduis-en $f'(1)$ en fonction de $p$ et $q$.
3. cDéduis-en les valeurs de $p$, $q$ et $r$.
4. dCalcule $f'(-1)$ par la définition et donne l'équation réduite de la tangente en $-1$. Montre qu'elle coupe la tangente en $1$ sur l'axe des ordonnées.
5. eDétermine, par la définition, le point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est horizontale, puis l'équation de cette tangente.

Ex. 41★★★Automatismes : approximation affine sans calculatrice — Sans calculatrice, utilise l'approximation affine $f(a + h) \approx f(a) + h\,f'(a)$.

1. aOn sait que $f(2) = 7$ et $f'(2) = 3$. Estime $f(2{,}1)$.
2. bOn sait que $g(5) = -1$ et $g'(5) = 4$. Estime $g(4{,}98)$.
3. cAvec $r(x) = \sqrt{x}$, $r(4) = 2$ et $r'(4) = \frac{1}{4}$, estime $\sqrt{4{,}02}$.
4. dAvec $k(x) = \frac{1}{x}$, $k(1) = 1$ et $k'(1) = -1$, estime $\frac{1}{0{,}98}$.
5. eAvec $c(x) = x^3$ et $c'(2) = 12$, choisis $a$ et $h$, puis estime $1{,}99^3$.
6. fPar approximation affine en $a = 3$, avec $u(3) = 5$, on a obtenu $u(3{,}1) \approx 5{,}4$. Quelle valeur de $u'(3)$ a été utilisée ?

Ex. 42★★★Automatismes : vitesses, pentes et unités — Réponds en donnant l'unité.

1. aUn mobile a pour position $p(t) = 2t^2 - t$ (en m, $t$ en s). Calcule sa vitesse moyenne entre $t = 1$ et $t = 3$.
2. bÉcris la pente $0{,}035$ en pourcentage.
3. cUne route monte de 6 m pour 150 m parcourus à l'horizontale. Donne sa pente en pourcentage.
4. dUne rampe a une pente de $12\,\%$. De combien monte-t-elle pour 250 m parcourus à l'horizontale ?
5. eConvertis en km/h une vitesse instantanée de 15 m/s.
6. fLa position d'un car est $x(t)$ (en km, $t$ en h) et $x'(2) = 80$. Interprète ce nombre dans le contexte.

Ex. 43★★★Une bille lâchée d'un pont — Lucas lâche une bille du haut d'un pont, sans vitesse initiale. Après $t$ secondes, la bille a parcouru $d(t) = 4{,}9t^2$ mètres. Elle touche l'eau 44,1 m plus bas.

1. aMontre que la bille touche l'eau à l'instant $t = 3$ s.
2. bCalcule la vitesse moyenne de la bille pendant sa chute.
3. cMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{d(3 + h) - d(3)}{h} = 29{,}4 + 4{,}9h$.
4. dDéduis-en la vitesse de la bille au moment où elle touche l'eau, en m/s puis en km/h.

Ex. 44★★★Vrai ou faux : pièges de contexte — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. aOn sait que $f(5) = 2$ et $f'(5) = -3$. « On a $f(5{,}1) \approx -1$. »
2. bAvec $r(x) = \sqrt{x}$ et $r'(9) = \frac{1}{6}$ : « Pour estimer $\sqrt{8{,}9}$, on écrit $8{,}9 = 8 + 0{,}9$. »
3. c« Une route de pente $5\,\%$ monte de 5 m tous les 10 m parcourus à l'horizontale. »
4. dUn mobile a pour position $p(t) = t^3$ (en m, $t$ en s). « En 2 s, il a parcouru 8 m, donc sa vitesse à $t = 2$ s est de 4 m/s. »
5. e$C(q)$ est le coût (en €) de $q$ objets et $C'(50) = 12$. « Fabriquer le 51e objet coûte environ 12 €. »

Ex. 45★★★Coût marginal d'un atelier de bougies — L'atelier de Chloé fabrique des bougies. Le coût de production de $q$ bougies est $C(q) = 0{,}01q^2 + 5q + 200$ euros, pour $0 \leqslant q \leqslant 500$.

1. aCalcule $C(100)$.
2. bMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{C(100 + h) - C(100)}{h} = 7 + 0{,}01h$.
3. cDéduis-en le coût marginal $C'(100)$. Rédige une phrase avec l'unité.
4. dCalcule le coût exact de la 101e bougie, puis compare-le à $C'(100)$.
5. eManon affirme : « Le coût marginal pour 100 bougies est $\frac{C(100)}{100} = 8$ €. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 46★★★La pente d'une rampe de skate — Le profil d'une rampe de skate est donné par $f(x) = 0{,}05x^2$, pour $0 \leqslant x \leqslant 4$ : $x$ est la distance horizontale et $f(x)$ la hauteur, en mètres. Inès écrit ce programme : def f(x): return 0.05 * x**2 for h in [1, 0.1, 0.01]: pente = (f(2 + h) - f(2)) / h print(round(pente, 4))

1. aQue représente la valeur pente calculée dans la boucle ?
2. bQu'affiche ce programme ? Quelle valeur de $f'(2)$ peux-tu conjecturer ?
3. cMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = 0{,}2 + 0{,}05h$, puis déduis-en $f'(2)$.
4. dLina affirme : « Au point d'abscisse 2, la pente de la rampe est de $0{,}2\,\%$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Racine carrée près de 25 et erreur commise — On note $r(x) = \sqrt{x}$ pour $x \geqslant 0$.

1. aMontre que pour tout réel $h$ non nul tel que $h \geqslant -25$, $\frac{\sqrt{25 + h} - 5}{h} = \frac{1}{\sqrt{25 + h} + 5}$.
2. bDéduis-en que $r$ est dérivable en $25$ et donne $r'(25)$.
3. cSans calculatrice, donne une valeur approchée de $\sqrt{25{,}4}$.
4. dÀ l'aide de la calculatrice, donne l'erreur commise à la question précédente, arrondie à $0{,}000\,01$.
5. eMontre que $(5 + 0{,}1h)^2 = 25 + h + 0{,}01h^2$. Déduis-en que pour tout réel $h > 0$, $\sqrt{25 + h} < 5 + 0{,}1h$.

Ex. 48★★★Un cube de métal qui se dilate — Maëlle étudie un cube de métal d'arête 1 dm. Le volume d'un cube d'arête $x$ dm est $V(x) = x^3$ dm³. Chauffée ou refroidie, l'arête devient $1 + h$ dm, avec $h$ petit. On rappelle que 1 dm³ = $1\,000$ cm³.

1. aMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{V(1 + h) - V(1)}{h} = 3 + 3h + h^2$. Déduis-en que $V$ est dérivable en 1 et donne $V'(1)$.
2. bSans calculatrice, estime par approximation affine le volume du cube chauffé, d'arête 1,003 dm, puis celui du cube refroidi, d'arête 0,997 dm.
3. cMontre que pour tout réel $h$, $V(1 + h) - (1 + 3h) = 3h^2 + h^3$. Déduis-en l'erreur exacte commise pour $1{,}003^3$ et vérifie à la calculatrice.
4. dJustifie que pour $0 < h \leqslant 0{,}005$, l'erreur commise en remplaçant $V(1 + h)$ par $1 + 3h$ est inférieure à 0,1 cm³.

Ex. 49★★★Une voiture de course sur piste d'essai — Sur une piste d'essai, une voiture de course démarre à l'instant $t = 0$. Pendant les 10 premières secondes, elle a parcouru $d(t) = 6t^2 - 0{,}2t^3$ mètres à l'instant $t$ (en s). On rappelle que 1 m/s = 3,6 km/h.

1. aCalcule la vitesse moyenne de la voiture entre $t = 0$ et $t = 10$, en m/s puis en km/h.
2. bBen écrit ce programme : def d(t): return 6*t**2 - 0.2*t**3 for h in [-0.1, -0.01, 0.01, 0.1]: v = ... print(round(v, 4)) Complète la ligne v = ... pour que v soit la vitesse moyenne entre $t = 5$ et $t = 5 + h$. Qu'affiche alors le programme ? Quelle conjecture fais-tu ?
3. cMontre que pour tout réel $h$ non nul, $\frac{d(5 + h) - d(5)}{h} = 45 + 3h - 0{,}2h^2$. Déduis-en la vitesse instantanée à $t = 5$, en m/s puis en km/h.
4. dNoah affirme : « La vitesse moyenne sur les 10 s est de 144 km/h, donc à $t = 5$ s la voiture roulait à moins de 150 km/h. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 50★★★Le profil d'une route de col — Yanis monte un col à vélo. Le profil de la route est donné par $f(x) = 0{,}12x - 0{,}02x^2$ pour $0 \leqslant x \leqslant 4$ : $x$ est la distance horizontale depuis le départ et $f(x)$ le dénivelé, tous deux en km. La pente au point d'abscisse $a$, en pourcentage, vaut $100 \times f'(a)$.

1. aSoit $a$ un réel de $[0\,;4]$. Montre que pour tout réel $h$ non nul (avec $a + h$ dans $[0\,;4]$), $\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = 0{,}12 - 0{,}04a - 0{,}02h$. Déduis-en $f'(a)$.
2. bCalcule la pente moyenne de la route entre $x = 0$ et $x = 3$, puis la pente au départ. Exprime-les en pourcentage.
3. cDétermine le point de la route où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = 0{,}08x$, puis l'équation de cette tangente.
4. dDétermine le point où la tangente est horizontale. Quel dénivelé, en mètres, Yanis a-t-il gagné en l'atteignant ?