Terminale spécialité / Limites de fonctions

Ex. 1★★★Les limites de référence — Donne chaque limite. Cite la limite de référence ou l'opération utilisée.

1. a$\lim\limits_{x \to -\infty} x^5$
2. b$\lim\limits_{x \to -\infty} x^6$
3. c$\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{x}$
4. d$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$
5. e$\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$
6. f$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^4}$
   (regarde à gauche et à droite)
7. g$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
8. h$\lim\limits_{x \to 0} \mathrm{e}^{x}$

Ex. 2★★★De la limite à l'asymptote — Calcule la limite. Dis ensuite si la courbe a une asymptote. Si oui, précise si elle est horizontale ou verticale et donne son équation.

Ex. 3★★★Lire un tableau de variations — On donne le tableau de variations de $f(x) = \frac{x+5}{(x+1)^2}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ :

1. aLis les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Quelle asymptote en déduis-tu ?
2. bLis les limites de $f$ en $-1$ à gauche et à droite. Quelle asymptote en déduis-tu ?
3. cCalcule $f(-5)$. Ilyès affirme : « une courbe ne coupe jamais son asymptote horizontale ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dRetrouve par le calcul les limites de $f$ en $-1$ lues dans le tableau.

Ex. 4★★★Vrai ou faux sur les asymptotes — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« La courbe de $q(x) = 4 + \frac{1}{x^2}$ a une asymptote verticale d'équation $x = 4$. »
2. b« La droite $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe de $k(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$. »
3. c« La droite $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe de $p(x) = 1 - \mathrm{e}^{x}$ en $-\infty$, et la courbe est au-dessus. »
4. d« La fonction $r(x) = \frac{2}{x - 4}$ a une limite en $4$. »

Ex. 5★★★Deux valeurs interdites, deux comportements — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\,;2\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aFactorise le numérateur et le dénominateur de $f(x)$, puis simplifie $f(x)$ pour $x \neq -1$ et $x \neq 2$.
2. bCalcule $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$. La droite d'équation $x = 2$ est-elle asymptote à $\mathcal{C}$ ? Justifie.
3. cCalcule la limite de $f$ en $-1^-$ puis en $-1^+$. Interprète graphiquement.
4. dCalcule les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ (tu peux écrire $x + 2 = (x + 1) + 1$). Interprète graphiquement.
5. eDresse le tableau de variations de $f$ avec toutes ses limites. On admet que $f$ est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.

Ex. 6★★★Une courbe et ses deux asymptotes — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aCalcule les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Déduis-en une asymptote à $\mathcal{C}$ et donne son équation.
2. bÉtudie la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote.
3. cCalcule $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$.
4. dEn $0^+$, explique pourquoi la somme donne une forme indéterminée. Lève-la en écrivant $f(x)$ sur un seul dénominateur, puis conclus sur une asymptote.
5. eSacha affirme : « $\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$, donc $f$ non plus. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Construire une fonction sur mesure — Une fonction $f$ s'écrit $f(x) = a + \frac{b}{x - c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $b \neq 0$. Voici son tableau de variations :

1. aLis dans le tableau les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. Donne les équations des asymptotes à sa courbe.
2. bDéduis-en $a$ et $c$, puis le signe de $b$. Sachant que $f(3) = -1$, détermine $b$.
3. cPropose une fonction $g$ dont la limite vaut $5$ en $-\infty$ et en $+\infty$, et $+\infty$ en $-4$ à gauche comme à droite. Justifie.
4. dNoé affirme : « $h(x) = -3 + \frac{2}{2 - x}$ a les mêmes asymptotes que $f$, donc le même tableau de variations. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn veut une limite égale à $2$ en $-\infty$ et à $+\infty$ en $+\infty$. Explique pourquoi $2 + x^3$, $2 + x^4$ et $2 + \sqrt{x}$ ne conviennent pas. Propose une fonction qui convient.

Ex. 8★★★Automatismes : sans forme indéterminée — Détermine chaque limite en nommant l'opération utilisée (somme, produit ou quotient).

Ex. 9★★★Automatismes : forme indéterminée ou pas ? — Pour chaque limite, dis d'abord s'il s'agit d'une forme indéterminée (et de quel type), puis détermine la limite.

Ex. 10★★★Deux valeurs interdites — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\,;2\}$ par $f(x)=\frac{x+3}{x^2-x-2}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. Interprète graphiquement le résultat.
2. bFactorise $x^2-x-2$, puis dresse son tableau de signes sur $\mathbb{R}$.
3. cDéduis-en $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)$.
4. dDétermine $\lim\limits_{x \to -1^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x)$. Quelles asymptotes verticales $\mathcal{C}$ admet-elle ?

Ex. 11★★★Quatre copies à corriger — Ben a relevé une erreur dans chacune de ces copies. Trouve-la, puis détermine la bonne limite en rédigeant.

1. aInès : « En $+\infty$, $2x^2\to+\infty$ et $x^3\to+\infty$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty}(2x^2-x^3)=0$. »
2. bMalo : « Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{6x^2+1}{3x^2-x}=1$. »
3. cYanis : « En $1$, je garde les termes de plus haut degré : $\frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ a pour limite $\frac{x^2}{x^2}=1$. »
4. dLéna : « Le numérateur tend vers $0$, donc $\lim\limits_{x \to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=0$. »

Ex. 12★★★Vrai ou faux sur les opérations — Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est vrai, donne une preuve par les opérations sur les limites. Si c'est faux, donne un contre-exemple. Les fonctions $f$ et $g$ sont définies là où on en a besoin.

1. aSi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\times g(x)=0$.
2. bSi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(f(x)+g(x)\right)=+\infty$.
3. cSi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-3$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\times g(x)=-\infty$.
4. dSi $\lim\limits_{x \to 1} f(x)=-2$ et $\lim\limits_{x \to 1} g(x)=0$ avec $g(x)\neq0$ pour $x\neq1$, alors $\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)}{g(x)}=-\infty$.
5. e« Pour calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$, on est face à une forme indéterminée. »

Ex. 13★★★Truites dans un lac — Noé, garde-pêche, suit les truites réintroduites dans un lac. D'après un premier modèle, le nombre de truites $t$ années après leur introduction est $P(t)=\frac{900t+200}{t+4}$, pour $t \geqslant 0$.

1. aCombien de truites a-t-on introduites ? Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$, puis interprète-la graphiquement et dans le contexte.
2. bLa population peut-elle un jour dépasser cette limite ? Justifie en étudiant le signe de $P(t)-\ell$, où $\ell$ est la limite trouvée.
3. cLe second modèle de Noé est $Q(t)=40\sqrt{t}+50$. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} Q(t)$. Pourquoi ce modèle est-il peu réaliste à long terme ?
4. dHors contexte, on pose $f(x)=\frac{900x+200}{x+4}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-4\}$. Détermine les limites de $f$ à gauche et à droite en $-4$, puis en $-\infty$. Interprète graphiquement.

Ex. 14★★★Une fonction sur mesure — On cherche des réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{ax+b}{x-c}$ pour $x\neq c$ vérifie trois conditions : la droite d'équation $y=-3$ est asymptote horizontale en $+\infty$, la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale, et $f(0)=1$.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ en fonction de $a$, puis déduis-en la valeur de $a$.
2. bExplique pourquoi $c=2$, puis détermine $b$.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)$ en étudiant le signe de $x-2$. La condition sur l'asymptote verticale est-elle remplie ?
4. dOn admet que $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$. Remplace les « ? » de ce tableau par les limites :

   x	-∞	2	+∞
   f(x)	?	↗ ? ‖ ? ↗	?

5. eConstruis une fonction $g$ telle que $g(0)=2$, $\lim\limits_{x \to \pm\infty} g(x)=0$, $\lim\limits_{x \to 1^-} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 1^+} g(x)=-\infty$. Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : formes indéterminées en l'infini — Détermine chaque limite. En cas de forme indéterminée, factorise par le terme de plus haut degré.

1. a$\lim\limits_{x \to -\infty} (4x^3 - 7x^2 + 1)$
2. b$\lim\limits_{x \to -\infty} (-x^4 - 3x^3 + 2x)$
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - x + 4}{3x^2 + 5x}$
4. d$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^3 + 4}$
5. e$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 - 2}{5x^2 + 1}$
6. f$\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - 3x)$

Ex. 16★★★Automatismes : la forme 0/0 en un réel — Chaque limite est une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$. Détermine-la en simplifiant par $(x - a)$ ou en utilisant l'expression conjuguée.

1. a$\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^2 - 16}{x + 4}$
2. b$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 1}$
3. c$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$ (développe $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$)
4. d$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
5. e$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{2x^2 + x}$
   (attention : on est en un réel)

Ex. 17★★★Les erreurs d'Inès — Inès a rédigé les limites ci-dessous. Pour chacune, dis si elle a raison, justifie, puis corrige si besoin.

1. aInès écrit : $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - 4x) = 0$ car « $+\infty - \infty = 0$ ».
2. bInès écrit : $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{4x^2 - x} = 1$ car numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$.
3. cPour $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3}$, Inès ne garde que les termes de plus haut degré et trouve $1$.
4. dInès écrit : $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^3 + 2x^2) = +\infty$ car « une puissance de $x$ tend vers $+\infty$ ».

Ex. 18★★★Racines carrées à l'infini — Soit $f(x) = \sqrt{x^2 + 5} - x$, définie sur $\mathbb{R}$, et $g(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3x}}{x}$, définie sur $]-\infty\,;-3] \cup ]0\,;+\infty[$.

1. aExplique pourquoi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ est une forme indéterminée et précise de quel type.
2. bAvec l'expression conjuguée, détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. Interprète graphiquement le résultat.
3. cLa limite $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ est-elle une forme indéterminée ? Détermine-la.
4. dDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$.
5. eLucas affirme que $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$ vaut la même chose qu'en $+\infty$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Un paramètre qui change tout — Pour un réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par $f_a(x) = \frac{x^2 + ax - 12}{x - 3}$.

1. aDans cette question, $a = 0$. Détermine $\lim\limits_{x \to 3^-} f_0(x)$ et $\lim\limits_{x \to 3^+} f_0(x)$, puis donne-en une interprétation graphique.
2. bToujours avec $a = 0$, détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f_0(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f_0(x)$ en justifiant par une factorisation. La courbe a-t-elle une asymptote horizontale ?
3. cOn revient au cas général. Détermine la valeur de $a$ pour laquelle la limite de $f_a$ en $3$ est une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$.
4. dPour cette valeur de $a$, détermine la limite de $f_a$ en $3$. Pour quels réels $a$ la droite d'équation $x = 3$ est-elle asymptote verticale ? Justifie.

Ex. 20★★★Une culture de bactéries — Une culture de bactéries est observée en laboratoire. On modélise le nombre de bactéries, en milliers, au bout de $t$ heures ($t \geqslant 0$) par $P(t) = \frac{8t^2 + 3t + 2}{t^2 + 1}$.

1. aDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$ en levant la forme indéterminée, puis interprète ce résultat dans le contexte.
2. bOn note $\ell$ la limite trouvée. Exprime $P(t) - \ell$ sous forme d'un seul quotient. Pour $t > 2$, la population est-elle au-dessus ou au-dessous de $\ell$ milliers ?
3. cDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} t \times \big(P(t) - \ell\big)$, en précisant la forme indéterminée rencontrée.
4. dUn autre modèle propose $R(t) = \frac{8t^2 + 3t + 2}{t + 1}$. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} R(t)$. Ce modèle te paraît-il réaliste pour une culture en milieu limité ?

Ex. 21★★★Conjuguée et valeur interdite — Soit $h$ la fonction définie sur $\left[-\frac{1}{2}\,;4\right[ \cup \left]4\,;+\infty\right[$ par $h(x) = \frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{x - 4}$.

1. aExplique pourquoi la limite de $h$ en $4$ est une forme indéterminée, puis détermine-la à l'aide de l'expression conjuguée.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)$ en factorisant le numérateur par $\sqrt{x}$ et le dénominateur par $x$. Interprète graphiquement.
3. cSacha affirme : « $h$ n'est pas définie en $4$, donc la droite d'équation $x = 4$ est asymptote verticale à sa courbe. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dOn admet que $h$ est décroissante sur $\left[-\frac{1}{2}\,;4\right[$ et sur $\left]4\,;+\infty\right[$. Calcule $h\left(-\frac{1}{2}\right)$ puis dresse le tableau de variations de $h$ avec ses limites.

Ex. 22★★★Automatismes : composées en l'infini — Détermine chaque limite. Rédige en deux temps : limite de $X = u(x)$, puis limite de la fonction extérieure, et conclus « par composition ».

Ex. 23★★★Automatismes : en un réel, le côté compte — Détermine chaque limite. Précise si $X = u(x)$ tend vers $0^+$ ou vers $0^-$ quand c'est utile, puis conclus « par composition ».

Ex. 24★★★Composée ou produit ? L'erreur de Lina — Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$. Lina écrit : « Je pose $X = \frac{1}{x}$. Quand $x \to +\infty$, $X \to 0$ et $\mathrm{e}^{X} \to 1$, donc par composition $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$. »

1. aLina a-t-elle raison ? Justifie, puis donne la bonne limite de $f$ en $+\infty$.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$.
3. cExplique pourquoi on obtient une forme indéterminée en $0^+$, puis lève-la en écrivant $f(x)$ à l'aide de $X = \frac{1}{x}$.
4. dLa courbe de $f$ admet-elle une asymptote parallèle à un axe ? Justifie.

Ex. 25★★★Un quotient à l'intérieur — Soit $f$ définie sur $]3\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{\frac{2x + 1}{x - 3}}$ et $g$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ par $g(x) = \mathrm{e}^{\frac{1 - x}{x + 2}}$.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. Interprète graphiquement.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$. Interprète graphiquement.
3. cCalcule les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
4. dCalcule les limites de $g$ en $-2$ à gauche et à droite. Qu'en déduis-tu pour la courbe de $g$ ?

Ex. 26★★★Quatre côtés à surveiller — Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\,;1\}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{\frac{2x^2}{1 - x^2}}$. On admet le tableau de variations de $f$, incomplet :

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. Interprète graphiquement.
2. bÉtudie le signe de $1 - x^2$, puis détermine les limites de $f$ en $1$ à gauche et à droite.
3. cMathis affirme : « $f(-x) = f(x)$, donc les limites de $f$ en $-1^-$ et en $-1^+$ sont celles de $f$ en $1^-$ et en $1^+$. » A-t-il raison ? Donne ces deux limites.
4. dComplète le tableau de variations, puis donne les équations de toutes les asymptotes à la courbe de $f$.
5. eVérifie que $\frac{2x^2}{1 - x^2} = -2 + \frac{2}{1 - x^2}$. Vrai ou faux, sans utiliser le tableau : « pour tout $x > 1$, $f(x) < \mathrm{e}^{-2}$ » ? Justifie.

Ex. 27★★★Deux modèles pour les chevreuils — Zoé, garde forestière, suit les chevreuils d'une forêt. Le nombre de chevreuils, en centaines, $t$ années après le premier comptage, est modélisé de deux façons. Pour $t \geqslant 0$ : $N(t) = \frac{12}{1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}}$ et $M(t) = 12\,\mathrm{e}^{-3\mathrm{e}^{-0{,}5t}}$.

1. aDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} \mathrm{e}^{-0{,}5t}$, puis $\lim\limits_{t \to +\infty} N(t)$. Interprète dans le contexte.
2. bCalcule $N(0)$ et une valeur approchée de $M(0)$ à $0{,}01$ près. Quel modèle correspond à un premier comptage de 300 chevreuils ?
3. cDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} M(t)$ en rédigeant les deux compositions successives.
4. dVrai ou faux : « d'après le modèle $M$, la forêt comptera un jour plus de 1 200 chevreuils » ? Justifie.

Ex. 28★★★Une fonction, plusieurs intérieurs — Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(X) = \sqrt{X^2 + 1} - X$, et $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \sqrt{\mathrm{e}^{2x} + 1} - \mathrm{e}^{x}$.

1. aDétermine $\lim\limits_{X \to -\infty} g(X)$.
2. bExplique pourquoi la limite de $g$ en $+\infty$ est une forme indéterminée, puis montre que pour tout réel $X$, $g(X) = \frac{1}{\sqrt{X^2 + 1} + X}$.
3. cDéduis-en $\lim\limits_{X \to +\infty} g(X)$. Interprète graphiquement.
4. dVérifie que $h(x) = g(\mathrm{e}^{x})$. Déduis-en les limites de $h$ en $+\infty$ et en $-\infty$, avec les asymptotes.
5. ePropose une fonction $u$ telle que $g(u(x))$ tende vers $0$ quand $x \to 0^+$ et vers $+\infty$ quand $x \to 0^-$. Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : une inégalité pour une limite infinie — Détermine chaque limite à l'aide d'une seule inégalité et du théorème de comparaison.

1. a$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2 - 3\sin x\right)$
2. b$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-x^3 + 2\cos x\right)$
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} x\left(3 + \sin x\right)$
4. d$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x^2 + 1\right)\left(\cos x - 4\right)$
5. e$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}$

Ex. 30★★★Automatismes : encadrer puis appliquer les gendarmes — Encadre l'expression par deux fonctions de même limite, puis conclus avec le théorème des gendarmes.

Ex. 31★★★Trois copies à corriger — Chaque élève a fait une erreur. Trouve-la et explique-la, puis donne la bonne conclusion en la justifiant.

1. aLina étudie $f(x) = x - 2\cos x$ en $-\infty$ et écrit : « $\cos x \geqslant -1$ donc $-2\cos x \geqslant 2$ et $f(x) \geqslant x + 2$ ». Détermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$.
2. bHugo écrit : « pour $x>0$, $-x \leqslant x\sin x \leqslant x$, donc d'après les gendarmes $\lim\limits_{x \to +\infty} x\sin x = 0$ ». Calcule $g(2k\pi)$ et $g\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ pour $g(x) = x\sin x$ et $k$ entier naturel, puis conclus.
3. cNora écrit : « $\cos x \leqslant 1$ donc $x^2 + x\cos x \leqslant x^2 + x$, qui tend vers $+\infty$ : la limite en $+\infty$ vaut $+\infty$ ». Corrige sa démonstration.

Ex. 32★★★Utilisateurs d'une appli de covoiturage — Le nombre d'utilisateurs actifs d'une appli de covoiturage, en milliers, est modélisé par $N(t) = \frac{80t + 6\sin t}{t + 1}$, où $t \geqslant 0$ est le temps en mois.

1. aÀ l'aide d'un encadrement de $\sin t$, encadre $N(t)$ entre deux quotients pour tout $t \geqslant 0$.
2. bCalcule la limite en $+\infty$ de chacune des deux bornes obtenues.
3. cDéduis-en $\lim\limits_{t \to +\infty} N(t)$. Interprète ce résultat graphiquement, puis dans le contexte.
4. dÉcris $N(t) - 80$ sous la forme d'un seul quotient et étudie son signe. Que peut-on dire du nombre d'utilisateurs ?

Ex. 33★★★Une exponentielle qui ondule — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2 + \cos x)\,\mathrm{e}^{x}$.

1. aEncadre $2 + \cos x$ pour tout réel $x$, puis déduis-en un encadrement de $f(x)$. Justifie le sens de chaque inégalité.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et interprète graphiquement le résultat.
3. cMalo écrit : « $f$ est majorée par $x \mapsto 4\mathrm{e}^{x}$, qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis détermine cette limite correctement.
4. dDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} x\,f(x)$ en rédigeant soigneusement l'encadrement.

Ex. 34★★★Quatre affirmations à trancher — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse avec soin (encadrement ou contre-exemple).

1. aSi, pour tout $x > 0$, $1 - \frac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 3 + \frac{1}{x}$, alors $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
2. bLa fonction $x \mapsto \frac{x}{2 + \sin x}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
3. c$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x^2 + 5x\sin x\right) = +\infty$.
4. dLa fonction $q$ définie sur $]1\,;+\infty[$ par $q(x) = \frac{x + \sin x}{x - \sin x}$ vérifie $\lim\limits_{x \to +\infty} q(x) = 1$.

Ex. 35★★★Température dans une serre — Inès règle le chauffage d'une serre. La température, en °C, est modélisée par $\theta(t) = 18 + 3\cos t + 40\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$, où $t \geqslant 0$ est le temps en heures. Elle teste ensuite un régulateur : $\theta_2(t) = 18 + (40 + 3\cos t)\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$.

1. aEncadre $\theta(t)$ pour tout $t \geqslant 0$ par deux fonctions de $t$, puis détermine la limite de chaque borne en $+\infty$.
2. bPeut-on en déduire la limite de $\theta$ en $+\infty$ ? Justifie, en étudiant $\theta(2k\pi)$ et $\theta(\pi + 2k\pi)$ pour $k$ entier grand.
3. cInès affirme : « à partir de $30$ heures, la température reste comprise entre $15$ °C et $22$ °C ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} \theta_2(t)$, interprète graphiquement le résultat, puis compare ce modèle au premier.

Ex. 36★★★Automatismes : l'exponentielle l'emporte — Détermine la limite, en citant la propriété ou l'opération utilisée.

1. a$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^4}$
2. b$\lim\limits_{x \to +\infty} x\,\mathrm{e}^{x}$
3. c$\lim\limits_{x \to -\infty} x^5\,\mathrm{e}^{x}$
4. d$\lim\limits_{x \to -\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}$
5. e$\lim\limits_{x \to +\infty} x^3\,\mathrm{e}^{-x}$
6. f$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}$
   (pense au taux d'accroissement de $\exp$ en $0$)

Ex. 37★★★Forme indéterminée ou pas ? — Dis d'abord si la limite est une forme indéterminée, puis détermine-la.

1. a$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^3\right)$
2. b$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^3\right)$
3. c$\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2-4)\,\mathrm{e}^{-x}$
4. d$\lim\limits_{x \to -\infty} x\,\mathrm{e}^{2x}$ (tu peux poser $X = 2x$)
5. e$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}$

Ex. 38★★★Un même quotient, deux comportements — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}+x}{\mathrm{e}^{x}-1}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$. Faut-il une croissance comparée ? Justifie.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$.
4. dDonne les équations des asymptotes à $\mathcal{C}$ parallèles aux axes.

Ex. 39★★★L'erreur de Malik — Soit $g(x) = (2x^2 - x)\,\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$. Malik écrit : « Par croissance comparée, $x^n\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$, donc $g$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$. »

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$. Malik a-t-il raison en $+\infty$ ? Justifie.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$ avec une justification correctement rédigée.
3. cLa courbe de $g$ a-t-elle une asymptote horizontale ? Justifie.
4. dDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2x^2 - x}$.

Ex. 40★★★Un antalgique dans le sang — On injecte un antalgique à un patient. La concentration du produit dans le sang, en mg/L, $t$ heures après l'injection, est modélisée par $C(t) = 8t\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$ pour $t \geqslant 0$.

1. aMontre que, pour tout $t \geqslant 0$, $C'(t) = 8(1 - 0{,}4t)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$.
2. bÉtudie les variations de $C$ sur $[0\,;+\infty[$ et donne la valeur exacte de son maximum.
3. cEn posant $X = 0{,}4t$, détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)$. Dresse le tableau de variations de $C$ et interprète la limite pour la courbe.
4. dLina affirme : « La concentration finit par s'annuler : à partir d'un certain instant, il n'y a plus de produit dans le sang. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Un taux d'accroissement déguisé — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(x) = \frac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aEn posant $X = 2x$ et en reconnaissant un taux d'accroissement de $\exp$, détermine $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{2x}$.
2. bDéduis-en $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$. S'agit-il d'une forme indéterminée ? Justifie.
4. dDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$.
5. e$\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote verticale ? Une asymptote horizontale ? Justifie.

Ex. 42★★★Quatre affirmations à trancher — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse.

1. a« Par croissance comparée, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3\,\mathrm{e}^{-x} = 0$. »
2. b« $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}\,\mathrm{e}^{-x} = 0$. »
3. c« Pour toute fonction polynôme $P$, $\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)\,\mathrm{e}^{-x} = 0$. »
4. d« Il existe des réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = (ax + b)\,\mathrm{e}^{x}$ vérifie $f(0) = 2$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. »

Ex. 43★★★Automatismes : limites aux bornes, version bac — Calcule chaque limite. Si tu rencontres une forme indéterminée, nomme-la avant de la lever.

Ex. 44★★★Lire un tableau de variations — Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ :

1. aDonne $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$, puis interprète graphiquement.
2. bDonne les limites de $f$ en $-2$ à gauche et à droite. Qu'en déduis-tu pour la courbe ?
3. cNadia affirme : « La droite $x = 1$ est asymptote verticale, car $f$ change de sens de variation en $1$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dSur $]-\infty\,;-2[$, la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de la droite d'équation $y = 2$ ? Justifie.
5. eSur $[1\,;+\infty[$, la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de la droite d'équation $y = 2$ ? Justifie.
6. fDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{f(x)-2}$.

Ex. 45★★★Extrait de bac : une fonction rationnelle — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$.

1. aDétermine les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. La courbe admet-elle une asymptote horizontale ? Justifie.
2. bDétermine les limites de $f$ en $1$ à gauche et à droite, puis interprète graphiquement.
3. cMontre que, pour tout $x \neq 1$, $f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.
4. dDresse le tableau de variations complet de $f$, avec les limites aux bornes.

Ex. 46★★★Une population de poissons qui se stabilise — Dans un lac, le nombre de poissons, en milliers, est modélisé par $P(t) = \frac{9\mathrm{e}^{0{,}5t}}{\mathrm{e}^{0{,}5t}+2}$, où $t \geqslant 0$ est le temps en années. On admet que $P$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.

1. aCalcule $P(0)$ et interprète ce résultat dans le contexte.
2. bDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$, puis interprète graphiquement et dans le contexte.
3. cOn note $\ell$ cette limite. Écris $P(t) - \ell$ sous la forme d'un seul quotient, puis déduis-en la position de la courbe par rapport à son asymptote.
4. dUn garde-pêche affirme : « Comme $P$ est croissante, la population dépassera un jour 10 000 poissons. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Extrait de bac : une fonction (ax + b)e^(−x) de bout en bout — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle une asymptote horizontale en $-\infty$ ? Justifie.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ en nommant la forme indéterminée rencontrée, puis interprète graphiquement le résultat.
3. cMontre que, pour tout réel $x$, $f'(x) = (3 - 2x)\mathrm{e}^{-x}$.
4. dDresse le tableau de variations complet de $f$, avec ses limites et la valeur exacte de son maximum.
5. eÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote. La courbe coupe-t-elle cette asymptote ? Justifie.

Ex. 48★★★Une courbe prise entre deux asymptotes — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \frac{4\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$ et interprète graphiquement le résultat.
2. bEn $+\infty$, Tom écrit : « Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$, donc $g(x)$ tend vers $1$. » Explique son erreur, puis détermine la bonne limite et interprète-la.
3. cOn note $\ell$ la limite trouvée en $+\infty$. Écris $g(x) - \ell$ sous la forme d'un seul quotient, puis déduis-en la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote.
4. dÉtudie la position de $\mathcal{C}$ par rapport à son asymptote en $-\infty$.
5. eCalcule $g'(x)$, dresse le tableau de variations complet de $g$, puis donne un encadrement de $g(x)$ valable pour tout réel $x$.

Ex. 49★★★Le coût moyen d'un atelier de bougies — Maëlle fabrique $x$ milliers de bougies ($x > 0$). Le coût total, en milliers d'euros, est $C(x) = 2x + 4 - 4\mathrm{e}^{-x}$. Le coût moyen par bougie, en euros, est $M(x) = \frac{C(x)}{x}$, défini sur $]0\,;+\infty[$.

1. aDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} M(x)$. Interprète ce résultat graphiquement, puis dans le contexte.
2. bNomme la forme indéterminée rencontrée en $0^+$, puis détermine $\lim\limits_{x \to 0^+} M(x)$.
3. cLa courbe de $M$ admet-elle une asymptote verticale ? Justifie.
4. dÉtudie le signe de $M(x) - 2$ sur $]0\,;+\infty[$. Interprète graphiquement, puis pour Maëlle.
5. eOn admet que $M$ est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Dresse son tableau de variations avec limites et déduis-en un encadrement de $M(x)$.