Terminale spécialité / Loi binomiale

Ex. 1★★★Loi de Bernoulli en calcul mental — Dans chaque question, $X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec.

1. aOn lance un dé équilibré à six faces. Le succès est « obtenir un diviseur de $6$ ». Donne $p$.
2. bUn archer rate la cible avec la probabilité $0{,}15$. $X$ vaut $1$ s’il rate. Donne $P(X = 1)$ et $P(X = 0)$.
3. c$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}35$. Calcule $E(X)$ et $V(X)$.
4. d$X$ suit une loi de Bernoulli avec $V(X) = 0{,}21$ et $p > 0{,}5$. Donne $p$.
5. e$X$ suit une loi de Bernoulli avec $P(X = 0) = 0{,}64$. Calcule $V(X)$.
6. f$X$ suit une loi de Bernoulli avec $E(X) = 0{,}2$. Calcule $\sigma(X)$.

Ex. 2★★★Chemins d’un arbre décrit en mots — Une appli de quiz pose $3$ questions. Inès répond juste ($J$) à chacune avec la probabilité $0{,}8$, sinon elle répond faux ($F$). Ses réponses sont indépendantes les unes des autres.

1. aCombien l’arbre pondéré compte-t-il d’issues ?
2. bCalcule $P(J\,;J\,;J)$.
3. cCalcule $P(J\,;J\,;F)$.
4. dCombien de chemins comportent exactement $2$ réponses justes ? Écris-les.
5. eCalcule la probabilité qu’Inès donne exactement $2$ réponses justes.
6. fCalcule $P(F\,;F\,;F)$.

Ex. 3★★★Schéma de Bernoulli ou pas ? — Pour chaque situation, dis si $X$ suit une loi binomiale. Si oui, rédige la justification et donne les paramètres. Sinon, explique ce qui bloque.

1. a$6\,\%$ des capteurs d’une usine sont défectueux. On prélève $25$ capteurs dans un stock assez important et $X$ compte les capteurs défectueux.
2. bUne trousse contient $5$ stylos, dont $2$ vides. Hugo en prend $3$, l’un après l’autre et sans remise. $X$ compte les stylos vides.
3. cLéna lance un dé équilibré jusqu’à obtenir un $6$. $X$ compte les lancers effectués.
4. dOn lance $10$ fois un dé équilibré. $X$ est la somme des faces obtenues.

Ex. 4★★★Lancers francs : corrige les erreurs — Yanis tire $4$ lancers francs. Il réussit chaque lancer ($R$) avec la probabilité $0{,}75$, indépendamment des autres lancers. On représente l’expérience par un arbre pondéré à $4$ niveaux. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aCalcule la probabilité du chemin $(R\,;R\,;R\,;\overline{R})$.
2. bZoé affirme : « La probabilité que Yanis réussisse exactement $1$ lancer vaut environ $0{,}012$. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige si besoin.
3. cLucas note $Y$ le nombre de lancers ratés et écrit $P(Y = 0) = 0{,}25^4$. Trouve son erreur et donne la bonne valeur.
4. dCalcule la probabilité que Yanis rate au moins un lancer.

Ex. 5★★★Contrôle qualité : des gourdes défectueuses — Une usine fabrique des gourdes sur deux machines. La machine A produit $70\,\%$ des gourdes, et $4\,\%$ d’entre elles sont défectueuses. La machine B produit les autres, et $9\,\%$ d’entre elles sont défectueuses. On prélève $3$ gourdes dans un stock assez important. $X$ compte les gourdes défectueuses. Arrondis les résultats à $10^{-4}$.

1. aOn choisit une gourde au hasard. Décris en mots l’arbre pondéré, puis calcule la probabilité de l’événement $D$ « la gourde est défectueuse ».
2. bUne gourde prélevée est défectueuse. Calcule la probabilité qu’elle provienne de la machine B.
3. cMontre que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres.
4. dCalcule la probabilité qu’exactement $2$ des $3$ gourdes soient défectueuses.

Ex. 6★★★Bonbons : avec remise, sans remise, grand stock — Un bocal contient $2$ bonbons au citron et $4$ bonbons à la menthe, impossibles à distinguer au toucher. Lina pioche deux bonbons au hasard. Le succès est « le bonbon est au citron ». Donne les valeurs exactes, sauf mention contraire.

1. a$Z$ vaut $1$ si le premier bonbon est au citron, et $0$ sinon. Donne la loi de $Z$, puis $E(Z)$ et $V(Z)$.
2. bLina pioche avec remise, et $X$ compte les bonbons au citron. Justifie la loi de $X$, puis calcule $P(X = 1)$.
3. cLina pioche maintenant sans remise. On note $C_1$ et $C_2$ les événements « le 1er (le 2e) bonbon est au citron ». Calcule $P_{C_1}(C_2)$, puis $P(C_2)$.
4. dNoé affirme : « Sans remise, la 2e pioche n’a pas la même probabilité de succès que la 1re : c’est pour cela que ce n’est pas un schéma de Bernoulli. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eUn grand stock contient $2\,000$ bonbons au citron et $4\,000$ bonbons à la menthe. Calcule $P_{C_1}(C_2)$ à $10^{-4}$ près, puis commente.

Ex. 7★★★Manches d’un jeu en ligne : chemins et vrai ou faux — Chloé joue $4$ manches d’un jeu en ligne. Elle gagne chaque manche ($G$) avec la probabilité $0{,}6$, sinon elle perd ($\overline{G}$). Les manches sont indépendantes les unes des autres. $X$ compte les manches gagnées.

1. aListe les chemins de l’arbre pondéré qui comportent exactement $2$ manches gagnées. Combien y en a-t-il ?
2. bVrai ou faux ? « $P(X = 2) = 0{,}6^2 \times 0{,}4^2$ ». Justifie, puis calcule $P(X = 2)$.
3. cVrai ou faux ? « Chloé a autant de chances de gagner exactement $1$ manche que d’en gagner exactement $3$. » Justifie par le calcul.
4. d$Y$ compte les manches perdues. Nomme le succès associé à $Y$, donne la loi de $Y$, puis calcule $P(Y \leqslant 1)$.

Ex. 8★★★Valeurs particulières et symétrie — Calcule sans calculatrice. Tu peux utiliser $\dbinom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.

Ex. 9★★★La formule factorielle — On rappelle que $\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Calcule sans calculatrice.

1. a$\dbinom{7}{3}$ avec la formule factorielle.
2. b$\dbinom{9}{4}$ avec la formule factorielle.
3. c$\dbinom{20}{3}$, puis compare ce résultat à $20 \times 3$ et à $20^3$.
4. dLe nombre de chemins à exactement $9$ succès dans un arbre à $11$ épreuves.
5. eNoé écrit $\dbinom{6}{2}=\frac{6!}{2!}=360$. Repère son erreur et corrige-la.
6. fVrai ou faux : $\dbinom{16}{3}=\dbinom{16}{13}$ ? Justifie avec la formule factorielle.

Ex. 10★★★Compléter le triangle de Pascal — On admet la relation de Pascal : $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}$. Dans le tableau, la case de la ligne $n$ et de la colonne $k$ contient $\dbinom{n}{k}$.

1. aComplète la ligne $n = 5$ à l'aide de la relation de Pascal.
2. bDéduis-en la ligne $n = 6$, pour $k$ allant de $0$ à $6$.
3. cCalcule la somme des termes de chacune des lignes $n = 4$, $n = 5$ et $n = 6$. Quelle conjecture fais-tu ?
4. dLis dans ta ligne $n = 6$ le nombre de chemins à exactement $2$ succès d'un arbre à $6$ épreuves, puis vérifie-le avec $\dbinom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.
5. eÉcris $\dbinom{6}{4}+\dbinom{6}{5}$ sous la forme d'un seul coefficient binomial, puis donne sa valeur.

Ex. 11★★★Une ligne du triangle en Python — Arrondis les probabilités à $10^{-3}$.
from math import comb n = 8 ligne = [] for k in range(n + 1): ligne.append(comb(n, k)) print(ligne) print(sum(ligne))

1. aQu'affiche la première instruction print ?
2. bQu'affiche la seconde ? Explique ce résultat à l'aide d'un arbre.
3. cUn élève remplace range(n + 1) par range(n). Que devient le second affichage ? Pourquoi ?
4. dUn archer tire $8$ flèches ; $X$, le nombre de flèches en plein centre, suit $\mathcal{B}(8\,;0{,}3)$. Clara écrit $P(X = 3)=0{,}3^3 \times 0{,}7^5$. Corrige son calcul.

Ex. 12★★★Compter tous les chemins — On répète $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque issue de l'arbre est un chemin, noté par une suite de $n$ lettres $S$ ou $\overline{S}$. On note $X$ le nombre de succès.

1. aCombien l'arbre compte-t-il de chemins au total ? Justifie.
2. bDéduis-en que $\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dots+\dbinom{n}{n}=2^n$, en classant les chemins selon leur nombre de succès.
3. cPour $n = 9$, Inès affirme : « il y a $9^3 = 729$ chemins à exactement $3$ succès ». Explique pourquoi c'est impossible, puis donne le bon nombre avec la formule factorielle.
4. dPour $n = 9$, combien de chemins comportent au plus $6$ succès ? Utilise la symétrie des coefficients binomiaux.
5. ePour $n = 9$, on suppose $p = \frac{1}{2}$. Calcule $P(X \leqslant 6)$ en valeur exacte, puis arrondie à $10^{-3}$.

Ex. 13★★★La relation de Pascal par les chemins — On considère un arbre de $n+1$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $n \geqslant 1$, et un entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n-1$. On classe les chemins à $k+1$ succès selon l'issue de la première épreuve.

1. aCombien de chemins à $k+1$ succès commencent par $S$ ? Justifie.
2. bCombien de chemins à $k+1$ succès commencent par $\overline{S}$ ? Déduis-en la relation de Pascal.
3. cVoici le début de la ligne $n = 10$ du triangle de Pascal :

   k	0	1	2	3	4
   ligne 10	1	10	45	120	210

   Déduis-en $\dbinom{11}{3}$, $\dbinom{11}{4}$ puis $\dbinom{11}{8}$ sans calculatrice.
4. dLe programme ci-dessous construit les lignes successives du triangle de Pascal. Complète l'instruction nouvelle.append(…) à l'aide de la relation de Pascal. ligne = [1] for n in range(13): nouvelle = [1] for k in range(len(ligne) - 1): nouvelle.append(…) nouvelle.append(1) ligne = nouvelle print(ligne[3], sum(ligne))
5. eQu'affiche le programme complété ? Justifie sans l'exécuter.

Ex. 14★★★Un QCM au hasard — Un QCM compte $12$ questions. Chacune a $4$ réponses, dont une seule est juste. Yanis répond à chaque question au hasard, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de bonnes réponses. Donne les valeurs exactes, puis des arrondis à $10^{-3}$.

1. aMontre que $X$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.
2. bCalcule $\dbinom{12}{2}$ sans calculatrice, puis $P(X = 2)$.
3. cMalo écrit : « $\dbinom{12}{10}=\dbinom{12}{2}$, donc $P(X = 10) = P(X = 2)$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $P(X = 10)$.
4. dLucas écrit : « $\dbinom{12}{3}=12 \times 3=36$ ». Corrige-le avec la formule factorielle, puis calcule $P(X = 3)$.

Ex. 15★★★Lire n et p dans l'énoncé — Dans chaque situation, les épreuves sont identiques et indépendantes, et $X$ suit une loi binomiale.

1. aUn QCM compte $12$ questions, chacune avec $4$ réponses dont une seule juste. Noé répond au hasard et $X$ compte ses bonnes réponses. Donne $n$ et $p$.
2. bDans une très grande série de billets de tombola, $0{,}4$ % sont gagnants. Lou en achète $30$ et $X$ compte ses billets gagnants. Donne $n$ et $p$.
3. cUne basketteuse réussit $85$ % de ses lancers francs. Elle en tire $16$ et $X$ compte ses lancers manqués. Donne $n$ et $p$.
4. dOn lance $14$ fois deux dés équilibrés à $6$ faces. $X$ compte les lancers où la somme vaut $7$. Donne $n$ et $p$.
5. eUne graine germe avec la probabilité $0{,}7$. Un jardinier sème $3$ rangées de $18$ graines et $X$ compte les graines qui germent. Donne $n$ et $p$.
6. fDans une grande population, une personne sur $40$ est gauchère. On choisit $50$ personnes et $X$ compte les gauchers. Donne $n$ et $p$.

Ex. 16★★★Binomiale ou pas ? — Pour chaque situation, justifie ta réponse : si oui, cite toutes les hypothèses du schéma de Bernoulli ; si non, cite celle qui manque.

1. aUne urne contient $5$ boules blanches et $7$ noires. Lina tire $3$ boules sans remise et $X$ compte les blanches. $X$ suit-elle une loi binomiale ?
2. bTom lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$, et $X$ compte les lancers effectués. $X$ suit-elle une loi binomiale ?
3. cUn archer tire $10$ flèches. Il touche la cible avec la probabilité $0{,}6$ au premier tir, puis cette probabilité augmente de $0{,}02$ à chaque tir. $X$ compte les tirs réussis. Loi binomiale ?
4. dOn lance $15$ fois une pièce équilibrée. On gagne $2$ € par Pile et on perd $1$ € par Face, et $G$ est le gain total. $G$ suit-elle une loi binomiale ?
5. eDans une ville de $80\,000$ habitants, $23$ % sont vaccinés. On interroge $40$ habitants au hasard et $X$ compte les vaccinés. $X$ suit-elle une loi binomiale ?
6. fOn lance $9$ fois un dé équilibré à $6$ faces et $X$ compte les résultats supérieurs ou égaux à $5$. $X$ suit-elle une loi binomiale ?

Ex. 17★★★Deux machines, un contrôle qualité — Une usine fabrique des pièces sur deux machines. La machine A produit $65$ % des pièces, dont $2$ % sont défectueuses. La machine B produit les autres, dont $6$ % sont défectueuses. On note $D$ : « la pièce est défectueuse ». Arrondis à $10^{-3}$.

1. aCalcule la probabilité $P(D)$ qu'une pièce prise au hasard dans la production soit défectueuse.
2. bOn prélève $30$ pièces dans un stock assez important pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. $X$ compte les pièces défectueuses. Montre que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres.
3. cCalcule $P(X = 0)$ et interprète ce résultat.
4. dCalcule la probabilité qu'au moins deux pièces du prélèvement soient défectueuses.

Ex. 18★★★La rédaction d'Inès — Une enseigne annonce que $72$ % de ses clients sont satisfaits. On interroge au hasard $20$ clients parmi plusieurs milliers, et $X$ compte les clients non satisfaits. Inès écrit : « On répète $20$ fois l'expérience, donc $X$ suit $\mathcal{B}(20\,;0{,}72)$. »

1. aQuelle erreur Inès commet-elle sur le paramètre $p$ ? Corrige-la.
2. bCite deux hypothèses du schéma de Bernoulli qu'Inès n'a pas mentionnées. Explique pourquoi l'indépendance est vérifiée ici.
3. cRédige la justification complète attendue au bac.
4. dCalcule $E(X)$ et interprète ce résultat.

Ex. 19★★★Dépistage en série — Dans une région, $4$ % des habitants sont porteurs d'un virus. Le test de dépistage est positif chez $95$ % des porteurs et chez $3$ % des non-porteurs. On teste $25$ habitants choisis au hasard dans cette région très peuplée, et $X$ compte les tests positifs. Arrondis les probabilités à $10^{-3}$.

1. aDécris en mots l'arbre pondéré associé à une personne testée, puis calcule la probabilité $p$ que son test soit positif.
2. bMontre que $X$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.
3. cCalcule la probabilité qu'exactement deux tests soient positifs.
4. dCalcule la probabilité qu'au moins un test soit positif.
5. eCalcule $E(X)$. Nour affirme que $E(X)$ est le nombre moyen de porteurs du virus parmi les $25$ personnes. Est-ce exact ? Justifie.

Ex. 20★★★Centres, gain et échecs au stand de fléchettes — À un stand, chaque fléchette atteint le centre avec la probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres lancers. Mila lance $10$ fléchettes. Elle gagne $4$ € par centre et perd $1$ € par fléchette hors du centre. $X$ compte ses centres et $G$ est son gain algébrique, en euros. Extrait de table de la loi de $X$ :

1. aMontre que $X$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.
2. bExprime $G$ en fonction de $X$. Théo affirme que $G$ suit aussi une loi binomiale. A-t-il raison ? Justifie.
3. cÀ l'aide de l'extrait de table, calcule la probabilité que Mila gagne de l'argent.
4. dCalcule $E(G)$ et interprète ce résultat pour Mila.
5. e$Z$ compte les fléchettes de Mila hors du centre. Donne la loi de $Z$, puis calcule $P(Z \geqslant 9)$ à l'aide de l'extrait de table.

Ex. 21★★★Sans remise : petit sachet ou grand stock ? — Un horticulteur possède un stock de $5\,000$ bulbes de tulipes, dont $300$ ne fleuriront pas. Les bulbes sont toujours pris au hasard et sans remise. Sauf mention contraire, arrondis les probabilités à $10^{-3}$.

1. aUn client prend $2$ bulbes dans le stock. Calcule la probabilité qu'aucun ne fleurisse (à $10^{-6}$ près), puis compare-la à $0{,}06^2$.
2. bUn autre client pioche $2$ bulbes dans un sachet de $50$, dont $3$ ne fleuriront pas. Reprends la question précédente. Que conclus-tu ?
3. cUn client prend $40$ bulbes dans le stock, et $Y$ compte ceux qui fleurissent. Justifie que $Y$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.
4. dTraduis par un événement portant sur $Y$ : « au plus $2$ bulbes ne fleurissent pas ». Calcule ensuite sa probabilité.
5. eCalcule $E(Y)$ et interprète ce résultat.

Ex. 22★★★Formule en ligne, valeurs exactes — Dans chaque cas, écris la formule complète puis donne la valeur exacte, sous forme décimale ou de fraction.

1. a$X$ suit $\mathcal{B}(4\,;0{,}5)$. Calcule $P(X = 1)$.
2. bOn répète $6$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}2$. Calcule la probabilité de n'obtenir aucun succès.
3. c$X$ suit $\mathcal{B}(5\,;0{,}9)$. Calcule la probabilité que les $5$ épreuves soient toutes des succès.
4. d$X$ suit $\mathcal{B}\left(7\,;\frac{1}{3}\right)$. Calcule $P(X = 2)$ sous forme de fraction irréductible.
5. e$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$. Écris $P(X = 10)$ sous forme d'une puissance, puis donne sa valeur décimale exacte.
6. fUne épreuve réussit avec la probabilité $0{,}1$. On la répète $9$ fois de façon identique et indépendante. Calcule la probabilité d'obtenir exactement un succès.

Ex. 23★★★Un chemin ou tous les chemins ? — On répète $5$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès $S$ avec $p = 0{,}4$. $X$ compte les succès. Donne les valeurs exactes.

1. aCalcule la probabilité du chemin $SS\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}$.
2. bCombien de chemins de l'arbre comportent exactement $2$ succès ?
3. cDéduis-en $P(X = 2)$.
4. dCalcule la probabilité du chemin $\overline{S}S\overline{S}SS$.
5. eCalcule $P(X = 3)$.
6. fCalcule $P(X = 4)$.

Ex. 24★★★Un sachet de graines — Nora sème les $12$ graines d'un sachet. Chaque graine germe avec la probabilité $0{,}85$, indépendamment des autres. $X$ compte les graines qui germent. Arrondis les résultats à $10^{-3}$.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
2. bCalcule la probabilité qu'exactement $10$ graines germent.
3. cCalcule la probabilité que toutes les graines germent.
4. dCalcule la probabilité qu'exactement $3$ graines ne germent pas.

Ex. 25★★★Tirs au but : deux erreurs à corriger — Inès tire $8$ penaltys. Chaque tir est réussi avec la probabilité $0{,}75$, indépendamment des autres. $X$ compte les tirs réussis : $X$ suit $\mathcal{B}(8\,;0{,}75)$. Pour $P(X = 6)$, Hugo écrit $0{,}75^6 \times 0{,}25^2$ et Lou écrit $\dbinom{8}{6} \times 0{,}75^2 \times 0{,}25^6$.

1. aLe calcul de Hugo est-il la probabilité $P(X = 6)$ ? Justifie en disant ce qu'il représente vraiment, puis donne sa valeur arrondie à $10^{-3}$.
2. bLou a-t-elle raison ? Justifie en précisant à quelle probabilité $P(X = j)$ son calcul est égal.
3. cÉcris le calcul correct de $P(X = 6)$ en le justifiant avec les chemins de l'arbre, puis donne sa valeur arrondie à $10^{-3}$.

Ex. 26★★★QCM au hasard : démontrer puis comparer — Un QCM comporte $6$ questions. Chacune propose $4$ réponses dont une seule est juste. Léo répond au hasard à chaque question, indépendamment des autres. On note $J$ « la réponse est juste » et $X$ le nombre de réponses justes. Donne les valeurs exactes (fractions), puis un arrondi à $10^{-3}$.

1. aMontre que $X$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.
2. bCombien de chemins de l'arbre comportent exactement $2$ réponses justes ? Quelle est la probabilité de chacun d'eux ?
3. cDéduis-en $P(X = 2)$. Justifie pourquoi on a le droit d'additionner les probabilités de ces chemins.
4. dCalcule $P(X = 0)$ et $P(X = 6)$. Interprète chacune par une phrase.
5. eLe professeur change le QCM : chaque question propose désormais $3$ réponses, dont une seule juste. Léo affirme que sa probabilité d'avoir exactement $2$ réponses justes augmente. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 27★★★Contrôle qualité de lampes LED — Une usine fabrique $60\,\%$ de ses lampes LED sur une machine A et le reste sur une machine B. Une lampe issue de A est défectueuse avec la probabilité $0{,}02$, une lampe issue de B avec la probabilité $0{,}05$. On prélève $15$ lampes dans un stock assez grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. $X$ compte les lampes défectueuses. Garde les valeurs exactes dans les calculs et arrondis à $10^{-3}$ à la fin.

1. aMontre que la probabilité qu'une lampe prise au hasard soit défectueuse vaut $0{,}032$.
2. bJustifie que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
3. cCalcule la probabilité qu'aucune lampe du prélèvement ne soit défectueuse.
4. dCalcule la probabilité qu'exactement $2$ lampes du prélèvement soient défectueuses.
5. eLe lot est refusé dès qu'au moins $2$ lampes sont défectueuses. Calcule la probabilité que le lot soit refusé.

Ex. 28★★★Tir à l'arc et programme Python — Maël, archer, touche le centre de la cible avec la probabilité $0{,}35$ à chaque flèche, indépendamment des autres flèches. Il tire une série de $10$ flèches. $X$ compte les centres : $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}35)$. Camille écrit ce programme. Arrondis à $10^{-4}$. from math import comb def proba(n, p, k): return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) def plus_probable(n, p): kmax = 0 for k in range(1, n + 1): if proba(n, p, k) > proba(n, p, kmax): kmax = k return kmax

1. aExplique ce que représente proba(10, 0.35, 4) pour Maël, puis calcule cette valeur.
2. bExplique ce que fait la boucle de plus_probable. Que renvoie plus_probable(10, 0.35) ? Interprète.
3. cVrai ou faux : si $Y$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}65)$, alors $P(Y = 6) = P(X = 4)$. Justifie sans calculatrice.
4. dMaël tire deux séries de $10$ flèches, indépendantes. Calcule la probabilité qu'il touche exactement $3$ centres dans chacune des deux séries.

Ex. 29★★★Traduire les mots en X — Inès lance 15 fléchettes. À chaque lancer, indépendamment des autres, elle touche le centre avec une probabilité de $0{,}3$. $X$ est le nombre de centres : $X$ suit $\mathcal{B}(15\,;0{,}3)$. Écris chaque événement avec $X$, puis donne sa probabilité en n’utilisant que des $P(X \leqslant \dots)$.

1. a« Inès touche le centre au moins 5 fois. »
2. b« Inès touche le centre plus de 5 fois. »
3. c« Inès touche le centre au plus 3 fois. »
4. d« Inès touche le centre entre 3 et 7 fois, bornes incluses. »
5. e« Inès manque le centre au moins 13 fois. »
6. f« Inès touche le centre au moins une fois. » Écris l’événement avec $X$, puis calcule sa probabilité à $10^{-3}$ près.

Ex. 30★★★Lire un extrait de table — $X$ suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}1)$. La calculatrice donne l’extrait de table ci-dessous. Calcule chaque probabilité à l’aide de la table, à $10^{-3}$ près.

Ex. 31★★★Contrôle de capsules — Une usine fabrique des capsules, dont 5 % sont défectueuses. Pour contrôler un lot, on prélève 8 capsules. La production est assez grande pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. $X$ est le nombre de capsules défectueuses. Le lot est refusé s’il contient au moins 2 capsules défectueuses. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aMontre que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
2. bMalik écrit : « P(lot refusé) $= 1 - P(X \leqslant 2)$ ». Explique son erreur et écris la bonne expression.
3. cCalcule à la main la probabilité que le lot soit refusé, en détaillant.
4. dLe contrôleur affirme : « Plus d’un lot sur dix est refusé. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 32★★★QCM au hasard — Un QCM compte 12 questions, avec 4 réponses par question, dont une seule est juste. Yanis répond au hasard, de façon indépendante d’une question à l’autre. $X$ est son nombre de bonnes réponses. On admet que $X$ suit $\mathcal{B}(12\,;0{,}25)$. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aYanis a la moyenne s’il obtient au moins 6 bonnes réponses. Calcule la probabilité qu’il ait la moyenne.
2. bCalcule la probabilité que Yanis obtienne entre 3 et 6 bonnes réponses, bornes incluses.
3. cCalcule la probabilité qu’il obtienne plus de 7 bonnes réponses, puis interprète ce résultat.
4. dBen veut qu’un élève qui répond au hasard ait strictement moins de 5 % de chances d’avoir la moyenne. Avec la table, trouve le plus petit nombre de bonnes réponses à exiger.

Ex. 33★★★Série de lancers francs — Lou tire 10 lancers francs. À chaque tir, indépendamment des autres, elle marque avec une probabilité de $0{,}8$. $X$ est le nombre de lancers réussis. La calculatrice donne l’extrait de table ci-dessous. Utilise-le et arrondis à $10^{-3}$ près.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
2. bMaël écrit : « P(Lou marque au moins 8 fois) $= 1 - P(X \leqslant 8)$ ». Repère son erreur, puis calcule la bonne probabilité.
3. cCalcule la probabilité que Lou marque entre 6 et 9 lancers, bornes incluses.
4. dCalcule la probabilité que Lou rate plus de 3 lancers. Écris d’abord l’événement avec $X$.
5. eCalcule la probabilité que Lou rate au moins un lancer. Interprète ce résultat.

Ex. 34★★★Donneurs de sang au groupe rare — Dans une région, 2 % des donneurs de sang ont un groupe sanguin rare. Lors d’une collecte, 30 donneurs se présentent. On assimile cette situation à un tirage avec remise. $X$ est le nombre de donneurs au groupe rare : on admet que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(30\,;0{,}02)$. Arrondis à $10^{-3}$ près.

1. aCalcule la probabilité qu’au moins un donneur de la collecte ait le groupe rare.
2. bCalcule la probabilité qu’exactement 2 donneurs aient le groupe rare.
3. cCalcule la probabilité qu’au plus 1 donneur ait le groupe rare, sans utiliser de fonction cumulée.
4. dDéduis-en la probabilité que plus de 2 donneurs aient le groupe rare. Interprète.
5. eCombien de donneurs faut-il au minimum pour que la probabilité d’en avoir au moins un au groupe rare dépasse $0{,}99$ ?

Ex. 35★★★Vrai ou faux sur la planche de Galton — Une bille traverse une planche de Galton à 8 rangées de clous. À chaque clou, elle part à droite avec une probabilité de $\frac{1}{2}$, indépendamment des autres clous. Elle tombe dans la case dont le numéro est son nombre de passages à droite, de 0 à 8. $X$ est ce numéro, et $X$ suit la loi $\mathcal{B}(8\,;0{,}5)$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

1. a« La probabilité que la bille tombe dans une case de numéro au moins 6 est inférieure à $0{,}1$. »
2. b« La bille a plus de 95 chances sur 100 de tomber dans une case numérotée entre 2 et 6. »
3. c« $P(X \leqslant 3) = P(X \geqslant 5)$. »
4. d« Ben lâche 25 billes, indépendamment. La probabilité qu’au moins une bille tombe dans la case 0 ou dans la case 8 dépasse $0{,}15$. »

Ex. 36★★★Automatismes : espérance, variance, écart type — Calcule directement. Arrondis au centième si nécessaire.

1. a$X$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}15)$. Calcule $E(X)$.
2. b$X$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}15)$. Calcule $V(X)$.
3. c$X$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}15)$. Calcule $\sigma(X)$.
4. d$Y$ suit $\mathcal{B}(15\,;0{,}5)$. Calcule $E(Y)$. $Y$ peut-elle prendre la valeur $E(Y)$ ? Justifie.
5. e$Z$ suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}2)$ et $E(Z) = 14$. Détermine $n$.
6. f$W$ suit $\mathcal{B}(25\,;0{,}6)$. Calcule $\sigma(W)$.

Ex. 37★★★Vrai ou faux sur les paramètres — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a$X$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$. L'écart type de $X$ vaut $8$.
2. bParmi les lois $\mathcal{B}(20\,;p)$, la variance est la plus grande pour $p = 0{,}5$ et vaut alors $5$.
3. c$X$ suit $\mathcal{B}(n\,;p)$ avec $E(X) = 4$ et $V(X) = 3$. Alors $p = 0{,}25$ et $n = 16$.
4. d$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}35)$ et $Y$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}35)$. Alors $\sigma(Y) = 4\sigma(X)$.
5. e$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$. Alors $V(3X) = 3V(X)$.

Ex. 38★★★QCM au hasard et note obtenue — Lina répond au hasard aux $20$ questions d'un QCM. Chaque question a $4$ réponses, dont une seule est juste, et les réponses sont indépendantes. Une réponse juste rapporte $2$ points, une réponse fausse en retire $0{,}5$. On note $X$ le nombre de réponses justes et $N$ la note de Lina.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
2. bCalcule $E(X)$ et interprète ce résultat.
3. cExprime $N$ en fonction de $X$, puis calcule $E(N)$.
4. dCalcule $V(N)$, puis $\sigma(N)$ arrondi au centième.

Ex. 39★★★Tir à l'arc : retrouver la loi — Maëlle tire $n$ flèches. Chaque flèche atteint le centre avec la probabilité $p$, indépendamment des autres. $X$ est le nombre de centres, donc $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;p)$. On sait que $E(X) = 9$ et $V(X) = 6{,}3$.

1. aDétermine $p$, puis $n$.
2. bOn donne :

   k	7	8	9	10	11
   P(X = k)	0,1219	0,1501	0,1573	0,1416	0,1103

   . Toutes les autres valeurs ont une probabilité inférieure à $0{,}11$. Donne la valeur la plus probable de $X$ et compare-la à $E(X)$.
3. cNoah écrit : « $\sigma(X) = 6{,}3$ ». Repère son erreur, puis calcule $\sigma(X)$ arrondi au centième.
4. dÀ l'aide du tableau, calcule $P(E(X) - \sigma(X) \leqslant X \leqslant E(X) + \sigma(X))$.

Ex. 40★★★Valeur la plus probable d'une loi binomiale — Inès est commerciale. Elle appelle $12$ clients dans la journée. Chaque client signe un contrat avec la probabilité $0{,}35$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de contrats signés dans la journée. Arrondis au millième si nécessaire.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale, puis calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$.
2. bMontre que pour tout entier $k$ de $0$ à $11$, $\frac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \frac{12-k}{k+1} \times \frac{7}{13}$.
3. cDéduis-en les entiers $k$ tels que $P(X = k+1) > P(X = k)$, puis la valeur de $X$ la plus probable.
4. dCalcule la probabilité de cette valeur. Inès dit : « En moyenne je signe $4{,}2$ contrats, donc certains jours j'en signe $4{,}2$. » Corrige-la.

Ex. 41★★★Gain d'un livreur : variance d'un gain affine — Hugo est livreur et doit livrer $30$ colis par jour. Chaque colis arrive à l'heure avec la probabilité $0{,}9$, indépendamment des autres. Hugo touche $2$ € par colis livré à l'heure et paie $5$ € de pénalité par colis en retard. On note $X$ le nombre de colis livrés à l'heure et $G$ le gain du jour, en euros. Arrondis au centième si nécessaire.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale, puis calcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bExprime $G$ en fonction de $X$, puis calcule $E(G)$ et interprète ce résultat.
3. cTom écrit : « On obtient $V(G)$ en multipliant $V(X)$ par le coefficient de $X$ dans $G$, et $\sigma(G)$ est égal à $V(G)$. » Repère ses deux erreurs, puis calcule $V(G)$ et $\sigma(G)$.
4. dL'entreprise remplace la pénalité de $5$ € par une pénalité de $m$ € par colis en retard. Détermine la plus grande valeur de $m$ pour laquelle le gain moyen est au moins égal à $45$ €.

Ex. 42★★★Variance maximale et réglage du paramètre — Un standard téléphonique reçoit $400$ appels par jour. Chaque appel est une réclamation avec la probabilité $p$, où $0 < p < 1$, indépendamment des autres appels. On note $X$ le nombre de réclamations du jour ; $X$ suit donc $\mathcal{B}(400\,;p)$.

1. aOn pose $f(p) = p(1-p)$ sur $]0\,;1[$. Étudie les variations de $f$. Déduis-en la plus grande valeur possible de $V(X)$, puis celle de $\sigma(X)$.
2. bUne étude donne $\sigma(X) = 8$ avec $p < 0{,}5$. Détermine $p$.
3. cAvec cette valeur de $p$, calcule $E(X)$. Un jour, le standard reçoit $95$ réclamations. L'écart à $E(X)$ dépasse-t-il deux écarts types ? Justifie.
4. dLa directrice veut que $\sigma(X) \leqslant 6$. Détermine toutes les valeurs de $p$ qui conviennent.

Ex. 43★★★Automatismes : nombre minimal d'épreuves — Dans chaque cas, $n$ est un entier naturel. Justifie avec le logarithme et donne un résultat entier.

1. aPour trouver le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^n \leqslant 0{,}01$, Tom écrit $n \leqslant \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6$, donc $n = 20$. Corrige ses deux erreurs.
2. bDétermine le plus petit entier $n$ tel que $1 - 0{,}96^n \geqslant 0{,}99$.
3. cMaëlle touche la cible avec la probabilité $0{,}15$ à chaque tir, de façon indépendante. Combien de tirs lui faut-il au minimum pour la toucher au moins une fois avec une probabilité d'au moins $0{,}9$ ?
4. dDétermine le plus petit entier $n$ tel que $1 - 0{,}75^n \geqslant 0{,}999$.
5. eAvec $p = 0{,}02$, Ben affirme que $200$ épreuves suffisent pour avoir au moins un succès avec une probabilité d'au moins $0{,}99$. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 44★★★Automatismes : planche de Galton et extrait de table — Une planche de Galton inclinée a $20$ rangées de clous. À chaque clou, la bille part à droite avec la probabilité $0{,}25$, de façon indépendante. Le numéro $X$ de la case d'arrivée est le nombre de déplacements à droite : $X$ suit $\mathcal{B}(20\,;0{,}25)$. La calculatrice donne :

1. aDétermine le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}99$.
2. bDétermine le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}9$.
3. cCalcule la probabilité que la bille arrive dans une case de numéro au moins $6$.
4. dCalcule la probabilité que la bille arrive dans une case de numéro compris entre $3$ et $7$
   (inclus).
5. eLéa affirme que $P(2 \leqslant X \leqslant 7) \geqslant 0{,}9$. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 45★★★Surréservation au restaurant — Inès tient un restaurant de $15$ tables. Elle accepte $17$ réservations d'une table par soir. Chaque réservation est honorée avec la probabilité $0{,}9$, indépendamment des autres. $X$ est le nombre de réservations honorées un soir donné. Arrondis à $10^{-3}$.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
2. bCalcule la probabilité qu'un soir donné, au moins un client ayant réservé ne trouve pas de table.
3. cCalcule $E(X)$ et interprète ce nombre.
4. dCalcule la probabilité qu'au moins une table reste vide un soir donné.

Ex. 46★★★Contrôle qualité : de l'arbre au programme — Une usine fabrique des capteurs sur deux chaînes. La chaîne $A$ en produit $60\,\%$, dont $3\,\%$ sont défectueux. La chaîne $B$ produit le reste, dont $8\,\%$ sont défectueux. On prend un capteur au hasard et on note $D$ l'événement « le capteur est défectueux ». Arrondis à $10^{-3}$.
from math import comb def seuil(n, p, s): k = 0 F = (1-p)**n while F < s: k = k + 1 F = F + comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k) return k

1. aMontre que $P(D) = 0{,}05$.
2. bLe capteur est défectueux. Calcule la probabilité qu'il vienne de la chaîne $B$.
3. cOn prélève $50$ capteurs dans un stock assez grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. $X$ compte les capteurs défectueux. Justifie la loi de $X$, puis calcule $P(X \geqslant 1)$.
4. dOn prend $X$ comme dans la question précédente. Que renvoie seuil(50, 0.05, 0.95) ? Justifie avec les deux dernières valeurs de F, puis interprète.

Ex. 47★★★Autotest d'allergie : de l'arbre à la règle de décision — Dans une ville, $20\,\%$ des habitants sont allergiques au pollen (événement $A$). Un autotest est positif (événement $T$) pour $90\,\%$ des allergiques et pour $15\,\%$ des non-allergiques. Un pharmacien fait passer le test à $20$ personnes choisies au hasard. On assimile ce choix à des tirages avec remise. $X$ est le nombre de tests positifs. Arrondis à $10^{-3}$. Extraits de la table de $X$ :

1. aPartie A. Montre que $P(T) = 0{,}3$, puis calcule $P_T(A)$ et interprète ce résultat.
2. bPartie B. Justifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres. Calcule $E(X)$ et interprète.
3. cDétermine le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leqslant a) > 0{,}05$ et le plus petit entier $b$ tel que $P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}95$, puis calcule $P(a \leqslant X \leqslant b)$.
4. dRègle : si le nombre de tests positifs sort de $[a\,;b]$, le pharmacien signale le lot. Un jour, $11$ tests sont positifs. Que fait-il ? Justifie.
5. eCombien de personnes faut-il tester au minimum pour que la probabilité de trouver au moins une personne allergique testée positive soit au moins égale à $0{,}99$ ?

Ex. 48★★★Hydravion : surréservation et nombre de places — Un hydravion touristique a $18$ places. Les réservations sont gratuites. Chaque client qui réserve se présente avec la probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. La compagnie accepte $20$ réservations par vol. $X$ est le nombre de clients qui se présentent. Arrondis à $10^{-3}$. Extrait de la table de $X$ :

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale. Calcule par la formule $P(X = 19)$ et $P(X = 20)$, puis la probabilité d'une surréservation.
2. bLe directeur affirme : « Avec $18$ places, tous les clients présents embarquent dans au moins $95\,\%$ des vols. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne le plus petit $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95$.
3. cOn note $R$ le nombre de clients refusés à l'embarquement. Donne la loi de $R$, calcule $E(R)$ et interprète sur $100$ vols.
4. dLa compagnie veut un risque de surréservation au plus égal à $0{,}02$. Combien de réservations peut-elle accepter au maximum ? Justifie.

Ex. 49★★★QCM au hasard : simuler, puis fixer une note minimale — Un QCM a $12$ questions. Chacune a $4$ réponses, dont une seule juste. Noé répond au hasard, de façon indépendante d'une question à l'autre. $X$ est son nombre de bonnes réponses. La fonction note simule sa copie. Mia écrit ensuite la fonction note_min. Arrondis à $10^{-3}$. from random import random def note(): n = 0 for i in range(12): if random() < 0.25: n = n + 1 return n from math import comb def note_min(): m = 12 Q = 0.25**12 while Q <= 0.05: m = m - 1 Q = Q + comb(12, m) * 0.25**m * 0.75**(12 - m) return m

1. aQue représente le test random() < 0.25 ? Justifie que note() simule $X$, puis donne la loi de $X$ et son espérance.
2. bÉcris une fonction freq(N) qui appelle $N$ fois note() et renvoie la fréquence des notes supérieures ou égales à $6$.
3. cCalcule $P(X \geqslant 6)$ avec la table. Deux appels freq(1000) renvoient $0{,}061$ puis $0{,}049$ : explique ces écarts.
4. dMia cherche la plus petite note $m$ telle que $P(X \geqslant m) \leqslant 0{,}05$. Sa fonction renvoie $6$. A-t-elle raison ? Justifie avec la table, puis corrige le programme.