42 exercices en 6 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Reconnaître une loi géométrique : rang du premier succès
À retenir : Si l'on répète une épreuve de Bernoulli (succès nommé, de probabilité $p$) de façon identique et indépendante, alors le rang $X$ du premier succès suit $\mathcal{G}(p)$ : $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$ pour $k \geqslant 1$. Nombre de succès sur $n$ essais fixés : loi binomiale. Nombre d'échecs avant le premier succès : $X - 1$.
Ex. 1★★★Automatismes : géométrique, binomiale ou aucune des deux ?— Pour chaque situation, dis si $X$ suit une loi géométrique, une loi binomiale ou aucune des deux. Justifie ta réponse et donne les paramètres de la loi quand il y en a une.
aKenza lance $12$ fois une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité $0{,}45$. $X$ est le nombre de piles obtenus.
bKenza lance la même pièce jusqu'à obtenir pile. $X$ est le rang du premier pile.
cUne urne contient $3$ boules rouges et $7$ noires. On tire sans remise jusqu'à obtenir une rouge. $X$ est le rang de ce tirage.
dOn lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir $5$ ou $6$. $X$ est le rang de ce lancer.
eUn archer tire au plus $5$ flèches et s'arrête dès qu'il touche le centre. $X$ est le nombre de flèches tirées.
fMalik repasse son permis jusqu'à l'obtenir. Sa probabilité de réussite augmente à chaque passage. $X$ est le rang du passage réussi.
Ex. 2★★★Automatismes : fléchettes— Noé lance des fléchettes. Chaque lancer manque la cible avec la probabilité $0{,}65$, indépendamment des autres. Il lance jusqu'à toucher la cible. $X$ est le rang du premier lancer qui touche la cible. Arrondis au millième si nécessaire.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
b$X$ peut-il prendre la valeur $0$ ? Donne l'ensemble des valeurs possibles de $X$.
cCalcule $P(X = 1)$.
dCalcule $P(X = 4)$.
eOn note $Y$ le nombre de lancers manqués avant le premier lancer qui touche la cible. Exprime $Y$ en fonction de $X$, puis calcule $P(Y = 2)$.
Ex. 3★★★Lire le diagramme d'une loi géométrique— Dans un jeu vidéo, Hugo ouvre des coffres les uns après les autres. Chaque coffre contient une arme rare avec la même probabilité $p$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier coffre qui contient une arme rare. On admet que $X$ suit $\mathcal{G}(p)$. Voici la représentation de la loi de $X$ : Donne des valeurs exactes.
aLis $P(X = 1)$ sur le graphique et déduis-en la valeur de $p$.
bCalcule $P(X = 2)$, puis le quotient $\frac{P(X = 2)}{P(X = 1)}$. Comment passe-t-on d'un point au suivant ?
cComplète le tableau :
k
P(X = k)
3
…
4
…
5
…
dQuelle est la valeur la plus probable de $X$ ? Justifie sans calcul supplémentaire.
Ex. 4★★★Contrôle qualité : corriger la copie de Tom— Dans une usine, $4\,\%$ des pièces produites sont défectueuses. Un contrôleur prélève les pièces une à une, de façon indépendante, jusqu'à trouver une pièce défectueuse. $X$ est le rang de cette pièce. Tom écrit : « Succès : la pièce est conforme, donc $X$ suit $\mathcal{G}(0{,}96)$ et $P(X = 5) = 0{,}96^5 \times 0{,}04$. » Arrondis au dix-millième.
aRepère l'erreur de Tom sur le succès, puis rédige correctement la justification de la loi de $X$.
bRepère l'erreur dans son calcul de $P(X = 5)$, puis calcule correctement cette probabilité.
cTom ajoute : « Le nombre $Y$ de pièces conformes contrôlées avant la première défectueuse suit aussi $\mathcal{G}(0{,}04)$. » Calcule $P(Y = 0)$ et montre qu'il se trompe.
dOn contrôle maintenant un lot de $50$ pièces. $Z$ est le nombre de pièces défectueuses du lot. Quelle loi suit $Z$ ? Explique ce qui la distingue de la loi de $X$.
Ex. 5★★★Vrai ou faux : la partie de pêche— Gaspard pêche au bord d'un lac. À chaque lancer de ligne, il attrape un poisson avec la probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres lancers. Il lance jusqu'à attraper un poisson. $X$ est le rang de ce lancer. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.
a« $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0{,}85$. »
b« La probabilité que Gaspard attrape son premier poisson au 6e lancer vaut environ $0{,}067$ (au millième). »
d« Gaspard a raté ses $4$ premiers lancers : il a maintenant plus de chances d'attraper un poisson au $5^{\text{e}}$ lancer. »
e« Les prises sont des truites avec la probabilité $0{,}05$, d'autres poissons avec $0{,}10$, et rien sinon. Le rang du premier lancer qui ramène une truite suit $\mathcal{G}(0{,}05)$. »
Ex. 6★★★La roue de la fête foraine— À la fête d'Annecy, Lina tourne une roue à $8$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $4$ bleus et $1$ doré. Les lancers sont indépendants. Elle tourne la roue jusqu'à tomber sur le doré ; $X$ est le rang de ce lancer. Rappel : si $X$ suit $\mathcal{G}(p)$, alors $E(X) = \frac{1}{p}$. Arrondis les résultats au millième.
aChaque lancer a trois issues possibles. Justifie quand même que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
bCalcule la valeur exacte de $P(X = 3)$, puis donne son arrondi.
cOn note $Y$ le nombre de lancers non dorés avant le premier lancer doré. Exprime $Y$ en fonction de $X$, donne ses valeurs possibles, puis calcule $P(Y = 0)$ et $E(Y)$.
dLe lendemain, Lina tourne la roue exactement $10$ fois, et $Z$ compte les secteurs dorés obtenus. Quelle loi suit $Z$ ? Justifie, puis explique pourquoi $P(Z = 0) = P(X > 10)$ et calcule cette probabilité.
eBen propose une autre règle : Lina s'arrête au premier secteur doré, et au plus tard après $5$ lancers. $T$ est le nombre de lancers effectués. $T$ suit-elle une loi géométrique ? Justifie, puis calcule $P(T = 5)$.
Ex. 7★★★Le trousseau de clés : avec ou sans remise ?— À Rennes, Inès doit ouvrir un cadenas avec un trousseau de $6$ clés ; une seule convient. Stratégie A : à chaque essai, elle prend une clé au hasard parmi les $6$. Stratégie B : elle met de côté chaque clé essayée. $X$ (stratégie A) et $Y$ (stratégie B) sont les rangs de l'essai qui ouvre le cadenas. Rappel : si $X$ suit $\mathcal{G}(p)$, alors $E(X) = \frac{1}{p}$. Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre. Sa sœur Romane affirme qu'avec la stratégie A, $X$ ne peut pas dépasser $6$. A-t-elle raison ? Justifie.
bCalcule $P(X = 2)$, puis la probabilité qu'Inès ouvre le cadenas en $3$ essais au plus avec la stratégie A.
cAvec la stratégie B, calcule $P(Y = 1)$, $P(Y = 2)$ et $P(Y = 3)$ à l'aide de probabilités conditionnelles.
dExplique, avec deux arguments, pourquoi $Y$ ne suit pas une loi géométrique.
eCalcule $E(X)$, puis $E(Y)$. Quelle stratégie conseilles-tu à Inès ? Justifie.
Ex. 8★★★Automatismes : calculer P(X = k)— Dans chaque cas, $X$ est le rang du premier succès et suit une loi géométrique. Donne la valeur exacte ou l'arrondi au millième.
a$X$ suit $\mathcal{G}(0{,}3)$. Donne la probabilité que le premier succès ait lieu dès le premier essai.
Ex. 9★★★Automatismes : retrouver le paramètre p— Dans chaque cas, $X$ suit une loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ de paramètre $p$ inconnu. Arrondis au millième si besoin.
aOn sait que $P(X = 1) = 0{,}45$. Donne $p$.
bOn sait que $P(X = 4) = 0{,}0384$ et $P(X = 5) = 0{,}01536$. Donne $p$.
cLes nombres $P(X = 1)$,$P(X = 2)$, $P(X = 3)$… forment une suite géométrique de raison $0{,}75$. Donne $p$.
dOn sait que $P(X = 2) = 0{,}09$ et $P(X = 3) = 0{,}081$. Donne $p$, puis calcule $P(X = 4)$.
Ex. 10★★★Les coffres de Lina— Dans un jeu vidéo, Lina ouvre des coffres les uns après les autres. Chaque coffre contient un objet rare avec la probabilité $0{,}08$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier coffre qui contient un objet rare. Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique dont tu donneras le paramètre.
cLina écrit : « $P(X = 3) = 0{,}92^3 \times 0{,}08$. » Explique son erreur, puis calcule $P(X = 3)$.
dCalcule la probabilité que les quatre premiers coffres ne contiennent aucun objet rare et que le cinquième en contienne un.
eVrai ou faux ? « Comme $p$ est petit, la valeur la plus probable de $X$ est un rang élevé. » Justifie.
Ex. 11★★★Contrôle qualité d'ampoules— Dans une usine de Clermont-Ferrand, Malik teste des ampoules une par une. Chaque ampoule est défectueuse avec la probabilité $0{,}12$, indépendamment des autres. $X$ est le rang de la première ampoule défectueuse. Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique dont tu donneras le paramètre.
bComplète le tableau :
k
P(X = k)
1
…
2
…
3
…
4
…
cCalcule la probabilité que la première ampoule défectueuse soit la 2e, la 3e ou la 4e.
dZoé écrit : « $P(X \leqslant 3) = P(X = 3)$. » Corrige son erreur et calcule $P(X \leqslant 3)$.
Ex. 12★★★Hugo à la pêche— Au lac d'Annecy, Hugo lance sa ligne plusieurs fois de suite. Chaque lancer reste sans poisson avec la probabilité $0{,}62$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier lancer où Hugo attrape un poisson. Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
bDécris le chemin de l'arbre qui réalise $\{X = 4\}$, puis calcule $P(X = 4)$.
cReprésente la loi de $X$ par les points $(k\,;P(X = k))$ pour $k$ allant de $1$ à $6$.
dUn autre jour, Hugo fait exactement $12$ lancers. $Y$ est le nombre de poissons attrapés. $Y$ suit-elle une loi géométrique ? Justifie.
Ex. 13★★★Le tir à l'arc d'Inès : retrouver p— À Nantes, Inès tire des flèches une à une jusqu'à toucher le centre de la cible. Les tirs sont indépendants. Chaque tir touche le centre avec la même probabilité $p$, avec $0 < p < 1$. $X$ est le rang de la première flèche qui touche le centre. Son entraîneur a obtenu $P(X = 2) = 0{,}2275$ et $P(X = 3) = 0{,}147875$. Arrondis au millième si besoin.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique. Exprime $P(X = 2)$ et $P(X = 3)$ en fonction de $p$.
bCalcule le quotient $\frac{P(X = 3)}{P(X = 2)}$ et déduis-en la valeur de $p$.
cCalcule la probabilité qu'Inès touche le centre pour la première fois à la $5^{\text{e}}$ flèche.
dLéo affirme : « Inès rate souvent le centre, donc la valeur la plus probable de $X$ n'est pas $1$. » Vrai ou faux ? Justifie.
eDétermine le plus petit rang $k$ tel que $P(X = k) < 0{,}01$.
Ex. 14★★★Chamboule-tout : chemins, sommes et rangs pairs— À la fête foraine de Lille, Chloé lance des balles une à une sur une pyramide de boîtes, jusqu'à toutes les faire tomber. Chaque lancer réussit avec la probabilité $0{,}7$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier lancer réussi. Arrondis au millième si besoin.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique. Décris le chemin de l'arbre qui réalise $\{X = 3\}$ et calcule $P(X = 3)$.
bBastien écrit : « $P(X = k) = 0{,}7^{k-1} \times 0{,}3$, donc $P(X = 1) = 0{,}3$. » Repère et corrige son erreur.
cCalcule la probabilité que le premier lancer réussi ne soit pas le 1er mais arrive au plus tard au 3e.
dMontre que, pour tout entier $k \geqslant 1$, $P(X = k + 2) = 0{,}09 \times P(X = k)$.
eChloé n'a droit qu'à $6$ lancers. Déduis-en la probabilité que son premier lancer réussi ait un rang pair ($2$, $4$ ou $6$).
3.Calculer P(X > k) et P(X ⩽ k)
À retenir : $P(X > k) = (1-p)^k$ : les $k$ premiers essais sont des échecs. On en déduit $P(X \leqslant k) = 1-(1-p)^k$ et $P(X \geqslant k) = (1-p)^{k-1}$. On a aussi $P(X < k) = P(X \leqslant k-1)$ et $P(a < X \leqslant b) = (1-p)^a-(1-p)^b$. Exemple avec $\mathcal{G}(0{,}5)$ : $P(X \geqslant 3) = 0{,}25$.
Ex. 15★★★Automatismes : une loi, six événements— $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}(0{,}3)$. Donne les résultats arrondis au millième s'ils ne sont pas exacts.
Ex. 16★★★Automatismes : compléter le tableau— $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}(0{,}4)$. Complète le tableau suivant avec des valeurs exactes.
k
$P(X = k)$
$P(X > k)$
$P(X \leqslant k)$
1
0,4
…
…
2
…
…
…
3
…
…
…
4
…
…
…
aCalcule $P(X = 2)$, $P(X = 3)$ et $P(X = 4)$.
bComplète la colonne $P(X > k)$ pour $k$ allant de 1 à 4.
cComplète la colonne $P(X \leqslant k)$ pour $k$ allant de 1 à 4.
dVérifie avec le tableau que $P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = P(X \leqslant 3)$.
eLis dans le tableau la valeur de $P(X \geqslant 3)$, en justifiant ton choix de case.
Ex. 17★★★Attente au téléphone : les erreurs de Malo— Malo appelle un service client. À chaque appel, la probabilité d'obtenir un conseiller est 0,2, indépendamment des autres appels. $X$ est le rang du premier appel abouti. Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
bMalo écrit : « $P(X \geqslant 6) = 0{,}8^6$ ». A-t-il raison ? Justifie et donne la bonne valeur.
cMalo écrit : « $P(X < 4) = 1 - 0{,}8^4$ ». A-t-il raison ? Justifie et donne la bonne valeur.
dMalo écrit : « $P(1 < X \leqslant 6) = 0{,}8 - 0{,}8^6$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule cette probabilité.
Ex. 18★★★Contrôle qualité : la formule par la somme géométrique— Sur une chaîne, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité 0,1, indépendamment des autres. On contrôle les pièces une par une. $X$ est le rang de la première pièce défectueuse : $X$ suit $\mathcal{G}(0{,}1)$. $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 1.
aÉcris $P(X \leqslant n)$ comme une somme de $n$ termes de la forme $P(X = k)$, puis exprime chaque terme en fonction de $k$.
bDémontre que $P(X \leqslant n) = 1 - 0{,}9^n$ en utilisant la somme $1 + q + \dots + q^{n-1}$.
cDéduis-en $P(X > n)$. Retrouve ce résultat en décrivant l'événement $\{X > n\}$ par une phrase sur les $n$ premières pièces.
dCalcule la probabilité que la première pièce défectueuse arrive strictement après la 10e pièce. Arrondis au millième.
Ex. 19★★★Jeu vidéo : les coffres de Nora— Dans un jeu vidéo, Nora ouvre des coffres un par un. Chaque coffre contient un objet rare avec la probabilité 0,12, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier coffre qui contient un objet rare. Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
bCalcule la probabilité que Nora ouvre au plus 5 coffres pour obtenir son premier objet rare.
cCalcule la probabilité que Nora doive ouvrir au moins 8 coffres.
dCalcule la probabilité que Nora doive ouvrir strictement plus de 10 coffres.
eCalcule la probabilité que le premier objet rare soit dans le 4e, le 5e ou le 6e coffre.
Ex. 20★★★Crue cinquantennale à Saumur— À Saumur, chaque année, la probabilité que la Loire dépasse la cote d'alerte est $0{,}02$, indépendamment des autres années. On commence l'observation en 2027 (rang 1). $X$ est le rang de la première année de crue. Arrondis les probabilités au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique, puis démontre que pour tout entier naturel $k$,$P(X > k) = 0{,}98^k$.
bCalcule la probabilité que la première crue survienne strictement après l'année 2056.
cCalcule la probabilité que la première crue survienne entre 2037 et 2056, ces deux années comprises.
dDétermine par le calcul avec $\ln$ le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}5$. Interprète-le avec une année.
eUn élu affirme : « La crue arrive en moyenne tous les 50 ans, donc on a plus d'une chance sur deux d'attendre au moins 50 ans. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 21★★★Pannes d'un serveur à Lorient— Dans une entreprise de Lorient, un serveur informatique tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0{,}04$, indépendamment des autres jours. $X$ est le rang du premier jour de panne. Arrondis les probabilités au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique, puis calcule la probabilité que la première panne ait lieu avant le 10e jour (strictement).
bCalcule la probabilité que la première panne ait lieu le 20e jour ou plus tard.
cVoici un programme Python. Explique ce que représente, dans ce contexte, la valeur affichée. p = 0.04
n = 1
while 1 - (1 - p)**n < 0.75:
n = n + 1
print(n)
dSans utiliser $\ln$, détermine par essais à la calculatrice la valeur affichée par ce programme.
e$Y$ est le nombre de pannes sur les 30 premiers jours. Explique pourquoi $Y$ ne suit pas une loi géométrique, puis calcule $P(Y = 0)$ à l'aide de $X$.
4.Déterminer un seuil
À retenir : Seuil : $1 - (1 - p)^n \geqslant s \Leftrightarrow n \geqslant \frac{\ln(1 - s)}{\ln(1 - p)}$, car $\ln(1 - p) < 0$ : le sens change. On arrondit à l'entier supérieur et on contrôle $n - 1$ et $n$. Exemple : $0{,}9^n \leqslant 0{,}5 \Leftrightarrow n \geqslant 6{,}58$, donc $n = 7$.
Ex. 22★★★Automatismes : résoudre une inéquation avec le logarithme— Pour chaque inéquation, détermine le plus petit entier naturel $n$ qui convient. Arrondis les quotients de logarithmes au centième et les puissances au millième.
a$0{,}7^n \leqslant 0{,}05$
b$0{,}95^n < 0{,}2$
c$1 - 0{,}6^n \geqslant 0{,}99$
d$1 - 0{,}82^n > 0{,}6$
eExplique pourquoi l'inéquation $0{,}7^n \leqslant 0$ n'a pas de solution et pourquoi on ne peut pas y appliquer $\ln$.
Ex. 23★★★Automatismes : seuil par essais— Inès réussit chaque tir à trois points avec la probabilité $0{,}35$, indépendamment des autres tirs. $X$ est le rang de son premier tir réussi, donc $X$ suit $\mathcal{G}(0{,}35)$. La calculatrice donne les valeurs suivantes (exactes ou arrondies au dix-millième) :
k
P(X ⩽ k)
1
0,35
2
0,5775
3
0,7254
4
0,8215
5
0,8840
6
0,9246
7
0,9510
8
0,9681
aInès veut au moins 80 % de chances de réussir un tir. Combien de tirs doit-elle prévoir au minimum ? Justifie avec le tableau.
bÉcris à l'aide de $X$ l'événement « Inès réussit au moins un de ses 5 premiers tirs », puis donne sa probabilité.
cDonne le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}5775$.
dDonne le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) > 0{,}5775$.
eInès veut que la probabilité de rater tous ses tirs soit au plus $0{,}05$. Combien de tirs doit-elle prévoir ?
Ex. 24★★★Contrôle qualité : corrige l'erreur de Théo— Dans une usine de Roubaix, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}12$, indépendamment des autres. Un contrôleur examine les pièces une par une. $X$ est le rang de la première pièce défectueuse. Pour trouver le plus petit $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}9$, Théo écrit : « $0{,}88^n \leqslant 0{,}1 \Leftrightarrow n \leqslant \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}88} \approx 18{,}01$, donc $n = 18$. »
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
cRepère les deux erreurs de Théo, puis rédige la bonne résolution.
dContrôle ta réponse en calculant $0{,}88^{18}$ et $0{,}88^{19}$ au dix-millième, puis interprète-la pour le contrôleur.
Ex. 25★★★Jeu vidéo : un seuil en Python— Dans un jeu vidéo, chaque coffre ouvert par Nora contient une épée rare avec la probabilité $0{,}08$, indépendamment des autres coffres. $X$ est le rang du premier coffre qui contient l'épée, donc $X$ suit $\mathcal{G}(0{,}08)$. Cette fonction doit renvoyer le plus petit $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant s$ : def seuil(s):
k = 1
while ........ :
k = k + 1
return k
aComplète la condition de la boucle while et explique pourquoi c'est la négation de la condition cherchée.
bDétermine par le calcul la valeur renvoyée par seuil(0.75). Arrondis les puissances au dix-millième.
cInterprète ce résultat pour Nora.
dExplique pourquoi, en théorie, l'appel seuil(1) ne s'arrêterait jamais, et pourquoi le calcul avec $\ln$ échoue aussi pour $s = 1$.
Ex. 26★★★Pêche au lac : deux pêcheurs, un même seuil— Au bord du lac d'Annecy, à chaque lancer, Malo attrape un poisson avec la probabilité $0{,}1$ et Zoé avec la probabilité $0{,}25$. Les lancers sont indépendants. $X$ est le rang du premier lancer avec prise de Malo et $Y$ celui de Zoé, avec $Y$ qui suit $\mathcal{G}(0{,}25)$. Arrondis les quotients de logarithmes au centième, les puissances au dix-millième et les probabilités au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique dont tu préciseras le paramètre.
bDétermine le plus petit nombre de lancers $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}99$.
cFais de même pour $Y$, contrôle avec les deux entiers voisins (puissances au cent-millième), puis compare avec Malo.
dMalo dit : « En moyenne, il me faut 10 lancers, donc en 10 lancers je suis presque sûr d'attraper un poisson. » A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 27★★★Crue de la Loire : période de retour et seuil— À Tours, chaque année, la Loire connaît une crue majeure avec la probabilité $0{,}02$, indépendamment des autres années. On compte les années à partir de 2027 et on note $X$ le rang de la première année de crue majeure. Arrondis les probabilités au dix-millième et les quotients de logarithmes au centième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique dont tu préciseras le paramètre. Calcule $E(X)$ et interprète-la comme une période de retour.
bDémontre que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $P(X \leqslant n) = 1 - 0{,}98^n$ en additionnant les $P(X = k)$ pour $k$ allant de $1$ à $n$.
cDétermine le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) > 0{,}5$. Contrôle avec $n - 1$ et $n$, puis interprète $n$ dans le contexte.
dAmandine affirme : « La période de retour est $50$ ans, donc on a une chance sur deux de voir une crue majeure en $25$ ans. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
eDétermine le plus petit nombre d'années $n$ tel que la probabilité de ne connaître aucune crue majeure pendant ces $n$ années soit inférieure à $0{,}1$, puis la dernière année de cette période.
Ex. 28★★★Standard téléphonique : seuil large, seuil strict et programme— Yanis appelle le standard de la mairie de Nantes. À chaque appel, il obtient un agent avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des autres appels. Il rappelle jusqu'à obtenir un agent. $X$ est le rang du premier appel abouti. Arrondis les quotients de logarithmes au centième et les puissances au dix-millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique, puis calcule la valeur exacte de $P(X \leqslant 2)$.
bDétermine le plus petit $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}36$, puis le plus petit $n$ tel que $P(X \leqslant n) > 0{,}36$. Explique pourquoi on trouve deux valeurs différentes.
cCombien d'appels Yanis doit-il prévoir pour joindre un agent avec une probabilité d'au moins $0{,}99$ ? Justifie avec le logarithme et contrôle ton résultat.
dLina a écrit ce programme pour retrouver le résultat précédent. Qu'affiche-t-il ? Explique l'erreur et corrige la ligne du while. n = 1
while 1 - 0.8**n >= 0.99:
n = n + 1
print(n)
eLa mairie veut que la probabilité de joindre un agent en 10 appels au plus soit au moins $0{,}99$. Quelle probabilité $p$ de succès par appel faut-il au minimum ? Arrondis au centième par excès.
5.Espérance, temps d’attente moyen et simulation
À retenir :$E(X) = \frac{1}{p}$ : c'est un temps d'attente MOYEN, pas un rang garanti (le rang le plus probable est $1$). Nombre moyen d'échecs : $\frac{1}{p} - 1$ ; $E(aX + b) = \frac{a}{p} + b$. Exemple : $p = 0{,}2$ donne $E(X) = 5$, mais $P(X > 5) = 0{,}8^5 \approx 0{,}33$.
Ex. 29★★★Automatismes : calculer et utiliser une espérance— Dans chaque question, $X$ suit une loi géométrique. Donne les valeurs exactes.
a$X$ suit $\mathcal{G}(0{,}25)$. Calcule $E(X)$.
b$X$ suit $\mathcal{G}(0{,}04)$. Calcule $E(X)$.
c$X$ est le rang du premier jour où se produit un événement de probabilité quotidienne $0{,}4$, les jours étant indépendants. Calcule $E(X)$ et interprète-la.
d$X$ suit $\mathcal{G}(0{,}8)$. Un élève écrit : « $E(X) = \frac{1}{1 - 0{,}8} = 5$ ». Corrige son erreur.
eOn sait que $E(X) = 16$. Détermine le paramètre $p$.
fOn sait que $E(X) = 12{,}5$. Détermine le paramètre $p$.
g$X$ suit $\mathcal{G}(0{,}3)$ et $Y = X - 1$ est le nombre d'échecs avant le premier succès. Calcule $E(Y)$.
Ex. 30★★★Automatismes : vrai ou faux sur le temps d'attente— Dans un jeu vidéo, Noé ouvre des coffres les uns après les autres. Chaque coffre contient une épée rare avec la probabilité $0{,}1$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier coffre qui contient l'épée : $X$ suit $\mathcal{G}(0{,}1)$. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie. Arrondis au millième.
a« $E(X) = 0{,}1$. »
b« Noé obtiendra l'épée exactement au 10e coffre. »
c« La valeur de $X$ la plus probable est $10$. »
d« Comme $10$ est la moyenne, $P(X > 10) = \frac{1}{2}$. »
e« En moyenne, Noé ouvre $9$ coffres sans épée avant d'obtenir la première. »
f« Sur $10\,000$ parties simulées, la moyenne des rangs obtenus sera proche de $10$. »
Ex. 31★★★Le coût moyen d'une attente au téléphone— Inès appelle un service client saturé et rappelle jusqu'à ce qu'un appel aboutisse. Chaque appel aboutit avec la probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres. Chaque appel coûte $0{,}40$ €, et l'opérateur ajoute $2$ € de frais fixes. $X$ est le nombre d'appels passés. Arrondis les probabilités au millième et les montants au centime.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et précise son paramètre.
bCalcule $E(X)$ et interprète ce résultat.
cExprime le coût total $C$ en fonction de $X$, puis calcule $E(C)$.
dInès affirme : « J'ai une chance sur deux de payer plus que $E(C)$. » Calcule $P(C > E(C))$ et conclus.
Ex. 32★★★Corriger une simulation en Python— Hugo lance un dé équilibré à 8 faces jusqu'à obtenir un 8. Il veut simuler le rang $X$ du premier 8 avec le programme suivant :
from random import randint
def rang():
k = 0
while randint(1, 8) == 8:
k = k + 1
return k
Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et précise son paramètre.
bRepère les deux erreurs du programme d'Hugo, puis écris une version corrigée de rang().
cHugo écrit une fonction moyenne(N) qui renvoie la moyenne de $N$ appels à rang() corrigée. De quelle valeur le résultat sera-t-il proche pour $N = 100\,000$ ? Justifie.
dPour $N = 1\,000$, Hugo obtient $7{,}91$ et conclut : « $E(X) = 7{,}91$ ». A-t-il raison ? Justifie.
eSur ses simulations, la fréquence des parties où $X \leqslant 3$ vaut $0{,}322$. Calcule $P(X \leqslant 3)$ et compare.
Ex. 33★★★Période de retour d'une avalanche— Dans une station des Alpes, un couloir connaît chaque hiver une grosse avalanche avec la probabilité $0{,}02$, indépendamment des autres hivers. $X$ est le rang du premier hiver avec une grosse avalanche, l'hiver prochain ayant le rang $1$. Arrondis au millième.
aJustifie la loi de $X$, puis donne la période de retour de cette avalanche.
bCalcule la probabilité qu'une grosse avalanche se produise au cours des $10$ prochains hivers.
cUn moniteur affirme : « Il y a une chance sur deux d'attendre plus que la période de retour. » Calcule $P(X > 50)$ et conclus.
dUne grosse avalanche vient de se produire cet hiver. Un skieur dit : « On est tranquilles pour $50$ ans. » A-t-il raison ? Justifie.
eUn autre couloir a une période de retour de $80$ ans. Détermine sa probabilité annuelle, puis la probabilité d'au moins une grosse avalanche dans ce couloir au cours des $10$ prochains hivers.
Ex. 34★★★Contrôle qualité : du rang moyen au coût moyen— Dans une usine d'Annecy, Maëlle contrôle une à une les pièces d'une machine jusqu'à la première pièce défectueuse. Chaque pièce est défectueuse avec la même probabilité $p$, indépendamment des autres. $X$ est le rang de la première pièce défectueuse. Sur un grand nombre de séries de contrôles, il faut en moyenne $40$ pièces pour trouver la première défectueuse. Arrondis les probabilités au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique, puis détermine la valeur de $p$.
bUn collègue affirme : « Une fois sur deux, il faut contrôler plus de $40$ pièces. » Détermine le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}5$, puis réponds-lui.
cMaëlle pense que le rang le plus probable de la première pièce défectueuse est $40$. Calcule $P(X = 1)$ et $P(X = 40)$, puis corrige son idée.
dChaque contrôle coûte $1{,}20$ € et la mise en route du contrôle coûte $15$ €. Exprime le coût total $C$ en fonction de $X$, puis calcule $E(C)$.
eAvec les mêmes tarifs, une machine plus ancienne donne un coût moyen de $39$ €. Détermine la probabilité qu'une de ses pièces soit défectueuse.
Ex. 35★★★Simuler une partie de pêche— Au lac de Vassivière, Samir pêche à la mouche. Chaque lancer donne une prise avec la probabilité $0{,}16$, indépendamment des autres lancers. $X$ est le rang du premier lancer avec une prise. Samir écrit le programme suivant : from random import random
def sortie():
k = 0
prise = False
while not prise:
k = k + 1
if random() < 0.16:
prise = True
return k
def frequence(N):
c = 0
for i in range(N):
if sortie() > 10:
c = c + 1
return c / N Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique. Calcule $E(X)$ et interprète ce résultat.
bExplique pourquoi sortie() renvoie une réalisation de $X$, alors que le compteur k commence à $0$.
cQu'estime l'appel frequence(10000) ? Calcule la valeur exacte de cette quantité.
dSamir exécute deux fois frequence(10000) et obtient $0{,}1731$ puis $0{,}1768$. Il en conclut que son programme est faux. A-t-il raison ? Justifie.
eBen calcule la moyenne de sortie() - 1 sur $100\,000$ sorties. Que représente sortie() - 1 ? De quelle valeur cette moyenne sera-t-elle proche ?
6.Absence de mémoire
À retenir : Si $X$ suit $\mathcal{G}(p)$ : $P_{X > m}(X > m + k) = \frac{P(X > m + k)}{P(X > m)} = (1 - p)^k = P(X > k)$, car $X > m + k$ est inclus dans $X > m$. Je retire $m$ : $P_{X > 5}(X = 7) = P(X = 2)$. Le succès n'est jamais « dû ».
Ex. 36★★★Automatismes : je retire m— $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}(0{,}3)$. Calcule chaque probabilité et donne sa valeur décimale exacte.
Ex. 37★★★Automatismes : vrai ou faux ?— $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}(0{,}15)$. Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie. Arrondis les valeurs au dix-millième.
Ex. 38★★★Le 6 est-il « dû » ?— Inès lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir un 6. On note $X$ le rang du premier 6. Après 9 lancers sans 6, Lucas affirme : « Le 6 est dû, il a plus de chances de sortir au prochain lancer. » Arrondis au millième.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique et donne son paramètre.
bCalcule $P_{X > 9}(X = 10)$. Lucas a-t-il raison ? Justifie.
cSachant que les 9 premiers lancers n'ont pas donné de 6, calcule la probabilité qu'Inès obtienne un 6 au plus tard au 12e lancer.
dEn moyenne, combien de lancers supplémentaires Inès doit-elle prévoir ? Justifie.
Ex. 39★★★Appels au standard : l'erreur de Clara— Chaque appel de Malik au standard de la mairie aboutit avec la probabilité $0{,}35$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier appel qui aboutit, et on admet que $P(X > k) = 0{,}65^k$. Ses 4 premiers appels ont échoué. Clara écrit : « $P_{X > 4}(X > 7) = \frac{P(X > 4) \times P(X > 7)}{P(X > 4)} = P(X > 7)$ ». Arrondis au millième.
aRepère l'erreur de Clara et explique-la.
bCorrige son calcul et donne la valeur de $P_{X > 4}(X > 7)$.
cDémontre que, pour tous entiers naturels $m$ et $k$, $P_{X > m}(X > m + k) = P(X > k)$.
dCalcule $P_{X > 4}(X = 7)$, puis interprète ce résultat dans le contexte.
Ex. 40★★★Une loi sans mémoire est géométrique— Dans un jeu vidéo, $X$ est le rang de la première partie où Yanis gagne un trophée rare. On sait seulement que $X$ prend les valeurs $1, 2, 3\ldots$, que $P(X = 1) = 0{,}08$, que $P(X > m) > 0$ et que $P_{X > m}(X > m + 1) = P(X > 1)$ pour tout entier naturel $m$. On pose $u_n = P(X > n)$.
aDonne $u_0$ et $u_1$.
bMontre que $u_{m+1} = 0{,}92\,u_m$ pour tout entier naturel $m$, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$.
cPour $k \geqslant 1$, calcule $P(X = k)$, puis reconnais la loi de $X$.
dCombien de parties Yanis joue-t-il en moyenne pour gagner le trophée ?
eZoé ouvre un à un, dans un ordre au hasard, 8 coffres dont un seul est gagnant. Le rang $T$ du coffre gagnant vérifie $P(T = k) = \frac{1}{8}$ pour $1 \leqslant k \leqslant 8$. $T$ suit-elle une loi géométrique ? Justifie par un calcul.
Ex. 41★★★Pêche au lac : l'attente recommence— Nora pêche au lac d'Annecy. À chaque lancer, elle prend un poisson avec la probabilité $0{,}12$, indépendamment des autres lancers. On note $X$ le rang du premier lancer où elle prend un poisson. Arrondis au dix-millième si besoin.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique. Donne son paramètre et $E(X)$.
bLes 8 premiers lancers sont sans prise. Traduis cet événement avec $X$ et explique pourquoi ce n'est pas $X = 8$.
cSachant ces 8 lancers sans prise, calcule la probabilité que la première prise ait lieu au 10e lancer.
dAprès ces 8 échecs, Nora pense qu'il lui reste en moyenne moins de lancers à faire qu'au départ. A-t-elle raison ? Justifie.
eAprès ces 8 échecs, trouve le plus petit nombre $n$ de lancers supplémentaires tel que la probabilité de prendre au moins un poisson pendant ces lancers soit supérieure ou égale à $0{,}9$.
Ex. 42★★★Avec ou sans remise : qui a de la mémoire ?— Un sac contient 8 jetons, dont 2 rouges. Hugo tire un jeton au hasard, encore et encore, jusqu'à obtenir un rouge. Protocole A : il remet chaque jeton tiré dans le sac, et $X$ est le rang du premier rouge. Protocole B : il ne remet pas les jetons, et $Y$ est le rang du premier rouge. Donne les résultats sous forme exacte.
aJustifie que $X$ suit une loi géométrique. Calcule $P(X > 1)$ et $P_{X > 3}(X > 4)$ par un quotient, en justifiant l'intersection.
bEn enchaînant des probabilités conditionnelles, calcule $P(Y > k)$ sous forme de fraction pour $k = 1, 2, 3, 4$.
cCalcule $P_{Y > 3}(Y > 4)$ et compare avec $P(Y > 1)$. $Y$ peut-elle suivre une loi géométrique ? Justifie.
dAprès 3 tirages perdants, Hugo affirme : « Quel que soit le protocole, le rouge a maintenant plus de chances de sortir au tirage suivant qu'au premier tirage. » A-t-il raison ? Justifie par le calcul.
eProtocole B : après 3 tirages perdants, on note $Z$ le nombre de tirages encore nécessaires, rouge compris. Calcule $E(Z)$ et compare avec le protocole A.