2nde / Logique et raisonnement

Ex. 1★★★Proposition ou pas ? — Automatismes. Dis si la phrase est une proposition. Si c'est le cas, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie.

1. a« $4 \times 9 = 36$ »
2. b« Calcule $12 \times 15$. »
3. c« $3x + 1$ »
4. d« $51$ est un nombre premier. »
5. e« $\sqrt{64} = 8$ »
6. f« $-5 > -2$ »

Ex. 2★★★Un contre-exemple suffit — Automatismes. Chaque proposition est fausse. Donne un contre-exemple pris dans l'ensemble indiqué, et vérifie-le par le calcul.

1. a« Pour tous réels $a$ et $b$, $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. »
2. b« Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. »
3. c« Pour tout réel $x$ non nul, $\frac{1}{x} < x$. »
4. d« Un nombre premier est impair. » Fais d'abord apparaître le quantificateur caché.
5. e« Le carré d'un réel est strictement plus grand que ce réel. » Fais d'abord apparaître le quantificateur caché.
6. f« Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$. »
7. g« Pour tout entier naturel $n$, $2n + 1 > n + 1$. »

Ex. 3★★★Une proposition qui dépend de n — Pour un entier $n$, on note $P(n)$ : « $n^2 + 3$ est un multiple de $4$ ».

1. aDis si $P(5)$ est vraie, puis si $P(6)$ est vraie. Justifie par un calcul.
2. bInès vérifie que $P(1)$, $P(3)$ et $P(7)$ sont vraies. Elle conclut : « pour tout entier $n$ impair, $P(n)$ est vraie, c'est démontré ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDémontre que pour tout entier $n$ impair, $P(n)$ est vraie. Écris $n = 2k + 1$, avec $k$ un entier.
4. dDémontre que pour tout entier $n$ pair, $n^2 + 3$ est impair. Déduis-en si $P(n)$ est vraie quand $n$ est pair.

Ex. 4★★★Démontrer, illustrer ou réfuter — Justifie chaque réponse par une démonstration, un exemple ou un contre-exemple vérifié, selon le cas.

1. a« Pour tout réel $x$, $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = 12x$. » Vrai ou faux ?
2. b« Il existe un réel $x$ non nul tel que $x^2 = 2x$. » Vrai ou faux ?
3. cMalo affirme que « pour tout entier naturel $n$, $n^3 \geqslant n$ » est fausse. Son contre-exemple : $n = -2$, car $(-2)^3 = -8$ et $-8 < -2$. A-t-il raison ? Justifie.
4. d« Pour tout réel $x$, $(x - 2)^2 \geqslant x^2 - 4$. » Vrai ou faux ?

Ex. 5★★★Le piège de n² + n + 41 — Pour un entier naturel $n$, on note $P(n)$ : « $n^2 + n + 41$ est un nombre premier ».

1. aCalcule $n^2 + n + 41$ pour $n = 1$, $n = 2$ et $n = 3$. Montre que $P(1)$, $P(2)$ et $P(3)$ sont vraies.
2. bLéa en conclut : « Pour tout entier naturel $n$, $P(n)$ est vraie. » Calcule $40^2 + 40 + 41$ et $41^2$, puis dis si Léa a raison. Justifie.
3. cMontre, sans calculatrice, que $41^2 + 41 + 41$ n'est pas un nombre premier.
4. dDémontre que pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n + 41$ est impair. Distingue le cas $n$ pair et le cas $n$ impair.

Ex. 6★★★Un nombre, son carré, son inverse — Justifie chaque réponse par une démonstration ou par un contre-exemple vérifié.

1. aDémontre que pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 2x - 1$.
2. bDéduis-en que pour tout réel $x > 0$, $x + \frac{1}{x} \geqslant 2$.
3. c« Pour tout réel $x$ non nul, $x + \frac{1}{x} \geqslant 2$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dZoé teste $x = 2$, $x = 4$ et $x = 0{,}5$, puis affirme : « Pour tout réel $x > 0$, $x + \frac{1}{x} > 2$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Nombres premiers et parité — Justifie chaque réponse par une démonstration, un exemple ou un contre-exemple vérifié, selon le cas.

1. a« La somme de deux nombres premiers est toujours paire. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« Il existe deux nombres premiers dont la somme est $40$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cDémontre que pour tous entiers $a$ et $b$, les nombres $a + b$ et $a - b$ ont la même parité.
4. dDéduis-en que pour tous entiers $a$ et $b$, le produit $(a + b)(a - b)$ est soit impair, soit un multiple de $4$.
5. eDéduis-en que $2026$ ne peut pas s'écrire $a^2 - b^2$, avec $a$ et $b$ entiers. Rappel : $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

Ex. 8★★★Faire apparaître le quantificateur caché — Réécris chaque phrase avec « pour tout » ou « il existe », écrits en mots, en nommant la variable. Tu n'as pas à dire si la phrase est vraie.

1. a« La somme de deux entiers pairs est paire. »
2. b« Certains entiers sont à la fois multiples de $3$ et de $5$. »
3. c« La valeur absolue d'un réel est positive ou nulle. »
4. d« Un nombre premier peut être pair. »
5. e« Un rectangle a des diagonales de même longueur. »
6. f« L'équation $3x + 1 = 0$ a une solution réelle. »

Ex. 9★★★Exemple, contre-exemple ou démonstration — Vrai ou faux ? Justifie : par un exemple, par un contre-exemple vérifié ou par un calcul valable pour toutes les valeurs.

1. a« Il existe un entier $n$ tel que $3n - 4 = 29$. »
2. b« Pour tout réel $x$, $2x > x$. »
3. c« Pour tout entier naturel $k$, $10k + 5$ est un multiple de $5$. »
4. d« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = -9$. »
5. e« Pour tout entier $n$, $(n + 1)^2 = n^2 + 1$. »
6. f« Il existe un triangle rectangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$. »

Ex. 10★★★L'ensemble change tout — On considère les propositions $P$ : « il existe un nombre $x$ tel que $3x = 10$ » et $Q$ : « pour tout nombre $x$, $5x \geqslant 5$ ». Leur vérité dépend de l'ensemble dans lequel on prend $x$.

1. aOn prend $x$ dans $\mathbb{Z}$. La proposition $P$ est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
2. bOn prend $x$ dans $\mathbb{Q}$. La proposition $P$ est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
3. cMehdi affirme : « Dans $\mathbb{N}^*$, $Q$ est fausse : contre-exemple $x = -1$. » A-t-il raison ? Justifie, puis dis si $Q$ est vraie dans $\mathbb{N}^*$.
4. dOn prend $x$ dans $\mathbb{N}$. La proposition $Q$ est-elle vraie ou fausse ? Justifie.

Ex. 11★★★Des exemples ne prouvent rien — Pour un entier $k$, on note $P(k)$ : « $(k + 1)^2 - k^2$ est impair » et $Q(k)$ : « $(k + 1)^2 - k^2$ est un multiple de $7$ ».

1. aCalcule $(k + 1)^2 - k^2$ pour $k = 4$. La proposition $P(4)$ est-elle vraie ?
2. bYanis teste $k = 0, 1, 2, 3$, trouve chaque fois un nombre impair et conclut : « pour tout entier $k$, $P(k)$ est vraie ». Est-ce une preuve ? Justifie.
3. cDémontre que, pour tout entier $k$, $P(k)$ est vraie.
4. dTom affirme : « $Q(1)$ est fausse, donc il n'existe aucun entier $k$ tel que $Q(k)$ soit vraie. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Quand un « il existe » est faux — Pour tout entier $n$, on pose $A(n) = n^2 + n$. Rédige chaque réponse avec soin.

1. aDémontre que la proposition « il existe un entier $n$ tel que $A(n)$ est un multiple de $10$ » est vraie.
2. bLina affirme : « Pour un « il existe » vrai, il y a un seul entier qui convient : celui de la question précédente. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDémontre que pour tout entier $n$, $A(n)$ est pair. Distingue deux cas : $n = 2k$ et $n = 2k + 1$, avec $k$ entier.
4. dLa proposition « il existe un entier $n$ tel que $n^2 + n + 7$ est pair » est-elle vraie ou fausse ? Justifie.

Ex. 13★★★Sommes d'entiers consécutifs — Inès étudie des sommes d'entiers consécutifs, comme $7 + 8 + 9$. Des entiers consécutifs s'écrivent $n$, $n + 1$, $n + 2$, … avec $n$ entier.

1. aRéécris la phrase « la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de $3$ » avec « pour tout », puis démontre-la.
2. bInès affirme : « De même, la somme de quatre entiers consécutifs est un multiple de $4$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cLa proposition « il existe quatre entiers consécutifs dont la somme vaut $74$ » est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
4. dLa proposition « il existe trois entiers consécutifs dont la somme vaut $74$ » est-elle vraie ou fausse ? Justifie.

Ex. 14★★★Un nombre et son carré : l'ensemble compte — Noé affirme : « un nombre est toujours inférieur ou égal à son carré ». On étudie sa phrase selon l'ensemble dans lequel on prend ce nombre.

1. aRéécris la phrase de Noé avec « pour tout », pour un réel $x$. Est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
2. bDémontre que pour tout entier naturel $n$, $n^2 \geqslant n$. Tu peux utiliser $n^2 - n = n(n - 1)$.
3. cDémontre que pour tout entier $n \leqslant -1$, on a aussi $n^2 \geqslant n$.
4. dLa proposition « il existe un entier $n$ tel que $n^2 < n$ » est-elle vraie ou fausse ? Justifie. Dans quel ensemble, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{R}$, la phrase de Noé est-elle vraie ?

Ex. 15★★★Automatismes : écrire une négation — $x$, $y$, $t$, $z$ sont des réels ; $n$, $a$, $b$ sont des entiers. Écris la négation de chaque proposition, sans utiliser le mot « non ».

1. a« $x < -6$ »
2. b« $y \geqslant -4$ »
3. c« $n$ est pair »
4. d« le réel $t$ est positif »
5. e« $x > -8$ et $x \leqslant 1$ »
6. f« $a$ est pair et $b$ est un multiple de $5$ »
7. g« $z = 0$ ou $z > 10$ »

Ex. 16★★★Automatismes : vrai ou faux avec « et », « ou » — Dis si chaque proposition est vraie ou fausse. Justifie.

1. a« $9$ est un multiple de $3$ ou $9$ est le carré d'un entier »
2. b« $14$ est pair et $14$ est un multiple de $4$ »
3. c« $\sqrt{16} = 4$ ou $2^3 = 6$ »
4. d« $-5 > -3$ et $(-5)^2 > (-3)^2$ »
5. e« $0{,}5 \times 0{,}5 > 0{,}5$ ou $0{,}5 \times 2 = 1$ »
6. f« $21$ est un nombre premier ou $21$ est pair »

Ex. 17★★★Compter avec « et », « ou » — On choisit un entier $n$ de $E = \{1\,;2\,;\ldots\,;24\}$. On note $P$ : « $n$ est impair » et $Q$ : « $n$ est un multiple de $3$ ».

1. aComplète le tableau avec V ou F.

   n	P	Q	P et Q	P ou Q
   15	?	?	?	?
   10	?	?	?	?
   7	?	?	?	?
   6	?	?	?	?

2. bDonne la liste des entiers de $E$ pour lesquels « $P$ et $Q$ » est vraie.
3. cJade affirme : « $P$ ou $Q$ » est vraie pour $20$ entiers de $E$, car $E$ contient $12$ impairs et $8$ multiples de $3$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÉcris la négation de « $P$ ou $Q$ » sans le mot « non », puis compte les entiers de $E$ qui la vérifient.

Ex. 18★★★Encadrement, intervalles et négation — $x$ est un réel. On note $P$ : « $x \geqslant -1$ » et $Q$ : « $x < 4$ ».

1. aLes réels $-1$ et $4$ vérifient-ils « $P$ et $Q$ » ? Justifie.
2. bÉcris l'ensemble des réels qui vérifient « $P$ et $Q$ » sous la forme d'un intervalle.
3. cHugo écrit que la négation de « $P$ et $Q$ » est « $x < -1$ et $x \geqslant 4$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
4. dDétermine l'ensemble des réels qui vérifient « $P$ ou $Q$ ». Justifie.

Ex. 19★★★Table de vérité et négation d'un « et » — $P$ et $Q$ sont deux propositions, $a$ et $b$ sont des entiers. $KLM$ est un triangle tel que $KL = LM = 5$ cm et $KM = 7$ cm.

1. aComplète la table de vérité.

   P	Q	non P	non Q	P et Q	non P ou non Q
   V	V	?	?	?	?
   V	F	?	?	?	?
   F	V	?	?	?	?
   F	F	?	?	?	?

2. bExplique pourquoi cette table montre que « (non $P$) ou (non $Q$) » est la négation de « $P$ et $Q$ ».
3. cMalo affirme : « La négation de "$a$ et $b$ sont pairs" est "aucun des deux n'est pair" ». A-t-il raison ? Justifie avec $a = 4$ et $b = 7$, puis corrige.
4. dÉcris la négation de « $KLM$ est rectangle et $KLM$ est isocèle », sans utiliser le mot « non ».
5. eLaquelle est vraie : la proposition de la question précédente ou sa négation ? Justifie par un calcul.

Ex. 20★★★Démontrer un « ou » sur des entiers — $a$ et $b$ sont des entiers. On note $R$ la proposition : « $a + b$ est pair ou $a \times b$ est pair ».

1. aPour $a = 3$ et $b = 8$, la proposition $R$ est-elle vraie ? Justifie.
2. bPour $a = 6$ et $b = 10$, Lina dit : « $R$ est fausse, car $a + b$ et $a \times b$ sont pairs tous les deux. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDémontre que $R$ est vraie pour tous entiers $a$ et $b$.
4. dDéduis-en que « $a + b$ est impair et $a \times b$ est impair » est fausse pour tous entiers $a$ et $b$.

Ex. 21★★★Fonction affine, intervalles et négation — $x$ est un réel. On note $P$ : « $3x - 4 < 5$ » et $Q$ : « $-2x + 1 < -9$ ».

1. aMontre que $P$ équivaut à « $x < 3$ » et que $Q$ équivaut à « $x > 5$ ».
2. bÉcris la négation de $P$, puis celle de $Q$, chacune sous la forme d'une inégalité sur $x$.
3. cDémontre que « $P$ et $Q$ » est fausse pour tout réel $x$.
4. dÉcris la négation de « $P$ ou $Q$ » sans le mot « non », puis donne l'ensemble des réels qui la vérifient sous forme d'intervalle.
5. eIlan affirme : « Les réels qui vérifient "$P$ ou $Q$" forment $]-\infty\,;3[ \cap ]5\,;+\infty[$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.

Ex. 22★★★Vrai ou faux : des implications — Vrai ou faux ? Justifie : si c'est vrai, démontre-le ; si c'est faux, donne un contre-exemple vérifié.

1. aPour un réel $x$ : si $x^2 = 4x$, alors $x = 4$.
2. bPour un réel $x$ : si $x \in [2\,;5]$, alors $x \in [0\,;6[$.
3. cPour un réel $x$ non nul : si $x < 2$, alors $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$.
4. dPour un entier $n$ : si $n$ est premier, alors $n + 2$ est premier.
5. ePour deux événements $A$ et $B$ d'une même expérience aléatoire : si $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}5$, alors $P(A \cup B) = 1$.
6. fPour un entier $n$ : si $n + 1$ est pair, alors $n$ est impair.

Ex. 23★★★Le seul cas qui rend une implication fausse — Un contre-exemple de « si $P$, alors $Q$ » est un cas où $P$ est vraie et $Q$ est fausse.

1. aComplète la table de vérité de l'implication :

   P	Q	$P \Rightarrow Q$
   V	V	?
   V	F	?
   F	V	?
   F	F	?

2. bPour « si $n$ est impair, alors $n$ est premier » : lequel des entiers $9$, $10$, $11$ est un contre-exemple ? Justifie pour chacun.
3. cPour « si $x < 3$, alors $x^2 < 9$ » : lequel des réels $-4$, $2$, $5$ est un contre-exemple ? Justifie pour chacun.
4. dPour « si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un carré » : lequel est un contre-exemple, un carré, un losange de diagonales $6$ cm et $8$ cm ou un rectangle de $2$ cm sur $9$ cm ? Justifie.
5. ePour « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ » : lequel des entiers $7$, $8$, $14$ est un contre-exemple ? Justifie pour chacun.

Ex. 24★★★L'implication, puis la réciproque — Pour chaque implication : dis si elle est vraie, écris sa réciproque et dis si elle est vraie. Justifie chaque réponse, puis dis s'il y a équivalence.

1. aPour un entier $n$ : « si $n$ est un multiple de $10$, alors $n$ est pair ».
2. bPour un réel $x$ : « si $x > 5$, alors $3x - 4 > 11$ ».
3. cPour deux réels $a$ et $b$ : « si $a + b = 0$, alors $a = 0$ et $b = 0$ ».
4. d« Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. »

Ex. 25★★★Ben corrige des copies — Chaque élève a fait une erreur de raisonnement. Trouve-la, explique-la et corrige-la.

1. aNoé écrit : $-2x + 6 > 10 \Leftrightarrow -2x > 4 \Leftrightarrow x > -2$.
2. bInès écrit : « pour un réel $x$, $x^2 = 36 \Leftrightarrow x = 6$ ».
3. cTom affirme que « si $n$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $6$ » est vraie, car sa réciproque est vraie et cela marche pour $n = 12$.
4. dPour réfuter « si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle », Sacha prend un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm, qui n'est pas isocèle.
5. ePour le triangle $KLM$ avec $KL = 6$, $LM = 10$ et $KM = 8$, Élise écrit : « $KL^2 + LM^2 = 136$ et $KM^2 = 64$, donc $KLM$ n'est pas rectangle. »

Ex. 26★★★Pythagore dans les deux sens — Le triangle $RST$ a pour côtés $RS = 20$ cm, $ST = 29$ cm et $RT = 21$ cm. Le triangle $UVW$ a pour côtés $UV = 9$ cm, $VW = 12$ cm et $UW = 16$ cm.

1. aPour un triangle $ABC$, écris le théorème de Pythagore sous la forme « si…, alors… », puis sa réciproque. Que forment-ils ensemble ?
2. bDémontre que $RST$ est rectangle et précise en quel sommet. Nomme le théorème que tu utilises.
3. cLina écrit : « $UW^2 = 256$ et $UV^2 + VW^2 = 225$. Le théorème ne s'applique pas, on ne peut rien conclure. » Son raisonnement est-il correct ? Justifie.
4. dMathis affirme : « pour tout triangle $ABC$, si $AB^2 + AC^2 > BC^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle ». Vrai ou faux ? Justifie avec le triangle $RST$.

Ex. 27★★★Carrés : quand peut-on écrire $\Leftrightarrow$ ? — Dans tout l'exercice, $x$ désigne un nombre réel.

1. aDémontre : si $x > 5$, alors $x^2 > 25$. Tu pourras développer $(x - 5)(x + 5)$.
2. bÉcris la réciproque de l'implication de la question précédente. Est-elle vraie ? Justifie.
3. cDémontre : si $x < -5$, alors $x^2 > 25$. Quel est le signe de $x - 5$, et celui de $x + 5$ ?
4. dHugo écrit : $(x - 2)^2 = 49 \Leftrightarrow x - 2 = 7 \Leftrightarrow x = 9$. Trouve l'erreur, puis résous correctement l'équation.

Ex. 28★★★Équivalence ou pas ? Entiers et losanges — Dans les questions sur les entiers, $n$ désigne un entier naturel.

1. aDémontre : si $n$ est impair, alors $n^2 + 3$ est pair.
2. bÉcris la réciproque de l'implication de la question précédente et démontre-la en supposant $n$ pair. Conclus par une équivalence.
3. cÉcris la réciproque de « si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires »
   (implication vraie, admise).
4. d$EFGH$ a ses diagonales perpendiculaires, qui se coupent en $O$ : $OE = OG = 3$ cm, $OF = 1$ cm, $OH = 5$ cm. Calcule $EF^2$ et $EH^2$. Que peux-tu en déduire pour la réciproque ? Justifie.
5. eYanis affirme : « $n$ est multiple de $4$ si et seulement si $n^2$ est multiple de $4$ ; je l'ai vérifié pour $n = 4$, $8$ et $12$. » Est-ce exact ? Justifie.

Ex. 29★★★Écrire une contraposée — Écris la contraposée de chaque implication. Ici, $x$, $a$ et $b$ sont des réels et $n$ est un entier.

1. a« Si $x > 3$, alors $x^2 > 9$. »
2. b« Si $n$ est un multiple de $6$, alors $n$ est pair. »
3. c« Si $x = 2$, alors $3x - 1 = 5$. »
4. d« Si $a \geqslant 4$ et $b \geqslant 4$, alors $a \times b \geqslant 16$. »
5. e« Si $x^2 = 16$, alors $x = 4$ ou $x = -4$. »
6. f« Si $1 \leqslant x \leqslant 2$, alors $x^2 \leqslant 4$. »

Ex. 30★★★Réciproque, contraposée ou ni l'une ni l'autre ? — On part de l'implication vraie : « Si un quadrilatère est un carré, alors c'est un losange. »

1. a« Si un quadrilatère est un losange, alors c'est un carré. » Est-ce la réciproque ou la contraposée de l'implication de départ ? Justifie.
2. b« Si un quadrilatère n'est pas un losange, alors ce n'est pas un carré. » Est-ce la réciproque ou la contraposée ? Vrai ou faux ? Justifie.
3. cHugo affirme que « si un quadrilatère n'est pas un carré, alors ce n'est pas un losange » est la contraposée de l'implication de départ. A-t-il raison ? Justifie.
4. dVrai ou faux ? « Si un quadrilatère n'est pas un carré, alors ce n'est pas un losange. » Justifie.

Ex. 31★★★Démontrer par contraposée avec la parité — Soit $n$ un entier. On veut démontrer : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ».

1. aÉcris la contraposée de cette implication.
2. bDémontre cette contraposée en écrivant $n$ à l'aide d'un entier $k$ bien choisi.
3. cConclus : pourquoi l'implication de départ est-elle démontrée ?
4. dTom écrit : « Si $n = 2k$, alors $n^2 = 4k^2 = 2 \times 2k^2$ est pair. J'ai démontré l'implication. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 32★★★Un triangle qui n'est pas rectangle — Le triangle $RST$ vérifie $RS = 8$, $ST = 11$ et $RT = 14$ (en cm).

1. aSi $RST$ était rectangle, quel côté serait l'hypoténuse et en quel sommet serait l'angle droit ? Justifie.
2. bÉcris la contraposée du théorème de Pythagore adaptée à ce sommet.
3. cDémontre que le triangle $RST$ n'est pas rectangle.
4. dInès calcule $RS^2 + RT^2 = 260$ et $ST^2 = 121$, puis conclut : « $RST$ n'est pas rectangle. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 33★★★Corriger deux élèves, puis démontrer — Soit $n$ un entier. On veut démontrer l'implication $I$ : « si $7n + 4$ est pair, alors $n$ est pair ». Léna rédige : « Si $n$ est pair, $n = 2k$ avec $k$ entier, donc $7n + 4 = 14k + 4 = 2(7k + 2)$ est pair. Donc $I$ est démontrée. »

1. aLéna a-t-elle démontré l'implication $I$ ? Justifie.
2. bMalik propose de démontrer « si $7n + 4$ est impair, alors $n$ est impair ». Est-ce la contraposée de $I$ ? Justifie.
3. cDémontre $I$ par contraposée. Précise ce que représente chaque lettre que tu introduis.
4. dEn utilisant le travail de Léna et ta question précédente, dis si l'équivalence « $7n + 4$ est pair $\Leftrightarrow$ $n$ est pair » est vraie. Justifie.

Ex. 34★★★Un produit et une négation avec « ou » — Dans les questions 1 à 3, $x$ et $y$ sont des réels positifs ou nuls. On étudie l'implication $I$ : « si $x \times y > 36$, alors $x > 6$ ou $y > 6$ ».

1. aClara affirme que la négation de « $x > 6$ ou $y > 6$ » est « $x \leqslant 6$ ou $y \leqslant 6$ ». A-t-elle raison ? Justifie avec $x = 8$ et $y = 3$, puis écris la contraposée de $I$.
2. bDémontre $I$ par contraposée, en rédigeant.
3. cÉcris la réciproque de $I$. Vrai ou faux ? Justifie.
4. dIci, $x$ et $y$ sont des réels quelconques. Montre que $I$ devient fausse, et vérifie que ton contre-exemple rend aussi la contraposée fausse.

Ex. 35★★★Ce parallélogramme est-il un rectangle ? — $ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 12$, $BC = 9$ et une diagonale $AC = 16$ (en cm). On rappelle qu'un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

1. aOn sait que : « si $ABCD$ est un rectangle, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ ». Écris la contraposée de cette implication.
2. bDémontre que $ABCD$ n'est pas un rectangle.
3. cYanis écrit : « $16^2 \neq 12^2 + 9^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ n'est pas rectangle. » Que faut-il corriger ? Justifie.
4. dOn garde $AB = 12$ et $BC = 9$, mais on change la longueur $AC$. Pour quelle longueur $AC$ le parallélogramme $ABCD$ est-il un rectangle ? Démontre-le.

Ex. 36★★★Automatismes : écrire un entier avec $k$ — Dans tout l'exercice, $n$ et $k$ désignent des entiers. Réponds brièvement.

1. aDéveloppe $(2k+3)^2$ sans oublier le double produit.
2. bPour $n=2k$, écris $n^2+5n$ sous la forme $2\times(\dots)$. Justifie que le facteur obtenu est un entier.
3. cPour $n=2k+1$, écris $n^2+2n$ sous la forme $2\times(\dots)+1$.
4. dSamir écrit : « $n$ est impair, donc $n=2k+1$ avec $k$ réel. » Corrige sa phrase et explique pourquoi elle est fausse.
5. eÉcris $37$ puis $-9$ sous la forme $2k+1$, en donnant l'entier $k$ à chaque fois.

Ex. 37★★★Automatismes : signes, valeur absolue et cas — $x$ désigne un nombre réel. Réponds en justifiant brièvement.

1. aLes deux cas « $x>0$ » et « $x<0$ » couvrent-ils tous les réels ? Justifie et corrige si besoin.
2. bÉcris $|x|$ sans valeur absolue lorsque $x<0$.
3. cÉcris $|x-3|$ sans valeur absolue lorsque $x<3$.
4. dDonne le signe de $(x-2)(x+5)$ lorsque $x>2$.
5. eDonne le signe de $(x-2)(x+5)$ lorsque $-5<x<2$.
6. fClara vérifie que $|x-1|\geqslant x-1$ pour $x=-2$, $0$, $1$ et $5$. Elle en conclut que c'est vrai pour tout réel $x$. A-t-elle démontré la propriété ? Justifie.

Ex. 38★★★Une preuve à compléter — On veut démontrer que, pour tout entier $n$, $n^2+3n+1$ est impair. Inès écrit : « Pour $n=2k$, $n^2+3n+1=4k^2+6k+1=2(2k^2+3k)+1$. C'est impair, donc c'est vrai pour tout entier $n$. »

1. aQuelle est l'erreur de raisonnement d'Inès ?
2. bTraite le cas où $n$ est impair, en écrivant $n=2k+1$ avec $k$ entier.
3. cRédige la conclusion de la démonstration en rassemblant les cas.
4. dDéduis-en que l'équation $n^2+3n+1=1000$ n'a aucune solution entière.

Ex. 39★★★Valeur absolue : deux cas — On veut démontrer que, pour tout réel $x$, $x+|x|\geqslant 0$.

1. aDans le cas $x\geqslant 0$, simplifie $x+|x|$ et donne son signe.
2. bDans le cas $x<0$, simplifie $x+|x|$ et donne son signe.
3. cExplique pourquoi ces deux cas suffisent, puis conclus.
4. dRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x+|x|=6$ en distinguant les deux cas.

Ex. 40★★★Entiers consécutifs et multiples de 8 — Dans tout l'exercice, $n$, $k$ et $m$ désignent des entiers. On étudie le produit de deux entiers consécutifs, puis le carré d'un entier impair.

1. aRomane calcule $n(n+1)$ pour $n=1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et trouve toujours un nombre pair. Peut-elle conclure pour tout entier $n$ ? Justifie.
2. bDémontre par disjonction des cas que, pour tout entier $n$, $n(n+1)$ est pair.
3. cDéduis-en, sans faire de nouvelle disjonction des cas, que $n^2-n$ est pair pour tout entier $n$.
4. dOn suppose $n$ impair et on écrit $n=2k+1$. Développe $n^2-1$, puis écris-le sous la forme $4k(k+1)$.
5. eDémontre que, pour tout entier impair $n$, $n^2-1$ est un multiple de $8$. Vérifie ensuite ce résultat avec $n=11$.

Ex. 41★★★Le carré d'un entier et la division par 3 — Dans tout l'exercice, $n$, $k$ et $q$ désignent des entiers. On découpe les entiers en trois cas : $n=3k$, $n=3k+1$ ou $n=3k+2$.

1. aÉcris $14$ et $-7$ sous l'une des formes $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$. Pourquoi ces trois cas couvrent-ils tous les entiers ?
2. bDans chacun des trois cas, écris $n^2$ sous la forme $3q$ ou $3q+1$, en précisant l'entier $q$.
3. cRédige la conclusion : quels restes $n^2$ peut-il laisser dans la division par $3$ ? Lequel est impossible ?
4. dMathis affirme : « $2\,027$ est le carré d'un entier. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide des questions précédentes.
5. eDémontre que, pour tout entier $n$, $n^2+1$ n'est pas un multiple de $3$.

Ex. 42★★★Le produit $x\times|x|$ — Dans tout l'exercice, $x$ désigne un nombre réel. On rappelle que $|x|=x$ si $x\geqslant 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$. On étudie le produit $x\times|x|$.

1. aYanis affirme : « pour tout réel $x$, $x\times|x|=x^2$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
2. bChoisis deux cas qui couvrent tous les réels, et écris $x\times|x|$ sans valeur absolue dans chacun d'eux.
3. cDémontre que, pour tout réel $x$, $x\times|x|$ a le même signe que $x$.
4. dRésous l'équation $x\times|x|=-9$ en distinguant les cas. Combien a-t-elle de solutions ?
5. eDémontre que, pour tout réel $x$, $x\times|x|\leqslant x^2$.

Ex. 43★★★Écrire la bonne supposition — On veut démontrer chaque proposition par l'absurde. Écris la phrase « Supposons que… » qui commence la démonstration.

1. a« Il n'existe pas de plus grand multiple de $5$. »
2. b« L'entier $n$ est impair. »
3. c« Le réel $x$ vérifie $x > -2$. »
4. d« Le nombre $0$ n'a pas d'inverse. »
5. e« $\sqrt{5} \neq 2{,}236$. »
6. f« Le réel $a$ vérifie $-1 \leqslant a \leqslant 3$. »

Ex. 44★★★Quel raisonnement choisir ? — Pour chaque proposition, indique le raisonnement le plus adapté (contre-exemple, contraposée, disjonction des cas ou absurde) et justifie ton choix en une phrase.

1. a« Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant x$. »
2. b« Il n'existe pas d'entier $n$ tel que $2n = 7$. »
3. c« Pour tout entier $n$, $n^2 + n + 1$ est impair. »
4. d« Pour tout entier $n$, si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair. »
5. e« Pour tout réel $x$, $|x| \geqslant x$. »

Ex. 45★★★Pas de plus petit réel strictement positif — Lucas veut démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de plus petit réel strictement positif.

1. aLucas commence par : « Supposons qu'il n'existe pas de plus petit réel strictement positif. » Explique son erreur, puis écris la bonne supposition.
2. bOn note $r$ le réel introduit par la bonne supposition. Montre que $\frac{r}{2}$ est un réel strictement positif et que $\frac{r}{2} < r$.
3. cNomme la contradiction obtenue, puis rédige la conclusion.
4. dLucas affirme : « J'ai fait une démonstration par contraposée. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 46★★★$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel — On veut démontrer que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel. On admet la propriété suivante : le carré d'un entier impair est impair.

1. aRaisonnons par l'absurde. Écris la supposition en utilisant une fraction irréductible $\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers et $q \neq 0$.
2. bMontre que $p^2 = 2q^2$. Déduis-en que $p$ est pair, à l'aide de la propriété admise.
3. cOn écrit $p = 2k$, avec $k$ entier. Montre que $q^2 = 2k^2$, puis que $q$ est pair.
4. dNomme la contradiction obtenue, puis conclus.

Ex. 47★★★Aucune différence de deux carrés égale à $6$ — On veut démontrer qu'il n'existe pas d'entiers $a$ et $b$ tels que $a^2 - b^2 = 6$.

1. aÉcris la supposition qui commence une démonstration par l'absurde. Vérifie ensuite que $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.
2. bCalcule $(a+b)+(a-b)$. Déduis-en que $a+b$ et $a-b$ ne peuvent pas être l'un pair et l'autre impair.
3. cOn suppose maintenant que $a+b$ et $a-b$ sont tous les deux impairs. Montre que l'on arrive à une contradiction et nomme-la.
4. dOn suppose maintenant que $a+b$ et $a-b$ sont tous les deux pairs. Écris-les $2m$ et $2p$ avec $m$ et $p$ entiers, puis termine la démonstration.
5. eMia affirme : « De la même façon, il n'existe pas d'entiers $a$ et $b$ tels que $a^2 - b^2 = 7$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 48★★★Angles et côtés impossibles — On admet : la somme des angles vaut $180^\circ$ dans un triangle et $360^\circ$ dans un quadrilatère ; tout angle mesure strictement plus de $0^\circ$ ; un angle aigu mesure strictement moins de $90^\circ$, un angle obtus strictement plus de $90^\circ$ ; dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté.

1. aDémontre par l'absurde qu'un triangle ne peut pas avoir deux angles droits.
2. bLe quadrilatère $RSTU$ a trois angles obtus. Démontre par l'absurde que son quatrième angle est aigu.
3. cÉlise affirme : « Un quadrilatère peut avoir trois angles droits et un angle aigu. » Démontre par l'absurde qu'elle a tort.
4. dLe triangle $KLM$ a pour côtés $KL = 6$, $LM = 8$ et $KM = 11$. Démontre par l'absurde qu'il n'est pas rectangle.

Ex. 49★★★Absurde ou contraposée ? — $a$ et $b$ désignent deux réels. On veut démontrer la proposition $P$ : « si $a + b = 10$, alors $a \geqslant 5$ ou $b \geqslant 5$ ».

1. aÉcris la négation de « $a \geqslant 5$ ou $b \geqslant 5$ ».
2. bDémontre $P$ par l'absurde : écris la supposition, puis nomme la contradiction obtenue.
3. cRose affirme : « Démontrer $P$ par l'absurde, c'est démontrer que si $a < 5$ ou $b < 5$, alors $a + b \neq 10$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÉcris la réciproque de $P$. Est-elle vraie ? Justifie.