Terminale spécialité / Logarithme

Ex. 1★★★Simplifier avec ln et exp — Simplifie chaque expression.

Ex. 2★★★Résoudre en passant de ln à exp — Résous chaque équation dans $\mathbb{R}$. Donne les solutions exactes.

Ex. 3★★★Vrai ou faux sur ln — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a$\ln \mathrm{e} = 0$ et $\ln 1 = 1$.
2. b$\ln(-2)$ est un nombre négatif.
3. c$\ln(0{,}4) < 0$.
4. dPour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{\ln x} = x$.
5. eL’équation $\mathrm{e}^{x} = k$ a une solution quel que soit le réel $k$.
6. f$\ln(9 - 3x)$ est défini pour $x = 3$.
7. g$\mathrm{e}^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2}$.

Ex. 4★★★La copie de Noé — Noé a résolu quatre équations dans $\mathbb{R}$. Chaque ligne contient une erreur. Pour chacune, explique l’erreur puis donne l’ensemble $S$ des solutions.

1. aNoé écrit : « $\mathrm{e}^{x+1} = 4 \iff x + 1 = \mathrm{e}^{4} \iff x = \mathrm{e}^{4} - 1$ ».
2. bNoé écrit : « $\ln(x - 2) = 1 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2$ ».
3. cNoé écrit : « $\ln x + 1 = 3 \iff \ln(x + 1) = 3 \iff x = \mathrm{e}^{3} - 1$ ».
4. dNoé écrit : « $\ln(3x) = -1$ n’a pas de solution, car un logarithme est toujours positif ».

Ex. 5★★★Équations à paramètre — Soit $m$ un réel. On note $(E_m)$ l’équation $\mathrm{e}^{2x-1} = m$ et $(F_m)$ l’équation $\ln(4x - 2) = m$, d’inconnue réelle $x$. Donne des valeurs exactes.

1. aSelon les valeurs de $m$, donne le nombre de solutions de $(E_m)$. Donne la solution quand elle existe.
2. bDétermine la valeur de $m$ pour laquelle $(E_m)$ a pour solution $x = 0$.
3. cDétermine l’ensemble des réels $m$ pour lesquels $(E_m)$ a une solution strictement négative. Justifie.
4. dMontre que pour tout réel $m$, $(F_m)$ a une unique solution, que tu exprimeras en fonction de $m$. Pour quels $m$ cette solution est-elle strictement inférieure à $1$ ?
5. ePour tout réel $m$, résous $\ln x + 1 = m$ puis $\ln(x + 1) = m$. Existe-t-il un réel $m$ pour lequel ces deux équations ont la même solution ? Si oui, lequel ?

Ex. 6★★★Deux courbes symétriques — Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}$ est la courbe de la fonction ln et $\Gamma$ celle de la fonction exp. Ces deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$.

1. aLe point $A$ de $\Gamma$ a pour ordonnée $8$. Donne son abscisse exacte, puis justifie qu’elle est égale à $3\ln 2$.
2. bDonne les coordonnées du point $B$, symétrique de $A$ par rapport à la droite $y = x$. Justifie que $B$ appartient à $\mathcal{C}$.
3. cExiste-t-il un point de $\mathcal{C}$ d’abscisse $-4$ ? Un point de $\mathcal{C}$ d’ordonnée $-4$ ? Justifie chaque réponse.
4. dDétermine l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $\mathcal{C}$ est strictement en dessous de l’axe des abscisses. Justifie en passant par exp.
5. eLa droite d’équation $y = \frac{1}{3}$ coupe $\mathcal{C}$ en $P$ et $\Gamma$ en $Q$. Calcule la distance $PQ$, valeur exacte puis arrondi au centième.

Ex. 7★★★Le café de Malik — Malik se sert un café. Sa température, en °C, $t$ minutes après le service, est $T(t) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ pour $t \geqslant 0$.

1. aCalcule $T(0)$. Détermine ensuite le temps exact au bout duquel le café est à $50$ °C, puis arrondis à la seconde près.
2. bMalik attend que son café soit à $40$ °C au plus. Résous $T(t) \leqslant 40$ et interprète le résultat.
3. cLa température du café peut-elle descendre à $20$ °C ? Et à $15$ °C ? Justifie avec des équations.
4. dLe café de Ben suit le modèle $T_2(t) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-kt}$, avec $k > 0$. Il est à $55$ °C après $5$ minutes. Détermine $k$, valeur exacte puis arrondie au millième.

Ex. 8★★★Tout en fonction de ln 2 et ln 5 — Exprime chaque nombre en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$.

Ex. 9★★★Regrouper, simplifier — Simplifie chaque expression : écris-la sous la forme d'un nombre, d'un seul ln ou d'une expression de $x$ sans ln ni exponentielle ($x$ désigne un réel).

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur les formules — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par une démonstration ou par un contre-exemple.

1. aPour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$.
2. bPour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln(a^2 b) - 2\ln a = \ln b$.
3. cPour tout réel $a > 0$ : $\ln(2a) = 2\ln a$.
4. dPour tout réel $a > 0$ : $(\ln a)^2 = \ln(a^2)$.
5. ePour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln\sqrt{ab} = \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)$.

Ex. 11★★★Les erreurs de Yanis — Yanis s'entraîne à simplifier des expressions avec ln, mais il fait des erreurs. Aide-le à les corriger.

1. aPour $x > 1$, Yanis écrit : $\ln(x^2 - 1) - \ln(x - 1) = \ln(x^2) - \ln 1 - \ln x + \ln 1 = \ln x$. Trouve son erreur, puis simplifie correctement.
2. bPour $x > 1$, Yanis écrit : $\ln\frac{1}{x^2} = \frac{1}{\ln(x^2)}$. Calcule les deux membres pour $x = \mathrm{e}$, conclus, puis écris $\ln\frac{1}{x^2}$ en fonction de $\ln x$.
3. cPour $x > 0$, Yanis écrit : $\ln\left(x\sqrt{x}\right) = \ln x \times \ln\sqrt{x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2$. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dSimplifie correctement, pour $x > 0$ : $\ln\left(\mathrm{e}^{2x}\right) - \ln\left(x\,\mathrm{e}^{x}\right)$.

Ex. 12★★★Une somme qui se télescope — Pour tout entier $n \geqslant 2$, on pose $U_n = \ln\left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \ln\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.

1. aLéa écrit : $\ln\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \ln 1 - \ln\frac{1}{4} = \ln 4$. A-t-elle raison ? Justifie, puis exprime $\ln\left(1 - \frac{1}{4}\right)$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.
2. bMontre que pour tout entier $k \geqslant 2$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \ln(k - 1) + \ln(k + 1) - 2\ln k$.
3. cCalcule $U_3$ et $U_4$, en écrivant chacun sous la forme d'un seul ln.
4. dPour tout entier $n \geqslant 2$, écris $U_n$ sous la forme d'un seul ln. Justifie.
5. eExprime $U_{99}$ en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$ et $\ln 11$, puis détermine la limite de la suite $(U_n)$.

Ex. 13★★★ln(x²) ou 2 ln x ? — On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \ln(x^2)$ et $g(x) = 2\ln x$.

1. aDétermine l'ensemble de définition de $f$, puis celui de $g$.
2. bNoé affirme : « $f$ et $g$ sont la même fonction, car $\ln(a^2) = 2\ln a$. » A-t-il raison ? Justifie, puis écris $f(x)$ sans carré pour $x < 0$.
3. cRésous l'équation $f(x) = 4$, puis l'équation $g(x) = 4$. Compare les ensembles de solutions.
4. dRésous dans $]0\,;+\infty[$ l'équation $(\ln x)^2 = \ln(x^2)$.
5. ePour $x \neq 0$, on pose $h(x) = f(\mathrm{e}^{x}) + \ln\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x + 2}} + \mathrm{e}^{f(x)}$. Écris $h(x)$ sans ln ni exponentielle, puis résous $h(x) = 0$.

Ex. 14★★★Quotients de logarithmes — Chloé écrit : $\frac{\ln 8}{\ln 2} = \ln\frac{8}{2} = \ln 4$.

1. aChloé a-t-elle raison ? Justifie en calculant la valeur exacte de $\frac{\ln 8}{\ln 2}$, puis une valeur approchée de $\ln 4$ à $10^{-3}$ près.
2. bCalcule la valeur exacte de $\frac{\ln\frac{1}{125}}{\ln 25}$, puis celle de $\frac{\ln\sqrt{27}}{\ln 9}$.
3. cSoit $a > 0$ avec $a \neq 1$, et $n$, $p$ deux entiers relatifs, $p \neq 0$. Simplifie $\frac{\ln(a^n)}{\ln(a^p)}$. Pourquoi faut-il $a \neq 1$ ?
4. dOn suppose que $\frac{\ln 3}{\ln 2} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls. Montre que $3^q = 2^p$, puis aboutis à une contradiction.
5. eMontre que $\frac{\ln 6}{\ln 2} = 1 + \frac{\ln 3}{\ln 2}$. Ce nombre peut-il s'écrire comme une fraction d'entiers ? Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : résoudre en une ligne — Résous dans $\mathbb{R}$. Commence par le domaine dès qu'il y a un ln. Donne les valeurs exactes.

1. a$\ln x = 3$
2. b$\mathrm{e}^{x} > 7$
3. c$\ln x \leqslant -1$
4. d$\ln(2x - 1) = \ln(x + 4)$
5. e$\mathrm{e}^{3x + 1} = 2$
   (donne aussi un arrondi à $0{,}001$)
6. f$\mathrm{e}^{x} = -4$
7. g$\ln(x + 2) \geqslant 0$

Ex. 16★★★Vrai, faux ou erreur ? — Pour une affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie (contre-exemple si elle est fausse). Pour un calcul d'élève, repère l'erreur et corrige.

1. aAffirmation : « L'équation $\ln x = -2$ n'a pas de solution, car un logarithme est toujours positif. »
2. bInès résout $\ln x + \ln 2 = \ln 10$ : « $x + 2 = 10$, donc $x = 8$. »
3. cAffirmation : « $\mathrm{e}^{2x} = 9 \Longleftrightarrow x = \ln 3$. »
4. dMalo résout $\mathrm{e}^{-x} \geqslant 4$ : « $-x \geqslant \ln 4$, donc $x \geqslant -\ln 4$. »
5. eAffirmation : « L'inéquation $\ln x > \ln(5 - x)$ a pour ensemble de solutions $\left]\frac{5}{2}\,;+\infty\right[$. »

Ex. 17★★★Équations et inéquations en deux temps — Résous dans $\mathbb{R}$. Commence par l'ensemble de définition ou par les conditions sur l'inconnue auxiliaire.

1. aRésous $\ln(x - 1) + \ln(x + 3) = \ln 12$.
2. bRésous $\mathrm{e}^{2x} + 2\mathrm{e}^{x} - 48 = 0$ en posant $X = \mathrm{e}^{x}$.
3. cRésous $(\ln x)^2 + 4\ln x - 5 = 0$ à l'aide d'un changement de variable.
4. dÉtudie le signe de $\ln x$ et de $2 - x$ sur $]0\,;+\infty[$, puis résous $(2 - x)\ln x \geqslant 0$.

Ex. 18★★★Élimination d'un médicament — Juste après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est de $40$ mg/L. Elle baisse ensuite de $12\,\%$ par heure. On note $c_n$ la concentration (en mg/L) au bout de $n$ heures, avec $c_0 = 40$.

1. aExprime $c_n$ en fonction de $n$.
2. bDétermine par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $c_n < 5$. Justifie le sens de chaque inégalité.
3. cComplète ce programme pour qu'il affiche l'entier de la question précédente. c = 40 n = 0 while ...: c = ... n = n + 1 print(n)
4. dLina affirme : « La concentration est divisée par deux en 4 heures, car $4 \times 12\,\% \approx 50\,\%$. » A-t-elle raison ? Justifie par le calcul.

Ex. 19★★★Domaine d'abord : équations et inéquations à pièges — Résous dans $\mathbb{R}$ en rédigeant chaque étape. Donne les valeurs exactes, puis un arrondi à $0{,}01$ près si besoin.

1. aRésous $\ln x + \ln(x - 3) = 2\ln 2$.
2. bKenza affirme : « L'équation $\ln(x^2 - 3x) = 2\ln 2$ a les mêmes solutions que celle de la question précédente. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cRésous $\ln x + \ln(x + 2) \leqslant \ln(3x + 6)$.
4. dRésous $(\mathrm{e}^{x} - 5)\ln x \leqslant 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

Ex. 20★★★Changements de variable : $X = \mathrm{e}^{x}$ ou $X = \ln x$ — Résous dans $\mathbb{R}$ en posant une inconnue auxiliaire $X$. Précise à chaque fois les valeurs que $X$ peut prendre. Donne les valeurs exactes, puis arrondies à $0{,}01$ près.

1. aRésous $\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^{x} - 6 \geqslant 0$.
2. bRésous $(\ln x)^2 + \ln x - 6 = 0$. Pourquoi garde-t-on ici une valeur négative de $X$, contrairement à la question précédente ?
3. cRésous $(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 > 0$.
4. dRésous $2\mathrm{e}^{x} + 3\mathrm{e}^{-x} \leqslant 7$. Commence par multiplier les deux membres par $\mathrm{e}^{x}$ et justifie que c'est permis.

Ex. 21★★★Arnac et Belvès : deux populations — En 2025, la ville d'Arnac compte 50 000 habitants et perd $2\,\%$ de sa population chaque année. La ville de Belvès compte 30 000 habitants et en gagne $3\,\%$ par an. On note $a_n$ et $b_n$ les populations respectives en l'année $2025 + n$.

1. aExprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
2. bDétermine par le calcul l'année à partir de laquelle Arnac compte moins de 40 000 habitants.
3. cDétermine par le calcul l'année à partir de laquelle Belvès devient plus peuplée qu'Arnac. Donne d'abord la borne exacte, puis une valeur arrondie.
4. dComplète ce programme pour qu'il affiche l'année trouvée à la question précédente. n = 0 a = 50000 b = 30000 while ........ : n = n + 1 a = a * .... b = b * .... print(2025 + n)

Ex. 22★★★Seuils en ligne — Les inconnues $n$ sont des entiers naturels. Donne les quotients arrondis à $0{,}01$.

1. aÉcris $\ln(0{,}125^n)$ en fonction de $n$ et de $\ln 2$.
2. bRésous $0{,}4^n \leqslant 0{,}005$.
3. cDétermine tous les entiers $n$ tels que $0{,}95^n > 0{,}6$.
4. dSoit $u(n) = 5 \times 1{,}2^n$. Détermine le plus petit entier $n$ tel que $u(n) \geqslant 100$.
5. eOn admet que $\frac{\ln 3}{\ln 1{,}05} \approx 22{,}52$. Contrôle à la calculatrice que $23$ est le plus petit entier $n$ tel que $1{,}05^n > 3$.

Ex. 23★★★Vrai ou faux sur les seuils — Les inconnues $n$ sont des entiers naturels. Justifie chaque réponse par un calcul ou un contre-exemple.

1. aVrai ou faux ? Pour tout entier $n$, $\ln(3^n) = (\ln 3)^n$.
2. bVrai ou faux ? $0{,}6^n \geqslant 0{,}002 \Longleftrightarrow n \geqslant \frac{\ln 0{,}002}{\ln 0{,}6}$.
3. cTom cherche le plus petit $n$ tel que $1{,}3^n \geqslant 50$. Il trouve $\frac{\ln 50}{\ln 1{,}3} \approx 14{,}91$ et répond $n = 14$. A-t-il raison ?
4. dVrai ou faux ? Pour $v(n) = 3 - 2 \times 0{,}8^n$, on a $v(n) \geqslant 2{,}9 \Longleftrightarrow 0{,}8^n \geqslant 0{,}05$.
5. eVrai ou faux ? Pour tout entier $n \geqslant 1$, $\ln(0{,}9^n) < 0$.

Ex. 24★★★Un médicament éliminé — Un patient reçoit $80$ mg d'un médicament. Chaque heure, son organisme en élimine $15\,\%$. On note $m(n)$ la quantité (en mg) qui reste après $n$ heures, avec $m(0) = 80$.

1. aExprime $m(n+1)$ en fonction de $m(n)$, puis $m(n)$ en fonction de $n$.
2. bLe médicament n'agit plus en dessous de $5$ mg. Détermine par le calcul après combien d'heures entières on a $m(n) < 5$.
3. cComplète les deux lignes en pointillés pour que seuil() renvoie la réponse à la question précédente. def seuil(): n = 0 m = 80 while ...: m = ... n = n + 1 return n
4. dAu bout de combien d'heures entières l'organisme a-t-il éliminé au moins $90\,\%$ de la dose initiale ?

Ex. 25★★★Un placement à 2,5 % — Inès place $2\,000$ € à intérêts composés, au taux annuel de $2{,}5\,\%$. On note $C(n)$ le capital (en €) après $n$ années, avec $C(0) = 2\,000$.

1. aExprime $C(n)$ en fonction de $n$.
2. bDétermine par le calcul après combien d'années le capital atteint ou dépasse $3\,000$ €.
3. cYanis écrit ce programme pour retrouver ce résultat, mais il renvoie $1$. Explique pourquoi, puis corrige ses deux erreurs. def annees(): n = 1 C = 2000 while C > 3000: C = C * 1.025 n = n + 1 return n
4. dQuel taux annuel, en %, arrondi à $0{,}01$, permettrait de doubler un capital en $20$ ans exactement ?

Ex. 26★★★La demi-vie d'un isotope — Un échantillon contient $12$ milliards de noyaux radioactifs. Chaque jour, $6\,\%$ des noyaux présents se désintègrent. On note $N(n)$ le nombre de noyaux (en milliards) au bout de $n$ jours, avec $N(0) = 12$. Les inconnues $n$ sont des entiers naturels.

1. aJustifie que, pour tout entier $n$, $N(n) = 12 \times 0{,}94^n$.
2. bLa demi-vie est ici le plus petit nombre de jours au bout duquel il reste au plus la moitié des noyaux. Détermine-la, en contrôlant avec deux termes.
3. cNoé affirme : « Au bout de $24$ jours, il reste moins du quart des noyaux. » A-t-il raison ? Justifie sans calculatrice à partir de la question précédente.
4. dDétermine le nombre minimal de jours au bout desquels il reste au plus $1\,\%$ des noyaux de départ.
5. eÉcris une fonction Python jours(p) qui renvoie le plus petit nombre de jours au bout duquel il reste au plus $p\,\%$ des noyaux de départ. Que renvoie jours(1) ?

Ex. 27★★★Une suite qui approche 5 — On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 1{,}5$. On pose $v_n = u_n - 5$. Les inconnues $n$ sont des entiers naturels.

1. aMontre que $(v_n)$ est géométrique, puis que, pour tout entier $n$, $u_n = 5 - 4 \times 0{,}7^n$.
2. bLina résout $u_n \geqslant 4{,}99$ et trouve $n \leqslant 16{,}80$. Corrige son raisonnement, puis donne le plus petit entier $n$ qui convient, contrôlé par deux termes.
3. cSoit $\varepsilon$ un réel de $]0\,;4[$. Résous $u_n \geqslant 5 - \varepsilon$, puis exprime le plus petit entier qui convient à l'aide de $\varepsilon$.
4. dQuand on divise $\varepsilon$ par $10$, de combien augmente la borne trouvée à la question précédente ? Vérifie-le en passant de $\varepsilon = 0{,}01$ à $\varepsilon = 0{,}001$.
5. eComplète ce programme pour que rang(e) renvoie le plus petit $n$ tel que $u_n \geqslant 5 - e$, puis donne rang(0.01).def rang(e): n = 0 u = 1 while ...: u = ... n = n + 1 return n

Ex. 28★★★Deux villes qui se croisent — Au 1er janvier 2025, la ville A compte $25\,000$ habitants et perd $2\,\%$ de sa population chaque année. La ville B compte $18\,000$ habitants et gagne $1{,}5\,\%$ par an. On note $A(n)$ et $B(n)$ leurs populations en $2025 + n$. Les inconnues $n$ sont des entiers naturels.

1. aExprime $A(n)$ et $B(n)$ en fonction de $n$.
2. bEn quelle année la population de A passera-t-elle pour la première fois sous $20\,000$ habitants ? Contrôle avec deux termes.
3. cMontre que $B(n) > A(n) \Longleftrightarrow n > \frac{\ln(25/18)}{\ln(1{,}015/0{,}98)}$, puis déduis-en l'année où B dépasse A.
4. dSans l'exécuter, explique le rôle de la condition b <= a et donne la valeur renvoyée par annee().def annee(): n = 0 a = 25000 b = 18000 while b <= a: a = 0.98 * a b = 1.015 * b n = n + 1 return n

Ex. 29★★★Limites et croissances comparées — Détermine chaque limite en justifiant.

1. a$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4\ln x - 1}{x^2}$
2. b$\lim\limits_{x \to 0^+} \left(x^2\ln x - 3x + 1\right)$
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x - \ln x}{x + 3}$
4. dYanis écrit : « En $0^+$, $\frac{\ln x}{x^3}$ est une forme indéterminée, donc sa limite vaut $0$ par croissance comparée. » A-t-il raison ? Justifie.
5. e$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+3x)}{x}$
6. f$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\ln x}$

Ex. 30★★★Dériver avec ln, tangente en 1 — Les fonctions sont définies sur $]0\,;+\infty[$.

1. aCalcule $f'(x)$ pour $f(x) = 3\ln x - x^2$.
2. bCalcule $g'(x)$ pour $g(x) = x\ln x$.
3. cLina écrit : « Si $k(x) = 5\ln x$, alors $k'(x) = \frac{5}{\ln x}$. » Repère son erreur et corrige-la.
4. dCalcule $h'(x)$ pour $h(x) = \frac{1 + \ln x}{x}$, puis simplifie.
5. eDonne une équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$.
6. fRésous $\ln x \geqslant 12$. Donne aussi un arrondi à l'unité de la borne.

Ex. 31★★★Variations et nombre de solutions — Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x^2 - 18\ln x$.

1. aCalcule $f'(x)$, puis étudie son signe sur $]0\,;+\infty[$.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ en factorisant par le terme dominant.
4. dDresse le tableau de variations de $f$. Donne la valeur exacte de son minimum, puis un arrondi à $10^{-3}$.
5. eCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ admet-elle sur $]0\,;+\infty[$ ? Justifie.

Ex. 32★★★La courbe de ln et sa tangente en e — On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction $\ln$ dans un repère.

1. aDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$.
2. bPour $x > 0$, on note $d(x)$ l'ordonnée du point de $T$ d'abscisse $x$ moins $\ln x$. Exprime $d(x)$, calcule $d'(x)$, puis étudie son signe.
3. cDétermine les limites de $d$ en $0^+$ et en $+\infty$.
4. dDresse le tableau de variations de $d$. Déduis-en la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$.

Ex. 33★★★Une étude complète avec fonction auxiliaire — Soit $g$ et $f$ les fonctions définies sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x) = x^2 - 1 + \ln x$ et $f(x) = x - 1 - \frac{\ln x}{x}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ et $D$ la droite d'équation $y = x - 1$.

1. aÉtudie les variations de $g$, calcule $g(1)$ et déduis-en le signe de $g(x)$ sur $]0\,;+\infty[$.
2. bDétermine les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
3. cMontre que $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$, puis dresse le tableau de variations de $f$.
4. dÉtudie la position relative de $\mathcal{C}$ et de $D$.
5. eDéduis des questions précédentes que, pour tout $x > 0$, $\ln x \leqslant x^2 - x$.

Ex. 34★★★Le taux d'accroissement de ln en 1 — Soit $h$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x) = \frac{\ln(1 + x)}{x}$, et $\varphi$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $\varphi(x) = \frac{x}{1 + x} - \ln(1 + x)$.

1. aNoé affirme : « $\ln(1 + x) \to 0$ et $x \to 0$, donc $h(x) \to 0$ en $0$. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide d'un taux d'accroissement de $\ln$ en $1$.
2. bEn écrivant $h(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x} \times \frac{1 + x}{x}$, détermine la limite de $h$ en $+\infty$.
3. cÉtudie les variations de $\varphi$ sur $[0\,;+\infty[$, puis déduis-en le signe de $\varphi(x)$ pour $x > 0$.
4. dExprime $h'(x)$ en fonction de $\varphi(x)$, puis déduis-en le sens de variation de $h$.
5. eDéduis-en que $\ln(1 + x) < x$ pour tout $x > 0$. Interprète ce résultat avec la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$.

Ex. 35★★★Redémontrer les croissances comparées — Soit $g$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x) = x - 2\ln x$. Dans cet exercice, tu retrouves des croissances comparées sans utiliser le cours.

1. aSacha écrit $g'(x) = 1 - \frac{2}{\ln x}$. Corrige son erreur, étudie les variations de $g$, puis déduis-en que $g(x) > 0$ pour tout $x > 0$.
2. bDéduis-en que, pour tout $x > 1$, $0 < \frac{\ln x}{x^2} < \frac{1}{2x}$, puis la limite de $\frac{\ln x}{x^2}$ en $+\infty$.
3. cEn appliquant la question 1 à $\sqrt{x}$, encadre $\frac{\ln x}{x}$ pour $x > 1$, puis retrouve sa limite en $+\infty$.
4. d« Comme $\ln x$ est négligeable devant $x$ en $+\infty$, $\ln x - x$ tend vers $0$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eEn posant $X = \frac{1}{x}$, déduis de la question 2 la limite de $x^2 \ln x$ en $0^+$.

Ex. 36★★★Dériver ln(u) sans oublier u′

1. aDérive $f(x) = \ln(4x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDérive $g(x) = \ln(\mathrm{e}^{2x} + 3)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cOn pose $k(x) = \ln(x^3 + x)$ sur $]0\,;+\infty[$. Calcule $k'(2)$.
4. dLina écrit : $\big(\ln(x^2 + 7)\big)' = \frac{1}{x^2 + 7}$. Repère son erreur et corrige.
5. eNoé affirme que la dérivée de $x \mapsto \ln(5x)$ sur $]0\,;+\infty[$ est $\frac{5}{x}$. A-t-il raison ? Justifie.
6. fVrai ou faux : la fonction $x \mapsto \ln(1 - 4x)$ est croissante sur $]-\infty\,;\frac{1}{4}[$. Justifie.

Ex. 37★★★Où ln(u) est-elle définie ?

1. aDétermine l'ensemble de définition de $f(x) = \ln(2x - 6)$.
2. bDétermine l'ensemble de définition de $g(x) = \ln(9 - x^2)$.
3. cÀ l'aide d'un tableau de signes, détermine l'ensemble de définition de $h(x) = \ln\left(\frac{x + 3}{5 - x}\right)$.
4. dMaëlle affirme que $k(x) = \ln(x^2 - 6x + 9)$ est définie sur $\mathbb{R}$, car $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \geqslant 0$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eDétermine l'ensemble de définition de $m(x) = \ln(x^2 + x + 1)$.
6. fVrai ou faux : pour tout $x > 0$, $\ln(x^2 + 4) = (x^2 + 4) \times \ln x$. Justifie.

Ex. 38★★★Limites de ln(u) par composition — Pour chaque limite, donne d'abord la limite de $u(x)$, puis conclus par composition.

1. aCalcule $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1)$.
2. bCalcule $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.
3. cCalcule $\lim\limits_{x \to 6^-} \ln(6 - x)$.
4. dVrai ou faux : $\lim\limits_{x \to -\infty} \ln(\mathrm{e}^{x} + 5) = -\infty$, car $\mathrm{e}^{x} \to 0$. Justifie.
5. eHugo écrit : $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right) = +\infty$, car $2x + 1 \to +\infty$. Repère son erreur et corrige.

Ex. 39★★★Étude de ln(4x − x²) — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln(4x - x^2)$.

1. aDétermine l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. bCalcule $f'(x)$ et étudie son signe sur $D$.
3. cDétermine les limites de $f$ aux bornes de $D$.
4. dDresse le tableau de variations de $f$ et donne son maximum en valeur exacte.
5. eRésous dans $D$ l'équation $f(x) = \ln 3$.

Ex. 40★★★Étude de ln((x − 1)/(x + 2)) — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère.

1. aÀ l'aide d'un tableau de signes, détermine l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. bYanis affirme que $f(x) = \ln(x - 1) - \ln(x + 2)$ pour tout $x$ de $D$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule $f'(x)$ pour $x \in D$, puis déduis-en les variations de $f$ sur chaque intervalle de $D$.
4. dCalcule les limites de $f$ aux quatre bornes de $D$, puis donne les asymptotes à $\mathcal{C}$.
5. eRésous dans $D$ l'équation $f(x) = 2\ln 2$.

Ex. 41★★★ln(eˣ + 1) et la droite y = x — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(\mathrm{e}^{x} + 1)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe et $\Delta$ la droite d'équation $y = x$.

1. aJustifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Lucas affirme que $f'(x) = \frac{1}{\mathrm{e}^{x} + 1}$. A-t-il raison ? Justifie, puis étudie les variations de $f$.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et interprète graphiquement le résultat.
3. cMontre que, pour tout réel $x$, $f(x) = x + \ln(1 + \mathrm{e}^{-x})$.
4. dDéduis-en $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \big(f(x) - x\big)$, puis la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
5. eRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \leqslant x + \ln 2$.

Ex. 42★★★Une différence de logarithmes sous contrôle — On considère la fonction $f$ définie sur $]2\,;+\infty[$ par $f(x) = \ln(x - 2) - \ln(3x)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aInès écrit : « $\ln(3x) = 3 \times \ln x$, donc $f'(x) = \frac{1}{x - 2} - \frac{3}{x}$ ». Corrige son erreur, puis écris $f'(x)$ sous forme d'un seul quotient.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $]2\,;+\infty[$, puis déduis-en le sens de variation de $f$.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)$ et interprète graphiquement le résultat.
4. dMontre que, pour $x > 2$, $f(x) = \ln\left(1 - \frac{2}{x}\right) - \ln 3$, puis déduis-en $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
5. eJustifie que $f(x) < -\ln 3$ pour tout $x > 2$. Zoé affirme que l'équation $f(x) = -1$ a une solution. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 43★★★Dériver et étudier un signe sans se tromper — Toutes les fonctions sont définies sur $]0\,;+\infty[$.

1. aÉcris $f'(x)$ sous la forme d'un seul quotient pour $f(x) = 2x - 5\ln x$, puis donne son signe.
2. bLina écrit : « la dérivée de $4\ln x + x$ est $\frac{4}{\ln x} + 1$ ». Repère son erreur et corrige-la.
3. cVrai ou faux ? Justifie. « Si $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, alors $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}]$. »
4. dÉcris $f'(x)$ en un seul quotient pour $f(x) = x^2 - 8\ln x$, puis trouve où $f'$ s'annule.
5. eVrai ou faux ? Justifie. « La dérivée de $(\ln x)^2$ est $\frac{2}{x}$. »
6. fCalcule $f'(2)$ pour $f(x) = \ln(x^2 + 4) - x$.
7. gÉcris l'équation de la tangente au point d'abscisse $\mathrm{e}$ à la courbe de $q(x) = x\ln x - 2x$.

Ex. 44★★★Limites aux bornes : formes indéterminées — Détermine chaque limite en justifiant. Pour une forme indéterminée, lève-la.

Ex. 45★★★Une fonction auxiliaire pour le signe de f′ — On définit sur $]0\,;+\infty[$ les fonctions $g(x) = x^2 - 1 + \ln x$ et $f(x) = x + 1 - \frac{\ln x}{x}$.

1. aCalcule $g'(x)$ et déduis-en les variations de $g$ sur $]0\,;+\infty[$.
2. bCalcule $g(1)$, puis déduis-en le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
3. cMontre que, pour tout $x > 0$, $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$.
4. dDresse le tableau de variations de $f$, limites aux bornes comprises.
5. eDéduis-en que, pour tout $x > 0$, $\ln x \leqslant x^2 - x$.

Ex. 46★★★Le bénéfice d'un atelier de vélos — L'atelier de Malik fabrique entre 100 et 1 000 vélos par an. Pour $x$ centaines de vélos, avec $x \in [1\,;10]$, le bénéfice est $B(x) = 5\ln x - x + 1$, en milliers d'euros.

1. aÉcris $B'(x)$ en un seul quotient, étudie son signe, puis dresse le tableau de variations de $B$ sur $[1\,;10]$.
2. bCombien de vélos rendent le bénéfice maximal ? Donne ce bénéfice en valeur exacte, puis à l'euro près.
3. cMontre que l'équation $B(x) = 3$ a une unique solution $\alpha$ dans $[5\,;10]$, puis donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
4. dInterprète ce résultat pour Malik.

Ex. 47★★★Un minimum atteint en α — On définit sur $]0\,;+\infty[$ les fonctions $g(x) = x^2 - 3 + 2\ln x$ et $f(x) = x + \frac{1 - 2\ln x}{x}$.

1. aÉtudie les variations de $g$, puis montre que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$.
2. bDonne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$, puis le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
3. cCalcule les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$, en justifiant.
4. dMontre que $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$, puis dresse le tableau de variations de $f$.
5. eMontre que $f(\alpha) = 2\alpha - \frac{2}{\alpha}$, puis déduis-en un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $0{,}04$.

Ex. 48★★★Nombre de solutions de f(x) = k — Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x(\ln x)^2$, et $\mathcal{C}$ sa courbe. Donne les valeurs exactes.

1. aVérifie que $x(\ln x)^2 = 4\left(\sqrt{x} \times \ln\sqrt{x}\right)^2$ pour tout $x > 0$, puis déduis-en la limite de $f$ en $0^+$. Donne aussi sa limite en $+\infty$.
2. bÉcris $f'(x)$ sous forme factorisée, étudie son signe dans un tableau de signes, puis dresse le tableau de variations de $f$.
3. cDétermine les abscisses des points de $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à la droite $y = 3x$, puis donne une équation de chacune de ces tangentes.
4. dSelon les valeurs du réel $k$, détermine le nombre de solutions de l'équation $f(x) = k$ sur $]0\,;+\infty[$.

Ex. 49★★★Le coût moyen d'un atelier de gourdes — L'atelier de Soraya fabrique entre 500 et 10 000 gourdes par mois. Pour $x$ milliers de gourdes, avec $x \in [0{,}5\,;10]$, le coût total est $C(x) = x^3 - 2x\ln x + 3x$, en milliers d'euros. Le coût moyen d'une gourde est $C_M(x) = \frac{C(x)}{x}$, en euros.

1. aExprime $C_M(x)$, écris $C_M'(x)$ en un seul quotient, étudie son signe et dresse le tableau de variations de $C_M$.
2. bPour quelle production le coût moyen est-il minimal ? Donne ce coût minimal et interprète-le.
3. cCalcule $C'(x)$, étudie les variations de $h = C'$ sur $[0{,}5\,;10]$, puis déduis-en le sens de variation de $C$.
4. dOn appelle $C'(x)$ le coût marginal. Résous l'équation $C'(x) = C_M(x)$ sur $[0{,}5\,;10]$ et interprète la solution.
5. eBen affirme : « Au-delà de 1 000 gourdes, le coût moyen dépasse le coût marginal. » A-t-il raison ? Justifie.