Terminale maths complémentaires / Calcul intégral

Ex. 1★★★Intégrales en ligne par la géométrie — Pour chaque intégrale, vérifie que la fonction est positive sur l'intervalle. Reconnais ensuite la figure et calcule l'intégrale avec sa formule d'aire.

1. a$\displaystyle\int_{-1}^{3} 2{,}5\,\mathrm{d}x$
2. b$\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{x}{3}\,\mathrm{d}x$
3. c$\displaystyle\int_{2}^{5} (3x - 1)\,\mathrm{d}x$
4. d$\displaystyle\int_{-2}^{1} (4 - x)\,\mathrm{d}x$
5. e$\displaystyle\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,\mathrm{d}x$ (le point $M(x\,;y)$ de la courbe vérifie $x^2 + y^2 = 4$)

Ex. 2★★★Bornes, unités et domaine — Réponds à chaque question en une ou deux lignes, sans chercher de primitive.

1. aCalcule $\displaystyle\int_{4}^{4} (x^2 + 7)\,\mathrm{d}x$.
2. bCalcule $\displaystyle\int_{5}^{1} 2\,\mathrm{d}x$.
3. cCalcule $\displaystyle\int_{3}^{0} (x + 2)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'un trapèze.
4. dUne unité vaut 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée. Donne en cm² l'aire du domaine sous la courbe de $f(x) = 2x + 1$ entre $x = 0$ et $x = 5$.
5. eDécris précisément le domaine dont l'aire, en u.a., vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$.

Ex. 3★★★La fonction |x − 2| en deux morceaux — On considère la fonction $f$ définie sur $[-1\,;4]$ par $f(x) = |x - 2|$.

1. aÉcris $f(x)$ sans valeur absolue sur $[-1\,;2]$, puis sur $[2\,;4]$.
2. bJustifie que $f$ est positive, puis décris précisément le domaine $\mathcal{D}$ dont l'aire vaut $\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.
3. cDécoupe $\mathcal{D}$ en deux triangles et calcule $\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.
4. dRetrouve l'aire du premier triangle en calculant $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une primitive.
5. eDétermine le réel $c$ de $[2\,;4]$ tel que $\displaystyle\int_{2}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}$.

Ex. 4★★★Repère l'erreur de Malik — Unité graphique : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. Pour $g(x) = 3x + 2$ sur $[1\,;5]$, Malik écrit : « Le domaine est un trapèze de bases $g(1) = 5$ et $g(5) = 17$, et de hauteur $17$. Donc $\displaystyle\int_{1}^{5} g(x)\,\mathrm{d}x = \frac{5+17}{2} \times 17 = 187$. Comme $1$ u.a. $= 2 + 1 = 3$ cm², l'aire vaut $561$. »

1. aJustifie que $g$ est positive sur $[1\,;5]$ et que l'intégrale représente bien une aire.
2. bRepère l'erreur dans le calcul de l'intégrale, puis corrige-la.
3. cRepère les deux erreurs de la conversion, puis donne l'aire du domaine en cm².
4. dRetrouve la valeur de l'intégrale à l'aide d'une primitive de $g$.

Ex. 5★★★Vrai ou faux sur l'aire sous la courbe — Vrai ou faux ? Justifie chaque affirmation.

1. a$\displaystyle\int_{0}^{2} (x - 3)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, en u.a., du domaine compris entre la droite $y = x - 3$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
2. bL'aire du domaine compris entre la droite $y = x + 3$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$ vaut $\frac{4 \times 7}{2} = 14$ u.a.
3. cSi $1$ u.a. $= 2$ cm², alors $\displaystyle\int_{0}^{3} 4\,\mathrm{d}x$ représente une aire de $24$ cm².
4. dL'aire du domaine sous la courbe de $h(x) = 6 - x$, entre $x = 0$ et $x = 6$, vaut $36$ u.a.
5. eSans calcul, on peut affirmer que $\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x \geqslant 2$.

Ex. 6★★★Le panneau décoratif de Lucie — Lucie trace le patron d'un panneau dans un repère orthogonal. Unité graphique : 1 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnées. Sur $[0\,;7]$, on pose $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ si $0 \leqslant x \leqslant 4$ et $f(x) = 3$ si $4 < x \leqslant 7$. Le panneau est le domaine $D$ compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 7$.

1. aVérifie que $f$ est continue et positive sur $[0\,;7]$. Explique pourquoi l'aire de $D$, en u.a., est égale à $\displaystyle\int_{0}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x$.
2. bCalcule $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis $\displaystyle\int_{4}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x$, en reconnaissant chaque fois une figure.
3. cDéduis-en l'aire de $D$ en u.a., puis en cm².
4. dLucie veut couper $D$ en deux parties de même aire avec la droite d'équation $x = a$. Justifie que $a \in [4\,;7]$, puis détermine $a$.
5. eSon frère Nolan écrit : « $\displaystyle\int_{7}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = 17$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Le sticker en forme de lune de Théo — Théo dessine un sticker en forme de lune. Pour $x \in [0\,;4]$, on pose $h(x) = \sqrt{16 - x^2}$ et $g(x) = 4 - x$. Le sticker est le domaine $S$ compris entre les courbes de $h$ et de $g$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$. Unité graphique : $1{,}5$ cm sur chaque axe. Donne les valeurs exactes, puis arrondies au centième.

1. aMontre que la courbe de $h$ est un quart de cercle. Précise son centre et son rayon.
2. bDéduis-en la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{4} h(x)\,\mathrm{d}x$. Calcule ensuite $\displaystyle\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x$ avec une formule d'aire.
3. cMontre que $0 \leqslant g(x) \leqslant h(x)$ pour tout $x \in [0\,;4]$. Tu pourras calculer $h(x)^2 - g(x)^2$.
4. dDéduis-en l'aire de $S$ en u.a., puis en cm².

Ex. 8★★★Automatismes : polynômes, puissances et inverse — Calcule chaque intégrale. Écris le crochet complet, puis donne la valeur exacte.

Ex. 9★★★Automatismes : exponentielles, formes u′/u et u′eᵘ — Pour chaque intégrale, écris une primitive et vérifie-la en dérivant. Calcule ensuite la valeur exacte, puis l'arrondi au centième.

Ex. 10★★★Les calculs de Léna — Léna a calculé les intégrales ci-dessous. Pour chaque calcul, dis s'il est juste. S'il est faux, nomme l'erreur et corrige le calcul.

1. aLéna écrit : $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 + x\right]_{1}^{3} = (1 + 1) - (9 + 3) = -10$. Juste ou faux ?
2. bLéna écrit : $\displaystyle\int_{0}^{1} 6x^2\,\mathrm{d}x = \left[12x\right]_{0}^{1} = 12$. Juste ou faux ?
3. cLéna écrit : $\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} 2e^{x}\,\mathrm{d}x = \left[2e^{x}\right]_{0}^{\ln 3} = 6 - 0 = 6$. Juste ou faux ?
4. dLéna écrit : $\displaystyle\int_{1}^{2} 3x^2\,\mathrm{d}x = 3 \times 2^2 - 3 \times 1^2 = 9$. Juste ou faux ?
5. eLéna écrit : $\displaystyle\int_{2}^{4} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2$. Juste ou faux ?

Ex. 11★★★Vrai ou faux : une fonction définie par une intégrale — Pour $x > 0$, on pose $G(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} \left(4t - \frac{2}{t}\right)\mathrm{d}t$. Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. aAffirmation : « $G(1) = f(1)$, où $f(t) = 4t - \frac{2}{t}$. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. bAffirmation : « Pour tout $x > 0$, $G'(x) = 4x - \frac{2}{x}$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cAffirmation : « Pour tout $x > 0$, $G(x) = 2x^2 - 2\ln x$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dAffirmation : « $G$ est croissante sur $[1\,;+\infty[$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eAffirmation : « $G(e) = 2e^2 - 4$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 12★★★Pomper l'eau d'un parking à Albi — À Albi, une pompe vide un parking inondé. $t$ heures après le début du pompage, le débit est $d(t) = 20(t + 1)e^{-0{,}5t}$, en m³ par heure, pour $t \in [0\,;6]$. Le volume pompé entre $t = a$ et $t = b$ est $\displaystyle\int_a^b d(t)\,\mathrm{d}t$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aMontre que $F(t) = (-40t - 120)e^{-0{,}5t}$ est une primitive de $d$ sur $[0\,;6]$.
2. bCalcule le volume d'eau pompé pendant les $4$ premières heures.
3. cLe parking contenait $100$ m³ d'eau. Yanis affirme que $6$ heures de pompage suffisent pour le vider. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 13★★★Choisir la borne d'une intégrale — Sur $[0\,;+\infty[$, on considère $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$. Pour un réel $a > 0$, on note $I(a) = \displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième quand on les demande.

1. aÉcris $f(x)$ sous la forme $k \times \frac{u'(x)}{u(x)}$ en précisant $k$ et $u$. Déduis-en une primitive $F$ de $f$ sur $[0\,;+\infty[$, puis vérifie-la en dérivant.
2. bCalcule $I(a)$ en fonction de $a$. Écris le crochet complet.
3. cDétermine la valeur exacte du réel $a > 0$ tel que $I(a) = 4$, puis son arrondi au centième.
4. dTom écrit : « $I(1) = f(1) - f(0) = 2 - 0 = 2$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis donne la valeur exacte de $I(1)$ et son arrondi au centième.

Ex. 14★★★Le départ d'Inès au vélodrome de Roubaix — Au vélodrome de Roubaix, Inès part de l'arrêt. $t$ secondes après le départ, sa vitesse est $v(t) = 12 - 12e^{-2t}$, en m/s, pour $t \in [0\,;10]$. La distance parcourue entre les instants $t_1$ et $t_2$ est $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,\mathrm{d}t$, en mètres. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aJustifie que $v(t) \geqslant 0$ sur $[0\,;10]$. Donne une primitive $V$ de $v$ et vérifie-la en dérivant.
2. bCalcule la distance parcourue par Inès pendant les 5 premières secondes.
3. cPour la distance parcourue entre $t = 1$ et $t = 3$, Hugo calcule $V(1) - V(3)$ et trouve un nombre négatif. Explique son erreur, puis corrige son calcul.
4. dCalcule la vitesse moyenne $\mu$ d'Inès sur $[0\,;10]$, puis interprète le résultat.

Ex. 15★★★Automatismes : Chasles et linéarité — $f$ et $g$ sont continues sur $[0\,;3]$. On sait que $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = 2$, $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = -5$ et $\displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = 4$. Calcule chaque intégrale.

1. a$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$
2. b$\displaystyle\int_{3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$
3. c$\displaystyle\int_{3}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$
4. d$\displaystyle\int_{0}^{3} \big(2f(x) + 3g(x)\big)\,\mathrm{d}x$
5. e$\displaystyle\int_{0}^{3} \big(f(x) - 2g(x) + 1\big)\,\mathrm{d}x$
6. f$\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{3}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$

Ex. 16★★★Automatismes : intégrales de signe quelconque — Calcule chaque intégrale (valeur exacte).

Ex. 17★★★Repérer l'erreur de Malo — Soit $g(x) = x^2 - 3x$ sur $[0\,;4]$. On cherche l'aire du domaine compris entre la courbe de $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$. Malo écrit : « $\displaystyle\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{8}{3}$, donc l'aire vaut $\frac{8}{3}$ u.a. »

1. aVérifie le calcul de $\displaystyle\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x$ fait par Malo.
2. bÉtudie le signe de $g(x)$ sur $[0\,;4]$.
3. cExplique pourquoi la conclusion de Malo est fausse.
4. dCalcule $\displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{3}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x$.
5. eDéduis-en l'aire exacte du domaine, puis son arrondi au centième.

Ex. 18★★★Vrai ou faux : signe et règles de calcul — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. aSoit $h(x) = -x^2 - 1$. L'aire du domaine compris entre la courbe de $h$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{3} h(x)\,\mathrm{d}x$.
2. bSans calcul : $\displaystyle\int_{2}^{-1} (x^2 + 2)\,\mathrm{d}x$ est négative.
3. c$\displaystyle\int_{0}^{1} x \times x\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{d}x \times \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{d}x$.
4. dSi $f$ est continue et $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$, alors $f$ est nulle sur $[-1\,;1]$.
5. eSans calcul : $\displaystyle\int_{1}^{2} \ln x\,\mathrm{d}x \geqslant 0$.

Ex. 19★★★Fonction définie par morceaux — Sur $[0\,;5]$, $f(x) = 2x - 4$ si $x \in [0\,;3]$ et $f(x) = 5 - x$ si $x \in [3\,;5]$. Unité graphique : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée. On note $\mathcal{D}$ le domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 5$.

1. aVérifie que les deux formules donnent la même valeur en $3$, puis calcule $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$.
2. bDéduis-en $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$. Est-ce l'aire de $\mathcal{D}$ ? Justifie.
3. cÉtudie le signe de $f$ sur $[0\,;5]$, puis calcule l'aire de $\mathcal{D}$ en u.a.
4. dConvertis l'aire de $\mathcal{D}$ en cm².

Ex. 20★★★Une vanne qui remplit et vide une citerne — À Rodez, Noé surveille une citerne agricole. Entre $t = 0$ et $t = 5$ (en heures), le débit de la vanne est $d(t) = 3t^2 - 18t + 24$, en m³/h. Quand $d(t) > 0$, l'eau entre dans la citerne ; quand $d(t) < 0$, elle sort. La variation du volume d'eau entre les instants $a$ et $b$ est $\displaystyle\int_{a}^{b} d(t)\,\mathrm{d}t$, en m³. À $t = 0$, la citerne contient 50 m³.

1. aVérifie que $d(t) = 3(t - 2)(t - 4)$, puis dresse le tableau de signes de $d$ sur $[0\,;5]$. Indique quand la citerne se remplit et quand elle se vide.
2. bSans calcul, justifie le signe de $\displaystyle\int_{2}^{4} d(t)\,\mathrm{d}t$ et celui de $\displaystyle\int_{4}^{2} d(t)\,\mathrm{d}t$.
3. cCalcule $\displaystyle\int_{0}^{5} d(t)\,\mathrm{d}t$. Déduis-en le volume de la citerne à $t = 5$.
4. dCalcule le volume total d'eau passé par la vanne entre $t = 0$ et $t = 5$ (entrées + sorties). Explique pourquoi on ne retrouve pas le résultat précédent.

Ex. 21★★★Aire, linéarité et le produit de Léna — Soit $f(x) = 1 - \frac{2}{x}$ sur $[1\,;4]$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe et $\mathcal{D}$ le domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$. Unité graphique : 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aÉcris $f(x)$ sous la forme d'un seul quotient, puis étudie le signe de $f$ sur $[1\,;4]$.
2. bMontre que $F(x) = x - 2\ln x$ est une primitive de $f$ sur $[1\,;4]$. Calcule ensuite $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.
3. cDéduis-en $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis calcule l'aire de $\mathcal{D}$ en u.a. et en cm².
4. dPar linéarité, calcule $\displaystyle\int_{1}^{4} \big(3f(x) - 2x\big)\,\mathrm{d}x$.
5. eLéna affirme : « $\displaystyle\int_{1}^{4} x f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{4} x\,\mathrm{d}x \times \int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ ». A-t-elle raison ? Justifie par le calcul.

Ex. 22★★★Valeurs moyennes en ligne — Calcule la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle donné. Donne la valeur exacte.

1. a$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $[1\,;9]$.
2. b$f(x)=4x+1$ sur $[1\,;4]$.
3. c$f(x)=3x^2-2x$ sur $[2\,;5]$.
4. d$f(x)=e^{2x}$ sur $[0\,;2]$.
5. e$f(x)=\dfrac{2}{x}$ sur $[1\,;e]$.

Ex. 23★★★Encadrer ou donner un signe sans calculer — Ne calcule aucune intégrale. Utilise le sens de variation ou le signe de la fonction sur l'intervalle.

1. aEncadre $I=\displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x$.
2. bEncadre $I=\displaystyle\int_{2}^{6} \dfrac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$.
3. cDonne le signe de $J=\displaystyle\int_{1}^{5} (x-6)e^{x}\,\mathrm{d}x$.
4. dDonne le signe de $K=\displaystyle\int_{4}^{1} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$. Attention à l'ordre des bornes.
5. eCompare $A=\displaystyle\int_{0}^{1} x^3\,\mathrm{d}x$ et $B=\displaystyle\int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{d}x$.

Ex. 24★★★Vrai ou faux sur la positivité et la moyenne — $f$ désigne une fonction continue sur l'intervalle considéré. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. aSi $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0$, alors $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in[-1\,;2]$.
2. bLa valeur moyenne de $x\mapsto x^3$ sur $[0\,;2]$ vaut $\frac{0^3+2^3}{2}=4$.
3. cSi $2\leqslant f(x)\leqslant 5$ pour tout $x\in[1\,;3]$, alors $4\leqslant\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant 10$.
4. dLa valeur moyenne de $g(x)=6x+1$ sur $[0\,;4]$ est égale à $g(2)$.
5. eSi $f$ a pour minimum $-1$ et pour maximum $3$ sur $[0\,;5]$, sa valeur moyenne sur $[0\,;5]$ peut valoir $4$.

Ex. 25★★★Vitesse moyenne d'une cycliste : deux erreurs — Près d'Annecy, la vitesse d'une cycliste entre $t=1$ et $t=3$ (en heures) vaut $v(t)=-3t^2+12t+20$, en km/h.

1. aCalcule $\displaystyle\int_{1}^{3} v(t)\,\mathrm{d}t$ et dis ce que représente ce nombre.
2. bNoah écrit : $\mu=\frac{1}{3}\displaystyle\int_{1}^{3} v(t)\,\mathrm{d}t$. Trouve son erreur, puis calcule la vitesse moyenne.
3. cLéna propose plutôt $\frac{v(1)+v(3)}{2}$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÉtudie les variations de $v$ sur $[1\,;3]$. Vérifie que la vitesse moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de $v$.

Ex. 26★★★Le café de Camille — À Lyon, Camille se sert un café. Sa température vaut $T(t)=20+70e^{-0{,}1t}$, en °C, où $t\in[0\,;30]$ est le temps en minutes. Donne la valeur exacte, puis un arrondi.

1. aMontre que $F(t)=20t-700e^{-0{,}1t}$ est une primitive de $T$ sur $[0\,;30]$.
2. bCalcule la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{30} T(t)\,\mathrm{d}t$, puis arrondis-la au centième.
3. cDéduis-en la température moyenne du café pendant les $30$ premières minutes, arrondie au dixième.
4. dDans un mug isotherme, la température $U(t)$ vérifie $T(t)\leqslant U(t)$ sur $[0\,;30]$. Compare les deux températures moyennes sans calcul.

Ex. 27★★★Énergie consommée par un atelier à Rennes — À Rennes, la puissance électrique consommée par un atelier est $P(t)=2+\frac{6t}{t^2+4}$, en kW, où $t\in[0\,;6]$ est le temps en heures après l'ouverture. L'énergie consommée, en kWh, est $E=\displaystyle\int_{0}^{6} P(t)\,\mathrm{d}t$. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aMontre que $P'(t)=\frac{6(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$, puis dresse le tableau de variations de $P$ sur $[0\,;6]$.
2. bSans calculer $E$, déduis-en un encadrement de $E$.
3. cDétermine une primitive de $P$ sur $[0\,;6]$, puis calcule $E$.
4. dCalcule la puissance moyenne $\mu$ de l'atelier sur ces six heures. Vérifie la cohérence de ton résultat avec le tableau de variations.
5. eCalcule $\displaystyle\int_{0}^{6}\big(P(t)-3\big)\,\mathrm{d}t$. Hugo en déduit que $P(t)\geqslant 3$ sur $[0\,;6]$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 28★★★Serre d'Avignon : comparer, calculer, interpréter — À Avignon, la température dans une serre est modélisée par $T(t)=-0{,}1t^2+2{,}4t+6$, en °C, où $t\in[6\,;18]$ est l'heure de la journée. Dehors, la température vaut $E(t)=0{,}5t+6$. On note $I=\displaystyle\int_{6}^{18} T(t)\,\mathrm{d}t$.

1. aMontre que $T(t)-E(t)=0{,}1t(19-t)$, puis que $T(t)\geqslant E(t)$ pour tout $t\in[6\,;18]$.
2. bSans calculer $I$, déduis-en un minorant de $I$.
3. cCalcule la valeur exacte de $I$.
4. dCalcule la température moyenne $\mu$ de la serre entre 6 h et 18 h.
5. eCalcule $\frac{1}{12}\displaystyle\int_{6}^{18}\big(T(t)-E(t)\big)\,\mathrm{d}t$ à l'aide des questions précédentes. Interprète ce nombre.

Ex. 29★★★Aire entre deux courbes, bornes données — Pour chaque cas, justifie le signe de $f(x)-g(x)$ sur l'intervalle. Calcule ensuite, en u.a., l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$, où $a$ et $b$ sont les bornes de l'intervalle.

1. a$f(x)=x^2+3$ et $g(x)=x+1$ sur $[0\,;2]$.
2. b$f(x)=e^{x}$ et $g(x)=-x$ sur $[0\,;1]$.
3. c$f(x)=1+\dfrac{2}{x}$ et $g(x)=1$ sur $[1\,;4]$.
4. d$f(x)=-1-x^2$ et $g(x)=-4$ sur $[-1\,;1]$
   (les deux courbes sont sous l'axe des abscisses).

Ex. 30★★★Points d'intersection, puis aire — Pour chaque cas, cherche les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ en résolvant $f(x)=g(x)$. Étudie le signe de $f(x)-g(x)$ entre ces abscisses, puis calcule en u.a. l'aire du domaine délimité par les deux courbes.

1. a$f(x)=x^2$ et $g(x)=5x$.
2. b$f(x)=x^2-3$ et $g(x)=2x$.
3. c$f(x)=x^3$ et $g(x)=x$, pour $x\geqslant 0$.
4. d$f(x)=4-x^2$ et $g(x)=x^2-4$.

Ex. 31★★★L'erreur de Malo : des courbes qui se croisent — On pose $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$. Malo cherche l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. Il calcule $\displaystyle\int_{0}^{2}(x-x^2)\,\mathrm{d}x$.

1. aCalcule $\displaystyle\int_{0}^{2}(x-x^2)\,\mathrm{d}x$. Explique pourquoi ce nombre ne peut pas être une aire.
2. bÉtudie le signe de $x-x^2$ sur $[0\,;2]$. Que peux-tu en déduire pour les deux courbes ?
3. cMalo affirme : « L'aire est la valeur absolue de mon résultat. » A-t-il raison ? Justifie en calculant l'aire avec la relation de Chasles.
4. dL'unité graphique est de 2 cm en abscisse et de 3 cm en ordonnée. Donne l'aire du domaine en cm².

Ex. 32★★★Entre une courbe et sa tangente — On pose $f(x)=x^3$ sur $[0\,;1]$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$. L'unité graphique est de 4 cm sur chaque axe.

1. aDétermine une équation de la tangente $T$.
2. bMontre que, pour tout réel $x$, $f(x)$ moins l'ordonnée du point de $T$ d'abscisse $x$ vaut $(x-1)^2(x+2)$. Déduis-en la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $[0\,;1]$.
3. cCalcule en u.a. l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $T$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
4. dConvertis cette aire en cm².

Ex. 33★★★Salaires à Rennes : courbe de Lorenz et indice de Gini — Dans une entreprise de Rennes, les $x\times 100\,\%$ de salariés les moins payés perçoivent $L(x)\times 100\,\%$ de la masse salariale. On pose $L(x)=0{,}4x+0{,}6x^2$ sur $[0\,;1]$. L'indice de Gini est $G=2\times$ l'aire comprise entre la droite d'équation $y=x$ et la courbe de $L$ sur $[0\,;1]$.

1. aVérifie que $L(0)=0$ et $L(1)=1$, puis que $L(x)\leqslant x$ pour tout $x\in[0\,;1]$.
2. bCalcule en u.a. l'aire comprise entre la droite d'équation $y=x$ et la courbe de $L$ sur $[0\,;1]$.
3. cDéduis-en l'indice de Gini $G$ de cette entreprise.
4. dDans une entreprise de Dijon, la courbe de Lorenz est donnée par $L_2(x)=x^4$. Quelle entreprise a la répartition la plus égalitaire ? Justifie.

Ex. 34★★★Le logo du club d'aviron de Mâcon — Pour le logo d'un club d'aviron de Mâcon, on pose $f(x)=x^3-6x^2+9x$ et $g(x)=x$ sur $[0\,;4]$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$ et $D$ la droite d'équation $y=x$. Le logo est le domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ et $D$ sur $[0\,;4]$. L'unité graphique est de 2 cm sur chaque axe.

1. aMontre que $f(x)-g(x)=x(x-2)(x-4)$. Déduis-en les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $D$.
2. bÉtudie le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[0\,;4]$, puis précise la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $D$.
3. cYanis calcule $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(g(x)-f(x)\big)\,\mathrm{d}x$ pour obtenir l'aire de la partie du logo située sur $[0\,;2]$. Calcule cette intégrale, puis explique son erreur.
4. dCalcule l'aire du logo en u.a., puis en cm².

Ex. 35★★★Deux coopératives du Gers : laquelle est la plus égalitaire ? — La répartition des revenus est modélisée sur $[0\,;1]$ par $L_A(x)=\frac{e^x-1}{e-1}$ dans une coopérative d'Auch, et par $L_B(x)=0{,}5x^2+0{,}5x$ dans une coopérative de Condom. L'indice de Gini $G$ vaut le double de l'aire du domaine compris entre la droite d'équation $y=x$ et la courbe de Lorenz. Plus $G$ est proche de $0$, plus la répartition est égalitaire.

1. aVérifie que $L_A(0)=0$ et $L_A(1)=1$, puis que $L_A$ est croissante sur $[0\,;1]$.
2. bOn pose $h(x)=x-L_A(x)$. Étudie les variations de $h$ sur $[0\,;1]$, puis déduis-en que $L_A(x)\leqslant x$ sur $[0\,;1]$.
3. cCalcule la valeur exacte de l'indice de Gini $G_A$ de la coopérative d'Auch, puis donne son arrondi au millième.
4. dJustifie que $L_B(x)\leqslant x$ sur $[0\,;1]$. Calcule $G_B$, puis dis quelle coopérative a la répartition la plus égalitaire.

Ex. 36★★★Le pas et les abscisses — Automatismes. On partage l'intervalle en $n$ rectangles de même largeur $h$.

1. aSur $[0\,;3]$ avec $n = 6$, calcule le pas $h$.
2. bSur $[-1\,;1]$ avec $n = 8$, calcule le pas $h$.
3. cSur $[2\,;5]$, on veut un pas $h = 0{,}25$ : combien de rectangles $n$ faut-il ?
4. dSur $[0\,;2]$ avec $n = 4$, écris les abscisses utilisées par les rectangles à gauche.
5. eMême découpage de $[0\,;2]$ avec $n = 4$ : écris les abscisses utilisées par les rectangles à droite.
6. fSur $[1\,;2]$ avec $n = 10$, combien de termes contient $R_g$ ? Quelle est la dernière abscisse utilisée ?

Ex. 37★★★Sommes de rectangles et encadrement — Automatismes. On note $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = 10 - x^2$. Donne des valeurs exactes.

1. aPour $f$ sur $[0\,;2]$ avec $n = 2$, calcule $R_g$ et $R_d$.
2. bJustifie que $f$ est croissante sur $[0\,;2]$ et déduis-en un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$.
3. cPour $g$ sur $[1\,;3]$ avec $n = 4$, calcule $R_d$.
4. dPour $g$, $R_g$ et $R_d$ n'ont que deux termes différents. Déduis $R_g$ de $R_d$ sans tout recalculer.
5. eJustifie que $g$ est décroissante sur $[1\,;3]$ et déduis-en un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^{3} (10 - x^2)\,\mathrm{d}x$.
6. fPour $x \mapsto e^x$ sur $[0\,;1]$ avec $n = 10$, calcule l'amplitude de l'encadrement
   (valeur exacte puis arrondi au centième).

Ex. 38★★★L'erreur de Léo — Soit $f(x) = \frac{12}{x+1}$ sur $[0\,;2]$, avec $n = 4$. Léo a calculé : $f(0) = 12$, $f(0{,}5) = 8$, $f(1) = 6$, $f(1{,}5) = 4{,}8$ et $f(2) = 4$.

1. aJustifie que $f$ est décroissante sur $[0\,;2]$.
2. bLéo écrit : « $R_g = 0{,}5 \times (12 + 8 + 6 + 4{,}8 + 4) = 17{,}4$ ». Repère son erreur et calcule la bonne valeur de $R_g$.
3. cCalcule $R_d$.
4. dLéo conclut : « $R_g$ minore toujours l'intégrale ». A-t-il raison ici ? Justifie, puis encadre $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$.
5. eCalcule la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis son arrondi au centième, et vérifie qu'elle respecte ton encadrement.

Ex. 39★★★Le programme de Zoé à corriger — Zoé veut une fonction Python qui renvoie $R_d$ pour une fonction $f$ sur $[a\,;b]$ avec $n$ rectangles. Elle écrit : def rectangles_droite(f, a, b, n): h = (b - a) / n for k in range(n): s = s + f(a + k*h) return s

1. aÀ l'exécution, Python signale une erreur sur la variable s. Quelle ligne manque, et où faut-il la placer ?
2. bQuelles valeurs prend k avec range(n), et quelles abscisses sont alors utilisées ? Quelle méthode obtient-on ? Corrige le programme pour obtenir $R_d$.
3. cLa valeur renvoyée par return s n'est pas $R_d$. Corrige cette ligne et explique pourquoi.
4. dÉcris la fonction Python f qui code $f(x) = x^2$, puis l'instruction qui affiche $R_d$ sur $[1\,;3]$ avec $4$ rectangles.
5. eCalcule à la main la valeur affichée. Est-ce une valeur approchée par défaut ou par excès de $\displaystyle\int_{1}^{3} x^2\,\mathrm{d}x$ ? Justifie.

Ex. 40★★★Distance d'une moto au démarrage — Une moto démarre. Sa vitesse, en m/s, est $v(t) = 20 - 16e^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;4]$, en secondes. La distance parcourue, en mètres, vaut $\displaystyle\int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t$.

1. aJustifie que $v$ est croissante sur $[0\,;4]$.
2. bAvec $n = 4$, complète le tableau (arrondis au centième) :

   k	t_k	v(t_k)
   0	0	4
   1	1	…
   2	2	…
   3	3	…
   4	4	…

3. cCalcule $R_g$ et $R_d$, puis encadre la distance parcourue.
4. dCalcule l'amplitude de cet encadrement avec la formule du cours et compare-la à $R_d - R_g$. Combien de rectangles faut-il pour la diviser par $10$ ?
5. eOn admet que $V(t) = 20t + 32e^{-0{,}5t}$ est une primitive de $v$. Vérifie-le, puis calcule la distance exacte et son arrondi au centième.

Ex. 41★★★Exposition à un médicament : quelle précision ? — La concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, est $C(t) = 8e^{-0{,}2t}$, avec $t \in [0\,;8]$ en heures. L'exposition est $I = \displaystyle\int_{0}^{8} C(t)\,\mathrm{d}t$, en mg·h/L. Inès l'approche avec $n$ rectangles. Donne les valeurs exactes, puis les arrondis au centième.

1. aJustifie que $C$ est décroissante sur $[0\,;10]$. Laquelle des deux sommes $R_g$ et $R_d$ minore $I$ ?
2. bAvec $n = 4$, calcule $R_g$ et $R_d$. Donne ensuite un encadrement de $I$.
3. cPour $n$ quelconque, explique pourquoi $R_g - R_d = h\big(C(0) - C(8)\big)$, puis exprime cette amplitude en fonction de $n$.
4. dTrouve le plus petit entier $n$ tel que l'amplitude de l'encadrement soit inférieure ou égale à $0{,}1$.
5. eCalcule la valeur exacte de $I$. Vérifie qu'elle se trouve bien dans l'encadrement obtenu avec $n = 4$.

Ex. 42★★★Le programme de Mathis passé au crible — Soit $f(x) = x^3 + 1$ sur $[0\,;2]$. Mathis veut une fonction Python qui renvoie la somme $R_g$ des rectangles à gauche. Il écrit : def f(x): return x**3 + 1 def rect(f, a, b, n): h = (b - a) / n s = 0 for k in range(n + 1): x = a + k*h s = s + h*f(x) return s

1. aJustifie que $f$ est croissante sur $[0\,;2]$. Dans quel ordre se rangent alors $R_g$, $R_d$ et $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
2. bOn lance rect(f, 0, 2, 4). Donne les valeurs prises par k et le nombre renvoyé. Explique pourquoi ce n'est ni $R_g$ ni $R_d$.
3. cCorrige une ligne pour que la fonction renvoie $R_g$. Donne ensuite la modification qui fait renvoyer $R_d$.
4. dLucas affirme : « Multiplier par h dans la boucle donne un mauvais résultat ; il faut le faire après la boucle. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. ePour $n = 4$, calcule à la main $R_g$ et $R_d$, puis la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$. Vérifie l'encadrement.