Terminale maths complémentaires / Limites de fonctions

Ex. 1★★★Automatismes : les limites de référence — Donne chaque limite sans calcul, en citant la fonction de référence utilisée. Précise le signe quand la limite vaut $0$.

1. a$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x}$
2. b$\lim\limits_{x \to -\infty} x^{2}$
3. c$\lim\limits_{x \to -\infty} x^{3}$
4. d$\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x}$
5. e$\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}$ (rappel : $e^{-x} = \dfrac{1}{e^{x}}$)
6. f$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-2 + \dfrac{1}{x^{2}}\right)$
7. gPeut-on calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{x}$ ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : compléter le tableau des opérations — $u$ et $v$ sont deux fonctions dont on connaît les limites en $+\infty$. Donne la limite demandée en nommant la règle (somme, produit, quotient), ou écris « FI » si c'est une forme indéterminée.

1. a$\lim u = 4$ et $\lim v = -\infty$ : $\lim (u + v) = \ldots$
2. b$\lim u = +\infty$ et $\lim v = +\infty$ : $\lim (u + v) = \ldots$
3. c$\lim u = +\infty$ et $\lim v = +\infty$ : $\lim (u - v) = \ldots$
4. d$\lim u = -2$ et $\lim v = +\infty$ : $\lim (u \times v) = \ldots$
5. e$\lim u = +\infty$ et $\lim v = -\infty$ : $\lim (u \times v) = \ldots$
6. f$\lim u = 7$ et $\lim v = -\infty$ : $\lim \dfrac{u}{v} = \ldots$
7. g$\lim u = 0$ et $\lim v = +\infty$ : $\lim (u \times v) = \ldots$

Ex. 3★★★Limites en 0, à droite et à gauche — Pour chaque limite, donne le signe du dénominateur au voisinage de $0$, puis conclus en nommant la règle.

1. a$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{1}{x}$
2. b$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{1}{x}$
3. c$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{-5}{x}$
4. d$\lim\limits_{x \to 0} \frac{4}{x^{2}}$ (étudie les deux côtés)
5. e$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{1}{x^{3}}$
6. f$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \left(2 - \dfrac{1}{x}\right)$
7. gLa fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ a-t-elle une limite en $0$ ? Justifie.

Ex. 4★★★Vrai ou faux sur les opérations — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie en nommant la règle utilisée.

1. a« $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3$, et pour $x < 0$ la courbe de $x \mapsto 3 + \frac{1}{x}$ est au-dessus de la droite $y = 3$. »
2. b« $\lim\limits_{x \to -\infty} (1 - e^{x}) = +\infty$, car $e^{x} \to -\infty$. »
3. c« $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{2} - x) = 0$, car $+\infty - \infty = 0$. » Indication : $x^{2} - x = x(x - 1)$.
4. d« $\lim\limits_{x \to +\infty} (1 - x)(x^{2} + 3) = +\infty$, car les deux facteurs tendent vers l'infini. »
5. e« $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-6}{\sqrt{x} + e^{x}} = 0$. »

Ex. 5★★★La copie de Maël — Ben a corrigé la copie de Maël : chaque ligne ci-dessous contient une erreur (dans le résultat ou dans la justification). Explique l'erreur, puis rédige la bonne réponse.

1. a« $\lim\limits_{x \to +\infty} (2 - 3e^{x}) = +\infty$, car $e^{x} \to +\infty$. »
2. b« $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x^{2} + \frac{5}{x}\right) = +\infty$ par somme, car $x^{2} \to +\infty$ et $\frac{5}{x} \to +\infty$. »
3. c« $\lim\limits_{x \to -\infty} (\sqrt{x} + 1) = 1$. » Corrige, puis calcule la limite de $\sqrt{x} + 1$ là où elle a un sens, en $+\infty$.
4. d« $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^{3} - 7) = +\infty$, car un cube est toujours positif. »

Ex. 6★★★Le coût moyen d'une fromagerie — Une fromagerie de Rodez fabrique $q$ kilos de tomme par jour, avec $q > 0$. Le coût moyen d'un kilo, en euros, est $C_M(q) = 9 + \frac{360}{q}$.

1. aCalcule $\lim\limits_{q \to +\infty} C_M(q)$. Que peux-tu en déduire pour la courbe de $C_M$ ?
2. bOn note $\ell$ la limite trouvée. Étudie le signe de $C_M(q) - \ell$ pour $q > 0$. Déduis-en la position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale.
3. cCalcule $\lim\limits_{\substack{q \to 0 \\ q > 0}} C_M(q)$. Interprète graphiquement.
4. dQue signifient ces résultats pour la fromagerie ?

Ex. 7★★★Une courbe coincée entre deux asymptotes — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{e^{x} + 3}{e^{x} + 1}$ et sa courbe $\mathcal{C}_f$. Rappel : $e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}$.

1. aJustifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, puis calcule $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ en nommant chaque règle. Interprète graphiquement.
2. bExplique pourquoi les règles ne permettent pas de conclure en $+\infty$. Montre que $f(x) = \frac{1 + 3e^{-x}}{1 + e^{-x}}$, puis déduis-en $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
3. cOn note $\ell$ la limite de $f$ en $+\infty$. Écris $f(x) - \ell$ sous la forme d'un seul quotient, puis déduis-en la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote en $+\infty$.
4. dOn note $\ell'$ la limite de $f$ en $-\infty$. Fais le même travail avec $f(x) - \ell'$ et l'asymptote en $-\infty$.
5. eInès affirme : « Pour tout réel $x$, $f(x)$ est strictement compris entre les deux asymptotes horizontales. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Les truites du lac : deux modèles — Dans un lac du Jura, on réintroduit des truites. Le nombre de truites, en centaines, $t$ années après la réintroduction ($t \geqslant 0$), est estimé par deux modèles : $P(t) = \frac{12t + 3}{t + 1}$ (modèle A) et $Q(t) = 10 - 7e^{-t}$ (modèle B).

1. aCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$ en nommant la forme indéterminée, puis la méthode qui permet de la lever. Interprète ce résultat dans le contexte.
2. bCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} Q(t)$ en nommant chaque règle. Interprète ce résultat dans le contexte.
3. cOn note $\ell$ la limite de $P$ en $+\infty$. Écris $P(t) - \ell$ sous la forme d'un seul quotient. Selon le modèle A, la population atteint-elle un jour $\ell$ centaines ? Justifie.
4. dSelon le modèle A, au bout de combien d'années le lac compte-t-il plus de 1 100 truites ?
5. eLéna affirme : « À long terme, le modèle A prévoit 200 truites de plus que le modèle B. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : nommer puis lever la forme indéterminée — Pour chaque limite, nomme la forme indéterminée, puis lève-la en factorisant par le terme dominant. Conclus en citant la règle utilisée.

1. a$\lim\limits_{x \to +\infty} (-2x^4 + 6x^3 - x)$
2. b$\lim\limits_{x \to -\infty} (5x^3 + 9x^2 - 4)$
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - 1}{3x^2 + 5x}$
4. d$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x + 4}{2x^2 - 3}$
5. e$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{3x^3 - x}{x^2 + 1}$
6. f$\lim\limits_{x \to +\infty} (x - 4\sqrt{x})$

Ex. 10★★★Automatismes : vrai ou faux sur les formes indéterminées — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou par un contre-exemple. Dans les deux premiers items, $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.

1. aSi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = 0$.
2. bSi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$.
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 5}{x^3 + 1} = 0$.
4. dLa droite d'équation $y = 3$ est asymptote horizontale en $-\infty$ à la courbe de $x \mapsto \frac{9x^2 - 2}{3x^2 + 4}$.
5. eEn $-\infty$, $x^2 - 8x^3$ est une forme indéterminée.

Ex. 11★★★L'erreur de Malo en moins l'infini — Malo cherche la limite en $-\infty$ de $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 5}{4x^2 + 3x}$, définie pour $x \neq 0$ et $x \neq -\frac{3}{4}$. Il écrit : « En $-\infty$, $x$ est très petit, donc ce sont les termes de plus bas degré qui comptent : $f(x)$ se comporte comme $\frac{5}{3x}$, donc la limite vaut $0$. »

1. aEn $-\infty$, calcule la limite du numérateur et étudie celle du dénominateur. Nomme la forme indéterminée qui apparaît.
2. bExplique l'erreur de Malo : quels termes faut-il garder en $-\infty$ ?
3. cCalcule correctement $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ en factorisant en haut et en bas.
4. dCalcule $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle une asymptote horizontale ? Justifie.

Ex. 12★★★Une forme « 0/0 » en un réel — Soit $g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$, définie pour $x \neq -3$ et $x \neq 3$. On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe.

1. aQuelle forme obtiens-tu quand $x$ tend vers $3$ ? Pourquoi la règle du terme dominant ne sert-elle à rien ici ?
2. bVérifie que $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, puis calcule $\lim\limits_{x \to 3} g(x)$.
3. cCalcule les limites de $g$ en $-3$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
4. dCalcule les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis donne toutes les asymptotes de $\mathcal{C}_g$.

Ex. 13★★★Un quotient d'exponentielles et son tableau — Soit $h(x) = \frac{2e^{x} + 3}{e^{x} - 1}$, définie pour $x \neq 0$. On note $\mathcal{C}_h$ sa courbe. On rappelle que $e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}$.

1. aEn $+\infty$, nomme la forme indéterminée, puis lève-la en factorisant par $e^{x}$ en haut et en bas.
2. bCalcule $\lim\limits_{x \to -\infty} h(x)$. Y a-t-il une forme indéterminée ? Justifie.
3. cÉtudie le signe de $e^{x} - 1$, puis calcule les limites de $h$ en $0$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
4. dOn admet que $h$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$. Complète le tableau

   x	−∞	0	+∞
   h(x)	… ↘	… ‖ …	↘ …

   puis donne les trois asymptotes de $\mathcal{C}_h$.

Ex. 14★★★Les poissons du lac — Dans un lac près d'Annecy, on réintroduit une espèce de poisson. Le nombre de poissons, en milliers, $t$ années après la réintroduction, est modélisé par $P(t) = \frac{60t + 20}{t + 4}$ pour $t \geqslant 0$.

1. aCalcule $P(0)$ et interprète ce résultat.
2. bNomme la forme indéterminée en $+\infty$, puis calcule $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$.
3. cÉcris la différence entre $P(t)$ et la limite trouvée à la question précédente sous la forme d'un seul quotient, puis étudie son signe pour $t \geqslant 0$.
4. dÀ partir de combien d'années la population dépasse-t-elle $50\,000$ poissons ?
5. eUn garde-pêche affirme : « la population augmente chaque année, donc elle finira par dépasser $100\,000$ poissons. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 15★★★Une famille de quotients : tout dépend des degrés — Pour tout réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_a(x) = \frac{a x^3 + 4x^2 - 3}{2x^2 + 1}$. On note $\mathcal{C}_a$ sa courbe. Comme $2x^2 + 1 > 0$ pour tout réel $x$, $f_a$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

1. aOn prend $a = 0$. Noé écrit : « en $+\infty$, c'est $\frac{\infty}{\infty}$, donc la limite vaut $1$ ». Corrige son erreur en calculant $\lim\limits_{x \to +\infty} f_0(x)$.
2. bÉtudie la position de $\mathcal{C}_0$ par rapport à son asymptote horizontale en $+\infty$.
3. cOn suppose $a \neq 0$. Détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f_a(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f_a(x)$ selon le signe de $a$. La courbe $\mathcal{C}_a$ a-t-elle une asymptote horizontale ? Justifie.
4. dBen garde $a = 0$ mais remplace le dénominateur par $2x^4 + 1$ : $g(x) = \frac{4x^2 - 3}{2x^4 + 1}$. Nomme la forme indéterminée en $-\infty$, lève-la, puis interprète graphiquement le résultat.

Ex. 16★★★Retrouver une fonction à partir de son tableau — Soit $f(x) = \frac{a x + b}{x + c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels. On sait que $f(0) = -1$ et que $f$ a le tableau de variations suivant. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aLis sur le tableau les limites de $f$ aux bornes, puis donne les équations des asymptotes à $\mathcal{C}_f$.
2. bDétermine $a$, $b$ et $c$ en justifiant chaque valeur.
3. cAvec l'expression trouvée, retrouve par le calcul les limites de $f$ en $3$, à gauche puis à droite, en étudiant le signe de $x - 3$.
4. dÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote horizontale.
5. ePropose une fonction $g$, qui n'est pas un quotient de polynômes, dont la courbe a la droite $y = 2$ pour asymptote en $+\infty$ mais aucune asymptote horizontale en $-\infty$. Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes : limites en l'infini — Détermine chaque limite. Si tu rencontres une forme indéterminée, nomme-la avant de la lever.

1. a$\lim\limits_{x \to +\infty} (-2x^3 + 7x^2 - 4)$
2. b$\lim\limits_{x \to -\infty} (x^4 - 6x^3 + 1)$
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x^2 - 3}{2x^2 + x}$
4. d$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4x + 1}{x^2 + 3}$
5. e$\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - 3x)$
6. f$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(5 - \dfrac{8}{x^3 + x}\right)$

Ex. 18★★★Automatismes : exponentielle, des deux côtés — Pour chaque fonction, calcule la limite en $-\infty$ et en $+\infty$, puis donne l'équation de chaque asymptote horizontale, s'il y en a. On rappelle que $e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}$.

1. a$f(x) = 4 + 3e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$g(x) = 1 - 5e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$h(x) = \dfrac{6}{2 + e^{x}}$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$k(x) = \dfrac{3}{x} - e^{-x}$ sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.

Ex. 19★★★Lire les asymptotes dans un tableau — La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$. Voici son tableau de variations :

1. aLis $\lim\limits_{x \to -\infty} h(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)$.
2. bVrai ou faux : « la droite d'équation $x = 3$ est asymptote à $\mathcal{C}_h$ en $+\infty$ ». Justifie.
3. cLa courbe $\mathcal{C}_h$ admet-elle une asymptote horizontale en $-\infty$ ? Justifie.
4. dSur $[-1 ; +\infty[$, la courbe $\mathcal{C}_h$ est-elle au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale ? Justifie avec le tableau.

Ex. 20★★★Les deux erreurs d'Inès — Inès étudie $f(x) = \frac{6x^2 - x}{4x^2 + 3}$ sur $\mathbb{R}$. Elle écrit : « En $+\infty$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$, donc la limite vaut $1$ : asymptote $y = 1$. »

1. aExplique l'erreur d'Inès.
2. bCalcule correctement $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ en justifiant.
3. cCalcule $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$, puis donne les asymptotes horizontales de $\mathcal{C}_f$.
4. dPour $g(x) = x^2 - 4x$, Inès écrit : « en $+\infty$, $\infty - \infty = 0$, donc $y = 0$ est asymptote ». Corrige-la.

Ex. 21★★★Une courbe qui traverse son asymptote — On considère $f(x) = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 1}$ et sa courbe $\mathcal{C}_f$.

1. aJustifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, puis calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
2. bCalcule $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et interprète graphiquement les deux limites.
3. cOn note $\ell$ la limite trouvée. Écris $f(x) - \ell$ sous la forme d'une seule fraction.
4. dÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote horizontale.
5. eVrai ou faux : « une courbe ne coupe jamais son asymptote horizontale ». Justifie avec $f$.

Ex. 22★★★Le coût moyen d'un tabouret — Une menuiserie de Quimper fabrique $q$ centaines de tabourets, avec $q > 0$. Le coût moyen d'un tabouret, en euros, est $C_M(q) = \frac{25q + 130}{q + 1}$.

1. aDétermine les réels $a$ et $b$ tels que, pour $q > 0$, $C_M(q) = a + \frac{b}{q + 1}$.
2. bCalcule $\lim\limits_{q \to +\infty} C_M(q)$ en citant les règles utilisées.
3. cInterprète cette limite pour la courbe de $C_M$, puis pour la menuiserie.
4. dLe coût moyen peut-il devenir inférieur à cette limite ? Justifie avec un signe.
5. eÀ partir de combien de tabourets le coût moyen passe-t-il sous $26$ € ?

Ex. 23★★★Les poissons d'un étang près de Montluçon — On introduit des poissons dans un étang près de Montluçon. On modélise leur nombre, en milliers, par $P(t) = \frac{40t + 9}{2t + 3}$, où $t \geqslant 0$ est le temps en années. On note $\mathcal{C}_P$ la courbe de $P$.

1. aCalcule $P(0)$ et interprète ce résultat dans le contexte.
2. bDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$ en nommant la forme indéterminée. Interprète graphiquement, puis dans le contexte.
3. cOn note $\ell$ la limite trouvée. Écris $P(t) - \ell$ sous la forme d'une seule fraction, puis déduis-en la position de $\mathcal{C}_P$ par rapport à son asymptote.
4. dLucas affirme : « Un jour, le nombre de poissons sera exactement égal à cette limite. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eRésous l'inéquation $P(t) > 19$ sur $[0 ; +\infty[$ et interprète le résultat.

Ex. 24★★★Retrouver une fonction grâce à ses asymptotes — Soit $a$ et $b$ deux réels, et $f(x) = \frac{a e^{x} + b}{e^{x} + 1}$. On sait que $\mathcal{C}_f$ admet en $-\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y = -1$, et qu'elle passe par le point $A(0 ; 2)$. On rappelle que $e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}$.

1. aJustifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Exprime $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ en fonction de $b$, puis déduis-en la valeur de $b$.
2. bUtilise le point $A$ pour trouver la valeur de $a$.
3. cAvec ces valeurs, calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ en nommant la forme indéterminée. Que peux-tu en déduire pour $\mathcal{C}_f$ ?
4. dPour chacune des deux asymptotes $y = \ell$, étudie le signe de $f(x) - \ell$ et donne la position de $\mathcal{C}_f$.
5. eMalo affirme : « $h(x) = 5e^{x} - 1$ a une asymptote horizontale en $-\infty$ et une en $+\infty$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 25★★★Automatismes : limites en une valeur interdite — Calcule chaque limite en justifiant par le signe du dénominateur.

1. a$\lim\limits_{\substack{x \to 7 \\ x > 7}} \dfrac{3}{7 - x}$
2. b$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{2 + e^{x}}{x}$
3. c$\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} \dfrac{x - 5}{x + 1}$
4. d$\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x < -1}} \dfrac{x - 5}{x + 1}$
5. e$\lim\limits_{x \to -6} \frac{2}{(x + 6)^2}$
   (étudie les deux côtés)
6. f$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x}$

Ex. 26★★★Automatismes : vrai ou faux en une valeur interdite — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{x - 1} = +\infty$.
2. b$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{-3}{(x + 2)^2} = -\infty$.
3. c$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{x - 9}{x} = +\infty$.
4. dLa courbe de $x \mapsto \frac{x^2 - 64}{x + 8}$ admet la droite d’équation $x = -8$ pour asymptote verticale.
5. eLa courbe de $x \mapsto \frac{2}{x + 5}$ admet la droite d’équation $y = -5$ pour asymptote verticale.

Ex. 27★★★L’erreur de Léa — Léa étudie $f(x) = \frac{x - 6}{x - 2}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Elle écrit : « Le numérateur tend vers $-4$ et le dénominateur vers $0$, donc $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = -\infty$ et la droite d’équation $y = 2$ est asymptote verticale. »

1. aÉtudie le signe de $x - 2$ selon les valeurs de $x$.
2. bCalcule la limite de $f$ quand $x$ tend vers $2$ par valeurs supérieures, puis par valeurs inférieures.
3. cRepère les deux erreurs de Léa et rédige une conclusion correcte.

Ex. 28★★★Compléter un tableau de variations — Soit $g(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{4\}$. On admet que $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;4[$ et sur $]4\,;+\infty[$.

1. aCalcule $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$.
2. bCalcule la limite de $g$ en $4$ à droite, puis à gauche.
3. cComplète le tableau de variations de $g$.
4. dDonne les équations des asymptotes à $\mathcal{C}_g$.

Ex. 29★★★Le coût d’une dépollution — Près de Rouen, Inès étudie une usine qui veut éliminer $p$ % de ses rejets polluants. Le coût, en milliers d’euros, est $C(p) = \frac{50p}{100 - p}$ pour $p \in [0\,;100[$.

1. aCalcule le coût pour éliminer $80$ % des rejets.
2. bExplique pourquoi on n’étudie la limite de $C$ en $100$ que par valeurs inférieures.
3. cCalcule $\lim\limits_{\substack{p \to 100 \\ p < 100}} C(p)$ en étudiant le signe de $100 - p$.
4. dInterprète ce résultat pour l’usine et donne l’asymptote correspondante à la courbe de $C$.

Ex. 30★★★Choisir le bon paramètre — Hugo cherche une fonction $f(x) = \frac{4x + c}{x + 3}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$, où $c$ est un réel, dont la courbe a deux asymptotes : $y = 4$ et $x = -3$.

1. aMontre que, quel que soit $c$, $f(x)$ tend vers $4$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
2. bHugo essaie $c = 12$. Calcule la limite de $f$ en $-3$. La droite $x = -3$ est-elle asymptote ? Justifie.
3. cPour $c = 14$, calcule la limite de $f$ en $-3$ à droite, puis à gauche.
4. dPour $c = 14$, écris $f(x) - 4$ sous la forme d’un seul quotient, puis donne la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $y = 4$.

Ex. 31★★★Deux valeurs interdites — Soit $f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 4x + 3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{1\,;3\}$, de courbe $\mathcal{C}_f$. On admet que $2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$ et que $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

1. aCalcule $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$. Interprète graphiquement.
2. bTom affirme : « $1$ et $3$ sont des valeurs interdites, donc $\mathcal{C}_f$ a deux asymptotes verticales. » En étudiant la limite de $f$ en $3$, dis s’il a raison. Justifie.
3. cCalcule la limite de $f$ en $1$ à droite et à gauche. Conclus graphiquement.
4. dÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote horizontale.

Ex. 32★★★Un carré au dénominateur, une racine au dénominateur — On considère $h(x) = \frac{1 - 2x}{(x - 3)^2}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ et $k(x) = \frac{x - 4}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$, de courbes $\mathcal{C}_h$ et $\mathcal{C}_k$.

1. aCalcule la limite de $h$ en $3$ à droite et à gauche. Malo pense qu’elles sont de signes contraires, comme pour $\frac{1}{x - 3}$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} h(x)$. Interprète graphiquement.
3. cÉtudie la position de $\mathcal{C}_h$ par rapport à son asymptote horizontale. Coupe-t-elle cette asymptote ? Justifie.
4. dPourquoi n’étudie-t-on la limite de $k$ en $0$ qu’à droite ? Calcule-la et conclus graphiquement.
5. eMontre que $k(x) = \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$, puis calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} k(x)$. $\mathcal{C}_k$ a-t-elle une asymptote horizontale ? Justifie.

Ex. 33★★★Automatismes : limites de modèles en $+\infty$ — Chaque fonction est définie pour $t \geqslant 0$. Calcule sa limite quand $t$ tend vers $+\infty$ en nommant la règle utilisée.

1. a$\lim\limits_{t \to +\infty} \left(12 - 5e^{-0{,}2t}\right)$
2. b$\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{8t + 3}{2t + 5}$
3. c$\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{300}{1 + 4e^{-t}}$
4. d$\lim\limits_{t \to +\infty} \left(20 + \dfrac{45}{t + 6}\right)$
5. e$\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{6t^{2} + 1}{3t^{2} + t}$
6. f$\lim\limits_{t \to +\infty} 7\left(1 - e^{-3t}\right)$
7. g$\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{t + 40}{t^{2} + 2}$

Ex. 34★★★Automatismes : vrai ou faux en contexte — Chaque modèle est défini pour $t \geqslant 0$. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a$C(t) = 2 + 7e^{-0{,}4t}$ (en mg/L, $t$ en heures). « Pour décrire le long terme, il faut aussi calculer la limite en $-\infty$. »
2. b$m(t) = 9 - \frac{4}{t + 2}$ (en grammes). « La masse tend vers $9$ g, donc elle finit par valoir exactement $9$ g. »
3. c$p(t) = \frac{5t + 1}{t + 3}$ (en milliers d'abonnés). « Le nombre d'abonnés se stabilise autour de $5\,000$. »
4. d$T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$ (température d'un café en °C, $t$ en minutes). « À long terme, le café tend vers $80$ °C. »
5. e$q(t) = \frac{200t}{t^{2} + 1}$ (en mg). « La quantité tend vers $200$ mg. »

Ex. 35★★★Coût moyen dans un atelier de céramique — Un atelier de Limoges fabrique $x$ bols par mois ($x > 0$). Le coût total, en euros, est $C(x) = 0{,}02x^{2} + 8x + 500$. Le coût moyen d'un bol est $C_M(x) = \frac{C(x)}{x}$.

1. aÉcris $C_M(x)$ sous la forme $ax + b + \frac{c}{x}$, avec $a$, $b$ et $c$ réels.
2. bCalcule $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} C_M(x)$, puis interprète ce résultat pour l'atelier.
3. cLina affirme : « Plus l'atelier produit de bols, plus le coût moyen se rapproche de $8$ €. » Calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} C_M(x)$. Lina a-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Des chamois dans une réserve : conjecturer puis démontrer — Dans une réserve des Pyrénées, le nombre de chamois au bout de $t$ années ($t \geqslant 0$) est modélisé par $N(t) = \frac{900t + 200}{t + 4}$. Voici quelques valeurs arrondies :

1. aÀ l'aide du tableau, conjecture la limite de $N(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
2. bDémontre cette conjecture, puis interprète-la avec l'unité.
3. c$N$ n'est pas définie en $-4$. Faut-il étudier la limite de $N$ en $-4$ ? Justifie.
4. dOn note $\ell$ la limite trouvée. Calcule $N(t) - \ell$. L'effectif atteindra-t-il un jour $\ell$ chamois ? Justifie.

Ex. 37★★★Régler une vitesse limite — Une bille tombe dans un tube d'huile. Sa vitesse, en cm/s, au bout de $t$ secondes ($t \geqslant 0$), est $v(t) = \frac{at}{4t + 1}$. Ici $a$ est un réel strictement positif, qui dépend de la bille.

1. aExprime $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)$ en fonction de $a$.
2. bDétermine $a$ pour que la vitesse limite de la bille soit de $12$ cm/s.
3. cAvec cette valeur de $a$, détermine à partir de quel instant la vitesse dépasse $11$ cm/s.

Ex. 38★★★Chlore dans une piscine : comparer deux modèles — Après un traitement, la concentration en chlore d'une piscine d'Annecy, en mg/L, au bout de $t$ heures ($t \geqslant 0$), est modélisée de deux façons. Malik propose $C_A(t) = 1{,}5 + 2e^{-0{,}3t}$. Inès propose $C_B(t) = \frac{4t + 7}{2t + 2}$.

1. aVérifie que les deux modèles donnent la même concentration au départ.
2. bCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} C_A(t)$, puis interprète ce résultat.
3. cCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} C_B(t)$, puis interprète ce résultat.
4. dLe gérant craint que la concentration descende un jour sous $1{,}8$ mg/L. Que prévoit chaque modèle ? Justifie.

Ex. 39★★★Un yaourt au réfrigérateur : quelle température à long terme ? — À Rennes, un yaourt sort de la yaourtière et Yanis le met aussitôt au réfrigérateur. Sa température, en °C, au bout de $t$ minutes ($t \geqslant 0$), est modélisée par $T(t) = \frac{4t + 90}{t + 3}$.

1. aCalcule $T(0)$ et donne sa signification dans le contexte.
2. bNomme la forme indéterminée obtenue en $+\infty$, lève-la, puis calcule $\lim\limits_{t \to +\infty} T(t)$. Conclus par une phrase en contexte.
3. cOn note $\ell$ cette limite. Écris $T(t) - \ell$ sous la forme d'une seule fraction. Déduis-en la position de la courbe de $T$ par rapport à son asymptote horizontale.
4. dYanis affirme : « Au bout d'un certain temps, mon yaourt sera exactement à cette température limite. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eLe yaourt se déguste quand sa température est inférieure ou égale à 5 °C. À partir de combien de minutes est-ce le cas ?

Ex. 40★★★Dépolluer les rejets d'une usine — Une usine de Dunkerque veut éliminer un polluant de ses rejets. Le coût, en milliers d'euros, pour éliminer $p$ % du polluant est modélisé par $C(p) = \frac{50p}{100 - p}$, pour $0 \leqslant p < 100$.

1. aCalcule $C(0)$ et $C(80)$, puis interprète $C(80)$ dans le contexte.
2. bÉtudie le signe de $100 - p$ sur $[0 ; 100[$, puis calcule $\lim\limits_{\substack{p \to 100 \\ p < 100}} C(p)$. Interprète graphiquement, puis en contexte.
3. cZoé veut aussi calculer la limite de $C$ en $+\infty$ et quand $p$ tend vers $100$ par valeurs supérieures. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dVérifie que $C(p) = -50 + \frac{5000}{100 - p}$. Déduis-en le sens de variation de $C$, puis dresse son tableau de variations avec la limite.
5. eLe budget de l'usine est de 450 milliers d'euros. Quel pourcentage maximal du polluant peut-elle éliminer ?