Terminale maths complémentaires / Loi binomiale

Ex. 1★★★Automatismes : variable de Bernoulli — Donne les valeurs exactes.

1. aOn lance un dé équilibré à six faces. $X$ vaut $1$ si on obtient $5$ ou $6$, et $0$ sinon. Donne la loi de $X$ dans un tableau.
2. bUne roue a un secteur bleu de $108^\circ$, le reste est rouge. $X$ vaut $1$ si la roue s'arrête sur le bleu. Tom affirme : « deux issues, donc $P(X = 1) = \frac{1}{2}$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
3. c$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}42$. Calcule $E(X)$.
4. d$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}42$. Léo écrit $V(X) = 0{,}42^2$. Corrige-le et calcule $V(X)$.
5. e$Y$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}36$. Calcule $\sigma(Y)$.
6. f$Z$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p < 0{,}5$ avec $V(Z) = 0{,}16$. Trouve $p$.

Ex. 2★★★Automatismes : chemins d'un arbre pondéré — Une archère touche la cible avec la probabilité $0{,}65$ à chaque tir, de façon indépendante. Elle tire $4$ flèches. $S$ : « la flèche touche la cible ». À chaque nœud de l'arbre, la branche $S$ porte $0{,}65$. Donne les valeurs exactes.

1. aQuelle probabilité porte chaque branche $\overline{S}$ ? Justifie.
2. bCombien l'arbre compte-t-il de chemins ?
3. cCalcule la probabilité du chemin $S\,\overline{S}\,S\,S$.
4. dListe les chemins qui comportent exactement $3$ succès. Combien y en a-t-il ?
5. eCalcule la probabilité que l'archère touche la cible exactement $3$ fois.
6. fCalcule la probabilité qu'elle ne touche jamais la cible.

Ex. 3★★★Schéma de Bernoulli ou pas ? — Pour chaque situation, dis si c'est un schéma de Bernoulli et justifie. Si c'en est un, donne le succès, $n$ et $p$.

1. aUne urne contient $10$ boules : $3$ rouges et $7$ noires. Elias tire $4$ boules successivement avec remise. Le succès est « la boule est rouge ».
2. bAvec la même urne, Elias tire successivement $2$ boules sans remise.
3. cÀ Toulouse, $12\,\%$ des $500\,000$ habitants vont au travail à vélo. On interroge $50$ habitants pris au hasard.
4. dSacha joue $3$ parties d'échecs. Il gagne la première avec la probabilité $0{,}5$, puis chaque partie avec $0{,}6$ s'il a gagné la précédente, $0{,}3$ sinon.

Ex. 4★★★Les erreurs de Hugo — Hugo joue $5$ manches d'un jeu en ligne. Il gagne chaque manche avec la probabilité $0{,}15$, de façon indépendante d'une manche à l'autre. Arrondis au millième.

1. aJustifie que la situation est un schéma de Bernoulli. Précise le succès et sa probabilité.
2. bHugo écrit $P(\text{aucune victoire}) = 1 - 0{,}15^5$. Explique son erreur, puis calcule cette probabilité correctement.
3. cIl écrit ensuite $P(\text{au moins une victoire}) = 5 \times 0{,}15 = 0{,}75$. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dCalcule la probabilité qu'Hugo gagne seulement la première manche, puis celle qu'il gagne exactement une manche. Compare.

Ex. 5★★★Le stand de fléchettes d'Annecy — À la fête d'Annecy, Chloé paie $2$ € pour lancer une fléchette. Si elle touche le centre, ce qui arrive avec la probabilité $0{,}1$, elle reçoit $15$ €. Sinon, elle ne reçoit rien.

1. aOn note $X$ la variable qui vaut $1$ si Chloé touche le centre et $0$ sinon. Donne sa loi, $E(X)$ et $V(X)$.
2. bLe gain algébrique de Chloé est $G = 15X - 2$. Calcule $E(G)$ et interprète le résultat.
3. cCalcule $V(G)$ et $\sigma(G)$.
4. dQuelle somme le stand devrait-il verser au lieu de $15$ € pour que le jeu soit équitable ?

Ex. 6★★★Les feux de Nadia à Rennes — À Rennes, Nadia va au lycée à vélo et passe $3$ feux. À son arrivée, chaque feu est vert avec la probabilité $0{,}4$, indépendamment des autres feux. On note $S$ : « le feu est vert ». Donne les valeurs exactes.

1. aJustifie que la situation est un schéma de Bernoulli : nomme le succès et donne $n$ et $p$. Décris l'arbre pondéré : niveaux, nombre de chemins, probabilités des branches.
2. bCalcule la probabilité que les deux premiers feux soient verts et le troisième non, dans cet ordre.
3. cCalcule la probabilité que Nadia trouve exactement $2$ feux verts.
4. dMalik affirme : « $P(\text{au moins un feu vert}) = 1 - 0{,}4^3$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis donne la bonne valeur.
5. e$Z$ vaut $1$ si les $3$ feux sont rouges, et $0$ sinon. Donne la loi de $Z$, puis $E(Z)$ et $V(Z)$.

Ex. 7★★★Avec ou sans remise à la kermesse de Colmar — À la kermesse de Colmar, une boîte contient $8$ tickets, dont $2$ gagnants. Théo tire $2$ tickets au hasard. Donne les valeurs exactes, puis arrondis au millième si besoin.

1. aThéo remet chaque ticket dans la boîte avant le tirage suivant. Justifie qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli, puis calcule la probabilité d'obtenir au moins un ticket gagnant.
2. bCette fois, Théo garde le premier ticket. Explique pourquoi ce n'est plus un schéma de Bernoulli. À l'aide d'un arbre, calcule la probabilité d'obtenir au moins un ticket gagnant.
3. cQuelle façon de tirer est la plus favorable à Théo ? Justifie avec tes résultats.
4. dLa tombola de la ville compte $20\,000$ tickets, dont $5\,000$ gagnants. Théo en achète $4$. Justifie qu'on peut utiliser un schéma de Bernoulli, puis liste les chemins à exactement $2$ gagnants.
5. eDans la situation précédente, calcule la probabilité que Théo ait exactement $2$ tickets gagnants, puis la probabilité qu'il n'en ait aucun.

Ex. 8★★★Automatismes : valeurs à connaître et symétrie — Donne chaque valeur sans calculatrice, en citant la propriété utilisée.

1. aDonne $\dbinom{9}{0}$.
2. bDonne $\dbinom{9}{9}$.
3. cDonne $\dbinom{11}{1}$.
4. dDonne $\dbinom{14}{13}$.
5. eSachant que $\dbinom{16}{5} = 4\,368$, donne $\dbinom{16}{11}$.
6. fDonne l'entier $k$ différent de $4$ tel que $\dbinom{13}{k} = \dbinom{13}{4}$.

Ex. 9★★★Automatismes : lire et compléter le triangle — Voici la ligne $n = 7$ du triangle de Pascal : $1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1$.

1. aLis $\dbinom{7}{3}$ dans cette ligne.
2. bLe troisième terme de la ligne vaut $21$. Écris-le sous la forme d'un coefficient binomial.
3. cCombien de chemins d'un arbre à $7$ épreuves comportent exactement $6$ succès ?
4. dÉcris la ligne $n = 8$ du triangle à partir de la ligne $7$.
5. eDonne la somme des termes de la ligne $7$ sans les additionner un par un.

Ex. 10★★★Repérer et corriger l'erreur — Chaque élève s'est trompé. Explique l'erreur, puis donne le bon résultat. Arrondis au millième si besoin.

1. aInès écrit : « $\dbinom{10}{2} = 10 \times 2 = 20$ ».
2. bHugo écrit : « $\dbinom{9}{4} + \dbinom{9}{5} = \dbinom{10}{4}$ ».
3. cDans un schéma de Bernoulli à $4$ épreuves de succès $0{,}3$, Léa écrit : « P(exactement $2$ succès) $= \dbinom{4}{2} = 6$ ».
4. dMalik affirme : « la ligne $4$ du triangle, c'est la quatrième : $1,\ 3,\ 3,\ 1$ ».

Ex. 11★★★Vrai ou faux sur les coefficients — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. Calculatrice autorisée.

1. a$\dbinom{20}{18} = 190$.
2. bLa somme des termes de la ligne $10$ du triangle de Pascal vaut $1\,000$.
3. cPour tout entier $n \geqslant 1$, $\dbinom{n}{n-1} = n$.
4. d$\dbinom{15}{6} + \dbinom{15}{7} = \dbinom{16}{7}$.
5. e$\dbinom{12}{0} = 0$, car aucun chemin ne réalise $0$ succès.

Ex. 12★★★Lancers francs à Lorient — Théo, basketteur à Lorient, tire $18$ lancers francs. Chacun est réussi avec la probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. On représente la situation par un arbre pondéré à $18$ niveaux. Calculatrice autorisée ; arrondis au millième.

1. aCombien de chemins de l'arbre comportent exactement $15$ réussites ? Utilise la symétrie.
2. bCalcule la probabilité que Théo réussisse exactement $15$ lancers.
3. cCombien de chemins de l'arbre comportent au moins $17$ réussites ?
4. dCombien de chemins l'arbre compte-t-il en tout ? Justifie avec une propriété du triangle.

Ex. 13★★★De la ligne 9 à un arbre à 10 épreuves — Voici la ligne $n = 9$ du triangle de Pascal : $1,\ 9,\ 36,\ 84,\ 126,\ 126,\ 84,\ 36,\ 9,\ 1$. On considère un schéma de Bernoulli à $10$ épreuves, de paramètre $p$, et $X$ le nombre de succès. Arrondis au millième si besoin.

1. aÉcris la ligne $n = 10$ à partir de la ligne $9$. Combien compte-t-elle de termes ? Justifie le calcul de $\dbinom{10}{3}$ par la relation de Pascal.
2. bCalcule la somme des termes de la ligne $10$. Explique ce résultat en comptant les chemins de l'arbre.
3. cCombien de chemins de l'arbre comportent au moins $8$ succès ?
4. dDéduis-en, sans additionner huit termes, le nombre de chemins qui comportent au plus $7$ succès.
5. eClara affirme : « $P(X \geqslant 8) = \frac{56}{1\,024}$ ». Pour quelle valeur de $p$ a-t-elle raison ? Justifie, puis donne cette probabilité.

Ex. 14★★★Retrouver n et k, regrouper des sommes — Calculatrice autorisée. Justifie chaque réponse avec une propriété du cours. Arrondis à $10^{-4}$ si besoin.

1. aOn sait que $\dbinom{n}{n-1} = 17$. Détermine $n$, puis donne $\dbinom{n}{n}$ sans calculatrice.
2. bTrouve tous les entiers $k$ tels que $\dbinom{12}{k} = \dbinom{12}{5}$. Justifie qu'il n'y en a pas d'autres à l'aide de la ligne $12$.
3. cTrouve les deux entiers $k$ tels que $\dbinom{19}{11} + \dbinom{19}{12} = \dbinom{20}{k}$, puis donne la valeur de cette somme.
4. dÉcris $\dbinom{20}{8} + \dbinom{20}{9} + \dbinom{21}{10}$ sous la forme d'un seul coefficient binomial, puis donne sa valeur.
5. eSchéma de Bernoulli à $30$ épreuves de paramètre $0{,}35$, $X$ le nombre de succès : combien de chemins ont exactement $4$ succès ? Donne la probabilité d'un tel chemin, puis $P(X = 4)$.

Ex. 15★★★Automatismes : calculer avec la formule — Calculatrice autorisée. Donne la valeur exacte, ou l'arrondi au millième si la valeur exacte est trop longue.

1. a$X$ suit $\mathcal{B}(4\,;0{,}5)$. Calcule la valeur exacte de $P(X = 2)$.
2. b$X$ suit $\mathcal{B}(7\,;0{,}1)$. Calcule $P(X = 0)$.
3. c$X$ suit $\mathcal{B}(6\,;0{,}3)$. Calcule la valeur exacte de $P(X = 6)$.
4. d$X$ suit $\mathcal{B}(8\,;0{,}4)$ et $\dbinom{8}{3} = 56$. Calcule $P(X = 3)$.
5. e$X$ suit $\mathcal{B}(9\,;0{,}2)$. Calcule $P(X \geqslant 1)$.
6. f$X$ suit $\mathcal{B}(12\,;0{,}25)$. Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$.

Ex. 16★★★Automatismes : coefficients et chemins — Réponds sans calculatrice.

1. aLa ligne $n = 6$ du triangle de Pascal est : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Calcule $\dbinom{7}{2}$ et $\dbinom{7}{3}$ avec la relation de Pascal.
2. bSachant que $\dbinom{10}{3} = 120$, donne $\dbinom{10}{7}$ et justifie.
3. cDonne $\dbinom{25}{0}$ et $\dbinom{25}{1}$.
4. d$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}35)$. Écris $P(X = 4)$ sous forme de produit, sans le calculer, en indiquant le bon exposant pour chaque facteur.
5. eDans un arbre de 4 épreuves où le succès a pour probabilité $0{,}6$, combien de chemins ont exactement 2 succès ? Quelle est la probabilité de chacun d'eux ?

Ex. 17★★★Binomiale ou pas ? — Dans chaque situation, dis si $X$ suit une loi binomiale. Si oui, rédige la justification et donne $n$, $p$ et le succès. Sinon, explique pourquoi.

1. aUne urne contient 3 boules rouges et 5 noires. On tire successivement 4 boules, sans remise. $X$ est le nombre de boules rouges tirées.
2. bÀ Strasbourg, $38\,\%$ des habitants vont au travail à vélo. On interroge 50 habitants au hasard. $X$ est le nombre de cyclistes interrogés.
3. cOn lance 10 fois un dé équilibré. $X$ compte les lancers qui ne donnent pas 6. Calcule aussi $P(X = 10)$, arrondi au millième.
4. dOn lance 8 fois un dé équilibré. $X$ est la somme des 8 résultats obtenus.

Ex. 18★★★Repérer et corriger l'erreur — Dans une grande usine de Clermont-Ferrand, $6\,\%$ des pièces sont défectueuses. On prélève 25 pièces, ce qu'on assimile à des tirages avec remise. $X$ est le nombre de pièces défectueuses, et $X$ suit $\mathcal{B}(25\,;0{,}06)$. On donne $\dbinom{25}{2} = 300$ et $\dbinom{25}{3} = 2300$. Arrondis au millième.

1. aInès écrit : $P(X = 2) = 0{,}06^2 \times 0{,}94^{23}$. Trouve son erreur et calcule la bonne valeur.
2. bThéo calcule $P(X = 3)$ avec $2300 \times 0{,}94^3 \times 0{,}06^{22}$ et trouve un nombre presque nul. Explique d'où vient l'erreur, puis calcule la bonne valeur.
3. cMaël affirme : « La probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse vaut $1 - 0{,}06^{25}$. » A-t-il raison ? Justifie, puis calcule cette probabilité.
4. dZoé écrit : $P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 2)$. Corrige sa formule, puis calcule $P(X \geqslant 2)$.

Ex. 19★★★QCM au hasard — Un QCM compte 8 questions. Chaque question a 4 réponses, dont une seule est juste. Nadia répond au hasard à chaque question. $X$ est le nombre de bonnes réponses. Arrondis au millième. Voici des valeurs arrondies :

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale, et précise ses paramètres.
2. bLis dans le tableau la valeur la plus probable de $X$. Justifie, sachant que $P(X = k) < 0{,}03$ pour $k \geqslant 5$.
3. cNadia affirme : « J'ai environ $21\,\%$ de chances d'avoir au moins 3 bonnes réponses. » A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule cette probabilité.
4. dCalcule $E(X)$ et interprète le résultat.

Ex. 20★★★Sondage sur la vaccination — À Rennes, $35\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe. La population de la ville est très grande. On interroge 12 habitants choisis au hasard. $X$ est le nombre d'habitants vaccinés parmi eux. Tu peux utiliser la calculatrice. Arrondis les probabilités au millième.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale. Précise le succès, $n$ et $p$.
2. bCalcule la probabilité qu'aucun des 12 habitants interrogés ne soit vacciné.
3. cCalcule la probabilité qu'exactement 4 habitants soient vaccinés. Écris la formule complète.
4. d$Y$ est le nombre d'habitants non vaccinés parmi les 12. Lucas affirme que $Y$ suit lui aussi la loi $\mathcal{B}(12\,;0{,}35)$. A-t-il raison ? Justifie.
5. eCalcule la probabilité qu'au moins 10 des 12 habitants ne soient pas vaccinés.

Ex. 21★★★Lancers francs simulés — Sofiane joue au basket à Grenoble. Il réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}85$, quels que soient ses autres lancers. Il tire une série de 10 lancers francs. $X$ est le nombre de lancers réussis. Ben simule une série de lancers avec ce programme : import random def serie(): x = 0 for i in range(10): if random.random() < 0.85: x = x + 1 return x Tu peux utiliser la calculatrice. Arrondis les probabilités au millième. Voici un extrait de la loi de $X$ :

1. aExplique ce que simule la fonction serie. Justifie que le nombre qu'elle renvoie suit la même loi que $X$, et donne cette loi.
2. bCalcule la probabilité que Sofiane réussisse ses 10 lancers.
3. cOn donne $\dbinom{10}{2} = 45$. Calcule $P(X = 8)$ avec la formule complète, puis complète le tableau.
4. dOn admet que $P(X = k) < 0{,}01$ pour $k \leqslant 5$. Donne la valeur la plus probable de $X$, puis compare-la à $E(X)$.
5. eLe coach affirme : « Sofiane a plus de quatre chances sur cinq de réussir au moins 8 lancers. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Traduire avec « ⩽ » — Léna tire $30$ lancers francs. $X$ est le nombre de lancers réussis et $X$ suit la loi $\mathcal{B}(30\,;0{,}45)$. Écris chaque probabilité en n'utilisant que des $P(X \leqslant \ldots)$. Tu ne fais aucun calcul.

1. aLéna réussit au plus $12$ lancers.
2. bLéna réussit moins de $9$ lancers.
3. cLéna réussit au moins $15$ lancers.
4. dLéna réussit strictement plus de $20$ lancers.
5. eLéna réussit entre $10$ et $18$ lancers, bornes comprises.
6. fLéna réussit au moins un lancer.
7. gLéna rate au plus $5$ lancers.

Ex. 23★★★Lire une table de probabilités cumulées — $X$ suit la loi $\mathcal{B}(10\,;0{,}3)$. La calculatrice donne cet extrait de table, arrondi à $10^{-4}$ :

Ex. 24★★★Graines en pot : vrai ou faux ? — Yanis sème $20$ graines. Chaque graine ne germe pas avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des autres. $X$ est le nombre de graines qui ne germent pas. On admet que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}2)$. Calculatrice autorisée, résultats arrondis au millième. Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« $P(X < 2) = P(X \leqslant 2)$. »
2. b« La probabilité qu'au moins $17$ graines germent vaut environ $0{,}411$. »
3. c« $P(X > 4) = 1 - P(X \leqslant 4) \approx 0{,}370$. »
4. d« $P(2 \leqslant X \leqslant 6) = P(X \leqslant 6) - P(X \leqslant 2)$. »

Ex. 25★★★QCM au hasard : corriger les erreurs — Un QCM a $12$ questions. Chaque question a $5$ réponses, dont une seule est juste. Noé répond à toutes les questions au hasard. $X$ est le nombre de bonnes réponses. Calculatrice autorisée, résultats arrondis au millième sauf mention contraire.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale, dont tu donneras les paramètres.
2. bMaëlys écrit : « $P(X > 3) = 1 - P(X \leqslant 2) \approx 0{,}442$ ». Trouve son erreur, puis calcule $P(X > 3)$.
3. cCalcule $P(2 \leqslant X \leqslant 4)$ et arrondis au centième.
4. dTiméo arrondit $P(X \leqslant 4)$ et $P(X \leqslant 1)$ au centième, puis il les soustrait. Quel résultat obtient-il ? Explique l'écart avec ta réponse précédente.
5. eCalcule $E(X)$ et interprète ce nombre.

Ex. 26★★★Vaccination à Rennes — À Rennes, $85\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe. On interroge $18$ habitants au hasard. La population est assez grande pour assimiler ce choix à des tirages avec remise. $X$ est le nombre d'habitants interrogés qui ne sont pas vaccinés. Calculatrice autorisée, résultats arrondis au millième.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale. Précise le succès et les paramètres.
2. bCalcule la probabilité que tous les habitants interrogés soient vaccinés.
3. cCalcule la probabilité que moins de $3$ habitants interrogés ne soient pas vaccinés.
4. dCalcule la probabilité que le nombre d'habitants non vaccinés soit compris entre $1$ et $3$, bornes comprises.
5. eCalcule $E(X)$ et interprète ce nombre.

Ex. 27★★★Contrôle de bougies à Grasse — Dans une fabrique de bougies de Grasse, $10\,\%$ des bougies ont un défaut. On prélève un lot de $20$ bougies au hasard. La production est assez grande pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. $X$ est le nombre de bougies défectueuses du lot : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}1)$. La calculatrice donne cet extrait de table, arrondi à $10^{-4}$ :

1. aLe lot est accepté s'il contient au plus $2$ bougies défectueuses. Calcule la probabilité qu'il soit accepté, puis la probabilité qu'il contienne strictement plus de $2$ bougies défectueuses.
2. bPour calculer $P(X \geqslant 4)$, Lucas écrit : $1 - P(X \leqslant 4) \approx 0{,}0432$. Explique son erreur, puis corrige-la.
3. c$Y$ est le nombre de bougies sans défaut du lot. Exprime $Y$ en fonction de $X$, puis calcule $P(Y \geqslant 17)$ et $P(Y < 15)$.
4. dCalcule la probabilité que le lot contienne au moins $2$ bougies défectueuses, mais moins de $6$.
5. eBen affirme : « Il y a plus de $85\,\%$ de chances qu'au moins une bougie du lot soit défectueuse. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 28★★★Tirs au but à Lorient — Au club de football de Lorient, Jade marque chaque tir au but avec la probabilité $0{,}75$. Les tirs sont indépendants les uns des autres. À l'entraînement, elle tire $12$ tirs au but. $X$ est le nombre de tirs au but marqués. Calculatrice autorisée ; arrondis les résultats au millième.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres. Calcule ensuite $E(X)$, puis interprète ce résultat.
2. bCalcule $P(X = 9)$ en écrivant la formule complète. Calcule ensuite la probabilité que Jade marque moins de $8$ tirs au but.
3. cL'entraîneur affirme : « Jade a plus de $99\,\%$ de chances de marquer au moins $5$ tirs au but. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour la probabilité que Jade marque $9$ ou $10$ tirs, Hugo écrit : $P(X \leqslant 10) - P(X \leqslant 9) \approx 0{,}842 - 0{,}609 = 0{,}233$. Trouve ses deux erreurs, puis corrige-les.

Ex. 29★★★Automatismes : espérance, variance, écart type — Arrondis au millième si nécessaire.

1. a$X$ suit $\mathcal{B}(32\,;0{,}35)$. Calcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
2. b$Y$ suit $\mathcal{B}\left(18\,;\frac{1}{3}\right)$. Calcule les valeurs exactes de $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
3. c$B$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}7$. Calcule $E(B)$ et $V(B)$.
4. d$T$ suit $\mathcal{B}(9\,;0{,}5)$. Calcule $E(T)$. $T$ peut-il prendre cette valeur ? Justifie.
5. e$W$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}02)$. Calcule $V(W)$.

Ex. 30★★★Automatismes : variable G = aX + b — $X$ suit la loi $\mathcal{B}(12\,;0{,}25)$. Donne les valeurs exactes.

1. aCalcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
2. bOn pose $G = 5X - 8$. Calcule $E(G)$.
3. cLucas écrit : « $V(G) = 5 \times V(X) - 8$ ». Corrige son erreur, puis calcule $V(G)$.
4. dCalcule $\sigma(G)$ et compare-le à $\sigma(X)$.
5. eOn pose $H = 10 - 2X$. Calcule $E(H)$ et $V(H)$.

Ex. 31★★★Retrouver p ou n — Dans chaque cas, $X$ suit une loi $\mathcal{B}(n\,;p)$. Utilise $E(X) = np$ et $\frac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$.

1. a$E(X) = 12$ et $V(X) = 8{,}4$. Détermine $p$, puis $n$.
2. b$E(X) = 6$ et $V(X) = 5{,}4$. Détermine $p$, puis $n$.
3. c$n = 50$ et $E(X) = 8$. Détermine $p$, puis $V(X)$.
4. dVrai ou faux : « Il existe une loi binomiale avec $E(X) = 5$ et $V(X) = 6$. » Justifie.
5. e$p = 0{,}1$ et $\sigma(X) = 3$. Détermine $n$, puis $E(X)$.

Ex. 32★★★Le stand de dés de Lorient — À la fête de quartier de Lorient, Camille paie une mise de $m$ euros, puis lance $8$ fois un dé équilibré. Chaque « $6$ » lui rapporte $3$ €. $X$ est le nombre de « $6$ » obtenus, $G$ son gain algébrique (gains moins mise). Arrondis au millième si nécessaire.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres. Calcule $E(X)$.
2. bAvec $m = 5$, exprime $G$ en fonction de $X$, calcule $E(G)$ et interprète ce résultat.
3. cQuelle mise $m$ rend le jeu équitable ?
4. dAvec cette mise, calcule $V(G)$ et $\sigma(G)$.
5. eAvec cette mise, calcule la probabilité que Camille gagne de l'argent
   ($G > 0$).

Ex. 33★★★Deux archers d'Annecy — Au club de tir à l'arc d'Annecy, Noé tire $30$ flèches et touche le centre avec la probabilité $0{,}6$ à chaque tir. Maëlys tire $25$ flèches et touche le centre avec la probabilité $0{,}72$ à chaque tir. Les tirs sont indépendants. $X$ et $Y$ comptent leurs flèches au centre. Arrondis au millième.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres. Donne la loi de $Y$.
2. bCalcule $E(X)$ et $E(Y)$. Interprète $E(X)$ dans le contexte.
3. cCalcule $\sigma(X)$ et $\sigma(Y)$. Qui a les résultats les plus réguliers ? Justifie.
4. dL'entraîneur affirme : « Noé touchera exactement $18$ fois le centre. » A-t-il raison ? Justifie en calculant $P(X = 18)$.

Ex. 34★★★Le QCM du concours blanc de Bastia — Au concours blanc d'un lycée de Bastia, un QCM compte $20$ questions. Chaque question a $4$ réponses, dont une seule est juste. Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise retire $r$ points ($r > 0$). Sacha répond au hasard à toutes les questions. $X$ est le nombre de bonnes réponses et $N$ la note obtenue. Calculatrice autorisée ; arrondis au millième.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres. Calcule $E(X)$, puis interprète ce résultat dans le contexte.
2. bExprime $N$ en fonction de $X$ et de $r$. Détermine $r$ pour que $E(N) = 0$.
3. cAvec la valeur de $r$ trouvée, calcule $V(N)$ et $\sigma(N)$. Précise l'unité de $\sigma(N)$.
4. dLina affirme : « Avec ce barème, répondre au hasard donne $0$ : on n'a aucune chance d'avoir $4$ points ou plus. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 35★★★Tirs au but à Rodez — Au club de football de Rodez, un tir au but est réussi avec la probabilité $p$ ($0 < p < 1$), indépendamment des autres tirs. $Y$ vaut $1$ si un tir est réussi, et $0$ sinon. Inès réussit avec $p = 0{,}7$, Hugo avec $p = 0{,}9$. À chaque séance, chacun tire $15$ fois. Arrondis au millième.

1. aDonne la loi de $Y$. Montre que $V(Y) = p(1 - p)$. Pour quelle valeur de $p$ cette variance est-elle maximale ?
2. b$X$ est le nombre de buts d'Inès en une séance. Justifie que $X$ suit une loi binomiale. Léo dit : « Inès marque exactement $E(X)$ buts à chaque séance. » Calcule $E(X)$, puis corrige Léo.
3. c« Plus un tireur est fort, plus son nombre de buts par séance est dispersé. » Vrai ou faux ? Justifie en comparant l'espérance et l'écart type pour Inès et pour Hugo.
4. dL'entraîneur cherche le plus petit nombre $n$ de tirs pour qu'Inès marque en moyenne au moins $20$ buts. Complète la ligne 2, puis donne $n$. n = 0 while ........ : n = n + 1 print(n)

Ex. 36★★★Automatismes : nombre minimal d'épreuves — Une épreuve de probabilité de succès $p$ est répétée $n$ fois, de façon identique et indépendante. Calculatrice autorisée.

1. aAvec $p = 0{,}25$, traduis « au moins un succès avec une probabilité d'au moins $0{,}9$ » par une inégalité portant sur $0{,}75^n$.
2. bRésous $0{,}6^n \leqslant 0{,}02$ avec le logarithme népérien, puis donne le plus petit entier $n$ qui convient.
3. cPar essais successifs à la calculatrice, trouve le plus petit entier $n$ tel que $0{,}7^n \leqslant 0{,}01$.
4. dVrai ou faux ? « On a trouvé $n \geqslant 13{,}52$, donc il faut au moins $13$ épreuves. » Justifie.
5. eAvec $p = 0{,}05$, combien d'épreuves faut-il au minimum pour obtenir au moins un succès avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ ?

Ex. 37★★★Automatismes : lire un tableau de probabilités cumulées — Inès répond au hasard aux $12$ questions d'un QCM. Chaque question a $4$ réponses, dont une seule est juste. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}(12\,;0{,}25)$. Sa calculatrice donne :

1. aDonne $P(X \leqslant 4)$.
2. bCalcule $P(X > 5)$.
3. cCalcule $P(X < 4)$.
4. dCalcule $P(X \geqslant 3)$.
5. eDétermine le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95$.
6. fCalcule $P(3 \leqslant X \leqslant 6)$.

Ex. 38★★★Simuler des tirs au but — Marius réussit chaque tir au but avec la probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. Pour simuler le nombre $X$ de tirs réussis sur une série de $n$ tirs, il écrit le programme ci-dessous. Arrondis au millième. from random import random def serie(n, p): X = 1 for i in range(n): if random() > p: X = X + 1 return X

1. arandom() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;1[$. Quelle est la probabilité que random() < 0.8 soit vrai ? Que simule ce test ?
2. bLa fonction de Marius contient deux erreurs. Repère-les et corrige-les.
3. cUne fois la fonction corrigée, que renvoie serie(5, 0.8) ? Donne la loi de $X$ en justifiant.
4. dOn répète $1\,000$ fois serie(5, 0.8) et on calcule la proportion des résultats >= 4. Quelle probabilité cette proportion estime-t-elle ? Calcule sa valeur exacte.
5. eMarius obtient une proportion de $0{,}751$ et affirme : « $P(X \geqslant 4) = 0{,}751$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 39★★★Combien de pochettes pour une carte rare ? — Chaque pochette d'autocollants contient une carte rare avec la probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres (stock assez grand). Hugo achète $n$ pochettes. Arrondis les probabilités au millième. Programme de Hugo : n = 1 while 1 - 0.85**n ...... 0.99: n = n + 1 print(n)

1. aExprime en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ d'obtenir au moins une carte rare, puis calcule $p_{10}$.
2. bHugo veut au moins une carte rare avec une probabilité d'au moins $0{,}95$. Résous $p_n \geqslant 0{,}95$ avec le logarithme népérien et donne le nombre minimal de pochettes.
3. cFaut-il écrire < ou >= à la place des pointillés pour que le programme affiche le plus petit $n$ tel que $p_n \geqslant 0{,}99$ ? Justifie.
4. dQuelle valeur le programme affiche-t-il ? Justifie à l'aide de deux puissances de $0{,}85$.

Ex. 40★★★Musiciens dans un lycée de Besançon — D'après une enquête nationale, $20\,\%$ des lycéens jouent d'un instrument. Dans un lycée de Besançon, on interroge $30$ élèves au hasard. $X$ est le nombre d'élèves qui jouent d'un instrument. Arrondis au millième. Extrait de table :

1. aJustifie que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(30\,;0{,}2)$.
2. bÀ l'aide de la table, détermine le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leqslant a) > 0{,}025$ et le plus petit entier $b$ tel que $P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975$.
3. cCalcule $P(a \leqslant X \leqslant b)$ à l'aide de la table.
4. dParmi les $30$ élèves interrogés, $12$ jouent d'un instrument. Cet échantillon est-il « normal » au regard de l'intervalle $[a\,;b]$ ? Justifie.

Ex. 41★★★Pop-corn dans un cinéma de Nancy — Dans un cinéma de Nancy, $30\,\%$ des spectateurs achètent un cornet de pop-corn. À une séance, on choisit $20$ spectateurs au hasard. La population est assez grande pour assimiler ce choix à des tirages avec remise. $X$ est le nombre de ces spectateurs qui achètent un cornet. Voici un extrait de la calculatrice, arrondi à $10^{-4}$ :

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale, en précisant ses paramètres. Calcule ensuite $E(X)$ et interprète ce nombre.
2. bCalcule $P(X \geqslant 4)$ et $P(X > 4)$. Explique pourquoi ces deux probabilités ne sont pas égales.
3. cLa gérante, Clémence, prépare $k$ cornets pour ces $20$ spectateurs. Détermine le plus petit $k$ tel que le risque de manquer de cornets, $P(X > k)$, soit au plus $0{,}05$.
4. dClémence affirme : « $P(3 \leqslant X \leqslant 9) \geqslant 0{,}95$ ». A-t-elle raison ? Détermine ensuite les plus petits entiers $a$ et $b$ tels que $P(X \leqslant a) > 0{,}025$ et $P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975$.
5. eUn samedi, $2$ des $20$ spectateurs choisis achètent un cornet. Yanis pense que cet échantillon est inhabituel. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 42★★★Fléchettes : seuil et simulation — Au club de fléchettes de Perpignan, Noé atteint le centre de la cible avec la probabilité $0{,}06$ à chaque lancer, indépendamment des autres lancers. Il lance $n$ fléchettes. $X$, le nombre de lancers au centre, suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}06)$. En Python, random() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;1[$. Calculatrice autorisée. Arrondis au millième.

1. aMontre que la probabilité $p_n$ que Noé atteigne au moins une fois le centre en $n$ lancers vaut $p_n = 1 - 0{,}94^n$.
2. bThéo écrit : « $0{,}94^n \leqslant 0{,}01 \Longleftrightarrow n \leqslant \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}94} \approx 74{,}4$, donc $74$ lancers suffisent pour avoir $p_n \geqslant 0{,}99$ ». Repère ses deux erreurs, puis donne le nombre minimal de lancers.
3. cComplète la ligne 3 pour que seuil(p, s) renvoie le plus petit $n$ tel que $1 - (1 - p)^n \geqslant s$. Donne ensuite, avec un calcul, ce que renvoie seuil(0.06, 0.999). def seuil(p, s): n = 1 while ... : n = n + 1 return n
4. dCe programme doit renvoyer une réalisation de $X$. Explique pourquoi il ne renvoie que $0$ ou $1$, puis corrige ses deux erreurs. from random import random def lancers(n, p): for i in range(1, n): X = 0 if random() < p: X = X + 1 return X
5. eOn a corrigé lancers. Qu'estime l'appel frequence(75, 0.06, 10000) ? Quelle ligne faut-il modifier pour estimer $P(X \geqslant 2)$ ? Calcule cette probabilité pour $n = 75$. def frequence(n, p, N): c = 0 for j in range(N): if lancers(n, p) >= 1: c = c + 1 return c / N