1re spécialité / Logique et raisonnement

Ex. 1★★★Automatismes : vrai ou faux sur des propriétés de 2nde — Ici, $x$ désigne un réel et $n$ un entier. Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est vrai, fais une démonstration. Si c'est faux, donne un contre-exemple et vérifie-le.

1. aPour tout réel $x$, si $x < -3$, alors $x^2 > 9$.
2. bPour tout réel $x$, si $x > 2$, alors $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.
3. cPour tout réel $x$, si $x^2 = 2x$, alors $x = 2$.
4. dPour tout entier $n$, si $n$ est impair, alors $3n + 1$ est pair.
5. ePour tout réel $x$, si $x \in \,]-2\,;4]$, alors $x \in [-2\,;4[$.
6. fPour tout réel $x$, $x^2 \geqslant x$.

Ex. 2★★★Automatismes : négations, « ou » et intervalles — Ici, $x$ désigne un réel et $n$ un entier.

1. aÉcris la négation de « $x > -1$ et $x < 6$ ».
2. bDonne un entier $n$ pour lequel « $n < 8$ » et « $n > 8$ » sont fausses toutes les deux. Écris ensuite la négation de « $n < 8$ ».
3. cMila dit : « Pour $n = 12$, la proposition « $n$ est pair ou $n > 10$ » est fausse, car ses deux parties sont vraies. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÉcris « $x \notin [0\,;7[$ » avec des inégalités et le mot « ou ».
5. eÉcris la négation de l'implication « si $x \geqslant 1$, alors $x^3 \geqslant 1$ ».
6. fLa proposition « $-2 \in \,]-2\,;5]$ ou $5 \in \,]-2\,;5]$ » est-elle vraie ? Justifie.

Ex. 3★★★Condition nécessaire, condition suffisante — Pour chaque question, écris les deux implications et teste chacune : donne une preuve si elle est vraie, un contre-exemple si elle est fausse.

1. a$x$ est un réel. Complète par « nécessaire », « suffisante » ou « nécessaire et suffisante » : « $x = -5$ » est une condition … pour « $x^2 = 25$ ».
2. b$a$ et $b$ sont des réels. Complète de la même façon : « $ab > 0$ » est une condition … pour « $a > 0$ et $b > 0$ ».
3. c$x$ est un réel. Kenza affirme : « $x^2 < 4$ est une condition suffisante pour $-2 < x < 2$, mais pas nécessaire. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dComplète par « il faut », « il suffit » ou « il faut et il suffit » : « Pour que $M(x\,;y)$ soit sur la droite d'équation $y = 2x + 1$, … que $M$ ait pour coordonnées $(1\,;3)$. »

Ex. 4★★★Corriger le raisonnement d'un élève — Pour chaque élève, trouve l'erreur de raisonnement. Rédige ensuite une réponse correcte.

1. aInès calcule $n^2 + n + 11$ pour $n = 0$, $1$ et $2$. Elle trouve $11$, $13$ et $17$, qui sont premiers. Elle conclut : « pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n + 11$ est premier ».
2. bTom : « Si $ABCD$ est un carré, ses diagonales ont la même longueur. Donc, si ses diagonales ont la même longueur, $ABCD$ est un carré. » Teste avec $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(4\,;2)$ et $D(0\,;2)$.
3. cPour montrer que « pour tout réel $x$, si $x < 2$, alors $x^2 < 4$ » est fausse, Noé propose $x = 3$, car $3^2 = 9$ et $9 \geqslant 4$.
4. dSarah affirme que « si $n$ est multiple de $10$, alors $n$ est pair » est fausse, car $7$ n'est pas pair.

Ex. 5★★★Un encadrement, sa réciproque et ses bornes — $x$ désigne un réel. On note $P$ : « $x \in [1\,;3]$ », $Q$ : « $x^2 - 4x + 3 \leqslant 0$ » et $R$ : « $x^2 \leqslant 9$ ».

1. aDéveloppe $(x - 1)(x - 3)$. Étudie ensuite le signe de ce produit, puis démontre que $P \Leftrightarrow Q$.
2. bDémontre que $P \Rightarrow R$.
3. cÉcris la réciproque de $P \Rightarrow R$ et démontre qu'elle est fausse. Quels réels $x$ la mettent en défaut ?
4. d« $x^2 \leqslant 9$ » est-elle une condition nécessaire ou une condition suffisante pour « $x^2 - 4x + 3 \leqslant 0$ » ? Justifie.
5. eMehdi écrit : « $x^2 - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \,]1\,;3[$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 6★★★Multiples de 6 : « et » ou « ou » ? — $n$ désigne un entier naturel. On note $A$ : « $n$ est un multiple de $6$ », $B$ : « $n$ est pair » et $C$ : « $n$ est un multiple de $3$ ».

1. aDémontre que, si $A$ est vraie, alors « $B$ et $C$ » est vraie.
2. bÉcris la réciproque de $A \Rightarrow B$. Est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
3. cDémontre que, si « $B$ et $C$ » est vraie, alors $A$ est vraie. Tu peux écrire $n = 3m$ et raisonner sur la parité de $m$.
4. dHugo affirme : « $A \Leftrightarrow (B$ ou $C)$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
5. eCombien d'entiers $n$ compris entre $1$ et $30$ vérifient « $B$ ou $C$ » ? Justifie sans tous les lister.

Ex. 7★★★Fonction inverse : quand l'ordre s'inverse-t-il ? — $a$ et $b$ désignent des réels non nuls. On étudie l'implication (I) : « si $a < b$, alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ».

1. aZoé teste $a = 2$ et $b = 5$. Elle en conclut que (I) est vraie pour tous réels non nuls $a$ et $b$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bPour $a = 3$ et $b = 1$, l'implication (I) est-elle vraie ? Justifie.
3. cDémontre que (I) est vraie pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs. Tu peux calculer $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
4. dOn suppose $a > 0$ et $b > 0$. Écris la réciproque de (I) et démontre-la. Que peux-tu conclure ?
5. eOn suppose maintenant $a < 0$ et $b < 0$. L'implication (I) est-elle encore vraie ? Justifie.

Ex. 8★★★Nécessaire, suffisante ou les deux ? — Complète par « nécessaire », « suffisante », « nécessaire et suffisante » ou « ni l'une ni l'autre ». Justifie en testant les deux implications.

1. aPour un réel $x$, « $x > 3$ » est une condition … pour « $x^2 > 9$ ».
2. bPour un entier $n$, « $n$ est multiple de $6$ » est une condition … pour « $n$ est pair ».
3. cPour un quadrilatère $ABCD$, « $ABCD$ a quatre angles droits » est une condition … pour « $ABCD$ est un carré ».
4. dPour des réels $a$ et $b$, « $a \times b = 0$ » est une condition … pour « $a = 0$ ».
5. ePour un entier $n$, « $n$ est pair » est une condition … pour « $n$ est multiple de $3$ ».
6. fPour un réel $x$, « $2x + 1 > 7$ » est une condition … pour « $x > 3$ ».

Ex. 9★★★« Il faut » ou « il suffit » ? — Vrai ou faux ? Justifie : une démonstration si c'est vrai, un contre-exemple vérifié si c'est faux.

1. a« Pour qu'un entier $n$ soit divisible par $10$, il suffit qu'il soit pair. »
2. b« Pour qu'un réel $x$ vérifie $x^2 - 5x = 0$, il suffit que $x = 5$. »
3. c« Pour qu'un réel $x$ vérifie $x^2 \geqslant 4$, il faut que $x \geqslant 2$. »
4. d« Pour qu'un triangle $ABC$ soit rectangle en $A$, il faut que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. »
5. e« Pour que le produit $(x - 1)(x + 3)$ soit nul, il faut que $x = 1$. »

Ex. 10★★★Deux solutions distinctes : à quelle condition ? — Soit $m$ un réel. On considère l'équation $(E_m)$ : $x^2 + 4x + m = 0$, d'inconnue réelle $x$.

1. aExprime le discriminant $\Delta$ de $(E_m)$ en fonction de $m$.
2. bÉlise affirme : « $m < 0$ est une condition nécessaire pour que $(E_m)$ ait deux solutions distinctes. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. c« $m < 0$ » est-elle une condition suffisante pour que $(E_m)$ ait deux solutions distinctes ? Justifie.
4. dDétermine une condition nécessaire et suffisante portant sur $m$ pour que $(E_m)$ ait deux solutions distinctes.

Ex. 11★★★Une liste, puis une preuve dans les deux sens — Pour un entier naturel $n$, on note $P$ : « $n$ est multiple de $4$ » et $Q$ : « $n^2$ est multiple de $8$ ». Ben écrit ce programme : L = [n for n in range(1, 21) if (n * n) % 8 == 0] print(L)

1. aQu'affiche ce programme ?
2. bDémontre que, pour tout entier naturel $n$, $P \Rightarrow Q$.
3. cKenza affirme : « Le programme démontre qu'il suffit que $n^2$ soit multiple de $8$ pour que $n$ soit multiple de $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dComplète en justifiant les deux sens : « $n$ est pair » est une condition … pour « $n^2$ est multiple de $8$ ». Pour l'un des sens, raisonne par contraposée.

Ex. 12★★★Ben corrige quatre copies — Chaque élève s'est trompé. Explique l'erreur à l'aide d'un contre-exemple vérifié ou d'une démonstration, puis écris une conclusion correcte. Dans les calculs, $x$ désigne un réel et $n$ un entier.

1. aLéa écrit : « Pour avoir $\frac{1}{x} < 1$ (avec $x \neq 0$), il faut avoir $x > 1$. »
2. bKarim écrit : « Un carré a ses quatre côtés de même longueur, donc avoir quatre côtés de même longueur est une condition suffisante pour être un carré. »
3. cNina écrit : « $6$ est multiple de $3$ et n'est pas multiple de $9$, donc “$n$ est multiple de $9$” n'est pas une condition suffisante pour “$n$ est multiple de $3$”. »
4. dHugo résout $x(x - 3) = 2x$ : « Je divise par $x$, d'où $x - 3 = 2$, donc $S = \{5\}$. »

Ex. 13★★★Un paramètre devant le carré — Soit $m$ un réel. On considère l'équation $(E_m)$ : $(m - 1)x^2 - 2mx + m + 3 = 0$, d'inconnue réelle $x$.

1. aRésous $(E_m)$ dans le cas $m = 1$.
2. bOn suppose $m \neq 1$. Montre que le discriminant de $(E_m)$ est $\Delta = 12 - 8m$.
3. cDéduis-en une condition nécessaire et suffisante sur $m$ pour que $(E_m)$ ait deux solutions distinctes.
4. d« $m < \frac{3}{2}$ » est-elle une condition nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante ou ni l'une ni l'autre pour que $(E_m)$ ait deux solutions distinctes ? Justifie les deux sens.
5. eMême question pour la condition « $m \leqslant 1$ ».

Ex. 14★★★Quand $n^2 - 1$ est-il multiple de $3$ ? — Pour un entier naturel $n$, on note $P$ : « $n$ n'est pas multiple de $3$ » et $Q$ : « $n^2 - 1$ est multiple de $3$ ».

1. aQu'affiche ce programme ? L = [n for n in range(15) if (n**2 - 1) % 3 == 0] print(L)
2. bTom affirme : « L'affichage prouve que $P \Leftrightarrow Q$ pour tout entier naturel $n$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDistingue deux cas selon le reste de la division de $n$ par $3$ pour démontrer que $P \Rightarrow Q$.
4. dDémontre par contraposée que $Q \Rightarrow P$.
5. eComplète, puis justifie : « Pour que $n^2 - 1$ soit multiple de $3$, il faut et il suffit que … ».

Ex. 15★★★Écrire la négation — $(u_n)$ est une suite définie sur $\mathbb{N}$ et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Écris la négation de chaque proposition, sans utiliser « aucun ».

1. a« Tous les termes de la suite $(u_n)$ sont positifs. »
2. b« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = -4$. »
3. c« Pour tout réel $x$ de $[0\,;3]$, $f(x) < 7$. »
4. d« Le cube d'un réel négatif est négatif. »
   (écris d'abord le quantificateur caché)
5. e« Il existe un entier $n$ tel que $n > 10$ et $n$ est impair. »
6. f« Pour tout réel $x$ de $]0\,;1]$, il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $\frac{1}{n} < x$. »

Ex. 16★★★Exemple ou contre-exemple ? — Vrai ou faux ? Justifie : démonstration, exemple ou contre-exemple vérifié.

1. a« Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 \geqslant n$. »
2. b« Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geqslant x$. »
3. c« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = 3x$. »
4. d« Pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n + 11$ est un nombre premier. »
5. e« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 + 2x + 2 = 0$. »

Ex. 17★★★L'ordre des quantificateurs — On considère deux propositions.
$P_1$ : « pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $y > x^2$ ».
$P_2$ : « il existe un réel $y$ tel que, pour tout réel $x$, $y > x^2$ ».

1. aDémontre que $P_1$ est vraie.
2. bÉcris la négation de $P_2$.
3. cDémontre que $P_2$ est fausse. Tu peux utiliser $x = |y| + 1$.
4. dLéo écrit : « la négation de $P_1$ est : il existe un réel $y$ tel que, pour tout réel $x$, $y \leqslant x^2$ ». Trouve son erreur et corrige-la.

Ex. 18★★★Chasser les contre-exemples en Python — $P$ : « pour tout entier $n$ de $1$ à $50$, $n$ est multiple de $4$ ou $n^2 - 1$ est multiple de $3$ ».
Ce programme doit mettre dans L les contre-exemples de $P$ :
L = [n for n in range(1, 51) if ......] print(L) print(len(L))

1. aÉcris la négation de $P$.
2. bComplète la condition du programme.
3. cVérifie à la main que $n = 6$ est un contre-exemple. Que peux-tu conclure sur $P$ ?
4. dSelon le reste de $n$ dans la division par $3$, trouve quand $n^2 - 1$ est multiple de $3$. Déduis-en le nombre affiché par la dernière ligne.

Ex. 19★★★Une fonction sous la loupe — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 5$. On considère la proposition $P$ : « il existe un réel $x$ tel que $f(x) < 1$ ».

1. aÉcris la négation de $P$.
2. b$P$ est-elle vraie ou fausse ? Démontre-le en étudiant le signe de $f(x) - 1$.
3. cLina nie « pour tout réel $x$, $f(x) > 1$ et $f(x) < 10$ » en écrivant « pour tout réel $x$, $f(x) \leqslant 1$ et $f(x) \geqslant 10$ ». Repère ses erreurs et corrige.
4. dLa proposition « pour tout réel $x$, $f(x) > 1$ et $f(x) < 10$ » est-elle vraie ? Justifie.
5. eVrai ou faux ? Justifie : « il existe un réel $x$ tel que $f(x) > 1$ et $f(x) < 10$ ».

Ex. 20★★★Quand l'ensemble et l'ordre changent tout — $E$ désigne $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$. On considère $A$ : « pour tout $n \in E$, il existe $m \in E$ tel que $m < n$ » et $B$ : « il existe $m \in E$ tel que, pour tout $n \in E$, $m \leqslant n$ ».

1. aÉcris la négation de $A$, puis celle de $B$, sans changer l'ensemble $E$.
2. bDans cette question, $E = \mathbb{N}$. Vrai ou faux pour $A$, puis pour $B$ ? Justifie.
3. cDans cette question, $E = \mathbb{Z}$. $A$ est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
4. dYanis affirme : « avec $E = \mathbb{Z}$, $A$ et $B$ ont la même valeur de vérité, car elles utilisent les mêmes quantificateurs ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Quantificateurs cachés — $P$ : « le produit de deux entiers consécutifs est pair ». $T$ : « l'inverse d'un réel non nul est inférieur ou égal à ce réel ».

1. aRéécris $P$ avec « pour tout », puis écris sa négation.
2. bDémontre $P$ en distinguant deux cas selon la parité.
3. cSami nie « tous les carrés des entiers de $1$ à $10$ sont strictement inférieurs à $50$ » par « aucun de ces carrés n'est strictement inférieur à $50$ ». Corrige sa négation.
4. dMontre que la phrase de départ de Sami et la négation qu'il a écrite sont fausses toutes les deux.
5. eRéécris $T$ avec « pour tout » et écris sa négation. Vrai ou faux pour $T$ ? Justifie.

Ex. 22★★★Automatismes : variable, inconnue ou paramètre ? — Pour chaque phrase, donne le rôle de la lettre demandée (variable, inconnue ou paramètre) et justifie en une phrase.

1. a« Résoudre l'équation $mx^2 - 3x + 5 = 0$ d'inconnue $x$, où $m$ est un réel. » Quel est le rôle de $m$ ? Quel est celui de $x$ ?
2. b« Pour tout entier naturel $n$, $w_n = n^2 + 1$. » Quel est le rôle de $n$ ?
3. c« Résoudre $4x + 7 = 19$. » Quel est le rôle de $x$ ? Résous ensuite l'équation.
4. d« On considère la parabole d'équation $y = x^2 + c$, où $c$ est un réel. » Quel est le rôle de $c$ ?
5. eLucas écrit : « Dans $g(x) = 5 - 2x$ pour $x \in \mathbb{R}$, la lettre $x$ est l'inconnue. » A-t-il raison ? Justifie.
6. f« Pour tout réel $t$, $(t+1)^2 \geqslant 0$. » La lettre $t$ est-elle une inconnue ? Justifie.

Ex. 23★★★Automatismes : identité ou équation ? — Justifie chaque réponse par un calcul général ou par un contre-exemple vérifié.

1. aMontre que l'égalité $(x - 4)^2 = x^2 + 16$ n'est pas une identité. Résous-la ensuite comme une équation d'inconnue $x$.
2. bDémontre que, pour tout réel $x$, $(2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 = 8x$.
3. cInès vérifie que $x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$ pour $x = 0$, $x = 1$ et $x = -2$. Elle écrit : « J'ai démontré l'identité. » A-t-elle raison ? Démontre ensuite l'égalité.
4. dL'égalité $x^2 + 4x = (x + 2)^2$ est-elle une identité ou une équation ? Donne l'ensemble de ses solutions.
5. eL'égalité $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$ est une identité. Réécris-la en faisant apparaître le « pour tout » sous-entendu, puis écris sa négation.

Ex. 24★★★La division interdite de Léa — Pour un réel $m$, on résout l'équation $(m - 2)x = m^2 - 4$, d'inconnue $x$. Léa écrit : « Je divise par $m - 2$ et j'obtiens $x = m + 2$. Donc, pour tout $m$, l'équation a une seule solution. »

1. aPour $m = 2$, écris l'équation obtenue et donne l'ensemble de ses solutions.
2. bQuelle erreur Léa a-t-elle commise ? Explique.
3. cDiscute, selon les valeurs de $m$, l'ensemble des solutions de l'équation.
4. dDétermine la valeur de $m$ pour laquelle l'équation a pour unique solution $7$.

Ex. 25★★★Nombre de solutions selon le paramètre — Pour un réel $m$, on étudie l'équation $(E_m)$ : $mx^2 - 4x + 2 = 0$, d'inconnue $x$.

1. aPour $m = 0$, l'équation $(E_0)$ est-elle du second degré ? Résous-la.
2. bOn suppose $m \neq 0$. Calcule le discriminant $\Delta$ de $(E_m)$ en fonction de $m$.
3. cDiscute, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions de $(E_m)$.
4. dDétermine $m$ pour que $-1$ soit solution de $(E_m)$, puis trouve l'autre solution.

Ex. 26★★★Trois essais ne font pas une identité — On considère l'égalité $(E)$ : $x^3 + 11x = 6x^2 + 6$, où $x$ est un réel. Noé la teste pour $x = 1$, $x = 2$ et $x = 3$. Il conclut : « C'est une identité. »

1. aVérifie que $(E)$ est vraie pour $x = 1$, pour $x = 2$ et pour $x = 3$.
2. bÉcris avec « pour tout » la phrase « $(E)$ est une identité », puis sa négation. Noé a-t-il raison ? Justifie.
3. cBen écrit ce programme : L = [x for x in range(-5, 6) if x**3 + 11*x != 6*x**2 + 6] print(L) Quelle liste affiche-t-il ? Suffit-elle pour résoudre $(E)$ dans $\mathbb{R}$ ? Justifie.
4. dDéveloppe $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$, puis résous $(E)$ dans $\mathbb{R}$.

Ex. 27★★★Un carré qui dépend du paramètre — Pour un réel $m$, on étudie l'équation $(m - 1)x^2 = m + 3$, d'inconnue $x$.

1. aRésous l'équation pour $m = 3$, puis pour $m = 0$.
2. bPour $m = 1$, peut-on diviser par $m - 1$ ? Résous l'équation dans ce cas.
3. cPour $m \neq 1$, étudie le signe de $\frac{m + 3}{m - 1}$. Déduis-en, selon $m$, le nombre de solutions.
4. dDétermine la valeur de $m$ pour laquelle $2$ est solution, puis donne l'autre solution.
5. eExiste-t-il un réel $m$ pour lequel l'égalité est vraie pour tout réel $x$ (identité) ? Justifie.

Ex. 28★★★Une famille de fonctions et l'affirmation de Mia — Pour un réel $a$, on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $f_a$ par $f_a(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 9$. Mia affirme : « Pour tout réel $a$, l'équation $f_a(x) = 0$, d'inconnue $x$, a exactement deux solutions. »

1. aQuel est le rôle de $x$ dans la définition de $f_a$, puis dans l'équation $f_a(x) = 0$ ? Quel est le rôle de $a$ ?
2. bDémontre que $f_a(x) = (x - a - 3)(x - a + 3)$. Sur quelles lettres porte le « pour tout » sous-entendu ?
3. cMia a-t-elle raison ? Justifie.
4. dDétermine les valeurs de $a$ pour lesquelles $0$ est solution de $f_a(x) = 0$. Donne alors l'autre solution.
5. eDétermine les valeurs de $a$ pour lesquelles les deux solutions sont strictement positives.

Ex. 29★★★Automatismes : contraposée ou réciproque ? — Réponds à chaque question en rédigeant les implications sous la forme « si…, alors… ».

1. aÉcris la contraposée de « si $x > 3$, alors $x^2 > 9$ ».
2. bÉcris la contraposée de « si l'entier $n$ est multiple de $6$, alors $n$ est pair ».
3. cJade dit que la contraposée de « si $ABCD$ est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur » est « si $ABCD$ n'est pas un carré, alors ses diagonales n'ont pas la même longueur ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dPour démontrer « si $n^2$ est impair, alors l'entier $n$ est impair », Noé écrit : « Soit $n = 2k + 1$, $k$ entier. Alors $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair. » Quelle implication a-t-il démontrée ? Justifie.
5. eDans la situation de Noé, écris l'implication qu'il faut démontrer pour raisonner par contraposée.
6. fVrai ou faux ? « Si une implication est vraie, alors sa réciproque est vraie. » Justifie.

Ex. 30★★★Automatismes : les bonnes briques d'une preuve — Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier et $x$ un réel.

1. aOn sait que $n$ est impair. Écris $n$ à l'aide d'un entier $k$, puis montre que $n^2 + 2n$ est impair.
2. bSacha écrit : « $n^2 + 3 = 2 \times \frac{n^2+3}{2}$, donc $n^2 + 3$ est pair. » Explique pourquoi ce n'est pas une preuve, puis donne un contre-exemple.
3. cPour étudier $n$ selon son reste dans la division par $3$, Maël distingue les cas $n = 3k$ et $n = 3k + 1$, avec $k$ entier. Sa disjonction est-elle complète ? Justifie.
4. dPour simplifier $|x| + x$, Zoé distingue les cas $x > 0$ et $x < 0$. Sa disjonction est-elle complète ? Justifie.
5. eOn veut démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de plus petit réel strictement positif. Écris la supposition de départ, puis la contradiction obtenue.

Ex. 31★★★Disjonction des cas sur les entiers — Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier.

1. aEn distinguant deux cas, démontre que $n^2 + n + 1$ est impair.
2. bDéduis-en que l'équation $n^2 + n + 1 = 2026$ n'a aucune solution entière.
3. cJustifie que les cas $n \leqslant 0$ et $n \geqslant 1$ couvrent tous les entiers, puis démontre que $n^2 \geqslant n$.
4. dVrai ou faux : « pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant x$ » ? Justifie.

Ex. 32★★★Choisir son raisonnement — Annonce chaque raisonnement dès la première ligne.

1. aDémontre par contraposée que, pour tout entier $n$ : si $5n + 3$ est pair, alors $n$ est impair.
2. bChoisis un raisonnement adapté et démontre que, pour tout réel $x \neq -1$, $\frac{x}{x + 1} \neq 1$.
3. cQu'affiche ce programme ? Que peux-tu en conclure pour « pour tout entier $n$, si $n^2$ est multiple de $4$, alors $n$ est multiple de $4$ » ? L = [n for n in range(1, 30) if n**2 % 4 == 0 and n % 4 != 0] print(L)
4. dQuelle condition écrire dans ce programme pour chercher un contre-exemple à « si $n^2$ est multiple de $9$, alors $n$ l'est aussi » ? Qu'affiche-t-il alors ? Conclus.

Ex. 33★★★Contraposée ou réciproque : corriger deux copies — Lina doit démontrer : « pour tout entier $n$, si $7n$ est pair, alors $n$ est pair ». Elle écrit : « Soit $n$ pair : $n = 2k$, donc $7n = 14k = 2 \times 7k$ est pair. » Malo dit qu'il raisonne par contraposée en démontrant « si $7n$ est impair, alors $n$ est impair ».

1. aÉcris la réciproque de l'implication à démontrer. Quelle implication Lina a-t-elle réellement démontrée ? Sa copie prouve-t-elle l'énoncé ? Justifie.
2. bMalo raisonne-t-il vraiment par contraposée ? Justifie.
3. cÉcris la contraposée de l'implication à démontrer, puis démontre l'énoncé par contraposée.
4. dVrai ou faux : « pour tout entier $n$, si $6n$ est pair, alors $n$ est pair » ? Justifie.
5. ePour que $6n$ soit pair, « $n$ pair » est-elle une condition nécessaire, suffisante, ou nécessaire et suffisante ? Et pour que $7n$ soit pair ? Justifie.

Ex. 34★★★Disjonction des cas : restes et valeur absolue — $n$ désigne un entier et $x$ un réel. En Python, a % 3 donne le reste de la division de a par $3$. Inès conjecture : « pour tout entier $n$, $n^2 + 1$ n'est pas un multiple de $3$ ». Elle écrit : L = [n for n in range(50) if (n**2 + 1) % 3 == 0] print(L)

1. aFactorise $n^3 - n$ en un produit de trois entiers consécutifs.
2. bEn distinguant les cas selon le reste de la division de $n$ par $3$, démontre que $n^3 - n$ est un multiple de $3$.
3. cQu'affiche le programme d'Inès ? Ce résultat démontre-t-il sa conjecture ? Justifie.
4. dDémontre la conjecture d'Inès.
5. eDémontre que, pour tout réel $x$, $x^2 - |x| + \frac{1}{4} \geqslant 0$.

Ex. 35★★★Raisonner par l'absurde — On admet que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Dans chaque démonstration, annonce le raisonnement, écris clairement la supposition, puis la contradiction obtenue.

1. aDémontre qu'il n'existe pas de plus grand entier pair.
2. bDémontre que le nombre $5 - 3\sqrt{2}$ est irrationnel.
3. cVrai ou faux : « la somme de deux nombres irrationnels est toujours irrationnelle » ? Justifie.
4. dDémontre qu'il n'existe pas d'entiers $a$ et $b$ tels que $a^2 - b^2 = 2$. Indication : calcule $(a - b) + (a + b)$.

Ex. 36★★★Appartenance, inclusion, couples : vrai ou faux ? — Automatismes. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a$\{7\} \in \{1\,;7\,;9\}$.
2. b$\emptyset \subset \{1\,;7\,;9\}$.
3. c$\{9\,;4\} = \{4\,;9\}$, donc $(9\,;4) = (4\,;9)$.
4. d$(3\,;-2) \in \mathbb{N}^2$.
5. eSi $A = \{1\,;2\,;3\,;4\}$, alors $\mathrm{Card}(A^2) = 8$.
6. fUn code est formé d'une lettre parmi X, Y, Z suivie d'un chiffre de $0$ à $9$. Il y a exactement $13$ codes possibles.
7. gPour tout réel $x$ : si $x \in [-3\,;1]$ ou $x \in [0\,;5]$, alors $x \in [0\,;1]$.

Ex. 37★★★Intersection, réunion, complémentaire — Automatismes. On note $E = \{1\,;2\,;\ldots\,;20\}$. $A$ est l'ensemble des multiples de $4$ de $E$, et $B$ l'ensemble des multiples de $5$ de $E$.

1. aÉcris $A$, $B$ et $A \cap B$ en extension.
2. bÉcris $A \cup B$ en extension, puis donne $\mathrm{Card}(A \cup B)$.
3. cVérifie sur cet exemple que $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$.
4. dDonne $\mathrm{Card}(\overline{A})$, où $\overline{A}$ est le complémentaire de $A$ dans $E$.
5. eÉcris $[-4\,;3] \cap \,]0\,;8[$ puis $[-4\,;3] \cup \,]0\,;8[$ sous la forme d'un intervalle.
6. fÉcris le complémentaire de $[2\,;10]$ dans l'ensemble de référence $[0\,;10]$, puis son complémentaire dans $\mathbb{R}$.

Ex. 38★★★Lister et comparer A × B et B × A — On note $A = \{0\,;1\,;2\}$ et $B = \{1\,;3\}$.

1. aComplète le tableau à double entrée pour lister les couples de $A \times B$ (la ligne donne $a$, la colonne donne $b$).

   ×	1	3
   0	…	…
   1	…	…
   2	…	…

2. bDéduis-en $\mathrm{Card}(A \times B)$. Calcule ensuite $\mathrm{Card}(B \times A)$ et $\mathrm{Card}(A^2)$ sans les lister.
3. cLe couple $(3\,;1)$ appartient-il à $A \times B$ ? Et à $B \times A$ ? Qu'en conclus-tu pour ces deux ensembles ?
4. dInès écrit : « $A \cap B = \{(1\,;1)\}$ ». A-t-elle raison ? Corrige son erreur.
5. eCombien de couples $(a\,;b)$ de $A^2$ vérifient $a < b$ ? Justifie.

Ex. 39★★★Une grille de points dans le plan — On note $A = \{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\}$ et $B = \{0\,;1\,;2\,;3\}$. Dans un repère, chaque couple $(x\,;y)$ de $A \times B$ est le couple de coordonnées d'un point. On obtient ainsi une grille de points.

1. aCombien de points compte la grille ? Justifie.
2. bCombien de points de la grille sont sur la droite d'équation $y = x + 1$ ? Donne leurs coordonnées.
3. cQue contient la liste L ? Qu'affiche ce programme ? L = [ [x, y] for x in range(-2, 3) for y in range(4) if y == x**2] print(L) print(len(L))
4. dÉcris une liste en compréhension M qui contient les points [x, y] de la grille tels que $y > x$. Donne ensuite len(M).

Ex. 40★★★Quand a-t-on A × B = B × A ? — Dans cet exercice, $A$ et $B$ sont des ensembles. On cherche à quelle condition $A \times B = B \times A$.

1. aOn prend $A = \{1\,;4\}$ et $B = \{4\,;7\}$. Écris $A \times B$ et $B \times A$ en extension, puis donne leurs cardinaux.
2. bAvec ces mêmes ensembles, Chloé affirme : « $A \times B$ et $B \times A$ ont le même cardinal, donc $A \times B = B \times A$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cOn suppose $A$ et $B$ non vides et $A \times B = B \times A$. Démontre que $A \subset B$, puis que $A = B$.
4. dVrai ou faux ? « Pour tous ensembles $A$ et $B$, si $A \times B = B \times A$, alors $A = B$. » Justifie.
5. ePour $A$ et $B$ non vides, la condition « $A = B$ » est-elle nécessaire, suffisante, ou nécessaire et suffisante pour avoir $A \times B = B \times A$ ? Justifie.

Ex. 41★★★Deux lancers de dé : compter les couples — On lance deux fois un dé à six faces et on note le résultat $(x\,;y)$ : $x$ au premier lancer, $y$ au second. On note $A = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$. $C$ est l'ensemble des résultats où $x + y$ est pair, et $D$ l'ensemble des résultats qui contiennent au moins un $6$.

1. aExplique pourquoi l'ensemble des résultats est $A^2$. Les résultats $(2\,;5)$ et $(5\,;2)$ sont-ils les mêmes ? Donne $\mathrm{Card}(A^2)$.
2. bDémontre, en distinguant des cas, que $x + y$ est pair si et seulement si $x$ et $y$ ont la même parité. Déduis-en $\mathrm{Card}(C)$.
3. cLéo dit : « Il y a $6$ résultats avec $x = 6$ et $6$ avec $y = 6$, donc $\mathrm{Card}(D) = 12$. » Corrige son erreur et donne $\mathrm{Card}(D)$.
4. dComplète la condition pour que L contienne les couples de $C \cap D$, écrits [x, y]. Qu'affiche le programme ? A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] L = [ [x, y] for x in A for y in A if ... ] print(len(L))
5. eDéduis-en $\mathrm{Card}(C \cup D)$. Justifie.

Ex. 42★★★Intervalles et rectangles du plan — On note $I = [-1\,;4[$ et $J = [2\,;6]$. Dans un repère, un point $M(x\,;y)$ est repéré par son couple de coordonnées $(x\,;y) \in \mathbb{R}^2$.

1. aDétermine $I \cap J$ et $I \cup J$ sous forme d'intervalles. Justifie.
2. bTraduis avec « ou » la condition « $(x\,;y) \notin I \times J$ », puis donne un point $P(x\,;y)$ tel que $x \in I$ et $P \notin I \times J$.
3. cLes points $M(3\,;5)$ et $N(5\,;3)$ appartiennent-ils à $I \times J$ ? à $J \times I$ ? Justifie.
4. dDémontre que $(I \times J) \cap (J \times I) = (I \cap J)^2$.
5. eDécris l'ensemble des points dont le couple de coordonnées appartient à $(I \times J) \cap (J \times I)$, puis calcule l'aire de cette figure.

Ex. 43★★★Indices et modifications d'une liste — Automatismes. On pose L = [5, 8, 3, 8, 6, 1]. Chaque question repart de cette liste initiale.

1. aQue vaut L[1] ?
2. bQue vaut L[len(L) - 1] ?
3. cQue se passe-t-il si on demande L[6] ? Justifie.
4. dÉcris la liste L obtenue après L.remove(8).
5. eÉcris la liste L obtenue après del L[3].
6. fOn exécute L.append(0), puis L[0] = 2. Écris la liste L obtenue.
7. gPython refuse la ligne if L[2] = 3:. Corrige-la, puis dis si la condition obtenue est vraie.

Ex. 44★★★range et listes en compréhension — Automatismes. a % b est le reste de la division de $a$ par $b$, et x**2 vaut $x^2$.

1. aÉcris la liste [k for k in range(4)].
2. bQuel entier b faut-il choisir pour que [k for k in range(3, b)] se termine par $12$ ?
3. cÉcris la liste [x**2 for x in range(1, 8) if x % 3 == 1].
4. dQue vaut len([n for n in range(10, 20) if n % 2 == 0 and n % 3 != 0]) ?
5. eOn pose M = [n for n in range(1, 10) if not n % 4 == 0 or n == 8]. Les nombres $8$ et $4$ sont-ils dans M ? Justifie.
6. fÉcris en compréhension la liste des multiples de $7$ compris entre $1$ et $50$.

Ex. 45★★★Parcourir par les indices ou par les valeurs — On considère le programme suivant ; a % b est le reste de la division de $a$ par $b$. L = [4, 9, 2, 7, 5] S = 0 for i in range(len(L)): if i % 2 == 0: S = S + L[i] print(S)

1. aFais le tableau des valeurs prises par i et prévois ce qu'affiche le programme.
2. bLina remplace la ligne 3 par for x in L:, puis i par x et L[i] par x. Qu'affiche son programme ? Explique la différence.
3. cComplète la condition pour que T contienne les éléments d'indice impair de L, puis donne T. T = [] for i in range(len(L)): if ..........: T.append(L[i])

Ex. 46★★★Corriger un programme, puis conclure — Noé veut obtenir la liste V des valeurs de $n^2 - 3n + 5$ pour $n$ entier de $0$ à $9$. Il écrit le programme suivant. for n in range(9): V = [] V.append(n**2 - 3*n + 5) print(V)

1. aQu'affiche ce programme ? Repère ses deux erreurs.
2. bÉcris le programme corrigé et donne la liste V qu'il affiche.
3. cNoé écrit cette fonction pour savoir si une liste contient une valeur paire. Pourquoi existe_pair([3, 4]) renvoie-t-il False ? Corrige-la, puis donne existe_pair(V). def existe_pair(L): for x in L: if x % 2 == 0: return True return False
4. dNoé affirme : « pour tout entier naturel $n$, $n^2 - 3n + 5$ est un nombre premier ». A-t-il raison ? Justifie à l'aide de V.

Ex. 47★★★Une conjecture testée, puis démontrée — Léa étudie les nombres $n^2 + 3n$ pour $n$ entier naturel. Dans le programme, a % b est le reste de la division de $a$ par $b$ et x**2 vaut $x^2$. L = [] for n in range(1, 8): L.append(n**2 + 3*n) print(L) C = [x for x in L if x % 2 == 1] print(C)

1. aFais le tableau des valeurs prises par n, puis prévois exactement les deux lignes affichées.
2. bLéa conclut : « pour tout entier naturel $n$, $n^2 + 3n$ est pair, puisque le programme l'a vérifié ». Sa preuve est-elle valable ? Justifie.
3. cDémontre en distinguant deux cas que, pour tout entier naturel $n$, $n^2 + 3n$ est pair.
4. dÉcris une liste en compréhension qui donne les entiers $n$ de $0$ à $11$ tels que $n^2 + 3n$ n'est pas multiple de $4$, puis donne son contenu.
5. eÉcris la négation de « pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n$ est multiple de $4$, alors $n^2 + 3n$ est multiple de $4$ ». Laquelle des deux propositions est vraie ? Démontre-le.

Ex. 48★★★Une fonction qui parcourt une liste — On considère la fonction suivante, où L est une liste de nombres réels et x**2 vaut $x^2$. def f(L): for x in L: if x**2 - 5*x + 6 < 0: return True return False

1. aComplète la phrase à l'aide d'un quantificateur : f(L) renvoie True si et seulement si …
2. bPrévois ce que renvoient f([1, 2.5, 4]) et f([0, 1, 2, 3, 4, 5]), en détaillant les valeurs testées.
3. cDémontre que, pour toute liste L formée uniquement d'entiers, f(L) renvoie False.
4. dMehdi affirme : « pour tester “pour tout $x$ de L, $x^2 - 5x + 6 \geqslant 0$”, il suffit de calculer not f(L) ». A-t-il raison ? Justifie.
5. eSans faire tourner de programme, donne la valeur de not f([k/3 for k in range(4, 10)]). Justifie.

Ex. 49★★★Couples d'un produit cartésien filtrés par un programme — Dans ce programme, un couple $(a\,;b)$ est représenté par la liste [a, b] et a % b est le reste de la division de $a$ par $b$. A = [1, 2, 3, 4] B = [0, 1, 2] P = [] for a in A: for b in B: if a > b and not (a + b) % 2 == 0: P.append([a, b]) print(len(P)) print(P)

1. aCombien de fois la ligne if est-elle exécutée ? Relie ce nombre à $\mathrm{Card}(A \times B)$.
2. bDresse un tableau à double entrée des couples de $A \times B$ retenus, puis prévois exactement l'affichage.
3. cÉcris sans not une condition qui retient exactement les autres couples de $A \times B$, puis donne leur nombre sans les lister.
4. dAprès le programme, on exécute P.remove([3, 0]) puis del P[2]. Que vaut P ? Que vaut P[len(P) - 1] ? Et P[len(P)] ?