Terminale maths complémentaires / Logarithme

Ex. 1★★★Automatismes : simplifier exp et ln — Donne la valeur exacte de chaque nombre, ou explique pourquoi il n'existe pas.

Ex. 2★★★Automatismes : passer de exp à ln — Résous chaque équation dans $\mathbb{R}$ et donne la valeur exacte des solutions.

Ex. 3★★★Existence et signe de ln — Sans calculatrice, dis si le nombre existe. S'il existe, donne son signe en justifiant.

Ex. 4★★★Les erreurs d'Inès — Inès a résolu quatre équations. Pour chacune, donne les valeurs exactes, puis les arrondis à $0{,}01$.

1. aPour $\ln x = 2$, Inès écrit $x = 2e$. A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.
2. bPour $e^{x} = -3$, Inès écrit $x = \ln(-3)$. A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.
3. cPour $e^{3x - 1} = 8$, Inès donne $x = 1{,}03$ comme valeur exacte. A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.
4. dPour $\ln(2x - 5) = 0$, Inès trouve $x = \frac{5}{2}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.

Ex. 5★★★Deux courbes symétriques — Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}$ est la courbe de $\exp$ et $\Gamma$ celle de $\ln$. Elles sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis à $0{,}01$.

1. aLe point $A\left(3\,;e^{3}\right)$ est sur $\mathcal{C}$. Donne son symétrique sur $\Gamma$ et l'égalité qu'il traduit.
2. bDétermine l'abscisse du point de $\Gamma$ dont l'ordonnée est $-1{,}5$.
3. cDonne l'ordonnée du point de $\Gamma$ d'abscisse $0{,}6$, puis le point de $\mathcal{C}$ qui lui correspond.
4. d$\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;1)$. Déduis-en où $\Gamma$ coupe l'axe des abscisses.

Ex. 6★★★Un médicament dans le sang — On injecte un médicament à un patient. La concentration du médicament dans le sang, en mg/L, est $C(t) = 8e^{-0{,}25t}$, où $t$ est le temps en heures et $t \geqslant 0$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis à $0{,}001$ près.

1. aCalcule $C(0)$, puis donne la valeur exacte de $C(2)$ et son arrondi.
2. bRésous l'équation $C(t) = \frac{8}{e}$ sans calculatrice.
3. cRésous l'équation $C(t) = 2$. Justifie sans calculatrice que la solution est positive, puis convertis-la en heures et minutes.
4. dSami affirme : « Au bout d'un temps assez long, le médicament aura complètement disparu : $C(t) = 0$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eLe médicament est efficace tant que $C(t) \geqslant 1$. Résous cette inéquation sur $\left[0\,;+\infty\right[$, puis conclus en heures et minutes.

Ex. 7★★★Une fonction qui prend toutes les valeurs — On considère la fonction $f$ définie sur $\left]1\,;+\infty\right[$ par $f(x) = 3 + \ln(x - 1)$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis à $0{,}001$ près si besoin.

1. aCalcule $f(1 + e)$, puis donne la valeur exacte de $f(1{,}5)$ et son arrondi.
2. bRésous l'équation $f(x) = 0$ en rédigeant.
3. cRésous l'inéquation $f(x) \leqslant 3$ sur $\left]1\,;+\infty\right[$.
4. dSoit $y$ un réel. Montre que l'équation $f(x) = y$ a une unique solution dans $\left]1\,;+\infty\right[$, et exprime-la en fonction de $y$.
5. eLéo écrit : « Pour tout réel $x$, $e^{f(x) - 3} = x - 1$. » A-t-il raison ? Justifie, puis corrige son affirmation.

Ex. 8★★★Automatismes : développer en fonction de ln 2 et ln 3 — Exprime chaque nombre en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$. Commence par décomposer en facteurs premiers.

Ex. 9★★★Automatismes : simplifier en mêlant ln et exp — Donne la valeur exacte la plus simple de chaque nombre.

Ex. 10★★★Regrouper en un seul logarithme — Écris chaque nombre sous la forme $\ln A$, avec $A$ un réel strictement positif le plus simple possible ($A$ peut contenir $e$).

Ex. 11★★★Vrai ou faux sur les propriétés de ln — Vrai ou faux ? Justifie : une preuve si c'est vrai, un contre-exemple si c'est faux.

1. aPour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$.
2. b$\ln\sqrt{e^{6}} = 3$.
3. cPour tout réel $a > 0$, $(\ln a)^{2} = \ln\left(a^{2}\right)$.
4. d$\ln\big((-2) \times (-5)\big) = \ln(-2) + \ln(-5)$.
5. ePour tout réel $x \neq 0$, $\ln\left(x^{2}\right) = 2\ln x$.

Ex. 12★★★Les erreurs de Lina — Chaque égalité écrite par Lina contient une erreur. Repère-la, puis écris le calcul correct.

1. aLina écrit : $\ln 80 - 4\ln 2 = \ln 80 - \ln 8 = \ln 10$.
2. bLina écrit : $\ln\left(e^{2} + e^{2}\right) = 2 + 2 = 4$.
3. cLina écrit : $\dfrac{\ln 81}{\ln 3} = \ln\dfrac{81}{3} = \ln 27$.
4. dLina écrit : $\ln\dfrac{1}{125} = \dfrac{1}{\ln 125}$.

Ex. 13★★★Deux écritures qui ne coïncident pas — On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \ln\left(x^{2} + 4x\right)$ et $g(x) = \ln x + \ln(x + 4)$.

1. aDétermine l'ensemble de définition $D_f$ de $f$, puis l'ensemble de définition $D_g$ de $g$.
2. bInès affirme : « $f$ et $g$ sont la même fonction, car $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cPour $x < -4$, écris $f(x)$ comme une somme de deux logarithmes. Justifie que ton écriture a un sens.
4. dRésous dans $D_f$ l'équation $f(x) = \ln 12$, puis dans $D_g$ l'équation $g(x) = \ln 12$. Explique pourquoi les solutions ne sont pas les mêmes.
5. eRésous l'équation $(\ln x)^{2} = \ln\left(x^{2}\right)$. Commence par dire pour quels réels $x$ elle a un sens.

Ex. 14★★★Décibels et aspirateurs — Le niveau sonore $L$ (en décibels, dB) d'un son d'intensité $I$ (en W/m²) vaut $L = 10 \times \frac{\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)}{\ln 10}$, avec $I_0 = 10^{-12}$. Donne d'abord la valeur exacte, puis l'arrondi au centième si besoin.

1. aMattéo simplifie $\frac{\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)}{\ln 10}$ en $\ln\left(\frac{I}{10 I_0}\right)$. A-t-il raison ? Justifie en prenant $I = 100 I_0$.
2. bUn aspirateur produit un son d'intensité $I = 10^{-5}$ W/m². Calcule son niveau sonore.
3. cOn double l'intensité d'un son. Montre que son niveau sonore augmente de $\frac{10\ln 2}{\ln 10}$ dB, puis arrondis cette hausse.
4. d$n$ aspirateurs identiques fonctionnent ensemble : l'intensité vaut $n \times 10^{-5}$ W/m². Exprime le niveau sonore $L_n$ en fonction de $\ln n$ et $\ln 10$.
5. eLe seuil de danger est de $85$ dB. Écris la condition $L_n \geqslant 85$ sous la forme $\ln n \geqslant \ln A$, avec $A$ contenant une racine carrée, puis trouve le nombre minimal d'aspirateurs.

Ex. 15★★★Passer de l'exponentielle au logarithme — Résous chaque équation. Donne la valeur exacte, puis un arrondi à $10^{-2}$ lorsque c'est utile.

1. a$e^{3x + 1} = 4$
2. b$5e^{x} = 35$
3. c$e^{x} = 0$
4. d$\ln x = -2$
5. e$\ln x = \frac{3}{2}$
   (écris la solution à l'aide d'une racine carrée)
6. f$e^{1 - x} = e^{4}$

Ex. 16★★★Conditions d'abord, puis on résout — Résous chaque équation ou inéquation : écris d'abord les conditions d'existence, puis l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions en valeurs exactes.

Ex. 17★★★L'erreur d'Inès — Inès résout $\ln(x - 2) + \ln(x + 2) = \ln 5$. Elle écrit : « $\ln\big((x - 2)(x + 2)\big) = \ln 5$, donc $x^{2} - 4 = 5$, donc $x = 3$ ou $x = -3$ : $\mathcal{S} = \{-3\,;3\}$. »

1. aDétermine l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'équation d'Inès a un sens.
2. bInès a-t-elle raison ? Justifie, puis donne l'ensemble des solutions.
3. cRésous l'inéquation $\ln(x - 2) + \ln(x + 2) < \ln 5$.
4. dRésous de même l'équation $\ln(x + 1) - \ln x = \ln 3$.

Ex. 18★★★Un second degré caché — Résous en posant $X = e^{x}$ ou $X = \ln x$. Donne les valeurs exactes, puis des arrondis à $10^{-2}$.

1. aRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} + 2e^{x} - 8 = 0$.
2. bRésous sur $\left]0\,;+\infty\right[$ l'équation $2(\ln x)^{2} + \ln x - 3 = 0$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 4e^{x} + 3 < 0$.

Ex. 19★★★Un antibiotique dans le sang — Après une injection, la concentration d'un antibiotique dans le sang de Malo est modélisée par $C(t) = 8e^{-0{,}25t}$, en mg/L, où $t$ est le temps en heures ($t \geqslant 0$). Donne les valeurs exactes, puis des arrondis à $10^{-2}$.

1. aCalcule $C(0)$ puis $C(2)$.
2. bDétermine par le calcul l'instant où la concentration vaut $2$ mg/L.
3. cRésous l'inéquation $C(t) \geqslant 1$ sur $\left[0\,;+\infty\right[$, puis interprète le résultat.
4. dLa demi-vie est la durée au bout de laquelle la concentration initiale est divisée par $2$. Calcule-la.

Ex. 20★★★Un second degré en ln x, jusqu'au bout — Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0\,;+\infty\right[$ par $f(x) = (\ln x)^{2} - \ln x - 2$. Donne tous les résultats en valeurs exactes.

1. aRésous dans $\left]0\,;+\infty\right[$ l'équation $f(x) = 0$ en posant $X = \ln x$.
2. bRésous dans $\left]0\,;+\infty\right[$ l'inéquation $f(x) < 0$.
3. cMontre que, pour tout $x > 0$, $f'(x) = \frac{2\ln x - 1}{x}$.
4. dDétermine les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$, puis dresse le tableau de variations de $f$ avec la valeur exacte du minimum.
5. eLina affirme : « L'équation $f(x) = -3$ a au moins une solution, puisque $\ln x$ prend toutes les valeurs réelles. » A-t-elle raison ? Justifie de deux façons.

Ex. 21★★★Deux cultures de bactéries — Dans un laboratoire de Rennes, Kenza suit deux cultures de bactéries. $t$ heures après le début de l'expérience, leurs effectifs sont modélisés par $N_1(t) = 200e^{0{,}3t}$ et $N_2(t) = 1\,800e^{0{,}1t}$, pour $t \geqslant 0$. Donne les valeurs exactes, puis des arrondis au centième.

1. aDétermine le réel $\tau > 0$ tel que $N_1(t + \tau) = 2N_1(t)$ pour tout $t \geqslant 0$. Interprète $\tau$.
2. bMarius cherche à quel instant la culture 1 comptera $0$ bactérie : il résout $N_1(t) = 0$. Que peut-on conclure ? Justifie.
3. cRésous l'équation $N_1(t) = N_2(t)$. Combien de bactéries chaque culture compte-t-elle à cet instant ?
4. dRésous l'inéquation $N_1(t) \geqslant 3N_2(t)$ et interprète le résultat.
5. eQu'affiche ce programme ? Justifie par le calcul et interprète. import math t = 0 while 200 * math.exp(0.3 * t) < 50000: t = t + 1 print(t)

Ex. 22★★★Automatismes : inéquations avec l’exponentielle — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation. Donne $\mathcal{S}$ sous forme d’intervalle avec des valeurs exactes.

1. a$e^{x} > 5$
2. b$e^{2x + 1} \leqslant 1$
3. c$e^{-0{,}25x} \geqslant 0{,}4$
   (donne aussi l’arrondi au centième de la borne)
4. d$e^{x} < -3$
5. e$2e^{x} - 18 > 0$
   (écris la borne en fonction de $\ln 3$)
6. f$e^{-x} \leqslant 8$
   (écris la borne en fonction de $\ln 2$)

Ex. 23★★★Automatismes : inéquations avec le logarithme — Pour chaque inéquation, écris la condition d’existence, puis donne $\mathcal{S}$ sous forme d’intervalle avec des valeurs exactes.

Ex. 24★★★Vrai ou faux sur les inéquations — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. aPour tout réel $x > 0$, on a $e^{x} > e^{-x}$.
2. bL’ensemble des solutions de $-4\ln x > 2$ est $\left]e^{-\frac{1}{2}}\,;+\infty\right[$.
3. cL’ensemble des solutions de $\ln(3 - x) < 0$ est $\left]2\,;+\infty\right[$.
4. dLes inéquations $\ln x \leqslant \ln 4$ et $x \leqslant 4$ ont les mêmes solutions.
5. e$e^{-0{,}2x} < 0{,}5 \Longleftrightarrow x > 5\ln 2$.

Ex. 25★★★Repère l’erreur et corrige — Chaque élève a fait une erreur. Repère-la, puis écris la bonne résolution. Arrondis au centième si besoin.

1. aNoé cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}85^{n} < 0{,}1$. Il écrit : $n\ln 0{,}85 < \ln 0{,}1$, donc $n < \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}85}$, donc $n \leqslant 14$.
2. bInès écrit : « $\ln x < 0 \Longleftrightarrow x < 1$, donc $\mathcal{S} = \left]-\infty\,;1\right[$ ».
3. cMalo résout $\ln(x - 2) \leqslant \ln(10 - x)$ ainsi : « $x - 2 \leqslant 10 - x$, donc $\mathcal{S} = \left]-\infty\,;6\right]$ ».
4. dZoé écrit : « $e^{x} \geqslant -2$ n’a pas de solution, car $\ln(-2)$ n’existe pas ».

Ex. 26★★★Résoudre en rédigeant — Résous chaque inéquation en rédigeant : conditions d’existence, équivalences justifiées, ensemble $\mathcal{S}$ et phrase de conclusion.

1. a$\ln(2x + 1) \leqslant \ln(x + 4)$
2. b$\ln x + \ln(x - 3) < \ln 10$
3. c$e^{2x} - 5e^{x} + 4 \geqslant 0$. Pose $X = e^{x}$.

Ex. 27★★★Signe d’un produit et second degré caché — Pour $x > 0$, on pose $A(x) = (\ln x + 2)(x - 4)$ et $B(x) = (\ln x)^{2} + \ln x - 2$. Donne chaque ensemble de solutions sous forme d’intervalle, avec des valeurs exactes.

1. aRésous dans $\left]0\,;+\infty\right[$ l’inéquation $\ln x + 2 < 0$, puis l’inéquation $\ln x + 2 > 0$.
2. bÉtudie le signe de $A(x)$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ (tableau de signes), puis résous $A(x) \leqslant 0$.
3. cPose $X = \ln x$ et résous l’inéquation $B(x) < 0$.
4. dDéduis-en l’ensemble des réels $x > 0$ qui vérifient à la fois $A(x) \leqslant 0$ et $B(x) < 0$. Justifie le choix des crochets.
5. eLina affirme : « $B(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow x \geqslant e$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 28★★★Médicament : durée d’efficacité et seuil — Clara reçoit une injection. $t$ heures après, la concentration du médicament dans son sang est $C(t) = 15e^{-0{,}4t}$ (en mg/L), avec $t \geqslant 0$. Le médicament est efficace tant que $C(t) \geqslant 3$. Donne la valeur exacte, puis arrondis au centième sauf indication contraire.

1. aRésous $C(t) \geqslant 3$ sur $\left[0\,;+\infty\right[$. Pendant combien de temps le médicament est-il efficace ? Arrondis à la minute.
2. bBen affirme : « Toutes les deux heures, la concentration est divisée par plus de $2$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cHugo prend un comprimé de $40$ mg. Chaque heure, la quantité restante baisse de $12\,\%$ : après $n$ heures, il reste $40 \times 0{,}88^{n}$ mg. Trouve par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $40 \times 0{,}88^{n} < 2$.
4. dComplète la condition du programme pour qu’il renvoie le seuil de la question précédente : def seuil(): q = 40 n = 0 while ........: q = q * 0.88 n = n + 1 return n

Ex. 29★★★Automatismes : puissances et logarithme — Réponds en une ligne, sans calculatrice.

1. aÉcris $\ln\left(3^{7}\right)$ en fonction de $\ln 3$.
2. bÉcris $2^{10}$ sous la forme $e^{a}$, avec $a$ exprimé à l'aide de $\ln 2$.
3. cExprime $\ln\left(0{,}5^{6}\right)$ en fonction de $\ln 2$.
4. dDonne le signe de $\ln 0{,}93$. Justifie en une phrase.
5. eDonne le signe de $\ln 1{,}07$. Justifie en une phrase.
6. fPour tout entier $n \geqslant 1$, simplifie $\ln\left(1{,}2^{n}\right) - \ln\left(1{,}2^{n-1}\right)$.

Ex. 30★★★Automatismes : seuils en une étape — Pour chaque question, détermine le plus petit entier naturel $n$ qui convient, sauf indication contraire. Donne la valeur exacte du seuil, puis un arrondi au centième.

1. a$3^{n} \geqslant 500$.
2. b$0{,}7^{n} \leqslant 0{,}1$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{0{,}4x} = 9$. Donne la valeur exacte en fonction de $\ln 3$, puis un arrondi au centième.
4. d$5 \times 1{,}3^{n} \geqslant 200$.
5. eUne grandeur augmente de $5\,\%$ par an. Donne $q$, puis le nombre d'années nécessaire pour qu'elle double.

Ex. 31★★★Repérer et corriger l'erreur — Pour résoudre $0{,}85^{n} \leqslant 0{,}2$ avec $n$ entier naturel, Léa écrit :
(1) $\ln\left(0{,}85^{n}\right) \leqslant \ln 0{,}2$ ; (2) $n\ln 0{,}85 \leqslant \ln 0{,}2$ ;
(3) $n \leqslant \frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}85} \approx 9{,}90$ ; (4) donc $n = 9$.
Arrondis les puissances au millième.

1. aQuelle est la première étape fausse ? Explique pourquoi.
2. bCorrige la résolution et donne le plus petit entier $n$ qui convient.
3. cContrôle ton résultat : calcule $0{,}85^{n}$ pour les deux rangs qui encadrent le seuil.
4. dHugo résout $1{,}06^{n} \geqslant 3$. Il trouve $n \geqslant 18{,}85$ et conclut « $n = 18$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 32★★★Placement : calcul et programme Python — Le 1er janvier 2025, Inès place $3\,000$ € à $2{,}5\,\%$ d'intérêts composés par an. On note $c_{n}$ le capital au bout de $n$ années. Ben propose ce programme :
def annee(): c = 3000 n = 0 while c < 4500: c = c * 1.025 n = n + 1 return 2025 + n

1. aExprime $c_{n}$ en fonction de $n$.
2. bExplique pourquoi la boucle utilise la condition c < 4500, alors qu'on cherche $c_{n} \geqslant 4\,500$.
3. cDétermine par le calcul l'année à partir de laquelle le capital atteint $4\,500$ €. Contrôle avec deux rangs.
4. dQuelle valeur l'appel annee() renvoie-t-il ? Compare-la avec ton calcul.
5. eBen avait d'abord écrit while c >= 4500:. Quelle valeur l'appel annee() aurait-il renvoyée ? Explique.

Ex. 33★★★Médicament et demi-vie — La concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, est $C(t) = 12\,e^{-0{,}15t}$, où $t$ est le temps en heures depuis l'injection ($t \geqslant 0$). Donne la valeur exacte avant l'arrondi.

1. aCalcule la concentration au moment de l'injection.
2. bLa demi-vie $T$ du médicament est le réel tel que $C(T) = \frac{C(0)}{2}$. Détermine $T$, arrondi à la minute.
3. cRésous $C(t) < 1$. Donne le résultat arrondi au dixième d'heure.
4. dAu bout de $k$ demi-vies, la concentration vaut $C(0) \times 0{,}5^{k}$. Combien de demi-vies faut-il pour qu'elle soit inférieure ou égale à $5\,\%$ de $C(0)$ ?

Ex. 34★★★Deux villes voisines : rattrapage et programme — En 2024, Saint-Aubin compte $42\,000$ habitants et sa population augmente de $1{,}8\,\%$ par an. Sa voisine Valmont compte $65\,000$ habitants et sa population diminue de $1{,}2\,\%$ par an. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ leurs populations en l'année $2024 + n$. Donne les valeurs exactes, puis des arrondis à $10^{-2}$.

1. aExprime $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$.
2. bDétermine l'année à partir de laquelle la population de Valmont devient strictement inférieure à $50\,000$ habitants.
3. cMontre que $a_{n} \geqslant b_{n} \Longleftrightarrow \left(\frac{1{,}018}{0{,}988}\right)^{n} \geqslant \frac{65}{42}$. Déduis-en l'année à partir de laquelle Saint-Aubin est au moins aussi peuplée que Valmont.
4. dBen écrit ce programme pour vérifier. Complète la ligne while, puis donne ce que renvoie annee() et compare avec la question précédente. def annee(): a = 42000 b = 65000 n = 2024 while ........ : a = a * 1.018 b = b * 0.988 n = n + 1 return n
5. eLucas affirme que si Valmont avait compté $650\,000$ habitants en 2024 (avec la même évolution), Saint-Aubin ne l'aurait jamais rattrapée. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Iode 131 : de la demi-vie au seuil — On utilise de l'iode 131 en médecine nucléaire. Au bout de $t$ jours, la masse d'iode restante dans un échantillon est, en mg, $m(t) = 40\,e^{-\lambda t}$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. On sait que $m(8) = 20$. Donne les valeurs exactes, puis des arrondis à $10^{-2}$ sauf indication contraire.

1. aDétermine la valeur exacte de $\lambda$, puis son arrondi à $10^{-4}$.
2. bMontre que, pour tout réel $t \geqslant 0$, $m(t + 8) = \frac{m(t)}{2}$. Interprète ce résultat.
3. cUne mesure donne une masse restante de $2{,}5$ mg. Depuis combien de jours l'échantillon a-t-il été préparé ? Résous l'équation, puis retrouve le résultat avec la question précédente.
4. dZoé affirme que le premier nombre entier de jours au bout duquel la masse initiale est divisée par au moins $1\,000$ est $80$. Est-ce exact ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : domaines et dérivées — Pour chaque fonction, donne l'ensemble de définition, puis la dérivée, écrite en un seul quotient si besoin.

Ex. 37★★★Automatismes : limites sans calcul — Détermine chaque limite. Cite les limites de référence que tu utilises.

Ex. 38★★★Un maximum en e — Soit $f$ la fonction définie sur $[1\,;10]$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Si besoin, arrondis à $10^{-3}$.

1. aMontre que pour tout $x \in [1\,;10]$, $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$.
2. bRésous l'inéquation $1 - \ln x > 0$ sur $[1\,;10]$, en rédigeant.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[1\,;10]$, avec les valeurs exactes.
4. dDéduis-en que pour tout $x \in [1\,;10]$, $\ln x \leqslant \frac{x}{e}$.

Ex. 39★★★Coût moyen minimal dans un atelier — Un atelier de céramique de Rodez fabrique $x$ centaines de bols par mois, avec $x \in [0{,}5\,;10]$. Le coût moyen d'un bol, en euros, est $C_M(x) = 2x - 6\ln x + 10$. Arrondis les montants au centime.

1. aCalcule $C_M'(x)$ et écris-la sous la forme d'un seul quotient.
2. bÉtudie le signe de $C_M'(x)$ sur $[0{,}5\,;10]$.
3. cDresse le tableau de variations de $C_M$, avec les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum.
4. dCombien de bols l'atelier doit-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? Donne ce coût minimal, en valeur exacte puis arrondi.

Ex. 40★★★La copie de Malo : courbe et tangente — Malo étudie $g(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$. Sa copie : « $g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$, du signe de $x - 1$. $\ln 0 = -\infty$ donc $g(0) = +\infty$. $g$ est décroissante sur $]0\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$, donc $g(x) \geqslant g(1) = 0$, d'où $\ln x \geqslant x - 1$. »

1. aMalo écrit « $\ln 0 = -\infty$ donc $g(0) = +\infty$ ». Corrige cette ligne en rédigeant la limite de $g$ en $0^{+}$.
2. bLa conclusion « $\ln x \geqslant x - 1$ » est-elle juste ? Justifie, puis corrige-la.
3. cDonne l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$. Déduis-en la position de la courbe par rapport à cette tangente.
4. dVrai ou faux : $\ln 0{,}5 \leqslant -0{,}5$. Justifie sans calculatrice.

Ex. 41★★★Un minimum en e², une tangente en e — Soit $f$ la fonction définie sur $[1\,;+\infty[$ par $f(x) = x\ln x - 3x + 2$. Donne les valeurs exactes, puis arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aCalcule $f'(x)$ en justifiant la dérivée du produit $x\ln x$.
2. bRésous l'inéquation $f'(x) > 0$ sur $[1\,;+\infty[$, en rédigeant.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ en factorisant par $x$. Dresse ensuite le tableau de variations complet de $f$, avec la valeur exacte du minimum.
4. dDétermine une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $e$.
5. eInès affirme : « $f(x) \leqslant -1$ pour tout $x$ de $\left[1\,;e^{2}\right]$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 42★★★Bénéfice d'une confiturerie de Valence — Une confiturerie de Valence produit $x$ tonnes de confiture d'abricots par saison, avec $x \in [0\,;20]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x) = 6\ln(2x + 1) - x$. Donne les valeurs exactes, puis arrondis à $10^{-3}$ si besoin.

1. aJustifie que $B$ est définie sur $[0\,;20]$. Calcule ensuite $B'(x)$ et écris-la sous la forme d'un seul quotient.
2. bÉtudie le signe de $B'(x)$ sur $[0\,;20]$. Dresse le tableau de variations de $B$ avec les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum.
3. cExprime le bénéfice maximal en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$. Donne-le ensuite à l'euro près.
4. dLe gérant affirme : « Sur $[0\,;20]$, la confiturerie ne perd jamais d'argent. » Vrai ou faux ? Justifie à l'aide du tableau.