Terminale maths expertes / Matrices

Ex. 1★★★Lire une matrice et reconnaître sa forme — On considère $M = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \end{pmatrix}$, ainsi que les matrices carrées suivantes.
$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 5 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{pmatrix}$, $Q = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & 7 \\ -2 & 7 & 5 \end{pmatrix}$, $R = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$.

1. aDonne le format de $M$.
2. bDonne les coefficients $m_{12}$ et $m_{21}$ de $M$.
3. cDonne $m_{23}$. Le coefficient $m_{32}$ existe-t-il ? Justifie.
4. d$C$ est-elle une matrice ligne ou une matrice colonne ? Donne son format.
5. ePour chacune des matrices $P$, $Q$ et $R$, indique si elle est diagonale, triangulaire ou symétrique
   (plusieurs réponses sont possibles).
6. fVrai ou faux : $M = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 5 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}$. Justifie.

Ex. 2★★★Sommes et combinaisons de matrices — On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 6 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $A + B$.
2. bCalcule $2A - 3B$.
3. cLa somme $A + C$ existe-t-elle ? Justifie.
4. dÉcris la matrice $D$ de format $2 \times 3$ définie par $d_{ij} = 2i - j$.
5. eCalcule $A - D$.

Ex. 3★★★Ventes de vélos dans deux boutiques — Inès gère deux boutiques de vélos, l'une à Annecy, l'autre à Chambéry. Le tableau donne ses ventes de septembre.

1. aÉcris la matrice $S$ des ventes de septembre, avec une ligne par boutique et une colonne par type de vélo (dans l'ordre du tableau). Donne son format.
2. bÉcris, avec la même disposition, la matrice $O$ des ventes d'octobre.
3. cCalcule $S + O$. Interprète son coefficient situé en ligne 2, colonne 3.
4. dCalcule $O - S$. Interprète ses coefficients négatifs.

Ex. 4★★★Équation matricielle et paramètres — On donne $A = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -8 & 6 \end{pmatrix}$. On cherche la matrice $X$ carrée d'ordre 2 telle que $3X - A = B$.

1. aHugo écrit : « $3X - A = B$, donc $3X = B - A$ ». A-t-il raison ? Justifie.
2. bRésous l'équation $3X - A = B$, puis vérifie ta solution en calculant $3X - A$.
3. cDétermine les réels $a$ et $b$ tels que $aA + bB = \begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$.

Ex. 5★★★Matrices définies par une formule — Une matrice carrée $M = (m_{ij})$ est dite symétrique si $m_{ij} = m_{ji}$ pour tous $i$ et $j$. On note $A$ la matrice de format $2 \times 3$ telle que $a_{ij} = i - 2j$. Pour des réels $p$ et $q$, on note $M$ la matrice carrée d'ordre 3 telle que $m_{ij} = pi + qj$.

1. aÉcris la matrice $A$ en précisant son nombre de lignes et son nombre de colonnes.
2. bZoé écrit : « $a_{32} = 3 - 2 \times 2 = -1$ ». A-t-elle raison ? Justifie, puis donne $a_{23}$.
3. cPour $p = 1$ et $q = -2$, Zoé affirme que $M = A$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDémontre que $M$ est symétrique si et seulement si $p = q$.
5. eExiste-t-il des réels $p$ et $q$, non tous les deux nuls, tels que $M$ soit triangulaire supérieure ? Justifie.

Ex. 6★★★Stocks de deux librairies — Malik tient deux librairies, à Rennes et à Vannes. Le tableau donne ses stocks au début de la semaine 0.

1. aÉcris la matrice $S_0$ des stocks, avec une ligne par ville et une colonne par rayon, puis donne son format.
2. bMalik commande des mangas : 10 pour Rennes, 5 pour Vannes. Il écrit $S_0 + \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$. Explique pourquoi ce calcul n'a pas de sens, puis écris correctement la matrice de la commande.
3. cCalcule $D = L - V$, puis interprète le coefficient $d_{23}$.
4. dDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $S_n = S_0 + nD$.
5. eDétermine le plus petit entier $n$ pour lequel un coefficient de $S_n$ est nul ou négatif, et précise le rayon concerné.

Ex. 7★★★Un système d'équations matricielles — On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. On cherche deux matrices $X$ et $Y$ telles que $2X - 3Y = A$ (1) et $X - 2Y = B$ (2).

1. aJustifie que, si $X$ et $Y$ existent, elles sont nécessairement de format $2 \times 3$.
2. bDémontre que, si $X$ et $Y$ vérifient (1) et (2), alors $Y = A - 2B$, puis $X = 2A - 3B$.
3. cCalcule $X$ et $Y$ en détaillant les signes.
4. dVérifie que les matrices trouvées sont bien solutions de (1) et de
   (2).
5. eLina affirme que $X - Y = A - B$. A-t-elle raison ? Justifie sans calculer de coefficient.

Ex. 8★★★Existe ou n'existe pas ? — On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $L = \begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix}$.

1. aJustifie que le produit $AB$ existe, donne son format, puis calcule-le.
2. bLe produit $BA$ existe-t-il ? Justifie.
3. cCalcule $BC$ en précisant son format.
4. dCalcule $LA$ en précisant son format.
5. eLe produit $AL$ existe-t-il ? Justifie.
6. fJustifie que le produit $LBC$ existe, donne son format, puis calcule-le.

Ex. 9★★★Produits de matrices carrées — On considère $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $AB$.
2. bCalcule $BA$.
3. cVrai ou faux : « pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, $AB = BA$ ». Justifie.
4. dCalcule $AI_2$ et $I_2A$. Que remarques-tu ?
5. eCalcule $A^2$, puis déduis-en la matrice $A^2 - 5A$.
6. fSans calculer tout le produit, donne le coefficient $c_{21}$ de la matrice $C = A^2B$.

Ex. 10★★★Deux élèves, deux erreurs — On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. On note $O$ la matrice nulle d'ordre 2.

1. aCalcule $AB$. Tom en déduit : « l'une des deux matrices $A$ ou $B$ est forcément nulle ». A-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule $BA$. Les matrices $A$ et $B$ commutent-elles ? Justifie.
3. cCalcule $A^2$ et $B^2$, puis exprime chacune en fonction de $A$ ou de $B$.
4. dInès écrit : $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 = A + B$. Calcule $(A+B)^2$ directement, puis explique et corrige son erreur.

Ex. 11★★★La recette du week-end — Margaux tient une boulangerie à Annecy. Un pain de campagne coûte 3 €, une brioche 5 € et une tarte 12 €. Ses ventes du week-end :

1. aÉcris la matrice $Q$ de format $2 \times 3$ des quantités et la matrice colonne $P$ des prix. Justifie que $QP$ existe mais pas $PQ$.
2. bCalcule $QP$ et interprète chacun de ses coefficients.
3. cLe programme de Hugo provoque une erreur avec $Q$ et $P$. Repère la ligne fautive, explique pourquoi elle est fausse et corrige-la.
4. dUne fois le programme corrigé, qu'affiche print(produit(Q, P)[1][0]), où Q et P sont les listes de listes associées aux matrices $Q$ et $P$ ? Interprète.

Ex. 12★★★Quand a-t-on le droit de développer ? — On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $I_2$ la matrice identité d'ordre 2.

1. aDémontre que, pour toutes matrices $M$ et $N$ carrées d'ordre 2, $(M+N)^2 = M^2 + 2MN + N^2$ si et seulement si $MN = NM$.
2. bCalcule $AB$ et $BA$. Déduis-en, sans calculer $(A+B)^2$, si $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Justifie.
3. cDétermine toutes les matrices $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ telles que $AM = MA$.
4. dCalcule $A^2$. Déduis-en $(A + I_2)^2$ sans poser d'autre produit, en justifiant que le développement est permis.

Ex. 13★★★Peut-on simplifier par une matrice ? — On considère $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. aDétermine toutes les matrices colonnes $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ telles que $AX$ soit la matrice colonne nulle.
2. bCalcule $AB$ et $AC$. Léo en déduit que $B = C$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine toutes les matrices $M$ carrées d'ordre 2 telles que $AM = AB$.
4. dCalcule $QP$. Déduis-en que, pour toutes matrices $D$ et $E$ carrées d'ordre 2, $PD = PE$ entraîne $D = E$. Cite les propriétés utilisées.

Ex. 14★★★Trois boucles pour un produit — Ben écrit une fonction Python qui calcule le produit de deux matrices, chaque matrice étant stockée comme la liste de ses lignes : def produit(A, B): n = len(A) p = len(B) q = len(B[0]) if len(A[0]) != p: return None C = [ [0] * q for i in range(n)] for i in range(n): for j in range(q): for k in range(p): C[i][j] = C[i][j] + A[i][k] * B[k][j] return C On code $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ par les listes A et B.

1. aQue représentent n, p et q ? Justifie que produit(A, A) renvoie None.
2. bCalcule à la main le résultat de produit(A, B). Donne ensuite le format de $BA$, sans le calculer.
3. cCombien de multiplications de nombres la fonction effectue-t-elle pour calculer produit(A, B) ? Et pour deux matrices carrées d'ordre $n$ ?
4. dMehdi remplace la dernière ligne de la boucle par C[i][j] = A[i][k] * B[k][j]. Que renvoie alors produit(A, B) ? Explique son erreur.

Ex. 15★★★Puissances d'une matrice diagonale — On considère la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $D^2$.
2. bCalcule $D^3$.
3. cDonne $D^0$.
4. dExprime $D^n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
5. eDonne le coefficient $d_{11}$ de $D^{2027}$, puis celui de $D^{2026}$.

Ex. 16★★★Carré et cube sans raccourci — Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $A^2$.
2. bÉcris la matrice $C$ dont chaque coefficient est le carré du coefficient de $A$ placé au même endroit. A-t-on $C = A^2$ ? Justifie.
3. cCalcule $A^3$ en écrivant $A^3 = A^2 \times A$.
4. dCalcule $A^2 + A$. Cette matrice est-elle égale à $A^3$ ? Justifie.
5. eCalcule $A^0 + A$.

Ex. 17★★★Écrire A = I + N avec N² = O — Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. aDétermine la matrice $N$ telle que $A = I_3 + N$, puis calcule $N^2$.
2. bJustifie que $I_3$ et $N$ commutent. À l'aide de la formule du binôme, exprime $A^n$ en fonction de $I_3$, $N$ et $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$.
3. cDéduis-en $A^{10}$ sans effectuer de produit de matrices.
4. dLa formule obtenue est-elle encore valable pour $n = 0$ ? Justifie.
5. eOn pose $M = 2A$. Exprime $M^n$ en fonction de $n$, $I_3$ et $N$, pour tout entier naturel $n$.

Ex. 18★★★Quand A² est un multiple de A — Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $A^2$, puis détermine le réel $k$ tel que $A^2 = kA$.
2. bDéduis-en $A^3$ et $A^4$ en fonction de $A$, sans calculer d'autre produit de deux matrices.
3. cConjecture une expression de $A^n$ en fonction de $A$ pour tout entier $n \geqslant 1$. En admettant cette conjecture, calcule le coefficient $a_{12}$ de $A^6$.
4. dMalik a vérifié sa formule pour $n = 1$, $2$, $3$ et $4$, et il affirme qu'elle est démontrée. A-t-il raison ? Justifie.
5. eCette formule donne-t-elle $A^0$ si on l'applique avec $n = 0$ ? Justifie.

Ex. 19★★★Une matrice triangulaire qui ne suit pas « n × » — Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, une matrice triangulaire.

1. aInès élève chaque coefficient au carré, comme pour une matrice diagonale, et obtient $A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. A-t-elle raison ? Justifie en calculant $A^2$.
2. bCalcule $A^3$. Théo voit un $2$ en haut à droite de $A$ et affirme que ce coefficient vaut $2n$ dans $A^n$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cConjecture une expression de $A^n$ pour tout entier naturel $n$.
4. dDémontre ta conjecture par récurrence, en commençant à $n = 0$.
5. eDétermine le plus petit entier naturel $n$ tel que le coefficient en haut à droite de $A^n$ dépasse $1\,000$.

Ex. 20★★★A = I + N : puissances, piège et inverse — Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$. On pose $N = A - I_2$, donc $A = I_2 + N$.

1. aÉcris la matrice $N$, calcule $N^2$ et justifie que $I_2N = NI_2$.
2. bDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n = I_2 + nN$.
3. cDéduis-en les coefficients de $A^n$ en fonction de $n$, puis la matrice $A^{20}$.
4. dDétermine l'entier naturel $n$ tel que $A^n = \begin{pmatrix} 31 & 15 \\ -60 & -29 \end{pmatrix}$.
5. eCalcule le produit $A(I_2 - N)$. Que peux-tu en déduire pour la matrice $A$ ?

Ex. 21★★★De A² = kA aux puissances de I + A — Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = I_2 + A$.

1. aCalcule $A^2$, puis exprime $A^2$ en fonction de $A$.
2. bDéduis-en, en le démontrant par récurrence, une expression de $A^n$ en fonction de $A$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
3. cLucie applique à $B$ la formule $B^n = I_2 + nA$, valable quand $A^2 = O$. Calcule $B^2$ en fonction de $I_2$ et $A$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDémontre par récurrence que pour tout entier naturel $n$, il existe un réel $a_n$ tel que $B^n = I_2 + a_nA$, et exprime $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
5. eEn étudiant la suite $(a_n + \frac{1}{3})$, exprime $a_n$ en fonction de $n$, puis donne $B^3$.

Ex. 22★★★Déterminants et inverses 2 × 2 — Les questions sont indépendantes. Écris les nombres négatifs entre parenthèses.

1. aCalcule le déterminant de $A=\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.
2. b$B=\begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ est-elle inversible ? Justifie.
3. cJustifie que $C=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$ est inversible, puis donne $C^{-1}$.
4. dJustifie que $D=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ est inversible, puis donne $D^{-1}$.
5. eNoé écrit $\det(E)=6\times 3+4\times 3=30$ pour $E=\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$. Corrige son erreur, puis donne $E^{-1}$ avec des fractions simplifiées.
6. fDonne l'inverse de la matrice diagonale $F=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

Ex. 23★★★Paramètre, vérification et ordre des facteurs — Les questions sont indépendantes ; $m$ désigne un nombre réel.

1. aDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $M=\begin{pmatrix} m & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ est inversible.
2. bDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $N=\begin{pmatrix} m & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix}$ est inversible.
3. cCalcule le produit $PQ$, avec $P=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$. Que peux-tu en déduire pour $P$ ?
4. dOn pose $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calcule $AB$.
5. eAvec les matrices $A$ et $B$ de la question précédente, déduis-en que $A$ est inversible et donne $A^{-1}$.
6. fOn admet que $R^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et que $S^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calcule $(RS)^{-1}$.

Ex. 24★★★Un inverse obtenu grâce à une relation — On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $A^2$.
2. bDémontre que $A^2-3A+2I_3=O$.
3. cDéduis-en que $A$ est inversible et exprime $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_3$.
4. dDonne les coefficients de $A^{-1}$.
5. eLéo affirme : « Pour obtenir $A^{-1}$, il suffit de remplacer chaque coefficient non nul de $A$ par son inverse. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 25★★★Inverser une matrice d'ordre 3 par le pivot — On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. On note $L_1$, $L_2$, $L_3$ les lignes du tableau $(A\,|\,I_3)$.

1. aÉcris le tableau $(A\,|\,I_3)$. Effectue $L_2 \leftarrow L_2-2L_1$, puis $L_3 \leftarrow L_3-L_2$ avec la nouvelle ligne $L_2$. Donne le tableau obtenu.
2. bPour l'opération $L_2 \leftarrow L_2-2L_1$, Élise a modifié la partie gauche mais a laissé $(0\;\;1\;\;0)$ à droite. Explique son erreur.
3. cTermine le pivot en faisant apparaître des zéros au-dessus de la diagonale, puis donne $A^{-1}$.
4. dContrôle ton résultat en calculant la deuxième ligne de $AA^{-1}$.
5. eSans refaire de pivot, déduis-en que la matrice $2A$ est inversible et donne $(2A)^{-1}$.

Ex. 26★★★L'inverse d'un produit — On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

1. aPauline affirme : « Ici $a=d=2$ : échanger $a$ et $d$ ne change rien, donc $A^{-1}=A$. » A-t-elle raison ? Justifie par un produit, puis calcule $A^{-1}$.
2. bCalcule $B^{-1}$, puis $AB$ et $(AB)^{-1}$.
3. cCalcule $A^{-1}B^{-1}$ et $B^{-1}A^{-1}$. Laquelle de ces deux matrices est égale à $(AB)^{-1}$ ?
4. dSoient $M$ et $N$ deux matrices carrées inversibles de même ordre. Démontre que $MN$ est inversible et que $(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$.
5. eDéduis-en $(A^2)^{-1}$ sans calculer de déterminant.

Ex. 27★★★Les prix au marché de Lorient — À Lorient, le kilo de pommes coûte $x$ €, celui de poires $y$ € et celui de prunes $z$ €. Camille paie $3{,}50$ € pour 2 kg de pommes et 1 kg de poires ; Malik, 6 € pour 1 kg de pommes, 2 kg de poires et 1 kg de prunes ; Inès, $5{,}50$ € pour 1 kg de poires et 2 kg de prunes. On pose $B=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. aTraduis la situation par un système, puis écris-le sous la forme $AX=Y$ en précisant $A$, $X$ et $Y$.
2. bCalcule $AB$. Déduis-en que $A$ est inversible et donne $A^{-1}$.
3. cDétermine le prix d'un kilo de chaque fruit.
4. dLe mois suivant, les trois paniers coûtent 4 €, 7 € et 6 €. Quel fruit a changé de prix ? Justifie.

Ex. 28★★★Une matrice d'ordre 3 qui dépend d'un paramètre — Pour tout réel $m$, on pose $A_m=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \end{pmatrix}$. On note $L_1$, $L_2$, $L_3$ les lignes et on applique la méthode du pivot.

1. aDans $A_m$, effectue $L_3 \leftarrow L_3-2L_1$. Trouve ensuite $k$ tel que $L_3 \leftarrow L_3-kL_2$ annule le coefficient de la colonne 2. Écris la matrice triangulaire obtenue.
2. bOn prend $m=3$. Trouve une matrice colonne $X$ non nulle telle que $A_3X$ soit la colonne nulle. Démontre par l'absurde que $A_3$ n'est pas inversible.
3. cOn prend $m=2$. Applique la méthode du pivot au tableau $(A_2\,|\,I_3)$ pour obtenir $A_2^{-1}$, puis contrôle une colonne du produit $A_2A_2^{-1}$.
4. dSoit $c$ un réel. On considère le système $\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = c \end{cases}$. Pour quelle valeur de $c$ a-t-il des solutions ? Donne-les alors.

Ex. 29★★★Du système à l'écriture $AX = B$ — Range les inconnues dans l'ordre $x$, $y$ (puis $z$). Quand tu écris un système sous la forme $AX = B$, précise $A$, $X$ et $B$.

1. aÉcris le système $\begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 2x + 5y = -3 \end{cases}$ sous la forme $AX = B$.
2. bOn donne $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 8 \\ -9 \end{pmatrix}$. Écris le système traduit par $AX = B$.
3. cÉcris le système $\begin{cases} 2y + x = 5 \\ y - 3x = -8 \end{cases}$ sous la forme $AX = B$.
4. dÉcris le système $\begin{cases} 3x = 2y + 4 \\ y = 3 - x \end{cases}$ sous la forme $AX = B$.
5. eÉcris le système $\begin{cases} 2x - z = 1 \\ x + 3y = 10 \\ y + z = 4 \end{cases}$ sous la forme $AX = B$.
6. fÉcris le système $\begin{cases} y + 2x - z = 1 \\ z - x = 1 \\ 3y = x + 2 \end{cases}$ sous la forme $AX = B$.

Ex. 30★★★Résoudre avec la matrice inverse — Dans chaque cas, écris le système sous la forme $AX = B$. Calcule $X = A^{-1}B$ et vérifie dans une équation. Pour un système $2 \times 2$, justifie d'abord que $A$ est inversible.

1. aRésous le système $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$.
2. bRésous le système $\begin{cases} 5x - 2y = 9 \\ 3x = y + 5 \end{cases}$.
3. cRésous le système $\begin{cases} 4x + 2y = 6 \\ 3x + y = 2 \end{cases}$.
4. dOn admet que la matrice $A$ du système $\begin{cases} x + z = 5 \\ x + y = 3 \\ y + z = 6 \end{cases}$ a pour inverse $A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Résous ce système.
5. eOn admet que la matrice $A$ du système $\begin{cases} y + x = 3 \\ 2z + y = -1 \\ z + x + y = 2 \end{cases}$ a pour inverse $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (inconnues dans l'ordre $x$, $y$, $z$). Résous ce système.

Ex. 31★★★Déterminant nul : aucune ou une infinité ? — Pour tout réel $m$, on considère le système $(S_m) : \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ -4x + 6y = m \end{cases}$.

1. aÉcris $(S_m)$ sous la forme $AX = B$, puis calcule $\det A$. Peut-on utiliser $X = A^{-1}B$ ?
2. bPour $m = 3$, le système $(S_3)$ admet-il des solutions ? Justifie.
3. cDétermine les réels $m$ pour lesquels $(S_m)$ admet des solutions, puis décris toutes ces solutions.
4. dHugo affirme : « Comme $\det A = 0$, le système $(S_m)$ n'a jamais de solution. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 32★★★Une parabole par trois points — On cherche des réels $a$, $b$, $c$ tels que la courbe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ passe par $E(-1\,;6)$, $F(1\,;2)$ et $G(2\,;3)$. On note $N = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \\ 2 & 6 & -2 \end{pmatrix}$.

1. aTraduis les trois conditions par un système, puis écris-le sous la forme $AX = B$ avec $X = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.
2. bCalcule $AN$. Déduis-en que $A$ est inversible et donne $A^{-1}$.
3. cZoé écrit : « $AX = B$ donc $X = BA^{-1}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDétermine $a$, $b$ et $c$, puis vérifie que la courbe de $f$ passe bien par les trois points.

Ex. 33★★★Trois coffrets, des colonnes dans le désordre — Une épicerie de Colmar vend trois coffrets. Le tableau donne le nombre de paquets de chaque produit dans un coffret et le prix du coffret. On note $x$, $y$ et $z$ les prix en euros d'un paquet de thé, d'un paquet de café et d'un paquet de chocolat.

1. aTraduis le tableau par un système, puis écris-le sous la forme $AX = B$ avec $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
   (inconnues dans l'ordre $x$, $y$, $z$).
2. bOn pose $N = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcule $AN$. Déduis-en que $A$ est inversible et donne $A^{-1}$.
3. cDétermine $X$, vérifie ta réponse dans une équation et donne le prix de chaque paquet.
4. dL'an prochain, les coffrets coûteront 17, 12 et 23 euros. Détermine les nouveaux prix des paquets, puis le prix d'un coffret qui contient un paquet de chaque produit.

Ex. 34★★★Un paramètre qui décide de tout — Pour tout réel $k$, on considère le système $(S_k) : \begin{cases} kx + 2y = 4 \\ 2x + ky = 4 \end{cases}$, d'inconnues $x$ et $y$. On le note $A_kX = B$.

1. aÉcris $A_k$, $X$ et $B$. Calcule $\det A_k$ et déduis-en les valeurs de $k$ pour lesquelles $A_k$ est inversible.
2. bPour tout $k$ tel que $A_k$ est inversible, donne $A_k^{-1}$. Calcule $X = A_k^{-1}B$, simplifie, puis vérifie le résultat dans la première équation.
3. cPour chaque valeur de $k$ telle que $A_k$ n'est pas inversible, résous $(S_k)$ par le calcul.
4. dDétermine les valeurs de $k$ pour lesquelles le couple $(1\,;1)$ est solution de $(S_k)$. Est-ce alors l'unique solution ? Justifie.

Ex. 35★★★Coder et décoder avec une matrice — Pour se transmettre un couple d'entiers $(x\,;y)$, Inès et Noé utilisent $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ : on envoie la colonne $AX$, où $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

1. aJustifie que $A$ est inversible et donne $A^{-1}$.
2. bInès reçoit la colonne $\begin{pmatrix} 19 \\ 27 \end{pmatrix}$. Détermine le couple envoyé par Noé et vérifie ta réponse.
3. cNoé envoie trois couples à la fois : il calcule $AM$, où les colonnes de $M$ sont les couples. Inès reçoit $C = \begin{pmatrix} 12 & 7 & 16 \\ 17 & 10 & 22 \end{pmatrix}$. Tom écrit $M = CA^{-1}$. Explique pourquoi c'est impossible, puis détermine $M$.
4. dSacha code autrement : il envoie la matrice ligne $LA$, où $L = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$. Inès reçoit $R = \begin{pmatrix} 18 & 13 \end{pmatrix}$. Détermine $L$ et justifie de quel côté tu multiplies par $A^{-1}$.

Ex. 36★★★Puissances d'une matrice diagonale — On pose $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $D^3$.
2. bÉcris $D^n$ pour tout entier naturel $n$.
3. cDétermine deux réels $a$ et $b$ tels que $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & 125 \end{pmatrix}$.
4. dLina affirme que pour $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, on a $B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eOn pose $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = DU_n$ pour tout entier naturel $n$. Exprime $U_n$ en fonction de $n$.
6. fOn pose $F = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$. Détermine la limite de chaque coefficient de $F^n$.

Ex. 37★★★Traduire une suite couplée — Deux suites sont définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - v_n$ et $v_{n+1} = u_n + 3v_n$.

1. aÉcris la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = AU_n$, avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$.
2. bOn pose plutôt $W_n = \begin{pmatrix} v_n \\ u_n \end{pmatrix}$. Écris la matrice $B$ telle que $W_{n+1} = BW_n$.
3. cCalcule $U_1$ puis $U_2$.
4. dExprime $U_5$ à l'aide d'une puissance de $A$ et de $U_0$. Malo écrit $U_5 = U_0A^5$ : explique pourquoi ce produit n'existe pas.
5. eOn ne connaît que $U_2$. Exprime $U_9$ à l'aide d'une puissance de $A$ et de $U_2$.

Ex. 38★★★Calculer Aⁿ avec P et D donnés — On pose $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $PQ$. Déduis-en que $P$ est inversible et donne $P^{-1}$.
2. bVérifie que $AP = PD$. Déduis-en que $A = PDP^{-1}$.
3. cDéveloppe $A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1})$ et justifie que $A^2 = PD^2P^{-1}$. On admet ensuite que $A^n = PD^nP^{-1}$ pour tout entier naturel $n$.
4. dDéduis-en les quatre coefficients de $A^n$ en fonction de $n$. Contrôle ton résultat avec $n = 1$.

Ex. 39★★★Entre Lorient et Vannes — Chaque année, $10$ % des habitants de Lorient partent à Vannes et $40$ % des habitants de Vannes partent à Lorient ; on néglige les autres mouvements. On note $a_n$ et $b_n$ les populations (en milliers) de Lorient et Vannes l'année $2024 + n$, et $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$. En 2025, $a_1 = 30$ et $b_1 = 20$. On donne $P = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ et $P^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$.

1. aÉcris la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = AU_n$ pour tout entier naturel $n$.
2. bVérifie que $PP^{-1} = I_2$, puis que $PDP^{-1} = A$.
3. cOn admet que $A^n = PD^nP^{-1}$. Calcule $D^n$, puis les coefficients de $A^n$ en fonction de $n$.
4. dJustifie que $U_n = A^{n-1}U_1$ pour tout entier $n \geqslant 1$. Déduis-en $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
5. eDétermine les limites de $(a_n)$ et $(b_n)$, puis interprète-les.

Ex. 40★★★Vélos en libre-service à Chambéry — Chambéry répartit $400$ vélos entre deux stations, Gare et Campus. Chaque nuit, $20$ % des vélos de Gare sont déplacés à Campus et $30$ % des vélos de Campus sont déplacés à Gare. Au jour $0$, Gare compte $300$ vélos et Campus $100$. On note $g_n$ et $c_n$ les nombres de vélos à Gare et à Campus au jour $n$, et $U_n = \begin{pmatrix} c_n \\ g_n \end{pmatrix}$ (Campus en premier). On donne $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$.

1. aExprime $c_{n+1}$ et $g_{n+1}$ en fonction de $c_n$ et $g_n$, puis écris la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = AU_n$ pour tout entier naturel $n$.
2. bCalcule $PQ$. Déduis-en que $P$ est inversible et donne $P^{-1}$, puis vérifie que $AP = PD$.
3. cDéduis-en que $A = PDP^{-1}$, puis démontre par récurrence que $A^n = PD^nP^{-1}$ pour tout entier naturel $n$.
4. dDonne $D^n$, puis calcule $A^n$ en fonction de $n$. Contrôle ton résultat avec $n = 1$.
5. eExprime $c_n$ et $g_n$ en fonction de $n$, puis détermine les limites des suites $(c_n)$ et $(g_n)$. Interprète.

Ex. 41★★★Une suite qui démarre au rang 1 — Deux suites sont définies par $u_1 = 1$, $v_1 = 2$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 2u_n + v_n$ et $v_{n+1} = 2v_n$. On note $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ pour tout entier $n \geqslant 1$.

1. aÉcris la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = AU_n$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
2. bCalcule $A^2$ et $A^3$, puis conjecture l'expression de $A^n$ pour tout entier naturel $n$.
3. cDémontre ta conjecture par récurrence.
4. dInès écrit : « D'après le cours, $U_n = U_1A^n$ ». Corrige ses deux erreurs, puis exprime $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
5. eDémontre que la suite $(u_n)$ est croissante, puis détermine le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 1\,000$.

Ex. 42★★★Moyennes successives et matrice diagonale — Deux suites sont définies par $u_0 = 0$, $v_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = v_n$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$. On note $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -0{,}5 \end{pmatrix}$.

1. aÉcris la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = AU_n$. Calcule le déterminant de $P$, déduis-en $P^{-1}$ et vérifie que $PP^{-1} = I_2$.
2. bVérifie que $AP = PD$, puis déduis-en que $A = PDP^{-1}$.
3. cMattéo affirme : « Puisque $A = PDP^{-1}$, on a $U_n = D^nU_0$ ». Vrai ou faux ? Justifie à l'aide du cas $n = 1$.
4. dOn admet que $A^n = PD^nP^{-1}$ pour tout entier naturel $n$. Donne $D^n$, puis calcule $A^n$ en fonction de $n$.
5. eExprime $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, puis détermine les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Ex. 43★★★Trouver l'état stable — Dans tout l'exercice, $(U_n)$ est une suite de matrices colonnes telle que $U_{n+1} = AU_n + B$ pour tout entier naturel $n$.

1. aAvec $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0 \\ 0 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, détermine l'état stable $C$ en résolvant $C = AC + B$.
2. bAvec $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$, calcule $I_2 - A$ et son déterminant. Déduis-en que, pour toute colonne $B$, il existe un unique état stable.
3. cAvec la même matrice $A$ et $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, calcule $(I_2 - A)^{-1}$, puis l'état stable $C$.
4. dAvec les mêmes $A$ et $B$, un élève résout $(A - I_2)C' = B$. Calcule $C'$ et compare-le à $C$.
5. eAvec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$, la matrice $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ est-elle un état stable ? Justifie.
6. f$A$ est une matrice carrée d'ordre 2. Peut-on prendre $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix}$ ? Justifie.
7. gAvec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, justifie qu'il n'existe aucun état stable.

Ex. 44★★★Terme général avec une matrice diagonale — On pose $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}25 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + B$ pour tout entier naturel $n$, avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$.

1. aCalcule $U_1$.
2. bDétermine l'état stable $C$.
3. cDonne $A^n$ pour tout entier naturel $n$.
4. dÀ l'aide de $U_n = A^n(U_0 - C) + C$, exprime $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
5. eDéduis-en la limite de $(U_n)$.
6. fDétermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n - 12 < 0{,}01$. Justifie.

Ex. 45★★★Vrai ou faux sur la suite affine — Dans tout l'exercice, $U_{n+1} = AU_n + B$ pour tout entier naturel $n$, où $A$ est carrée d'ordre 2 et $B$, $U_n$ sont des colonnes à 2 lignes. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie (démonstration ou contre-exemple).

1. aSi $C$ est un état stable et $U_0 = C$, alors $U_n = C$ pour tout entier naturel $n$.
2. bSi $C$ est un état stable, la suite définie par $V_n = U_n - C$ vérifie $V_{n+1} = AV_n + B$.
3. cPour tout entier naturel $n$, $U_n = A^nU_0 + nB$.
4. dSi $A^n$ tend vers la matrice nulle, alors $(U_n)$ tend vers la matrice nulle.
5. eSi $I_2 - A$ n'est pas inversible, la relation n'a aucun état stable.

Ex. 46★★★Les truites des deux étangs — Inès élève des truites dans deux étangs reliés par un canal, le Moulin et la Forge. Chaque année, 60 % des truites d'un étang y restent, 20 % passent dans l'autre et les autres sont pêchées ; puis elle déverse 400 truites au Moulin et 100 à la Forge. On note $m_n$ et $f_n$ les effectifs l'année $2026 + n$, avec $m_0 = 500$, $f_0 = 400$ et $U_n = \begin{pmatrix} m_n \\ f_n \end{pmatrix}$.

1. aExprime $m_{n+1}$ et $f_{n+1}$ en fonction de $m_n$ et $f_n$, puis écris $U_{n+1} = AU_n + B$ en précisant $A$, $B$ et leurs tailles.
2. bJustifie que $I_2 - A$ est inversible, puis détermine l'état stable $C$.
3. cCalcule $V_0 = U_0 - C$, puis $P^{-1}V_0$, où $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $P^{-1} = \frac{1}{2}P$.
4. dOn admet que $A = PDP^{-1}$ avec $D = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0 \\ 0 & 0{,}4 \end{pmatrix}$. À l'aide de $U_n = A^n(U_0 - C) + C$, déduis-en $m_n$ et $f_n$ pour tout entier naturel $n$.
5. eDétermine les limites de $(m_n)$ et de $(f_n)$, puis interprète-les dans le contexte.

Ex. 47★★★Les abricots de la coopérative — Une coopérative de Valence stocke des abricots secs dans deux entrepôts, E et F. Chaque semaine, E garde 40 % de son stock et en envoie 20 % vers F ; F garde 30 % du sien et en envoie 10 % vers E ; le reste est vendu. Puis la coopérative livre 16 tonnes en E et 8 tonnes en F. On note $e_n$ et $f_n$ les stocks en tonnes la semaine $n$, $U_n = \begin{pmatrix} e_n \\ f_n \end{pmatrix}$, avec $e_0 = 42$ et $f_0 = 26$.

1. aExprime $e_{n+1}$ et $f_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $f_n$. Écris ensuite $U_{n+1} = AU_n + B$ en donnant $A$, $B$ et leurs dimensions, puis calcule $U_1$.
2. bJustifie que $I_2 - A$ est inversible et calcule $(I_2 - A)^{-1}$. Déduis-en l'unique état stable $C$.
3. cOn pose $V_n = U_n - C$. Démontre que $V_{n+1} = AV_n$ pour tout entier naturel $n$, puis exprime $U_n$ en fonction de $A^n$, $U_0$ et $C$.
4. dOn admet que $A^n = PD^nP^{-1}$ pour tout entier naturel $n$, avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}2 \end{pmatrix}$. Calcule $P^{-1}$, puis exprime $e_n$ et $f_n$ en fonction de $n$.
5. eDétermine les limites de $(e_n)$ et de $(f_n)$. Interprète-les en tonnes : vers quel stock total la coopérative tend-elle ?

Ex. 48★★★Corriger la copie de Léo — On pose $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 1 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + B$ pour tout entier naturel $n$. Léo rédige une étude de cette suite, mais sa copie contient plusieurs erreurs.

1. aLéo écrit : « $C = AC + B$ équivaut à $(A - I_2)C = B$ ». Repère son erreur, puis détermine l'état stable $C$ en justifiant son unicité.
2. bCalcule $A^2$ et $A^3$. Conjecture l'expression de $A^n$, puis démontre-la par récurrence.
3. cLéo affirme que $U_n = A^nU_0 + B$ pour tout entier naturel $n$. Calcule $U_1$ et $U_2$, puis justifie qu'il a tort.
4. dÀ l'aide de l'encadré, exprime les deux coefficients de $U_n$ en fonction de $n$.
5. eOn admet que $n \times 0{,}5^n$ tend vers 0. Léo conclut que $(U_n)$ tend vers la matrice nulle, puisque $A^n$ tend vers $O$. Corrige-le.

Ex. 49★★★Un paramètre, trois comportements — Pour tout réel $k$, on pose $A = \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix}$. On étudie une suite de matrices colonnes à 2 lignes telle que $U_{n+1} = AU_n + B$ pour tout entier naturel $n$, où $B$ est une matrice colonne à 2 lignes.

1. aCalcule le déterminant de $I_2 - A$ en fonction de $k$. Pour quelles valeurs de $k$ l'état stable existe-t-il et est-il unique, quel que soit $B$ ?
2. bDans cette question, $k = 2$ et $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Démontre qu'il n'existe aucun état stable, puis, en passant à la limite dans la relation, que $(U_n)$ ne converge pour aucun $U_0$.
3. cDans cette question, $k = 2$ et $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$. Détermine tous les états stables.
4. dDésormais, $k = 0{,}5$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Détermine l'état stable $C$, puis calcule $A(U_0 - C)$.
5. eDémontre par récurrence une expression de $A^n(U_0 - C)$, puis exprime $U_n$ en fonction de $n$. La suite $(U_n)$ converge-t-elle ? Justifie.