Terminale spécialité / Intégrales

Ex. 1★★★Des figures connues, sans primitive — Chaque fonction est positive sur l'intervalle d'intégration. Reconnais la figure (rectangle, triangle, trapèze, demi-disque) et calcule l'intégrale avec une formule d'aire, sans primitive.

Ex. 2★★★Des u.a. aux cm² — Dans chaque cas, la fonction est positive sur l'intervalle. Calcule l'intégrale en u.a. avec une primitive, puis convertis l'aire en cm² avec les unités du repère données.

1. a$\displaystyle\int_{0}^{2} 3x^2\,\mathrm{d}x$, avec des unités de $1{,}5$ cm en abscisse et $3$ cm en ordonnée.
2. b$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$, avec des unités de $4$ cm en abscisse et $2$ cm en ordonnée.
3. c$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$, avec des unités de $1$ cm en abscisse et $5$ cm en ordonnée.
4. d$\displaystyle\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$, avec des unités de $0{,}5$ cm en abscisse et $4$ cm en ordonnée.

Ex. 3★★★Intégrale ou aire ? Vrai ou faux — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul ou un argument.

1. aLéna affirme : « $\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2-4x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, en u.a., du domaine compris entre la courbe de $x\mapsto x^2-4x$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$. »
2. bDans un repère d'unités $2$ cm sur chaque axe, un domaine de $3$ u.a. a une aire de $6$ cm².
3. cSi $f$ est continue sur $[1\,;3]$ et $0\leqslant f(x)\leqslant 5$, alors l'aire sous sa courbe entre $x=1$ et $x=3$ vaut au plus $10$ u.a.
4. dMathis écrit : $\displaystyle\int_{0}^{4} (2x+1)\,\mathrm{d}x = x^2 + x$. Corrige si besoin.

Ex. 4★★★Encadrer une aire avec des rectangles — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2]$ par $f(x)=\frac{6}{x+1}$, de courbe $\mathcal{C}_f$. On note $A$ l'aire, en u.a., du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.

1. aJustifie que $f$ est positive et décroissante sur $[0\,;2]$.
2. bOn partage $[0\,;2]$ en $4$ intervalles de largeur $0{,}5$. Calcule la somme $s$ des aires des rectangles de hauteur $f$ au bord droit de chaque intervalle. Explique pourquoi $s \leqslant A$.
3. cCalcule de même la somme $S$ avec les valeurs au bord gauche. Déduis-en un encadrement de $A$.
4. dCalcule la valeur exacte de $A$ avec une primitive, puis un arrondi à $0{,}01$. Vérifie l'encadrement.

Ex. 5★★★Le logo de Maëlys — Maëlys trace un logo dans un repère d'unités $2$ cm en abscisse et $1{,}5$ cm en ordonnée. Le logo est le domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-3$ et $x=5$. On a $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ sur $[-3\,;0]$, $f(x)=3$ sur $[0\,;2]$ et $f(x)=3-\frac{(x-2)^2}{3}$ sur $[2\,;5]$.

1. aJustifie que $f$ est positive sur $[-3\,;5]$.
2. bMontre que, pour $x\in[-3\,;0]$, le point $(x\,;f(x))$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $3$. Déduis-en $\displaystyle\int_{-3}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$ sans primitive.
3. cCalcule $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ puis $\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$.
4. dDonne l'aire du logo en u.a., en valeur exacte.
5. eHugo multiplie cette aire par $2+1{,}5=3{,}5$ pour l'avoir en cm². Corrige son erreur et donne l'aire en cm², exacte puis arrondie à $0{,}01$.

Ex. 6★★★Intégrale et aire d'un trinôme — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;4]$ par $f(x)=3x^2-12x+9$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. On admet que $f(x)=3(x-1)(x-3)$.

1. aÉtudie le signe de $f(x)$ sur $[0\,;4]$.
2. bCalcule $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ et interprète ce nombre comme une aire.
3. cNoah affirme : « L'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=3$ vaut $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$. » A-t-il raison ? Justifie et donne cette aire.
4. dVrai ou faux : « Si $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x=0$, alors $a=b$. » Justifie.
5. eCalcule l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=4$. Compare-la à $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Ex. 7★★★Aire sous la courbe d'une fonction exponentielle — Soit $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-x}$, de courbe $\mathcal{C}_f$. On note $A$ l'aire, en u.a., du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$. Valeurs arrondies à $0{,}01$ :

1. aMontre que $f$ est positive et décroissante sur $[0\,;+\infty[$.
2. bAvec le tableau et des rectangles de largeur $0{,}5$, encadre $A$ par une somme par défaut et une somme par excès.
3. cVérifie que $F(x)=-(x+2)\mathrm{e}^{-x}$ est une primitive de $f$. Déduis-en $A$, exacte puis arrondie à $0{,}001$, et contrôle ton encadrement.
4. dPour $x\geqslant 0$, on pose $G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$. Donne $G(0)$, justifie que $G$ est croissante, puis exprime $G(x)$.
5. eSacha affirme : « Pour $x$ assez grand, l'aire sous $\mathcal{C}_f$ entre $0$ et $x$ dépasse $2$ u.a. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : polynômes et fonctions usuelles — Calcule chaque intégrale et donne sa valeur exacte.

1. a$\displaystyle\int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 3)\,\mathrm{d}x$
2. b$\displaystyle\int_{-2}^{0} (4x^3 + 1)\,\mathrm{d}x$
3. c$\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$
4. d$\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} \sin x\,\mathrm{d}x$
5. e$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{3}{x}\,\mathrm{d}x$
6. f$\displaystyle\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$
7. g$\displaystyle\int_{3}^{1} (2x + 1)\,\mathrm{d}x$

Ex. 9★★★Automatismes : formes composées — Repère la forme ($u'\mathrm{e}^u$, $\frac{u'}{u}$ ou $u'u^n$), puis calcule la valeur exacte de chaque intégrale.

Ex. 10★★★Les deux erreurs de Lucas — Lucas a écrit : $I=\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2-4x)\,\mathrm{d}x=\Big[x^3-2x^2\Big]_{-1}^{2}=8-8-(-1)^3-2\times(-1)^2=-1$, puis $J=\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{3x}\,\mathrm{d}x=\Big[\mathrm{e}^{3x}\Big]_{0}^{1}=\mathrm{e}^3-1$.

1. aVérifie, en dérivant, que $x\mapsto x^3-2x^2$ est une primitive de $x\mapsto 3x^2-4x$ sur $\mathbb{R}$.
2. bRepère l'erreur de Lucas dans le calcul de $I$, puis calcule la valeur exacte de $I$.
3. cDérive $x\mapsto\mathrm{e}^{3x}$. Lucas a-t-il raison d'utiliser cette fonction comme primitive pour calculer $J$ ? Justifie.
4. dCalcule la valeur exacte de $J$, puis donne son arrondi à $0{,}01$.

Ex. 11★★★Une fonction définie par une intégrale — Pour tout réel $x>0$, on pose $F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} \ln t\,\mathrm{d}t$.

1. aDonne $F(1)$ et $F'(x)$ pour $x>0$. Déduis-en le sens de variation de $F$ sur $]0\,;+\infty[$.
2. bOn pose $G(x)=x\ln x-x$. Calcule $G'(x)$, puis déduis-en une expression de $F(x)$ sans intégrale.
3. cCalcule $F(\mathrm{e})$ et $F\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ en valeur exacte, puis donne l'arrondi de $F\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ à $0{,}001$.
4. dMaëlle affirme : « $\displaystyle\int_{1/\mathrm{e}}^{1} \ln t\,\mathrm{d}t=F\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$, donc cette intégrale est positive. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 12★★★Une primitive proposée, deux intégrales et une aire — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1)\,\mathrm{e}^{-x}$ et la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(-2x-3)\,\mathrm{e}^{-x}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ dans un repère orthogonal.

1. aDémontre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. bCalcule la valeur exacte de $I=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis donne son arrondi à $0{,}01$ près.
3. cÉtudie le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$. Déduis-en, sans calcul, le signe de $J=\displaystyle\int_{-2}^{-1/2} f(x)\,\mathrm{d}x$.
4. dCalcule la valeur exacte de $J$ et vérifie ton résultat de la question précédente. Déduis-en $\displaystyle\int_{-1/2}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$.
5. eUnités : $1$ cm en abscisse, $2$ cm en ordonnée. Calcule l'aire, en cm² et arrondie à $0{,}01$ près, du domaine compris entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-2$ et $x=-\frac{1}{2}$.

Ex. 13★★★Chercher une borne — On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ et $h(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}$. Pour tout réel $a>0$, on pose $I(a)=\displaystyle\int_{0}^{a} g(x)\,\mathrm{d}x$ et $K(a)=\displaystyle\int_{0}^{a} h(x)\,\mathrm{d}x$.

1. aRepère la forme de $g$, donne une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ (contrôle-la en dérivant), puis exprime $I(a)$ en fonction de $a$.
2. bDétermine la valeur exacte du réel $a>0$ tel que $I(a)=\ln 10$.
3. cÉcris $h$ sous la forme $\frac{1}{2}\,u'u^{-2}$, déduis-en une primitive de $h$, puis exprime $K(a)$ en fonction de $a$. Calcule $K(1)$.
4. dDémontre que, pour tout réel $a>0$, $0<K(a)<\frac{1}{2}$.
5. eVrai ou faux : « pour tout réel $a>0$, $\displaystyle\int_{-a}^{a} g(x)\,\mathrm{d}x=2\,I(a)$ ». Justifie.

Ex. 14★★★Sinus et cosinus au cube — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin x\times\cos^2 x$.

1. aRepère la forme de $f$ et donne une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$. Contrôle-la en dérivant.
2. bCalcule la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x$.
3. cVérifie que $\sin^3 x=\sin x-\sin x\times\cos^2 x$ pour tout réel $x$, puis déduis-en la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^3 x\,\mathrm{d}x$.
4. dCalcule $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} f(x)\,\mathrm{d}x$.
5. eThéo en conclut que $f$ est nulle sur $[0\,;2\pi]$. A-t-il raison ? Justifie, puis explique le résultat à l'aide de $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Ex. 15★★★Linéarité et Chasles avec des intégrales données — $f$ et $g$ sont continues sur $[-1\,;5]$, avec $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x=4$, $\displaystyle\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x=-2$ et $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=7$. Calcule, ou explique pourquoi c'est impossible.

Ex. 16★★★Découper avec Chasles : valeurs absolues et morceaux — Calcule chaque intégrale en la découpant avec la relation de Chasles.

1. a$\displaystyle\int_{0}^{5} |x-2|\,\mathrm{d}x$
2. b$\displaystyle\int_{-1}^{2} |2x-1|\,\mathrm{d}x$
3. c$\displaystyle\int_{0}^{4} \big(x+|x-2|\big)\,\mathrm{d}x$
4. d$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$, où $f(x)=x^2$ si $x\leqslant 1$ et $f(x)=2x-1$ si $x>1$.
5. e$\displaystyle\int_{0}^{2} |\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}|\,\mathrm{d}x$
   (valeur exacte, puis arrondie au millième)

Ex. 17★★★Encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer — On pose $I=\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$. On ne connaît aucune primitive de $x\mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$.

1. aMontre que pour tout $x\in[0\,;1]$, $\mathrm{e}^{-x}\leqslant \mathrm{e}^{-x^2}\leqslant 1$.
2. bDéduis-en un encadrement de $I$. Donne les bornes exactes, puis arrondies au centième.
3. cTom en conclut que $1-\mathrm{e}^{-1}\leqslant \displaystyle\int_{1}^{0} \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant 1$. Corrige son erreur.
4. dOn admet que $\mathrm{e}^{-x}\leqslant \frac{1}{1+x}$ sur $[0\,;1]$. Ana en déduit que $\mathrm{e}^{-x^2}\leqslant \frac{1}{1+x}$ sur $[0\,;1]$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 18★★★Quand seule la somme se calcule — On pose $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$ et $J=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^2 x\,\mathrm{d}x$. On rappelle que $\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)$.

1. aSans faire de calcul, justifie que $I\geqslant 0$.
2. bCalcule $I+J$.
3. cCalcule $I-J$.
4. dDéduis-en $I$ et $J$, puis la valeur moyenne de $x\mapsto\cos^2 x$ sur $[0\,;\pi]$.
5. eCalcule $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\Big(\cos x+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}x$. Vrai ou faux : $\cos x+\frac{1}{2}\geqslant 0$ sur $[0\,;\pi]$ ? Justifie.

Ex. 19★★★Vrai ou faux sur les propriétés de l'intégrale — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par une démonstration ou par un contre-exemple calculé.

1. a« Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[0\,;1]$, $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x\times\int_{0}^{1} g(x)\,\mathrm{d}x$. »
2. b« $\displaystyle\int_{-2}^{3} x^3\,\mathrm{d}x=0$, car la fonction $x\mapsto x^3$ est impaire. »
3. c« Comme $5$ n'est pas compris entre $1$ et $3$, on ne peut pas écrire $\displaystyle\int_{1}^{3} f=\int_{1}^{5} f+\int_{5}^{3} f$ pour $f$ continue sur $\mathbb{R}$. »
4. d« Sans aucun calcul de primitive, on peut affirmer que $\displaystyle\int_{0}^{1} \big(\sqrt{x}-x\big)\,\mathrm{d}x\geqslant 0$. »
5. e« Si $f$ et $g$ sont continues sur $[0\,;2]$ et $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x$, alors $f\leqslant g$ sur $[0\,;2]$. »

Ex. 20★★★Une suite d'intégrales et sa relation de récurrence — Pour tout entier $n\geqslant 0$, on pose $I_n=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$. On ne cherche pas à calculer $I_0$.

1. aCalcule $I_1$ en reconnaissant une forme $\frac{u'}{u}$.
2. bMontre que pour tout $n\geqslant 0$, $I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}$. Déduis-en la valeur exacte de $I_3$.
3. cMontre que la suite $(I_n)$ est décroissante.
4. dÀ l'aide des deux questions précédentes, montre que pour tout $n\geqslant 2$, $\frac{1}{2(n+1)}\leqslant I_n\leqslant\frac{1}{2(n-1)}$.
5. eDéduis-en la limite de $(I_n)$, puis celle de $(n\,I_n)$.

Ex. 21★★★Une fonction définie par morceaux : intégrale, aire et erreurs — On définit $f$ sur $[0\,;4]$ par $f(x)=x^2$ si $0\leqslant x\leqslant 1$ et $f(x)=\frac{3-x}{2}$ si $1<x\leqslant 4$. La fonction $f$ est continue sur $[0\,;4]$. Le repère est orthogonal : une unité vaut $2$ cm en abscisse et $3$ cm en ordonnée.

1. aCalcule $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ en utilisant la relation de Chasles.
2. bLéa dit : « $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, en u.a., du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$. » Corrige-la, puis calcule cette aire.
3. cConvertis l'aire de la question précédente en cm².
4. dMalik écrit : « Sur $[2\,;3]$, $0\leqslant f(x)\leqslant\frac{1}{2}$, donc $0\leqslant\displaystyle\int_{3}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{2}$. » Corrige son encadrement, puis vérifie-le par le calcul.

Ex. 22★★★Valeurs moyennes en ligne — Calcule la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle donné. Donne la valeur exacte, puis un arrondi à $0{,}01$ si besoin.

1. a$f(x)=3x^2-2x$ sur $[1\,;3]$.
2. b$f(x)=\mathrm{e}^{2x}$ sur $[0\,;\ln 3]$.
3. c$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ sur $[0\,;3]$.
4. d$f(x)=\cos x$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
5. e$f(x)=\dfrac{4}{x^2}$ sur $[1\,;4]$.
6. f$f(x)=x^3$ sur $[0\,;2]$. Calcule ensuite $\frac{f(0)+f(2)}{2}$ et $f(1)$, puis compare-les à $\mu$.

Ex. 23★★★Aires entre deux courbes en ligne — Dans chaque cas, étudie le signe de $f(x)-g(x)$ sur l'intervalle $[a\,;b]$ donné. Calcule ensuite, en u.a., l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

1. a$f(x)=x^2+3$ et $g(x)=2x$ sur $[0\,;3]$.
2. b$f(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $g(x)=-x$ sur $[0\,;2]$.
3. c$f(x)=x$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $[1\,;3]$.
4. d$f(x)=4-x^2$ et $g(x)=x+2$ sur $[-2\,;1]$.
5. e$f(x)=x^3$ et $g(x)=x$ sur $[0\,;1]$.

Ex. 24★★★Température moyenne d'une journée — Au sommet d'une colline, la température (en °C) à l'instant $t$ (en heures, $t\in[0\,;24]$) est donnée par $T(t)=6+1{,}5t-\frac{t^2}{16}$.

1. aCalcule $T(0)$, $T(12)$ et $T(24)$.
2. bÉtudie les variations de $T$ sur $[0\,;24]$. Donne ensuite son minimum et son maximum.
3. cLéa affirme : « La température moyenne de la journée vaut $\frac{T(0)+T(24)}{2}$. » Pour Ilyes, c'est $T(12)$. Calcule cette température moyenne, puis dis qui a raison. Justifie.
4. dCalcule la température moyenne entre 8 h et 16 h. Arrondis à $0{,}01$ °C.

Ex. 25★★★Une courbe et sa tangente qui se croisent — Soit $f(x)=x^3-3x^2+4$ sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère orthogonal. Unités : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée. On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.

1. aDétermine une équation de $T$.
2. bDéveloppe $(x-1)^3$. Déduis-en la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ sur $[0\,;2]$.
3. cSami intègre « $f$ moins la tangente » sur $[0\,;2]$. Il trouve $0$ et en conclut que l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $T$ est nulle. Vérifie son calcul, puis explique son erreur.
4. dCalcule l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $T$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$, en u.a. puis en cm².

Ex. 26★★★Logarithme et son carré — Soit $f(x)=\ln x$ et $g(x)=(\ln x)^2$ sur $]0\,;+\infty[$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes dans un repère orthogonal. Unités : 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. aRésous l'équation $f(x)=g(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, puis étudie le signe de $f(x)-g(x)$. Donne la position relative des deux courbes.
2. bÀ l'aide d'une intégration par parties, calcule $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x$.
3. cVérifie que $G(x)=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x$ est une primitive de $g$ sur $]0\,;+\infty[$, puis calcule $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} (\ln x)^2\,\mathrm{d}x$.
4. dDéduis-en l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$, en u.a. puis en cm².
5. eLina affirme : « L'aire entre les deux courbes sur $[1\,;\mathrm{e}^2]$ vaut $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^2} (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$. » Calcule cette intégrale, explique son erreur et donne l'aire correcte.

Ex. 27★★★Concentration moyenne d'un médicament — On injecte un médicament à un patient. La concentration dans le sang (en mg/L), $t$ heures après l'injection, est donnée par $C(t)=10t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ pour $t\in[0\,;6]$.

1. aÉtudie les variations de $C$ sur $[0\,;6]$. Donne la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte.
2. bÀ l'aide d'une intégration par parties, calcule $\displaystyle\int_{0}^{6} t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t$.
3. cDéduis-en la concentration moyenne $\mu$ pendant les six premières heures : valeur exacte, arrondi à $0{,}01$ et unité. Contrôle ton résultat avec la question 1.
4. dCalcule les concentrations moyennes $\mu_1$ sur $[0\,;2]$ et $\mu_2$ sur $[2\,;6]$ (arrondis à $0{,}001$). Inès affirme que $\mu=\frac{\mu_1+\mu_2}{2}$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 28★★★Deux exponentielles qui se croisent — Soit $f(x)=\mathrm{e}^{2x}$ et $g(x)=3\mathrm{e}^{x}-2$ sur $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes dans un repère.

1. aVérifie que $f(x)-g(x)=(\mathrm{e}^{x}-1)(\mathrm{e}^{x}-2)$. Déduis-en le signe de $f-g$ sur $\mathbb{R}$ et les coordonnées des points d'intersection des courbes.
2. bCalcule l'aire $\mathcal{A}_1$ du domaine fermé délimité par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, en u.a.
   (valeur exacte, puis arrondi à $0{,}01$).
3. cCalcule l'aire $\mathcal{A}_2$ du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
4. dOn pose $d(x)=g(x)-f(x)$ sur $[0\,;\ln 2]$. Étudie les variations de $d$ et donne l'écart vertical maximal entre les deux courbes.
5. eCalcule l'écart moyen $\mu$, valeur moyenne de $d$ sur $[0\,;\ln 2]$. Vérifie que ce résultat est cohérent avec la question précédente.

Ex. 29★★★Automatismes : intégrer par parties — Calcule chaque intégrale à l'aide d'une intégration par parties. Écris d'abord $u$, $u'$, $v'$ et $v$.

Ex. 30★★★Automatismes : une primitive de ln — Pour tout $x > 0$, on pose $G(x) = x\ln x - x$.

1. aCalcule $\displaystyle\int_{1}^{2} \ln x\,\mathrm{d}x$ par parties, en posant $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = 1$.
2. bVérifie en dérivant que $G$ est une primitive de $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. cCalcule $\displaystyle\int_{1}^{3} \ln x\,\mathrm{d}x$ à l'aide de $G$.
4. dCalcule $\displaystyle\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^2} \ln x\,\mathrm{d}x$.
5. eCalcule $\displaystyle\int_{\frac{1}{\mathrm{e}^2}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}} \ln x\,\mathrm{d}x$ et explique le signe du résultat.

Ex. 31★★★Le bon choix et le bon signe — On veut calculer $J = \displaystyle\int_{0}^{1} (x+3)\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$. Inès pose $u(x) = \mathrm{e}^{x}$ et $v'(x) = x + 3$. Hugo pose $u(x) = x + 3$ et $v'(x) = \mathrm{e}^{x}$, puis écrit : « $J = \Big[(x+3)\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 + \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = 4\mathrm{e} + (\mathrm{e} - 1) = 5\mathrm{e} - 1$ ».

1. aÉcris l'égalité obtenue avec le choix d'Inès. Explique pourquoi ce choix complique le calcul.
2. bRepère les deux erreurs de Hugo.
3. cCalcule $J$ correctement, puis donne une valeur arrondie au millième.

Ex. 32★★★Une suite d'intégrales avec ln — Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $I_n = \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} (\ln x)^n\,\mathrm{d}x$, avec $(\ln x)^0 = 1$.

1. aCalcule $I_0$.
2. bÀ l'aide d'une intégration par parties avec $u(x) = (\ln x)^{n+1}$ et $v'(x) = 1$, montre que $I_{n+1} = \mathrm{e} - (n+1)I_n$ pour tout $n \geqslant 0$.
3. cDéduis-en les valeurs exactes de $I_1$, $I_2$ et $I_3$.
4. dMontre que la suite $(I_n)$ est décroissante.

Ex. 33★★★Une aire avec deux intégrations par parties — Soit $f$ définie sur $[0\,;2]$ par $f(x) = x^2\,\mathrm{e}^{-x}$. On note $\mathcal{D}$ le domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. Dans le repère, 1 unité vaut 2 cm en abscisse et 5 cm en ordonnée.

1. aJustifie que l'aire de $\mathcal{D}$, en u.a., est égale à $A = \displaystyle\int_{0}^{2} x^2\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$.
2. bCalcule $J = \displaystyle\int_{0}^{2} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ par parties. Écris $u$, $u'$, $v'$ et $v$, et fais attention à la primitive de $\mathrm{e}^{-x}$.
3. cFais une intégration par parties avec $u(x) = x^2$ pour exprimer $A$ en fonction de $J$. Donne ensuite la valeur exacte de $A$ et son arrondi au millième.
4. dDonne l'aire de $\mathcal{D}$ en cm², arrondie au centième.

Ex. 34★★★Une suite d'intégrales et sa relation de récurrence — Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $I_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$, avec $x^0 = 1$.

1. aCalcule $I_0$.
2. bFais une intégration par parties avec $u(x) = x^{n+1}$ et $v'(x) = \mathrm{e}^{-x}$. Montre que pour tout $n \geqslant 0$, on a $I_{n+1} = (n+1)\,I_n - \frac{1}{\mathrm{e}}$.
3. cDéduis-en les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.
4. dMontre que pour tout $n \geqslant 0$, $0 \leqslant I_n \leqslant \frac{1}{n+1}$. Déduis-en la limite de $(I_n)$.
5. eÀ l'aide de la relation de la question 2, détermine la limite de $(n+1)\,I_n$.

Ex. 35★★★Entre deux courbes : l'erreur de Malik — Soient $f$ et $g$ définies sur $[1\,;\mathrm{e}]$ par $f(x) = x\ln x$ et $g(x) = x$. Pour calculer $K = \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x$, Malik pose $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x$. Il écrit : $K = \frac{\mathrm{e}^2}{2}\ln \mathrm{e} + \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x$.

1. aRepère l'erreur de Malik, puis calcule la valeur exacte de $K$.
2. bÉtudie le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[1\,;\mathrm{e}]$.
3. cCalcule l'aire $A$ du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$. Convertis-la en cm² si 1 unité vaut 2 cm sur chaque axe.
4. dPour $t \geqslant 1$, calcule $H(t) = \displaystyle\int_{1}^{t} x\ln x\,\mathrm{d}x$ par parties. Vérifie ton résultat en dérivant l'expression obtenue.

Ex. 36★★★Découper l'intervalle, sommer les rectangles — On partage l'intervalle en $n$ intervalles de même largeur $h$, de bornes $x_k=a+kh$. On note $s_n$ la somme à gauche et $S_n$ la somme à droite.

1. aSur $[2\,;5]$ avec $n=6$, calcule $h$.
2. bSur $[0\,;1]$ avec $n=5$, donne la liste de tous les $x_k$.
3. cSur $[-1\,;3]$ avec $n=8$, calcule $x_5$.
4. dSur $[1\,;4]$ avec $n=3$ et $f(x)=x^2$, calcule $s_3$.
5. eSur $[1\,;4]$ avec $n=3$ et $f(x)=x^2$, calcule $S_3$.
6. fSur $[0\,;2]$ avec $n=4$, Zoé écrit $S_4=0{,}5\times\big(f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)\big)$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 37★★★Défaut, excès et précision — Dans chaque cas, $s_n$ est la somme à gauche et $S_n$ la somme à droite de $f$ sur l'intervalle donné, avec $n$ rectangles.

1. a$f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ sur $[0\,;2]$ : $s_n$ est-elle une valeur par défaut ou par excès de l'intégrale ? Justifie.
2. b$f(x)=x^3+x$ sur $[0\,;2]$ : $s_n$ est-elle une valeur par défaut ou par excès de l'intégrale ? Justifie.
3. c$f(x)=\frac{4}{x+1}$ sur $[0\,;3]$ avec $n=6$ : calcule l'écart entre $s_6$ et $S_6$.
4. d$f(x)=x^2+1$ sur $[0\,;3]$ avec $n=10$ : calcule l'écart entre $s_{10}$ et $S_{10}$.
5. e$f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0\,;9]$ : combien de rectangles faut-il au minimum pour un écart inférieur ou égal à $0{,}01$ ?
6. f$f(x)=\ln(x)$ sur $[1\,;\mathrm{e}]$ : combien de rectangles faut-il au minimum pour un écart inférieur ou égal à $0{,}001$ ?

Ex. 38★★★La distance parcourue par Léna — Léna démarre à vélo. Sa vitesse $v(t)$, en m.s⁻¹, est croissante sur $[0\,;8]$, avec $t$ en secondes. La distance parcourue, en mètres, est $d=\displaystyle\int_{0}^{8} v(t)\,\mathrm{d}t$.

1. aAvec quatre rectangles, donne le pas $h$. Laquelle des sommes $s_4$ (à gauche) ou $S_4$ (à droite) est par défaut ? Justifie.
2. bTom écrit $s_4=2\times(0+3{,}2+5{,}6+7{,}2+8)$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $s_4$ et $S_4$.
3. cEncadre $d$ et donne l'amplitude de cet encadrement. Retrouve-la avec $h\,|v(8)-v(0)|$.
4. dDéduis-en un encadrement de la vitesse moyenne de Léna sur $[0\,;8]$.

Ex. 39★★★Le programme d'Inès — Inès veut calculer la somme à droite $S_n$ de $f(x)=1+x^3$ sur $[0\,;2]$. Elle écrit ce programme : def droite(f, a, b, n): h = (b - a) / n x = a s = 0 for k in range(n): s = s + f(x) return s f = lambda x: 1 + x**3 print(droite(f, 0, 2, 4))

1. aQu'affiche ce programme ? Explique pourquoi.
2. bRepère les deux erreurs, puis réécris la boucle pour qu'elle calcule $S_n$.
3. cCalcule $S_4$ à la main. Avec la boucle corrigée, qu'affiche print(round(droite(f, 0, 2, 3), 2)) ?
4. dCalcule $\displaystyle\int_{0}^{2} (1+x^3)\,\mathrm{d}x$. $S_4$ est-elle une valeur par défaut ou par excès ? Justifie.

Ex. 40★★★Plus précis avec les milieux — On pose $f(x)=\sqrt{x}$ et $I=\displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$. On partage $[1\,;4]$ en $n=3$ intervalles de largeur $h$. On note $s_3$ et $S_3$ les sommes à gauche et à droite. Méthode des milieux : chaque rectangle a pour hauteur l'image du milieu de son intervalle. On note $M_3$ la somme obtenue.

1. aCalcule $h$ et donne les bornes $x_k$. Justifie le sens de variation de $f$ sur $[1\,;4]$.
2. bCalcule $s_3$ et $S_3$, arrondies à $10^{-3}$. Laquelle est une valeur par défaut de $I$ ? Justifie.
3. cCalcule la valeur exacte de $I$ à l'aide d'une primitive.
4. dDonne les milieux des trois intervalles, puis calcule $M_3$ arrondie à $10^{-3}$. Compare les écarts $|s_3-I|$, $|S_3-I|$ et $|M_3-I|$.
5. eComplète la ligne 6 pour que le programme affiche $M_3$ arrondie à $10^{-3}$. from math import sqrt def milieux(f, a, b, n): h = (b - a) / n s = 0 for k in range(n): s = s + ......... return s print(round(milieux(sqrt, 1, 4, 3), 3))

Ex. 41★★★Les deux erreurs de Yanis — Yanis veut calculer la somme à droite $S_n$ de $f(x)=\frac{6}{x+2}$ sur $[0\,;4]$. On note $s_n$ la somme à gauche et $I=\displaystyle\int_{0}^{4} \frac{6}{x+2}\,\mathrm{d}x$. Son programme affiche 7.7 : def f(x): return 6 / (x + 2) def droite(a, b, n): h = (b - a) / n s = 0 for k in range(n): s = s + f(a + k*h) return s print(round(droite(0, 4, 4), 4))

1. aAvec $n=4$, calcule $h$, les $x_k$ et leurs images, puis $S_4$. Explique d'où vient le 7.7 affiché.
2. bLe programme contient deux erreurs, dont une ne se voit pas avec ces valeurs. Identifie-les et réécris les lignes fausses.
3. cÉtudie le sens de variation de $f$ sur $[0\,;4]$. Déduis-en un encadrement de $I$ par $s_4$ et $S_4$.
4. dCalcule la valeur exacte de $I$, puis son arrondi à $10^{-3}$. Vérifie l'encadrement obtenu.
5. eYanis affirme : « Si je double $n$, l'écart $s_n-S_n$ est divisé par deux. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 42★★★Le panneau solaire de Nora — Entre 8 h et 12 h, la puissance du panneau solaire de Nora vaut $P(t)=5-0{,}25(12-t)^2$, en kW, avec $t$ en heures. L'énergie produite, en kWh, est $E=\displaystyle\int_{8}^{12} P(t)\,\mathrm{d}t$. On note $s_n$ et $S_n$ les sommes à gauche et à droite de $P$ sur $[8\,;12]$.

1. aÉtudie le sens de variation de $P$ sur $[8\,;12]$. Laquelle des sommes $s_n$ ou $S_n$ est une valeur par défaut de $E$ ?
2. bAvec le tableau ($n=4$), calcule $s_4$ et $S_4$. Déduis-en un encadrement de $E$.
3. cPour calculer $s_n$, Nora écrit ce programme, qui affiche -91.5. Pourquoi ce résultat est-il absurde ? Trouve l'erreur et corrige-la. def P(t): return 5 - 0.25*(12 - t)**2 def gauche(n): h = 4 / n s = 0 for k in range(n): s = s + h * P(k*h) return s print(gauche(4))
4. dCalcule la valeur exacte de $E$. Est-ce cohérent avec l'encadrement obtenu plus haut ?
5. eExprime $S_n-s_n$ en fonction de $n$. Combien faut-il de rectangles, au minimum, pour que cet écart soit inférieur ou égal à $0{,}1$ ?

Ex. 43★★★Automatismes : calculer un premier terme — Calcule chaque intégrale. Donne la valeur exacte, puis un arrondi au millième si besoin. Ce sont des calculs typiques de $I_0$ ou de $I_1$ dans un sujet de bac.

Ex. 44★★★Automatismes : encadrer ou donner un signe sans calculer — Ne calcule pas l'intégrale. Encadre d'abord la fonction. Vérifie ensuite l'ordre des bornes, puis intègre l'encadrement.

1. aSachant que $\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}\leqslant 1$ sur $[0\,;1]$, encadre $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^4}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$.
2. bEncadre $\frac{1}{1+x^2}$ sur $[1\,;3]$, puis déduis-en un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^{3} \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$.
3. cSachant que $0\leqslant \mathrm{e}^{-x^2}\leqslant 1$ sur $[0\,;2]$, encadre $\displaystyle\int_{2}^{0} \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$.
4. dDonne le signe de $\displaystyle\int_{0}^{1} (x^3-x^2)\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$.
5. eEncadre $\ln x$ sur $[1\,;\mathrm{e}]$, puis déduis-en un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x$.

Ex. 45★★★Extrait de bac : la suite des intégrales de xⁿ eˣ — Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$.

1. aCalcule $I_0$. Calcule ensuite $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.
2. bJustifie que $I_n\geqslant 0$. Étudie ensuite le signe de $I_{n+1}-I_n$ et conclus sur le sens de variation de $(I_n)$.
3. cEncadre $\mathrm{e}^{x}$ sur $[0\,;1]$ et déduis-en un encadrement de $I_n$. Détermine ensuite la limite de $(I_n)$.
4. dÀ l'aide d'une intégration par parties, exprime $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$. Calcule ensuite $I_2$.

Ex. 46★★★Problème type bac : le pendentif de Ben — Ben dessine un pendentif. Dans un repère d'unité 3 cm, il a la forme du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe de $f(x)=(1-x)\,\mathrm{e}^{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Pour $x\in[0\,;2]$, on pose $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$.from math import exp def f(x): return (1 - x) * exp(x) n = 4 s = 0 for k in range(n): s = s + f(k / n) / n print(round(s, 4))

1. aCalcule $F'(x)$, puis donne le sens de variation de $F$ sur $[0\,;2]$.
2. bVérifie que $G(x)=(2-x)\,\mathrm{e}^{x}$ est une primitive de $f$. Exprime ensuite $F(x)$ en fonction de $x$.
3. cCalcule l'aire de $\mathcal{D}$ en u.a., puis en cm². Donne la valeur exacte et un arrondi au centième.
4. dCalcule la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;1]$. Déduis-en la hauteur moyenne du pendentif, en cm.
5. eQu'affiche le programme ci-dessus ? Est-ce une valeur approchée de $F(1)$ par défaut ou par excès ? Justifie.

Ex. 47★★★Problème type bac : une suite d'intégrales sans primitive — Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$. Pour $n \geqslant 2$, on ne cherche pas de primitive de $\frac{x^n}{1+x}$.

1. aCalcule $I_0$. Montre que pour tout $n$, $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, puis déduis-en $I_1$ et $I_2$
   (valeurs exactes).
2. bJustifie que $I_n \geqslant 0$. Écris $I_{n+1}-I_n$ comme une seule intégrale, puis donne le sens de variation de $(I_n)$.
3. cEncadre $\frac{1}{1+x}$ sur $[0\,;1]$. Déduis-en un encadrement de $I_n$, puis la limite de la suite $(I_n)$.
4. dLina affirme : « $n\,I_n$ tend vers $1$ ». Pour $n \geqslant 1$, encadre $2I_n$ à l'aide de la question 1 et de la décroissance de $(I_n)$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 48★★★Problème type bac : les puissances du logarithme — Pour tout entier naturel $n$, on pose $J_n=\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} x(\ln x)^n\,\mathrm{d}x$, avec $(\ln x)^0=1$.

1. aCalcule $J_0$. Avec une intégration par parties ($u(x)=(\ln x)^{n+1}$ et $v'(x)=x$), montre que $J_{n+1}=\frac{\mathrm{e}^2}{2}-\frac{n+1}{2}J_n$.
2. bDéduis-en les valeurs exactes de $J_1$ et de $J_2$.
3. cMontre que $0\leqslant x(\ln x)^{n+1}\leqslant x(\ln x)^n$ sur $[1\,;\mathrm{e}]$. Déduis-en que $(J_n)$ est positive, décroissante et convergente.
4. dÀ l'aide de la relation de la question 1, montre que $J_n\leqslant\frac{\mathrm{e}^2}{n+1}$. Déduis-en la limite de $(J_n)$.
5. eComplète la ligne 5 pour que J(n) renvoie $J_n$. Donne la valeur exacte de $J_3$, puis l'arrondi affiché par round(J(3), 4). from math import exp def J(n): j = (exp(2) - 1) / 2 for k in range(n): j = .......... return j

Ex. 49★★★Problème type bac : le badge d'Inès — Inès dessine un badge. On pose $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}$ et $g(x)=x^2\,\mathrm{e}^{-x}$. Le badge est le domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Le repère a pour unité 4 cm.

1. aÉtudie le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[0\,;1]$. Déduis-en la position relative des deux courbes.
2. bÀ l'aide d'une intégration par parties, calcule $A=\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$.
3. cPar parties, avec $u(x)=x^2$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-x}$, exprime $B=\displaystyle\int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ en fonction de $A$, puis calcule $B$.
4. dDéduis-en l'aire du badge en u.a. (valeur exacte), puis en cm²
   (arrondi au centième).
5. eOn note $h=f-g$. Zoé lance ce programme, qui affiche 0.0966. Elle dit : « c'est forcément une valeur par défaut de l'aire, car ce sont des rectangles à gauche ». A-t-elle raison ? Justifie. from math import exp def h(x): return (x - x**2) * exp(-x) n = 4 s = 0 for k in range(n): s = s + h(k / n) / n print(round(s, 4))