Terminale maths complémentaires / Lois à densité : uniforme et exponentielle

Ex. 1★★★Automatismes : est-ce une densité ? — Pour chaque fonction, dis si c'est une densité de probabilité sur l'intervalle donné. Vérifie les trois conditions : continuité, positivité, intégrale égale à $1$.

1. a$f_1(t) = 0{,}5t$ sur $[0\,;2]$.
2. b$f_2(t) = 4$ sur $[0\,;0{,}25]$. Léo affirme : « $f_2$ ne peut pas être une densité, car $4 > 1$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. c$f_3(t) = 0{,}2$ sur $[0\,;4]$.
4. d$f_4(t) = 6t(1 - t)$ sur $[0\,;1]$
   (étudie le signe de chaque facteur).
5. e$f_5(t) = 4t - 1$ sur $[0\,;1]$. Calcule d'abord son intégrale, puis conclus.

Ex. 2★★★Automatismes : une probabilité est une aire — La durée $X$, en heures, d'une coupure de courant dans un village du Jura a pour densité $f(t) = 0{,}375t^2$ sur $[0\,;2]$. Une primitive de $f$ est $G(t) = 0{,}125t^3$. Donne les valeurs exactes.

1. aCalcule $f(2)$. Est-ce une probabilité ? Justifie.
2. bCalcule $P(X \leqslant 1)$.
3. cCalcule $P(X < 1{,}6)$.
4. dQue vaut $P(X = 1{,}6)$ ? Justifie.
5. eCalcule $P(1 \leqslant X \leqslant 1{,}6)$.
6. fCalcule $P(X > 1)$.
7. gCalcule $P(1{,}6 \leqslant X \leqslant 3)$.

Ex. 3★★★Automatismes : des trapèzes sans intégrale — Au guichet de la poste de Brest, le temps d'attente $X$, en minutes, a pour densité $f(t) = 0{,}04t + 0{,}1$ sur $[0\,;5]$. Calcule les aires avec des trapèzes, sans intégrale.

1. aCalcule $f(0)$ et $f(5)$. Justifie que $f$ est positive sur $[0\,;5]$.
2. bCalcule l'aire du domaine sous la courbe de $f$ entre $0$ et $5$. Que confirme ce résultat ?
3. cCalcule $P(X \leqslant 2)$.
4. dCalcule $P(2 \leqslant X \leqslant 4)$.
5. eCalcule $P(X > 3)$.

Ex. 4★★★Trouver la constante qui fait une densité — Inès résout une énigme. Le temps $X$ qu'elle y passe, en minutes, a pour densité $f(t) = k(9 - t^2)$ sur $[0\,;3]$, où $k$ est un réel. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aÉtudie le signe de $9 - t^2$ sur $[0\,;3]$. Quelle condition sur $k$ rend $f$ positive ?
2. bDétermine $k$ pour que $f$ soit une densité sur $[0\,;3]$.
3. cCalcule $P(X < 1)$.
4. dCalcule $P(X > 2)$.
5. eCalcule $P(-1 \leqslant X \leqslant 1{,}5)$.

Ex. 5★★★Corriger les erreurs de calcul — À Grenoble, le retard $X$ d'un tram, en minutes, a pour densité $f(t) = 0{,}5 - 0{,}125t$ sur $[0\,;4]$.

1. aMontre que $f$ est une densité sur $[0\,;4]$.
2. bNathan écrit : $P(1 \leqslant X \leqslant 2) = \left[0{,}5t - 0{,}125t^2\right]_{1}^{2} = 0{,}5 - 0{,}375 = 0{,}125$. Trouve son erreur, puis corrige.
3. cClara écrit : $P(X \geqslant 3) = \displaystyle\int_{4}^{3} f(t)\,\mathrm{d}t$ et obtient $-0{,}0625$. Explique son erreur, puis donne la bonne valeur.

Ex. 6★★★Une famille de fonctions : lesquelles sont des densités ? — Dans un atelier vélo de Rennes, Malo modélise la durée $X$, en heures, d'une réparation. Pour un réel $m$, il pose $f_m(t) = mt^2 + c$ sur $[0\,;2]$, où $c$ est un réel qui dépend de $m$. Donne les valeurs exactes.

1. aExprime $c$ en fonction de $m$ pour que $\displaystyle\int_{0}^{2} f_m(t)\,\mathrm{d}t = 1$.
2. bMalo prend $m = -0{,}25$ et affirme : « l'intégrale vaut $1$, donc $f_m$ est une densité ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine toutes les valeurs de $m$ pour lesquelles $f_m$ est une densité sur $[0\,;2]$. Étudie le sens de variation de $f_m$ selon le signe de $m$.
4. dOn prend $m = 0{,}3$. Calcule $f_m(2)$. Malo écrit $P(X = 2) = f_m(2)$. A-t-il raison ? Justifie.
5. eAvec $m = 0{,}3$, calcule $P(X > 1{,}5)$ puis $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$.

Ex. 7★★★Attente du bateau : triangle, trapèze et intégrale — À Marseille, le temps d'attente $X$, en minutes, de la navette vers le Frioul a pour densité une fonction affine $f$ sur $[0\,;5]$, avec $f(5) = 0$.

1. aAvec l'aire d'un triangle, détermine $f(0)$. Déduis-en l'expression de $f(t)$ et justifie que $f$ est positive sur $[0\,;5]$.
2. bCalcule $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$ avec l'aire d'un trapèze, sans intégrale.
3. cCalcule $P(X < 2)$ avec une intégrale.
4. dDéduis-en $P(X \geqslant 2)$, puis $P(X > 2)$.
5. eDétermine le temps $d$ de $[0\,;5]$ tel que $P(X > d) = 0{,}16$. Exprime cette probabilité avec l'aire d'un triangle.

Ex. 8★★★Automatismes : calculer et utiliser F — À un guichet de Brest, le temps d'attente $X$ de Yanis (en minutes) a pour densité $f(t)=\frac{t}{18}$ sur $[0\,;6]$. On note $F$ sa fonction de répartition. Donne les valeurs exactes.

1. aExprime $F(x)$ pour $x \in [0\,;6]$ en calculant $\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$.
2. bDonne $F(x)$ pour $x < 0$, puis pour $x > 6$.
3. cCalcule $P(X \leqslant 3)$.
4. dCalcule $P(2 < X \leqslant 4)$.
5. eCalcule $P(X > 5)$.

Ex. 9★★★Automatismes : lire un tableau de valeurs de F — La durée de fonctionnement $X$ (en heures) de la lampe frontale d'Inès, à Grenoble, est une variable aléatoire à densité à valeurs dans $[0\,;8]$. Voici des valeurs de sa fonction de répartition $F$ :

1. aDonne $P(X \leqslant 4)$.
2. bCalcule $P(X > 2)$.
3. cCalcule $P(2 < X \leqslant 6)$.
4. dDonne $P(X < 6)$. Justifie.
5. eDonne $F(-1)$ et $F(9)$.
6. fSophie affirme que $F(5)=0{,}85$. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 10★★★Loi exponentielle : F, médiane et quantile — La durée de vie $X$ (en années) de la batterie du vélo de Théo, à Bordeaux, suit la loi $\mathcal{E}(0{,}125)$. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au millième.

1. aDonne l'expression de $F(t)=P(X \leqslant t)$ pour $t \geqslant 0$.
2. bCalcule $P(X \leqslant 4)$.
3. cCalcule $P(X > 12)$.
4. dCalcule $P(4 < X \leqslant 12)$.
5. eDétermine la médiane $m$ de $X$ en résolvant $F(m)=0{,}5$.
6. fDétermine la durée $t$ dépassée avec probabilité $0{,}1$, c'est-à-dire telle que $P(X > t)=0{,}1$.

Ex. 11★★★Retrouver la densité à partir de F — À l'atelier de Malik, à Lille, la durée $X$ (en heures) d'une réparation a pour fonction de répartition $F(x)=\frac{x^2-1}{8}$ sur $[1\,;3]$, avec $F(x)=0$ avant $1$ et $F(x)=1$ après $3$.

1. aCalcule $F(1)$ et $F(3)$, puis interprète ces deux valeurs.
2. bDétermine la densité $f$ de $X$ sur $[1\,;3]$ et vérifie qu'elle est positive.
3. cLéa écrit : « $P(X \leqslant 2)=f(2)=0{,}5$ ». Repère son erreur et corrige-la.
4. dCalcule $P(X > 2{,}5)$.
5. eDétermine la médiane de $X$ : valeur exacte, puis arrondi au centième.

Ex. 12★★★Constante, F et quantile — À Nantes, le temps $X$ (en minutes) que met Chloé pour se garer a pour densité $f(t)=kt^2$ sur $[0\,;3]$, où $k$ est un réel positif. On note $F$ la fonction de répartition de $X$.

1. aDétermine $k$.
2. bPour $x \in [0\,;3]$, écris $F(x)$ sous forme d'intégrale, puis calcule-la.
3. cDonne l'expression de $F(x)$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.
4. dCalcule $P(1 < X \leqslant 2)$ : valeur exacte, puis arrondi au millième.
5. eDétermine le temps $x$ dépassé avec probabilité $0{,}1$, arrondi au millième.

Ex. 13★★★Densité affine à reconstituer — Au musée de Strasbourg, la durée $X$ (en heures) de la visite libre de Nora a pour densité $f(t)=at+b$ sur $[0\,;2]$, où $a$ et $b$ sont des réels. On sait que $P(X \leqslant 1)=0{,}375$. On note $F$ la fonction de répartition de $X$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aExprime $F(x)$ en fonction de $a$, $b$ et $x$ pour $x \in [0\,;2]$, puis donne $F(x)$ pour $x<0$ et pour $x>2$.
2. bDétermine $a$ et $b$ à l'aide de $F(2)$ et de $P(X \leqslant 1)$, puis vérifie que $f$ est bien positive sur $[0\,;2]$.
3. cDétermine la médiane $m$ de $X$, puis interprète-la dans le contexte.
4. dHugo affirme : « $P(X > 1{,}6)=1-f(1{,}6)$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $P(X > 1{,}6)$.
5. eCalcule $E(X)$ et $V(X)$, puis compare $E(X)$ à la médiane $m$.

Ex. 14★★★Attente au centre d'appels : de F au seuil — Dans un centre d'appels de Toulouse, le temps d'attente $X$ (en minutes) avant de joindre un conseiller suit la loi $\mathcal{E}(\lambda)$, de densité $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ sur $[0\,;+\infty[$. On note $F$ sa fonction de répartition. La moitié des clients attendent plus de 3 minutes. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aDémontre que $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ pour $x \geqslant 0$, puis justifie que $F$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ et tend vers $1$ en $+\infty$.
2. bDétermine $\lambda$ à l'aide de l'information sur la moitié des clients.
3. cComplète le tableau

   t	3	6	9
   F(t)	…	…	…

   avec des valeurs exactes, puis déduis-en $P(3 < X \leqslant 9)$.
4. dDétermine la durée d'attente $t_0$ dépassée par seulement 10 % des clients.
5. eBen cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X > n) < 0{,}05$. Complète les lignes 2 et 4, puis donne ce qu'affiche le programme. import math lam = ...... n = 0 while ............ : n = n + 1 print(n)

Ex. 15★★★Automatismes : calculs directs avec la loi uniforme — $X$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}([2\,;12])$. Donne les valeurs exactes.

1. aDonne la densité $f$ de $X$ sur $[2\,;12]$.
2. bCalcule $P(4 \leqslant X \leqslant 9)$.
3. cCalcule $P(8 \leqslant X \leqslant 20)$.
4. dCalcule $P(X > 10{,}5)$.
5. eCalcule $E(X)$.
6. fCalcule $V(X)$.

Ex. 16★★★Automatismes : vrai ou faux sur une loi uniforme — $Y$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}([-3\,;5])$ et $F$ est sa fonction de répartition. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. aLa densité de $Y$ vaut $8$ sur $[-3\,;5]$.
2. b$E(Y)=4$.
3. c$P(Y < 1)=P(Y \leqslant 1)$.
4. d$P(-5 \leqslant Y \leqslant 0)=\dfrac{5}{8}$.
5. e$F(3)=0{,}75$.
6. fL'écart type de $Y$ vaut environ $2{,}31$.

Ex. 17★★★Arriver à l'heure au lycée — À Rennes, Malik arrive au lycée à une heure au hasard entre 7 h 40 et 8 h 10. Les cours commencent à 8 h. On note $T$ le temps écoulé depuis 7 h 40, en minutes, à son arrivée : $T$ suit une loi uniforme. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aPrécise l'intervalle de la loi de $T$, puis calcule la probabilité que Malik arrive avant 8 h.
2. bCalcule la probabilité que Malik arrive entre 7 h 52 et 8 h 03.
3. cDonne l'heure moyenne d'arrivée de Malik, puis l'écart type de $T$.
4. dÀ 7 h 45, Malik n'est pas encore arrivé. Calcule la probabilité qu'il arrive avant 8 h.

Ex. 18★★★L'attente du bus à Grenoble — À Grenoble, un bus passe à un arrêt toutes les $12$ minutes, de façon parfaitement régulière. Léna arrive à l'arrêt à un instant pris au hasard. Son temps d'attente $W$, en minutes, suit la loi uniforme $\mathcal{U}([0\,;12])$.

1. aDonne la densité de $W$, puis le temps d'attente moyen de Léna.
2. bHugo affirme : « $P(W > 5)=\frac{5}{12}$ ». Repère son erreur et corrige-la.
3. cCalcule la probabilité que Léna attende moins de $2$ minutes ou plus de $9$ minutes.
4. dDétermine la durée $m$ telle que $P(W \leqslant m)=0{,}9$. Donne-la en minutes et secondes.

Ex. 19★★★Lire et corriger une simulation Python — Chez Ben, Zoé étudie ce programme. On rappelle que random() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;1[$. from random import random def simul(n): c = 0 for i in range(n): x = 4 + 6*random() if x > 8.5: c = c + 1 return c/n

1. aQuelle loi la variable x simule-t-elle ?
2. bQue représente le nombre c à la fin de la boucle ? Qu'estime simul(10000) ?
3. cCalcule la valeur exacte de la probabilité estimée par simul(10000).
4. dPour simuler $\mathcal{U}([-2\,;3])$, Zoé écrit x = 3*random() - 2. Sur quel intervalle x est-il uniforme ? Corrige la ligne.

Ex. 20★★★Retrouver l'intervalle d'une livraison — À Lille, la durée $X$ d'une livraison de repas, en minutes, suit la loi uniforme $\mathcal{U}([a\,;b])$, avec $a < b$. Le restaurant annonce $E(X) = 25$ et $V(X) = 12$. Donne les valeurs exactes, puis un arrondi au millième si besoin.

1. aDétermine $a$ et $b$. Justifie.
2. bCalcule $P(20 \leqslant X \leqslant 35)$, puis $P(X = 25)$.
3. cMargaux a déjà attendu $23$ minutes. Calcule la probabilité que sa livraison dure moins de $28$ minutes au total.
4. dLe restaurant offre le repas si la livraison dure plus de $d$ minutes. Détermine $d$ pour que le repas soit offert dans $5\,\%$ des livraisons.

Ex. 21★★★Un jeu à base d'équation du second degré — À Toulouse, Inès programme un jeu. L'ordinateur tire un réel $X$ selon la loi $\mathcal{U}([-1\,;5])$. Le joueur gagne si l'équation $t^2 - Xt + 1 = 0$, d'inconnue $t$, a au moins une solution réelle. Donne les valeurs exactes, puis un arrondi au millième.

1. aDétermine les valeurs de $X$ pour lesquelles le joueur gagne, puis calcule la probabilité de gagner.
2. bInès écrit ce programme, où random() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;1[$. Complète les deux lignes en pointillés pour que x simule $X$ et que jeu() renvoie $1$ en cas de victoire. Qu'estime frequence(10000) ? from random import random def jeu(): x = ........ if ........: return 1 else: return 0 def frequence(n): s = 0 for k in range(n): s = s + jeu() return s / n
3. cCalcule $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$, puis $P\big(E(X) - \sigma(X) \leqslant X \leqslant E(X) + \sigma(X)\big)$.
4. dSachant que le joueur a gagné, calcule la probabilité que $X$ soit supérieur ou égal à $4$.

Ex. 22★★★Automatismes : probabilités avec la loi exponentielle — $X$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(0{,}25)$. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au millième si besoin.

Ex. 23★★★Automatismes : retrouver le paramètre λ — Dans chaque cas, $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Détermine $\lambda$ : valeur exacte, puis l'arrondi au millième si besoin.

1. a$X$ est une durée de vie, en heures, de moyenne $2\,500$ h.
2. b$X$ est une durée, en années, avec $E(X) = 0{,}8$.
3. c$P(X > 5) = 0{,}8$.
4. d$P(X \leqslant 2) = 0{,}3$.
5. e$X$ est le temps d'attente, en minutes, entre deux clients ; il en arrive en moyenne $3$ par heure. Donne $\lambda$ par minute.

Ex. 24★★★Trouver l'erreur de Lucas — $X$ suit la loi $\mathcal{E}(0{,}3)$. Lucas écrit : « une primitive de $0{,}3e^{-0{,}3t}$ est $e^{-0{,}3t}$, donc $P(X \leqslant 5) = \left[e^{-0{,}3t}\right]_{0}^{5} = e^{-1{,}5} - 1$ ».

1. aCalcule une valeur approchée du résultat de Lucas. Pourquoi est-il impossible ?
2. bDonne une primitive correcte de $t \mapsto 0{,}3e^{-0{,}3t}$ et vérifie-la en la dérivant.
3. cCalcule $P(X \leqslant 5)$ : valeur exacte, puis l'arrondi au millième.
4. dCalcule $P(3 \leqslant X \leqslant 6)$ à l'aide d'une intégrale : valeur exacte, puis l'arrondi au millième.

Ex. 25★★★Durée de vie d'une ampoule LED — La durée de vie $X$, en heures, d'une ampoule LED suit une loi exponentielle. Sa durée de vie moyenne est de $16\,000$ h.

1. aDétermine le paramètre $\lambda$ de cette loi.
2. bMélissa affirme : « une ampoule sur deux dure plus longtemps que la moyenne ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule la médiane de $X$, c'est-à-dire la durée $m$ telle que $P(X \leqslant m) = 0{,}5$. Arrondis à l'heure.
4. dL'ampoule reste allumée en continu ($1$ an $= 8\,760$ h). Calcule la probabilité qu'elle dure plus de $2$ ans, arrondie au millième.

Ex. 26★★★Désintégration d'un noyau radioactif — La durée de vie $X$, en années, d'un noyau radioactif suit la loi $\mathcal{E}(\lambda)$. Sa demi-vie $T$ vérifie $P(X \leqslant T) = 0{,}5$, et $T = 30$ ans.

1. aMontre que $\lambda = \frac{\ln 2}{30}$, puis donne l'arrondi à $10^{-4}$.
2. bCalcule la valeur exacte de $P(X > 60)$.
3. cDétermine le plus petit entier $t$ tel que $P(X \leqslant t) \geqslant 0{,}9$.
4. dRecopie et complète la ligne 4 pour que ce programme affiche l'entier de la question précédente. from math import exp, log lam = log(2)/30 t = 0 while ...: t = t + 1 print(t)

Ex. 27★★★Temps d'attente dans un centre d'appels — Dans le centre d'appels d'une mutuelle à Rennes, le temps d'attente $X$, en minutes, avant qu'un conseiller décroche suit une loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. On observe que $60\,\%$ des appelants attendent plus de $2$ minutes. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aDétermine le paramètre $\lambda$.
2. bCalcule la probabilité qu'un appelant attende entre $1$ et $5$ minutes.
3. cCalcule l'attente moyenne $E(X)$ : valeur exacte, puis l'arrondi à la seconde près.
4. dLa mutuelle veut qu'au moins $80\,\%$ des appelants attendent au plus $5$ min. Si l'attente suit alors $\mathcal{E}(\mu)$, quelle valeur minimale de $\mu$ faut-il ? Quelle attente moyenne maximale cela impose-t-il ?

Ex. 28★★★Garantie d'un capteur de station météo — Une station météo de Briançon utilise un capteur de vent. Sa durée de vie $X$, en années, suit la loi $\mathcal{E}(\lambda)$, de densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0\,;+\infty[$. Le fabricant annonce un taux de $0{,}000025$ panne par heure, et le capteur fonctionne $8\,000$ h par an.

1. aÀ l'aide d'une primitive de $f$, montre que pour tout $t \geqslant 0$ : $P(X \leqslant t) = 1 - e^{-\lambda t}$.
2. bExprime $\lambda$ en pannes par an, puis donne la durée de vie moyenne du capteur.
3. cCalcule la probabilité que le capteur tombe en panne au cours de la troisième année
   (valeur exacte, puis arrondi au millième).
4. dLe fabricant veut qu'au plus $10\,\%$ des capteurs tombent en panne pendant la garantie. Détermine la durée maximale de garantie, en mois entiers.

Ex. 29★★★Automatismes : espérance par une intégrale — Dans chaque question, $f$ est une densité de la variable aléatoire $X$ sur l'intervalle indiqué. Donne les valeurs exactes.

1. a$f(x)=2x$ sur $[0\,;1]$. Calcule $E(X)$.
2. b$f(x)=\frac{3}{8}x^2$ sur $[0\,;2]$. Lou écrit $E(X)=\displaystyle\int_{0}^{2} \frac{3}{8}x^2\,\mathrm{d}x$. Corrige son erreur et calcule $E(X)$.
3. c$f(x)=\frac{4-x}{8}$ sur $[0\,;4]$. Calcule $E(X)$ et vérifie que le résultat est dans $[0\,;4]$.
4. d$f(x)=\frac{3}{2}(1-x^2)$ sur $[0\,;1]$. Un élève trouve $E(X)=1{,}2$. Explique sans calcul pourquoi c'est impossible, puis calcule $E(X)$.
5. e$f(x)=\frac{1}{5}$ sur $[2\,;7]$ : $X$ suit la loi $\mathcal{U}([2\,;7])$. Calcule $E(X)$ par une intégrale, puis compare avec la formule du cours.

Ex. 30★★★Automatismes : lois uniforme et exponentielle — Utilise les formules du cours, sans calculer d'intégrale.

1. a$X$ suit la loi $\mathcal{U}([3\,;11])$. Donne $E(X)$ et $V(X)$.
2. b$X$ suit la loi $\mathcal{U}([3\,;11])$. Calcule $\sigma(X)$ : valeur exacte, puis arrondi au centième.
3. c$X$ suit la loi $\mathcal{U}([3\,;11])$. Calcule $E(2X+5)$.
4. d$Y$ suit la loi $\mathcal{E}(0{,}4)$. Donne $E(Y)$.
5. eLa durée de vie d'une ampoule suit une loi exponentielle de moyenne $50$ heures. Détermine $\lambda$.
6. f$Z$ suit $\mathcal{U}([0\,;6])$ et $W$ suit $\mathcal{U}([2\,;4])$. Vrai ou faux : $Z$ et $W$ ont même espérance et même variance ? Justifie.

Ex. 31★★★Les erreurs de Noa — Le temps d'attente $X$ (en minutes) d'une navette à Annecy suit la loi $\mathcal{U}([1\,;7])$, de densité $f(x)=\frac{1}{6}$ sur $[1\,;7]$.

1. aNoa écrit $E(X)=\displaystyle\int_{1}^{7} x\,\mathrm{d}x$. Calcule cette intégrale, explique pourquoi elle ne peut pas valoir $E(X)$, puis calcule $E(X)$.
2. bCalcule $\displaystyle\int_{1}^{7} x^2 f(x)\,\mathrm{d}x$, puis $V(X)$.
3. cNoa propose $V(X)=\displaystyle\int_{1}^{7} \left(x^2-E(X)^2\right)\mathrm{d}x$. Calcule cette intégrale et explique pourquoi elle est fausse.
4. dVérifie $E(X)$ et $V(X)$ avec les formules de la loi uniforme, donne $\sigma(X)$ au millième et interprète $E(X)$.

Ex. 32★★★Durée des appels : deux centres — La durée $X$ (en minutes) d'un appel reçu par un centre d'assistance de Lille a pour densité $f(x)=\frac{6-x}{18}$ sur $[0\,;6]$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aCalcule $E(X)$ et interprète ce résultat.
2. bCalcule $V(X)$, puis $\sigma(X)$.
3. cDétermine la fonction de répartition $F$ sur $[0\,;6]$, puis la médiane $m$ de $X$. Compare $m$ et $E(X)$.
4. dÀ Rennes, la durée $Y$ d'un appel suit la loi $\mathcal{U}([0\,;4])$. Compare $E(Y)$ et $V(Y)$ avec ceux de $X$. Quel centre a les durées les plus régulières ?

Ex. 33★★★Batteries de trottinettes — La durée de vie $T$ (en années) d'une batterie de trottinette fabriquée à Grenoble suit la loi $\mathcal{E}(\lambda)$. Le fabricant annonce une durée de vie moyenne de $4$ ans.

1. aDétermine $\lambda$.
2. bCalcule la médiane $m$ de $T$ : valeur exacte, puis arrondi au centième.
3. cInès affirme : « La moitié des batteries durent plus de $4$ ans, puisque c'est la moyenne. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul de probabilité arrondi au millième.
4. dUne batterie coûte $180$ €, plus $12$ € d'assurance par année de fonctionnement : son coût total est $C=180+12T$. Calcule $E(C)$ et interprète.

Ex. 34★★★Randonnées guidées à Chamonix — La durée $X$ (en heures) d'une randonnée guidée au départ de Chamonix est une variable aléatoire de densité $f(x)=kx$ sur $[1\,;3]$, où $k$ est un réel. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aDétermine $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[1\,;3]$.
2. bDétermine la fonction de répartition $F$ sur $[1\,;3]$, puis la médiane $m$ de $X$.
3. cCalcule $E(X)$. Vérifie que $E(X)$ appartient à $[1\,;3]$, puis compare $E(X)$ et $m$. Explique pourquoi ils diffèrent.
4. dCalcule $V(X)$, puis l'écart type $\sigma(X)$. Convertis $\sigma(X)$ en minutes.
5. eLe guide facture $30$ € par heure, plus un forfait de $20$ €. Sans calculer de nouvelle intégrale, détermine le prix moyen d'une randonnée.

Ex. 35★★★Deux lignes de bus à Nantes — À Nantes, Lina peut prendre la ligne 1 ou la ligne 2. Son temps d'attente $X$ (en minutes) à la ligne 1 suit la loi $\mathcal{U}([2\,;14])$. Son temps d'attente $Y$ (en minutes) à la ligne 2 suit la loi $\mathcal{E}(\lambda)$, avec $P(Y > 10)=0{,}25$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aDonne $E(X)$ et $V(X)$ à l'aide des formules du cours.
2. bCalcule $\sigma(X)$, puis $P\left(E(X)-\sigma(X)\leqslant X\leqslant E(X)+\sigma(X)\right)$.
3. cDétermine $\lambda$, puis $E(Y)$. Interprète $E(Y)$.
4. dDétermine la médiane de $Y$ et compare-la à $E(Y)$. Explique pourquoi elles diffèrent, alors que pour $X$ elles sont égales.
5. eLina dispose de 12 minutes de marge. Compare $P(X > 12)$ et $P(Y > 12)$. Quelle ligne lui conseilles-tu ? Justifie en tenant aussi compte de $E(X)$ et de $E(Y)$.

Ex. 36★★★Automatismes : sachant que l'appareil fonctionne encore — La durée de vie $X$, en années, d'un appareil suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(0{,}1)$. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au millième si besoin.

1. aCalcule $P_{X > 5}(X > 12)$.
2. bCalcule $P_{X > 4}(X \leqslant 9)$.
3. cSans calcul, compare $P_{X > 3}(X > 11)$ et $P_{X > 50}(X > 58)$.
4. dPour $h \geqslant 0$, exprime $P_{X > 6}(X > 6 + h)$ en fonction de $h$.
5. eL'appareil fonctionne encore au bout de $15$ ans. Quelle est sa durée de vie restante moyenne ?

Ex. 37★★★Automatismes : vrai ou faux sur un composant électronique — La durée de vie $X$, en heures, d'un composant suit la loi $\mathcal{E}(0{,}0008)$. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a« $P_{X > 1000}(X > 1500) = P(X > 1500)$. »
2. b« Un composant qui fonctionne encore après $1\,000$ h a une chance sur deux de tomber en panne dans les $\frac{\ln 2}{0{,}0008}$ heures qui suivent. »
3. c« Un composant qui a déjà fonctionné $1\,000$ h va bientôt tomber en panne : il a plus de risques de lâcher dans les $500$ h suivantes qu'un composant neuf. »
4. d« Sachant que le composant fonctionne encore au bout de $2\,000$ h, sa durée de vie totale moyenne est de $1\,250$ h. »

Ex. 38★★★L'erreur d'Inès à la boulangerie — Dans une boulangerie de Rennes, la durée $X$, en minutes, entre deux arrivées de clients suit la loi $\mathcal{E}(0{,}3)$. Pour calculer $P_{X > 2}(X > 5)$, Inès écrit : $P(X > 5) - P(X > 2) = e^{-1{,}5} - e^{-0{,}6}$.

1. aCalcule l'arrondi au millième du résultat d'Inès. Pourquoi ne peut-il pas être une probabilité ?
2. bJustifie que $\{X > 5\} \cap \{X > 2\} = \{X > 5\}$.
3. cCalcule correctement $P_{X > 2}(X > 5)$ : donne la valeur exacte, puis l'arrondi au millième.
4. dCompare avec $P(X > 3)$. Interprète ce résultat pour la boulangère.

Ex. 39★★★Le phosphore 32 au laboratoire de Grenoble — Dans un laboratoire de Grenoble, la durée de vie $X$, en jours, d'un noyau de phosphore 32 suit une loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. On prend $14$ jours pour sa demi-vie.

1. aDétermine $\lambda$ : donne la valeur exacte avec $\ln$, puis l'arrondi à $10^{-4}$.
2. bUn noyau n'est pas désintégré au bout de $30$ jours. Calcule la probabilité exacte qu'il ne le soit toujours pas au bout de $72$ jours.
3. cCe noyau est intact au bout de $30$ jours. Calcule la probabilité qu'il se désintègre dans les $7$ jours suivants : valeur exacte, puis arrondi au millième.
4. dUn échantillon contient $64\,000$ noyaux. Combien en reste-t-il environ au bout de $56$ jours ?

Ex. 40★★★Le tram de Camille et les voitures de la route — À Nantes, Camille arrive à l'arrêt au hasard. Son temps d'attente $T$, en minutes, suit la loi $\mathcal{U}([0\,;12])$. Sur une route de campagne, la durée $X$, en minutes, entre deux passages de voitures suit la loi $\mathcal{E}(0{,}25)$.

1. aCalcule $P(T > 4)$ et $P_{T > 6}(T > 10)$.
2. bCalcule $P(X > 4)$ et $P_{X > 6}(X > 10)$ : donne les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.
3. cLaquelle des deux lois est sans mémoire ? Explique ce qui change pour Camille après $6$ minutes d'attente.
4. dLa loi exponentielle est-elle adaptée à la durée de vie d'un pneu, qui s'use ? Et à la durée avant la désintégration d'un noyau ? Justifie.

Ex. 41★★★Les serveurs d'un centre de données à Lille — Dans un centre de données à Lille, la durée $X$, en heures, de fonctionnement d'un serveur avant une panne accidentelle suit une loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, avec $E(X) = 2\,500$. On rappelle que $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ pour tout $t \geqslant 0$. Donne d'abord les valeurs exactes, puis les arrondis demandés.

1. aSoit $s \geqslant 0$ et $t \geqslant 0$. Justifie que l'événement $\{X > s + t\}$ est inclus dans $\{X > s\}$, puis démontre que $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$.
2. bDétermine la valeur de $\lambda$.
3. cHugo, le technicien, veut remplacer chaque serveur dès $3\,000$ h, « avant qu'il ne lâche ». Calcule $P_{X > 3000}(X \leqslant 3600)$ au millième près. Son idée réduit-elle le risque de panne ? Justifie.
4. dEn moyenne, combien d'heures fonctionnera encore un serveur qui a déjà tourné $3\,000$ h ? Justifie.
5. eUn serveur a déjà tourné $3\,000$ h. Détermine la durée $t$, arrondie à l'heure, telle que $P_{X > 3000}(X > 3000 + t) = 0{,}9$.

Ex. 42★★★L'hélice et la carte du drone de Lucie — À Toulouse, Lucie entretient un drone. La durée de vie $Y$, en mois, d'une hélice, qui s'use, suit la loi $\mathcal{U}([4\,;20])$. La durée de vie $X$, en mois, de sa carte électronique, qui ne tombe en panne que par accident, suit la loi $\mathcal{E}(0{,}05)$. Donne d'abord les valeurs exactes, puis les arrondis au millième.

1. aPour $4 \leqslant s \leqslant 16$, on pose $g(s) = P_{Y > s}(Y > s + 4)$. Montre que $g(s) = \frac{16 - s}{20 - s}$.
2. bÉtudie le sens de variation de $g$ sur $[4\,;16]$. L'hélice a-t-elle la propriété d'absence de mémoire ? Justifie.
3. cDétermine $s$ tel que $g(s) = \frac{1}{2}$, puis interprète ce résultat pour Lucie.
4. dMontre que $P_{X > s}(X > s + 4)$ ne dépend pas de $s$. Après $s$ mois ($4 \leqslant s \leqslant 16$), qui a le plus de chances de tenir encore $4$ mois : l'hélice ou la carte ?