2nde / Inéquations

Ex. 1★★★Automatismes : comparer deux nombres — Sans calculatrice. Compare les deux nombres en étudiant le signe de leur différence, sans arrondir.

1. aCompare $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{8}$.
2. bCompare $0{,}333$ et $\dfrac{1}{3}$.
3. cCompare $\dfrac{11}{4}$ et $2{,}7$.
4. dOn sait que $A-B=-\frac{2}{7}$. Compare $A$ et $B$.
5. eCompare $0{,}4^2$ et $0{,}4$.
6. fOn sait que $B-A=0{,}5$. Compare $A$ et $B$.

Ex. 2★★★Automatismes : différence de deux expressions — Sans calculatrice. Pour tout réel $x$, calcule et réduis $A-B$ (attention aux parenthèses), puis compare $A$ et $B$.

1. a$A=2x+7$ et $B=2x-1$.
2. b$A=3-x$ et $B=5-x$.
3. c$A=x^2+2x$ et $B=(x+1)^2$.
4. d$A=3(x-1)+5$ et $B=3x+1$.
5. e$A=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}$ et $B=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}$.

Ex. 3★★★Un carré caché dans la différence — Pour tout réel $x$, on pose $A=x^2+16$, $B=8x$ et $C=x^2+17$.

1. aCalcule $A-B$ et écris le résultat sous la forme d'un carré.
2. bDéduis-en la comparaison de $A$ et $B$ pour tout réel $x$.
3. cNoé affirme : « Pour tout réel $x$, $A>B$, car un carré est positif. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dDémontre que, pour tout réel $x$, $C>B$
   (inégalité stricte).

Ex. 4★★★Vrai ou faux sur les comparaisons — Sans calculatrice. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie (calcul de différence ou contre-exemple).

1. a« Pour tout réel $a$, $a^2\geqslant a$. »
2. b« Pour tout réel $x$, $(x+5)^2>x^2+10x$. » Léa l'a testée pour $x=0$ et $x=1$ : est-ce une preuve ?
3. c« $0{,}142<\dfrac{1}{7}$. »
4. d« Si $B-A=-3$, alors $A<B$. »
5. e« Le prix d'un casque passe de $54{,}90$ € à $49{,}50$ € : la variation absolue du prix est de $+5{,}40$ €. »

Ex. 5★★★Corriger la copie de Lucas — Pour tout réel $x$, on pose $A=x^2+8$ et $B=(5x+3)-(x-1)$. Voici la copie de Lucas : « $B=5x+3-x-1=4x+2$, puis $B-A=-x^2+4x-6$. Pour $x=0$ et $x=3$, je trouve $B-A<0$, donc $B>A$ pour tout réel $x$. »

1. aRepère l'erreur de Lucas dans le calcul de $B$, puis donne la forme réduite correcte de $B$.
2. bLucas déduit « $B>A$ » de « $B-A<0$ ». Explique son erreur de conclusion.
3. cAvec la bonne forme de $B$, calcule $A-B$ et écris le résultat sous la forme d'un carré.
4. dDémontre que, pour tout réel $x$, $A\geqslant B$.
5. eLucas affirme maintenant : « $A>B$ pour tout réel $x$, mes deux tests le prouvent. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 6★★★Comparer sans jamais arrondir — Sans calculatrice. Chaque comparaison se fait par le signe d'une différence exacte, sans remplacer une fraction par une valeur arrondie.

1. aCompare $\dfrac{2}{3}$ et $0{,}6667$.
2. bCompare $\dfrac{13}{14}$ et $\dfrac{14}{15}$.
3. cPour tout entier $n\geqslant 1$, compare $\frac{n}{n+1}$ et $\frac{n+1}{n+2}$. Justifie le signe de la différence.
4. dDéduis-en, sans calcul supplémentaire, la comparaison de $\frac{2025}{2026}$ et $\frac{2026}{2027}$.

Ex. 7★★★Jardin partagé : périmètres et aires — Au jardin partagé de Rennes, $x$ est une longueur en mètres, avec $x>0$. P est un rectangle de côtés $x+1$ et $x+5$. Q est un carré de côté $x+3$. R a pour aire $x^2+12$ (un carré de côté $x$ plus une bande de $12$ m²). T est un rectangle de côtés $6$ et $x$.

1. aCompare les périmètres de P et de Q.
2. bCalcule l'aire de Q moins l'aire de P, puis interprète cet écart avec son unité.
3. cÉcris l'aire de R moins l'aire de T sous la forme $(x-a)^2+b$.
4. dDémontre que, pour tout $x>0$, l'aire de R est strictement supérieure à celle de T.
5. eQuel est le plus petit écart possible entre les aires de R et de T ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

Ex. 8★★★Automatismes : puissances et quotient — Sans calculatrice. Les nombres $A$ et $B$ sont strictement positifs. Calcule $\frac{A}{B}$, simplifie, compare le résultat à $1$ et conclus.

1. a$A=5^{12}$ et $B=4\times 5^{11}$.
2. b$A=3\times 2^{20}$ et $B=2^{22}$.
3. c$A=6^{10}$ et $B=2^{10}\times 3^{9}$.
4. d$A=9^{5}$ et $B=3^{11}$.
5. e$A=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}$ et $B=\dfrac{2^{5}}{3^{4}}$.
6. f$A=2^{15}\times 5^{3}$ et $B=2^{13}\times 5^{4}$.

Ex. 9★★★Automatismes : lire un rapport — Sans calculatrice. Dans les questions c) à f), $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs.

1. aUn ticket de bus passe de $5$ € à $8$ €. Par quel nombre son prix est-il multiplié ? Donne le pourcentage de hausse.
2. bUn abonnement passe de $50$ € à $35$ €. Par quel nombre son prix est-il multiplié ? Donne le pourcentage de baisse.
3. c$a$ est $15\,\%$ plus grand que $b$. Donne le rapport $\frac{a}{b}$ et compare-le à $1$.
4. dOn sait que $\frac{a}{b}=0{,}6$. Compare $a$ et $b$, puis traduis ce rapport par un pourcentage.
5. eOn sait que $\frac{a}{b}=2$. Calcule $\frac{b}{a}$ et traduis-le par un pourcentage.
6. f$a$ est $60\,\%$ plus petit que $b$. Écris $\frac{a}{b}$, puis calcule $\frac{b}{a}$ : de quel pourcentage $b$ est-il plus grand que $a$ ?

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur la règle du quotient — Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est faux, donne un contre-exemple ou corrige le raisonnement.

1. a« Pour tous réels $a$ et $b$ non nuls, si $\frac{a}{b}>1$, alors $a>b$. »
2. b« Si $a>0$, $b>0$ et $\frac{a}{b}=0{,}9$, alors $a>b$, car $\frac{a}{b}>0$. »
3. c« Pour comparer $A=11^{8}+1$ et $B=11^{8}$, il faut calculer $\frac{A}{B}$ : la différence ne permet pas de conclure. »
4. d« Si $a>0$, $b>0$ et $\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$, alors $b$ est $25\,\%$ plus petit que $a$. »

Ex. 11★★★Démontrer la règle, puis comparer de grandes puissances — Sans calculatrice : ces puissances sont trop grandes pour être calculées, tu vas les comparer avec un quotient.

1. aSoit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontre que $\frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b}$, puis déduis-en que $\frac{a}{b}>1$ équivaut à $a>b$.
2. bÉcris $2^{100}$ sous la forme $n^{20}$ et $3^{60}$ sous la forme $m^{20}$, avec $n$ et $m$ des entiers.
3. cDéduis-en $\frac{2^{100}}{3^{60}}$ sous la forme de la puissance d'une fraction, puis compare $2^{100}$ et $3^{60}$.
4. dCompare de la même façon $5^{30}$ et $2^{70}$
   (écris-les sous la forme $n^{10}$).

Ex. 12★★★Puissances : bien lire le quotient — Sans calculatrice. Dans la première question, $n$ désigne un entier naturel quelconque.

1. aSoit $A=2^{n+3}\times 3^{n}$ et $B=7\times 6^{n}$. Justifie que $A$ et $B$ sont strictement positifs, puis compare-les avec le quotient $\frac{A}{B}$.
2. bSoit $E=3^{20}-3^{18}$ et $F=25\times 3^{17}$. Factorise $E$ par $3^{18}$, justifie que $E>0$, puis compare $E$ et $F$ avec un quotient.
3. cCompare $G=4^{15}$ et $H=8^{10}$ à l'aide de leur quotient.
4. dAli affirme : « $3^{20}$ est le triple de $3^{19}$, donc $3^{20}$ est $300\,\%$ plus grand que $3^{19}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
5. eRange dans l'ordre croissant $R=2^{40}$, $S=9\times 2^{37}$ et $T=5\times 2^{38}$ en calculant deux quotients.

Ex. 13★★★Le prix d'un vélo électrique — Sans calculatrice. À Annecy, un vélo électrique coûtait $1\,600$ € en 2024. Il est passé à $2\,400$ € en 2025, puis il est revenu à $1\,600$ € pendant les soldes de 2026.

1. aCalcule le rapport entre le prix de 2025 et le prix de 2024, puis traduis-le en pourcentage d'évolution.
2. bPour les soldes de 2026, le vendeur affiche une remise égale au pourcentage de hausse de 2025. A-t-il raison ? Justifie avec un quotient.
3. cUn second vélo passe de $2\,000$ € à $2\,800$ €. Les deux hausses sont-elles égales ? Compare d'abord les écarts, puis les rapports.
4. dLe prix d'un casque augmente de $10\,\%$, puis baisse de $10\,\%$. Compare le prix final au prix initial à l'aide d'un quotient.

Ex. 14★★★Et si les nombres sont négatifs ? — La règle du quotient a été vue pour des nombres strictement positifs. Tu vas voir ce qu'elle devient pour des nombres strictement négatifs.

1. aAvec $a=-5$ et $b=-20$, calcule $\frac{a}{b}$ et compare-le à $1$, puis compare $a$ et $b$. Que constates-tu ?
2. bSoit $a$ et $b$ deux réels strictement négatifs. Démontre que $\frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b}$, puis que $\frac{a}{b}>1$ entraîne $a<b$.
3. cSans calculatrice, compare $A=-2^{31}$ et $B=-5\times 2^{28}$ à l'aide de leur quotient.
4. dPour $C=7^{8}$ et $D=-7^{9}$, un élève écrit : « $\frac{C}{D}=-\frac{1}{7}<1$, donc $C<D$ ». Corrige ce raisonnement.

Ex. 15★★★Appliquer une règle sur une inégalité — Sans calculatrice. Compare les deux nombres en écrivant le bon symbole ($<$, $>$, $\leqslant$, $\geqslant$ ou $=$). Donne la règle utilisée.

1. aOn sait que $x<5$. Compare $x+(-9)$ et $-4$.
2. bOn sait que $a \leqslant b$. Compare $(-3) \times a$ et $(-3) \times b$.
3. cOn sait que $y>-2$. Compare $\frac{y}{4}$ et $-\frac{1}{2}$.
4. dOn sait que $t \geqslant 6$. Compare $\frac{t}{-2}$ et $-3$.
5. eOn sait que $a<b$. Compare $0 \times a$ et $0 \times b$.
6. fOn sait que $x<3$. Compare $2-x$ et $-1$.

Ex. 16★★★Résoudre une inéquation simple — Sans calculatrice. Résous dans $\mathbb{R}$ et donne l'ensemble $S$ des solutions sous forme d'intervalle (ou $S=\varnothing$).

Ex. 17★★★Vrai ou faux sur les inégalités — $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ sont des réels. Vrai ou faux ? Justifie : par la différence si c'est vrai, par un contre-exemple numérique si c'est faux.

1. aSi $a<b$ et $c<d$, alors $a-c<b-d$.
2. bSi $a<b$ et $c<d$, alors $a \times c<b \times d$.
3. cSi $0<a<b$, alors $\frac{a}{b}<1$.
4. dSi $a<b$, alors $ka<kb$ pour tout réel $k$.
5. eSi $a<b$, alors $a^2<b^2$.

Ex. 18★★★Encadrer des expressions — On sait que $1 \leqslant x \leqslant 4$ et $-2 \leqslant y \leqslant 3$.

1. aEncadre $5x-3$.
2. bEncadre $6-2x$.
3. cLina écrit : « $x-y$ est compris entre $1-(-2)=3$ et $4-3=1$ ». Repère son erreur, puis encadre $x-y$ correctement.
4. dEncadre $\dfrac{x+y}{2}$.

Ex. 19★★★Démontrer les règles par la différence — $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ sont des réels avec $a<b$. Rédige chaque démonstration en étudiant le signe d'une différence.

1. aOn suppose $k>0$. Démontre que $\frac{a}{k}<\frac{b}{k}$.
2. bOn suppose $k<0$. Démontre que $ka>kb$.
3. cOn suppose $c<d$. Démontre que $a+c<b+d$.
4. dDémontre que $a<\dfrac{a+b}{2}<b$.
5. eOn suppose $0<a<b$ et $0<c<d$. Vérifie que $bd-ac=b(d-c)+c(b-a)$, puis déduis-en que $ac<bd$.

Ex. 20★★★Clôturer un jardin partagé — À Rennes, un jardin partagé est rectangulaire. Sa longueur $L$ et sa largeur $\ell$ (en m) vérifient $12{,}4 \leqslant L \leqslant 12{,}6$ et $7{,}8 \leqslant \ell \leqslant 8{,}1$. La calculatrice est permise.

1. aEncadre le périmètre $P=2(L+\ell)$ du jardin.
2. bZoé affirme : « La longueur dépasse la largeur d'au moins $4{,}5$ m. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cJustifie que l'aire $A=L\times\ell$ vérifie $12{,}4\times 7{,}8 \leqslant A \leqslant 12{,}6\times 8{,}1$, puis encadre $A$.
4. dLa clôture coûte $15$ € par mètre de périmètre, plus $40$ € de livraison. Encadre son coût $C$ en euros.
5. eLe club a un budget de $650$ €. Peut-on être sûr qu'il suffit ? Justifie.

Ex. 21★★★Une fonction affine décroissante — $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-4x+9$. On sait que $-1{,}5 \leqslant x \leqslant 2$.

1. aInès écrit : « $-1{,}5 \leqslant x \leqslant 2$, donc $6 \leqslant -4x \leqslant -8$ ». Explique son erreur et écris l'encadrement correct de $-4x$.
2. bDéduis-en un encadrement de $f(x)$.
3. cPour quelles valeurs de $x$ a-t-on $3 \leqslant f(x) \leqslant 5$ ? Donne la réponse sous forme d'intervalle.
4. dRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)<2x-6$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.
5. eLéo affirme : « Pour tout $x$ de $[-1{,}5\,;2]$, on a $f(x) \geqslant 2x-6$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 22★★★Une opération à la fois — Sans calculatrice. On sait que $-3 < x \leqslant 2$.

1. aEncadre $x - 4$.
2. bInès écrit : « $12 < (-4) \times x \leqslant -8$ ». Corrige son erreur.
3. cEncadre $2 - 3x$.
4. dL'amplitude d'un encadrement est l'écart entre ses bornes. Donne celle de l'encadrement de $x$, puis celle de l'encadrement de $2 - 3x$ obtenu à la question précédente.
5. eVrai ou faux : « $\frac{x}{2} > -1$ ». Justifie.

Ex. 23★★★Somme et différence de deux encadrements — Sans calculatrice. On sait que $2 \leqslant a \leqslant 5$ et $-1 < b < 3$.

1. aEncadre $a + b$.
2. bEncadre $-b$.
3. cDéduis-en un encadrement de $a - b$.
4. dVrai ou faux : « $a - b$ peut être égal à $-1$ ». Justifie.
5. eEncadre $2a - 3b$.

Ex. 24★★★Un rectangle mesuré à la règle — Calculatrice permise. Lucas mesure un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$. Il trouve $6{,}4$ cm et $2{,}8$ cm, valeurs arrondies au mm près.

1. aEncadre $L$, puis $\ell$.
2. bEncadre le périmètre $P = 2(L + \ell)$ du rectangle.
3. cJustifie que l'on peut multiplier les encadrements de $L$ et de $\ell$, puis encadre l'aire $\mathcal{A}$ du rectangle.
4. dEncadre l'écart $L - \ell$ entre la longueur et la largeur.

Ex. 25★★★Image d'un encadrement par une fonction affine — On considère les fonctions affines $f : x \mapsto 7 - 4x$ et $g : x \mapsto 3x + 1$, et un réel $x$ tel que $-1 \leqslant x < 2{,}5$.

1. aDonne le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$. Justifie.
2. bLéo écrit : « $f(-1) \leqslant f(x) < f(2{,}5)$, soit $11 \leqslant f(x) < -3$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cEncadre $g(x)$.
4. dEncadre $f(x) + g(x)$ en additionnant les deux encadrements, puis en réduisant d'abord $f(x) + g(x)$. Quel encadrement est le plus précis ?

Ex. 26★★★Une différence mal encadrée — Sans calculatrice. On sait que $1 \leqslant x < 4$ et $-2 < y \leqslant 3$. Yanis veut encadrer $x - y$. Il écrit : « $1 - (-2) \leqslant x - y < 4 - 3$ ».

1. aCalcule les bornes obtenues par Inès. Explique pourquoi son résultat est forcément faux, puis trouve son erreur.
2. bEncadre $-y$. Justifie le sens de chaque inégalité, et pourquoi chacune est stricte ou large.
3. cDéduis-en un encadrement de $x - y$. Compare son amplitude à la somme des amplitudes des encadrements de $x$ et de $y$.
4. dDémontre, en étudiant le signe de $6 - (x - y)$, que $x - y < 6$.

Ex. 27★★★Une frise de carreaux — Calculatrice permise. À Annecy, Maëlle pose une frise de $15$ carreaux carrés, alignés bout à bout et sans joint. Le côté $c$ d'un carreau mesure $3{,}7$ cm, valeur arrondie au mm près.

1. aEncadre $c$. Explique pourquoi une des inégalités est large et l'autre stricte.
2. bDéduis-en un encadrement de la longueur totale $F$ de la frise, puis donne son amplitude.
3. cLa frise doit tenir sur un rebord de $56$ cm. Maëlle peut-elle en être sûre ? Justifie.
4. dEncadre l'aire $A$ d'un carreau. Justifie chaque multiplication par le signe du facteur utilisé.

Ex. 28★★★La cuve qui se vide — Calculatrice permise. À Rodez, une cuve d'eau de pluie se vide. Après $t$ minutes, avec $0 \leqslant t \leqslant 8$, elle contient $V(t) = 120 - 15t$ litres. Une alarme a sonné à un instant $t$ tel que $2 < t \leqslant 5{,}5$.

1. aDémontre, en étudiant le signe d'une différence, que si $0 \leqslant t_1 < t_2 \leqslant 8$, alors $V(t_1) > V(t_2)$.
2. bEncadre $V(t)$ à l'instant de l'alarme, en détaillant chaque opération.
3. cVrai ou faux : « à l'alarme, la cuve contenait plus du quart de son contenu initial $V(0)$ ». Justifie.
4. dDétermine les instants $t$ pour lesquels $48 \leqslant V(t) \leqslant 75$, en transformant cet encadrement.
5. eCompare l'amplitude de l'encadrement de $V(t)$ obtenu plus haut à celle de l'encadrement de $t$. Explique le lien avec le coefficient $-15$.

Ex. 29★★★Isoler x : attention au signe du coefficient — Sans calculatrice. Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation et donne $S$ sous forme d'intervalle, avec des bornes exactes.

Ex. 30★★★Des x dans les deux membres — Sans calculatrice. Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation en regroupant les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre. Donne $S$ (intervalle, $\mathbb{R}$ ou $\varnothing$).

Ex. 31★★★Trouve l'erreur — Sans calculatrice. Chaque élève a résolu une inéquation dans $\mathbb{R}$. Repère son erreur, explique-la, puis donne le bon ensemble $S$.

1. aInès résout $-2(x - 4) \geqslant 3x$ : « $-2x - 8 \geqslant 3x \iff -5x \geqslant 8 \iff x \leqslant -\frac{8}{5}$ ».
2. bMalik résout $5 - 3x < 17$ : « $-3x < 12 \iff x < -4$, donc $S = ]-\infty\,;-4[$ ». Teste $x = -5$ avant de corriger.
3. cChloé résout $\frac{x}{4} - 2 \leqslant \frac{x}{6}$ : « je multiplie par $12$ : $3x - 2 \leqslant 2x \iff x \leqslant 2$ ».
4. dHugo résout $7x - 1 > 3x + 4$ : « $4x > 5 \iff x > \frac{5}{4}$, donc $S = \left[\frac{5}{4}\,;+\infty\right[$ ».

Ex. 32★★★Fractions, borne et vérification — Sans calculatrice. On considère l'inéquation (I) : $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} \geqslant 2$.

1. aMultiplie tous les termes de (I) par $6$, puis développe et réduis chaque membre.
2. bDéduis-en l'ensemble $S$ des solutions de (I), sous forme d'intervalle.
3. cRésous l'équation $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} = 2$. Explique la différence entre sa solution et l'ensemble $S$.
4. dLa borne de $S$ est-elle solution de (I) ? Est-elle solution de $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} > 2$ ? Justifie.
5. eVérifie ton résultat : teste dans (I) une valeur de $S$, puis une valeur hors de $S$.

Ex. 33★★★Aucune solution, ou toutes ? — Sans calculatrice. On considère les inéquations (A) : $3(2x - 1) - 2(x + 4) \leqslant 4x - 11$ et (B) : $-3(x - 2) + 7x > 4(x + 1) + 2$, d'inconnue $x$ réelle.

1. aDéveloppe et réduis le membre de gauche de (A), puis résous (A) dans $\mathbb{R}$.
2. bDéveloppe et réduis chaque membre de (B), puis résous (B) dans $\mathbb{R}$.
3. cLina écrit : « Pour (B), j'obtiens $0 > 0$, donc la solution est $x = 0$. » A-t-elle raison ? Justifie, en testant aussi $x = 0$ dans
   (B).
4. dDétermine tous les réels $k$ pour lesquels l'inéquation $-3(x - 2) + 7x > 4x + k$ a pour ensemble des solutions $\mathbb{R}$, puis ceux pour lesquels c'est $\varnothing$.

Ex. 34★★★Sweats de l'association : deux fournisseurs — Calculatrice autorisée. L'association sportive d'un lycée de Colmar commande $n$ sweats brodés ($n$ entier naturel). Deux fournisseurs proposent :

1. aÉcris une inéquation d'inconnue $n$ traduisant « l'offre A est strictement moins chère que l'offre B », puis résous-la dans $\mathbb{R}$ avec une borne exacte.
2. bMalo conclut de la question précédente : « A est moins chère dès 13 sweats. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul de prix, puis donne le nombre minimal de sweats pour lequel A est strictement moins chère.
3. cElle choisit A, offre 6 sweats aux entraîneurs et vend les autres 19 € pièce. Combien en commander au minimum pour un bénéfice (recette − coût) d'au moins 200 € ?
4. dB accorde finalement une remise d'un quart sur son prix total. À partir de combien de sweats l'offre A est-elle alors strictement moins chère ? Justifie.

Ex. 35★★★Une inéquation qui dépend d'un réel m — Sans calculatrice. Pour tout réel $m$, on note $(I_m)$ l'inéquation $mx + 3 \leqslant 2x + 7$, d'inconnue $x$ réelle.

1. aMontre que $(I_m)$ équivaut à une inéquation de la forme $(m - 2)x \leqslant c$, où $c$ est un réel à déterminer.
2. bRésous $(I_5)$. Nora répond $S = ]-\infty\,;1{,}33]$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cRésous $(I_{-2})$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.
4. dRésous $(I_2)$. Existe-t-il un réel $m$ pour lequel l'ensemble des solutions de $(I_m)$ est $\varnothing$ ? Justifie.
5. eDétermine le réel $m$ pour lequel l'ensemble des solutions de $(I_m)$ est $\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right]$. Justifie.

Ex. 36★★★De l'inégalité à l'intervalle, et retour — Sans calculatrice.

1. aÉcris avec un intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $x \leqslant -4$.
2. bÉcris avec un intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $x > \frac{3}{5}$.
3. cTraduis $x \in [-2{,}5\,;+\infty[$ par une inégalité.
4. dTraduis $x \in ]-\infty\,;7[$ par une inégalité.
5. eMaëlle écrit : « $x \geqslant 1$, donc $S = [1\,;+\infty]$ ». Corrige son erreur.
6. fTom écrit : « $x < -6$, donc $S = ]-6\,;-\infty[$ ». Corrige son erreur.

Ex. 37★★★Résoudre et conclure par un intervalle — Sans calculatrice, résous dans $\mathbb{R}$ et donne $S$ sous forme d'intervalle (ou $S = \mathbb{R}$, $S = \varnothing$).

Ex. 38★★★Une borne ouverte et des entiers — On considère l'inéquation (I) : $\frac{x}{4} - \frac{2x - 1}{6} < 1$.

1. aRésous (I) et écris son ensemble de solutions $S$ avec un intervalle.
2. bLe réel $-10$ appartient-il à $S$ ? Justifie par un calcul.
3. cQuel est le plus petit entier solution de (I) ? Justifie.
4. d(I) a-t-elle un plus grand entier solution ? Justifie.

Ex. 39★★★Même ensemble de solutions ? — On considère quatre inéquations : (A) $-3x + 4 < 10$ ; (B) $2x + 1 > -3$ ; (C) $5 - x \leqslant 7$ ; (D) $3(x - 2) \geqslant 3x + 1$.

1. aRésous (A) et (B). Ont-elles le même ensemble de solutions ? Justifie.
2. bInès affirme : « (A) et (C) ont le même ensemble de solutions, car la borne est la même. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cRésous (D), puis l'inéquation $3(x - 2) \geqslant 3x - 7$. Ont-elles le même ensemble de solutions ? Justifie.
4. dTrouve le réel $c$ tel que l'inéquation $6x + c > 0$ ait le même ensemble de solutions que
   (B).

Ex. 40★★★La copie de Lina — Lina a résolu trois inéquations dans $\mathbb{R}$. Voici ses réponses. Sans calculatrice, corrige sa copie.

1. aTeste $x = 0$ dans (1). Déduis-en que la réponse de Lina est fausse, puis trouve son erreur et donne le bon ensemble $S$.
2. bExplique pourquoi l'écriture « $S = 0$ » ne convient pas, puis résous
   (2).
3. cLina pense : « Quand les termes en $x$ disparaissent, il n'y a jamais de solution. » Résous (3). A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLe nombre $\frac{8}{3}$ est-il solution de (1) ? Justifie, puis donne le plus grand entier solution de
   (1).

Ex. 41★★★Une inéquation qui dépend de m — Pour tout réel $m$, on considère l'inéquation $(E_m)$ : $mx + 3 \leqslant 2x + 7$, d'inconnue $x$. Par exemple, $(E_5)$ s'écrit $5x + 3 \leqslant 2x + 7$. Sans calculatrice.

1. aRésous $(E_5)$, puis $(E_{-1})$. Écris chaque ensemble de solutions avec un intervalle.
2. bRésous $(E_2)$. Combien de réels sont solutions ? Justifie.
3. cDémontre que $(E_m)$ équivaut à $(m - 2)x \leqslant 4$, puis détermine $m$ pour que $S = [-1\,;+\infty[$.
4. dExiste-t-il un réel $m$ tel que l'ensemble des solutions de $(E_m)$ soit $[4\,;+\infty[$ ? Justifie.

Ex. 42★★★Carte ou entrée à l'unité ? — Une salle d'escalade de Grenoble propose deux formules : l'entrée à l'unité, à 11 € la séance, ou une carte annuelle à 60 €, puis 6 € par séance. On note $x$ le nombre de séances dans l'année. Calculatrice inutile.

1. aExprime en fonction de $x$ le prix payé avec chaque formule. Écris l'inéquation qui traduit « la carte coûte strictement moins cher que l'entrée à l'unité ».
2. bRésous cette inéquation dans $\mathbb{R}$ et écris $S$ avec un intervalle. Le nombre $12$ appartient-il à $S$ ? Justifie.
3. cDéduis-en le nombre minimal de séances pour que la carte soit plus avantageuse. Vérifie avec les deux prix.
4. dNoé écrit l'ensemble des solutions de « l'entrée à l'unité ne coûte pas plus cher que la carte » sous la forme $[-\infty\,;b]$. Résous cette inéquation et corrige son écriture.
5. eLe gérant écrit la condition de la première question sous la forme $0{,}5x - 6 > 0$. Justifie, sans la résoudre, qu'elle a le même ensemble de solutions.

Ex. 43★★★Traduire une phrase par une inégalité — Sans calculatrice. Traduis chaque phrase par une inégalité portant sur l'inconnue indiquée.

1. aLe prix $p$ (en €) d'un panier de fruits ne dépasse pas $25$ €.
2. bPlus de $40$ personnes sont venues au concert ; on note $s$ le nombre de spectateurs.
3. cPas moins de $12$ bénévoles aident à la fête du village ; on note $b$ leur nombre.
4. dUn carnet de tickets coûte $3$ € ; avec $c$ carnets vendus, la recette est de plus de $150$ €.
5. eLe double de la durée $t$ (en h), augmenté de $1$, vaut au minimum $9$.
6. fUne valise doit peser moins de $23$ kg ; on note $m$ sa masse
   (en kg).
7. gLéo traduit « au plus $30$ élèves par classe » par $e < 30$, où $e$ est le nombre d'élèves. Corrige son erreur.

Ex. 44★★★Inconnue entière : arrondir dans le bon sens — Sans calculatrice. Dans chaque item, $n$ est un nombre entier d'objets.

1. aOn sait que $6n \geqslant 45$. Donne la plus petite valeur possible de $n$.
2. bUn monte-charge porte $n$ caisses de $70$ kg ; la charge ne doit pas dépasser $500$ kg. Donne la plus grande valeur possible de $n$.
3. cOn sait que $4n > 36$. Donne la plus petite valeur possible de $n$.
4. dPour remplir un bac d'au moins $27$ L, on verse $n$ seaux de $3$ L. Donne le nombre minimal de seaux.
5. eOn sait que $8n < 56$. Donne la plus grande valeur possible de $n$.
6. fZoé écrit : « $9n \leqslant 70$ donne $n \leqslant 7{,}8$, donc $n$ vaut au plus $8$. » Corrige son erreur.

Ex. 45★★★Deux formules pour la piscine — À la piscine de Lorient, Maëlle hésite entre deux formules pour l'année. Calculatrice autorisée.

1. aChoisis et nomme l'inconnue, avec ses valeurs possibles. Exprime le prix $P_A$ de la formule A et le prix $P_B$ de la formule B.
2. bTraduis « la formule B est strictement moins chère que la formule A » par une inéquation, puis résous-la.
3. cDéduis-en le nombre minimal d'entrées à partir duquel la formule B est moins chère. Conclus par une phrase.
4. dVérifie ta réponse : calcule $P_A$ et $P_B$ pour le nombre d'entrées trouvé, puis pour une entrée de moins.

Ex. 46★★★La moyenne de Yanis — En physique-chimie, Yanis a eu $8$ (coefficient $2$) et $11$ (coefficient $1$). Le dernier contrôle du trimestre a le coefficient $3$. Toutes les notes sont sur $20$.

1. aNomme l'inconnue et donne ses valeurs possibles. Exprime la moyenne $M$ de Yanis en fonction de cette inconnue.
2. bQuelle note minimale doit-il obtenir pour avoir au moins $10$ de moyenne ? Conclus par une phrase.
3. cVérifie ta réponse en calculant la moyenne obtenue avec cette note.
4. dYanis affirme qu'il peut encore obtenir au moins $15$ de moyenne. A-t-il raison ? Justifie par une inéquation.

Ex. 47★★★Trois offres pour un utilitaire — Sacha déménage à Grenoble et loue un utilitaire pour une journée. L'agence propose trois offres. L'offre C est un forfait, avec un kilométrage illimité. Calculatrice autorisée.

1. aChoisis et nomme l'inconnue, avec son unité et ses valeurs possibles. Exprime les prix $P_A$, $P_B$ et $P_C$ (en €) de chaque offre.
2. bPour quelles distances l'offre A est-elle strictement moins chère que l'offre B ? Donne l'ensemble des solutions et examine le cas d'égalité.
3. cPour quelles distances l'offre C est-elle strictement moins chère que l'offre A ?
4. dRésous de même $P_C < P_B$. Déduis-en, selon la distance parcourue, l'offre la plus avantageuse pour Sacha. Réponds par une phrase.

Ex. 48★★★Le spectacle du club de théâtre — Le club de théâtre d'un lycée de Rennes joue une pièce dans une salle de $150$ places. La location de la salle coûte $450$ €. Chaque spectateur paie son billet $8$ €, et le club lui offre une boisson qui coûte $2{,}50$ €. Calculatrice autorisée.

1. aOn note $n$ le nombre de spectateurs. Précise les valeurs possibles de $n$, puis exprime le bénéfice $B$ du club (recette moins dépenses), en €, en fonction de $n$.
2. bCombien faut-il de spectateurs, au minimum, pour que le bénéfice soit strictement positif ? Vérifie ta réponse avec $n$ et $n - 1$.
3. cLe club veut un bénéfice d'au moins $400$ €. Est-ce possible avec ce tarif ? Justifie.
4. dSalle pleine, le club offre $k$ places (billet gratuit, boisson offerte). Combien d'invitations au plus peut-il donner pour garder au moins $300$ € de bénéfice ?
5. eSans invitation, avec $120$ spectateurs attendus, le club cherche un nouveau prix $p$ (en €) du billet. Quel prix minimal, au centime près, assure un bénéfice d'au moins $400$ € ?

Ex. 49★★★Économies de Lina, dépenses de Noé — À Dijon, Lina a $140$ € dans sa tirelire et y ajoute $30$ € à la fin de chaque mois. Son frère Noé a $410$ € sur son compte et paie $20$ € par mois pour un abonnement, prélevés à la fin de chaque mois. Il n'a aucune autre rentrée ni dépense. Calculatrice autorisée.

1. aOn note $n$ le nombre de mois écoulés. Précise les valeurs possibles de $n$. Exprime en fonction de $n$ les sommes $L$ de Lina et $N$ de Noé, en €.
2. bPour que Noé garde un solde positif ou nul, Hugo écrit : « $410 - 20n \geqslant 0 \iff -20n \geqslant -410 \iff n \geqslant 20{,}5$, donc au moins $21$ mois. » Repère ses erreurs et corrige.
3. cAu bout de combien de mois, au minimum, Lina aura-t-elle strictement plus d'argent que Noé ? Vérifie avec deux valeurs consécutives de $n$.
4. dLina veut acheter un vélo à $599$ €. Combien de mois doit-elle attendre, au minimum ? Réponds par une phrase.